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专题 07 四边形的有关计算与证明解答题题型总结
题型解读｜模型构建｜通关试 练
一、平行四边形的性质与判定
1.平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2.平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．
二、矩形的性质与判定
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2.矩形的性质
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①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直
线；对称中心是两条对角线的交点．
由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的判定
3.矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
三、菱形的性质与判定
1.菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
2.菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=对角线乘积的一半
3.菱形的判定方法
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
四、正方形的性质与判定
1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2.正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称
轴．
3.正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
模型01 平行四边形的性质与证明
考｜向｜预｜测
平行四边形的考查主要在于它的性质与判定，难度适中，在各类考试中得分率较高.掌握平行四边形定
义、性质和判定，清楚平行四边形的特征以及彼此之间的关系，能用平行四边形的判定定理和性质定
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理进行几何证明和计算是考试的重点。
答｜题｜技｜巧
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、
角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分
别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定
义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和
判定去解决问题．
（2025·河北沧州·模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，以AD、AE为腰作等腰三角形
ADE，且∠ADE=∠ABC．连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)求四边形MBDE的形状，并加以证明．
1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，
BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD,BN．求证：
∠DMN=∠BNM；
2．（2025·贵州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边AC上一点，连接BD，E，F分别为
BC，BD的中点，连接AF，EF，DE．有下列条件：
①AC=3AD，②∠AFD=∠EDF．
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(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)在（1）的结论下，若CD=DE，AB=15，求EF的长．
3．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）已知：互不重合的点B、D、C、F按图中顺序依次在同一条直
线上，且BD=CF，AB=EF，∠B=∠F=70°，∠A为锐角．
(1)求证：△ABC≌△EFD；
(2)连接AD、AF，若AB=AD，求证：AF与DE互相平分
4．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△≝¿和△ABC关
于点O对称，连接AF, CD．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)已知AC=4, BC=3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知四边形ABCD是平行四边形．
(1)如图（1），对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与边AD，BC分别相交于点E，F．求证
OE=OF．
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(2)如图（2），过点A作对角线BD的垂线，垂足为M，交边BC于点N．仅用无刻度的直尺在图中作
CH⊥BD，垂足为H．（保留作图痕迹，不要求写作法．）
6．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，
AB=12cm，AD=4cm，CD=15cm．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；点Q从点C出
发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的
时间为t秒．
(1)若P，Q两点同时出发．
①0<t<7.5时，用t分别表示出AP和DQ的长：AP= ，DQ= ；
②若运动过程中，当PQ∥BC时，求t的值；
(2) 若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写
出结果）△DPQ为直角三角形．
模型02 矩形的有关计算与证明
考｜向｜预｜测
矩形的性质与判定该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数
较大。矩形或其它特殊平行四边形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，
准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合矩形的相关性质及判定定理与推论和其它几何的相关
知识点进行解题。
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答｜题｜技｜巧
1.关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究
其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
2.证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．题
设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点
F．
(1)求证：AB=CF；
(2)请添加一个条件，使四边形ABFC是矩形（不需要说明理由）
1．（23-24九年级下·湖南湘西·阶段练习）矩形ABCD中，E是AB上一点，已知
∠DCA=∠BCE,AB=6,AD=4，求△CAE的面积．
2．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图1，在矩形ABCD中，BD为对角线，BD的垂直平分线分别交
AD，BD，BC于点E，O，F，连接BE，DF．
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(1)求证：四边形BEDF是菱形．
(2)如图2，连接CO，若AE=2，AD=6，求cos∠BCO的值．
3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC，垂足为E，
并与AB交于点F，连接FC（AB>AE）．
(1)若AB=6，AD=4，求AF的长；
(2)求证：FE平分∠AFC．
4．（2025·山东威海·模拟预测）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,P是线段OC上一个
动点（不与点O、点C重合），过点P分别作AD、CD的平行线，交CD于点E，交BC、BD于点F、G，
连接EG．
(1)如图1，如果PC=2OP，求证：EG∥AC；
AB 2 OP
(2)如图2，如果∠ABC=90°， = ，且△DGE与△PCF相似，请补全图形，并求 的值；
BC 3 PC
(3)如图3，如果BA=BG=BC，且射线EG过点A．请补全图形，并求∠ABC的度数．
5．（2025·河南郑州·一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G
在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
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(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
6．（2025·云南·模拟预测）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，E是CD的
中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F．
(1)求证：四边形OEFB是矩形；
(2)若AD=8，DC=12，求四边形OEFB的面积．
模型03 菱形的有关计算与证明
考｜向｜预｜测
菱形的性质与判定该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况考查较多的是证明一个四边形是
菱形、利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度.掌握菱形的性质与判定，菱形的面
积公式，及一些特殊的菱形是解答本题的关键.注意菱形与平行四边形的区别，菱形与正方形的联系与区
别，利用数形结合及方程的思想解题。
答｜题｜技｜巧
1. 菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就
是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
2. 菱形判定方法的选择：若四地形（或可证）为平行四也形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直
若相等的边也较多（或容易证出），则可证四条边相零
如图，平行四边形ABCD，E，F为BD上的点，AE=CE．
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若BE=DF，AE2=AG⋅AD，求证：BF⋅FG=AF⋅DG；
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(3)延长AE交BC于点P，若P为BC中点，AB=5，AE=3，求BD的长
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△≝¿和△ABC关于点O对称，连接AF, CD．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)已知AC=4, BC=3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
2．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
(1)求证：BC=CF；
(2)连接AC，若AB=2，AE⊥AB，求AC的长．
3．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
(1)求证：BC=CF；
(2)连接AC，若AB=2，AE⊥AB，求AC的长．
4．如图，在菱形ABCD中，连结对角线AC，点E在边AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，连结DE
交AC于点G．
(1)若DA=DE，∠B=105°，求∠CDE的度数．
(2)若AC=15，AE=2BE，求GF的长．
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(3)求证：GA2=GF⋅GC．
5．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E,AD于点F，
连接AE，CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AE=8,AC+EF=20，求四边形AECF的面积．
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F、E分别在边AD和BC上，O在线段EF上，连
接AE、CF，AE交BD于点G．
(1)求证：AE=CF；
(2)若G是BO的中点，且∠ACB=30°，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
模型04正方形的有关计算与证明
考｜向｜预｜测
正方形的性质与判定该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析正方形
与平面直角坐标系相结合、正方形的折叠等题型。结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题
和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
答｜题｜技｜巧
正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质
有关正形性质的问题，-般注意以下知识的应用：
（1）四条边相等、四个角都是直角
（2）对角线相等且互相垂直平分，对角线平分一组对角得到45°角
1：2
（3）边长与对角线的长度之比为
正方形的五种判定方法：
（1）平行四地形＋一组邻边相等＋一个角为直角
（2）矩形＋一组邻边相等，矩形＋对角线互相垂直
（3）菱形＋一个角为直角，菱形+对角线相等
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如图，正方形BCEF的中心为O,△CBO的外接圆上有一点A（点A，O在BC同侧，点A，C在BO异侧），
且AB=2√2,AO=4．
(1)求∠CAO的值．
(2)求tan∠ACB的值．
(3)求正方形BCEF的面积．
1．如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F，AE的延长线交
BC的延长线于点G．
(1)求证：AE=AF；
(2)若AF=2√10，DE=2，求EG的长．
2．如图，在△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线
于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)求证：PE=PF；
AP √3
(2)若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且 = ．求此时∠A的大小．
BC 6
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3．如图，E为正方形ABCD外一点，连接AE，DE，AE=AB，AF平分∠BAE交DE于点F，连接
CF．
(1)求∠AFD的度数；
(2)求证：AF⊥CF．
4．正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB,BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针
旋转90°，得到△DCM．
(1)求证：△≝≌△DMF；
(2)若AE=1，求EF的长．
5．已知：如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、DC上点，且AE=DF，连接AF、BE交于点
G．
(1)求证：BE⊥AF；
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(2)如图2，连接对角线AC、BD交于点O，且AC、BD与BE、AF分别交于点M、点N，连接OG，若
1
AF平分∠DAC，求证：OG= BM；
2
(3)在（2）的条件下，若OG=1，请直接写出正方形ABCD的面积．
一、解答题
1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且
AE=CF．
(1)求证：BE∥DF；
(2)过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
2．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
(1)求证：▱ABCD是菱形；
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(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
BC
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时 的值．
AB
4．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADC的平分线
DE分别交AC、BC于点N、M，交AB的延长线于点E，F为EM的中点，连结AF、BF、CF，AF分
别交BD、BC于点G、H．
(1)求证：AE=BC；
(2)探究AF与CF的关系，并说明理由；
(3)若AD=8，CD=6，求OG的长．
5．（2024·内蒙古·中考真题）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
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(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．
6．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若
∠BAD=∠C，则AB2=BD⋅BC，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2，点E在AB
上，连接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，点E，F分别在边AD，CD上，
∠ABC=2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE=4，DG=6，求FG的长．
7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°．
(1)求证：AC=BD；
(2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8，求CE的长及tan∠CEO的值．
8．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．点D是边BC上的一点（点D
不与点B、C重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP=BD，以AP为边作正方形APMN，使点
M和点C在直线AD同侧．
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(1)当点D是边BC的中点时，求AD的长；
(2)当BD=4时，点D到直线AC的距离为________；
(3)连结PN，当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长；
(4)若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为________．（写出一个即可）
9．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°．点E在射线BC上运动（不与点B，
点C重合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．
(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若AB=6+6√3，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r．
①求r的取值范围；
②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．
10．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中
点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．
问题探究：如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC
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上，AD=2CF，EF与BD交于点G，求证：BG=FG．
EG
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD=CD，AG=FG，直接写出 的值．
GF
11．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，
使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．
(1)求证：△EDP∽△PCH．
(2)若P为CD中点，且AB=2,BC=3，求GH长．
(3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
12．（2024·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上
一动点，以DE为一边作∠≝=60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向
以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒．
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(1)求证：BE=EF；
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求x为何值时，线段DF的长度最短．
13．（2024·安徽·中考真题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC
上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
AC
（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求 的值．
BD
14．（2024·四川南充·中考真题）如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE=2AE，
点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运
动，设运动时间为t秒（0<t≤3）．
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(1)求证：△AEP∽△CEQ．
(2)当△EPQ是直角三角形时，求t的值．
1
(3)连接AQ，当tan∠AQE= 时，求△AEQ的面积．
3
一、解答题
1．（2013·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与
BC相交于点N，连接BM,DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB=4,AD=8，求MD的长．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一
条直线分别交AB，CD于点E，F．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接DE，BF，请添加一个条件，使四边形BEDF是矩形．（不需要说明理由）
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知：在▱ABCD中，分别过点B、D作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于
点F，如图．请从以下四个关系式中：①DE=BF；②∠FBE=∠EDF；③CE=CF；④BE=DF.选择
一个合适的作为已知条件，使▱ABCD是菱形．
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(1)你选择的条件是______．
(2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．
4．（2025·贵州·模拟预测）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作∠BAD和∠BCD的平
分线，分别交BD于点G，H，延长AG交BC于点E，延长CH交AD于点F．
(1)求证：△ABG≌△CDH；
(2)已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形AECF的形状，并证明．条件①：
BD平分∠CDF；条件②：∠BAE=2∠EAC．
5．（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，
交CD的延长线于点F．
(1)求证：AM=AE ；
(2)连接CM，DF=2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC=2∠MCF，求ME的长．
6．（2025·广东深圳·一模）在矩形ABCD中，连接AC．
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(1)如图1，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC=AD；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，已知点P在边AD上，且PD+PC=AD，连接PB，交AC于点Q，若AB=6，AD=8，求AQ
的长．
7．（2025·甘肃·模拟预测）【模型建立】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，且AE⊥DF，求证：DE=CF；
【模型应用】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边AD上，点M，N分别在边AB，CD上，且
BE
BE⊥MN，求 的值；
MN
【模型迁移】
AB 2
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， = ，AB=BC，AD=DC，点E，F分别在边
AD 3
CF
AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，求 的值．
DE
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8．（2025·湖南娄底·一模）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是线段AD上的动点（点E
不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG，点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段AF的长．
9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）【问题】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的
一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 ．
【类比探究】；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=10，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的
右侧作矩形CEFG，且CG:CE=3:5，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，
并说明理由；
【拓展提升】：
（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，直接写出点G的运动路径长度 ；
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10．（2025·湖北黄石·一模）如图1，正方形ABCD中，边长AB=√2，E为对角线AC上一动点，△ABE
沿着BE对折，得到△GBE．
AE 1
(1)当 = 时，
AC 4
①求△AEB的面积；
②求AG的长；
(2)若在线段AC上另有一点F如图2，把△BCF沿BF对折，正好得到△BGF，设AE=x，CF= y，用含x
的代数式表示y；
(3)若点F在线段AC的延长线上，把△BCF沿BF对折，得到△BGF，且在对角线AC上有一点E，使得
△BAE沿BE折叠后正好得到△BGE．请画出此时的图形（任选一种即可），并简要叙述画图步骤．若仍
设AE=x，CF= y，用含x的代数式表示y．
11．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是边AD上的动点，连接CE，
以CE为边作矩形CEFG (点D、G在CE的同侧)，且CE=2EF，连接BF．
(1)如图1，当点E在AD的中点时，点B、E、F在同一直线上，求BF的长；
(2)如图2，当∠BCE=30°时，求证：线段BF被CE平分．
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12．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B，AM，AN分
别交BC，CD于点M，N．
(1)【动手操作】如图①，若M是边BC的中点，根据题意在图①中画出∠MAN，则∠BAM=________度；
(2)【问题探究】如图②，当M为边BC上任意一点时，求证：AM=AN；
(3)【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB=4，点P，N分别在边BC，CD上，在菱形内部作
∠PAN=∠B，连接AP，若AP=√13，求线段DN的长．
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