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专题06 三角形的认识与全等三角形综合
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 三角形的
认识
2025 福建中考
2024 福建中考
2023 福建中考
2022 福建中考
考查形式多样，选择题、填空题、解答题均会出
现。命题大量采用情境化、动手操作类设计，三
角尺拼接、生活实物模型、尺规作图、图形平移
变换等素材频繁出现。核心围绕三角形三边关
系、内角性质、特殊三角形（等腰、等边三角形）、
直角三角形斜边中线定理展开，重点考查角度计
算、边长求值、几何证明，同时常设全等判定、
图形变换结合的综合考题。基础小题整体难度偏
低，解答题侧重综合推理；近四年命题逐步强化
图形变换融合设问，数形结合、模型化几何设问
占比逐年提升。
考点02 全等三角
形的判定与性质
2026 福建中考
2025 福建中考
2023 福建中考
2022 福建中考
大多以基础解答证明题形式考查。命题图形简洁
规整，常结合等边三角形、线段和差等量变换构
造条件。核心围绕SAS、ASA、AAS、SSS 四
种全等判定展开，高频考查利用等式性质推导相
等角、相等边；设问一般为证明线段相等、角相
等。整体难度基础，阅卷重点关注证明步骤规范；
近四年持续侧重条件等量代换，极少直接给出全
部对应相等条件，单纯HL 直角全等考查频次很
低。
考点01 三角形的认识
1．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆
放，其中点A，E，C，F 在同一条直线上，
90 ,
45 ,
60
BAC
EDF
B
DEF
．当AD
BC 时，ADE
的大小为（
）
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A．5
B．15
C．25
D．35
2．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB
与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE
OF
．下
列推断错误的是（
）
A．OB
OD
B．
BOC
AOB
C．OE
OF
D．
180
BOC
AOD
3．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤：①在OA 和OB 上分别截取
,
OC OD ，使OC
OD
；
②分别以
,
C D 为圆心，以大于1
2 CD 的长为半径作弧，两弧在
AOB
内交于点M ；③作射线OM ，连接
,
CM DM ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）
A．
1
2
且CM
DM
B．1
3
且CM
DM
C．
1
2
且OD
DM
D．
2
3
且OD
DM
4．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m 的值可以是（
）
A．1
B．5
C．7
D．9
5．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，
27
ABC
，
BC＝44cm，则高AD 约为（
）（参考数据：sin 27
0.45
，cos 27
0.89
，tan 27
0.51
）
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A．9.90cm
B．11.22cm
C．19.58cm
D．22.44cm
6．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱AD
BC
，E，F 分别是斜梁AB ，AC 的中点．若
8m
AB
AC
，则DE 的长为_______m．
7．（2025·福建·中考真题）如图，ABC 是等边三角形，D 是AB 的中点，CE
BC
，垂足为C，EF 是由CD
沿CE 方向平移得到的．已知EF 过点A，BE 交CD 于点G．
(1)求
DCE
的大小；
(2)求证：CEG 是等边三角形．
考点02 全等三角形的判定与性质
1．（2026·福建·中考真题）如图，ABC 是等边三角形，BD
BC
，CE
BC
，BD
CE
．求证：AD
AE
．
2．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F 分别在
,
AB AD 的延长线上，
,
CBE
CDF
ACB
ACD
．求
证：AB
AD
．
2．（2023·福建·中考真题）如图，
,
,
OA
OC OB
OD
AOD
COB
．求证：AB
CD
．
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4．（2022·福建·中考真题）如图，点C，F 在BE 上，BF
EC
，
=
AB DE ，
B
E
．
求证：
A
D
．
1．（2026·福建厦门·三模）如图，将直尺与含45角的直角三角尺叠放在一起，三角尺的顶点落在直尺的边
上．若
1
20
，则
2
的度数是（
）
A．45
B．55
C．65
D．75
2．（2026·福建福州·模拟预测）将一副三角板按图中方式叠放，则
等于（
）．
A．45
B．60
C．75
D．90
3．
（2026·福建漳州·模拟预测）如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，
90
BAC
DAE
．若
2
DAC
BAE
=
，
则
BAD
的度数为（
）
A．45
B．30
C．22.5
D．15
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4．
（2026·福建泉州·一模）如图，
,
CA CB 为
DCE
的三等分线，BE
CB
交CE 于点E，已知
ABE
E
DCE
=
+
，
20
A
，则
E
的度数为（
）
A．75
B．70
C．65
D．60
5．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在ABC 中，点D 在AB 上，DE
BC
∥
交AC 于点E ，点F 在BC 上，
AF 与DE 交于点G ．下列角中，与
AED
∠
相等的是（
）．
A．
ACB
B．
EGF
C．
AFB
D．
BAF
∠
6．（2026·福建南平·三模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常
生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB ，CE ，DE 分别为前叉、下管和立管（点C 在AB 上），EF
为后下叉．已知AB
DE
∥
，AD
EF
∥
，
67
BCE
，
133
CEF
，则
ADE
的度数为（
）
A．57
B．66
C．67
D．74
7．（2026·福建厦门·三模）《天工开物》中记载我国古代的提水工具“桔槔（jiégāo）”，它是由竖立的架子
和一根细长的杠杆组成．如图是“桔槔”的简易装置图，图中与
1
是内错角的是（
）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
8．（2026·福建福州·二模）光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做
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光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线a ，b ，且a b，一束光线AB 从空气斜射入该
玻璃，B 为入射点，CD 为法线，BE 为折射光线，BF 为入射光线AB 的延长线，若
60
ABC
，
25
EBF
，
则的度数是（
）
A．35
B．55
C．60
D．85
9．（2026·福建福州·三模）如图，在8 4
的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC 的三个顶点
在图中相应的格点上，则tan BAC
的值为（
）
A．1
3
B．
1
2
C．
5
5
D．2 5
5
10．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在等腰Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，点D 为AC 的中点，连接
,
BE BD，
点E 与点C 关于BD 对称，连接
,
DE CE ，则AB
CE 的值为（
）
A．
5
5
B．
5
4
C．2 5
5
D．
5
2
11．（2026·福建莆田·模拟预测）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学
家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、四边形BEFG 、
四边形AHIG 均为正方形．若
20
AHIG
S
正方形
，
4
ABCD
S
正方形
，则GF 的值为（
）．
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A．2
B．3
C．4
D．5
12．
（2026·福建泉州·二模）设抛物线
2
2
2
1
y
x
mx
m
的顶点为P ，与x 轴分别交于A
B
、
两点，判定PAB
的形状是（
）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形
13．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在等边ABC 中，
4
AC
，BF 是AC 上中线，点D 在BF 上，连
接AD ，以AD 为边作等边ADE ，连接EF ，则AEF 周长的最小值是（
）
A．2
2 3
B．2
3
C．4
2 3
D．6
14．（2026·福建漳州·模拟预测）已知在ABC 中，
90
C
，D 为AB 上一点，且AC
CD
，要在线段BA
的延长线上求作一点E，使得CE
CD
，垂足为C．下面选项中尺规作图的痕迹错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2026·福建南平·一模）如图，在3 3
的正方形网格中，A，B 两点在格点上，线段AB 绕点A 逆时针
旋转一定的角度后得到线段AC ，点B 与格点C 对应，则旋转角的大小可以为（
）
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A．30
B．60
C．90
D．120
16．（2026·福建南平·二模）一木工有四根长分别为30 厘米、50 厘米、60 厘米、90 厘米的木条，要选其
中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（
）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
17．（2026·福建泉州·一模）如图，点G 是Rt
ABC
△
的重心，
90
ACB
，
6
AB
，则CG 的长为（
）
A．1
B．
3
C．2
D．3
18．（2026·福建漳州·三模）如图，ABC 中，
90
ABC
，
62
C
，分别以点A
C
，
为圆心，大于1
2 AC
的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E
F
，
两点，连接EF ，EF 与AC 交于点O，则
ABO
∠
的大小为（
）
A．28
B．30
C．31
D．38
19．（2026·福建福州·模拟预测）小明用两个全等的三角形设计了一个“燕尾”的平面图案，如图，
APB ≌
APC
△
，连接BC 并延长AP ，AP 的延长线与BC 交于点D ，则下列推断错误的是（
）
A．PD 平分
BPC
B．AP
BC
C．D 是BC 的中点
D．BC
PC
20．（2026·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即
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利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为
3.1416．如图，
O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计
O 的面积，可得π的估
计值为3 3
2
，若用圆内接正八边形作近似估计，可得π的估计值为（
）
A．
5
B．2 2
C．3
D．2 3
21．（2026·福建龙岩·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
13,
5
AB
AC
，以A 为圆心，适当
长为半径画弧交
,
AB AC 分别于点D，E 两点，再分别以D，E 为圆心，以DE 的长为半径画弧，两弧交于点
F，作射线AF 交BC 于点G，则CG 的长为（
）
A．4
B．10
3
C．3
D．8
3
22．（2026·福建南平·三模）如图，P 是线段AB 所在直线上的一动点，点C
D
、
在AB 的两侧，CA
AB
，
DB
AB
，
4
AB
，
3
AC
，
2
DB
，连接PC
PD
、
，分别取PC
PD
、
的中点M
N
、
，连接MN ．随着点
P 的运动，线段MN 的长（
）
A．随着点P 的位置变化而变化
B．保持不变，长为5
2
C．保持不变，长为2
D．保持不变，长为
41
2
23．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B，C 在直线l 上，AD
l
，AD
BE
CF
∥
∥
，且过点D，E，
F 三点的圆的圆心在直线l 上．若
1
AD
CF
，
2
BE
，则AB BC
的值是（
）
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A．3
B．4
C．5
D．6
24．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，ABC 是等腰三角形，
36
AB
AC
A
，
．以点B 为圆心，任意
长为半径作弧，交AB 于点F，交BC 于点G，分别以点F 和点G 为圆心，大于1
2 FG 的长为半径作弧，两
弧相交于点H，作射线BH 交AC 于点D；分别以点B 和点D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作弧，两弧相
交于M、N 两点，作直线MN 交AB 于点E，连接DE ．以下结论错误的是（
）
A．
AED
ABC
B．
2
BC
ED
C．BC
AE
D．当
2
AC
时，
5
1
AD
25．（2026·福建南平·二模）如图，在ABC 中，
90 ,
5
BAC
AB
AC
，点D 为AB 边上一点，且
2
AD
，
点E 在BC 边上（点E 不与点B、C 重合），将DBE 沿DE 折叠，使得点B 的对应点B落在BC 边上，则
线段AB的长为（
）
A．1
B．
5
C．10
D．13
26．（2026·福建厦门·二模）如图，已知ABC 是等边三角形，
2
AB
，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中
点，P 是AD 上一动点．则PE
PC
的最小值是（
）
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A．1
B．
2
C．
3
D．
5
27．（2026·福建厦门·模拟预测）勾股定理是我国古代数学发展的重要起源，中华数学传统文化中的精髓：
开方术、方程术等都与勾股定理密切相关，勾股定理在生活中有着极其广泛的应用．如图是某临街店铺在
窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C 距离地面
90cm（即
90cm
CE
），将其展开至点B 距离墙面170cm 的位置时（即水平距离
170cm
BD
），
190cm
AB
，
则此时棚骨外端B 离地面的垂直高度是（
）
A．
280
60 2 cm
B．
90
20 3 cm
C．
280
60 3 cm
D．
120 10 3 cm
28．（2026·福建龙岩·二模）如图，已知
90
MON
，点A 是射线OM 上的一个定点，点B 是射线ON 上
的一个动点，且满足OB
OA
．点C 在线段OA 的延长线上，且AC
OB
．点D 在线段OB 上，且BD
OA
，
连接AB ，CD ．则
OBA
OCD
（
）
A．60
B．55
C．50
D．45
29．
（2026·福建龙岩·二模）如图，
30
AOB
，P 是
AOB
平分线上一点，CP
OB
∥
，交OA 于点C，PD
OB
于点D，且
8
PC
，则PD 的长为（
）
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A．2
B．4
C．6
D．8
30．（2026·福建三明·一模）已知方程
2
2
4
0
x
x
x
a
的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边
边长，则实数a 的取值范围是（
）
A．1
3
a
B．1
4
a
C．3
4
a
D．2
3
a
31．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，
90
C
，AD 平分
BAC
，
7
BC
，
5
BD
，则点D 到AB 的
距离为______．
32．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABC 中，
45
AB
AC
A
，
，DE 是线段AC 的垂直平分线，
交AC 于点D，交AB 于点E．若
1
AD ，则BE 的长度是_______．
33．（2026·福建福州·模拟预测）如图，M 为ABC 的边BC 的中点，
6
AB
，
9
AC ，BD
AD
于点D ，
连接DM ．若AD 为
BAC
的平分线，则MD 的长为____________．
34．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，已知
90
C
，
30
A
，
3
BC
，尺规作图
痕迹如图所示，再以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点E ，则图中阴影部分的面积为_____．
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35．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，已知ABC中，
90
ACB
，
6
AC
，
9
BC
，点M 是ABC 内
部一点，连接AM ，BM ，CM ，若
3
CM
，则
1
3
AM
BM
的最小值为______．
36．（2026·福建宁德·一模）用5 个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的
度数是_____．
37．（2026·福建泉州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在第一象限，点B 在x 轴的正半轴上，
AO
AB
，反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象经过AOB 的重心G ，若AOB 的面积为6，则k 的值为_______．
38．
（2026·福建莆田·二模）在ABC 中，AB
c
，BC
a
，AC
b
，若
2
2
1
a
b
c
c
，则
C
的度数是__________．
39．（2026·福建南平·一模）“费马问题”是法国数学家皮埃尔·德·费马在1643 年提出的一个著名的几何极值
问题．问题的核心是：对任意三角形，都存在一个点，使得这个点到该三角形三个顶点的距离之和最小，
这个点称为费马点．当ABC 的三个内角均小于120时，使得
120
APB
BPC
CPA
的点P 即为费
马点．如图，若
10,
12
AB
AC
BC
，则PA
PB
PC
的最小值是_______．
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40．（2026·福建泉州·一模）如图，将一块直角三角尺ABC（
90
B
，
60
A
）沿射线AC 方向平移到
三角尺DEF 的位置，点A 的对应点为点D．若
13
AF
，
5
DC
，则AB 的长为________．
41．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，在边长为1 的等边三角形ABC 中，E 为AB 中点，F 是边BC 上的
动点，连接EF ，G 是点B 关于EF 的对称点．现给出以下结论：
①点G 在某一条定直线上运动；
②可以用AG 的长度值表示cos
BAG
；
③CG 的长度可以是1
5 ；
④点G 到边AB ，BC 的距离可能相等．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
42．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，等边ABC 的边长为a ，点
,
D E 分别在边
,
AB AC 上，且
1 ,
3
AD
CE
a BE
与CD 相交于点F ，则CD CF
的值为_____．（用含a 的代数式表示）
43．（2026·福建厦门·一模）抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m 个单位长度，
得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若ACB 为等边三角形，则m 的值为________
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44．（2026·福建·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
67.5
B
，
8
AB
，CD
AB
于点D ，
E 是斜边AB 的中点，则线段DE 的长为______．
45．（2026·福建福州·模拟预测）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子
的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1 抽象
成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m ，小臂到地面的距离约1.2m ，则适合小明的绳长为____ m ．
46．（2026·福建龙岩·模拟预测）如图，在正ABC 内接正ADE 和正BFG中，点E 在AB 上，点G 在AE
上，若
3,
9 3
ADE
BFG
S
S
△
△
，则正ABC 的边长a 的取值范围为______．
47．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABC 中，
90
C
，将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转度得
到
EDC
△
，连接AE ，BD 交于点F ，连接AD ，若
2 2
AB
，则
2
2
AD
BE
的值等于______．
48．（2026·福建莆田·三模）在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
6
AC
，
8
BC ，D 是AB 上一个动点，将BCD
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沿CD 折叠得到ECD ，当DE 平行ABC 的一边时，点E 到BC 边的距离为_______．
49．（2026·福建莆田·三模）仙游古典家具制作技艺，简称为“仙作”，入选国家级非物质文化遗产名录，“仙
作”家具集国画艺术，雕刻艺术与家具制作技艺的巧妙融合，款式典雅，结构严谨．一种“仙作”花窗的花瓣
由六条等弧连接而成，所对应的弦构成一个正六边形，如图所示．设正六边形的中心为点O，AB 所在圆的
圆心C 恰好是ABO 的外心．若
2 3
AB
，则花窗的面积（实线所围区域的面积）为_______．
50．（2026·福建泉州·三模）小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向
会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若
1
70
，
130
ABO
，
则
2
________．
51．（2026·福建泉州·三模）如图，ABC 中，
90
C
，AD 平分
BAC
交BC 于点D，
3
1
BD
DC
，
1cm
AC
，
则BC 长为________cm．
52．（2026·福建·一模）如图，在菱形ABCD中，
6
AB
，
60
B
，AE 是菱形的高．若F 是CD 的中点，
连接EF ，则CEF 的周长是_____．
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53．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，AOB 和ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线
6
0
y
x
x
上，连接BC 交AD 于P ，连接OP ，则图中
OBP
S
________．
54．（2026·福建宁德·一模）探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的
几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得．
(1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x y
，根据三角形重心是三角形
三条中线的交点这一性质，可以推出其重心G 的坐标为
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
．如图1，在平面直角坐标
系中，ABC 的顶点坐标分别为
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1
C
．求该三角形重心的坐标；
(2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；
如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即
1
1
2
2
F l
F l ）．现有两个矩形，其宽相
等，大矩形高是小矩形的2 倍，将它们底部对齐按图3 方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合
体重心G 的大致位置（简要说明方法）；
(3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为
1
1
1
,
G
x y
，
2
2
2
,
G
x
y
，对应面积分别为
1S ，
2
S ，猜想并直接写出四边形重心G 的坐标；（用含
1x ，
2x ，
1y ，
2y ，
1S ，
2
S 的代数式表示）
(4)【猜想应用】如图5，四边形ABCD的顶点坐标分别为
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1 ,
6,7
C
D
，求四边形ABCD
重心G 的坐标．
55．（2026·福建厦门·一模）如图，在ABC 中，AC
AB
．
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(1)在AC 上求作一点D，使
1
2
ABD
ABC
S
S
；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，在AB 上存在点E 满足DA
DE
，连接CE ．求证：CE
AB
．
56．（2026·福建宁德·二模）如图，已知AB
BC
，点D 在BC 上，CE 由CD 绕点C 顺时针旋转140得到，
且CE
AB ．
(1)求证：AC 平分
BCE
；
(2)若AD
BD
，求
AEC
的度数．
57．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABC 中，AD 平分
BAC
交BC 于点D，E 为BC 上一点，G 为
BA 延长线上一点，GE 与AC 交于点F，AF
AG
．
(1)求证：AD GE ；
(2)若A，F 分别是BG ，CA 的中点，
8
EG
，求EF 的长．
58．
（2026·福建莆田·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
BAC
AD
BC
，垂足为D，E 为AC 上一点，EF
BC
，
垂足为F．若CE
AB
，求证：BD
EF
．
59．（2026·福建福州·二模）如图，已知Rt
ABC
△
，
90
BAC
，AB
AC
，AD 是中线．
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(1)尺规作图：求作线段BE ，使得BC 平分
ABE
，且BE
BD
，连接ED 并延长交BA 延长线于点F（保留
作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求证：AD
AF
．
60．（2026·福建南平·二模）如图，点D 是ABC 中BC 边的中点，E 为边AC 上一点，F 为ED 延长线上一
点，且DE
DF
，求证：
C
FBC
．
61．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABO 中，点D 是边AB 上一点，连接DO 并延长至点C，连接
CA ．若
B
,
180 ,
C
AOB
AOD
求证：OB
OC
．
62．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，四边形ABCD为平行四边形，
90
AEB
CFD
，AE
CF
．求
证：
ABE
CDF
．
63．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，ABC 为等边三角形，点E 在边AC 上，连接BE ，作AD
BE
⊥
于
点D，将ADB 绕点A 逆时针旋转得到AFC ，点B，D 的对应点分别为点C，F，连接DF ．
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(1)求证：ADF 为等边三角形；
(2)延长FD 交BC 于点G，求证：BG
CG
．
64．（2026·福建福州·二模）如图，点D，A，E，B 在同一直线上，BC
EF
，AC
DF
，BE
AD
．求
证：BC
EF
∥
．
65．（2026·福建福州·模拟预测）如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
5
AB
，
3
BC ．作ADC 与ABC
关于直线AC 对称，E 是AB 延长线上的一点，连接DE ，作FDE 与ADE 关于直线DE 对称，EF 交射线AC
于点P，连接DP ．
(1)求tan
CAB
的值．
(2)当EF
AC
时，求AE 的长．
(3)求
PA
PD 的最小值．
66．（2026·福建·一模）如图，正三角形ABC 的边长为2 ，D 是BC 边上不与点B ，C 重合的动点，过点D
作AB 边的垂线，交AB 于G ，用x 表示线段AG 的长度，用y 表示ACD 的面积．
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(1)直接写出x 的取值范围；
(2)求y 关于x 的函数表达式．
67．（2026·福建福州·三模）我们知道，任意一个Rt
ABC
△
，如果
90
C
，则两条直角边a ，b 和斜边c
满足勾股定理
2
2
2
a
b
c
（亦即
2
2
2
0
a
b
c
）．如果
90
C
，则上述关系就不再成立．班级数学研究
小组对非直角三角形的三边平方的数量关系开展了进一步的探究．
定义1：在任意三角形中，一个角的两条夹边的平方和减去它的对边的平方所得的差，叫做角的勾股差，
记为
．
定义2：如图1，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，则称线段BD 的长度为边AB 在边BC 上的投影．
研究小组发现，对于非直角三角形的任一内角，其勾股差与夹这个角的两边及投影存在一定的数量关系．
情况①：如图1，当
90
ACB
时，过点A 作AD
BC
于点D ．
在Rt ABD 和Rt ACD 中，由勾股定理，分别得：
2
2
2
AD
AB
BD
，
2
2
2
AD
AC
CD
．
…
2
ACB
BC CD
．
情况②：如图2 ，当
90
ACB
时，
ACB
________．
得到了上述勾股差的投影表示法后，研究小组利用其进一步研究了平行四边形的四条边及对角线之间的数
量关系．
（广义勾股定理）如图3 ，已知四边形ABCD是平行四边形．求证：
2
2
2
2
2
2
AC
BD
AB
BC
．
(1)在ABC 中，
A
，
B
，
C
的对边分别为a ，b ，c ，若
5
a
，
3
b
，
7
c
，则
A
________，
B
________，
C
________．
(2)请将上述情况①中的证明过程补充完整，并直接写出情况②中
ACB
与BC ，CD 的数量关系．
(3)请写出广义勾股定理的证明过程．
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(4)如图4 ，在ABC 中，
5
AB
，
4
BC
，
6
AC
，CM 是AB 边上的中线，请直接写出CM 的长．
68．（2026·福建泉州·三模）【课本再现】
如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O 又是正方形
1
1
1
A B C O 的一个顶点，而且这两个正方形的边
长都为1，四边形OEBF 为两个正方形重叠部分，正方形
1
1
1
A B C O 可绕点O 转动．
【问题发现】
(1)连接
1AO，直线
1AO分别交AB
CD
、
于点E、G，
1
C O 交BC 于点F ，连接FG ，则线段AE
CF
FG
，
，
之
间的数量关系是______．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形ABCD的中心O 是矩形
1
1
1
A B C O 的一个顶点，
1AO与边AB 相交于点E，
1
C O 与边CB 相交于
点F，连接EF ，矩形
1
1
1
A B C O 可绕着点O 旋转，猜想AE ，CF ，EF 之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt
ACB
△
中，
90
3cm
4cm
C
AC
BC
,
,
，直角
EDF
的顶点D 在边AB 的中点处，它的
两条边DE 和DF 分别与直线AC ，BC 相交于点E，F，
EDF
可绕着点D 旋转，当
2cm
AE
时，请直接
写出CEF 的面积．
