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专题05 全等三角形中动点与新定义型问题
常考题型·精准突破
题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题（高频）
题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题（重）
题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题（高频）
题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题（难）
题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题
1．（25-26 八年级下·河南开封·期末）如图，
90 ,
4,
5
C
BC
AC
Ð
=
°
=
=
，射线AP
AC
^
于A ，点D 和E 分别
在线段AC 和射线AP 上运动，且DE
AB
=
．当AE = ____________时，以点A ，B ，C 为顶点的三角形与ADE
V
全等．
2．（26-27 八年级·上海·暑假作业）如图，在四边形ABCD 中，
B
C
Ð
= Ð
，
8
,
10
,
14
AB
cm BC
cm CD
cm
=
=
=
，
E 是AB 中点．点P 在线段BC 上以3cm / s 的速度由B 向C 单向运动的同时，点Q 在线段CD上匀速由C 向
D 单向运动．为使BPE
V
与CPQ
V
在两点运动过程中全等，点Q 的速度应为________________ ．
3．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）如图，在ABC
V
中，BE
AC
^
于点
,
E AF
BC
^
于点
,
45
F
ABC
Ð
=
°，
点M 为直线BC 上一点，且CM
AD
=
，点P 从点D 出发，以1 单位长度/秒的速度沿DB向点B 运动，同时，
点Q 从点A 出发，沿射线AC 以4 单位长度/秒的速度运动，当点P 到达点B 时，,
P Q 两点同时停止运动．若
10
AC =
，设运动时间为t 秒，当ADP
V
与MCQ
V
全等时，t = _________．
◆题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题
4．（25-26 七年级下·福建宁德·期中）如图，在ABC
V
中，CD
AB
^
，垂足为点D ，AD
CD
=
，点E 在线段CD
上，连接AE 并延长交BC 于点F ，若ED
BD
=
时，则下列结论中：①AE
BC
=
；②BF
DF
=
；
③AF
BC
^
；④
45
BFD
Ð
=
°，其中正确的是_____．
5．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图，AB
AD
=
，
140
BAD
Ð
=
° ，AB
CB
^
于点B，AD
CD
^
于点D，
E、F分别是CB 、CD上的点，且
70
EAF
Ð
=
° ，下列结论中①DF
BE
=
，②
ADF
ABE
△
≌△
，③FA 平分
DFE
Ð
，
④EF 平分
AEC
Ð
，⑤BE
DF
EF
+
=
．其中正确的结论有_________
6．（25-26 七年级下·河南开封·期末）如图，在ABC
V
中，AB
AC
=
，
45
B
C
Ð
= Ð
=
° ，D，E 是边BC 上
两点，过点A 作AF
AD
^
，垂足是A，过点C 作CF
BC
^
，垂足是C，交AF 于点F，连接EF ，其中
DE
EF
=
．下列结论：①AD
AE
=
；②
45
DAE
Ð
=
° ；③若
10
ABC
S
=
△
，
4
ADE
S
=
△
．则
6
AECF
S
=
四边形
；
④CE
BD
DE
+
<
．其中正确的是______．（填序号）
◆题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题
7．（25-26 七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形ABC 中，
4
AB =
，ABC
V
的面积为6，BD 平分
ABC
Ð
．若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM
MN
+
的最小值为________．
8．（25-26 八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，ABC
V
是等边三角形．
2,
AB
AD
=
是边BC 上的高，点E 在
边AD 上运动，连接BE ，以BE 为边在其下方作等边BEF
V
，连接DF 、CF ，则DF 的最小值为_______．
9．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）综合与实践
【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在ABC
V
中，AB
AC
=
，
90
A
Ð
=
°，
点D、E 分别是AB
AC
、
上的动点，且AD
CE
=
，试探究BE
CD
+
的最小值．
【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，
再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点C 作CF
AB
∥
，且使CF
AC
=
，连接EF ．在【问题呈现】的条件下，完成下
列问题：
（1）证明：DC
EF
=
；
（2）连接__________，BE
CD
+
的最小值即为线段__________的长度．
【方法应用】如图③，在ABC
V
中，
50
BAC
Ð
=
° ，AB
AC
=
，BD
AC
^
于点D，点M、N 分别是线段BD
BC
、
上的动点，且BM
CN
=
，当AM
AN
+
的值最小时，
MAD
Ð
的度数为__________．
◆题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题
10．（25-26 七年级上·山东泰安·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，
6cm
AB
AC
=
=
，若O 是BC 的中
点，动点M 在AB 上移动，动点N 在AC 上移动，且AN
BM
=
．
(1)证明：OM
ON
=
；
(2)四边形AMON 面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON 的面积．
11．（24-25 七年级下·四川成都·期末）ABC
V
中，AB
AC
=
，点P 为边AC 上一动点．
(1)如图1，过点A 作AD
BP
^
于点D，以AD 为边作ADE
V
，使AD
AE
=
，且
BAC
DAE
Ð
= Ð
，作射线ED
交BC 于点F．
①求证：BD
CE
=
，
BDF
DEC
Ð
= Ð
；
②求证：BF
CF
=
；
(2)如图2，
3
3
AP
CP
=
=
，
100
BAC
Ð
=
° ，N为ABC
V
内一动点，且HN
HA
HB
=
=
，M为HN 中点，连接
,
BM PN ，
当BM
PN
+
最小时，求
APN
Ð
的度数．
12．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）在ABC
V
中，
ABC
Ð
为锐角，点M 为射线AB 上一动点，连结CM ，
以点C 为直角顶点，以CM 为直角边在CM 右侧作等腰直角CMN
V
，连结NB ．
(1)当ABC
V
是等腰直角三角形且
90
ACB
Ð
=
°时．
①问题初现：如图①，若点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，则BN 与AM 所在直线的位置关系
是______；
②深入探究：如图②，若点M 在线段AB 的延长线上，判断BN 与AM 所在直线的位置关系，并说明理由；
(2)当ABC
V
不是等腰三角形且
90
ACB
Ð
<
° 时，如图③．若点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，
45
ABC
Ð
=
° ，判断BN 与AM 所在直线的位置关系，并证明你的结论．
◆题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题
13．（25-26 八年级上·甘肃平凉·期中）在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已
有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)操作判断：如图1，ABC
V
和ADE
V
互为“兄弟三角形”，点A 为重合的顶角顶点．请直接写出线段BD 与CE
之间的数量关系：____．
(2)性质探究：如图2，ABC
V
和ADE
V
互为“兄弟三角形”，点A 为重合的顶角顶点，
,
D E 均在ABC
V
外，连
接BD
CE
、
，试说明（1）中BD 和CE 之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程．
14．（23-24 七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线
交于点Q，则我们把
AQB
Ð
称为
APB
Ð
的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1，CD，BE 分别是ABC
V
的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道
DBE
Ð
是
DCE
Ð
的“边
垂角”或
DCE
Ð
是
DBE
Ð
的“边垂角”，
DAE
Ð
的“边垂角”是______；
(2)若
AQB
Ð
是
APB
Ð
的“边垂角”，则
AQB
Ð
与
APB
Ð
的数量关系是______；
(3)若
ACD
Ð
是
ABD
Ð
的“边垂角”，且AB
AC
=
．如图2，BD 交AC 于点E，点C 关于直线BD 对称点为点
F，连接AF ，EF ，且
45
CAF
Ð
=
°，求证：BE
CF
CE
=
+
．
15．（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等
积三角形．
如图1，在ABC
V
中，
10
AB =
，
6
AC =
，
9
BC =
．
①若Q 是AB 上一点，
5
AQ =
，则CAQ
V
与
CBQ
△
______偏等积三角形（填“是”或“不是”）；
②若P 为AC 上一点，当AP 的长为______时，ABP
V
与
CBP
△
是偏等积三角形；
（2）运用定义：如图2，D 为BC 上一点，ABD
V
与ACD
V
是偏等积三角形，
4
AB =
，
12
AC =
，且线段AD
的长为偶数，则AD 的长为______；
（3）拓展加深：
①如图3，CA
CB
=
，CD
CE
=
，
90
0
90
ACB
DCE
BCE
Ð
= Ð
=
°
° < Ð
<
° ．
求证：ACD
V
与BCE
V
是偏等积三角形；
②如图4，ABC
V
与ADE
V
是偏等积三角形，AB
AE
=
，AC
AD
=
，求证：
180
BAC
DAE
Ð
+ Ð
=
°．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在ABC
V
中，
80
ABC
Ð
=
°，BD 平分
ABC
Ð
，P 为线
段BD 上一动点，Q 为边AB 上一动点，当AP
PQ
+
的值最小时，
APB
Ð
的度数是（ ）
A．120°
B．125°
C．130°
D．135°
2．（25-26 八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，动点C 与线段AB 构成ABC
V
，其边长满足
8,
2
2,
2
4
AB
CA
a
CB
a
=
=
+
=
-
．点D 在
ACB
Ð
的平分线上，且
90
ADC
Ð
=
° ，则ABD
V
的面积的最大值为
（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15
3．（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，AO
OM
^
，
6
OA =
，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以
OB ，AB 为直角边，点B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt
OBF
△
、等腰Rt
ABE
△
，连接EF 交OM 于P
点，当点B 在射线OM 上移动时，则PB 的长度为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．2.5
4．（25-26 八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，ABC
V
中，AB
AC
>
，AD 是ABC
V
中线，有下面四个结论：
①ABD
V
与ACD
V
的面积相等；②
1
2
AD
AB
AC
<
+
；③若点P 是线段AD 上的一个动点（点P 不与点
,
A D
重合），连接
,
PB PC ，则ABP
V
的面积比ACP
V
的面积大；④点
,
P Q 是
,
A D所在直线上的两个动点（点P 与
点Q 不重合），若DP
DQ
=
，连接
,
PB QC ，则PB QC
P
．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．②③
D．①④
二、填空题
5．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，AB
BC
^
，DC
BC
^
，垂足分别为B ，C ，
6
AB =
，
8
BC = ，
2
CD =
，点P 为BC 边上一动点，当BP =________时，形成的Rt ABP
V
与Rt
PCD
△
全等．
6．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，在ABC
V
中，AC
BC
=
，
4
AB =
，ABC
V
的面积为10，作
AD
AC
^
，且AD
AC
=
，连接BD ，点E 为射线AB 上的动点，当DE 的长度最短时，BDE
V
的面积为________．
7．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC
V
中，
6,
90 ,
,
AC
BAC
E D
=
°
=
Ð
分别为边
,
AB AC 上的动
点，且AE
CD
=
，连接
,
BD CE ．当CE
BD
+
取最小值时，
BDC
AEC
S
S
+
=
V
V
_____．
8．（25-26 七年级下·江西景德镇·期末）如图，在ABC
V
中
90
A
Ð
=
°，
12cm
AB =
，
5cm
AC =
，过点B 作
BM
AB
^
．动点E 从A 点出发以3cm/s 的速度沿射线AB 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点的运动而
运动，始终保持ED
CB
=
．若点E 的运动时间为t 秒（
0
t >
），则当以B，E，D 为顶点的三角形与ABC
V
全
等时，t 的值为________秒．
三、解答题
9．（25-26 八年级上·广东江门·期中）如图，
90
B
Ð
=
° ，AB
DF
∥
，
4cm
AB =
，
10cm
BD =
，点C 是线段BD
上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC
CE
^
．
(1)如图1，求证：
ACB
CED
Ð
= Ð
．
(2)利用图2 画图并解答：若AC
CE
=
，试求BC 的长．
10．
（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，在Rt
ABC
△
中，
90
9cm
12cm
15cm
C
BC
AC
AB
Ð
=
°
=
=
=
，
，
，
，
现有一动点P ，从点A 出发，沿着三角形的边AC
CB
BA
®
®
运动，回到点A 停止，速度为3cm / s ，设运
动时间为st ．
(1)如图①，当t = ___________时，
APC
△
的面积等于ABC
V
面积的一半；
(2)如图②，在DEF
V
中，
90
6cm
7cm
E
DE
DF
D
A
Ð
=
°
=
=
Ð
= Ð
，
，
，
．在ABC
V
的边上，若另外有一个动
点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB
BC
CA
®
®
运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好APQ
DEF
V
V
≌
，求点Q 的运动速度．
11．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图，已知ABC
V
中，
90
C
Ð
=
° ，
45
ABC
Ð
=
° ．点E 为ABC
V
边BC
上的动点，过A 作AF
AE
^
，且AF
AE
=
，连结BF 交直线AC 于点P．
(1)求证：AC
BC
=
；
(2)若
2
BC =
，点E 为BC 的中点，请求出AP
CP 的值；
(3)若点E 为射线CB 上的动点，
5
4
BC
BE =
，试求出AP
CP 的值．
12．（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形．
(1)【初步尝试】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
Ð
=
o ，
13
AB =
，
12
BC =
，
5
AC =
，点P 为AC 上一点，当
AP = _____时，ABP
V
与
CBP
△
为积等三角形．
(2)【理解运用】如图，ABD
V
与ACD
V
为积等三角形，若
3
AB =
，
5
AC =
，且线段AD 长为正偶数，求AD
的长．
(3)【综合应用】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
Ð
=
o，分别以AC ，AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，
连接EG，求证：AEG
V
和ABC
V
为积等三角形．
13．（25-26 八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做
积等三角形．
【初步尝试】（1）如图1，在ABC
V
中，AB
AC
>
，
4
BC =
，P 为边BC 上一点，若ABP
V
与ACP
V
是积等
三角形，则BP 的长为__________．
【理解运用】（2）如图2，ABD
V
与ACD
V
为积等三角形，若
2
AB =
，
4
AC =
．
①求AD 的取值范围；
②当AD 的长度为正整数时，则
________
AD =
．
【综合应用】（3）如图3，在Rt
ABC
△
中
90
BAC
Ð
=
° ，AB
AC
=
，过点C 作MN
AC
^
，点D 是射线CM 上
一点，以AD 为边作Rt
ADE
△
，
=90
DAE
Ð
°，AD
AE
=
，连接BE ．请判断BAE
V
与ACD
V
是否为积等三角
形，并说明理由．
