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专题06 三角形的认识与全等三角形综合
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 三角形的
认识
2025 福建中考
2024 福建中考
2023 福建中考
2022 福建中考
考查形式多样，选择题、填空题、解答题均会出
现。命题大量采用情境化、动手操作类设计，三
角尺拼接、生活实物模型、尺规作图、图形平移
变换等素材频繁出现。核心围绕三角形三边关
系、内角性质、特殊三角形（等腰、等边三角形）、
直角三角形斜边中线定理展开，重点考查角度计
算、边长求值、几何证明，同时常设全等判定、
图形变换结合的综合考题。基础小题整体难度偏
低，解答题侧重综合推理；近四年命题逐步强化
图形变换融合设问，数形结合、模型化几何设问
占比逐年提升。
考点02 全等三角
形的判定与性质
2026 福建中考
2025 福建中考
2023 福建中考
2022 福建中考
大多以基础解答证明题形式考查。命题图形简洁
规整，常结合等边三角形、线段和差等量变换构
造条件。核心围绕SAS、ASA、AAS、SSS 四
种全等判定展开，高频考查利用等式性质推导相
等角、相等边；设问一般为证明线段相等、角相
等。整体难度基础，阅卷重点关注证明步骤规范；
近四年持续侧重条件等量代换，极少直接给出全
部对应相等条件，单纯HL 直角全等考查频次很
低。
考点01 三角形的认识
1．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆
放，其中点A，E，C，F 在同一条直线上，
90 ,
45 ,
60
BAC
EDF
B
DEF
．当AD
BC 时，ADE
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的大小为（
）
A．5
B．15
C．25
D．35
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到
45
DAE
BCA
，再
根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：∵
90 ,
45
BAC
B
，
∴
45
ACB
，
∵AD
BC ，
∴
45
DAE
ACB
，
∵
60
DEF
DAE
ADE
，
∴
15
ADE
；
故选：B．
2．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB
与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE
OF
．下
列推断错误的是（
）
A．OB
OD
B．
BOC
AOB
C．OE
OF
D．
180
BOC
AOD
【答案】B
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；
A.由对称的性质得
AOB
DOC
，由等腰三角形的性质得
1
2
BOE
AOB
，
1
2
DOF
DOC
，即可
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判断；
B.
BOC
不一定等于
AOB
，即可判断；
C.由对称的性质得OAB
ODC
≌
，由全等三角形的性质即可判断；
D. 过O作GM
OH
，可得
GOD
BOH
，由对称性质得
BOH
COH
同理可证
AOM
BOH
，
即可判断；
掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A.
OE
OF
，
90
BOE
BOF
，
由对称得
AOB
DOC
，
点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OAB与ODC 都是等腰三角形，
1
2
BOE
AOB
，
1
2
DOF
DOC
，
90
BOF
DOF
，
OB
OD
，结论正确，故不符合题意；
B.
BOC
不一定等于
AOB
，结论错误，故符合题意；
C.由对称得OAB
ODC
≌
，
∵点E ，F 分别是底边AB
CD
，
的中点，
OE
OF
∴
，结论正确，故不符合题意；
D.
过O作GM
OH
，
90
GOD
DOH
，
90
BOH
DOH
，
GOD
BOH
，由对称得
BOH
COH
，
GOD
COH
，
同理可证
AOM
BOH
，
AOD
BOC
AOD
AOM
DOG
180
，结论正确，故不符合题意；
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故选：B．
3．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤：
①在OA 和OB 上分别截取
,
OC OD ，使OC
OD
；
②分别以
,
C D 为圆心，以大于1
2 CD 的长为半径作弧，两弧在
AOB
内交于点M ；
③作射线OM ，连接
,
CM DM ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（）
A．
1
2
且CM
DM
B．1
3
且CM
DM
C．
1
2
且OD
DM
D．
2
3
且OD
DM
【答案】A
【分析】由作图过程可得：
,
OD
OC CM
DM
，再结合DM
DM
可得
SSS
COM
DOM
≌
，由全等三
角形的性质可得
1
2
即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：
,
OD
OC CM
DM
，
∵DM
DM
，
∴
SSS
COM
DOM
≌
．
∴
1
2
．
∴A 选项符合题意；
不能确定OC
CM
,则1
3
不一定成立，故B 选项不符合题意；
不能确定OD
DM
,故C 选项不符合题意，
OD
CM 不一定成立，则
2
3
不一定成立，故D 选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是
解答本题的关键．
4．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m 的值可以是（
）
A．1
B．5
C．7
D．9
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【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得4
3
4
3
m
，即1
7
m
，
故m 的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
5．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，
27
ABC
，
BC＝44cm，则高AD 约为（
）（参考数据：sin 27
0.45
，cos 27
0.89
，tan 27
0.51
）
A．9.90cm
B．11.22cm
C．19.58cm
D．22.44cm
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得
1
22
2
DC
BC
cm，根据等腰三角形的性质及
27
ABC
，可得
27
ACB
ABC
，在Rt
ADC
△
中，由
tan 27
AD
CD
，求得AD 的长度．
【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD 为BC 边上的高，
∴
1
2
DC
BC
，
∵BC＝44cm，
∴
1
22
2
DC
BC
cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC，
27
ABC
，
∴
27
ACB
ABC
．
∵AD 为BC 边上的高，
27
ACB
，
∴在Rt
ADC
△
中，
tan 27
AD
CD
，
∵tan 27
0.51
，
22
DC
cm，
∴
0.51 22
11.22
AD
cm．
故选：B．
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【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
6．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱AD
BC
，E，F 分别是斜梁AB ，AC 的中点．若
8m
AB
AC
，则DE 的长为_______m．
【答案】4
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的
关键．根据AD
BC
，得出
ABD 为直角三角形，根据直角三角形的性质得出
1
4m
2
DE
AB
．
【详解】解：∵AD
BC
，
∴
ABD 为直角三角形，
∵E 是斜梁AB 的中点，
∴
1
4m
2
DE
AB
．
故答案为：4．
7．（2025·福建·中考真题）如图，ABC 是等边三角形，D 是AB 的中点，CE
BC
，垂足为C，EF 是由CD
沿CE 方向平移得到的．已知EF 过点A，BE 交CD 于点G．
(1)求
DCE
的大小；
(2)求证：CEG 是等边三角形．
【答案】(1)60
(2)
证明：由平移可知：CD
EF
∥
，
30
EAC
DCA
，
又
30
ECA
BCE
ACB
，
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EAC
ECA
，
∴
,
120
AE
CE
AEC
，
又
AB
CB
，
BE 垂直平分AC ，
1
60
2
GEC
AEC
，
由（1）知，
60
GCE
，
60
EGC
，
GEC
GCE
EGC
，
CEG
是等边三角形．
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的
性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想
等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）等边三角形的性质推出
30
DCB
，垂直，得到
90
BCE
，角的和差关系求出
DCE
的大小即可；
（2）平移得到CD
EF
∥
，进而得到
30
EAC
DCA
，角的和差关系推出
EAC
ECA
，进而得到
,
120
AE
CE
AEC
，根据AB
CB
，推出BE 垂直平分AC ，进而得到
1
60
2
GEC
AEC
，推出
GEC
GCE
EGC
，进而得到CEG 是等边三角形即可．
【详解】（1）解：
ABC 是等边三角形，
60
ACB
．
D 是AB 的中点，
1
30
2
DCB
DCA
ACB
．
CE
BC
，
90
BCE
，
60
DCE
BCE
DCB
．
（2）略
考点02 全等三角形的判定与性质
1．（2026·福建·中考真题）如图，ABC 是等边三角形，BD
BC
，CE
BC
，BD
CE
．求证：AD
AE
．
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【答案】证明：
BD
BC
，CE
BC
，
90
CBD
BCE
．
ABC 是等边三角形，
AB
AC
，
60
ABC
ACB
．
150
ABD
ACE
．
在
ABD 和
ACE
△
中，
,
,
,
AB
AC
ABD
ACE
BD
CE
ABD
ACE SAS
≌
．
AD
AE
∴
．
【分析】先根据BD
BC
、CE
BC
的垂直条件，得到
90
CBD
BCE
．结合等边三角形的性质，得
到AB
AC
，
60
ABC
ACB
．推导
ABD
与
ACE
的大小关系，判断二者是否相等．因为已知BD
CE
，
可通过SAS 判定
ABD 和ACE全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证AD
AE
．
【详解】略
2．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F 分别在
,
AB AD 的延长线上，
,
CBE
CDF
ACB
ACD
．求
证：AB
AD
．
【答案】
证明：
,
180 ,
180
CBE
CDF
ABC
CBE
ADC
CDF
Q
，
ABC
ADC
．
在ABC 和ADC 中，
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ABC
ADC
ACB
ACD
AC
AC
，
ABC
ADC
≌
，
AB
AD
．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证
明
ABC
ADC
，AAS 证明ABC
ADC
≌
，即可得出结论．
【详解】略
2．（2023·福建·中考真题）如图，
,
,
OA
OC OB
OD
AOD
COB
．求证：AB
CD
．
【答案】
证明：
AOD
COB
，
,
AOD
BOD
COB
BOD
即
AOB
COD
．
在AOB 和
COD
△
中，
,
,
,
OA
OC
AOB
COD
OB
OD
AOB
COD
△
≌△
AB
CD
．
【分析】根据已知条件得出
AOB
COD
，进而证明AOB
COD
≌
，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】略
【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，
掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
4．（2022·福建·中考真题）如图，点C，F 在BE 上，BF
EC
，
=
AB DE ，
B
E
．
求证：
A
D
．
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【答案】
证明：∵BF
CE
，
∴BC
EF
，
又∵
=
AB DE ，
B
E
，
∴
SAS
ABC
DEF
≌
∴
A
D
．
【分析】利用BF
CE
得出BC
EF
，再利用SAS 证明ABC
DEF
≌
，根据全等三角形的对应角相等，即
可得出
A
D
．
【详解】略
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键．
1．（2026·福建厦门·三模）如图，将直尺与含45角的直角三角尺叠放在一起，三角尺的顶点落在直尺的边
上．若
1
20
，则
2
的度数是（
）
A．45
B．55
C．65
D．75
【答案】C
【分析】根据角的和差关系，两直线平行，同旁内角互补，以及三角形的外角的性质，进行求解即可.
【详解】解：由图和题意，可知：
1
3
90 ,
3
4
180 ,
5
45 ,
4
2
5
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∵
1
20
，
∴
3
70
，
∴
4
110
，
∴
2
110
45
65
.
2．（2026·福建福州·模拟预测）将一副三角板按图中方式叠放，则
等于（
）．
A．45
B．60
C．75
D．90
【答案】C
【分析】根据三角形的外角的定义计算即可．
【详解】解：如图，
为BCF 的外角，由题可知，
30 ,
45
EBD
ACB
，
75
EBD
ACB
．
3．
（2026·福建漳州·模拟预测）如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，
90
BAC
DAE
．若
2
DAC
BAE
=
，
则
BAD
的度数为（
）
A．45
B．30
C．22.5
D．15
【答案】B
【分析】由同角的余角相等可知，
BAD
CAE
，再结合
2
DAC
BAE
=
，即可求解出
BAD
的度数．
【详解】解：设
BAD
，
∵
90
BAD
BAE
，
90
CAE
BAE
，
∴
BAD
CAE
，
90
BAE
，
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∵
2
DAC
BAE
=
，
∴
90
2 90
，
解得
30
，
30
BAD
．
4．
（2026·福建泉州·一模）如图，
,
CA CB 为
DCE
的三等分线，BE
CB
交CE 于点E，已知
ABE
E
DCE
=
+
，
20
A
，则
E
的度数为（
）
A．75
B．70
C．65
D．60
【答案】B
【分析】根据三等分线定义可设
ECB
ACB
ACD
x
，得到
90
E
x
，
160
ABC
x
，
90
2
ABE
x
，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案．
【详解】解：∵
,
CA CB为
DCE
的三等分线，
∴可设
ECB
ACB
ACD
x
，
则
3
DCE
x
，
∵BE
CB
交CE 于点E，
∴
90
CBE
，
∴
180
90
E
CBE
BCE
x
，
∵
20
A
，
∴
180
160
ABC
A
ACB
x
，
∴
90
3
90
2
ABE
E
DCE
x
x
x
，
∵
360
ABE
ABC
CBE
，
∴90
2
160
90
360
x
x
，
解得
20
x
，
∴
90
70
E
x
．
5．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在ABC 中，点D 在AB 上，DE
BC
∥
交AC 于点E ，点F 在BC 上，
AF 与DE 交于点G ．下列角中，与
AED
∠
相等的是（
）．
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A．
ACB
B．
EGF
C．
AFB
D．
BAF
∠
【答案】A
【分析】直接根据两直线平行、同位角相等以及三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：∵DE
BC
∥
，
∴
AED
ACB
，即A 选项符合题意；
∵AF 与AC 不平行，
∴
AED
EGF
，即选项B 不符合题意；
由
AFB
ACB
FAC
AED
FAC
AED
，即选项C 错误；
BAF
∠
与
AED
∠
没有直接关系，即选项D 错误．
6．（2026·福建南平·三模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常
生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB ，CE ，DE 分别为前叉、下管和立管（点C 在AB 上），EF
为后下叉．已知AB
DE
∥
，AD
EF
∥
，
67
BCE
，
133
CEF
，则
ADE
的度数为（
）
A．57
B．66
C．67
D．74
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，内错角相等．由AB
DE
∥
，推出
BCE
CED
，从而求出
DEF
，又因为AD
EF
∥
，所以
ADE
DEF
．
【详解】
AB
DE
∥
，
67
BCE
CED
，
133
67
66
DEF
CEF
CED
，
AD
EF
∥
，
66
ADE
DEF
7．（2026·福建厦门·三模）《天工开物》中记载我国古代的提水工具“桔槔（jiégāo）”，它是由竖立的架子
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和一根细长的杠杆组成．如图是“桔槔”的简易装置图，图中与
1
是内错角的是（
）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
【答案】A
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可．
【详解】解：图中与
1
是内错角的是
2
．
8．（2026·福建福州·二模）光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做
光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线a ，b ，且a b，一束光线AB 从空气斜射入该
玻璃，B 为入射点，CD 为法线，BE 为折射光线，BF 为入射光线AB 的延长线，若
60
ABC
，
25
EBF
，
则的度数是（
）
A．35
B．55
C．60
D．85
【答案】B
【分析】先利用对顶角相等的性质得
60
FBD
ABC
，通过角度差计算出
DBE
，接着依据“一条直
线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由CD
a
且a b推导出CD
b
，得
到直角
BDE
，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角的度数．
【详解】解：∵
60
FBD
ABC
，
25
EBF
，
∴
35
DBE
FBD
EBF
，
∵CD 为法线，
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∴CD
a
，
∵a b，
∴CD
b
，
∴
90
BDE
，
∴
90
55
DBE
．
9．（2026·福建福州·三模）如图，在8 4
的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC 的三个顶点
在图中相应的格点上，则tan BAC
的值为（
）
A．1
3
B．
1
2
C．
5
5
D．2 5
5
【答案】B
【分析】取格点D ，连接BD ，根据网格特征和勾股定理逆定理可知
90
ABD
，再根据正切函数的定义
即可得出答案．
【详解】解：如图，取格点D ，连接BD ，
∵
2
2
2
2
2 2
AB
，
2
2
1
1
2
BD
，
2
2
1
3
10
AD
，
∴
2
2
2
AB
BD
AD
，
∴
ABD 为直角三角形，
90
ABD
，
∴
2
1
tan
2
2 2
BD
BAC
AB
．
10．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在等腰Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，点D 为AC 的中点，连接
,
BE BD，
点E 与点C 关于BD 对称，连接
,
DE CE ，则AB
CE 的值为（
）
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A．
5
5
B．
5
4
C．2 5
5
D．
5
2
【答案】D
【分析】设AD
CD
a
，求出
2
AB
AC
a
，
4 5
5
CE
，即可求出答案．
【详解】解：设AD
CD
a
，
∵ABC 是等腰直角三角形，
90
BAC
∴
2
AB
AC
a
在Rt ABD 中，
2
2
2
2
2
5
BD
AB
AD
a
a
a
∵点E 与点C 关于BD 对称
∴BD 垂直平分CE ，
设BD 与CE 交于点F，则
1
2
CF
CE
，BD
CE
∵
1
1
2
2
BCD
S
CD AB
BD CF
，
∴
2
5
a
a
a CF
∴
2
2 5
5
5
a
a
a
CF
a
，
∴
4 5
2
5
a
CE
CF
∴
2
5
2
4 5
5
AB
a
CE
a
．
11．（2026·福建莆田·模拟预测）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学
家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、四边形BEFG 、
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四边形AHIG 均为正方形．若
20
AHIG
S
正方形
，
4
ABCD
S
正方形
，则GF 的值为（
）．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据正方形AHIG 的面积求出边长AG 、GI ，根据正方形ABCD的边长求出AB ，在Rt ABG 中利
用勾股定理求出BG ，进而得到正方形BEFG 的边长GF ．
【详解】解：∵AHIG 为正方形，
20
AHIG
S
正方形
，
∴
20
AG
GI
，
∵ABCD为正方形，
4
ABCD
S
正方形
，
∴
2
AB
AD
，
90
ABC
，
∴在Rt ABG 中，
2
2
2
20
2
4
BG
AG
AB
，
∵BEFG 为正方形，
∴
4
GF
BG
．
12．
（2026·福建泉州·二模）设抛物线
2
2
2
1
y
x
mx
m
的顶点为P ，与x 轴分别交于A
B
、
两点，判定PAB
的形状是（
）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形
【答案】B
【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再求抛物线与x 轴交点得到AB 的长度，利用抛物线对称性得到
PAB 为等腰三角形，再根据线段长度关系判断三角形形状．
【详解】解：∵
2
2
2
2
1
(
)
1
y
x
mx
m
x
m
，
∴顶点P 的坐标为
, 1
m
，P 到x 轴的距离为1
令
0
y
，得
2
(
)
1
0
x
m
，
解得
1
1
x
m
，
2
1
x
m
，
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∴
,
A B 两点在x 轴上的坐标为
1,0
m
和
1,0
m
，
可得
1
1
2
AB
m
m
∵抛物线对称轴为x
m
，顶点P 在对称轴上，
∴PA
PB
，
PAB
是等腰三角形，
∵P 到AB 的距离为1，满足P 到AB 的距离
1
2 AB
，
可得
90
APB
，
∴
PAB
是等腰直角三角形．
13．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在等边ABC 中，
4
AC
，BF 是AC 上中线，点D 在BF 上，连
接AD ，以AD 为边作等边ADE ，连接EF ，则AEF 周长的最小值是（
）
A．2
2 3
B．2
3
C．4
2 3
D．6
【答案】A
【分析】连接CE ，首先证明点E 在射线CE 上运动，
30
ACE
，作点A 关于直线CE 的对称点M，连接
FM 交CE 于E，连接EM ，此时AE
EF
的值最小，然后判断出ACM 是等边三角形，根据等边三角形
三线合一得出FM
AC
，即可得出答案
【详解】解：如图，连接CE ，
∵ABC ，ADE 是等边三角形，
∴AB
AC
，AD
AE
，
60
BAC
DAE
ABC
，
∴
BAD
CAE
，
∴
BAD
CAE
△
≌△
，
∴
ABD
ACE
．
∵BF 是AC 上中线，
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∴
1
2
2
AF
CF
AC
，
30
ABD
CBD
，
∴
30
ACE
∴点E 在射线CE 上运动（
30
ACE
）．
作点A 关于直线CE 的对称点M，连接FM 交CE 于E，连接EM ，
即有：AE
EM
，
∴AE
EF
EM
EF
，
当F、E、M 三点共线时，有AE
EF
最小值，最小为AE
EF
FE
EM
FM
，
根据图形可知：当点E 与点E重合时，满足要求，
此时AE
FE
的值最小，最小为AE
FE
ME
FE
FM
,
则有
2
AE
FE
AF
FM
最小，
即AEF 周长的最小值，最小值为：
2
FM
，
根据对称性可知
30
ACE
MCE
，
∴
60
ACM
，
∵CA
CM
，
∴ACM 是等边三角形，
∴
4
AC
AM
，
∵
2
AF
CF
，
∴FM
AC
，
∴
2
2
2 3
FM
AM
AF
，
AEF 周长的最小值为：
2
2 3
2
FM
﹒
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及最短路径问题，综合性
较强．确定点E 在射线CE 上运动（
30
ACE
），是解答本题的关键．
14．（2026·福建漳州·模拟预测）已知在ABC 中，
90
C
，D 为AB 上一点，且AC
CD
，要在线段BA
的延长线上求作一点E，使得CE
CD
，垂足为C．下面选项中尺规作图的痕迹错误的是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【详解】解：A．由作法可知CE
CD
，符合题意；
B．由作法可知
ECA
DCB
，
∵
90
ACD
DCB
，
∴
90
ACD
ECA
，
∴
90
ECD
，
∴CE
CD
，符合题意；
C．由作法可知CE
CB
，
∴
CEA
CBD
．
∵AC
CD
，
∴
CAD
CDA
，
∴
CAE
CDB
，
∴
AAS
CAE
CDB
≌
，
∴
ECA
DCB
，
由B 可知，CE
CD
，符合题意；
D．由作法可知AE
AC
，由此作法无法说明CE
CD
，故不符合题意．
15．（2026·福建南平·一模）如图，在3 3
的正方形网格中，A，B 两点在格点上，线段AB 绕点A 逆时针
旋转一定的角度后得到线段AC ，点B 与格点C 对应，则旋转角的大小可以为（
）
A．30
B．60
C．90
D．120
【答案】C
【分析】利用勾股定理以及逆定理求解．
【详解】解：如图，连接BC ，
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由勾股定理得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
5,
1
2
5,
1
3
10
AB
AC
BC
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
，
∴
90
BAC
．
16．（2026·福建南平·二模）一木工有四根长分别为30 厘米、50 厘米、60 厘米、90 厘米的木条，要选其
中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（
）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答
案．
【详解】解：①选30 厘米、50 厘米、60 厘米，
∵30
50
80
60
，
∴选30 厘米、50 厘米、60 厘米能钉成一个三角木架，符合题意；
②选30 厘米、50 厘米、90 厘米，
∵30
50
80
90
，
∴选30 厘米、50 厘米、90 厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意；
③选30 厘米、60 厘米、90 厘米，
∵30
60
90
，
∴选30 厘米、60 厘米、90 厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意；
④选50 厘米、60 厘米、90 厘米，
∵50
60
110
90
，
∴选50 厘米、60 厘米、90 厘米能钉成一个三角木架，符合题意；
综上所述，木工的选法有2 种．
17．（2026·福建泉州·一模）如图，点G 是Rt
ABC
△
的重心，
90
ACB
，
6
AB
，则CG 的长为（
）
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A．1
B．
3
C．2
D．3
【答案】C
【分析】延长CG 交AB 于D ，由重心得
1
3
2
CD
AB
，
2
CG
DG
，即可求解．
【详解】解：延长CG 交AB 于D ，
点G 是Rt
ABC
△
的重心，
90
ACB
，
AD
BD
，
2
CG
DG
，
1
3
2
CD
AB
，
2
2
3
CG
CD
．
18．（2026·福建漳州·三模）如图，ABC 中，
90
ABC
，
62
C
，分别以点A
C
，
为圆心，大于1
2 AC
的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E
F
，
两点，连接EF ，EF 与AC 交于点O，则
ABO
∠
的大小为（
）
A．28
B．30
C．31
D．38
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形
的性质等等，由作图方法可得EF 垂直平分AC ，则点O 是AC 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半推出OB
OC
，则
62
OBC
C
∠
∠
，据此可得答案．
【详解】解：由作图方法可得EF 垂直平分AC ，
点O 是AC 的中点．
90
ABC
，
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1
2
OB
OC
AC
．
62
OBC
C
．
28
ABO
ABC
OBC
．
故选：A．
19．（2026·福建福州·模拟预测）小明用两个全等的三角形设计了一个“燕尾”的平面图案，如图，
APB ≌
APC
△
，连接BC 并延长AP ，AP 的延长线与BC 交于点D ，则下列推断错误的是（
）
A．PD 平分
BPC
B．AP
BC
C．D 是BC 的中点
D．BC
PC
【答案】D
【分析】此题重点考查全等三角形的性质、等角的补角相等、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出
PB
PC
，且
BPD
CPD
是解题的关键．
由全等三角形的性质得PB
PC
，APB
APC
，则
BPD
CPD
，可判断A 不符合题意；由PB
PC
，
PD 平分
BPC
，得PD
BC
，BD
CD
，则AD
BC
，D 是BC 的中点，可判断B 不符合题意，C 不符
合题意；假设BC
PC
成立，则
PBC
△
是等边三角形，则
30
BPD
CPD
，推导出
150
APB
APC
，
与已知条件不符，可知BC
PC
不成立，可判断D 符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：
APB
APC
△
≌△
Q
，
PB
PC
，
APB
APC
，
180
180
APB
APC
，
BPD
CPD
，
PD
∴
平分
BPC
，
故A 不符合题意；
PB
PC
，PD 平分
BPC
，
PD
BC
，BD
CD
，
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AD
BC
，D 是BC 的中点，
故B 不符合题意，C 不符合题意；
假设BC
PC
成立，则BC
PB
PC
，
60
BPC
，
1
30
2
BPD
CPD
BPC
，
180
30
150
APB
APC
，与已知条件不符，
BC
PC
不成立，
故D 符合题意．
故选：D．
20．（2026·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即
利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为
3.1416．如图，
O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计
O 的面积，可得π的估
计值为3 3
2
，若用圆内接正八边形作近似估计，可得π的估计值为（
）
A．
5
B．2 2
C．3
D．2 3
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．作AC
OB
于C，利用等腰直角三角形的性质求出AOB 的面积，从而得出正八边形的面积，进
而解决问题．
【详解】解：如图，作AC
OB
于C，
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∵用半径为1 的圆的内接正八边形面积作近似估计，
∴
360
8
45
AOB
，
1
OA ，
∵AC
OB
∴OC
AC
，
2
2
2
1
OC
AC
AO
则
2
2
AC
OC
，
∴AOB 的面积为1
2
2
1
2
2
4
，
∴正八边形面积为
2
8
2 2
4
∴π的估计值为2 2 ．
故选：B．
21．（2026·福建龙岩·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
13,
5
AB
AC
，以A 为圆心，适当
长为半径画弧交
,
AB AC 分别于点D，E 两点，再分别以D，E 为圆心，以DE 的长为半径画弧，两弧交于点
F，作射线AF 交BC 于点G，则CG 的长为（
）
A．4
B．10
3
C．3
D．8
3
【答案】B
【分析】本题考查了尺规基本作图、角平分线、全等三角形和勾股定理等核心知识，熟练掌握5 种尺规基
本作图、全等三角形和用勾股定理建立方程是解决问题的关键．
过G 点作GH
AB
于H 点，利用勾股定理计算出
12
AC
，利用基本作图得到AF 平分
BAC
，则根据角
平分线的性质得到GH
GC
，再证明Rt
Rt
AGH
AGC
△
≌
△
，得到
5
AH
AC
，设CG
x
，则
12
BG
BC
GC
x
，在Rt
BHG
△
中，利用勾股定理，求出x 的值，即可．
【详解】解：过G 点作GH
AB
于H 点，如图，
13,
5,
AB
AC
90
C
，
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2
2
2
2
13
5
12
BC
AB
AC
，
由作图痕迹得AF 平分
BAC
，得
CAG
HAG
．
90 ,
C
90
C
AHG
，
在ACG 和AHG 中，
CAG
HAG
C
AHG
AG
AG
，
AAS
ACG
AHG
≌
．
5,
AH
AC
GH
GC
．
13
5
8
BH
AB
AH
．
设CG
x
，则
,
12
GH
x BG
BC
GC
x
，
在Rt
BHG
△
中，
2
2
2
BG
GH
BH
，
2
2
2
(12
)
8
x
x
，
解得
10 ,
3
x
10
3
CG
．
故选：B．
22．（2026·福建南平·三模）如图，P 是线段AB 所在直线上的一动点，点C
D
、
在AB 的两侧，CA
AB
，
DB
AB
，
4
AB
，
3
AC
，
2
DB
，连接PC
PD
、
，分别取PC
PD
、
的中点M
N
、
，连接MN ．随着点
P 的运动，线段MN 的长（
）
A．随着点P 的位置变化而变化
B．保持不变，长为5
2
C．保持不变，长为2
D．保持不变，长为
41
2
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，连接CD ，过点C 作CE
DB
，
交DB的延长线于E ，可得四边形ABEC 为矩形，即得
3
BE
AC
，
4
CE
AB
，得到
5
DE
DB
BE
，
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进而由勾股定理得
2
2
41
CD
DE
CE
，再根据三角形中位线的性质得到
1
41
2
2
MN
CD
，据此即可
求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接CD ，过点C 作CE
DB
，交DB的延长线于E ，
∵CA
AB
，DB
AB
，
∴
90
CAB
ABE
E
，
∴四边形ABEC 为矩形，
∴
3
BE
AC
，
4
CE
AB
，
∴
2 3
5
DE
DB
BE
，
∴
2
2
2
2
5
4
41
CD
DE
CE
，
∵点M
N
、
分别为PC
PD
、
的中点，
∴MN 为PCD 的中位线，
∴
1
41
2
2
MN
CD
，
即MN 的长保持不变，长为
41
2 ，
故选：D ．
23．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B，C 在直线l 上，AD
l
，AD
BE
CF
∥
∥
，且过点D，E，
F 三点的圆的圆心在直线l 上．若
1
AD
CF
，
2
BE
，则AB BC
的值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了圆的相关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握运用平方差公式进行化简
计算是解题的关键．
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设圆心为O，连接OD
OE
OF
，
，
，先证DAO
FCO
≌
，得到OA
OC
，将AB BC
化简变形得到
2
2
AB BC
OA
OB
OC
OB
OA
OB
OA
OB
OA
OB
，由勾股定理得
2
2
2
OA
OD
AD
，
2
2
2
OB
OE
BE
，代入，即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接OD
OE
OF
，
，
，则OD
OE
OF
，
AD
l
，AD
BE
CF
∥
∥
，
BE
l
FC
l
，
，
90
DAO
FCO
，
又
1
AD
CF
OD
OF
，
，
DAO
FCO HL
≌
，
OA
OC
，
由勾股定理得
2
2
2
OA
OD
AD
，
2
2
2
OB
OE
BE
，
则
AB BC
OA
OB
OC
OB
OA
OB
OA OB
2
2
OA
OB
2
2
2
2
OD
AD
OE
BE
2
2
4 1
3
BE
AD
．
故选：A．
24．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，ABC 是等腰三角形，
36
AB
AC
A
，
．以点B 为圆心，任意
长为半径作弧，交AB 于点F，交BC 于点G，分别以点F 和点G 为圆心，大于1
2 FG 的长为半径作弧，两
弧相交于点H，作射线BH 交AC 于点D；分别以点B 和点D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作弧，两弧相
交于M、N 两点，作直线MN 交AB 于点E，连接DE ．以下结论错误的是（
）
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A．
AED
ABC
B．
2
BC
ED
C．BC
AE
D．当
2
AC
时，
5
1
AD
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直
平分线的性质．根据等腰三角形两底角相等与
36
A
，得到
72
ABC
C
，根据角平分线定义得到
36
ABD
CBD
，根据线段垂直平分线性质得到EB
ED
，得到
EBD
EDB
，推出
EDB
CBD
，
得到DE
BC
∥
，推出
AED
ABC
，即可判断A；根据等角对等边得到
,
AD
AE AD
BD
，根据三角形
外角性质得到
72
BDC
C
，得到BC
BD
，推出BC
AE
，即可判断C；根据AED
ABC
∽
，得到
ED
AD
AD
BC
AC
AD
DC
，推出
5
1
2
ED
BC
，即可判断B；根据
2
AC
与，
5
1
2
CD
AD
，得到
5
1
2
2
AD
AD
，推出
5
1
AD
，即可判断D．
【详解】解：∵ABC 中，AB
AC
，
36
A
，
∴
1 180
72
2
ABC
C
A
，
由作图知，BD 平分
ABC
，MN 垂直平分BD ，
∴
1
36
2
ABD
CBD
ABC
，EB
ED
，
∴
EBD
EDB
，
∴
EDB
CBD
，
∴DE
BC
∥
，
∴
AED
ABC
，A 正确；
ADE
C
，
∴
AED
ADE
，
∴AD
AE
，
∵
A
ABD
，
∴AD
BD
，
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∵
72
BDC
A
ABD
，
∴
BDC
C
，
∴BC
BD
，
∴BC
AE
，C 正确；
设ED
x
，BC
a
，
则AD
a
，BE
x
，
∴CD
BE
x
，
∵DE
BC
∴AED
ABC
∽
，
∴ED
AD
AD
BC
AC
AD
DC
，
∴x
a
a
a
x
，
∴
2
2
0
x
ax
a
，
∵
0
x
，
∴
5
1
2
x
a
，
即
5
1
2
ED
BC
，B 错误；
当
2
AC
时，
2
CD
AD
，
∵
5
1
2
CD
AD
，
∴
5
1
2
2
AD
AD
，
∴
5
1
AD
，D 正确，
故选：B．
25．（2026·福建南平·二模）如图，在ABC 中，
90 ,
5
BAC
AB
AC
，点D 为AB 边上一点，且
2
AD
，
点E 在BC 边上（点E 不与点B、C 重合），将DBE 沿DE 折叠，使得点B 的对应点B落在BC 边上，则
线段AB的长为（
）
A．1
B．
5
C．10
D．13
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【答案】D
【分析】本题主要考查了翻折的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌
握翻折的性质及勾股定理．
根据等腰直角三角形的性质得出
45
B
，根据翻折的性质和线段的和差得出
3
DB，最后利用勾股定理
即可求解．
【详解】解：∵
90
BAC
，AB
AC
，
∴ABC 为等腰直角三角形，
45
B
，
由翻折的性质可得
45
DB B
B
，
90 ,
BDB
DB
DB
ⅱ
\ Ð
=
°
=
，
5,
2
AB
AD
=
=
，
5
2
DB
DB
AB
AD
¢
\
=
=
-
=
-
= 3 ，
在Rt
AB D
△
中，由勾股定理得，
2
2
4 9
13
AB
AD
DB
ⅱ=
+
=
+
=
，
故选：D．
26．（2026·福建厦门·二模）如图，已知ABC 是等边三角形，
2
AB
，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中
点，P 是AD 上一动点．则PE
PC
的最小值是（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．
5
【答案】C
【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接BE ，则BE 的
长度即为PE 与PC 和的最小值，再利用等边三角形的性质可得BE
AC
，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接BE ，与AD 交于点P ，
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∵ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，
∴AP
BC
，BD
CD
，即AD 垂直平分BC ，
∴PB
PC
，
PE
PC
PB
PE
BE
，
∴此时PE
PC
最小，即BE 就是PE
PC
的最小值，
ABC 是等边三角形，
60
BCE
，
2
BA
BC
AC
，E 是AC 的中点，
BE
AC
，
1
1
2
CE
AC
90
BEC
，
2
2
3
BE
BC
CE
，
故选：C．
27．（2026·福建厦门·模拟预测）勾股定理是我国古代数学发展的重要起源，中华数学传统文化中的精髓：
开方术、方程术等都与勾股定理密切相关，勾股定理在生活中有着极其广泛的应用．如图是某临街店铺在
窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C 距离地面
90cm（即
90cm
CE
），将其展开至点B 距离墙面170cm 的位置时（即水平距离
170cm
BD
），
190cm
AB
，
则此时棚骨外端B 离地面的垂直高度是（
）
A．
280
60 2 cm
B．
90
20 3 cm
C．
280
60 3 cm
D．
120 10 3 cm
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【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解题的关键．由勾股定理求出
60 2cm
AD
，
则
190
60 2 cm
CD
AC
AD
，再求出
280
60 2 cm
BF
DE
CD
CE
即可．
【详解】解：由题意可知，
90 ,
,
190cm
ADB
BF
DE AC
AB
，
∴
2
2
60 2cm
AD
AB
BD
，
∴
190
60 2 cm
CD
AC
AD
，
∴
280
60 2 cm
BF
DE
CD
CE
，
故选：A．
28．（2026·福建龙岩·二模）如图，已知
90
MON
，点A 是射线OM 上的一个定点，点B 是射线ON 上
的一个动点，且满足OB
OA
．点C 在线段OA 的延长线上，且AC
OB
．点D 在线段OB 上，且BD
OA
，
连接AB ，CD ．则
OBA
OCD
（
）
A．60
B．55
C．50
D．45
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，过
点B 作BF
ON
，过点C 作CF
OM
，交于点F，在CF 上截取CK ，使CK
OA
，连接BK ，AK ，得出
四边形OBFC 是矩形．由矩形的性质进一步证明
SAS
AOB
KCA
≌
，由全等三角形的性质进一步推出
ABK 是等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质得出
45
ABK
，再证明
SAS
COD
BFK
≌
，由全
等三角形的性质得出
OCD
FBK
，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过点B 作BF
ON
，过点C 作CF
OM
，交于点F，在CF 上截取CK ，使CK
OA
，
连接BK ，AK ，
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∵
90
MON
，
∴
90
OBF
OCF
MON
．
∴四边形OBFC 是矩形．
∴OC
BF
，OB
CF
，
90
F
．
∵AC
OB
，
∴
SAS
AOB
KCA
≌
．
∴
OBA
CAK
，AB
AK
．
∵
90
OAB
OBA
，
∴
90
OAB
CAK
．
∴
90
BAK
∠
．
∴ABK 是等腰直角三角形．
∴
45
ABK
．
∵OB
CF
，
∴OD
BD
CK
KF
．
∵BD
OA
CK
，
∴OD
KF
．
∵OC
BF
，
90
DOC
F
，
∴
SAS
COD
BFK
≌
．
∴
OCD
FBK
．
∵
45
OBA
FBK
OBF
ABK
，
∴
45
OBA
OCD
．
故选：D．
29．
（2026·福建龙岩·二模）如图，
30
AOB
，P 是
AOB
平分线上一点，CP
OB
∥
，交OA 于点C，PD
OB
于点D，且
8
PC
，则PD 的长为（
）
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A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，含有30度角的直角三角形的性质，解题关键是理解
含有30度角的直角三角形的性质并能运用．
过P 作PH
OA
于H，由平行线的性质推出
30
PCH
AOB
，由含30度角的直角三角形的性质得到
1
1
8
4
2
2
PH
PC
，由角平分线的性质推出
4
PD
PH
．
【详解】解：过P 作PH
OA
于H，
∵CP
OB
∥
，
∴
30
PCH
AOB
，
∵
90
PHC
，
∴
1
1
8
4
2
2
PH
PC
，
∵P 是
AOB
平分线上一点，PD
OB
，PH
OA
，
∴
4
PD
PH
＝
＝．
故选：B．
30．（2026·福建三明·一模）已知方程
2
2
4
0
x
x
x
a
的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边
边长，则实数a 的取值范围是（
）
A．1
3
a
B．1
4
a
C．3
4
a
D．2
3
a
【答案】C
【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方
程得到一个解为
2
x
，结合题意可得
2
4
0
x
x
a
方程有两个不相等的正实数根，且
1
2
2
x
x
，再进一
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步解答即可．
【详解】解：∵
2
2
4
0
x
x
x
a
，
∴
2
0
x
或
2
4
0
x
x
a
，
当
2
0
x
时，则
2
x
，
当
2
4
0
x
x
a
时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，
∴
2
Δ
4
4
0
a
，
1
2
4
2
x
x
，
1
2
0
x x
a
，
解得：
4
a
，
∵方程
2
2
4
0
x
x
x
a
的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，
∴
1
2
2
x
x
，
∴
2
1
2
1
2
4
16
4
2
x
x
x x
a
，
∴0
16
4
4
a
，
解得：3
4
a
，
综上：3
4
a
，
故选：C
31．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，
90
C
，AD 平分
BAC
，
7
BC
，
5
BD
，则点D 到AB 的
距离为______．
【答案】2
【详解】解：如图，过点D 作DE
AB
，
7
BC
，
5
BD
，
2
CD
，
AD 平分
BAC
，
90
C
，
2
CD
DE
，
点D 到AB 的距离为2．
32．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABC 中，
45
AB
AC
A
，
，DE 是线段AC 的垂直平分线，
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交AC 于点D，交AB 于点E．若
1
AD ，则BE 的长度是_______．
【答案】2
2
【分析】求
2
AB
，
2
AE
，根据BE
AB
AE
即可求出答案．
【详解】解：∵DE 是线段AC 的垂直平分线，
∴
,
90
AD
CD
ADE
，
∵
1
AD ，
∴
2
2
AC
AD
DC
AD
，
∵AB
AC
，
∴
2
AB
，
在Rt
ADE
△
中，
45 ,
90
A
ADE
，
∴ADE 是等腰直角三角形，
∴
2
cos 45
AD
AE
∴
2
2
BE
AB
AE
．
33．（2026·福建福州·模拟预测）如图，M 为ABC 的边BC 的中点，
6
AB
，
9
AC ，BD
AD
于点D ，
连接DM ．若AD 为
BAC
的平分线，则MD 的长为____________．
【答案】3
2
【分析】延长BD 交AC 于点N ，根据角平分线+垂直模型容易证明
(ASA)
ABD
AND
≌
，进而得到BD
DN
，
AN
AB
，根据三角形中位线定理得到
1
2
MD
NC
，代入计算即可．
【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点N ．
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AD 为
BAC
的平分线，BD
AD
，
∴
BAD
NAD
，
90
ADB
ADN
，
又∵AD
AD
，
∴
(ASA)
ABD
AND
≌
，
BD
DN
，
6
AN
AB
，
∵
9
AC ，
∴
9
6
3
CN
AC
AN
M 为BC 的中点，D 为BN 的中点，
1
1
3
3
2
2
2
MD
NC
．
34．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，已知
90
C
，
30
A
，
3
BC
，尺规作图
痕迹如图所示，再以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点E ，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】1 π
3
【分析】利用三角函数求出BD 的长，由作图得AD
BD
，由扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵
90
C
，
30
A
，
∴
90
30
60
ABC
，
由作图知BD 平分
ABC
，
∴
1
30
2
DBC
ABD
ABC
，
在Rt DBC 中，
3
BC
，则
2
cos30
BC
BD
，
∵
30
ABD
A
，
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∴
2
AD
BD
，
∴阴影部分面积为
2
30π 2
1 π
360
3
．
35．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，已知ABC中，
90
ACB
，
6
AC
，
9
BC
，点M 是ABC 内
部一点，连接AM ，BM ，CM ，若
3
CM
，则
1
3
AM
BM
的最小值为______．
【答案】
37
【分析】在BC 上取点G ，使
1
CG ，构造出MCG
BCM
∽
，得
1
3
MG
BM
，再根据两点之间线段最短
得出即当M 在AG 上时，
1
3
AM
BM
取最小值.
【详解】解：在BC 上取点G ，使
1
CG ，
又∵
9
BC
，
3
CM
，
∴
1
3
CG
CM
CM
BC
，
又∵
MCG
MCB
，
∴MCG
BCM
∽
，
∴
1
3
MG
CG
BM
CM
，
∴
1
3
MG
BM
，
∴
1
3
AM
BM
AM
MG
AG
，
∵
2
2
2
2
6
1
37
AG
AC
CG
，
40 / 79
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∴
1
37
3
AM
BM
，
即当M 在AG 上时，
1
3
AM
BM
取最小值，为37 .
36．（2026·福建宁德·一模）用5 个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的
度数是_____．
【答案】36
【分析】根据中心角由五个等腰三角形的底角围成，可先求底角，然后求顶角即可.
【详解】解：∵等腰三角形的底角为：360
5
72
∴顶角为：180
2 72
36
．
37．（2026·福建泉州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在第一象限，点B 在x 轴的正半轴上，
AO
AB
，反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象经过AOB 的重心G ，若AOB 的面积为6，则k 的值为_______．
【答案】2
【分析】设点A 的坐标为
,a b ，先根据等腰三角形的性质、三线合一和AOB 的面积为6，得出ab 的值，
再由三角形重心坐标公式写出G 的坐标，代入反比例函数中即可求得k 的值．
【详解】解：设点A 的坐标为
,a b ，点A 在第一象限，
0
a
，
0
b
，
∵AO
AB
，
∴AOB 是等腰三角形，
点B 在x 轴的正半轴上，过点A 作AD
OB
于点D ，
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又∵等腰三角形三线合一，
∴点D 是OB 的中点，
,
A a b ，
∴
,0
D a
，
2 ,0
B
a
，
∴
2
OB
a ，AD
b
，
∴AOB 的面积
1
1
2
6
2
2
OB AD
a
b
ab
=
创
=
=
，
∵G 是AOB 的重心，设
,
G x y ，
0
2
3
a
a
x
a
+
+
=
=
，
0
0
3
3
b
b
y
+
+
=
=
，
∴
, 3
b
G a
，
∵反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象经过AOB 的重心G ，将G 的坐标代入反比例函数中，得3
b
k
a
，
6
2
3
3
ab
k
．
38．
（2026·福建莆田·二模）在ABC 中，AB
c
，BC
a
，AC
b
，若
2
2
1
a
b
c
c
，则
C
的度数是__________．
【答案】90
【分析】先对已知等式变形，得到三角形三边的数量关系，再利用勾股定理的逆定理判断ABC 的形状，即
可求出
C
的度数．
【详解】解：∵
2
2
1
a
b
c
c
，
∴
2
2
2
2
1
a
b
c
c
，
∴
2
2
2
1
a
b
c
，
∴
2
2
2
a
b
c
，
∴ABC 是直角三角形，且
90
C
．
39．（2026·福建南平·一模）“费马问题”是法国数学家皮埃尔·德·费马在1643 年提出的一个著名的几何极值
问题．问题的核心是：对任意三角形，都存在一个点，使得这个点到该三角形三个顶点的距离之和最小，
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这个点称为费马点．当ABC 的三个内角均小于120时，使得
120
APB
BPC
CPA
的点P 即为费
马点．如图，若
10,
12
AB
AC
BC
，则PA
PB
PC
的最小值是_______．
【答案】8
6 3
【分析】根据题意找出点P ，再计算PA ，PB 和PC 的长，可得PA
PB
PC
的最小值．
【详解】解：如图，
∵
10
AB
AC
，
∴ABC 是等腰三角形，
根据对称性得，费马点P 在BC 的垂直平分线上，
设点D 为BC 的中点，连接AD ，则AD
BC
，点P 在AD 上，且
120
BPC
，
∴
60
BPD
，
∵
12
BC
，
∴
1
6
2
BD
BC
，
在Rt ABD 中，由勾股定理得
2
2
2
2
10
6
8
AD
AB
BD
；
在Rt PBD中，tan 60
BD
PD
，即
6
3
PD
，
∴
2 3
PD
，
又sin 60
BD
PB
，
∴
3
6
2
PB
，
解得：
4 3
PB
，
由对称性得：
4 3
PC
PB
，
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又
8
2 3
PA
AD
PD
，
∴
8
2 3
4 3
4 3
8
6 3
PA
PB
PC
∴PA
PB
PC
的最小值是8
6 3
．
40．（2026·福建泉州·一模）如图，将一块直角三角尺ABC（
90
B
，
60
A
）沿射线AC 方向平移到
三角尺DEF 的位置，点A 的对应点为点D．若
13
AF
，
5
DC
，则AB 的长为________．
【答案】4.5
【分析】先根据图形平移性质求得AD
CF
，再求出AC 的长度，最后根据“直角三角形中，30角所对的
直角边是斜边的一半”求得AB 的长．
【详解】解：∵直角三角尺ABC 沿射线AC 方向平移到三角尺DEF 的位置，点A 的对应点为点D，
∴AD
CF
，
∵
13
AF
，
5
DC
，
∴
2
5
AF
AD
，
∴
4
AD
，
∵
5
DC
，
∴
4
5
9
AC
AD
DC
，
在Rt
ABC
△
中，
∵
90
B
，
60
A
，
∴
180
30
ACB
B
A
Ð
=
°-Ð
-Ð
=
°，
∴
1
1
9
4.5
2
2
AB
AC
．
41．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，在边长为1 的等边三角形ABC 中，E 为AB 中点，F 是边BC 上的
动点，连接EF ，G 是点B 关于EF 的对称点．现给出以下结论：
①点G 在某一条定直线上运动；
②可以用AG 的长度值表示cos
BAG
；
③CG 的长度可以是1
5 ；
④点G 到边AB ，BC 的距离可能相等．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
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【答案】②④/④②
【分析】根据轴对称的性质可得
1
2
EG
EB
，从而确定点G 的轨迹是以点E 为圆心，
1
2 为半径的圆的
一部分，据此判断①；在等腰AEG 中，利用三角函数定义可推导cos
BAG
与AG 的关系，判断②；连接
CE ，求出CE 的长，根据点与圆的位置关系求出CG 的最小值，与1
5 比较判断③；根据点G 的轨迹范围及
角平分线的性质判断④．
【详解】解：
ABC 是边长为1 的等边三角形，E 为AB 中点，
1
AB
BC
AC
，
1
2
AE
BE
，
60
B
，
G 是点B 关于EF 的对称点，
EF
垂直平分BG ，
1
2
EG
EB
，
点G 在以E 为圆心，1
2 为半径的圆上运动，故①错误；
1
2
AE
，
1
2
EG
，
AE
EG
，
AEG 是等腰三角形，
过点E 作EM
AG
于点M，如图，
1
2
AM
AG
，
在Rt AME 中，
1
2
cos
1
2
AG
AM
EAM
AG
AE
，即cos
BAG
AG
，
故②正确；
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连接CE ，如图，
ABC 是等边三角形，E 是AB 中点，
CE
AB
，
2
2
2
2
1
3
1
2
2
CE
BC
BE
，
点G 在以E 为圆心，1
2 为半径的圆上，
当E、G、C 三点共线时，CG 取得最小值，
最小值为
3
1
3
1
2
2
2
CE
EG
，
3
1.732
，
3
1
0.366
2
，
3
1
1
2
5
，
即CG 的最小值大于1
5 ，
CG
的长度不可能是1
5 ，故③错误；
点G 在以E 为圆心，1
2 为半径的圆上，且
GEB
的取值范围是0
180
GEB
点G 的轨迹是以AB 为直径的半圆（位于AB 右侧），若点G 到边AB 、BC 的距离相等，则点G 在
ABC
的平分线上，
60
ABC
，
30
ABG
，
在EBG 中，
1
2
EB
EG
，
30
EBG
，
30
EGB
EBG
，
180
30
30
120
GEB
，
0
120
180
，
存在满足条件的点G，
故④正确；
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综上所述，正确的结论是②④．
42．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，等边ABC 的边长为a ，点
,
D E 分别在边
,
AB AC 上，且
1 ,
3
AD
CE
a BE
与CD 相交于点F ，则CD CF
的值为_____．（用含a 的代数式表示）
【答案】
2
1
3 a
【分析】证明DAC
ECB
≌
，得出CD
BE
，ACD
EBC
，再证明
FEC
CEB
△
∽△
，即可得CF
CE
CB
BE
，
则
2
1
3
1
3
CD CF
CB CE
a
a
a
．
【详解】解：∵等边ABC 的边长为a ，
∴
60 ,
A
ACB
AB
AC
BC
a
，
∵
1
3
AD
CE
a
，
∴
DAC
ECB SAS
≌
，
∴CD
BE
，
ACD
EBC
，
又
FEC
CEB
，
∴
FEC
CEB
△
∽△
，
∴CF
CE
CB
BE
，
∴CF
CE
CB
CD
，
∴
2
1
3
1
3
CD CF
CB CE
a
a
a
．
43．（2026·福建厦门·一模）抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m 个单位长度，
得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若ACB 为等边三角形，则m的值为________．
【答案】2 3
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，等边三角形的性质，勾股定理，首先
根据顶点式确定原抛物线的顶点A 的坐标，再写出平移后的抛物线方程和顶点B 的坐标．联立两条抛物线
方程求出交点C 的坐标；过点C 作CD
AB
于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD 的长和点D
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的坐标，进而建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，点A 的坐标为
2, 1
，
∵将抛物线
2
2
1
y
x
沿水平方向向右平移m 个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，
∴点B 的坐标为
2
, 1
m
，
∴平移后的抛物线解析式为
2
2
1
y
x
m
，
联立
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
m
，得
2
2
2
2
x
x
m
，
∴
2
2
x
x
m
或
2
2
x
x
m
，
当
2
2
x
x
m
时，
0
m
，不符合题意；
当
2
2
x
x
m
时，
2
2
m
x
，
在
2
2
1
y
x
中，当
2
2
m
x
时，
2
2
2
2
1
1
2
4
m
m
y
，
∴
2
2
,
1
2
4
m m
C
；
如图所示，过点C 作CD
AB
于D，
∵ABC 是等边三角形，
∴
2
2
AC
AB
m
m
（向右平移，m 是正数），
∴
1
2
2
m
AD
AB
，
∴
2
2
3
2
m
CD
AC
AD
，
2
, 1
2
m
D
，
∴
2
3
1
1
4
2
m
CD
m
，
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∴
2
3
4
2
m
m
，
解得
2 3
m
或
0
m
（舍去），
故答案为：2 3
44．（2026·福建·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
67.5
B
，
8
AB
，CD
AB
于点D ，
E 是斜边AB 的中点，则线段DE 的长为______．
【答案】2 2
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．二次根式，根据直角三
角形的性质求出
A
，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到
1
4
2
CE
AB
AE
，根据等腰三角形的性质
得到
22.5
ECA
A
，根据三角形的外角性质求出
45
BEC
，根据等腰直角三角形的性质求出DE ．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
67.5
B
，
则
90
67.5
22.5
A
，
在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
8
AB
，E 是斜边AB 的中点，
则
1
4
2
CE
AB
AE
，
22.5
ECA
A
，
45
BEC
A
ECA
，
CD
AB
∵
，
90
CDE
，
2
2 2
2
DE
CE
，
故答案为：2 2 ．
45．（2026·福建福州·模拟预测）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子
的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1 抽象
成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m ，小臂到地面的距离约1.2m ，则适合小明的绳长为____ m ．
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【答案】2.6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A
作AD
BC
于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，过A 作AD
BC
于D，
∵AB
AC
，
∴
1
1 m
2
2
BD
BC
，
在Rt ABD 中，
1.2
AD
，
∴
2
2
2
2
1.2
0.5
1.3 m
AB
AC
AD
BD
，
∴绳长为
1.3 2
2.6 m
；
故答案为：2.6 ．
46．（2026·福建龙岩·模拟预测）如图，在正ABC 内接正ADE 和正BFG中，点E 在AB 上，点G 在AE
上，若
3,
9 3
ADE
BFG
S
S
△
△
，则正ABC 的边长a 的取值范围为______．
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【答案】6
8
a
【分析】本题考查等边三角形的性质，由“点E 在AB 上，点G 在AE 上”可得BG
AB
a
BG
AE
．由正
三角形面积等于边长平方的
3
4
倍可求出BG 和AE ，进而可得a 的取值范围．
【详解】解：
点E 在AB 上，点G 在AE 上，
BG
AB
a
BG
AE
．
正ADE 和正BFG内接于正ABC ，
3,
9 3
ADE
BFG
S
S
△
△
，
2
2
3
3
3,
9 3
4
4
ADE
ADE
S
AE
S
BG
△
△
，
解得
2,
6
AE
BG
．
6
8
a
．
故答案为：6
8
a
．
47．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABC 中，
90
C
，将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转度得
到
EDC
△
，连接AE ，BD 交于点F ，连接AD ，若
2 2
AB
，则
2
2
AD
BE
的值等于______．
【答案】16
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，由旋转性质可知，AC
CE
，
CB
CD
，
2 2
AB
DE
，
BCD
ACE
，则
CAE
CEA
CBD
CDB
，然后得到
90
AFB
，
再由勾股定理得
2
2
2
AB
BF
AF
，
2
2
2
BE
BF
EF
，
2
2
2
DE
DF
EF
，
2
2
2
AD
DF
AF
，从而可得
2
2
2
2
AB
DE
AD
BE
，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由旋转性质可知，AC
CE
，CB
CD
，
2 2
AB
DE
，
BCD
ACE
，
∴
CAE
CEA
CBD
CDB
，
∵
90
ACB
，
∴
90
CAE
BAE
ABC
，
∴
90
CBD
BAE
ABC
，
∴
90
AFB
，
∴
90
AFB
BFE
EFD
AFD
，
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∴
2
2
2
AB
BF
AF
，
2
2
2
BE
BF
EF
，
2
2
2
DE
DF
EF
，
2
2
2
AD
DF
AF
，
∴
2
2
2
2
AB
DE
AD
BE
，
∴
2
2
2
2
2 2
2 2
16
AD
BE
，
故答案为：16．
48．（2026·福建莆田·三模）在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
6
AC
，
8
BC ，D 是AB 上一个动点，将BCD
沿CD 折叠得到ECD ，当DE 平行ABC 的一边时，点E 到BC 边的距离为_______．
【答案】32
5 或24
5
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，由勾股定理可得
10
AB
，解直角三角形得出
3
sin
5
B
，
4
cos
5
B
，再分两种情况：当DE
AC 时，延长ED 交BC 于F ；当DE
BC
∥
时，令DE 交AC
于G ；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
6
AC
，
8
BC ，
∴
2
2
10
AB
AC
AB
，
∴
3
sin
5
AC
B
AB
，
4
cos
5
BC
B
AB
，
如图：当DE
AC 时，延长ED 交BC 于F ，
，
由折叠的性质可得：
8
CE
BC
，
E
B
，
∵DE
AC ，
∴
180
ACF
EFC
，
∴
90
ACF
EFC
，
∴
4
32
cos
8
5
5
EF
CE
E
，即此时点E 到BC 边的距离为32
5 ；
如图，当DE
BC
∥
时，令DE 交AC 于G ，
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，
由折叠的性质可得：
8
CE
BC
，
E
B
，
∵DE
AC ，
∴
90
EGC
ACB
，
∴
3
24
sin
8
5
5
CG
CE
E
，即此时点E 到BC 边的距离为24
5 ；
综上所示，即此时点E 到BC 边的距离为32
5 或24
5 ；
故答案为：32
5 或24
5 ．
49．（2026·福建莆田·三模）仙游古典家具制作技艺，简称为“仙作”，入选国家级非物质文化遗产名录，“仙
作”家具集国画艺术，雕刻艺术与家具制作技艺的巧妙融合，款式典雅，结构严谨．一种“仙作”花窗的花瓣
由六条等弧连接而成，所对应的弦构成一个正六边形，如图所示．设正六边形的中心为点O，AB 所在圆的
圆心C 恰好是ABO 的外心．若
2 3
AB
，则花窗的面积（实线所围区域的面积）为_______．
【答案】12 3
8π
【分析】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式，连接OC 并
延长交AB 于M ，求出ABO 是等边三角形，得到
2 3
OA
OB
AB
，结合题意可得OM
AB
，
30
CAB
CBA
，求出
4 π
3
3
AB
S
弓形
，再结合花窗的面积（实线所围区域的面积）为
6
AB
ADEFGB
S
S
弓形
正六边形
计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接OC 并延长交AB 于M ，
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∵六边形ADEFGB 是正六边形，点O是中心，
∴
360
6
60
AOB
，OA
OB
，
∴ABO 是等边三角形，
∴
2 3
OA
OB
AB
，
60
AOB
BAO
ABO
，
∵AB 所在圆的圆心C 恰好是ABO 的外心，
∴CA
CB
CO
，
∴OM 垂直平分AB ，
∴OM
AB
，
30
CAO
COA
COB
CBO
，
3
AM
BM
，
2
2
3
OM
AO
AM
=
-
=
，
∵
60
30
30
CAB
CBA
，
∴
tan30
1
CM
AM
，
2
2
AC
CM
，
180
120
CAB
CBA
ACB
，
∴
2
120 2
π
1
4
2 3 1
π
3
360
2
3
ACB
AB
ACB
S
S
S
弓形
扇形
，
∴花窗的面积（实线所围区域的面积）为
1
4
6
6
2 3
3
6
π
3
8π
12 3
2
3
AB
ADEFGB
S
S
弓形
正六边形
，
故答案为：8π
12 3
．
50．（2026·福建泉州·三模）小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向
会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若
1
70
，
130
ABO
，
则
2
________．
【答案】20
【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两个锐角互余，解题关键利用直角三角形两个锐角互余求出相
应角度．
根据
2
90
90
1
ABO
求解．
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【详解】解：∵
2
90
90
1
ABO
，
1
70
，
130
ABO
，
∴
130
2
90
90
70
，解得：
2
20
．
故答案为：20．
51．（2026·福建泉州·三模）如图，ABC 中，
90
C
，AD 平分
BAC
交BC 于点D，
3
1
BD
DC
，
1cm
AC
，
则BC 长为________cm．
【答案】2 2
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，过点D 作DH
AB
于H ，设
cm
DC
a
，则
3 cm
BD
a
，
4 cm
CB
a
，可得
2 2 cm
BH
a
，
1
2 2
cm
AB
a
，利用勾股定理列方程
即可，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D 作DH
AB
于H ，设
cm
DC
a
，则
3 cm
BD
a
，
4 cm
CB
a
，
AD 平分
BAC
交BC 于点D ，DH
AB
，
90
C
，
CD
DH
a
，
根据勾股定理可得
2
2
2 2 cm
BH
DB
DH
a
,
90 ,
CAD
HAD
C
AHD
AD
AD
Q
，
AAS
ACD
AHD
≌
，
1cm
AC
AH
，
1
2 2
cm
AB
a
，
根据勾股定理可得
2
2
2
AC
BC
AB
，即
2
2
21
4
1
2 2
a
a
，
解得
2
2
a
（负值舍去），
4
2 2cm
BC
a
，
故答案为：2 2 ．
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52．（2026·福建·一模）如图，在菱形ABCD中，
6
AB
，
60
B
，AE 是菱形的高．若F 是CD 的中点，
连接EF ，则CEF 的周长是_____．
【答案】6
3 3
/3 3
6
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解
题关键．连接
,
AC AF ，先根据菱形的性质可得
6
AD
CD
BC
AB
，
60
D
B
，
120
BAD
，
再证出ABC 和ACD 都是等边三角形，则可求出
1
3
2
CE
CF
CD
，然后利用勾股定理可得
3 3
AE
AF
，证出AEF 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
3 3
EF
AE
，由此即可得．
【详解】解：如图，连接
,
AC AF ，
∵在菱形ABCD中，
6
AB
，
60
B
，
∴
6
AD
CD
BC
AB
，
60
D
B
，
180
120
BAD
B
，
∴ABC 和ACD 都是等边三角形，
∵AE 是菱形的高，F 是CD 的中点，
∴
1
3
2
CE
BE
BC
，
1
3
2
CF
DF
CD
，AF
CD
，
∴
2
2
2
2
6
3
3 3
AE
AF
AD
DF
，
又∵AE 是菱形的高，AF
CD
，
∴
90
30
BAE
B
，
90
30
DAF
D
，
∴
60
EAF
BAD
BAE
DAF
，
∴AEF 是等边三角形，
∴
3 3
EF
AE
，
∴CEF 的周长是
3
3
3 3
6
3 3
CE
CF
EF
，
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故答案为：6
3 3
．
53．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，AOB 和ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线
6
0
y
x
x
上，连接BC 交AD 于P ，连接OP ，则图中
OBP
S
________．
【答案】6
【分析】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k 的几何意义等知识，综合运用
以上知识是解题的关键．
先根据AOB 和ACD 均为正三角形可知
60
AOB
CAD
，故可得出AD
OB
∥
，所以
OBP
AOB
S
S
，过
点B 作BE
OA
于点E，由反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵AOB 和ACD 均为正三角形，
∴
60
AOB
CAD
，
∴AD
OB
∥
，
∴
OBP
AOB
S
S
，
过点B 作BE
OA
于点E，则
1
2
OBE
ABE
AOB
S
S
S
，
∵点B 在反比例函数
6
0
y
x
x
的图象上，
∴
1
6
3
2
OBE
S
，
∴
2
6
OBP
AOB
OBE
S
S
S
．
故答案为：6．
54．（2026·福建宁德·一模）探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的
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几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得．
(1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x y
，根据三角形重心是三角形
三条中线的交点这一性质，可以推出其重心G 的坐标为
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
．如图1，在平面直角坐标
系中，ABC 的顶点坐标分别为
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1
C
．求该三角形重心的坐标；
(2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；
如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即
1
1
2
2
F l
F l ）．现有两个矩形，其宽相
等，大矩形高是小矩形的2 倍，将它们底部对齐按图3 方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合
体重心G 的大致位置（简要说明方法）；
(3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为
1
1
1
,
G
x y
，
2
2
2
,
G
x
y
，对应面积分别为
1S ，
2
S ，猜想并直接写出四边形重心G 的坐标；（用含
1x ，
2x ，
1y ，
2y ，
1S ，
2
S 的代数式表示）
(4)【猜想应用】如图5，四边形ABCD的顶点坐标分别为
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1 ,
6,7
C
D
，求四边形ABCD
重心G 的坐标．
【答案】(1) ABC 的重心坐标是10 7
,
3
3
(2)
如图，设小矩形的重心为
1
G ，大矩形的重心为
2
G ，分别作出矩形的重心
1
G 和
2
G ，连接
1
2
G G ，在
1
2
G G 上取
点G 使
1
2
:
2 :1
G G GG
．
(3)四边形重心G 坐标为
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
,
S x
S x
S y
S y
G
S
S
S
S
(4)四边形ABCD重心G 的坐标为62 53
,
15 15
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【分析】（1）依据公式进行计算即可；
（2）连接
1
2
G G ，在
1
2
G G 上取点G ，使
1
2
:
2 :1
G G GG
；
（3）设四边形重心G 的坐标为
,
G
G
x
y
，依据（2）杠杆平衡原理公式进行列式即可；
（4）连接对角线AC ，分四边形为ABC 和ACD ，记它们的重心和面积分别是
1
G 、2
G 和
1S 、2
S ．可得ABC 、
ADC 的重心坐标和面积，根据（3）中四边形重心坐标公式，即为所求．
【详解】（1）解：
ABC 三个顶点分别是
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1
C
，
根据公式得
2
2
6
10
3
3
x
，
5 1 1
7
3
3
y
．
ABC
的重心坐标是10 7
,
3
3
．
（2）解：如图，设小矩形的重心为
1
G ，大矩形的重心为
2
G ，分别作出矩形的重心
1
G 和
2
G ，连接
1
2
G G ，在
1
2
G G 上取点G 使
1
2
:
2 :1
G G GG
．
因为矩形是匀质薄板物体，其重心是其对应平面图形的几何中心，所以
1
G 、
2
G 分别是小矩形和大矩形的几
何中心．
以组合体重心G 为支点，根据力的杠杆平衡原理
1
1
2
2
F l
F l
(其中
1F 、
2
F 分别为两个物体的重力，1l 、2l 分
别为两个物体重心到支点的距离)．
由于两个矩形宽相等，大矩形高是小矩形的2 倍，所以大矩形的重力是小矩形重力的2 倍，即
2
1
2
F
F
．
连接
1
2
G G ，在
1
2
G G 上取点G 使
1
2
:
2 :1
G G GG
．
则点G 即为组合体重心．
（3）解：四边形重心G 的坐标为
,
G
G
x
y
，由（2）杠杆平衡原理得：
1
1
2
2
G
G
S
x
x
S
x
x
1
1 1
2
2
2
G
G
S
x
S x
S
x
S x
1
2
1
1
2
2
G
G
S
x
S x
S x
S
x
1
2
1 1
2
2
G
S
S
x
S x
S
x
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1 1
2
2
1
2
G
S x
S
x
x
S
S
同理可得
1
1
2
2
1
2
G
S y
S
y
y
S
S
四边形重心G 坐标为
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
,
S x
S x
S y
S y
G
S
S
S
S
（4）解：如图，连接对角线AC ，分四边形为ABC 和ACD ，
记它们的重心和面积分别是
1
G 、
2
G 和
1S 、
2
S ．
四边形ABCD的顶点分别是
2,5
A
，
2,1
B
，
6,1
C
，
6,7
D
，
ABC
的重心坐标是
1
10 7
,
3
3
G
，
面积
1
1
1
5 1
6
2
8
2
2
S
AB BC
，
ADC 的重心坐标是
2
14 13
,
3
3
G
，
面积
2
1
1
7
1
6
2
12
2
2
S
CD BC
．
根据（3）中四边形重心坐标公式：
10
14
8
12
62
3
3
8 12
15
G
x
，
7
13
8
12
53
3
3
8 12
15
G
y
，
四边形ABCD重心G 的坐标为62 53
,
15 15
．
55．（2026·福建厦门·一模）如图，在ABC 中，AC
AB
．
(1)在AC 上求作一点D，使
1
2
ABD
ABC
S
S
；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，在AB 上存在点E 满足DA
DE
，连接CE ．求证：CE
AB
．
【答案】(1)如图：点D 即为所求．
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(2)
证明：由（1）作图可知：AD
DC
，
∵DA
DE
，
∴DA
DE
DC
，
∴
,
DAE
DEA
DEC
DCE
，
∵
180
DAE
DCE
AEC
，
∴
180
DAE
DCE
DEA
DEC
，
∴
2
180
DEA
DEC
，
∴
90
DEA
DEC
，即
90
AEC
，
∴CE
AB
．
【分析】（1）用尺规作图作出线段AC 的中点即可；
（2）由（1）作图可知：AD
DC
，再结合DA
DE
可得DA
DE
DC
，利用等边对等角、三角形内角
和定理、角的和差可得
90
AEC
，进而证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
56．（2026·福建宁德·二模）如图，已知AB
BC
，点D 在BC 上，CE 由CD 绕点C 顺时针旋转140得到，
且CE
AB ．
(1)求证：AC 平分
BCE
；
(2)若AD
BD
，求
AEC
的度数．
【答案】(1)证明：∵AB
BC
，
∴
BAC
ACB
，
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∵CE
AB ，
∴
BAC
ACE
，
∴
ACE
ACB
，
∴AC 平分
BCE
，
(2)
80
AEC
．
【分析】（1）根据等边对等角和直线平行性质求解．
（2）根据旋转性质、平行线性质以及等边对等角求得
ADC
和证明ACD
ACE
≌
，从而对应角相等求出
角度．
【详解】（1）略
（2）解：由旋转可知，CE
CD
，
140
DCE
，
∵CE
AB ，
∴
180
B
DCE
，
∴
180
40
B
DCE
，
∵AD
BD
，
∴
40
B
BAD
，
∴
80
ADC
B
BAD
，
由（1）得
ACE
ACB
，
在ACD 和
ACE
△
中，
∵
CE
CD
ACB
ACE
AC
AC
，
∴ACD
ACE
≌
SAS ，
∴
80
AEC
ADC
．
57．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABC 中，AD 平分
BAC
交BC 于点D，E 为BC 上一点，G 为
BA 延长线上一点，GE 与AC 交于点F，AF
AG
．
(1)求证：AD GE ；
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(2)若A，F 分别是BG ，CA 的中点，
8
EG
，求EF 的长．
【答案】(1)证明：∵AD 平分
BAC
，
∴
1
2
BAD
DAC
BAC
，
∵AF
AG
，
∴
AGF
AFG
，
∵
BAC
AGF
AFG
，
∴
1
2
AGF
AFG
BAC
，
∴
BAD
AGF
，
∴AD GE ．
(2)2
【分析】（1）由AD 平分
BAC
，可得
1
2
BAD
DAC
BAC
，由AF
AG
，可得
AGF
AFG
，再
由三角形的外角定理可得
BAD
AGF
，即可证明结论；
（2）由（1）可知，AD GE ，可得BAD
BGE
∽
，可得AD
BA
GE
BG
，由A 是BG 的中点，可得
1
4
2
AD
GE
，
再由CFE
CAD
∽
，可得EF
CF
AD
CA
，再由F 是CA 的中点，即可得
1
2
2
EF
AD
．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，AD GE ，
∴BAD
BGE
∽
，
∴AD
BA
GE
BG
，
∵A 是BG 的中点，
∴
1
2
BA
BG
，
∴
1
2
AD
BA
GE
BG
，
∴
1
1
8
4
2
2
AD
GE
，
同理可得，CFE
CAD
∽
，
∴EF
CF
AD
CA
，
∵F 是CA 的中点，
∴
1
2
CF
CA
，
63 / 79
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∴
1
2
EF
CF
AD
CA
，
∴
1
1
4
2
2
2
EF
AD
，
∴EF 的长为2．
58．
（2026·福建莆田·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
BAC
AD
BC
，垂足为D，E 为AC 上一点，EF
BC
，
垂足为F．若CE
AB
，求证：BD
EF
．
【答案】
证明：∵
90 ,
BAC
AD
BC
，EF
BC
∴
90
ADB
EFC
，
90
B
C
，
∴
90
B
BAD
，
∴
BAD
C
，
∵CE
AB
，
∴
ABD
CEF AAS
≌
，
∴BD
EF
．
【分析】推导出
90
ADB
EFC
，
90
B
C
，得到
BAD
C
，继而证明∴
ABD
CEF AAS
≌
，
则BD
EF
，即可解答．
【详解】略
59．（2026·福建福州·二模）如图，已知Rt
ABC
△
，
90
BAC
，AB
AC
，AD 是中线．
(1)尺规作图：求作线段BE ，使得BC 平分
ABE
，且BE
BD
，连接ED 并延长交BA 延长线于点F（保留
作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求证：AD
AF
．
【答案】(1)
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如图所示：
(2)
证明：
90
,
BAC
AB
AC
,
AD 是中线，
,
,
45
AD
BC AD
BD
BAD
，
BC 平分
ABE
，
45
DBE
ABC
，
BE
BD
，
180
45
67.5
2
BDE
，
180
90
67.5
22.5
ADF
，
180
45
135
DAF
，
180
135
22.5
22.5
AFD
，
ADF
AFD
，
AD
AF
．
【分析】（1）由题目的作图步骤进行作图即可；
（2）由等腰三角形的性质可得
,
,
45
AD
BC AD
BD
BAD
，再求出
45
DBE
ABC
，再由等腰三
角形性质可得
180
45
67.5
2
BDE
，再求出
ADF
AFD
，最后可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
60．（2026·福建南平·二模）如图，点D 是ABC 中BC 边的中点，E 为边AC 上一点，F 为ED 延长线上一
点，且DE
DF
，求证：
C
FBC
．
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【答案】证明：∵点D 为边BC 的中点，
∴BD
DC
，
∵
,
DE
DF
CDE
BDF
∴
(SAS)
CDE
BDF
≌
，
∴
C
FBC
．
【分析】根据题意得出BD
DC
，再由全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】略
61．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABO 中，点D 是边AB 上一点，连接DO 并延长至点C，连接
CA ．若
B
,
180 ,
C
AOB
AOD
求证：OB
OC
．
【答案】见详解
【分析】通过证明ABO
ACO
≌
即可求解．
【详解】证明：∵
180 ,
AOB
AOD
180
AOD
AOC
，
∴
AOB
AOC
,
在ABO 和ACO 中，
AO
AO
AOB
AOC
B
C
∴
, ,
ABO
ACO A A S
≌
∴OB
OC
．
62．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，四边形ABCD为平行四边形，
90
AEB
CFD
，AE
CF
．求
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证：
ABE
CDF
．
【答案】证明：
四边形ABCD是平行四边形，
AB
CD
，
90
AEB
CFD
Q
，
AEB
△
和CFD都是直角三角形，
在Rt
AEB
△
和Rt
CFD
△
中，
AB
CD
AE
CF
，
Rt
Rt
(HL)
AEB
CFD
≌
，
ABE
CDF
．
【分析】本题考查平行四边形的性质和直角三角形全等的判定．由平行四边形对边相等可得AB
CD
，结
合已知条件
90
AEB
CFD
和AE
CF
，可利用HL 定理证明Rt
Rt
AEB
CFD
≌
，从而证得对应角相等．
【详解】略
63．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，ABC 为等边三角形，点E 在边AC 上，连接BE ，作AD
BE
⊥
于
点D，将ADB 绕点A 逆时针旋转得到AFC ，点B，D 的对应点分别为点C，F，连接DF ．
(1)求证：ADF 为等边三角形；
(2)延长FD 交BC 于点G，求证：BG
CG
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质得到
60
BAC
，AB
AC
，然后由旋转得到AD
AF
，
BAD
CAF
，推出
60
BAC
DAF
，即可证明；
（2）过点C 作CH
BD
∥
交FD 的延长线于点H，证明
30
H
BDH
，然后推出BD
CH
，证明
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BGD
CGH AAS
≌
，即可得到BG
CG
．
【详解】（1）解：∵ABC 为等边三角形，
∴
60
BAC
，AB
AC
由旋转得，AD
AF
，
BAD
CAF
∴
BAD
DAE
CAF
DAE
∴
60
BAC
DAF
∴ADF 为等边三角形；
（2）解：如图，过点C 作CH
BD
∥
交FD 的延长线于点H
∵AD
BE
⊥
∴
90
ADB
∵ADF 为等边三角形
∴
60
ADF
AFD
∴
180
30
BDH
ADB
ADF
∵CH
BD
∥
∴
30
H
BDH
由旋转得，
90
AFC
ADB
，BD
CF
∴
90
60
30
CFD
AFC
AFD
∴
H
CFD
∴CH
CF
∴BD
CH
又∵
BGD
CGH
，
H
BDH
∴
BGD
CGH AAS
≌
∴BG
CG
．
64．（2026·福建福州·二模）如图，点D，A，E，B 在同一直线上，BC
EF
，AC
DF
，BE
AD
．求
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证：BC
EF
∥
．
【答案】
证明：∵BE
AD
，
∴BE
AE
AD
AE
，
∴AB
DE
，
在ABC与DEF 中，
BC
EF
AC
DF
AB
DE
，
∴
SSS
ABC
DEF
≌
，
∴
B
DEF
，
∴BC
EF ．
【分析】根据等式的性质得出AB
DE
，利用SSS 证明ABC 与DEF 全等，进而解答即可．
【详解】略
65．（2026·福建福州·模拟预测）如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
5
AB
，
3
BC ．作ADC 与ABC
关于直线AC 对称，E 是AB 延长线上的一点，连接DE ，作FDE 与ADE 关于直线DE 对称，EF 交射线AC
于点P，连接DP ．
(1)求tan
CAB
的值．
(2)当EF
AC
时，求AE 的长．
(3)求
PA
PD 的最小值．
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【答案】(1) 3
4
(2)11
(3) 3 39
4
5
【分析】（1）在Rt
ABC
△
中，由勾股定理求AC ，再用正切定义求解．
（2）由ADC 是ABC 关于AC 的对称图形，得BD
AC
且
2
6
BD
BC
．当EF
AC
时，EF
BD ，
结合关于DE 的轴对称性质，推导出
6
BE
BD
，从而
11
AE
AB
BE
．
（3）利用P 在射线AC 上且
90
DCP
，将
PA
PD 化为
2
4
9
CP
CP
，再有理化得
2
9
4
9
CP
CP
，
由增减性知CP 最小时
PA
PD 最小．CP 的最小值通过DP 的最小值（D 到直线AB 的距离24
5 ）和勾股定
理求得．
【详解】（1）解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
5
AB
，
3
BC ，
2
2
25
9
4
AC
AB
BC
，
3
tan
4
BC
CAB
AC
．
（2）解：
ADC
△
是ABC 关于直线AC 的对称图形，
BD
AC
，
2
6
BD
BC
，
当EF
AC
时，
AC
BD
，
EF
BD
∥
，
BDE
DEF
，
由轴对称性质知
DEB
DEF
，
BDE
DEB
，
6
BE
BD
，
5
6
11
AE
AB
BE
．
（3）解：
P在射线AC 上，
90
DCP
，
3
DC
，
4
PA
AC
CP
CP
，
2
2
2
9
PD
DC
CP
CP
，
2
4
9
PA
PD
CP
CP
，
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2
2
2
9
9
4
9
CP
CP
CP
CP
CP
CP
，
2
2
2
9
4
9
CP
CP
CP
CP
，
2
9
4
9
CP
CP
，
2
9
0
9
CP
CP
，且
2
9
CP
CP
随CP 增大而增大，
当CP 最小时，
PA
PD 最小，
过D 作DT
AB
于T，
DP
DT
，
1
1
4 6
12
2
2
ABD
S
AC
BD
，
1
1
5
12
2
2
ABD
S
AB
DT
DT
，
24
5
DT
，即
min
24
5
DP
，
2
2
min
min
576
351
3 39
9
25
25
5
CP
DP
DC
，
PA
PD
的最小值
9
45
4
4
3 39
24
3 39
24
5
5
，
45 24
3 39
45 24
3 39
4
4
576
351
24
3 39
24
3 39
，
45 24
3 39
24
3 39
4
4
225
5
，
20
24
3 39
3 39
4
5
5
．
66．（2026·福建·一模）如图，正三角形ABC 的边长为2 ，D 是BC 边上不与点B ，C 重合的动点，过点D
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作AB 边的垂线，交AB 于G ，用x 表示线段AG 的长度，用y 表示ACD 的面积．
(1)直接写出x 的取值范围；
(2)求y 关于x 的函数表达式．
【答案】(1)1
2
x
；
(2)
3
3
y
x
【分析】（1）过C 作CM
AB
于M ，由等边三角形的性质推出
1
1
2
AM
AB
，即可得到1
2
x
；
（2）过A 作AN
BC
于N ，由等边三角形的性质得到
1
1
2
BN
BC
，
=60
B
，由含30度角的直角三角
形的性质得到
2 2
BD
x
，求出
2
2
CD
x
，由勾股定理求出
3
AN
，由三角形的面积公式即可得到
y 关于x 的函数关系式．
【详解】（1）解：过C 作CM
AB
于M ，
ABC 是边长为2 的等边三角形，
1
1
2
1
2
2
AM
AB
，
D 不与B 、C 重合，
AM
AG
AB
，
1
2
x
；
（2）解：过A 作AN
BC
于N ，
ABC 是边长为2 的等边三角形，
1
1
2
BN
BC
，
=60
B
，
DG
AB
，
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90
60
30
BDG
，
2
2 2
BD
BG
x
，
2
2 2
2
2
CD
x
x
，
2
2
2
2
2
1
3
AN
AB
BN
，
1
1
2
2
3
3
3
2
2
y
CD AN
x
x
．
67．（2026·福建福州·三模）我们知道，任意一个Rt
ABC
△
，如果
90
C
，则两条直角边a ，b 和斜边c
满足勾股定理
2
2
2
a
b
c
（亦即
2
2
2
0
a
b
c
）．如果
90
C
，则上述关系就不再成立．班级数学研究
小组对非直角三角形的三边平方的数量关系开展了进一步的探究．
定义1：在任意三角形中，一个角的两条夹边的平方和减去它的对边的平方所得的差，叫做角的勾股差，
记为
．
定义2：如图1，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，则称线段BD 的长度为边AB 在边BC 上的投影．
研究小组发现，对于非直角三角形的任一内角，其勾股差与夹这个角的两边及投影存在一定的数量关系．
情况①：如图1，当
90
ACB
时，过点A 作AD
BC
于点D ．
在Rt ABD 和Rt ACD 中，由勾股定理，分别得：
2
2
2
AD
AB
BD
，
2
2
2
AD
AC
CD
．
…
2
ACB
BC CD
．
情况②：如图2 ，当
90
ACB
时，
ACB
________．
得到了上述勾股差的投影表示法后，研究小组利用其进一步研究了平行四边形的四条边及对角线之间的数
量关系．
（广义勾股定理）如图3 ，已知四边形ABCD是平行四边形．求证：
2
2
2
2
2
2
AC
BD
AB
BC
．
(1)在ABC 中，
A
，
B
，
C
的对边分别为a ，b ，c ，若
5
a
，
3
b
，
7
c
，则
A
________，
B
________，
C
________．
(2)请将上述情况①中的证明过程补充完整，并直接写出情况②中
ACB
与BC ，CD 的数量关系．
(3)请写出广义勾股定理的证明过程．
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(4)如图4 ，在ABC 中，
5
AB
，
4
BC
，
6
AC
，CM 是AB 边上的中线，请直接写出CM 的长．
【答案】(1)33；65；15
(2)情况①：如图1，当
90
ACB
时，过点A 作AD
BC
于点D ．
在Rt ABD 和Rt ACD 中，由勾股定理，分别得：
2
2
2
AD
AB
BD
，
2
2
2
AD
AC
CD
，
∴
2
2
2
2
AB
BD
AC
CD
，
∴
2
2
2
2
0
AC
AB
BD
CD
，
∴
2
2
0
AC
AB
BD
CD
BD
CD
，
∴
2
2
0
AC
AB
BC BC
CD
CD
，
∴
2
2
2
2
0
AC
AB
BC
BC CD
，
∴
2
2
2
2
AC
BC
AB
BC CD
2
ACB
BC CD
；
情况②：2BC CD
；
(3)证明：如图所示，过点A 作AG
BC
于点G，过点B 作BH
AD
交DA 的延长线于点H，
由题意得，
90
90
BAD
ABC
∠
，∠
，
∴由（2）可知
2
2
2
2
AB
BC
AC
BC BG
，
2
2
2
2
AB
AD
BD
AD AH
，
∴
2
2
2
2
AC
AB
BC
BC BG
，
2
2
2
2
BD
AB
AD
AD AH
；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC
AD
BC
，
∥
，
∴AG
AD
BH
BC
⊥
，
⊥
，
∴
90
AGB
GBH
BHA
HAG
∠
∠
∠
∠
，
∴四边形AGBH 是矩形，
∴BG
AH
，
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∴
2
2
AC
BD
2
2
2
2
2
2
2
AB
BC
BC BG
BD
AB
AD
AD AH
2
2
2
2
2
2
2
AB
BC
BC BG
BD
AB
BC
BC BG
2
2
2
2
AB
BC
；
(4)
79
2
【分析】（1）根据勾股差的定义求解即可；
（2）情况①：根据题意可得
2
2
2
2
AB
BD
AC
CD
，则可证明
2
2
2
2
0
AC
AB
BD
CD
，根据线段的和
差关系可得
2
2
0
AC
AB
BC BC
CD
CD
，据此可得
2
2
2
2
AC
BC
AB
BC CD
，再由勾股差的定
义可得
2
ACB
BC CD
；
情况②：同理可推出
2
2
2
2
AC
BC
AB
BC CD
，再由勾股差的定义可得
2
ACB
BC CD
；
（3）过点A 作AG
BC
于点G，过点B 作BH
AD
交DA 的延长线于点H，由（2）可知
2
2
2
2
AB
BC
AC
BC BG
，
2
2
2
2
AB
AD
BD
AD AH
，证明四边形AGBH 是矩形，得到BG
AH
，
即可证明
2
2
2
2
2
2
AC
BD
AB
BC
；
（4）延长CM 到点T，使得TM
CM
，连接BT
AT
，
，证明四边形ACBT 是平行四边形，由（3）可知
2
2
2
2
2
2
CT
AB
AC
BC
，据此求出CT 的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
2
2
2
2
2
2
3
7
5
33
A
b
c
a
；
2
2
2
2
2
2
5
7
3
65
B
a
c
b
；
2
2
2
2
2
2
5
3
7
15
C
a
b
c
；
（2）解：情况①：略；
情况②：如图2 ，当
90
ACB
时，过点A 作AD
BC
交BC 的延长线于点D ．
在Rt ABD 和Rt ACD 中，由勾股定理，分别得：
2
2
2
AD
AB
BD
，
2
2
2
AD
AC
CD
，
∴
2
2
2
2
AB
BD
AC
CD
，
∴
2
2
2
2
0
AC
AB
BD
CD
，
∴
2
2
0
AC
AB
BD
CD
BD
CD
，
∴
2
2
0
AC
AB
BC BC
CD
CD
，
∴
2
2
2
2
0
AC
AB
BC
BC CD
，
∴
2
2
2
2
AC
BC
AB
BC CD
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2
ACB
BC CD
；
（3）略
（4）解：如图所示，延长CM 到点T，使得TM
CM
，连接BT
AT
，
，
∵CM 是AB 边上的中线，
∴AM
BM
，
又∵TM
CM
，
∴四边形ACBT 是平行四边形，
∴由（3）可知，
2
2
2
2
2
2
CT
AB
AC
BC
，
∵
5
AB
，
4
BC
，
6
AC
，
∴
2
2
2
2
5
2
4
2
6
CT
，
∴
2
79
CT
，
∴
79
CT
或
79
CT
（舍），
∴
1
79
2
2
CM
TM
CT
．
68．（2026·福建泉州·三模）【课本再现】
如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O 又是正方形
1
1
1
A B C O 的一个顶点，而且这两个正方形的边
长都为1，四边形OEBF 为两个正方形重叠部分，正方形
1
1
1
A B C O 可绕点O 转动．
【问题发现】
(1)连接
1AO，直线
1AO分别交AB
CD
、
于点E、G，
1
C O 交BC 于点F ，连接FG ，则线段AE
CF
FG
，
，
之
间的数量关系是______．
【类比迁移】
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(2)如图2，矩形ABCD的中心O 是矩形
1
1
1
A B C O 的一个顶点，
1AO与边AB 相交于点E，
1
C O 与边CB 相交于
点F，连接EF ，矩形
1
1
1
A B C O 可绕着点O 旋转，猜想AE ，CF ，EF 之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt
ACB
△
中，
90
3cm
4cm
C
AC
BC
,
,
，直角
EDF
的顶点D 在边AB 的中点处，它的
两条边DE 和DF 分别与直线AC ，BC 相交于点E，F，
EDF
可绕着点D 旋转，当
2cm
AE
时，请直接
写出CEF 的面积．
【答案】(1)
2
2
2
CF
AE
FG
(2)
2
2
2
AE
CF
EF
，证明如下：
如图所示，连接AC ，延长EO 交DC 于E，
∵O 为矩形ABCD的中心，
∴AO
CO
，AB
CD
∥
，
90
BCD
，
∴
BAC
ACE
，
又∵
AOE
COE
，
∴
ASA
AOE
COE
≌
，
∴AE
CE
EO
E O
，
，
又∵矩形
1
1
1
A B C O ，
∴OE
OF
，
∴FO 垂直平分EE，
∴EF E F
=
，
在Rt
FCE
△
中，由勾股定理得
2
2
2
CE
FC
E F
，
∴
2
2
2
AE
CF
EF
；
(3)
2
19 cm
16
或
2
25 cm
16
【分析】
（1）证明
AAS
OAE
OCG
≌
，得到AE
CG
，由勾股定理得
2
2
2
CF
CG
FG
，则
2
2
2
CF
AE
FG
；
（2）猜想：
2
2
2
AE
CF
EF
，连接AC ，延长EO 交DC 于E，证明
ASA
AOE
COE
≌
，再利用勾股
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定理证明即可；
（3）设
cm
CF
x
分两种情形：①当点E 在线段AC 上时，②当点E 在CA 延长线上时，分别利用勾股定理
构建方程求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的对角线相交于点O，
∴
90
OA
OC
AB
CD
BCD
，
，
，
∴
OAE
OCG
OEA
OGC
∠
∠
，∠
∠
，
∴
AAS
OAE
OCG
≌
，
∴AE
CG
，
在Rt
CFG
△
中，由勾股定理得
2
2
2
CF
CG
FG
，
∴
2
2
2
CF
AE
FG
；
（2）略
（3）解：如图所示，当点E 在AC 上时，
过点B 作BM
AC ，交ED 的延长线于点M，连接FM ，
∵BM
AC ，
∴
180
C
CBM
，
EAD
MBD
，
∵
ADE
BDM
，AD
BD
，
90
C
，
∴
AED
BMD ASA
≌
，
90
CBM
，
∴
,
ED
DM AE
BM
，
∵
90
EDF
，
∴直线DF 是线段EM 的垂直平分线，
∴EF
FM
，
在Rt
BFM
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
BF
BM
FM
，
∴
2
2
2
BF
BM
EF
∵
3cm,
4cm
AC
BC
，
2cm
AE
，
∴
1cm
CE
，
2cm
AE
BM
，
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设
cm
CF
x
，则
4
cm
BF
x
，
由勾股定理得
2
2
2
2
2
EF
CE
CF
BF
BM
，
2
2
2
2
1
2
4
x
x
，
∴
19
x
8
，
∴
19 cm
8
CF
，
∴
2
1
19 cm
2
16
CEF
S
CE CF
如图所示，当点E 在CA 的延长线上时，
过点B 作BN
AC
∥
，交ED 的延长线于点N，连接FN ，
∵BN
AC
∥
，
90
ACB
，
∴
90
ACB
NBF
，
EAD
NBD
，
∵
ADE
BDN
，AD
BD
，
∴
ASA
AED
BND
≌
，
∴
,
ED
DN AE
BN
，
∵
90
EDF
，
∴直线DF 是线段EN 的垂直平分线，
∴EF
FN
，
由勾股定理，得
2
2
2
BF
BN
FN
，
∴
2
2
2
AE
BF
EF
．
∵
3cm,
4cm
AC
BC
，
2cm
AE
，
∴
5cm
CE
，
2cm
AE
BN
，
设
cm
CF
x
，则
4
cm
BF
x
，
79 / 79
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由勾股定理得
2
2
2
2
2
EF
CE
CF
BN
BF
，
∴
2
2
2
2
5
(4
)
2
x
x
，
∴
5
8
x
，
∴
5 cm
8
CF
，
∴
2
1
25 cm
2
16
CEF
S
CE CF
；
综上所述，CEF 的面积为
2
19 cm
16
或
2
25 cm
16
。
