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专题05 二次函数中的特殊三角形存在性问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中的等腰三角形存在性问题（难）
题型2 二次函数中的直角三角形存在性问题（难）
题型3 二次函数中的等腰直角三角形存在性问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中的等腰三角形存在性问题
1．（2026·安徽宿州·三模）已知抛物线
2
2
2
4
y
x
ax
a
=
−
+
−（a 为常数），与x 轴交于A，B 两点（A 在B 的左
侧）．
(1)当
3
a = 时，求抛物线的解析式及点A，B 的坐标；
(2)已知点
(
)
2,
M
M
y
在该抛物线上．
（i）若
0
M
y
=
，求a 的值；
（ii）当
1
a = 时，设抛物线的顶点为P，点Q 在抛物线的对称轴上，若
PMQ
△
是等腰三角形，求点Q 的坐
标．
【答案】(1)
2
6
5
y
x
x
=
−
+ ；
(
)
1,0
A
；
(
)
5,0
B
(2)（i）
0
a =
或
4
a =
；（ii）(
)
1, 4
2
−+
或(
)
1, 4
2
−−
或(
)
1, 2
−
或(
)
1, 3
−
．
【分析】（1）由题意得到抛物线解析式为
2
6
5
y
x
x
=
−
+ ，令
2
6
5
0
x
x
−
+
=
，解方程即可解答；
（2）（ⅰ）令
2
2
4
4
4
4
0
M
y
a
a
a
a
=
−
+
−
=
−
=
，解方程即可解答；（ⅱ）由题意得抛物线解析式为
(
)
2
2
2
1 4
1
4
y
x
x
x
=
−
+ −
=
−
−
，得到顶点
(
)
1, 4
P
−
，(
)
2, 3
M
−
，求出
2
PM =
，设点
(
)
1,
Q
y ，分
2
PQ
PM
=
=
，
2
MQ
PM
=
=
，PQ
MQ
=
，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：当
3
a = 时，抛物线解析式为
2
6
5
y
x
x
=
−
+
，
当
0
y =
，则
2
6
5
0
x
x
−
+
=
，解得
1
x = 或
5
x = ，
∴
(
)
1,0
A
，
(
)
5,0
B
；
（2）解：（ⅰ）∵点
(
)
2,
M
M
y
在该抛物线上，
∴
2
2
4
4
4
4
M
y
a
a
a
a
=
−
+
−
=
−
，
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当
0
M
y
=
，则
2
4
0
a
a
−
=
，
解得
0
a =
或
4
a =
；
（ⅱ）当
1
a = 时，抛物线解析式为
(
)
2
2
2
1 4
1
4
y
x
x
x
=
−
+ −
=
−
−
，
∴顶点
(
)
1, 4
P
−
，
(
)
2
2 1
4
3
M
y
=
−
−
= − ，
∴
(
)
2, 3
M
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
2 1
3
4
2
PM =
−
+ −+
=
，
设点
(
)
1,
Q
y ，
∵
PMQ
△
是等腰三角形，分三种情况讨论：
情形一：
2
PQ
PM
=
=
，
∴
(
)
4
4
2
PQ
y
y
=
−−
=
+
=
，
∴
4
2
y = −
，
∴(
)
1, 4
2
Q
−+
或(
)
1, 4
2
Q
−−
；
情形二：
2
MQ
PM
=
=
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1 2
3
1
3
2
MQ
y
y
=
−
+
+
=
+
+
=
，
∴
(
)
2
1
3
2
y
+
+
=
，
∴
3
1
y +
= ，
∴
2
y = −或
4
y
−
=
，
当
2
y = −时，
(
)
1, 2
Q
−
，
当
4
y
−
=
时，
(
)
1, 4
Q
−
，与顶点P 重合，舍去；
情形三：PQ
MQ
=
，
∴
(
)
2
4
1
3
y
y
+
=
+
+
，即(
)
(
)
2
2
4
1
3
y
y
+
= +
+
，
解得=
3
y −
，此时
(
)
1, 3
Q
−
；
综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(
)
1, 4
2
−+
或(
)
1, 4
2
−−
或(
)
1, 2
−
或(
)
1, 3
−
．
2．（25-26 九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
1,0
A −
，B 两点，与y 轴交
于点
(
)
0,3
C
，D 是其对称轴与x 轴的交点．
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(1)求抛物线的表达式．
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA
MC
+
的值最小，求点M 的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD
是等腰三角形？如果存在，请直接写出P 点坐标；如果不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)(
)
1,2
(3)存在，P 点坐标为(1,6) 或(
)
1, 10 ) 或(
)
1,
10
−
或
5
1, 3
【分析】（1）把
,
A C 两点的坐标代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由抛物线的对称性可知点A与点B 关于对称轴对称，所以BC 与抛物线对称轴的交点为M ，此时
MA
MC
+
最小，即MA
MC
+
最小值等于线段BC 长，求出直线BC 与抛物线对称轴交点M 坐标即可；
（3）分两种情况讨论：i）当PCD
是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC
CD
=
，②
PD
CD
=
，设出点 P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；ii）当PCD
是以CD为底的等腰
三角形时，点 P 在CD的垂直平分线上，PC
PD
=
，利用两点间的距离公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把
( 1,0),
(0,3)
A
C
−
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，
得：
1
0
3
b
c
c
−
−
+
=
=
，
解得：
2
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为：
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：由抛物线的对称性可知点A与点B 关于抛物线的对称轴对称，
设BC 与抛物线对称轴的交点为M ，连接AM ，此时MA
MC
+
最小，即MA
MC
+
最小值
BC
=
，如图，
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(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x = ，
∵
( 1,0)
A −
，点A与点B 关于抛物线的对称轴对称，
(3,0)
B
，
设直线BC 解析式为y
kx
m
=
+
，
则
3
0
3
k
m
m
+
=
=
，解得
1
3
k
m
−
=
=
，
∴直线BC 解析式为
3
y
x
= −+
，
当
1
x = 时，
2
y =
，
(1,2)
M
．
（3）解：∵
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
= −
+
+
= −
−
+ ，
∴对称轴为直线
1
x = ，
(1,0)
D
，
设点P 的坐标为(1, )t ，
(0,3)
C
，
2
2
2
1
3
10
CD
=
+
=
，
分两种情况讨论：i）当PCD
是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：
①若PC
CD
=
，则
2
2
1
(
3)
10
t−
+
=
，解得
0
t =
（舍弃）或 6 ，
所以点P 的坐标为(1,6) ；
②若PD
CD
=
，则
2
10
t =
，解得
10
t =
，
所以点 P 的坐标为(
)
1, 10 或(
)
1,
10
−
；
ii）当PCD
是以CD为底的等腰三角形时，PC
PD
=
，
则
2
2
1 (
3)
t
t
−
+
=
，解得：
5
3
t =
，
所以点P 的坐标为
5
1, 3
；
综上所述，点P 的坐标，分别是(1,6) 或(
)
1, 10 ) 或(
)
1,
10
−
或
5
1, 3
．
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3．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、
(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点
C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D 是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD，求BCD
面积的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使ACP
为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2) 27
8
(3)存在，点P 的坐标为
(
)
1,0
P
或(
)
1, 6
P
或(
)
1,
6
P
−
或(
)
1,1
P
【分析】（1）把
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 即可求解；
（2）设(
)(
)
2
,
2
3
0
3
D t
t
t
t
−
+
+
，过点D 作DH
x
⊥
轴于点H ，根据
BCD
BHD
BOC
OCDH
S
S
S
S
=
+
−
梯形
即可求
解；
（3）设
(
)
1,
P
m ，分三种情况：AC
CP
=
，AC
AP
=
，AP
CP
=
即可求解．
【详解】（1）解：把
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 得，
1
0
9
3
0
b
c
b
c
−
−
+
=
−+
+
=
，解得
2
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ．
（2）解：设(
)(
)
2
,
2
3
0
3
D t
t
t
t
−
+
+
，过点D 作DH
x
⊥
轴于点H ，
由抛物线的解析式
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
令
0
x =
时，
3
y =
，
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∴
(
)
0,3
C
，
∴
3
OC = ，
∵
(
)
3,0
B
，
(
)
2
,
2
3
D t
t
t
−
+
+
，且点D 在第一象限，
∴
3
OB =
，OH
t
= ，
2
2
3
DH
t
t
= −
+
+ ，
3
BH
t
= −，
∵
BCD
BHD
BOC
OCDH
S
S
S
S
=
+
−
梯形
(
)
(
) (
)
2
2
3
2
3
1
1
3
2
3
3 3
2
2
2
t
t
t
t
t
t
−
+
+
=
+
−
−
+
+
−
(
)
3
2
2
3
2
1
2
6
3
6
9
2
3
9
2
t
t
t
t
t
t
t
t
=
−
+
+
−
+
+ +
−
−
−
(
)
2
1
3
9
2
t
t
=
−
+
2
3
3
27
2
2
8
t
= −
−
+
，
∵
3
0
2
−
，
∴当
3
2
t =
时，BCD
的面积的最大值为27
8 ．
（3）解：设
(
)
1,
P
m ，
①当AC
CP
=
时，如图，
∵
(
)
1,0
A −
，
(
)
0,3
C
，
∴
2
2
1
3
10
AC =
+
=
，
∴
(
)
2
21
3
10
CP
m
=
+
−
=
，
解得
1
0
m =
，
2
6
m =
，
∴
(
)
1,0
P
或
(
)
1,6
P
，
设直线AC 的解析式为y
kx
n
=
+
，
把
(
)
1,0
A −
，
(
)
0,3
C
代入得
0
3
k
n
n
−+
=
=
，
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解得
3
3
k
n
=
=
，
∴直线AC 的解析式为
3
3
y
x
=
+ ，
当
1
x = 时，
3 1
3
6
y = +
= ，
∴
(
)
1,6
P
在直线AC 上，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴
(
)
1,0
P
；
②当AC
AP
=
时，如图，
由①可知
10
AC =
，
∴
(
)
2
2
1 1
+
10
AP
m
=
+
=
，
解得
6
m =
，
(
)
1, 6
P
或(
)
1,
6
P
−
；
③当AP
CP
=
时，如图，
∵
(
)
1,0
A −
，
(
)
0,3
C
，
(
)
1,
P
m ，
∴(
)
(
)
2
2
2
2
1 1
1
3
m
m
+
+
=
+
−
，
解得
1
m = ，
∴
(
)
1,1
P
；
综上所述，点P 的坐标为
(
)
1,0
P
或(
)
1, 6
P
或(
)
1,
6
P
−
或(
)
1,1
P
．
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◆题型2 二次函数中的直角三角形存在性问题
4．（25-26 九年级上·江西上饶·期末）如图，已知抛物线
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
+
经过
(
)
1 0
A ，，
(
)
3 0
B −，两点．
(1)求a
b
、的值．
(2)若点D 为抛物线上一动点，ABD
的面积为8 时，求点D 的坐标．
(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使BPC
为直角三角形的点P 的坐标．
【答案】(1)
1
a = −，
2
b = −
(2)点D的坐标为(
)
1,4
−
或(
)
1 2 2, 4
−+
−
或(
)
1 2 2, 4
−−
−
；
(3)点P 的坐标为(
)
1,4
−
或
3
17
1,
2
+
−
或
3
17
1,
2
−
−
或(
)
1, 2
−−
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的关
键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）求得
4
AB =
，由三角形面积求出
4
y =
，解方程
2
2
3
4
x
x
−
−
+
= ，即可求解；
（3）分别以点B、P、C 为直角顶点，三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：把
(
)
1,0
A
，(
)
3,0
B −
代入
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
+
中得：
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
+
+
=
−
+
=
，
解得，
1
2
a
b
= −
= −
；
（2）解：由（1）知，
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ，
设点
(
)
,
D x y ，
∵
(
)
1,0
A
，
(
)
3,0
B −
，
4
AB
=
，
ABD
的面积为8，
4
y
=
，
当
4
y =
时，
2
2
3
4
x
x
−
−
+
=
，即
2
2
1
0
x
x
+
+ =
，
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解得
1
x = −，
∴点D的坐标为(
)
1,4
−
；
当
4
y
−
=
时，
2
2
3
4
x
x
−
−
+
= −，即
2
2
7
0
x
x
+
−
=
，
解得，
1
1
2 2
x
−
=
+
，
2
1
2 2
x
−
=
−
，
∴点D的坐标为(
)
1 2 2, 4
−+
−
或(
)
1 2 2, 4
−−
−
，
综上，点D的坐标为(
)
1,4
−
或(
)
1 2 2, 4
−+
−
或(
)
1 2 2, 4
−−
−
；
（3）解：抛物线解析式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
+
=
+
+
，
抛物线
(
)
2
1
4
y
x
= −
+
+
的对称轴为直线
1
x = −，
当
0
x =
时，
3
y =
，
∴
(
)
0,3
C
,
设
(
)
1,
P
m
−
，
(
)
(
)
3,0 ,
0,3
B
C
−
，
(
)
(
)
2
2
2
2
3
1
0
4
BP
m
m
= −−−
+
−
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
1 0
3
6
10
CP
m
m
m
=
−
+
−
=
−
+
，
(
)
(
)
2
2
2
3
0
0
3
18
BC = −−
+
−
=
，
当
90
BPC
=
时，则
2
2
2
BP
CP
BC
+
=
，
2
2
4
6
10
18
m
m
m
+
+
−
+
=
，
解得：
3
17
2
m
=
，
点P 的坐标为
3
17
1,
2
+
−
或
3
17
1,
2
−
−
；
当
90
=
BCP
时，则
2
2
2
BC
CP
BP
+
=
，
2
2
18
6
10
4
m
m
m
+
−
+
=
+
，
解得：
4
m =
，
点P 的坐标为(
)
1,4
−
；
当
90
PBC
=
时，则
2
2
2
BC
BP
CP
+
=
，
2
2
18
4
6
10
m
m
m
+
+
=
−
+
，
解得：
2
m = −，
点P 的坐标为(
)
1, 2
−
−
；
综上所述，存在这样的点P ，使得BPC
为直角三角形，点P 的坐标为(
)
1,4
−
或
3
17
1,
2
+
−
或
3
17
1,
2
−
−
或(
)
1, 2
−
−
．
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5．（25-26 九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，已知抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴为直线
1
x = −，且经过
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
C
两点，与x 轴的另一个交点为B ．
(1)若直线y
mx
n
=
+
经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；
(2)在直线BC 上方的抛物线上找一点M ，求点M 的坐标，使BCM
面积最大．
(3)设点P 为抛物线的对称轴
1
x = −上的一个动点，是否存在点P ，使BPC
为直角三角形，直接写出点P 的
坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ；直线BC 的解析式为
3
y
x
=
+
，
(2)
3 15
,
2
4
M
−
(3)(
)
1, 2
−−
或(
)
1,4
−
或
7
1, 3
1
2
−
+
或
3
17
1,
2
−
−
．
【分析】（1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C 坐标代入直
线解析求解得参数值，进而得解析式；
（2）设点M 的坐标为(
)
2
,
2
3
m
m
m
−
−
+
，连接OM ，然后表示出
2
3
3
27
2
2
8
BCM
S
m
= −
+
+
，然后利用二次函
数的性质求解即可．
（3）首先利用勾股定理求得BC ，PB，PC 的长，然后分别从点B 为直角顶点、点C 为直角顶点、点P 为
直角顶点去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）解：根据题意，得
1
2
0
3
b
a
a
b
c
c
−
= −
+
+
=
=
，解得
1
2
3
a
b
c
= −
= −
=
，
∴抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ；
令
2
2
3
0
x
x
−
−
+
=
，解得
1
2
1
3
x
x
=
= −
，
，
∴
( 3,0)
B −
．
由直线y
mx
n
=
+
经过
( 3,0)
(0,3)
B
C
−
，
两点，得
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3
0
3
m
n
n
−
+
=
=
，解得
1
3
m
n
=
=
，
∴直线BC 解析式为
3
y
x
=
+
．
（2）解：设点M 的坐标为(
)
2
,
2
3
m
m
m
−
−
+
，连接OM ，
因为对称轴为
1
x = −，
(
)
1,0
A
，
所以
(
)
3,0
B −
，故
3
OB =
，
因为
(
)
0,3
C
，故
3
OC = ，
BCM
BOM
COM
BOC
S
S
S
S
=
+
−
△
△
△
△
(
)
(
)
2
1
1
1
3
2
3
3
3 3
2
2
2
m
m
m
=
−
−
+
+
−
−
2
3
3
27
2
2
8
m
= −
+
+
，
∴当
3
2
m = −
时，
BCM
△
的面积最大，此时点M 的坐标为
3 15
,
2 4
−
；
（3）解：设(
)
1,
P
t
−
，
又
(
)
3,0
B −
，
(
)
0,3
C
，
2
18
BC =
，
2
2
2
2
( 1 3)
4
PB
t
t
= −+
+
=
+
，
2
2
2
2
( 1)
(
3)
6
10
PC
t
t
t
= −
+
−
=
−
+
，
①若点B 为直角顶点，则
2
2
2
BC
PB
PC
+
=
，
即：
2
2
18
4
6
10
t
t
t
+
+
=
−
+
，解得：
2
t = −；
②若点C 为直角顶点，则
2
2
2
BC
PC
PB
+
=
，
即：
2
2
18
6
10
4
t
t
t
+
−
+
=
+
，解得：
4
t =
，
③若点P 为直角顶点，则
2
2
2
PB
PC
BC
+
=
，
即：
2
2
4
6
10
18
t
t
t
+
+
−
+
=
，
解得：
1
3
17
2
t
+
=
，
2
3
17
2
t
−
=
；
综上所述P 的坐标为(
)
1, 2
−−
或(
)
1,4
−
或
7
1, 3
1
2
−
+
或
3
17
1,
2
−
−
．
6．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过点
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
．
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(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标；
(2)将抛物线沿y 轴向下平移m（
0
m
）个单位长度，平移后的抛物线与直线BC 恰好只有一个公共点．求m
的值；
(3)点P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P ，使得PBC
是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求
出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
= −
+
+ ，
(
)
1,4
E
(2) 9
4
(3)存在，(
)
1, 2
−
或(
)
1,4
【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、
抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由
2
4
0
b
ac
−
=
即可求解；
（3）设点P 的坐标为(
)
1,n ，用n 表示BC 、BP、CP 的长度，对PBC
的斜边进行分类讨论，结合勾股定
理得出方程，求解方程即可．
【详解】（1）解：将点
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，
得
0
0
9
3
3
a
b
c
a
b
c
c
=
−
+
=
+
+
=
，解得
1
2
3
a
b
c
= −
=
=
，
故抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
= −
+
+ ，
对称轴为直线
(
)
2
1
2
1
x = −
=
−
，
当
1
x = 时，
( )
2
1
2 1 3
4
y = −
+ +
=
，
故点E 的坐标为(
)
1,4 ．
（2）解：假设平移后的函数表达式为
2
2
3
y
x
x
m
= −
+
+ −
，
假设直线BC 所在的函数表达式为
BC
BC
BC
y
k
x
b
=
+
，
将点
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
代入
BC
BC
BC
y
k
x
b
=
+
，
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得
0
3
3
BC
BC
BC
k
b
b
=
+
=
，解得
1
3
BC
BC
k
b
= −
=
，
故直线BC 所在的函数表达式为
3
BC
y
x
= −+ ，
由于平移后的抛物线与直线BC 恰好只有一个公共点，
即方程
2
2
3
3
x
x
m
x
−
+
+ −
= −+ 仅有一个实数解，
整理得
2
3
0
x
x
m
−
+
=
，
故
(
)
2
2
4
3
4
0
b
ac
m
−
= −
−
=
，
解得
9
4
m =
．
（3）解：假设点P 的坐标为(
)
1,n ，
∵
(
)
1,
P
n ，
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
，
∴
( )
( )
2
2
3
3
3 2
BC =
+
=
，
(
)
( )
2
2
2
3 1
4
BP
n
n
=
−
+
=
+
，
( )
(
)
2
2
2
1
3
6
10
CP
n
n
n
=
+
−
=
−
+
，
当PB为直角PBC
的斜边时，
2
2
2
BP
BC
CP
=
+
，
即
2
2
4
18
6
10
n
n
n
+
=
+
−
+
，
解得
4
n =
；
当PC 为直角PBC
的斜边时，
2
2
2
PC
BC
BP
=
+
，
即
2
2
6
10
18
4
n
n
n
−
+
=
+
+
，
解得
2
n = −；
故点P 的坐标为(
)
1, 2
−
或(
)
1,4 ．
◆题型3 二次函数中的等腰直角三角形存在性问题
7．
（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点(
)
3,0
B
、(
)
0, 6
C
−
，与直线
3
y
x
=
−
交于B、D 两点，点P 是抛物线上一动点，记点P 的横坐标为t．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P 位于直线BD下方时，求BDP
面积的最大值及此时点P 的坐标；
(3)过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点H，若AHP
是等腰直角三角形，求点P 的坐标．
【答案】(1)
2
6
y
x
x
=
−−
(2) BDP
的面积的最大值为8，
(
)
1, 6
P
−
(3)(
)
4,6 或(
)
2, 4
−
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P 作PE
y
轴，交BD于点E，先表示
2
( ,
6)
P t t
t
−−
，
( ,
3)
E t t −
，得出
2
2
3
PE
t
t
= −
+
+
，故
2
2(
1)
8
BDP
DPE
BPE
S
S
S
t
=
+
= −
−
+
，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）因为
90
=
PHA
，且AHP
是等腰直角三角形，得AH
PH
=
，由（2）知
2
( ,
6)
P t t
t
−−
，所以
|
2 |
AH
t
=
+
，
2
6
PH
t
t
=
−−
，则
2
2
6
t
t
t
+
=
−−
，再解出方程，即可作答．
【详解】（1）解：抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点(
)
3,0
B
、
(
)
0, 6
C
−
，
9
3
6
0
6
b
c
+
−
=
= −
，
解得
1
6
b
c
= −
= −
抛物线的解析式为
2
6
y
x
x
=
−−
，
（2）解：抛物线的解析式为
2
6
y
x
x
=
−−
与直线
3
y
x
=
−
交于B、D 两点．
2
3
6
x
x
x
−
=
−
−
，
解得
1
1
x = −，
2
3
x =
，
把
1
x = −代入
3
y
x
=
−
，得
4
y
−
=
，
点D 的坐标为(
)
1, 4
−−
，
如图1，过点P 作PE
y
轴，交BD于点E，
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则(
)
2
,
6
P t t
t
−−
，
(
)
,
3
E t t −
，
(
)
2
2
3
6
2
3
PE
t
t
t
t
t
= −−
−−
= −
+
+
，
点B 的坐标是(
)
3,0
BDP
DPE
BPE
S
S
S
=
+
△
△
△
(
)
(
)
1
1
2
2
E
D
B
E
PE
x
x
PE
x
x
=
−
+
−
(
)
1
2
B
D
PE
x
x
=
−
(
)
2
2
2
3
t
t
=
−
+
+
(
)
2
2
1
8
t
= −
−
+
，
当
1
t = 时，BDP
的面积的最大值为8，
此时
(
)
1, 6
P
−
．
（3）解：如图2，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点H，
PH
x
⊥
轴于H，
90
PHA
=
，
AHP
△
是等腰直角三角形，
AH
PH
=
，
由（2）知(
)
2
,
6
P t t
t
−−
，
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点H 的坐标为(
)
,0
t
，
由（1）可知(
)
2,0
A −
，
(
)
2
2
AH
t
t
=
−−
=
+
，
2
6
PH
t
t
=
−−
，
2
2
6
t
t
t
+
=
−−
，
2
2
6
t
t
t
+
=
−−
或
(
)
2
2
6
t
t
t
+
= −
−−
，
即
2
2
8
0
t
t
−
−
=
或
2
4
0
t −
=
，
当
2
2
8
0
t
t
−
−
=
时，
解得
4
t =
或
2
t
−
=
（舍去），
此时
(
)
4,6
P
；
当
2
4
0
t −
=
时，
解得
2
t =
或
2
t
−
=
（舍去），
此时
(
)
2, 4
P
−
，
综上，点P 的坐标为(
)
4,6 或(
)
2, 4
−
．
8．（25-26 九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与直线
2
y
x
=
−
交于点(
)
0, 2
A
−
和
点
(
)
4,
B
n ，对称轴是直线
1
x = ，过B 平行于x 轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M 是抛物线上任意一
点，其横坐标是m．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)当点M 在直线AB 上方时，若
1
2
ABM
ABC
S
S
=
△
△
，求m 的值；
(3)设N 是直线BC 上的点，是否存在点M 和点N 的位置，使AMN
是以AN 为斜边的等腰直角三角形？若
存在，请求所有m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
1
2
2
y
x
x
=
−
−
(2)2
10
+
或2
10
−
(3)存在，
1
2 2
m =
，
2
2 2
m = −
，
3
2
2 3
m =
+
，
4
2
2 3
m =
−
．
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【分析】（1）先求出点B 的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）在A 点上方的y 轴取点D，连接BD，求出使得
6
ABD
S
=
△
的点D 的坐标，求出过点D 且平行AB 的直
线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m 即可；
（3）作ME
BC
⊥
于点E，AF
ME
⊥
于点F，根据题意可知当AF
ME
=
，
90
AMN
=
时，AMN
是以AN
为斜边的等腰直角三角形，从而根据AF
ME
=
列出m 的方程求解即可．
【详解】（1）解：将
(4, )
B
n 代入
2
y
x
=
−
得，4
2
n
=
−
解得：
2
n =
∴点B 坐标为(4,2)
由题意，
16
4
2
1
2
2
a
b
c
b
a
c
+
+
=
−
=
= −
，
解得，
1
2
1
2
a
b
c
=
= −
= −
，
∴抛物线的函数关系式是
2
1
2
2
y
x
x
=
−
−．
（2）当
0
x =
时，
2
1
2
2
2
y
x
x
=
−−
= −，
∴
(
)
0, 2
A
−
，
∵点B 坐标为(4,2)，抛物线对称轴为直线
1
x = ，
∴点C 坐标为( 2,2)
−
，
6
BC
=
1
1
6 4
12
2
2
ABC
B
A
S
BC y
y
=
−
=
=
由题意，
1
6
2
ABM
ABC
S
S
=
=
在A 点上方的y 轴取点D，连接BD，设
6
ABD
S
=
△
，则1
6
2
B
AD x
=
，即1
4
6
2 AD
=
，
解得
3
AD = ，
(0,1)
D
过点D 作AB 的平行线交抛物线于点M，
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由题意，该直线函数关系式为
1
y
x
=
+
令
2
1
2
1
2 x
x
x
−
−
=
+
解得，
1
2
10
x =
+
，
2
2
10
x =
−
2
10
m
=
+
或2
10
−
（3）存在．
1
2 2
m =
，
2
2 2
m = −
，
3
2
2 3
m =
+
，
4
2
2 3
m =
−
．
作ME
BC
⊥
于点E，AF
ME
⊥
于点F
90
MEN
F
=
=
，
90
NME
MNE
+
=
当AF
ME
=
，
90
AMN
=
时，
90
AMF
NME
+
=
，
AMF
MNE
=
，
EMN
FAM
△
≌△
，
∴AM
MN
=
，
∴当AF
ME
=
，
90
AMN
=
时，AMN
是以AN 为斜边的等腰直角三角形．
2
1
2
2
2
m
m
m
=
−
−
−
，
解得，
1
2 2
m =
，
2
2 2
m = −
，
3
2
2 3
m =
+
，
4
2
2 3
m =
−
．
9．（25-26 九年级下·黑龙江绥化·开学考试）综合与探究
如图，抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
−交x 轴于A、B 两点，交y 轴于点C．直线
5
y
kx
=
−经过B、C 两点，若点
(
)
1,0
A
，
(
)
5,0
B −
，点P 是抛物线上的一个动点（不与点A、B 重合）．
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(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点P 作直线PD
x
⊥
轴于点D，交直线BC 于点E，当
3
PE
ED
=
时，求P 点坐标；
(3)若点F 是直线BC 上的一个动点，请判断在点B 右侧的抛物线上是否存在点P，使
AFP
△
是以PF 为斜边
的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
5
y
x
x
=
+
−
(2)
(
)
1
3, 8
P −
−
，
(
)
2 3,16
P
(3)存在，P 点坐标为(
)
1, 8
−−
或(
)
2, 9
−
−
或(
)
2,7
【分析】（1）把
(
)
1,0
A
，(
)
5,0
B −
代入
2
5
y
ax
bx
=
+
−，解方程组，求出a，b 的值，即得；
（2）求出
(
)
0, 5
C
−
，直线BC 的解析式=
5
y
x
−
−
，设(
)
2
,
4
5
P x x
x
+
−
，则
(
)
,
5
E x
x
−−
，分
5
x −，5
x
0
−
，
0
1
x
和
1
x ，四种情况解答；
（3）过点F，P 作FG
x
⊥
轴于G，PH
x
⊥
轴于H，得
90
AGF
AHP
=
=
，根据等腰直角三角形．得
90
AF
AP
PAF
=
=
，
，得
FAG
APH
=
，得
(
)
AAS
AFG
PAH
≌
，得AH
FG
PH
AG
=
=
，
，设
(
)
2
,
4
5
P m m
m
+
−
，分5
1
m
−
和
1
m 两种情况解答．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
−交x 轴于
(
)
1,0
A
，(
)
5,0
B −
两点，
∴
5
0
25
5
5
0
a
b
a
b
+
−
=
−
−
=
，
解得
1
4
a
b
=
=
，
∴
2
4
5
y
x
x
=
+
−；
（2）解：∵
2
4
5
y
x
x
=
+
−中，当
0
x =
时，
5
y = −，
∴
(
)
0, 5
C
−
，
∴设直线BC 的解析式为
5
y
kx
=
−，
∵
(
)
5,0
B −
，
∴5
5
0
k
−
−=
，
∴
1
k = −，
∴=
5
y
x
−
−
，
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设(
)
2
,
4
5
P x x
x
+
−
，
则
(
)
,
5
E x
x
−−
，
当
5
x −时，如图：
(
)
2
2
4
5
5
5
PE
x
x
x
x
x
=
+
−−−−
=
+
，
5
DE
x
= −−，
∵
3
PE
ED
=
，
∴
(
)
2
5
3
5
x
x
x
+
=
−−
，
解得
1
3
x = −（舍去），
2
5
x = −（舍去），
∴点P 不存在；
当5
x
0
−
时，如图：
(
)
2
2
5
4
5
5
5
PE
x
x
x
x
x
DE
x
= −−−
+
−
= −
−
=
+
，
，
∴
(
)
2
5
3
5
x
x
x
−
−
=
+
，
解得
3
3
x = −，或
4
5
x = −（舍去），
∴
2
4
5
8
x
x
+
−
= −，
∴
(
)
1
3, 8
P −
−
；
当0
1
x
时，如图：
PE
CE
，点P 不存在；
当
1
x 时，如图：
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(
)
2
2
4
5
5
5
PE
x
x
x
x
x
=
+
−−−−
=
+
，
5
DE
x
=
+ ，
∴
(
)
2
5
3
5
x
x
x
+
=
+
，
解得
5
3
x = ，
6
5
x = −（舍去），
∴
2
4
5
16
x
x
+
−
=
，
∴
(
)
2 3,16
P
，
故P 点坐标为
(
)
1
3, 8
P −
−
，
(
)
2 3,16
P
；
（3）解： 过点F，P 作FG
x
⊥
轴于G，PH
x
⊥
轴于H，则
90
AGF
AHP
=
=
，
∵
AFP
△
是以PF 为斜边的等腰直角三角形．
∴
90
AF
AP
PAF
=
=
，
，
∴
90
FAG
PAH
APH
PAH
+
=
+
=
，
∴
FAG
APH
=
，
∴
(
)
AAS
AFG
PAH
≌
，
∴AH
FG
PH
AG
=
=
，
，
设(
)
2
,
4
5
P m m
m
+
−
，
当5
1
m
−
时，如图，
2
1
4
5
AH
m
PH
m
m
= −
= −
−
+
，
，
∴
1
FG
m
= −
，
∴
5
1
x
m
−−= −
，
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∴
6
x
m
=
−，
∴
(
)
6,1
F m
m
−
−
，
∴
(
)
1
6
7
AG
m
m
= −
−
=
−
，
∴
2
4
5
7
m
m
m
−
−
+
=
−
,
解得
1
1
m = −，
2
2
m = −，
当
1
m = −时，
2
4
5
8
m
m
+
−
= −，
当
2
m = −时，
2
4
5
9
m
m
+
−
= −，
∴P 坐标为(
)
1, 8
−−
或(
)
2, 9
−
−
；
当
1
m 时，如图，
2
1
4
5
AH
m
PH
m
m
=
−
=
+
−
，
，
∴
1
FG
m
=
−，
∴
5
1
x
m
−−=
−，
∴
4
x
m
= −
−，
∴
(
)
4,
1
F
m
m
−
−
−
，
∴
(
)
1
4
5
AG
m
m
= −−
−
=
+ ，
∴
2
4
5
5
m
m
m
+
−
=
+ ,
解得
3
2
m =
，
4
5
m = −（舍去），
此时
2
4
5
7
m
m
+
−
=
，
∴P 坐标为(
)
2,7 ；
故P 坐标为(
)
1, 8
−−
或(
)
2, 9
−
−
或(
)
2,7 ．
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综合攻坚·知能拔高
1．（25-26 九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象交x 轴于
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
两点，交y 轴于点C．点M 是线段OB 上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点
E，交直线BC 于点F．
(1)求抛物线和直线BC 的表达式；
(2)求线段EF 的最大值；
(3)如图2，是否存在以点C，E，F 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，直线BC 的解析式为
3
y
x
= −+
(2) 9
4
(3)(
)
1,0 或(
)
2,0
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，利用分类讨论思想
解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设
(
)
,0
M m
，则(
)
2
,
2
3
E m
m
m
−
+
+
，
(
)
,
3
F m
m
−
+
，可得到用m 表示EF 的长，再根据二次函数的性
质，即可求解；
（3）先求出
2
2
2
2
2
2
3 ,
2,
(
2 )
EF
m
m CF
m
m
m
CE
m
m
m
= −
+
=
+
=
=
+ −
+
，分类讨论：①当
90
ECF
=
时，
②当
90
CEF
=
时，③当
90
CFE
=
时，
【详解】（1）解：把点
(
)
(
)
1,0 ,
3,0
A
B
−
代入
2
3
y
ax
bx
=
+
+ ，得：
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
−+
=
+
+
=
，
解得：
1
2
a
b
−
=
=
抛物线的表达式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
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设直线BC 解析式为y
kx
b
=
+
，
∵直线BC 经过点B ，C ，
∴
3
0
3
k
b
b
+
=
=
，
解得
1
3
k
b
−
=
=
．
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
= −+
．
答：抛物线的表达式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，直线BC 的解析式为
3
y
x
= −+
．
（2）解：如图
设
(
)
,0
M m
，则(
)
2
,
2
3
E m
m
m
−
+
+
，
(
)
,
3
F m
m
−
+
∵抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 与y 轴相交于点C ，
∴
(
)
0,3
C
．
∵(
)
2
,
2
3
E m
m
m
−
+
+
，
∴
(
) (
)
2
2
2
3
9
2
3
3
3
2
4
EF
m
m
m
m
m
m
= −
+
+
−−
+
= −
+
= −
−
+
；
∴当
3
2
m =
时，EF 取得最大值9
4 ；
（3）解：由（2），得
(
)
,0
M m
，
2
( ,
2
3),
( ,
3), (0,3)
E m
m
m
F m
m
C
−
+
+
−
+
，
∴
2
2
2
2
2
2
3 ,
2,
(
2 )
EF
m
m CF
m
m
m
CE
m
m
m
= −
+
=
+
=
=
+ −
+
．
①当
90
ECF
=
时，如图
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∵
90
ECF
=
，
∴由勾股定理，得
2
2
2
CE
CF
EF
+
=
．
即
2
2
2
2
2
2
(
2 )
2
(
3 )
m
m
m
m
m
m
+ −
+
+
= −
+
，
2(
1)
0
m m−
=
，
解得
1
m = 或
0
m =
（不符合题意，舍去），
∴
(
)
1,0
M
．
②当
90
CEF
=
时，如图
∵
90
CEF
=
，
∴由勾股定理，得
2
2
2
CE
EF
CF
+
=
．
即
2
2
2
2
2
2
(
2 )
(
3 )
2
m
m
m
m
m
m
+ −
+
+ −
+
=
，
整理，得
(
)
2
2
2
2
2
4
4
(
6
9)
0
m
m
m
m m
m
m
−
+
+
−
+
−
=
，
(
)
2
2
5
6
0
m
m
m
−
+
=
，
2(
2)(
3)
0
m m
m
−
−
=
，
解得
2
m =
或
0
m =
（不符合题意，舍去）或
3
m =
（不符合题意，舍去），
∴
(
)
2,0
M
．
③当
90
CFE
=
时，如图，
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∵EM
x
⊥
轴于点M，
∴
90
EMB
=
，
∴
90
MFB
，
即
90
CFE
，
∴当
90
CFE
=
时，不符合题意，舍去．
综上，存在满足条件的点M，其坐标为(
)
1,0 或(
)
2,0 ．
2．（25-26 九年级上·江西九江·期末）如图，已知抛物线
2
6
y
ax
bx
=
+
−
经过(
)
(
)
1, 4 ,
3,0
A
B
−−
两点，与y 轴
交于点C ，连接AC ，BC ．P 是线段OB 上一动点，过点P 作PM
x
⊥轴，交抛物线于点M ，交线段BC 于
点N ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当
1
3
PN
OC
=
时，求出点M 和点N 的坐标；
(3)连接AN ，当ACN
是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
【答案】(1)
2
6
y
x
x
=
−−
(2)
(
)
(
)
2, 4
2, 2
M
N
−
−
，
(3) 5 ,0
6
或(
)
1,0 或6 ,0
5
【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数的表达式，等腰三角形的定义，勾股定理等等，
利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出
(
)
0, 6
C
−
，则可求出直线BC 的函数表达式为
2
6
y
x
=
−，设(
)(
)
,0
0
3
P p
p
，则
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(
)
(
)
2
,2
6
,
6
N p
p
M p p
p
−
−
−
，
，则可得到2
6
2
p
−
+
=
，解方程即可得到答案；
（3）设
(
)(
)
,0
0
3
P n
n
，则
(
)
,2
6
N n
n −
，分三种情况：当AN
AC
=
时，则
2
2
AN
AC
=
，当AN
CN
=
时，
则
2
2
AN
CN
=
，当AC
CN
=
时，则
2
2
AC
CN
=
，利用两点间的距离公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
6
y
ax
bx
=
+
−
经过
(
)
(
)
1, 4 ,
3,0
A
B
−−
两点，
∴
6
4
9
3
6
0
a
b
a
b
−−
= −
+
−
=
，
解得
1
1
a
b
−
=
=
，
∴抛物线的函数表达式为
2
6
y
x
x
=
−−
；
（2）解：在
2
6
y
x
x
=
−−
中，当
0
x =
时，
6
y = −，
∴
(
)
0, 6
C
−
；
设直线BC 的函数表达式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，则
3
0
6
k
b
b
+
=
= −
，
∴
2
6
k
b
=
= −
，
∴直线BC 的函数表达式为
2
6
y
x
=
−，
设
(
)(
)
,0
0
3
P p
p
，则
(
)
(
)
2
,2
6
,
6
N p
p
M p p
p
−
−
−
，
，
∴
(
)
2
6
2
6
PN
p
p
= −
−
= −
+
，
∵
1
3
PN
OC
=
，
6
OC =
，
∴
2
PN =
，
∴2
6
2
p
−
+
=
，
∴
2
p =
，
∴
2
2
2
6
2
2
6
2
6
2
2
6
4
p
p
p
−
=
−
= −
−
−
=
−
−
= −
，
，
∴
(
)
(
)
2, 4
2, 2
M
N
−
−
，
；
（3）解：由（2）可知，直线BC 的函数表达式为
2
6
y
x
=
−，
设
(
)(
)
,0
0
3
P n
n
，则
(
)
,2
6
N n
n −
，
∵
(
)
(
)
1, 4
0, 6
A
C
−−
−
，
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
1
4
2
6
5
6
5
AN
n
n
n
n
= −−
+ −−
−
=
−
+
，
(
)
(
)
2
2
2
1 0
4
6
5
AC
= −−
+ −−−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
0
6
2
6
5
CN
n
n
n
=
−
+ −−
−
=
，
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当AN
AC
=
时，则
2
2
AN
AC
=
，
∴
2
5
6
5
5
n
n
−
+
=
，
解得
6
5
n =
或
0
n =
（舍去），
∴点P 的坐标为6 ,0
5
；
当AN
CN
=
时，则
2
2
AN
CN
=
，
∴
2
2
5
6
5
5
n
n
n
−
+
=
，
解得
5
6
n =
，
∴点P 的坐标为5 ,0
6
；
当AC
CN
=
时，则
2
2
AC
CN
=
，
∴
2
5
5n
=
，
解得
1
n = 或
1
n = −（舍去）
∴点P 的坐标为(
)
1,0 ；
综上所述，点P 的坐标为5 ,0
6
或(
)
1,0 或6 ,0
5
．
3．
（25-26 九年级上·四川德阳·期末）如图，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与y 轴交于点B ，与x 轴交于(
)
4,0
A −
，
(
)
1,0
C
，点
(
)
,0
M m
是线段OA上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l ，分别与直线AB 和抛物线交于D 、E
两点，连接AE 、BE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求出当ABE
的面积为3 时，m 的值；
(3)在x 轴上有一个点F ，
ABF
△
恰好是等腰三角形，请直接写出点F 的坐标．
【答案】(1)
2
3
9
3
4
4
y
x
x
= −
−
+
(2) m 的值为2
2
−
(3)(
)
1,0 或(
)
9,0
−
或(
)
4,0 或
7 ,0
8
−
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【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面
积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将点A、C 的坐标代入
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 即可；
（2）利用点A、B 的坐标求出直线AB 的解析式，推出D 点纵坐标，再由E 点纵坐标得到ED长度，根据
1
1
(
)
2
2
ABE
AED
BED
S
S
S
ED AM
ED MO
ED AO
=
+
=
+
=
，即可推出答案；
（3）设点F 的坐标为(
)
,0
t
，由
( 4,0)
A −
，(0,3)
B
可知，
2
25
AB =
，
(
)
2
2
4
AF
t
=
+
，
2
2
9
BF
t
=
+ ，根据题意，
分类讨论：①当AB
AF
=
时， ②当AB
BF
=
时， ③当AF
BF
=
时，三种情况分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：将
( 4,0)
A −
，
(1,0)
C
代入
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 中，
16
4
3
0
3
0
a
b
a
b
−
+
=
+
+
=
，
解得：
3
4
a
−
=
，
9
4
b = −
，
抛物线的解析式为：
2
3
9
3
4
4
y
x
x
= −
−
+ ；
（2）解：对
2
3
9
3
4
4
y
x
x
= −
−
+ ，令
0
x =
，则
3
y =
，
∴
(
)
0,3
B
；
如图
设直线AB 的解析式为：
(
)
0
y
kx
d k
=
+
，将
( 4,0)
A −
，
(0,3)
B
代入，得
4
0
3
k
d
d
−
+
=
=
，
解得：
3
4
k =
，
3
d = ，
直线AB 的解析式为：
3
3
4
y
x
=
+ ，
( ,0)
M m
，EM
AO
⊥
，点E 、D 分别是抛物线和直线AB 上的点，
D点坐标为
3
,
3
4
m
m
+
，E 点坐标为
2
3
9
,
3
4
4
m
m
m
−
−
+
，
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2
2
3
9
3
3
3
3
3
4
4
4
4
ED
m
m
m
m
m
= −
−
+ −
+
= −
−
，
1
1
(
)
2
2
ABE
AED
BED
S
S
S
ED AM
ED MO
ED AO
=
+
=
+
=
，
4
AO =
，
2
1
1
3
4
3
3
2
2
4
ED AO
m
m
=
−
−
=
，
解得：
1
2
2
m = −−
，
2
2
2
m = −+
，
4
2
2
0
−−−
，4
2
2
0
−−+
，符合点
( ,0)
M m
是线段OA上的一个动点，
m 的值为2
2
−
．
（3）解：设点F 的坐标为：(
)
,0
t
，
由
( 4,0)
A −
，
(0,3)
B
可知，
2
25
AB =
，
(
)
2
2
4
AF
t
=
+
，
2
2
9
BF
t
=
+ ，
若
ABF
△
是等腰三角形，则
①当AB
AF
=
时，即
2
2
AB
AF
=
，得(
)
2
4
25
t +
=
，解得：1
1
t = ，2
9
t = −，
∴点F 的坐标为(
)
1,0 或(
)
9,0
−
；
如图
或
②当AB
BF
=
时，即
2
2
AB
BF
=
，得2
9
25
t +
=
，解得：1
4
t =
，2
4
t = −（舍去），
∴点F 的坐标为(
)
4,0 ；
如图
③当AF
BF
=
时，即
2
2
AF
BF
=
，得
(
)
2
2
9
4
t
t
+
=
+
，解得：
7
8
t = −
，
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∴点F 的坐标为
7 ,0
8
−
；
如图
综上，
ABF
△
恰好是等腰三角形时，点F 的坐标为(
)
1,0 或(
)
9,0
−
或(
)
4,0 或
7 ,0
8
−
．
4．（25-26 九年级上·四川眉山·期末）如图，已知二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
−与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交
于点C ，A、B 两点坐标为(
)
3,0
A −
、
(
)
1,0
B
．
(1)求二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
−的表达式；
(2)点P 在直线AC 下方的抛物线上，连结PA、PC ，求PAC
的最大面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使Q 、A、C 为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点Q 的
坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
+
−
(2) 27
8
(3)存在，点Q 的坐标为
3
17
1,
2
Q
−+
−
、
3
17
1,
2
Q
−−
−
、
(
)
1,2
Q −
或
(
)
1, 4
Q −−
【分析】（1）代入两点坐标求解二次函数表达式；
（2）通过设点坐标，结合直线方程表示线段长度，利用二次函数配方法求面积最大值；
（3）分
90
AQC
=
，
90
QAC
=
，
90
ACQ
=
三种情况讨论，当
90
AQC
=
，时，结合全等三角形
与设直线方程求解；
90
QAC
=
，
90
ACQ
=
时，利用等腰直角三角形的判定与性质求解．
【详解】（1）解：将
(
)
3,0
A −
、
(
)
1,0
B
代入
2
3
y
ax
bx
=
+
−，得
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9
3
3
0
3
0
a
b
a
b
−
−
=
+
−
=
，解得
1
2
a
b
=
=
，
故二次函数表达式为
2
2
3
y
x
x
=
+
−；
（2）解：设直线AC 的解析式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
．
将
(
)
3,0
A −
，
(
)
0, 3
C
−
代入y
kx
b
=
+
，
得
3
0
3
k
b
b
−
+
=
= −
，解得
1
3
k
b
−
−
=
=
，
∴直线AC 的解析式为
3
y
x
= −−
．
设点P 的坐标为(
)
2
,
2
3 ( 3
0)
t t
t
t
+
−
−
，过P 作x 轴的垂线，交直线AC 于点Q ，则Q 的横坐标为t ，则
(
)
,
3
Q t
t
−−
，
∴
(
) (
)
2
2
3
2
3
3
PQ
t
t
t
t
t
= −−
−
+
−
= −
−
，
∴PAC
的面积
(
)
2
2
2
1
1
3
9
3
3
27
3
3
2
2
2
2
2
2
8
C
A
S
PQ x
x
t
t
t
t
t
=
−
=
−
−
= −
−
= −
+
+
．
∵
3
0
2
−
，
∴函数图象开口向下，
∴当
3
2
t = −
时，S取得最大值27
8 ．
（3）解：①如图，当
90
AQC
=
，点Q 在直线AC 上方时，对称轴与x 轴交点为
(
)
1,0
M −
，在y 轴上截
取
2
CN
AM
=
=
，过点N 作y 轴垂线交CQ 于点P ，设
(
)
1,
(
0)
Q
m
m
−
，则
2
AM =
，
.
QM
m
=
∵
90
AQC
=
，
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∴
90
AQM
CQM
+
=
．
又∵
CQM
PCN
=
，且
90
PCN
CPN
+
=
，
∴
AQM
CPN
=
．
在AMQ
和CPN
中：
90
AQM
CPN
AMQ
CNP
AM
CN
=
=
=
=
∴
(
)
AAS
AMQ
CNP
，
∴PN
QM
m
=
=
，
2
CN
AM
=
=
．
∴
(
)
, 1
P
m
−
−
．
∵
(
)
0, 3
C
−
，
∴设直线CQ 的函数解析式为
3
y
px
=
−
，
将
(
)
, 1
P
m
−
−
、
(
)
1,
Q
m
−
代入得：
3
1
3
pm
p
m
−
−
= −
−
−
=
对两个方程进行整理：
2
3
pm
p
m
= −
+
= −
①
②
由方程②，得
3
p
m
= −−
，将其代入方程①：(
)
3
2
m
m
−−
= −
展开并整理得到：
2
3
2
0
m
m
+
−
=
，
∴
(
)
2
3
3
4 1
2
3
17
2 1
2
m
−+
−−
−+
=
=
(舍去负值)．
②如图，当
90
AQC
=
，点Q 在直线AC 下方时，对称轴与x 轴交点为
(
)
1,0
M −
，在y 轴上截取
2
CN
AM
=
=
，过点N 作y 轴垂线交CQ 于点P ，设
(
)
1,
(
0)
Q
m
m
−
，则
2
AM =
，
.
QM
m
= −
同理PN
QM
m
=
= −
，
2
CN
AM
=
=
．
∴
(
)
, 5
P m −
．
设直线CQ 的函数解析式为
3
y
px
=
−
，
将
(
)
, 5
P m −
、
(
)
1,
Q
m
−
代入得：
3
5
3
pm
p
m
−
= −
−
−
=
，
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由方程②，得
3
p
m
= −−
，将其代入方程①：(
)
3
2
m
m
−−
= −
展开并整理得到：
2
3
2
0
m
m
+
−
=
，
∴
(
)
2
3
3
4 1
2
3
17
2 1
2
m
−−
−−
−−
=
=
(舍去正值)．
③如图，当
90
QAC
=
时，对称轴与x 轴交点为
(
)
1,0
M −
，
∵
3
OA
OC
=
= ，且
90
AOC
=
，
∴OAC
是等腰直角三角形，
∴
45
OAC
=
．
∴
90
45
45
QAM
QAC
OAC
=
−
=
−
=
，
∴QAM
是等腰直角三角形，
∴
2
QM
AM
=
=
．
∴
(
)
1,2
Q −
．
④如图，当
90
ACQ
=
时，过点Q 作QH
y
⊥
轴，易得
45
ACO
=
．
∵
90
ACQ
=
，
∴
180
180
90
45
45
QCH
ACQ
ACO
=
−
−
=
−
−
=
，
∴QCH
为等腰直角三角形，
∴
1
CH
QH
=
= ，
∴
(
)
1, 4
Q −−
．
综上，点Q 的坐标为
3
17
1,
2
Q
−+
−
、
3
17
1,
2
Q
−−
−
、
(
)
1,2
Q −
或
(
)
1, 4
Q −−
．
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【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数与几何图形的面积问题以及特殊三角形存在性
问题，涵盖代数运算、函数性质、几何图形判定与计算三大模块．第（1）小题很好解决，第（2）小题中
需要用铅垂高法求PAC
的最大面积，第（3）小题需要分三种情况结合几何图形性质求解．
5．（25-26 九年级上·山东济南·期末）综合与探究，如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与y 轴交于点
(
)
0,2
A
，对称
轴为直线
2
x = −，平行于x 轴的直线与抛物线交于B、C 两点，点B 在对称轴左侧，
6
BC =
．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知在x 轴上存在一点D，使得ABD
的周长最小，则点D 的坐标为 ；
(3)若点P 在直线AB 上，直线CP 将ABC
的面积分成2 :3两部分，求点P 坐标．
(4)点Q 在直线BC 上，在抛物线上是否存在点M，使AQM
是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存
在，直接写出点Q 的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
2
y
x
x
=
+
+
(2)
10 ,0
9
−
(3)P 的坐标为(
)
2,4
−
或(
)
3,5
−
(4)在抛物线上存在点M，使AQM
是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，点Q 的坐标为(
)
0,7 或
15
65 ,7
2
−
+
或
15
65 ,7
2
−
−
或(
)
7,7
【分析】（1）由对称轴直线
2
x = −，以及A 点坐标确定出b 与c 的值，即可求出抛物线解析式；
（2）如图1，作点
(
)
0,2
A
关于x轴的对称点为点A，连接AD
A B
A B
，
，
交x轴于点D，则
(
)
' 0, 2
AD
A D
A
=
−
，
，
此时AD
BD
+
取得最小值，则此时ABD
的周长最小，再求出直线A B
解析式，即可求解；
（3）求出直线AB 解析式为
2
y
x
= −+
，设直线l 与AB 交于点P，如图2，过P 作PH
y
⊥
轴，垂足为H，
设BC 与y 轴交于点S，则PH
BC
∥
，则
5
BS =
，可得APH
ABS
∽
，然后根据直线CP 将ABC
的面积分
成2 :3两部分，可得
:
2:5
AP AB =
或
:
3:5
AP AB =
，即可求解；
（4）设点Q 的坐标为(
)
,7
s
，设BC 交y 轴于点K，则
5
AK =
，分四种情况，通过证明三角形全等，求出M
的坐标，再代入即可求解．
【详解】（1）解：抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与y 轴交于点
(
)
0,2
A
，对称轴为直线
2
x = −，
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将点A 的坐标代入，结合对称轴公式得：
2
2
2
b
c
−
= −
=
，
解得：
4
2
b
c
=
=
，
抛物线的解析式为
2
4
2
y
x
x
=
+
+
；
（2）对称轴为直线
2
x = −，
6
BC =
，
点B 横坐标为5
−，C 横坐标为1．
把
1
x = 代入抛物线解析式
2
4
2
y
x
x
=
+
+
得：
7
y =
，
(
)
(
)
5,7
1,7
B
C
−
，
．
如图1，作点
(
)
0,2
A
关于x 轴的对称点为点A，连接AD
A B
A B
，
，
交x 轴于点D，则
(
)
' 0, 2
AD
A D
A
=
−
，
，
此时AD
BD
+
取得最小值，则此时ABD
的周长最小，
设直线A B
解析式为
2
y
kx
=
−，将点B 的坐标代入得：7
5
2
k
= −
−，
解得：
9
5
k = −
，
直线A B
解析式为
9
2
5
y
x
= −
−
，
当
0
y =
时，
9
2
0
5 x
−
−
= ，
解得：
10
9
x = −
，
点D 的坐标为
10 ,0
9
−
，
故答案为：
10 ,0
9
−
；
（3）解：由（2）得：
(
)
(
)
0,2
5,7
A
B −
，
，
设直线AB 解析式为
1
2
y
k x
=
+
，
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1
7
5
2
k
= −
+
，解得：
1
1
k = −，
直线AB 解析式为
2
y
x
= −+
，
设直线l与AB 交于点P，如图2，过P作PH
y
⊥
轴，垂足为H，设BC 与y轴交于点S，则PH
BC
∥
，则
5
BS =
，
APH
ABS
∽
，
PH
AP
BS
AB
=
，
直线CP 将ABC
的面积分成2 :3两部分，
:
2:3
AP PB
=
或
:
3:2
AP PB =
，
:
2:5
AP AB
=
或
:
3:5
AP AB =
，
5
BS =
，
2
5
5
PH
=
或
3
5
5
PH =
，
2
PH
=
或
3
PH = ，
点P 的横坐标为2
−或3
−，
把
2
x = −代入
2
y
x
= −+
得：
4
y =
，
此时
(
)
2,4
P −
；
把
3
x
−
=
代入
2
y
x
= −+
得：
5
y =
，
此时
(
)
3,5
P −
，
综上所述，点P 的坐标为(
)
2,4
−
或(
)
3,5
−
；
（4）在抛物线上存在点M，使AQM
是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，点Q 的坐标为(
)
0,7 或
15
65 ,7
2
−
+
或
15
65 ,7
2
−
−
或(
)
7,7 ，理由如下：
设点Q 的坐标为(
)
,7
s
，
设BC 交y 轴于点K，则
5
AK =
，
根据题意得：
90
AQ
MQ
AQM
=
=
，
，
如图3，过点M 作MN
BC
⊥
于点N，则
90
AKQ
QNM
=
=
，此时QK
s
= −,
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90
AQK
KAQ
AQK
MQN
+
=
=
+
，
KAQ
MQN
=
，
在
AQK
△
和
QMN
△
中
90
KAQ
NQM
AKQ
QNM
AQ
QM
=
=
=
=
，
(
)
AAS
AQK
QMN
≌
，
5
NQ
AK
MN
QK
s
=
=
=
= −
，
,
5
NK
s
= −，
点
(
)
5,7
M s
s
−
+
，
把点
(
)
5,7
M s
s
−
+
代入
2
4
2
y
x
x
=
+
+
得：(
)
(
)
2
5
4
5
2
7
s
s
s
−
+
−
+
=
+ ，
解得：
7
s =
（不合题意，舍去）或0，
此时点Q 的坐标为(
)
0,7 ；
如图4，过点Q作EG
y
⊥
轴于点Q，过点M作MG
EG
⊥
于点G，过点A作AE
EG
⊥
于点E，此时
5
QE
AK
=
=
，
AE
QK
s
=
= −,
同理
(
)
AAS
AEQ
QGM
≌
，
5
QE
GM
AE
GQ
s
=
=
=
= −
，
，
5
EG
s
= −，
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点
(
)
5
,7
M
s
s
+
−
，
把点
(
)
5
,7
M
s
s
+
−
代入
2
4
2
y
x
x
=
+
+
得：(
)
(
)
2
5
4 5
2
7
s
s
s
+
+
+
+
=
−，
解得：
15
65
2
s
−
+
=
或
15
65
2
s
−
−
=
（不合题意舍去），
15
65 ,7
2
Q
−
+
；
如图5，过点Q 作EN
y
⊥
轴于点Q，过点M 作MN
EN
⊥
于点N，过点A 作AE
EN
⊥
于点E，此时
5
QE
AK
AE
QK
s
=
=
=
= −
，
，
同理
(
)
AAS
AEQ
QNM
≌
，
5
QE
NM
AE
NQ
s
=
=
=
= −
，
，
5
EN
s
= −，
点
(
)
5,7
M s
s
+
−
，
把点
(
)
5,7
M s
s
+
−
代入
2
4
2
y
x
x
=
+
+
得：(
)
(
)
2
5
4
5
2
7
s
s
s
+
+
+
+
=
−，
解得：
15
65
2
s
−
+
=
（不合题意舍去）或
15
65
2
s
−
−
=
，
15
65 ,7
2
Q
−
−
；
如图6，过点Q作EN
y
⊥
轴于点Q，过点M作MN
EN
⊥
于点N，过点A作AE
EN
⊥
于点E，此时
5
QE
AK
=
=
，
AE
QK
s
=
=
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同理
(
)
AAS
AEQ
QNM
≌
，
5
QE
NM
AE
NQ
s
=
=
=
=
，
，
5
EN
s
= + ，
点
(
)
5,7
M s
s
−
+
，
把点
(
)
5,7
M s
s
−
+
代入
2
4
2
y
x
x
=
+
+
得：(
)
(
)
2
5
4
5
2
7
s
s
s
−
+
−
+
=
+ ，
解得：
7
s =
或0（不合题意，舍去），
点
(
)
7,7
Q
；
综上所述，在抛物线上存在点M，使AQM
是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，点Q 的坐标为(
)
0,7 或
15
65 ,7
2
−
+
或(
)
8,7 或(
)
7,7
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，轴
对称的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键．
6．（25-26 九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知抛物线
2
6
y
ax
bx
=
+
+
与坐标轴分别交于点A，B，C
三点，点
(
)
6,0
B
，点
(
)
2,0
C −
，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求PAB
面积的最大值；
(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D，再过点P 作PE
x
∥轴交抛物线于点E，连接DE ，请问是否存
在点P，使PDE
为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
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【答案】(1)
2
1
2
6
2
y
x
x
= −
+
+
(2) 27
2
(3)(
)
4,6 或(
)
5
17,3 17
5
−
−
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题、等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解
题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点D，求得直线AB 的解析式为
6
y
x
= −+
，设
2
1
,
2
6
2
P t
t
t
−
+
+
，
(
)
,
6
D t
t
−+
，则
2
1
3
2 t
t
PD
−
=
+
，进而得到
(
)
2
3
27
3
2
2
PAB
S
t
= −
−
+
，当
3
t =
时，
PAB
S
有最大值，最大值为27
2 ；
（3）延长PD交x 轴于点H，若PDE
为等腰直角三角形，则PD
PE
=
，由（2）知
2
1
3
2 t
t
PD
−
=
+
，根据
抛物线的对称轴为
2
x =
得到
(
)
2 2
PE
t
=
−
或
(
)
2
2
PE
t
=
−
，据此列方程解答即可．
【详解】（1）解：将点
(
)
6,0
B
，点
(
)
2,0
C −
代入
2
6
y
ax
bx
=
+
+
得：
4
2
6
0
36
6
6
0
a
b
a
b
−
+
=
+
+
=
解得
1
2
2
a
b
= −
=
因此，抛物线的解析式为
2
1
2
6
2
y
x
x
= −
+
+ ；
（2）解：过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点D，
将
0
x =
代入
2
1
2
6
2
y
x
x
= −
+
+ 得
6
y =
，
则点
(
)
0,6
A
，
设直线AB 的解析式为y
kx
n
=
+
，
将
(
)
6,0
B
、
(
)
0,6
A
代入y
kx
n
=
+
得
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6
0
6
k
n
n
+
=
=
，
解得
1
6
k
n
= −
=
，
则直线AB 的解析式为
6
y
x
= −+
，
设
2
1
,
2
6
2
P t
t
t
−
+
+
，
(
)
,
6
D t
t
−+
，
则
2
1
3
2 t
t
PD
−
=
+
，
因此
(
)
2
2
1
1
3
27
6
3
3
2
2
2
2
PAB
S
t
t
t
=
−
+
= −
−
+
，
当
3
t =
时，
PAB
S
有最大值，最大值为27
2 ；
（3）解：存在点P 使PDE
为等腰直角三角形，理由如下：
延长PD交x 轴于点H，如图：
PH
OB
⊥
，
90
DHB
AOB
=
=
，
DH
AO
，
6
OA
OB
=
=
，
45
BDH
BAO
=
=
，
PE
x
∥轴、PD
x
⊥
轴，
90
DPE
=
，
若PDE
为等腰直角三角形，则PD
PE
=
，
由（2）知，设
2
1
,
2
6
2
P t
t
t
−
+
+
，
(
)
,
6
D t
t
−+
，且0
6
t
，则
2
1
3
2 t
t
PD
−
=
+
，
抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
(
)
2 2
PE
t
=
−
或
(
)
2
2
PE
t
=
−
，
(
)
2
1
3
2 2
2t
t
t
−
+
=
−
或
(
)
2
1
3
2
2
2t
t
t
−
+
=
−
，
解得
5
17
t =
−
或
5
17
t = +
（不合题意舍去）或
4
t =
或
2
t = −（不合题意舍去），
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当
4
t =
时，
2
1
4
2 4
6
6
2
−
+ +
=
，
当
5
17
t = -
时，
(
)
(
)
2
1
5
17
2
5
17
6
3 17
5
2
−
−
+
−
+
=
−，
点P 的坐标为(
)
4,6 或(
)
5
17,3 17
5
−
−
．
7．（25-26 九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
、(3,0)
B
，
顶点为M ．
(1)求抛物线的解析式和点M 的坐标；
(2)点E 在抛物线上，且在直线BC 上方的一个动点，设
BEC
的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点
E 的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以A、P 、C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接
写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
(
1)
4
y
x
= −
−
+
，
(
)
1,4
M
(2) 27
8 ，3 15
,
2 4
(3)存在，
2
1,
3
−
或
8
1, 3
或(
)
1,1 或(
)
1 2,
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把
代数和几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）将点A、B 的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b 的值即可；利用配方法将函
数解析式转化为顶点式，即可得到点M 的坐标；
（2）利用待定系数法确定直线BC 解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F 的坐标，然后根据两点
间的距离公式求得EF 长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E 的横坐
标，易得其纵坐标，则点E 的坐标可得；
（3）需要分类讨论：点A、P、C 分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案．
【详解】（1）解：抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
、(
)
3,0
B
，
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
−+
=
+
+
=
，解得
1
2
a
b
−
=
=
，
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
= −
+
+ = −
−
+ ，则
(
)
1,4
M
；
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（2）解：如图，作EF
y
轴交BC 于点F
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
，
直线BC 解析式为：
3
y
x
= −+
，
设(
)
2
,
2
3
E m
m
m
−
+
+
，则
(
)
,
3
F m
m
−
+
，
(
) (
)
2
2
2
3
3
3
EF
m
m
m
m
m
= −
+
+
−−
+
= −
+
，
(
)
2
2
1
1
3
3
27
3
3
2
2
2
2
8
S
EF OB
m
m
m
=
=
−
+
= −
−
+
，
当
3
2
m =
时，
27
8
S
=
最大
，
此时，点E 的坐标是3 15
,
2
4
；
（3）解：设
(
)
1,
P
n ，
(
)
1,0
A −
、
(
)
0,3
C
，
2
10
AC
=
，
2
2
4
AP
n
=
+
，
2
2
2
1 (
3)
6
10
CP
n
n
n
= +
−
=
−
+
，
①当AC
AP
⊥
时，
2
2
2
AC
AP
CP
+
=
，即
2
2
10
4
6
10.
n
n
n
+
+
=
−
+
解得
2
3
n = −
；
②当AC
CP
⊥
时，
2
2
2
AC
CP
AP
+
=
，即
2
2
10
6
10
4
.
n
n
n
+
−
+
=
+
解得
8
3
n =
；
③当AP
CP
⊥
时，
2
2
2
AP
CP
AC
+
=
，即
2
2
4
6
10
10.
n
n
n
+
+
−
+
=
解得
1
n = 或2 ．
综上所述，存在，符合条件的点P 的坐标是
2
1,
3
−
或
8
1, 3
或(
)
1,1 或(
)
1,2 ．
8．
（25-26 九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于(
)
1,0
A −
，(
)
5,0
B
两点，与y 轴交于点
(
)
0,5
C
．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B 不重合），过点D 作DF
x
⊥
轴于点F ，交直线BC 于
点E ，连接BD和CD，当CDB
的面积为10时，求点F 的横坐标；
(3)若M 为抛物线对称轴上一动点，，使得MBC
为直角三角形，请求出点M 的坐标．
【答案】(1)
2
4
5
y
x
x
= −
+
+
(2)点F 的横坐标是1 或4
(3)满足条件的M 点的坐标为(
)
2,7 或(
)
2, 3
−
或(
)
2,6 或(
)
2, 1
−
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数
的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出直线BC 的解析式为
5
y
x
−
=
+ ，再设点D 的坐标为
(
)(
)
2
,
4
5
0
5
D t
t
t
t
−
+
+
，则点E 的坐标为
(
)
,
5
E t
t
−+
，点F 的坐标为
(
)
,0
F t
，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线
2
x =
，再设点M 的坐标为
(
)
2,
M
m ，则可得
2
BC ，
2
MC ，
2
MB 的值，
然后分三种情况：①
=90
BCM
，②
90
CBM
=
，③
90
CMB
=
，利用勾股定理建立方程，解方程即
可得．
【详解】（1）解：将点
(
)
1,0
A −
，
(
)
5,0
B
，
(
)
0,5
C
代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 得：
0
25
5
0
5
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
=
，
解得
1
4
5
a
b
c
= −
=
=
，
∴抛物线的解析式为
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ ．
（2）解：如图，连接BD和CD，
设直线BC 的解析式为
(
)
0
0
0
0
y
k x
b
k
=
+
，
将点
(
)
5,0
B
，
(
)
0,5
C
代入得：
0
0
0
5
0
5
k
b
b
+
=
=
，解得
0
0
1
5
k
b
= −
=
，
∴直线BC 的解析式为
5
y
x
−
=
+ ，
设点D的坐标为
(
)(
)
2
,
4
5
0
5
D t
t
t
t
−
+
+
，则点E 的坐标为
(
)
,
5
E t
t
−+
，点F 的坐标为
(
)
,0
F t
，
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∴
(
)
2
2
4
5
5
5
DE
t
t
t
t
t
= −
+
+ −−+
= −
+
，
∵
(
)
5,0
B
，
∴BDE
的DE 边上的高与
CDE
△
的DE 边上的高之和为5
5
= ，
∵CDB
的面积为10，
∴
(
)
2
1
5
5
10
2
BDE
CDE
S
S
t
t
+
=
−
+
=
，
解得
1
t = 或
4
t =
，
∴点F 的横坐标为1 或4．
（3）解：将二次函数
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ 化成顶点式为
(
)
2
2
9
y
x
= −
−
+ ，
∴抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
∴设点M 的坐标为
(
)
2,
M
m ，
∵
(
)
5,0
B
，
(
)
0,5
C
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
5
0
0
5
50
BC =
−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
5
2
0
9
BM
m
m
=
−
+
−
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
0
2
5
10
29
CM
m
m
m
=
−
+
−
=
−
+
，
①如图，当
=90
BCM
时，MBC
为直角三角形，
则
2
2
2
BC
MC
MB
+
=
，即
2
2
50
10
29
9
m
m
m
+
−
+
=
+
，
解得
7
m =
，
∴此时点M 的坐标为(
)
2,7 ；
②如图，当
90
CBM
=
时，MBC
为直角三角形，
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则
2
2
2
BC
MB
MC
+
=
，即
2
2
50
9
10
29
m
m
m
+
+
=
−
+
，
解得
3
m
−
=
，
∴此时点M 的坐标为(
)
2, 3
−
；
③如图，当
90
CMB
=
时，MBC
为直角三角形，
则
2
2
2
MB
MC
BC
+
=
，即
2
2
9
10
29
50
m
m
m
+
+
−
+
=
，
解得
6
m =
或
1
m = −，
∴此时点M 的坐标为(
)
2,6 或(
)
2, 1
−
；
综上，点M 的坐标为(
)
2,7 或(
)
2, 3
−
或(
)
2,6 或(
)
2, 1
−
．
9．（25-26 九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象经过点
(
)
1,0
B
，与y 轴交于点A，其
对称轴为直线:
2
l x =
，过点A作AC
x
∥轴交抛物线于点C ，
AOB
的角平分线交线段AC 于点E ，点P 是
抛物线上的一个动点，设其横坐标为m ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连接PE、PO，当m 为何值时？四边形AOPE 面积最大，
并求出其最大值；
(3)如图2，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使POF
为以点P 为直角顶点的等腰
直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
3
y
x
x
=
−
+
(2)当
5
2
m =
时，
AOPE
S四边形
有最大值是75
8
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(3)
1
3
5 1
5
,
2
2
P
+
−
，
2
3
5 1
5
,
2
2
P
−
+
，
3
5
5 1
5
,
2
2
P
+
+
，
4
5
5 1
5
,
2
2
P
−
−
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数解决最值问题，等
腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和
性质．
（1）利用点的坐标和对称轴求出,a b 的值即可；
（2）作PG
y
∥轴，交OE 于点G ，根据角平分线的性质得出点E 的坐标，利用待定系数法求出直线OE 的
解析式，则
(
)
,
G m m ，然后根据图形面积列出二次函数解析式，根据顶点式求出最值即可；
（3）分两种情况进行讨论，根据一线三垂直的模型，证明三角形全等，得出相等边，根据坐标表示出线段
的长度，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：将
(
)
1,0
B
代入
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 得，
3
0
+ + =
a
b
，
由对称轴为直线:
2
l x =
得，
2
2
b
a
−
=
，
∴
4
b
a
−
=
，
∴
4
3
0
a
a
−
+ =
，
解得
1
a = ，
则
4
b = −，
∴抛物线的解析式为
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ；
（2）解：如图2，作PG
y
∥轴，交OE 于点G ，
假设(
)
2
,
4
3
P m m
m
−
+
，
∵OE 平分
AOB
，
90
AOB
=
，
∴
45
AOE
=
，
∴
AOE
△
是等腰直角三角形，
∴
3
AE
OA
=
=
，
∴
(
)
3,3
E
，
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设直线OE 的解析式为y
kx
=
，
∴3
3k
=
，
解得：
1
k = ,
则直线OE 的解析式为：y
x
=
，
∴
(
)
,
G m m ，
∴
(
)
2
2
4
3
5
3
PG
m
m
m
m
m
=
−
−
+
= −
+
−，
∴
AOE
POE
AOPE
S
S
S
=
+
四边形
△
△
1
1
3 3
2
2 PG AE
=
+
，
(
)
2
9
1 3
5
3
2
2
m
m
=
+
−
+
−
2
3
5
75
2
2
8
m
= −
−
+
∵
3
0
2
−
∴当
5
2
m =
时，
AOPE
S四边形
有最大值是75
8 ；
（3）解：如图3，过点P 作MN
y
⊥
轴，交y 轴于点M ，交对称轴于点N ，
∵POF
是等腰直角三角形，且OP
FP
=
，
∴
90
OMP
OPF
FNP
=
=
=
，
∴
90
MOP
OPM
NPF
=
−
=
，
∴
(
)
AAS
OMP
PNF
≌
，
∴OM
PN
=
，
∵(
)
2
,
4
3
P m m
m
−
+
，
则
2
4
3
2
m
m
m
−
+
−
=
−
，
解得
5
5
2
m
+
=
或
5
5
2
m
−
=
，
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∴P 点的坐标为5
5 1
5
,
2
2
+
+
或5
5 1
5
,
2
2
−
−
；
如图4，过点P 作MN
x
⊥
轴于点N ，过点F 作FM
MN
⊥
于点M ，连接PF ，
同理得
ONP
PMF
△
≌△
，
∴PN
FM
=
，
则
2
4
3
2
m
m
m
−
+
−
=
−
，
解得
3
5
2
m
+
=
或
3
5
2
m
−
=
，
∴P 点的坐标为3
5 1
5
,
2
2
+
−
或3
5 1
5
,
2
2
−
+
；
综上所述，点P 的坐标为
1
3
5 1
5
,
2
2
P
+
−
，2
3
5 1
5
,
2
2
P
−
+
，3
5
5 1
5
,
2
2
P
+
+
，4
5
5 1
5
,
2
2
P
−
−
．
10．（25-26 九年级上·吉林松原·期末）如图，已知抛物线
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ 与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴
相交于点C ．设点P 为抛物线上的一点，其横坐标为m ．
(1)直接写出坐标：点A__________，点B ______________；
(2)当点P 与点C 关于抛物线对称轴对称时，求m 的值；
(3)若抛物线上点A与点P 之间（包含点A和点P ）的部分的图象记为图象G ，图象G 的最高点和最低点纵
坐标的差记为d ．
①当
1
m = 和
3
m =
时，分别求d 的值；
②当
9
d =
时，直接写出m 的取值范围；
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(4)点E 是线段BC 上异于B 、C 的动点，过点E 的直线EN
x
⊥
轴于点N ，交抛物线于点M ，当
ECM
△
为
直角三角形时，请直接写出点M 的坐标．
【答案】(1)(
)
1,0
−
；(
)
5,0 ；
(2)
4
m =
；
(3)①当
1
m = 时，
8
d = ；当
3
m =
时，
9
d =
；②2
5
m
或
2 3 2
m =
−
；
(4)(
)
4,5 或(
)
3,8 ．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二
次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键．
（1）令
0
y =
，求出x 的值，即可求解；
（2）根据题意可得抛物线的对称轴为直线
2
x =
，从而得到
(
)
4,5
P
，即可求解；
（3）根据题意可得该函数最高点为(
)
2,9 ，分别求出当
1
m = 和
3
m =
时，点P 的坐标，即可求解；
（4）分两种情况解答，即可求解．
【详解】（1）解：当
0
y =
时，
2
4
5
0
x
x
−
+
+
=
，
解得：
1
2
1,
5
x
x
= −
=
，
∴点A 的坐标为(
)
1,0
−
，点B 的坐标为(
)
5,0 ；
（2）解：
(
)
2
2
4
5
2
9
y
x
x
x
= −
+
+
= −
−
+
，
∴抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
∵抛物线
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ 与y 轴相交于点C ，
∴当
0
x =
时，
5
y =
，
(
)
0,5
C
，
∵点P 与点C 关于抛物线对称轴直线
2
x =
对称，
(
)
4,5
P
，
即
4
m =
；
（3）解：①
(
)
2
2
4
5
2
9
y
x
x
x
= −
+
+
= −
−
+
，
∴抛物线的顶点为(
)
2,9 ，
1<0
−
，
∴抛物线开口向下，
∴该抛物线最高点坐标为(
)
2,9 ，
当
1
x
m
=
= 时，
21
4 1 5
8
y = −
+
+
= ，
(
)
1,8
P
，
此时
8 0
8
d = −
=
；
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当
3
x
m
=
= 时，
23
4 3 5
8
y = −
+ +
=
，
(
)
3,8
P
，
∵该抛物线最高点坐标为(
)
2,9 ，
此时
9 0
9
d = −=
；
②当2
5
m
时，图象G 的最高点为(
)
2,9 ，
此时满足
9
d =
；
当点A 为最高点时，
∵
9
d =
，
∴点P 的纵坐标为9
−，
此时
2
4
5
9
x
x
−
+
+
= −，
解得：
1
2
2
3 2,
2
3 2
x
x
=
+
=
−
，
当
2 3 2
x =
+
时，
(
)
9
9
18
9
d =
−−
=
（不合题意舍去），
∴当2
5
m
或
2 3 2
m =
−
时，
9
d =
；
综上所述，m 的取值范围为2
5
m
或
2 3 2
m =
−
；
（4）解：点M 的坐标为(
)
4,5 或(
)
3,8 ，理由如下：
如图，当
90
CME
=
时，则CM
x
∥轴，
∴点C 和点M 关于对称轴对称，
∵点C 的坐标为(
)
0,5 ，抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
∴点M 的坐标为(
)
4,5 ；
如图，当
90
MCE
=
时，则MF
y
⊥
轴于点F，
5
OB
OC
=
=
，
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45
OBC
OCB
=
=
，
45 ,
45
BEN
CEM
CME
FCM
FMC
=
=
=
=
=
，
CF
FM
=
，
设FC
n
=
，则FM
FC
n
=
=
，
∴点M 的坐标为(
)
,
5
n n +
，
把(
)
,
5
n n +
代入
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ ，则
2
4
5
5
n
n
n
−
+
+
=
+ ，
解得：
1
2
3,
0
n
n
=
=
（不合题意，舍去），
∴当
3
x = 时，
8
y =
，
∴点M 的坐标为(
)
3,8 ；
综上所述，点M 的坐标为(
)
4,5 或(
)
3,8 ．
