文档文本内容
专题02 三角形全等的基本判定方法
常考题型·精准突破
题型1 全等的性质和SAS 综合（高频）
题型2 全等的性质和ASA(AAS)综合（高频）
题型3 全等的性质和SSS 综合（高频）
题型4 全等的性质和HL 综合（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等的性质和SAS 综合
1．（25-26 七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，,
,
,
A C F D 在同一直线上，AF
DC
AB
DE
A
D
=
=
Ð
= Ð
，
，
．
(1)求证：ABC
DEF
V
V
≌
；
(2)判断线段BC 与EF 满足的数量关系和位置关系，并给出证明．
【答案】(1)证明：∵
=
AF
DC ，
∴AF
CF
DC
CF
-
=
-
，
即AC
DF
=
．
在ABC
V
和DEF
V
中：
AC
DF
A
D
AB
DE
Ð
Ð
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
∴
(SAS)
ABC
DEF
V
V
≌
．
(2) BC
EF
=
，且BC
EF
∥
，证明如下：
由（1）得ABC
DEF
V
V
≌
，
∴BC
EF
=
，
ACB
DFE
Ð
Ð
=
．
∴
BCF
EFC
Ð
= Ð
，
∴BC
EF
∥
．
综上，BC
EF
=
，且BC
EF
∥
．
【分析】（1）因为已知
=
AF
DC ，所以先对该等式同时减去公共线段CF ，推导得到AC
DF
=
，结合已知
的AB
DE
=
、
A
D
Ð
Ð
=
，用SAS 全等判定定理证明ABC
DEF
V
V
≌
．
（2）BC 和EF 的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应
角
ACB
DFE
Ð
Ð
=
，推导其补角
BCF
EFC
Ð
Ð
=
，根据平行线的判定定理确定位置关系．
【详解】（1）略．
（2）略．
2．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD 中，点E 在边CD上，BC
EC
=
，且CA 平分
BCE
Ð
，F 是四边形ABCD 外一点，连接AF ，DF ．
(1) ABC
V
和
AEC
△
全等吗？请说明理由；
(2)若
2
BAF
CAD
Ð
= Ð
，
85
B
Ð
=
° ，
15
DAF
Ð
=
° ，求
ADE
Ð
的度数．
【答案】(1)解：ABC
AEC
V
V
≌
，理由如下：
∵CA 平分
BCE
Ð
，
∴
ACB
ACE
Ð
= Ð
，
在ABC
V
和
AEC
△
中，
BC
EC
ACB
ACE
AC
AC
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
ABC
AEC
V
V
≌
．
(2)70°
【分析】（1）先得出
ACB
ACE
Ð
= Ð
，再根据SAS 定理即可得证；
（2）先得出
BAC
EAC
Ð
= Ð
，AEC
B
Ð
= Ð ，再得出
DAE
DAF
Ð
= Ð
，然后根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】（1）略．
（2）解：由（1）已得：ABC
AEC
V
V
≌
，
∴
BAC
EAC
Ð
= Ð
，
AEC
B
Ð
= Ð ，
∴
2
BAF
BAC
EAC
DAE
DAF
EAC
DAE
DAF
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
，
∵
2
BAF
CAD
Ð
= Ð
，
CAD
EAC
DAE
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
2
2
EAC
DAE
DAF
EAC
DAE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
，
∴
DAE
DAF
Ð
= Ð
，
∵
15
DAF
Ð
=
° ，
85
B
Ð
=
° ，
∴
15
DAE
Ð
=
°，
85
AEC
Ð
=
° ，
∴
85
15
70
ADE
AEC
DAE
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°．
3．（25-26 七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】
在AOB
V
和
COD
△
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，
AOB
COD
Ð
= Ð
，连接AC ，BD ．
(1)【模型呈现】如图1，A ，O ，D 三点共线，试判断AC 与BD 的数量关系，并说明理由；
(2)【模型应用】如图2，设AC ，BD 相交于点P ，AC ，OB 相交于点Q ，若
50
AOB
Ð
=
° ，求
APD
Ð
的度
数．
【答案】(1) AC
BD
=
，理由如下：
∵
AOB
COD
Ð
= Ð
，
∴
AOB
COB
COD
COB
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，∴
AOC
BOD
Ð
= Ð
，
在AOC
V
和BOD
V
中，
OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AOC
BOD SAS
V
V
≌
，
∴AC
BD
=
．
(2)130°
【分析】（1）利用SAS 证明三角形全等，即可得到AC 与BD 的数量关系；
（2）由全等三角形的性质，可得
OAC
OBD
Ð
= Ð
，根据三角形的内角和，求出
50
BPQ
AOQ
Ð
= Ð
=
° ，根据
平角的定义，即可求出
APD
Ð
．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可得，
AOC
BOD SAS
V
V
≌
，
∴
OAC
OBD
Ð
= Ð
，
在AOQ
V
和BPQ
V
中，
BQP
AQO
Ð
= Ð
，
OAQ
QBP
Ð
= Ð
，
∴
50
BPQ
AOQ
Ð
= Ð
=
°
∴
180
180
50
130
APD
BPQ
Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°．
◆题型2 全等的性质和ASA(AAS)综合
4．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，点F ，G 分别在ADE
V
的AD ，DE 边上，C ，B 依次为GF 延长线
上两点，AB
AD
=
，
BAF
CAE
Ð
= Ð
，
B
D
Ð
= Ð
．
(1)求证：BC
DE
=
；
(2)若
35
B
Ð
=
° ，
78
AFB
Ð
=
° ，求
DGB
Ð
的度数，并直接写出当
CAB
Ð
= _____时，DE
AC
P
．
【答案】(1)证明：∵
BAF
CAE
Ð
= Ð
，
∴
BAF
FAC
CAE
FAC
Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，
∴
BAC
FAE
Ð
= Ð
，
∵AB
AD
=
，
B
D
Ð
= Ð
，
∴
ABC
ADE ASA
V
V
≌
，
∴BC
DE
=
．
(2)
67
DGB
Ð
=
°，32°
【分析】（1）先结合
BAF
CAE
Ð
= Ð
，得
BAC
FAE
Ð
= Ð
，又因为AB
AD
=
，
B
D
Ð
= Ð
，即可证明
ASA
ABC
ADE
≌
△
△
；
（2）运用全等三角形的性质得
35
D
B
Ð
= Ð
=
° ，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得
67
DGB
Ð
=
°，根
据DE
AC
P
，故
67
ACG
DGB
Ð
= Ð
=
° ，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得
ABC
ADE
△
≌△
，
∴
35
D
B
Ð
= Ð
=
°
∵
78
GFD
AFB
Ð
= Ð
=
°
∴
180
67
DGB
GFD
D
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°
∵DE
AC
P
，
∴
67
ACG
DGB
Ð
= Ð
=
° ，
∴
67
35
32
CAB
ACG
B
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°（三角形外角性质）
5．（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，CD是ABC
V
的AB 边上的高，且CD
BD
=
，以AC 为直角边，
在AC 上方作
ACE
△
，使
90
ACE
Ð
=
°，AC
CE
=
，过点E 作EF
DC
^
，交DC 的延长线于点F，连接BE
交DF 于点H．
(1)求证：ADC
CFE
V
V
≌
；
(2)求证：DH
HF
=
；
(3)若
8
ABC
HCE
S
S
=
V
V
，
4
DC =
，求AB 的长．
【答案】(1)证明：∵CD是ABC
V
的AB 边上的高，EF
DC
^
，
∴
90
ADC
CFE
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
DAC
ACD
Ð
+ Ð
=
° ，
∵
90
ACE
Ð
=
°，
∴
90
FCE
ACD
Ð
+ Ð
=
°，
∴
FCE
DAC
Ð
= Ð
，
在ADC
V
和CFE
V
中，
90
ADC
CFE
DAC
FCE
AC
CE
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ADC
CFE
△
≌△
；
(2)证明：由（1）可得ADC
CFE
V
V
≌
，
∴CD
EF
=
，
∵CD
BD
=
，
∴BD
EF
=
，
在
BDH
△
和
EFH
△
中，
90
BDH
EFH
BHD
EHF
BD
EF
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
BDH
EFH
V
V
≌
，
∴DH
FH
=
；
(3)
32
5
AB =
【分析】（1）先证明出
FCE
DAC
Ð
= Ð
，再利用“AAS”即可证明ADC
CFE
V
V
≌
；
（2）由（1）可得ADC
CFE
V
V
≌
，则CD
EF
=
，结合题意得出BD
EF
=
，再证明
AAS
BDH
EFH
V
V
≌
，
即可得证；
（3）由（1）可得ADC
CFE
V
V
≌
，则AD
CF
=
，CD
EF
=
，由（2）可得DH
FH
=
，结合题意得出
4
BD
CD
EF
=
=
=
，由
8
ABC
HCE
S
S
=
V
V
，得出
8
AB
CH
=
，求出
4
5
CH =
，即可得出结果．
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）解：由（1）可得ADC
CFE
V
V
≌
，
∴AD
CF
=
，CD
EF
=
，
由（2）可得DH
FH
=
，
∵BD
CD
=
，
4
DC =
，
∴
4
BD
CD
EF
=
=
=
，
∵
8
ABC
HCE
S
S
=
V
V
，
∴1
1
4
8
4
2
2
AB
CH
´
= ´
´ ，
∴
8
AB
CH
=
，
∵
4
AB
AD
BD
AD
CD
CF
CD
FH
CH
CD
DH
CH
=
+
=
+
=
+
=
-
+
=
-
+
，
∴
4
8
DH
CH
CH
-
+
=
，
∴
4
9
DH
CH
+
=
，
∴
4
10
DH
CH
CH
+
+
=
，
∴
4
10
CD
CH
+
=
，
∴4
4
10CH
+
=
，
∴
4
5
CH =
，
∴
32
8
5
AB
CH
=
=
．
6．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，AB
AC
=
．点D 是直线AB 上任意
一点，连接CD，过点C 作CE
CD
^
，且CE
CD
=
，过点E 作EF
AC
^
，垂足为F ，连接BE ，分别交AC ，
CD于点M ，N ．
(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，AD 与CF 相等吗？为什么？
(2)在（1）的条件下，若
6
AB =
，
2
AD =
，设
BNC
△
的面积为
1S ，四边形ADNM 的面积为
2
S ，则
1
2
S
S
-
= ________；（直接写出结果）
(3)如图2，当点D 在线段BA 的延长线上时，点M 是线段BE 的中点吗？说明理由．
【答案】(1)解：AD
CF
=
，理由如下：
∵CE
CD
^
，EF
AC
^
，
90
A
Ð
=
°，
∴
90
DCE
CFE
A
Ð
= Ð
=
= Ð
°，
∴
90
ACD
ACE
Ð
+ Ð
=
° ，
90
FEC
ACE
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
ACD
FEC
Ð
= Ð
，
在ACD
V
和FEC
V
中，
90
A
CFE
ACD
FEC
CD
EC
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ACD
FEC
V
V
≌
，
∴AD
CF
=
．
(2)6
(3)解：点M 是线段BE 的中点，理由如下：
∵CE
CD
^
，EF
AC
^
，
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
90
CE
C
D
F
AD
Ð
Ð
=
=
= Ð
° ，
∴
90
ACD
D
Ð
+ Ð
=
°，
90
ACD
ECF
Ð
+ Ð
=
°，
∴
D
ECF
Ð
= Ð
，
在ACD
V
和FEC
V
中，
90
CAD
F
D
ECF
CD
EC
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ACD
FEC
V
V
≌
，
∴AC
EF
=
，
∵AB
AC
=
，
∴AB
EF
=
，
在ABM
V
和
FEM
△
中，
90
BAM
F
AMB
FME
AB
FE
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABM
FEM
V
V
≌
，
∴BM
EM
=
，
即点M 是线段BE 的中点．
【分析】（1）证出ACD
FEC
V
V
≌
即可；
（2）先求出ACD
V
的面积，再证出ABM
FEM
V
V
≌
，则AM
FM
=
，进而可得
,
AM CM 的长，求出
BCM
△
的面积，然后根据
1
2
BCM
ACD
S
S
S
S
-
-
=
V
V
求解即可；
（3）先证出ACD
FEC
V
V
≌
，则AC
EF
=
，进而可得AB
EF
=
，再证出ABM
FEM
V
V
≌
，则BM
EM
=
，由
此即可得．
【详解】（1）解：略．
（2）解：∵AB
AC
=
，
6
AB =
，
∴
6
AC =
，
∵
2
AD =
，
90
A
Ð
=
°，即AB
AC
^
，
∴
1
1
2 6
6
2
2
ACD
S
AD AC
=
×
=
´ ´
=
V
，
由（1）已证：ACD
FEC
V
V
≌
，
∴AC
EF
=
，
2
AD
CF
=
=
，
∴AB
EF
=
，
4
AF
AC
CF
=
-
=
，
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFM
Ð
=
° ，
在ABM
V
和
FEM
△
中，
90
A
EFM
AMB
FME
AB
FE
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABM
FEM
V
V
≌
，
∴AM
FM
=
，
又∵
4
AM
FM
AF
+
=
=
，
∴
1
2
2
AM
FM
AF
=
=
=
，
∴
4
CM
CF
FM
=
+
=
，
∴
1
1
4 6
12
2
2
BCM
S
CM AB
=
×
=
´ ´
=
V
，
∵
BNC
△
的面积为
1S ，四边形ADNM 的面积为
2
S ，
∴
1
2
1
2
CMN
CMN
S
S
S
S
S
S
-
=
+
-
+
V
V
BCM
ACD
S
S
-
=
V
V
12
6
=
-
6
=
．
（3）解：略．
◆题型3 全等的性质和SSS 综合
7．（25-26 八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，EC
FD
=
，EA
FB
=
，AB
CD
=
．
(1)求证：
E
F
Ð
= Ð
；
(2)若
40
A =
°
∠
，
80
D
Ð
=
° ，求
EPF
Ð
度数．
【答案】(1)
证明：∵AB
BC
CD
BC
+
=
+
，即AC
BD
=
，
在EAC
V
与FBD
V
中，
EA
FB
EC
FD
AC
BD
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
∴
SSS
EAC
FBD
V
V
≌
，
∴
E
F
Ð
= Ð
；
(2)60°
【分析】（1）证明EAC
FBD
V
V
≌
，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得
80
ECA
D
Ð
= Ð
=
°，
40
FBD
A
Ð
= Ð
=
°，再由三角形内角和定理可得
BPC
Ð
的度数，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵EAC
FBD
V
V
≌
，
40
A =
°
∠
，
80
D
Ð
=
° ，
∴
80
ECA
D
Ð
= Ð
=
°，
40
FBD
A
Ð
= Ð
=
°，
∴
180
180
40
80
60
BPC
FBD
ACE
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
-
-
=
o
o
o
o ，
∴
60
EPF
BPC
Ð
= Ð
=
° ．
8．
（25-26 八年级上·湖南娄底·期末）如图，点A 、D 、C 、B 在同一条直线上，AD
BC
=
，AE
BF
=
，CE
DF
=
．
(1)求证：AE
FB
∥
；
(2)连接EF 交CD 于点G ，求证：CG
DG
=
．
【答案】(1)
证明：∵点A 、D 、C 、B 在同一条直线上，AD
BC
=
，
∴AC
BD
=
，
又∵AE
BF
=
，CE
DF
=
．
∴
SSS
ACE
BDF
V
V
≌
，
∴
EAC
FBD
Ð
Ð
=
，
∴AE
FB
P
(2)
证明：∵连接EF 交CD 于点G ．
∴
AGE
BGF
Ð
Ð
=
，
∵
EAC
FBD
Ð
Ð
=
，AE
BF
=
．
∴
AGE
BGF AAS
V
V
≌
，
∴AG
BG
=
，
∵AD
BC
=
∴AG
AD
BG
BC
-
=
-
，即：CG
DG
=
．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及线段的和差关系，熟练掌握全等三
角形的判定定理及性质，并利用全等三角形的对应边、对应角相等进行推理论证是解题的关键。
（1）先由AD
BC
=
推出AC
BD
=
，再结合AE
BF
=
、CE
DF
=
证明ACE
BDF
V
V
≌
，得到对应角相等，进
而证明AE
FB
P
。
（2）利用（1）中得到的角相等和边相等，证明AGE
BGF
V
V
≌
，得到AG
BG
=
，再通过线段的和差关系推
出CG
DG
=
。
【详解】（1）略
（2）略
9．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，A 为BE 上一点，D 为AF 上一点，C 为ED 延长线上的一点，
AB
AD
=
，AE
AF
=
，AF
BE
^
．
(1)请猜想BF 与DE 有什么关系，并说明理由；
(2)若CB
CD
=
，
110
ADC
Ð
=
°，求
ACD
Ð
．
【答案】(1) BF
DE
=
，
理由如下：
∵AF
BE
^
，
90
BAF
DAE
\Ð
= Ð
=
° ，
在
ABF
△
与ADE
V
中，AB
AD
=
，
BAF
DAE
AF
AE
Ð
= Ð
=
，
∴
ABF
ADE SAS
V
V
≌
BF
DE
\
=
；
(2)25°
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形
全等．
（1）通过证明ABF
ADE
V
V
≌
，得出对应边相等，从而证明BF
DE
=
；
（2）先证明ABC
ADC
V
V
≌
，结合三角形内角和等知识求出
ACD
Ð
的度数．
【详解】（1）略
（2）解：在ABC
V
与ADC
V
中，
,
,
,
AB
AD AC
AC BC
DC
=
=
=
∴
ABC
ADC SSS
V
V
≌
，
110
ABC
ADC
\Ð
= Ð
=
° ，
BAC
DAC
Ð
= Ð
，
1
45
2
BAC
DAC
BAF
Ð
= Ð
=
Ð
=
°，
180
25
ACD
ADC
DAC
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°．
◆题型4 全等的性质和HL 综合
10．（25-26 七年级下·安徽宿州·期末）如图，在ABC
V
中，
90
BAC
Ð
=
° ，AB
AC
=
，点D 在CA 的延长线上，
CD
CB
=
，连接BD ，过点C 作CF
BD
^
分别交AB ，BD 于点E ，F ．试说明：
(1) F 为BD 的中点；
(2)
2
CE
BF
=
【答案】(1)证明：∵CF
BD
^
，
∴
90
CFB
CFD
Ð
= Ð
=
°，
在Rt CFD
V
和Rt CFB
V
中，
CF
CF
CD
CB
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt CFD
Rt CFB HL
V
V
≌
，
∴BF
DF
=
，即F 为BD 的中点；
(2)证明：∵
90 ,
BFC
CAB
CEA
BEF
Ð
= Ð
=
° Ð
= Ð
，
∴
ABD
ACE
Ð
= Ð
，
180
90
BAD
CAB
Ð
=
°- Ð
=
° ，
又∵
,
90
AB
AC
CAE
BAD
=
Ð
= Ð
=
°，
∴
CAE
BAD ASA
V
V
≌
，
∴CE
BD
=
，
由（1）知：F 为BD 的中点，
∴
2
CE
BD
BF
=
=
.
【分析】（1）证明CDF
CBF
V
V
≌
，即可得出结论；
（2）证明CAE
BAD
V
V
≌
，得到CE
BD
=
，即可得证.
【详解】（1）略
（2）略
11．（25-26 八年级下·江西九江·期中）如图，ABC
V
中，点D 为BC 上一点，连接AD ，过点D 作
,
DE
AB DF
AC
^
^
，垂足分别是E，F，且满足AE
AF
=
．
(1)求证：AD 平分
BAC
Ð
(2)若
10,
3
AB
AC
ED
+
=
=
，求ABC
V
的面积．
【答案】(1)证明：∵
,
DE
AB DF
AC
^
^
，
∴
90
AED
AFD
Ð
= Ð
=
°，
∵AE
AF
=
，AD
AD
=
，
∴
,
Rt ADE
Rt ADF H L
V
V
≌
，
∴
DAE
DAF
Ð
= Ð
，
∴AD 平分
BAC
Ð
．
(2)15
【分析】（1）先推导出
90
AED
AFD
Ð
= Ð
=
°，证明出
ADE
ADF HL
V
V
≌
，得到
DAE
DAF
Ð
= Ð
，则AD 平
分
BAC
Ð
，即可解答；
（2）先求出
3
DF
DE
=
=
，再根据
ABC
ABD
ADC
S
S
S
=
+
V
V
V
进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵ADE
ADF
V
V
≌
，
∴
3
DF
DE
=
=
，
∵
10,
AB
AC
+
=
∴
1
1
3
15
2
2
2
ABC
ABD
ADC
S
S
S
AB DE
AC DF
AB
AC
=
+
=
×
+
×
=
+
=
V
V
V
．
12．（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图，ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，点D 为ABC
V
外一点，
DAB
BAC
Ð
= Ð
，AD
AB
=
，过点D 作DE
AB
^
于点E，延长DE 交BC 于点
.
F
(1)求证：ADE
ABC
V
V
≌
；
(2)求证：EF
CF
=
；
(3)若
2
BF =
，
1
CF = ，求DF 的长．
【答案】(1)证明：∵在ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，DE
AB
^
于点E，
90
ACB
AED
AEF
\Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
在ADE
V
和ABC
V
中，
AED
ACB
DAE
BAC
AD
AB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ADE
ABC AAS
V
V
≌
，
(2)证明：连接AF ，
由（1）得：ADE
ABC
V
V
≌
，
AE
AC
\
=
，
90
ACB
AEF
Ð
= Ð
=
°
Q
，
AEF
\V
和
ACF
△
是直角三角形，
在Rt AEF
V
和Rt
ACF
△
中，
AF
AF
AE
AC
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt AEF
Rt ACF HL
V
V
≌
，
EF
FC
\
=
；
(3)4
【分析】（1）利用“AAS”即可证明ADE
ABC
V
V
≌
；
（2）连接AF ，由全等三角形的性质得AE
AC
=
，再利用“ HL ”证明Rt AEF
Rt ACF
V
V
≌
即可；
（3）利用全等三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（1）得：ADE
ABC
V
V
≌
，
∴
2 1
3
DE
BC
BF
FC
=
=
+
=
+ = ，
3 1
4
DF
DE
EF
DE
CF
\
=
+
=
+
=
+ =
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·山西运城·期末）如图，AC 平分
BAD
Ð
，
180
B
D
Ð + Ð
=
°，CE
AB
^
于点E ，
6cm,
10cm
AD
AB
=
=
，则BE 的长度为（ ）
A．4cm
B．3cm
C．2cm
D．1cm
【答案】C
【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明
AFC
AEC
△
≌△
，推出CF
CE
=
，AE
AF
=
，
再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出
FDC
B
Ð
= Ð ，然后再通过角角边证明FDC
EBC
V
V
≌
，推出
DF
BE
=
，设DF
BE
x
=
=
根据边长相等列一元一次方程，求出x 的值即是求出BE 的长度．
【详解】解：过点C 作CF
AD
^
的延长线于点F ，如图所示，
Q CE
AB
^
，CF
AD
^
，
AFC
AEC
CEB
\Ð
= Ð
= Ð
，
Q AC 平分
BAD
Ð
，
FAC
EAC
\Ð
= Ð
，
\在Rt AFC
V
和Rt AEC
V
中，
AFC
AEC
FAC
EAC
AC
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
AFC
AEC
\V
V
≌
．
CF
CE
\
=
，AE
AF
=
．
180
ADC
B
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
ADC
FDC
Ð
+ Ð
=
°，
\
FDC
B
Ð
= Ð ，
\在Rt FDC
V
和Rt EBC
V
中，
FDC
EBC
CFD
CEB
CF
CE
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
FDC
EBC
\V
V
≌
，
DF
BE
\
=
．
6cm,
10cm
AD
AB
=
=
Q
，设DF
BE
x
=
=
，AE
AF
=
，
6
10
x
x
\ +
=
-
，
2
x
\
=
，
2
BE
x
\
=
=
．
2．（25-26 八年级上·河南商丘·期末）如图，在ABC
V
和BDE
V
中，点D 在线段BC 上，若BC
DE
=
，
AC
BE
=
，AB
BD
=
，
55
ABC
Ð
=
°，则
BFD
Ð
的度数为（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明
SSS
ABC
BDE
V
V
≌
，所以
55
ABC
BDE
Ð
= Ð
=
°，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵BC
DE
=
，AC
BE
=
，AB
BD
=
，
∴
SSS
ABC
BDE
V
V
≌
，
∴
55
ABC
BDE
Ð
= Ð
=
°，
∴
180
180
55
55
70
BFD
ABC
BDE
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
° ，
故选：C ．
3．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点E
F
，
分别在ABC
V
的边AC 上，AE
EF
BE
AC
=
^
，
，过点F
作
^
FD
BC ，垂足为D ，且
=
EF
FD ．若
75
A
Ð
=
°，则
ABC
Ð
的度数为（ ）
A．50°
B．60°
C．45°
D．55°
【答案】C
【分析】可证得
BEA
BEF
≌
V
V
与
BEF
BDF
V
V
≌
，得到
75
A
EFB
Ð
= Ð
=
° ，
75
EFB
BFD
Ð
= Ð
=
°，再计算出
ACB
Ð
，即可求解
ABC
Ð
．
【详解】解：∵BE
AC
^
，
∴
BEA
BEF
Ð
= Ð
，
∵AE
EF
=
，BE
BE
=
，
∴
SAS
BEA
BEF
V
V
≌
，
∴
75
A
EFB
Ð
= Ð
=
° ，
∵
^
FD
BC ，
∴
90
BEF
BDF
Ð
= Ð
=
° ，
又∵
=
EF
FD ，BF
BF
=
，
∴
HL
BEF
BDF
V
V
≌
，
∴
75
EFB
BFD
Ð
= Ð
=
°，
∴
180
180
75
75
30
CFD
EFB
BFD
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
°，
∴
180
180
90
30
60
ACB
CDF
CFD
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
°，
∴
180
180
75
60
45
ABC
A
ACB
Ð
=
°- Ð - Ð
=
°-
°-
° =
° ．
4．（25-26 八年级上·山西长治·期末）活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1 所示
的工具，其中BD 是半圆形量角器的直径，C 是BD 的中点，AB
BC
BE
AD
=
^
，
．将这个工具按图2 所示
放置在
PMN
Ð
内部，使点A 落在
PMN
Ð
的一条边上，PMN
Ð
的顶点M 落在角尺边缘BE 上，量角器上一点
F 落在
PMN
Ð
的另一条边上，且CF
MN
^
于点F，连接CM ，作射线MB ．若用量角器测得
40
DCF
Ð
=
° ，
则
PMN
Ð
的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．70°
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
根据
40
DCF
Ð
=
° 得到
140
BCF
Ð
=
°，证明
HL
BMC
FMC
V
V
≌
，得到
BMC
FMC
Ð
= Ð
，
70
BCM
FCM
Ð
= Ð
=
° ，即
20
BMC
FMC
Ð
= Ð
=
° ，证明
SAS
BMC
BMA
V
V
≌
，得到
20
BMC
BMA
Ð
= Ð
=
° ，
即可求出
PMN
Ð
的度数．
【详解】解：∵
40
DCF
Ð
=
° ，
∴
140
BCF
Ð
=
°，
∵C 是BD 的中点，
∴BC
CD
=
，
∵CD
CF
=
，
∴BC
CD
CF
=
=
，
∵MC
MC
=
，BE
AD
^
，CF
MN
^
，
∴
HL
BMC
FMC
V
V
≌
，
∴
BMC
FMC
Ð
= Ð
，
1
70
2
BCM
FCM
BCF
Ð
= Ð
=
Ð
=
°，
∵BE
AD
^
，CF
MN
^
，
∴
20
BMC
FMC
Ð
= Ð
=
° ，
∵BM
BM
=
，AB
BC
BE
AD
=
^
，
∴
SAS
BMC
BMA
V
V
≌
，
∴
20
BMC
BMA
Ð
= Ð
=
° ，
∴
60
BMC
B
F
PM
C
N
MA
M
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
Ð
=
．
故选：C．
二、填空题
5．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在ABC
V
和DCB
V
中，
90
A
D
Ð
= Ð
=
°，
20
ACB
Ð
=
°，若
AC
DB
=
，则
ABD
Ð
= __________°．
【答案】50
【分析】根据已知条件利用HL 定理证明Rt
Rt
ABC
DCB
V
V
≌
，得出
DBC
ACB
Ð
= Ð
，再利用直角三角形两
锐角互余求出
ABC
Ð
，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：
90
A
D
Ð
= Ð
=
°
Q
，
ABC
\V
与DCB
V
均为直角三角形，
在Rt ABC
V
和Rt DCB
V
中，
BC
CB
AC
DB
=
ì
í
=
î
，
Rt
Rt
HL
ABC
DCB
\
V
V
≌
，
20
DBC
ACB
Ð
Ð
°
\
=
=
，
90
A
Ð
=
°
Q
，
90
90
20
70
ABC
ACB
Ð
Ð
°
°
°
°
\
=
-
=
-
=
，
70
20
50
ABD
ABC
DBC
\Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
° ．
6．（25-26 七年级下·上海·期中）如图，在ABC
V
与ADE
V
中，E 在BC 边上，
,
,
AD
AB AE
AC DE
BC
=
=
=
，若
1
25
=
o
∠
，
40
B
Ð
=
o 则
2
Ð 的度数为_____．
【答案】
25°/25 度
【详解】解：在
ABC
V
与
ADE
V
中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐵
𝐴𝐸= 𝐴𝐶
𝐷𝐸= 𝐵𝐶
(SSS)
ABC
ADE
\
@
V
V
,
D
B
DAE
BAC
Ð
Ð
Ð
Ð
\
=
=
,
1
DAE
DAB
BAE
BAC
BAE
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
=
+
=
+
Q
1
25
DAB
Ð
Ð
\
=
=
° ，
设 AB 与 DE 相交于点 O ，
在
AOD
V
中，
180
D
DAB
AOD
Ð
Ð
Ð
+
+
=
° ，
在
BOE
V
中，
2
180
B
BOE
Ð
Ð
Ð
+
+
=
°，
AOD
BOE
Ð
Ð
=
Q
，
2
D
DAB
B
Ð
Ð
Ð
Ð
\
+
=
+
，
D
B
Ð
Ð
=
Q
，
2
25
DAB
Ð
Ð
\
=
=
°
7．（25-26 七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形ABC 中，
4
AB =
，ABC
V
的面积为6，BD 平分
ABC
Ð
．若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM
MN
+
的最小值为________．
【答案】3
【分析】在AB 上取点E ，使得BE
BN
=
，连接CE 、ME ，过点C 作CF
AB
^
于点F ，利用三角形面积公
式求出
3
CF =
，再证明
SAS
BME
BMN
V
V
≌
，得到EM
MN
=
，则当E 、M 、C 三点共线，且CE
AB
^
时，
CM
MN
+
有最小值为CF 的长，即可得解．
【详解】解：如图，在AB 上取点E ，使得BE
BN
=
，连接CE 、ME ，过点C 作CF
AB
^
于点F ，
Q在锐角三角形ABC 中，
4
AB =
，ABC
V
的面积为6，
1
1
4
6
2
2
AB CF
CF
\
×
=
´
= ，
3
CF
\
=
，
BD
Q
平分
ABC
Ð
，
ABD
CBD
\Ð
= Ð
，
在BME
V
和BMN
V
中，
BE
BN
EBM
NBM
BM
BM
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
BME
BMN
\V
V
≌
，
EM
MN
\
=
，
CM
MN
CM
EM
CE
CF
\
+
=
+
³
³
，
\当E 、M 、C 三点共线，且CE
AB
^
时，CM
MN
+
有最小值为CF 的长，
\ CM
MN
+
的最小值为3．
8．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在ABC
V
中，
90
BAC
Ð
=
° ，AB
AC
=
，点E 是BC 边上的一点，
过点B 作BF
AE
^
交AE 的延长线于点F ，延长FB 至点G ，使得FG
AF
=
，连接CG 交AF 于点H ，若
6
AF =
，
2
BF =
，则ACH
V
的面积为______．
【答案】12
【分析】过点C 作CM
AF
^
于M ，根据直角三角形两锐角互余的性质得出
ABF
CAF
Ð
= Ð
，进而证明
AAS
ABF
CAM
V
V
≌
，得出
6
CM
AF
=
=
，
2
AM
BF
=
=
，
4
FM =
，根据FG
AF
=
得出GF
CM
=
，进而
证明
(AAS)
GFH
CMH
V
V
≌
，得出FH
MH
=
，进而得出
4
AH =
，根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C 作CM
AF
^
于M ，
∵
90
BAC
Ð
=
° ，BF
AE
^
，
∴
90
BAF
CAF
Ð
+ Ð
=
° ，
90
BAF
ABF
Ð
+ Ð
=
°，
∴
ABF
CAF
Ð
= Ð
，
在
ABF
△
和CAM
V
中，
90
F
AMC
ABF
CAM
AB
AC
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABF
CAM
V
V
≌
，
∵
6
AF =
，
2
BF =
，
∴
6
CM
AF
=
=
，
2
AM
BF
=
=
，
∴
6
2
4
FM
AF
AM
=
-
=
-
=
，
∵FG
AF
=
，
∴GF
CM
=
，
在
GFH
△
和CMH
V
中，
90
GHF
CHM
F
CMH
GF
CM
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
(AAS)
GFH
CMH
V
V
≌
，
∴FH
MH
=
，
∴
1
2
2
MH
FM
=
=
，
∴
4
AH
AM
MH
=
+
=
，
∴
1
1
4 6
12
2
2
ACH
S
AH CM
=
×
=
´ ´
=
V
．
三、解答题
9．（25-26 八年级上·安徽亳州·阶段检测）在几何学上，我们把两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1
所示，筝形ABCD 中，AB
AD
=
，CB
CD
=
．
(1)请判断AC 是否平分
BAD
Ð
，并说明理由；
(2)图2 中，连接BD ，交AC 于点Q，筝形ABCD 的面积是24，
6
BD =
．求AC 的长．
【答案】(1) AC 平分
BAD
Ð
，理由见解析
(2)8
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据全等“SSS”的判定方法进行证明ABC
ADC
V
V
≌
，根据全等三角形的性质证得
BAC
DAC
Ð
= Ð
，从
而得到结论AC 平分
BAD
Ð
；
（2）根据等腰三角形的性质得到AC
BD
^
，根据筝形ABCD 的面积
1
2
AC
BD
=
´
´
，进行计算求解AC 的长
即可．
【详解】（1）解：AC 平分
BAD
Ð
，理由如下：
在ABC
V
和ADC
V
中，
AB
AD
CB
CD
AC
AC
ì
ïí
ï
=
=
î
=
SSS
ABC
ADC
\V
V
≌
，
BAC
DAC
\Ð
= Ð
，
AC
\
平分
BAD
Ð
；
（2）解：在ABD
V
中，AB
AD
=
，AC 平分
BAD
Ð
，
AC
BD
\
^
，
\筝形ABCD 的面积为：1
6
24
2
AC
´
´
=
，
8
AC
\
= ．
10．（25-26 八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在ABC
V
和DEF
V
中，
90
A
D
Ð
= Ð
=
°，AB
DF
=
，点B，
E，C，F 在同一条直线上，且BE
FC
=
．
(1)求证：Rt
Rt
ABC
DEF
△
≌
△
．
(2)若
25
B
Ð
=
°，求
a
Ð
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)130°
【分析】（1）根据BE
FC
=
，可得BC
FE
=
，根据HL 证明Rt
Rt
ABC
DEF
△
≌
△
即可；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余得出
65
ACB
Ð
=
°，根据全等三角形的性质得出
65
DEF
ACB
Ð
= Ð
=
° ，
进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：
BE
FC
=
Q
BE
EC
FC
EC
\
+
=
+
即BC
FE
=
90
A
D
Ð
= Ð
=
°
Q
在Rt
ABC
△
和Rt DFE
V
中
AB
DF
BC
FE
=
ì
í
=
î
Rt
Rt
HL
ABC
DEF
\
V
V
≌
（2）解：∵
25
B
Ð
=
°，
90
A
Ð
=
°
∴
65
ACB
Ð
=
°
∵Rt
Rt
ABC
DEF
△
≌
△
∴
65
DEF
ACB
Ð
= Ð
=
°
∴
130
DEF
ACB
a
Ð
= Ð
+ Ð
=
°
11．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）如图，AD 是ABC
V
的中线，BE
AD
^
交AD 的延长线于点E ，
CF
AD
^
于点F ，G 是AF 上一点，连接BG ．
(1)证明：DE
DF
=
．
(2)若
CAF
BGE
Ð
= Ð
，
2
DE =
，求AG 的长．
【答案】(1)证明：∵AD 是ABC
V
的中线，
∴BD
CD
=
，
∵BE
AD
^
，CF
AD
^
，
∴
90
BED
CFD
Ð
= Ð
=
°，
在BED
V
和CFD
V
中，
90
BED
CFD
BDE
CDF
BD
CD
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴
BED
CFD AAS
V
V
≌
，
∴DE
DF
=
．
(2)
4
AG =
【分析】（1）证明BED
CFD
V
V
≌
，对应边相等即可得到DE
DF
=
．
（2）证明
BEG
CFA
△
≌△
，则AF
EG
=
，即AG
EG
=
，则题目可解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）BED
CFD
V
V
≌
，
∴DE
DF
=
，BE
CF
=
，
∵BE
AD
^
，CF
AD
^
，
∴
90
BEG
CFA
Ð
= Ð
=
°，
∵
BGE
CAF
Ð
= Ð
，
∴
BEG
CFA AAS
V
V
≌
，
∴GE
AF
=
，
∵
2
DE =
，
∴
4
GE
DE
DF
FG
FG
=
+
+
=
+
，
∴AF
FG
AG
=
+
，
∴4
FG
FG
AG
+
=
+
，
∴
4
AG =
．
12．（24-25 七年级下·贵州六盘水·期末）根据以下素材，探索完成摆球摆动问题的任务．
素材1：如图1 是一个单摆实验原理图，包括一个铁架台和一根悬挂的摆线，线端固定摆球．实验者调节摆
球的初始位置，观察周期性运动．
素材2：如图2，开始时摆球位于点A 处，已知摆线长
50cm
OA
OB
OC
=
=
=
，小亮将摆球拉至点C 处进行
单摆实验，当摆球摆动至点B 时，OB
OC
^
，过点B 作BD
OA
^
于点D ，过点C 作CE
OA
^
于点E ，测得
10cm
AD =
．
问题解决：
(1)
COE
△
与OBD
V
全等吗？请说明理由；
(2)求CE 的长？
【答案】(1)
COE
OBD
V
V
≌
解：
OB
OC
^
Q
，CE
OA
^
，BD
OA
^
，
90
ODB
CEO
BOC
\Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
90
BOD
COE
\Ð
+ Ð
=
° ，
90
COE
C
Ð
+ Ð
=
°，
BOD
C
\Ð
= Ð
．
Q
90
ODB
CEO
Ð
= Ð
=
°，OB
OC
=
，
COE
OBD AAS
\V
V
≌
．
(2) 40cm
【分析】（1）根据垂直的定义通过角度等量代换求出
BOD
C
Ð
= Ð
，结合已知条件，利用AAS即可证明
COE
OBD
V
V
≌
．
（2）利用已知条件求出OD 长度，结合COE
OBD
V
V
≌
证明OD
CE
=
，即可求出CE 长度．
【详解】（1）略
（2）解：
50cm
OA =
Q
，
10cm
AD =
，
50 10
40cm
OD
OA
AD
\
=
-
=
-
=
．
Q由（1）可知COE
OBD
V
V
≌
，
40cm
CE
OD
\
=
=
．
13．（25-26 八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在ABC
V
与ADE
V
中，AB
AD
=
，AC
AE
=
，且
70
EAC
DAB
Ð
= Ð
=
°，过点A 作AF
DE
^
，垂足为F ，AE 交BC 于点O ，延长CB 交DE 于点G ，连接AG ．
(1)①求证：ABC
ADE
V
V
≌
；
②求
CGE
Ð
的度数；
(2)猜想线段GF ，DF ，BG 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
70
CGE
Ð
=
°
(2) FG
BG
DF
=
+
，见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）①利用“ SAS ”证明全等即可；②根据全等的性质，得
C
E
Ð
= Ð
，结合对顶角相等
AOC
GOE
Ð
= Ð
，
可求出
CGE
Ð
的度数；
（2）过点A 作AH
BC
^
于点H ，证明ACH
AFE
V
V
≌
，得到AH
AF
=
，再依次证明Rt
Rt
AFG
AHG
V
V
≌
、
Rt
Rt
AFD
AHB
V
V
≌
，即可证出FG
BG
DF
=
+
．
【详解】（1）解：①证明：∵
70
EAC
DAB
Ð
= Ð
=
°，
∴
DAB
BAE
BAE
EAC
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
即
DAE
BAC
Ð
= Ð
，
在ABC
V
与ADE
V
中，
AB
AD
DAE
BAC
AC
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
ABC
ADE
V
V
≌
；
②解：∵ABC
ADE
V
V
≌
，
∴
C
E
Ð
= Ð
，
∵
AOC
GOE
Ð
= Ð
，
∴
180
180
70
CGE
E
GOE
C
AOC
CAE
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°- Ð
- Ð
= Ð
=
°，
故
70
CGE
Ð
=
° ．
（2）解：FG
BG
DF
=
+
，
理由：过点A 作AH
BC
^
于点H ，如图所示：
∴
90
AHC
AHB
Ð
= Ð
=
°，
∵AF
DE
^
，垂足为F ，
∴
90
AFE
AFD
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
AHB
AFE
Ð
= Ð
=
°，
在ACH
V
和AFE
V
中，
90
AHB
AFE
C
E
AC
AE
Ð
= Ð
=
°
ì
ï
Ð
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ACH
AFE
V
V
≌
，
∴AH
AF
=
，
∵AG
AG
=
，
∴
Rt
Rt
HL
AFG
AHG
V
V
≌
，
∴FG
HG
=
，
∵AD
AB
=
，AF
AH
=
，
∴
Rt
Rt
HL
AFD
AHB
V
V
≌
，
∴BH
DF
=
，
∴FG
HG
BG
BH
BG
DF
=
=
+
=
+
．
14．（25-26 七年级下·重庆·期末）已知AD
BC
P
，连接AB ，点E 在AB 上（点E 不与点A ，点B 重合），连
接CE ，DE ．
(1)如图1，若
30
C
Ð
=
° ，
20
D
Ð
=
°，求
DEC
Ð
的度数；
(2)如图2，点F 是ADE
V
的内角平分线的交点，连接DF ，EF ，点G 是BCE
V
的外角平分线的交点，连接
,
CG EG ，请探究
F
Ð
与
G
Ð
的数量关系；
(3)如图3，若
,
AE
BC AD
BE
=
=
，点F 是CE 的中点，求证：
2
DE
BF
=
．
【答案】(1)
50
DEC
Ð
=
°
(2)
90
F
G
Ð
Ð
-
=
°
(3)延长BF 至点G ，使得FG
FB
=
，如图所示：
∵点F 是CE 的中点，
∴EF
CF
=
∵
EFG
CFB FG
FB
Ð
= Ð
=
,
∴
SAS
EFG
CFB
V
V
≌
∴EG
BC
G
CBF
=
Ð
= Ð
,
，
∴EG
BC
P
，
∵AD
BC
P
，
∴AD
EG
P
，
∴
BEG
A
Ð
= Ð ，
∵AE
BC
=
，
∴AE
EG
=
，
∵AD
BE
=
，
∴
SAS
ADE
EBG
V
V
≌
，
∴
2
DE
BG
BF
=
=
．
【分析】（1）先过点E 作EF
AD
∥
，再结合平行线的性质，得
2
30
0
DEF
C
E
D
C F
Ð
Ð
°
=
° Ð
=
=
Ð
=
,
，即可
作答；
（2）根据角平分线的定义，以及三角形的内角和性质得
1
90
2
F
A
Ð
Ð
=
°+
，同理得
1
1
180
90
2
2
G
B
B
Ð
=
°- Ð
=
°-
Ð ，再结合平行线的性质，得
180
A
B
Ð + Ð
=
° ，整理得
1
180
2
F
B
Ð
Ð
=
°-
，最
后代入
F
G
Ð
Ð
-
计算，即可作答．
（3）运用倍长中线法进行证明
SAS
EFG
CFB
V
V
≌
，得出EG
BC
G
CBF
=
Ð
= Ð
,
，再根据AE
BC
=
，AD
BE
=
，
证明
SAS
ADE
EBG
V
V
≌
，即可作答．
【详解】（1）解：过点E 作EF
AD
∥
，如图所示：
∵AD
BC
P
，
∴AD
BC
EF
∥
∥
，
∴
2
30
0
DEF
C
E
D
C F
Ð
Ð
°
=
° Ð
=
=
Ð
=
,
，
∴
20
30
50
DEC
DEF
CEF
Ð
°
Ð
°+
°
= Ð
+
=
=
．
（2）解：
90
F
G
Ð
Ð
-
=
° ，
过程如下：
∵点F 是ADE
V
内角平分线交点，
∴1
1
2
2
ADE
FDE
AED
FED
Ð
Ð
= Ð
= Ð
,
,
∴
1
2
ADE
AED
FDE
FED
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
∵
180
F
FDE
FED
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
180
ADE
AED
A
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
则
1
1
1
180
(
)
180
(180
)
90
2
2
2
F
ADE
AED
A
A
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
=
-
+
=
°-
°+
°
°-
=
延长BC 至点T ，如图所示：
∵点G 是BCE
V
外角平分线交点，
∴
1
1 180
2
2
GEC
AEC
BEC
Ð
=
Ð
=
°- Ð
，
1
1 180
2
2
ECG
ECT
BCE
Ð
=
Ð
=
°- Ð
∵
180
G
GEC
ECG
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
∴
180
G
GEC
ECG
Ð
=
°- Ð
+ Ð
∴
1
180
180
180
2
G
BEC
BCE
é
ù
Ð
=
°-
°- Ð
+
°- Ð
ë
û
1
180
180
180
2
BEC
BCE
=
°-
°- Ð
+
°- Ð
1
180
360
2
BEC
BCE
=
°-
°- Ð
- Ð
1
1
180
180
2
2
BEC
BCE
æ
ö
=
°-
°-
Ð
-
Ð
ç
÷
è
ø
1
1
180
180
2
2
BEC
BCE
=
°-
°+
Ð
+
Ð
1 (
)
2
BEC
BCE
Ð
Ð
=
+
∵
180
BEC
BCE
B
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
∴
180
BEC
BCE
B
Ð
Ð
+
=
°- Ð
则
1
1
180
90
2
2
G
B
B
Ð
=
°- Ð
=
°-
Ð
AD
BC
Q
P
，
180
A
B
°
\Ð + Ð
=
，
即1
1
90
2
2
A
B
Ð
Ð
=
°-
，
∵
1
90
2
F
A
Ð
Ð
=
°+
∴
1
1
90
(90
)
180
2
2
F
B
B
Ð
Ð
Ð
=
°+
°-
=
°-
，
故
1
1
(180
)
(90
)
90
2
2
F
G
B
B
Ð
Ð
Ð
Ð
°
°
°
-
=
-
-
-
=
．
（3）略
15．（25-26 八年级上·山东聊城·期末）已知
ACB
Ð
中，AC
BC
=
，过点A 作直线l
CB
∥
，点F 为直线l 上任
意一点．
(1)点E 为线段AC 上的任意一点，点F 位于A 点的右边，连接CF 交BE 于点H ．如图1，若
90
ACB
Ð
=
°，
BE
CF
=
，试探究BE 与CF 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若
90
ACB
Ð
=
°，连接FC ，过点C 作CD
CF
^
，并使CD
CF
=
，连接DB交射线AC 于点G ，过点D 作
DM
AC
^
于点M ，若AC
m
=
，AG
n
=
，
①如图2，点F 在A 点右边，求线段AF 的长度；（用m ，n 表示）
②若点F 在A 点左边，在图3 中画出图形并直接写出线段AF 的长度．（用m ，n 表示）
【答案】(1)
解：BE
CF
^
，证明：
∵
90
ACB
Ð
=
°，l
CB
∥
，
∴
90
CAF
Ð
=
°，
在Rt
ACF
△
和Rt
CBE
△
中，
CF
BE
AC
BC
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt
Rt
HL
ACF
CBE
V
V
≌
，
∴
CBE
ACF
Ð
= Ð
，
又∵
90
ACF
FCB
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
90
CBE
FCB
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
90
CHB
CBE
FCB
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
° ，
∴BE
CF
^
；
(2)①
2
2
=
-
AF
m
n；
②如图为所求作；
2
2
AF
n
m
=
-
．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的
关键．
（1）先证明
Rt
Rt
HL
ACF
CBE
V
V
≌
，得出
CBE
ACF
Ð
= Ð
，再得出
90
CBE
FCB
Ð
+ Ð
=
°，即可得出结论；
（2）①当点F 在A 点右边，先证明
(AAS
DMC
CAF
V
V
≌
），得到DM
AC
=
，AF
MC
=
，进而得到
DM
CB
=
，然后可证
(AAS
DMG
BCG
V
V
≌
），得到MG
CG
m
n
=
=
-
，即可得到结论；②先画出图像，点F
在A 点左边，先证明
(AAS
DMC
CAF
V
V
≌
），得到DM
AC
=
，AF
MC
=
，进而得到DM
CB
=
，然后可证
(AAS
DMG
BCG
V
V
≌
），得到MG
CG
n
m
=
=
-
，即可得到结论．
【详解】（1）略
（2）①∵
90
ACB
Ð
=
°，l
CB
∥
，
∴
90
CAF
Ð
=
°，
∵CD
CF
^
，DM
AC
^
，
∴
90
DMC
DCF
°
Ð
= Ð
=
，
∴
90
DCA
ACF
Ð
+ Ð
=
o ，
∵
90
ACB
Ð
=
°
∴
90
FCB
ACF
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
FCB
DCM
Ð
= Ð
，
∵l
CB
∥
，
∴
FCB
AFC
Ð
= Ð
，
∴
DCM
AFC
Ð
= Ð
，
在
DCM
△
和CAF
V
中，
90
DMC
CAF
DCM
AFC
DC
CF
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
(AAS
DMC
CAF
V
V
≌
），
∴DM
AC
=
，AF
MC
=
，
∵AC
CB
=
，
∴DM
CB
=
，
在DMG
V
和
BCG
△
中，
90
DGM
CGB
DMG
GCB
DM
CB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
(AAS
DMG
BCG
V
V
≌
），
∴MG
CG
=
，
∵AC
m
=
，AG
n
=
，
∴
=
=
-
=
-
MG
CG
AC
AG
m
n，
∴
2
2
2
2
AF
MC
CG
m
n
m
n
=
=
=
-
=
-
；
②∵
90
ACB
Ð
=
°，l
CB
∥
，
∴
90
CAF
Ð
=
°，
∵CD
CF
^
，DM
AC
^
，
∴
90
DMC
DCF
°
Ð
= Ð
=
，
∴
90
DCM
ACF
Ð
+ Ð
=
o ，
90
DCM
CDM
Ð
+Ð
=
°，
∴
ACF
CDM
Ð
= Ð
，
在
DCM
△
和
ACF
△
中，
90
DMC
CAF
CDM
ACF
DC
CF
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
(AAS
DMC
CAF
V
V
≌
），
∴DM
AC
=
，AF
MC
=
，
∵AC
CB
=
，
∴DM
CB
=
，
在DMG
V
和
BCG
△
中，
90
DGM
CGB
DMG
GCB
DM
CB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
(AAS
DMG
BCG
V
V
≌
），
∴MG
CG
=
，
∵AC
m
=
，AG
n
=
，
∴
=
=
-
=
-
MG
CG
AG
AC
n
m，
∴
2
2
2
2
AF
MC
CG
n
m
n
m
=
=
=
-
=
-
．
