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专题06 相似三角形与解直角三角形
1 年真题1 年模拟
考点分类
四川考情（2026）
命题规律
考点01 平行线分
线段成比例、相似
三角形判定与性质
2026 年内江、南充、凉
山、泸州、宜宾、眉山
中考真题
选择、填空为主，融入《墨经》小孔成像传统文
化情境；常结合图形旋转、尺规作图、双直角三
角形交叉构图；核心考查相似判定、面积比等于
相似比平方，开放型添加相似条件为高频填空，
侧重线段比例等量转化。
考点02 勾股定理
综合线段计算
2026 年南充、巴中、眉
山、遂宁、乐山、成都、
广安、凉山、广元、内
江中考真题
覆盖全题型，依托圆、菱形、矩形、折叠、长方
体表面最短路径命题；搭配动点最小值、分类讨
论直角三角形，常结合尺规作图、图形旋转综合
计算，是几何线段求值核心工具，计算类小题高
频。
考点03 锐角三角
函数定义、解直角
三角形
2026 年攀枝花、自贡、
乐山、广元、凉山、遂
宁、宜宾、泸州、达州、
内江、成都、广安中考
真题
基础计算为各地市解答首题，考查特殊角三角函
数混合运算；小题结合等边三角形、角平分线构
图求三角函数值，联动函数图像面积设问，纯数
值计算与几何边角求值两类考法并存，难度偏
低。
考点04 实际测量
应用：仰角、俯角、
坡度、坡角、方位
角应用题
2026 年凉山、巴中、达
州、眉山、广安、泸州、
甘孜、宜宾、遂宁、成
都、自贡、广元中考真
题
本专题固定中档解答大题，素材结合桥梁、景区、
高铁、民俗赛事、智能门锁等四川本土实景；分
为斜坡测距、无人机航拍、方位航行三类模型，
两小问分层设问，侧重构造双直角三角形建模，
数据计算量大。
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考点01 平行线分线段成比例、相似三角形判定与性质
1．（2026·四川内江·中考真题）如图，在ABC中，DE
BC
∥
，若
13
AD AB =
∶
∶，则ADE 与ABC 的面积
之比为（ ）
A．1 2
∶
B．13
∶
C．1 4
∶
D．19
∶
【答案】D
【分析】证明
ADE
ABC
△
△
∽
，可得
2
ADE
ABC
S
AD
S
AB
=
，据此可得答案．
【详解】解：∵DE
BC
∥
，
∴
ADE
ABC
△
△
∽
，
∴
2
2
1
1
3
9
ADE
ABC
S
AD
S
AB
=
=
=
．
2．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1 是小孔成像
示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB 在幕布上形成倒立的实像A B
（点A，B 的对
应点分别是A，B），且AB
A B
⊥
，A B
A B
⊥
，若
10cm
AB =
，P 到A B
的距离
6cm
=
PQ
，则A B
长为
（ ）
A．12cm
B．13.5cm
C．15cm
D．18cm
【答案】C
【分析】由题意易得AB
PQ
A B
∥
∥
，则有
,
A PQ
A AB
BPQ
BB A
∽
∽
，然后可得
6
3
10
5
A Q
PQ
A B
AB
=
=
=
，
则
2
5
BQ
BA =
，进而根据BPQ
BB A
∽
进行求解即可．
【详解】解：∵AB
A B
⊥
，A B
A B
⊥
，PQ
A B
⊥
，
∴AB
PQ
A B
∥
∥
，
∴
,
A PQ
A AB
BPQ
BB A
∽
∽
，
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∴
6
3
10
5
A Q
PQ
A B
AB
=
=
=
，
∴
2
5
BQ
BA =
，
∵BPQ
BB A
∽
，
∴
2
5
QP
BQ
A B
BA
=
=
，
∴
5
15cm
2
A B
PQ
=
=
．
3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将ABC在平面内绕点B 逆时针旋转到
A BC
△
的位置，AC 与A C
交于点E ，AC 与BC交于点F ，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE
EF
=
B．
ABA
CBC
=
C．ABC
A BC
≌
D．BCF
EC F
∽
【答案】A
【详解】解：由旋转的性质可得，ABC
A BC
≌
，
ABA
CBC
=
，
∴选项B 与选项C 不符合题意，
∵ABC
A BC
≌
，
∴
C
C
= ，
又∵
BFC
EFC
=
，
∴BCF
EC F
∽
，故选项D 不符合题意，
在旋转的过程中，AE
EF
=
不一定成立，故A 符合题意．
4．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在ABC中，AB
AC
=
，点D 在AC 上，若AD
BC
BD
=
=
，则
BCD
ABC
S
S
△
△
的值为（ ）
A．
5
1
4
−
B．3
5
2
−
C．4
5
5
−
D．
5
1
2
−
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【答案】B
【分析】设
A
x
=
，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出
C
与
A
的关系，进而证得
ABC
BCD
，利用相似三角形对应边成比例求出线段比，最后根据等高三角形面积比等于底边比求解．
【详解】解：设
A
x
=
，
AD
BD
=
，
ABD
A
x
= =
，
2
BDC
A
ABD
x
= +
=
，
BD
BC
=
，
2
C
BDC
x
=
=
，
AB
AC
=
，
2
ABC
C
x
=
=
，
在ABC中，
180
A
ABC
C
+
+
=
，
2
2
180
x
x
x
+
+
=
，
解得
36
x =
，
72
C
ABC
=
=
，
72
BDC
=
，
C
C
=
，
ABC
BDC
=
，
ABC
BDC
∽
，
BC
CD
AC
BC
=
，
设BC
a
=
，CD
b
=
，则AD
BD
BC
a
=
=
=
，AC
a
b
=
+ ，
a
b
a
b
a
=
+
，
即
2
2
(
)
a
b a
b
ab
b
=
+
=
+
，
等式两边同时除以
2
b ，
得：(
𝑎
𝑏)2 −
𝑎
𝑏−1 = 0，
解得
1
5
2
a
b
+
=
（负值舍去），
BCD 与
ABC 在 AC 边上的高相等，
1
1
BCD
ABC
S
CD
b
a
S
AC
a
b
b
=
=
=
+
+ ，
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(
)
2 3
5
1
2
3
5
4
2
1
5
3
5
1
2
BCD
ABC
S
S
−
−
=
=
=
=
+
+
+
．
故选 B．
5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，点E 、F 分别是BC 上的点，连接AE 、DF
交于点G ．若
2
BF
EF
=
=
，
1
CE = ，
4
AB =
，
6
CD =
，则BG 的长是（ ）
A．2
3
3
B．2
5
3
C．4
3
3
D．4
5
3
【答案】D
【分析】过点G 作GH
BC
⊥
于点H ，利用相似三角形的性质求出GH 和BH 的长，最后在Rt
BGH
△
中利用
勾股定理求解．
【详解】解：过点G 作GH
BC
⊥
于点H ，
AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，
∴AB
GH
CD
∥
∥
，
EGH
EAB
∽
，FGH
FDC
V
V
∽
，
2
BF
EF
=
=
，
1
CE = ，
4
BE
BF
EF
=
+
=
，
3
FC
EF
CE
=
+
=
设GH
h
=
，
∵EGH
EAB
∽
∴GH
EH
AB
EB
=
，即4
4
h
EH
=
，
EH
h
=
，
∵
FGH
FDC
V
V
∽
，
∴GH
FH
CD
FC
=
，即6
3
h
FH
=
，
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1
2
FH
h
=
，
2
EF
EH
FH
=
+
=
1
2
2
h
h
+
=
，
解得
4
3
h =
4
3
GH
=
，
4
3
EH =
，
∴
2
3
FH =
，
2
8
2
3
3
BH
BF
FH
=
+
=
+
=
，
在Rt
BGH
△
中，
2
2
2
2
8
4
80
4
5
3
3
9
3
BG
BH
GH
=
+
=
+
=
=
．
6．（2026·四川眉山·中考真题）如图，1
2
3
l
l
l ，
3
AB =
，
5
DE = ，
6
BC =
，则DF 的长度是_______．
【答案】
15
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由1
2
3
l
l
l 可得AB
DE
BC
EF
=
，求出EF 的长，再根据DF
DE
EF
=
+
即
可求解.．
【详解】解：
1
2
3
l
l
l
AB
DE
BC
EF
=
3
AB = ，
6
BC =
，
5
DE =
3
5
6
EF
=
10
EF
=
5 10 15
DF
DE
EF
=
+
= +
=
．
7．（2026·四川南充·中考真题）如图，在Rt ABC中，
90
ACB
=
，
10
AB =
，
8
AC = ．分别以点A ，C 为
圆心，大于1
2 AC 长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点，直线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ，则DE 的
长为_______．
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【答案】3
【分析】由勾股定理可得
6
BC =
，由尺规作图可得MN 是AC 的垂直平分线，容易证明ADE
ACB
∽
，则
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，因此
1
3
2
DE
BC
=
=
．
【详解】解：在Rt ABC中，
2
2
2
2
10
8
6
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
由题意可知，MN 是AC 的垂直平分线，
∴MN
AC
⊥
，
1
2
AD
AC
=
，
∴MN
BC
∥
，
∴ADE
ACB
∽
，
∴
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，
∴
1
3
2
DE
BC
=
=
．
考点02 勾股定理综合线段计算
1．（2026·四川南充·中考真题）如图，AB 为
O 直径，弦CD
AB
⊥
于E，
2
OB
CD
=
=
，则OE 长为（ ）
A．1
B．3
C．2
D．5
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出CE 的长，再在Rt OCE 中利用勾股定理求出OE
的长即可．
【详解】解：
AB 为
O 直径，CD
AB
⊥
，
2
OC
OB
CD
=
=
= ，
1
1
2
CE
CD
=
= ，
在Rt OCE 中，
2
2
2
2
2
1
3
OE
OC
CE
=
−
=
−
=
．
2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
13
AB =
，
5
BC =
，以点B 为圆心任意
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长为半径画弧分别交BC 、BA 于M 、N 两点，分别以点M 、N 为圆心，大于1
2 MN 长为半径画弧，两弧交
于点P ，连接BP 并延长交AC 于点F ，则
ABF
△
的面积为（）
A．10
3
B．25
3
C．40
3
D．65
3
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出AC 的长，再
根据尺规作图可知BF 是
ABC
的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点
F 到AB 的距离（即FC 的长），最后计算
ABF
△
的面积．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
13
AB =
，
5
BC =
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
13
5
12
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
由尺规作图可知，BF 是
ABC
的角平分线，过点F 作FD
AB
⊥
于点D ，
90
C
=
，即FC
BC
⊥
，
FD
FC
=
，
ABC
ABF
CBF
S
S
S
=
+
，
1
1
1
2
2
2
AC BC
AB FD
BC FC
=
+
，
即1
1
1
12 5
13
5
2
2
2
FC
FC
=
+
，
60
13
5
FC
FC
=
+
，
18
60
FC =
，解得
10
3
FC =
，
10
3
FD
=
，
1
1
10
65
13
2
2
3
3
ABF
S
AB FD
=
=
=
．
3．
（2026·四川眉山·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O，
6 cm
AC =
，
8 cm
BD =
，
点P 为线段BC 上的一个动点（不与端点重合），过点P 作PM
AC
⊥
于点M，PN
BD
⊥
于点N，连接MN ，
则MN 的最小值为（ ）
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A．5 cm
4
B．12 cm
5
C．5 cm
2
D．24 cm
5
【答案】B
【分析】由菱形性质和已知条件可证四边形OMPN 为矩形，所以MN
OP
=
，则MN 的最小值为OP 最小值，
因为点P 为线段BC 上的一个动点，所以OP
BC
⊥
时，OP 最小，根据面积法求出OP 最小值即可．
【详解】解：连接OP ，
∵在菱形ABCD中，
∴
90
BOC
=
，
1
1
3
,
4
2
2
OC
AC
cm OB
BD
cm
=
=
=
=
，
∵PM
AC
⊥
，PN
BD
⊥
，
∴四边形OMPN 为矩形，
∴MN
OP
=
，
则MN 的最小值为OP 最小值，
∵点P 为线段BC 上的一个动点，
∴OP
BC
⊥
时，OP 最小，
此时
1
1
2
2
BOC
S
OB OC
BC OP
=
=
，
∵
2
2
3
4
5
BC =
+
=
，
∴
(
)
3 4
12
,
5
5
OB OC
OP
c m
BC
=
=
=
，
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∴MN 的最小值为12
5 cm ．
4．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
5,
12
B
AB
BC
=
=
=
，点M 是边AC 的中点．将
ABC绕着点A 逆时针旋转到ADE 的位置，点D 恰好在边AC 上，点M 是点M 的对应点，则M
M
、
两
点间的距离为（ ）
A．2 5
B．2 13
C．4 5
D．4 13
【答案】B
【分析】过点M 作M N
AD
⊥
，由题意易得
2
2
13
AC
AB
BC
=
+
=
，则有
5
12
cos
,sin
13
13
AB
BC
BAC
BAC
AC
AC
=
=
=
=
，然后根据旋转的性质可知
13,
2
AM
AM
BAC
MAM
=
=
=
，进
而根据三角函数及勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点M 作M N
AD
⊥
，如图所示：
∵
90 ,
5,
12
B
AB
BC
=
=
=
，
∴
2
2
13
AC
AB
BC
=
+
=
，
∴
5
12
cos
,sin
13
13
AB
BC
BAC
BAC
AC
AC
=
=
=
=
，
∵点M 是边AC 的中点，
∴
1
13
2
2
AM
CM
AC
=
=
=
，
由旋转可知：
13,
2
AM
AM
BAC
MAM
=
=
=
，
∴
13
5
5
cos
,
sin
6
2
13
2
AN
AM
MAM
M N
AM
MAM
=
=
=
=
=
，
∴
4
MN
AM
AN
=
−
=
，
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∴
2
2
2 13
MM
M N
MN
=
+
=
．
5．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在Rt ABC 中，
90
ABC
=
，
6
BC =
，
8
AB =
，点D 为斜边AC
的中点，则BD = _________．
【答案】5
【分析】根据勾股定理得到
10
AC =
，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
【详解】解：根据题意，得
2
2
10
AC
AB
BC
=
+
=
，
由点D 为斜边AC 的中点，
1
5
2
BD
AC
=
=
．
6．（2026·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
4,
6
AB
BC
=
=
，分别以B，C 两点为圆心，以AB
的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD内部交于点P，则点P 到AD 所在直线的距离为_____．
【答案】4
7
−
【分析】连接
,
PB PC ，过P 作PE
BC
⊥
，延长EP 交AD 于点F ，如图，根据题意可得，
4
PB
PC
AB
=
=
=
，
可得E 为线段BC 的中点，根据勾股定理求得PE 的长度，即可求解．
【详解】解：连接
,
PB PC ，过P 作PE
BC
⊥
，延长EP 交AD 于点F ，如图，
由题意可得，四边形ABEF 为矩形，
4
PB
PC
AB
=
=
=
，
则
4
EF
AB
=
=
，E 为线段BC 的中点，即
1
3
2
BE
BC
=
=
，
线段PF 的长为点P 到AD 所在直线的距离，
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由勾股定理可得，
2
2
7
PE
PB
BE
=
−
=
，
∴
4
7
PF
EF
PE
−
=
=
−
，
则点P 到AD 所在直线的距离为4
7
−
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，作出辅助
线，构造出直角三角形．
7．（2026·四川南充·中考真题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P 爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短
距离为_______cm．
【答案】100
【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可．
【详解】解：如图，将长方体的前面和右面展开，
∴
(
)
(
)
2
2
40
40
60
100
PQ
cm
=
+
+
=
；
如图，将长方体的前面和上面展开，
∴
(
)
(
)
2
2
40
60
40
20 29
,
PQ
c m
=
+
+
=
，
如图，将长方体的下面和右面展开，
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∴
(
)
(
)
2
2
40
60
40
20 29
,
PQ
c m
=
+
+
=
，
∵25
29
，
∴5
29
，
∴100
20 29
，
∴蚂蚁爬行的最短距离为100cm．
8．（2026·四川成都·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，AD 为ABC的一条中线，E 为AC 上
一点，
ADE
B
= ．若
5,
2
AE
CE
=
=
，则AB = _____．
【答案】7 33
3
【分析】设CD
BD
a
=
=
，则
2
BC
a
=
，勾股定理求得AD ，过点E 作EH
AD
⊥
于点H ，证明EAH
DAC
∽
，
根据相似三角形的性质求得
,
EH AH ，进而求得DH ，根据
ADE
B
= ，得出tan
tan
ADE
B
=
，求得
2
a ，
进而求得AB 的长．
【详解】解：∵AD 为ABC的一条中线，
∴CD
BD
=
，
设CD
BD
a
=
=
，则
2
BC
a
=
∵
5,
2
AE
CE
=
=
，
∴
5 2
7
AC
AE
CE
=
+
= +
=
，
∴
2
2
2
49
AD
AC
CD
a
=
+
=
+
，
∴
7
tan
2
AC
B
BC
a
=
=
过点E 作EH
AD
⊥
于点H ，
∴
90
AHE
ACB
=
=
又∵
EAH
DAC
=
∴EAH
DAC
∽
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∴EH
AE
AH
DC
AD
AC
=
=
∴
2
5
49
AE DC
a
EH
AD
a
=
=
+
∴
2
2
5
7
35
49
49
a
AC EH
a
AH
DC
a
a
+
=
=
=
+
∵
2
2
35
49
49
DH
AD
AH
a
a
=
−
=
+
−
+
2
2
14
49
a
a
+
=
+
∴
2
5
tan
14
EH
a
ADE
DH
a
=
=
+
∵
ADE
B
=
∴
2
7
5
2
14
a
a
a
=
+
解得：
2
98
3
a =
∴
2
7 33
49
4
3
AB
a
=
+
=
9．（2026·四川广安·中考真题）如图所示，在
MAN
中，按以下步骤作图：（1）以点A 为圆心，4cm 长
为半径画弧，分别交AM ，AN 于点B ，C ；（2）分别以点B ，C 为圆心，大于1
2 BC 的长为半径画弧，两
弧在
MAN
内部相交于点D ；（3）作射线AD 交BC 于点E ；（4）连接BC ，交AD 于点F ，连接BE ．若
3 cm
AF =
，则BE = _____cm．
【答案】2 2
【分析】由作图可知：AE 垂直平分BC ，
4cm
AB
AC
AE
=
=
=
，结合勾股定理和线段的和差可得
7
BF =
，
1cm
EF =
，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由作图可知：AE 垂直平分BC ，
4cm
AB
AC
AE
=
=
=
，
∵
3
AF =
∴
2
2
7
BF
AB
AF
=
−
=
，
(
)
1
,
EF
AE
AF
c m
−
=
=
，
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∴
(
)
2
2
8
2 2
,
BE
BF
EF
c m
=
+
=
=
．
10．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
6
AB =
厘米，
8
BC = 厘米．动点E 从点B 出发
以2 厘米/秒的速度在线段BC 上运动，运动到点C 处停止．动点E 运动t 秒时，连接AE ，将ABE 沿着直
线AE 折叠，顶点B 的对应点是点F，连接CF ．当EFC
V
是直角三角形时，则t 为_______秒．
【答案】1.5 或3/ 3
2 或3
【分析】根据折叠的性质可得
6
AF
AB
=
= ，
2
EF
BE
t
=
=
，
90
AFE
B
=
=
，分
90
EFC
=
，
90
CEF
=
和
90
FCE
=
三种情况讨论，利用勾股定理或等腰直角三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，
6
AF
AB
=
= ，
2
EF
BE
t
=
=
，
90
AFE
B
=
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
B
=
，
2
2
2
2
6
8
10
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
∵点E 在线段BC 上，
∴
8 2
EC
BC
BE
t
−
=
= −
；
当
EFC
V
是直角三角形时，分三种情况讨论：
①当
90
EFC
=
时，∵
90
AFE
=
，
∴
180
AFE
EFC
+
=
，
∴A ，F ，C 三点共线，
∴
10 6
4
FC
AC
AF
−
=
=
−=
，
在 Rt EFC 中，由勾股定理得
2
2
2
EF
FC
EC
+
=
即
2
2
2
(2 )
4
(8
2 )
t
t
+
=
−
，
解得
1.5
t =
；
②当
90
CEF
=
时，
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∴EF
BC
⊥
，
∴
90
BEF
=
，
由折叠可知
AEB
AEF
=
，
∴
1
45
2
AEB
BEF
=
=
，
在 Rt
ABE
△
中，
90
45
BAE
AEB
−
=
=
，
∴
BAE
AEB
=
，
∴
6
BE
AB
=
= ，
∴2
6
t = ，
解得
3
t =
；
③当
90
FCE
=
时， 此时FC
BC
⊥
，即点F 在CD边上，
在 Rt
ADF
△
中，斜边
6
AF = ，直角边
8
AD
BC
=
=
，
∵AF
AD
，
∴此种情况不存在．
综上所述，t 的值为1.5或3．
11．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于点
,
2 7,
6,
O AC
BD
EF
=
=
是线段BC 的垂直平分线，交BC 于点E，交BD 于点F，连接CF ，则
CDF
△
的周长为________．
【答案】10
【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出边长CD，再根据线段垂直平分线的
性质得出CF
BF
=
，从而将CDF 的周长转化为CD
BD
+
进行计算
【详解】解：
四边形ABCD是菱形，
2 7,
6
AC
BD
=
=
1
1
,
7,
3
2
2
AC
BD OC
AC
OD
BD
⊥
=
=
=
=
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在Rt COD中，
由勾股定理得 𝐶𝐷= √𝑂𝐶2 + 𝑂𝐷2 = √(√7)2 + 32 = 4
EF 是线段BC 的垂直平分线
CF
BF
=
CDF
的周长为：
4 6 10
CD
DF
CF
CD
DF
BF
CD
BD
+
+
=
+
+
=
+
= + =
．
12．（2026·四川广元·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
3
AC = ，
4
BC =
，点D ，E ，F 分别
在AB ，AC ，BC 边上，连接DE ，DF ，EF ，若
90
EDF
=
，AD
AE
=
，则EF 的最小值为__________．
【答案】6 5
5
【分析】勾股定理求得
5
AB =
，设
2
BAC
=
，延长CA 至H 使得
5
AH
AB
=
=
，则
1
2
H
ABH
CAB
=
=
=
，进而求得
5
sin
5
=
，取EF 的中点G ，连接
,
,
AG CG DG ，根据直角三角形中
斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出
1
,
2
DG
EG CG
EF
=
=
，可得G 点
在
CAB
的角平分线上，CG
AG
⊥
时，CG 最小，此时EF 最小，进而解Rt ACG 求得CG 的最小值，即可
求解．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
3
AC = ，
4
BC =
，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，
设
2
BAC
=
，
如图，延长CA至H 使得
5
AH
AB
=
=
，则
1
2
H
ABH
CAB
=
=
=
，
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∴
3 5
8
HC
AC
AH
AC
AB
=
+
=
+
= + = ，
2
2
2
2
4
8
4 5
HB
BC
CH
=
+
=
+
=
，
∴
4
5
sin
sin
5
4 5
BC
H
HB
=
=
=
=
，
如图，取EF 的中点G ，连接
,
,
AG CG DG ，
∴
1
,
2
DG
EG CG
EF
=
=
，
又∵AD
AE
=
，
∴AG垂直平分DE ，AG是
CAB
的角平分线，
∴G 点在
CAB
的角平分线上，CG
AG
⊥
时，CG 最小，此时EF 最小，
∴此时
3 5
sin
5
CG
AC
=
=
，
∴
min
6 5
5
EF
=
.
13．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6 的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别为对角线AC 、边CD上的
动点，且
2
DQ
AP
=
，则PQ 的最小值为_________．
【答案】3 2
【分析】过点P 作EF
AB
⊥
于点E ，交CD于点F ，证明EAP 是等腰直角三角形，四边形AEFD 是矩形，
设AP
x
=
，求得
2
6
2
PF
x
=
−
，
2
2
QF
x
=
，在Rt
PQF
△
中，由勾股定理得
(
)
2
2
3 2
18
PQ
x−
=
+
，最后利
用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：过点P 作EF
AB
⊥
于点E ，交CD于点F ，
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∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴
90
BAD
ADC
=
=
，
45
EAP
=
，
6
AD
CD
=
=
，
∵EF
AB
⊥
，
∴EAP 是等腰直角三角形，四边形AEFD 是矩形，
∴
6
EF
AD
=
=
，AE
EP
DF
=
=
，EF
CD
⊥
，
设AP
x
=
，则
2
DQ
x
=
，
∵
2
6
DQ
x
=
，
∴0
3 2
x
，
∵
2
2
2
2
2
2
2
AE
EP
AP
AE
EP
+
=
=
=
，
∴
2
2
AE
PE
x
=
=
，
∴
2
6
2
PF
EF
PE
x
=
−
=
−
，
2
2
2
2
2
QF
DQ
DF
x
x
x
−
=
−
=
=
，
在Rt
PQF
△
中，
由勾股定理得
2
2
2
2
2
2
2
6
2
2
PQ
FQ
PF
x
x
=
+
=
+
−
2
2
36
6 2
2
2
x
x
x
=
+
−
+
(
)
2
2
6 2
36
3 2
18
x
x
x−
=
−
+
=
+
，
∵(
)
2
3 2
0
x−
，0
3 2
x
，
∴当
3 2
x =
时，
2
PQ 有最小值18，
∴PQ 的最小值为3 2 ．
考点03 锐角三角函数定义、解直角三角形
1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，正三角形ABC 的边长为4，D 是BC 边上的一点，过D 作AB 边的
垂线，交AB 于G，用x 表示线段AG的长度．显然，Rt GBD的面积y 是x 的函数，则该函数的大致图象
为（）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得出
60
B
=
，
4
AB
BC
=
=
，确定
4
BG
AB
AG
x
=
−
= −，再由三角函数
得出
tan60
3(4
)
DG
BG
x
−
=
=
，利用三角形面积建立函数，然后得出自变量的取值范围，取特殊值即可
判断函数图象．
【详解】解：
ABC 为正三角形，边长为4，
60
B
=
，
4
AB
BC
=
=
，
AG
x
=
，
4
BG
AB
AG
x
=
−
= −
，
DG
AB
⊥
，
90
DGB
=
，
在Rt GBD中，
tan60
3(4
)
DG
BG
x
−
=
=
，
(
)
(
)
2
1
1
3
4
3 4
(4
)
2
2
2
y
BG DG
x
x
x
=
=
−
−
=
−
，
D 是BC 边上的一点，
0
4
BD
，
在Rt GBD中，
(
)
2 4
cos60
BG
BD
x
=
=
−
，
(
)
0
2 4
4
x
−
，
解得2
4
x
，
该函数图象是抛物线的一部分，且x 的取值范围是2
4
x
，
当
2
x =
时，
2
3 (4
2)
2 3
2
y =
−
=
，
当
4
x =
时，
0
y =
，对比选项，只有B 选项符合．
2．（2026·四川自贡·中考真题）如图，在
ABCD 中，
8
AB =
，
6
AD =
，
60
D
=
，
DAB
与
ABC
的角
平分线分别交CD于点E ，F ，AE 与BF 相交于点P ，连接CP ，则sin PCF
的值为（ ）
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A．2
3
−
B．
3
3
C．
3
2
D．1
2
【答案】D
【分析】先由平行四边形性质及角平分线定义得出相关角度，进而由等边三角形的判定与性质得出ADE 是
等边三角形，确定
6
AE
DE
AD
=
=
=
，再结合含30直角三角形性质得出
2
PE
CE
=
=
，由等边对等角及外角
性质求出
30
PCF
=
，最后根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：在
ABCD 中，
60
D
=
，AB CD ，则
120
BAD
=
，
60
ABC
=
，
AE 平分
BAD
，
1
60
2
DAE
BAE
BAD
=
=
=
，
在
ABCD 中，AB CD ，则
60
DEA
BAE
=
=
，
8
DC
AB
=
=
，
在ADE 中，
60
D
DAE
AED
=
=
=
，则ADE 是等边三角形，
6
AE
DE
AD
=
=
=
，则
8 6
2
EC
DC
DE
=
−
= −=
，
BF 平分
ABC
，
1
30
2
ABF
CBF
ABC
=
=
=
，
在ABP 中，
60
PAB
=
，
30
PBA
=
，则
90
APB
=
，
在Rt APB 中，
30
ABP
=
，
8
AB =
，则
1
1
8
4
2
2
PA
AB
=
=
=
，
6 4
2
PE
AE
AP
=
−
= −=
，
2
PE
CE
=
=
，则
PCE
CPE
=
，
PEF
是PEC 的一个外角，且
60
PEF
=
，
1
30
2
PCF
PEF
=
=
，
1
sin
sin30
2
PCF
=
=
．
3．（2026·四川乐山·中考真题）sin30= _________．
【答案】1
2
【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果．
【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知：
1
sin30
2
=
.
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4．（2026·四川广元·中考真题）计算：9
2cos30
1
3
−
+ −
．
【答案】2
【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值并化简绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：9
2cos30
1
3
−
+ −
3
3
2
( 3
1)
2
=
−
+
−
3
3
3 1
= −
+
−
2
=
．
5．（2026·四川自贡·中考真题）计算：
(
)
0
1
sin60
π
4
−
−+
−
．
【答案】0
【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、算术平方根，再算加减法．任意非零数的零指数幂等于1．
【详解】解：
(
)
0
1
sin60
π
4
−
−+
−
1 1
2
= + −
0
=
．
6．（2026·四川凉山·中考真题）计算：(
)
(
)
2
2
1
1
1
2sin 45
2
1
2
−
−
+
−
−
+
+ −
．
【答案】3
【分析】原式先分别计算乘方、特殊角三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再合并同类项得到最终结果．
【详解】解：(
)
(
)
2
2
1
1
1
2sin 45
2
1
2
−
−
+
−
−
+
+ −
(
)
2
1
1 2
2
1
4
2
= +
−
−
+
+
(
)
1
1
2
2
1
4
= + −
−
+
+
1
2 1
2 1 4
= +
−−
−+
3
= ．
7．（2026·四川遂宁·中考真题）计算：
0
3 8
(π 1)
sin30
−
−
+
．
【答案】3
2
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【详解】解：原式
1
3
2 1
2
2
=
−+
=
．
8．（2026·四川宜宾·中考真题）计算：
(1)
0
4
( 2
1)
tan45
−
+
+
；
(2)
1
1
1
1
1
x
x
x
x
−
+
+
−
．
【答案】(1)2
(2)
2
1
x +
【详解】（1）解：
0
4
( 2
1)
tan45
−
+
+
2 1 1
=
−+
2
=
；
（2）解：
1
1
1
1
1
x
x
x
x
−
+
+
−
(
)(
)
(
)(
)
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
+
+
−
+
−
(
)(
)
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
−+
+
−
=
+
−
(
)(
)
1
2
1
1
x
x
x
x
x +
−
−
=
2
1
x
=
+ ．
9．（2026·四川泸州·中考真题）计算：
1
0
1
4sin30
3
(π
2)
3
−
+
+
+
−−
．
【答案】
3
【分析】先利用特殊锐角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质分别化简每一项，再进行
加减计算即可．
【详解】解：原式
1
1
1
4
1
2
3
3
=
+
+ −
1
1
2
1
3
3
=
+
+ −
3
= ．
10．（2026·四川达州·中考真题）计算
(
)
0
2sin30
2026
4
1
−
−
+
+ −．
【答案】3
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【分析】本题考查实数的混合运算，用到特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、算术平方根、绝对值的
相关知识，分别计算各项后再合并即可得到结果．
【详解】解：原式
1
2
1
2 1
2
=
−+
+
1 1
2 1
= −+
+
3
= ．
11．（2026·四川内江·中考真题）按要求解答下列各题：
(1)计算：
(
)
(
)
0
2
2
3
1
2
tan45
−
−−
+
+ −
；
(2)化简：
b
a
a
b
b
a
−
−
+
．
【答案】(1)4
(2) 1
−
【详解】（1）解：
(
)
(
)
0
2
2
3
1
2
tan45
−
−−
+
+ −
2 1
4 1
=
−+
−
4
=
；
（2）解：
b
a
a
b
b
a
−
−
+
b
a
a
b
a
b
−
−
=
−
b
a
a
b
−
−
=
1
= −．
12．（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组：
(1)
1
1
8
2cos60
1
2 2
3
−
−
+
+
−
(2)
(
)
3
2
2
5
1
2
3
x
x
x
x
−
+
+
①
②
【答案】(1)3
(2) 1
3
x
−
【分析】（1）根据负整数指数幂的法则、算术平方根的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的定义把算式
中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算；
（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
1
1
8
2cos60
1
2 2
3
−
−
+
+
−
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1
1
1
2 2
2
2 2
1
2
1
3
=
−
+
+
−
3 2 2 1 2 2 1
= −
+ +
−
3
= ；
（2）解：
(
)
3
2
2
5
1
2
3
x
x
x
x
−
+
+
①
②
，
解不等式①：(
)
3
2
2
5
x
x
+
+ ，
去括号得：3
6
2
5
x
x
+
+ ，
移项得：3
2
5 6
x
x
−
−，
合并同类项得：
1
x −，
解不等式②：
1
2
3
x
x
−
，
去分母得：(
)
3
1
2
x
x
−
，
去括号得：3
3
2
x
x
−
，
移项得：3
2
3
x
x
−
，
合并同类项得：
3
x ，
不等式组的解集为1
3
x
−
．
13．（2026·四川广安·中考真题）完成下列小题；
(1)计算：
(
)
(
)
0
2
1
2
2sin45
2
3
π
−
−
+ −
+
−
．
(2)先化简，再求值：
2
2
2
3
1
1
2
1
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
，其中
5
x = ．
【答案】(1)4
(2)化简为
1
x
x
+ ；值为6
5 ；
【详解】（1）解：
(
)
(
)
0
2
1
2
2sin45
2
3
π
−
−
+ −
+
−
2
2
1
2
4 1
2
=
−−
+
+
2 1
2
4 1
=
−−
+ +
4
=
；
（2）解：
2
2
2
3
1
1
2
1
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
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(
)
(
)
2
3
2
1
1
1
1
x x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+
+
(
)
(
)
2
1
3
1
3
x
x
x
x x
+
+
=
+
+
1
x
x
+
=
，
当
5
x = 时，原式
5 1
6
5
5
+
=
=
．
考点04 实际测量应用：仰角、俯角、坡度、坡角、方位角应用题
1．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN 相距300 米
的点A 观测塔顶M 的仰角为30，斜面AN 的坡度
1:5
i =
，点A，B，C，M，N 在同一平面内，AB 是桥面，
CN 是水平线，AB CN ，AB
MN
⊥
．（计算结果均保留根号）
(1)求索塔桥面以上部分MB 的高度；
(2)求索塔MN 的高度．
【答案】(1)100 3 米
(2)(
)
100 3
60
+
米
【分析】（1）由题意得，
300
AB =
米，
90
ABM
ABN
=
=
，
30
BAM
=
，然后根据tan
MB
BAM
AB
=
求
解即可；
（2）作AQ
CN
⊥
于点Q，则四边形ABNQ 是矩形，根据斜面AN 的坡度
1:5
i =
，求出
60
AQ =
米即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
300
AB =
米，
90
ABM
ABN
=
=
，
30
BAM
=
，
∵tan
MB
BAM
AB
=
，
∴
tan30
300
100 3
MB =
=
（米）；
（2）解：如图，作AQ
CN
⊥
于点Q，则四边形ABNQ 是矩形，
∴AQ
BN
=
，
300
NQ
AB
=
=
米，
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∵斜面AN 的坡度
1:5
i =
，
∴
1
300
5
AQ
AQ
NQ =
=
，
∴
60
AQ =
（米），
∴
60
BN =
米，
∴
(
)
100 3
60
MN
BM
BN
=
+
=
+
米．
2．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026 年国际划联皮划艇马拉松世
界杯于5 月23 日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N 点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P
点时，测得C 点正前方的河面上两艘皮划艇A 和B 的俯角分别为42.3和52.4（点M、C、B、A 在一条直
线上）．已知河堤斜坡NC 的长为12m ，坡比为1:
3（计算结果保留整数）．（参考数据：sin42.3
0.67
，
cos42.3
0.74
，tan42.3
0.91
，sin52.4
0.79
，cos52.4
0.61
，tan52.4
1.30
）
(1)求无人机距河面的高度PM ；
(2)求两艘皮划艇之间的距离AB ．
【答案】(1)21m
(2) 7m
【分析】（1）由题意得：
15m
PN =
，
3
tan
,
3
MCN
PM
AM
=
⊥
，则有
30
MCN
=
，然后根据三角函数
可进行求解；
（2）由题意得：
52.4 ,
42.3
PBM
PAM
=
=
，
21m
PM =
，然后根据三角函数进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
15m
PN =
，
3
tan
,
3
MCN
PM
AM
=
⊥
，
∴
30
MCN
=
，
∵
12m
NC =
，
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∴
sin30
6m
MN
NC
=
=
，
∴
21m
PM
PN
MN
=
+
=
；
答：无人机距河面的高度PM 的长为21m
（2）解：由题意得：
52.4 ,
42.3
PBM
PAM
=
=
，
由（1）可知：
21m
PM =
，
在Rt PMB 中，
21
16.2m
tan52.4
1.30
PM
BM =
，
在Rt
PMA
△
中，
21
23.1m
tan 42.3
0.91
PM
AM =
，
∴
6.9
7m
AB
AM
BM
=
−
=
；
答：两艘皮划艇之间的距离AB 的长为7m ．
3．（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座
小山．他们由山脚A 处出发，先沿坡角为42的山坡行走300m到达B 处，再沿坡角为30的山坡行走200m
到达山顶C 处．估计这座小山的高度．（参考数据：sin42
0.67
、cos42
0.74
，tan42
0.90
，结果保
留整数）
【答案】301米
【分析】通过构造直角三角形，分别求出BF 、CH ，利用分段垂直高度累加法，由CG
CH
BF
=
+
即可求解．
【详解】解：过点B 作BF
AD
⊥
于F ，过点C 作CG
AD
⊥
于G ，交BE 于点H ．
由题意可得：AD
BE
∥
，
∴CH
BE
⊥
，
∴四边形BFGH 为矩形，故GH
BF
=
，
在Rt ABF 中，
300
AB =
米，
42
BAF
=
，
300 sin42
300 0.67
201
BF =
=
（米）
∴
201
HG =
米．
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在Rt
BCH
△
中，
200
BC =
米，
30
CBE
=
，
1
200 sin30
200
100
2
CG =
=
=
（米）
小山高度
100 201 301
CG
CH
HG
=
+
=
+
=
（米）．
答：这座小山的高度301米．
4．（2026·四川眉山·中考真题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园
内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB ．为确定跨湖
桥AB 的长度，无人机在桥上方点C 处，测得点C 距地面的高度为90 米，同时测得桥头点A 处的俯角为60；
从点C 处沿AB 方向水平飞行300 米到达点D 处，测得桥头点B 处的俯角为42，求桥AB 的长度（结果精
确到1 米）．（参考数据：sin42
0.67
，cos42
0.74
，tan42
0.90
，3
1.73
）
【答案】桥AB 的长度约为148米
【分析】过点A 作AM
CD
⊥
于点M，过点B 作BN
CD
⊥
于点N ，则
90
AM
BN
=
=
米，AB
MN
=
，然后分
别解Rt
AMC
△
，Rt BDN 求出
,
CM DN ，再由线段和差计算即可．
【详解】解：过点A 作AM
CD
⊥
于点M，过点B 作BN
CD
⊥
于点N ，则
90
AM
BN
=
=
米，AB
MN
=
，
由题意得，
60 ,
42
C
D
=
=
在Rt
AMC
△
中，tan
AM
C
CM
=
，即
90
tan 60
CM
=
∴
90
30 3
3
CM =
=
（米），
在Rt BDN 中，tan
BN
N
DN
=
，即
90
tan 42
DN
=
∴
90
100
0.9
DN
=
（米）
∵
300
CD =
米，
∴
300
30 3 100
200
30 3
148
AB
MN
CD
CM
DN
−
−
=
=
=
−
−
=
−
（米）
答：桥AB 的长度约为148米．
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5．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下：
活动主题
测量建筑物的高度
实物图和测量示意图
测量说明
（1）测角仪在G 处测得建筑物顶D 的仰角为；
（2）测角仪在F 处测得建筑物顶D 的仰角为；
（3）点G ，F ，E 位于同一水平线上，测出AB 的长，测角仪的高AG ，BF ．
测量数据
1.6 m
AG
BF
CE
=
=
=
，
35
=
，
50
=
，
9.8 m
AB =
参考数据
sin35
0.57
，cos35
0.82
，tan35
0.70
sin50
0.77
，cos50
0.64
，tan50
1.19
请根据以上数据求此建筑物高DE 的长．（结果保留整数）
【答案】18m
【分析】在直角三角形中，利用角的正切值，得出
10
7
AC
DC
，
100
119
BC
DC
，进而列方程求解即可．
【详解】解：已知，
35
=
，
50
=
，
9.8m
AB =
，
在Rt ACD 中，tan
DC
AC
=
，
10
tan
0.70
7
DC
DC
AC
DC
=
=
，
在Rt BCD中，tan
DC
BC
=
，
100
tan
1.19
119
DC
DC
BC
DC
=
=
，
AC
AB
BC
=
+
，
10
100
9.8
7
119
DC
DC
=
+
，
16.66m
DC
=
( )
16.66
1.6
18.26
18 m
DE
DC
CE
=
+
=
+
=
因此，此建筑的高约为18 m．
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6．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点A ，在点A 的正东方向上有两个观测点C ，D ，
且A ，C 相距20nmile ．某日上午8 点，测得一艘轮船位于点A 的北偏西30方向上的B 处，且与A 相距
20nmile ，并沿固定方向匀速行驶，上午12 点测得该轮船位于点C 的北偏东30方向上的E 处，且C ，E 相
距60nmile ，此时点D 到E 的距离是D 到C 的距离的2 倍．
(1)求该轮船的航行速度；
(2)求点D ，E 间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【答案】(1)该轮船的航行速度为10 3
/
nmile h
(2)点D ，E 间的距离为(
)
20 13
20 nmile
−
.
【分析】（1）易得ABC为顶角为120 度的等腰三角形，BCE 为直角三角形，作AF
BC
⊥
，三线合一结
合勾股定理求出BC 的长，勾股定理求出BE 的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可；
（2）作DH
CE
⊥
于点H ，设
2
CD
x
=
，则
4
DE
x
=
，分别解Rt CHD和Rt EHD，即可.
【详解】（1）解：由题意，得
20,
60,
90
30
120 ,
AB
AC
CE
BAC
=
=
=
=
+
=
∴
30
ABC
ACB
=
=
，
∵上午12 点测得该轮船位于点C 的北偏东30方向上的E 处，
∴
90
30
90
BCE
ACB
=
−
+
=
作AF
BC
⊥
于点F ，
则
2
BC
BF
=
，
在Rt ABF 中，
cos30
10 3
BF
AB
=
=
，
∴
20 3
BC =
，
在Rt ECB 中，由勾股定理，得
2
2
40 3
BE
BC
CE
=
+
=
，
故该轮船的航行速度为
(
)
(
)
40 3
12 8
10 3
/
nmile h
−
=
；
答：该轮船的航行速度为10 3
/
nmile h；
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（2）解：作DH
CE
⊥
于点H ，
∵点D 到E 的距离是D 到C 的距离的2 倍，
∴设
2
CD
x
=
，则
4
DE
x
=
，
在Rt CDH 中，
180
30
90
60
DCH
=
−
−
=
，
∴
cos60
,
sin60
3
CH
CD
x DH
CD
x
=
=
=
=
，
∴
60
EH
CE CH
x
=
−
=
−，
在Rt EHD中，由勾股定理，得
2
2
2
DE
EH
DH
=
+
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
3
60
x
x
x
=
+
−
，
解得
5 13
5
x =
−或
5 13
5
x = −
−（舍去）；
∴
(
)
4 5 13
5
20 13
20
DE =
−
=
−
；
故点D ，E 间的距离为(
)
20 13
20 nmile
−
.
7．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次
性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高
度，在山脚A 处测得山腰B 处的仰角为53，A ，B 间的距离为400 米，在山腰B 处测得山顶C 处的仰角为
45，B ，C 间的距离为600 米．求山高CD．（参考数据：
4
sin53
5
，
3
cos53
5
，2
1.414
．计算结
果取整数．）
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【答案】744 米
【分析】由已知条件在BCD和
ABF
△
中可求出
,
CE BF 长度，相加即可解决问题．
【详解】解：在Rt ABF 中，
4
sin53
400
320
5
BF
AB
=
=
（米），
在Rt BCE 中，
2
sin 45
600
600 0.707
424
2
CE
BC
=
=
=
（米），
由题意可知，四边形DEBF 为矩形，
∴
320
DE
BF
=
=
米，
∴
744
CD
CE
ED
=
+
=
（米）
答：山高CD为744 米．
8．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角
仪来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25 根柱子，每
两根柱子之间的距离为4 米（如图2 ），组长站在最中间柱子EC 正下方，背对车站向正前方走了20 米到达
F 点，转身测得D 、E 两点的仰角分别是50.3和58（不计测角仪的高度）（如图3）．
(1)求DE 的长；
(2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．
（结果保留整数．参考数据：sin58
0.85
，cos58
0.53
，tan58
1.60
，sin50.3
0.77
，cos50.3
0.64
，
tan50.3
1.20
．）
【答案】(1)8米
(2)148米
【分析】( )
1 分别解Rt DFC，Rt EFC ，求出
,
DC EC ，进而根据DE
EC
DC
=
−
解答即可求解；
( )
2 设MEN 的圆心为O，连接
,
NO CO ，根据题意可得
48
DN =
，设
O 的半径为r 米，则
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(
)
8
OD
OE
DE
r
=
−
=
−
米，在Rt
ODN
△
中根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】（1）解：如图3，在Rt DFC中，tan
tan50.3
1.20
DC
DFC
FC
=
=
，
∴
20 1.20
24
DC
=
米，
在Rt EFC 中，tan
tan58
1.60
EC
EFC
FC
=
=
，
∴
20 1.60
32
EC
=
米，
∴
32 24
8
DE
EC
DC
=
−
=
−
= （米），
答：DE 的长为8米；
（2）解：如图2 ，设MEN 的圆心为O，连接
,
NO CO ，
∵圆弧下面有25 根柱子，每两根柱子之间的距离为4 米，
∴
(
)
25 1
4
96
MN =
−
=
米，
∵点D 是MN 的中点，
∴
1
48
2
DN
MN
=
=
米，OD
MN
⊥
，
设
O 的半径为r 米，则
(
)
8
OD
OE
DE
r
=
−
=
−
米，
在Rt ODN 中，
2
2
2
OD
DN
ON
+
=
，
∴(
)
2
2
2
8
48
r
r
−
+
=
，
解得
148
r =
，
答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米．
9．（2026·四川遂宁·中考真题）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学
活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
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实物图
测量工具
无人机
测量方法及数据
在桥面A 点用无人机测得主桥塔顶C 点的仰角为37，将无人机垂直上升
40 米至B 处，测得主桥塔顶C 点的仰角为22．
测量示意图
参考数据
sin22
0.37
，cos22
0.93
，tan22
0.4
，sin37
0.60
，cos37
0.80
，
tan37
0.75
．
请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长．（精确到1 米）
【答案】86m
【分析】过点B 作BE
CD
⊥
，构造矩形证AB
ED
=
，AD
BE
=
，设塔高CD为x ，然后表示出CE ，再根据
两个仰角的正切值表示出BE 并列方程，求解得到塔高．
【详解】解：如图，过点B 作BE
CD
⊥
，
根据题意可知，
22
CBE
=
，
37
CAD
=
，
40m
AB =
，
90
BED
EDA
BAD
=
=
=
，
四边形ABED 为矩形，
40
ED
AB
m
=
=
，AD
BE
=
，
设
m
CD
x
=
，则
(
)
40
CE
x
m
−
=
，
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在Rt
CBE
△
中，
22
CBE
=
，
tan
CE
CBE
BE
=
，
(
)
5
5
40
tan
0.4
2
2
CE
CE
BE
CE
x
CBE
−
=
=
=
，
在Rt CAD中，
37
CAD
=
，
tan
CD
CD
CAD
AD
BE
=
=
，
4
4
tan
0.75
3
3
CD
CD
BE
AD
CD
x
CAD
=
=
=
=
，
(
)
5
4
40
2
3
x
x
−
=
，
解得
86
x
m
，
答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离CD的长为86 米．
10．（2026·四川成都·中考真题）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄
老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A 拍摄的最大仰角为30，最大
俯角为52.43，某人站在门外距离门底部B 点0.9 米的N 处时，摄像头A 恰好能拍摄到站立点N 及头顶M．已
知
,
AB
BN MN
BN
⊥
⊥
，求此人的头顶M 到站立点N 的距离．（结果精确到0.01 米；参考数据：
3
1.732,sin52.43
0.793,cos52.43
0.610,tan52.43
1.300
）
【答案】此人的头顶M 到站立点N 的距离约为1.69 米
【分析】过点A 作AC
MN
⊥
于点C，根据题意可知：四边形ABNC 是矩形，
0.9
CA
NB
=
=
米，根据三角函
数求出MC ，NC 即可求解．
【详解】解：过点A 作AC
MN
⊥
于点C，
根据题意可知：四边形ABNC 是矩形，
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0.9
CA
NB
=
=
米，
在Rt MAC 中，
30
MAC
=
，
∴
3 3
tan30
10
MC
AC
=
=
，
在Rt NAC 中，
52.43
NAC
=
，
tan52.43
0.9 1.300 1.170
NC
AC
=
=
米，
∴
3 3
1.170
1.69
10
MN
MC
NC
=
+
=
+
米，
答：此人的头顶M 到站立点N 的距离约为1.69 米．
11．
（2026·四川自贡·中考真题）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要
求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m
）和笔直的竹竿（长度2 m ）进行测量．
(1)小刚建议这样测量：如图1，线段AC 表示所要测量的大树，在操场上F 点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE
（长度2 m ）顶部E 恰好看到树顶端A ，此时竖直竹竿DE 与小刚FG 的水平距离
2m
DF = ．小刚将观测点F
后移13m
到F处，采用同样方法，测得
3 m
D F
=
．小刚眼睛距离地面的高度
0.8 m
FG
F G=
=
，点F，D，
F ，D 与树的底部C 在同一水平线上．据此可知点E 到BG的距离EH 为_____ m ，图中两组相似三角形是
_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到0.1m
）．
(2)小明提出可以这样改进：如图2，在点F 处安置测角仪（高度1.5m
）测得树顶端A 的仰角
26.7
AGB
=
，
前行到点E 处测得树顶端A 的仰角
45
ADB
=
，点E ，F 与树的底部C 在同一水平线上，量得
16
EF
m
=
．请
按此方案求树的高度（结果精确到0.1m
）．（参考数据sin26.7
0.45
，cos26.7
0.89
，tan26.7
0.50
）
(3)两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．
【答案】(1)1.2m，
GHE
GBA
∽
和
GHE
GBA
∽
， 16.4m
(2)17 5. m
(3)不一致．
原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视
觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致．
【分析】（1）由题意，
1.2
EH
m
=
，GHE
GBA
∽
和GHE
GBA
∽
，利用两次相似对应边成比例，列方
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程2
3
13
GB
GB
=
+
，解得
26
GB =
，代入求
15.6
AB =
，进而求树高．
（2）在ABD 中，
45
ADB
=
得等腰直角三角形，故AB
BD
=
，在ABG 中，利用tan26.7
16
AB
AB
BG
AB
=
=
+
，
代入tan26.7
0.50
解得
16
AB
，进而求出树高．
（3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
2 0.8 1.2m
EH
ED
HD
ED
FG
=
−
=
−
= −
=
，
,
H
EH
AB E
AB
∥
∥
，
图中两组相似三角形是GHE
GBA
∽
和
GHE
GBA
∽
，
由题意可得，
1.2m
EH
E H
=
=
，
2m
GH
FD
=
=
，
3m
GH
F D
=
=
，
13m
GG
F F
=
=
，则
13
G B
GB
=
+
．
第一次测量：GHE
GBA
∽
，
G
EH
AB
GH
H
=
，即1.2
2
AB
GB
=
，
第二次测量：GHE
GBA
∽
，
H
E H
A
G
G
B
B
=
，即1.2
3
13
AB
GB
=
+
，
2
3
13
GB
GB
=
+
，解得
26
GB =
，
1.2
2
26
AB =
，解得
15.6
AB =
，
此树的高度为
15.6 0.8 16.4m
AB
BC
AB
FG
+
=
+
=
+
=
．
（2）解：由题意可得，
1.5m
FG =
，
26.7
AGB
=
，
45
ADB
=
，
16
GD
EF
m
=
=
，
在Rt ABD中，
45
ADB
=
，
ABD
△
为等腰直角三角形，
90
ABD
=
,
AB
BD
=
，
在Rt ABG中，tan
AB
AGB
BG
=
，即tan26.7
AB
GD
BD
+
=
，
tan26.7
0.50
，
0.50
16
AB
AB
+
，解得
16
AB
，
此树的高度为
16 1.5 17.5m
AB
BC
AB
FG
+
=
+
=
+
=
．
（3）略．
12．
（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为
筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量：
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测
量
任
务
任务一：测量“初始速度”
任务二：测量“冲刺速度”
示
意
图
已
知
条
件
凤舟AB 长度约为14 米，训练过程中凤舟AB 始终与河岸MN 平行．
实
施
过
程
凤舟出发前，河岸观测点P 与舟头B 的连线
PB
MN
⊥
，同时测得P 与舟尾A 的连线PA
与河岸MN 的夹角
65
APM
=
，当凤舟出
发20 秒时，舟头到达点C 并测得PC 与河岸
MN 的夹角
29
CPN
=
．
当舟头B 行进到与观测点G 的连线BG
MN
⊥
时开始
计时，舟头B 到达终点D 时，用时10 秒，同时测得GD
与MN 夹角
40
DGN
=
，在距离G 点20 米的H 点处
测得DH 与MN 的夹角
63
DHN
=
．
解决对应的问题．
任务一：（参考数据：tan29
0.55
，tan65
2.14
）
(1)求凤舟与河岸的距离BP ；（结果保留整数）
(2)求凤舟前20 秒的平均速度．（结果保留两位小数）
任务二：（参考数据：tan40
0.84
，tan63
1.96
）
(3)求凤舟最后10 秒的平均速度．
【答案】(1)30米；
(2)2.72 米/秒；
(3)3.5 米/秒．
【分析】（1）根据平行线的性质得到
65
PAB
APM
=
=
，PB
AB
⊥
，进而可知
90
ABP
=
，根据三角
函数计算即可；
（2）同（1）计算即可；
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（3）设凤舟10 秒内航行的路程BD
x
=
米，过D 作DE
MN
⊥
交MN 于点E，根据三角函数求出DE 的表达
式，列方程求出x 的值，进而可知凤舟最后10 秒的平均速度．
【详解】（1）解：由题意知：AB
MN
∥
，PB
MN
⊥
，
∴
65
PAB
APM
=
=
，PB
AB
⊥
，
因此ABP 是直角三角形，
90
ABP
=
，
∴tan
PB
PAB
AB
=
，
即
tan65
14 2.14
29.96
30
PB
AB
=
=
米；
（2）解：凤舟20 秒内航行的路程等于BC 的长度，
由题意知：AB
MN
∥
，PB
MN
⊥
，
∴
29
C
CPN
=
=
，PB
BC
⊥
，
∴
PBC
△
是直角三角形，
90
PBC
=
，
tan
PB
C
BC
=
，
∴
29.96
54.47
tan29
0.55
PB
BC =
米，
∴
54.47
2.72
20
20
BC
v =
米/秒；
（3）解：设凤舟10 秒内航行的路程BD
x
=
米，过D 作DE
MN
⊥
交MN 于点E，
可得四边形BDEG 是矩形，
∴GE
BD
x
=
=
米，
根据三角函数可知
tan40
tan40
DE
BD
x
=
=
米，
同时
(
) tan 63
(
20)tan 63
DE
x
GH
x
=
−
=
−
米．
∵tan40
0.84
，tan63
1.96
，
∴0.84
1.96(
20)
x
x
=
−
，
解得
35
x =
，
因此平均速度
35
3.5
10
v =
=
米/秒．
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1．（2026·四川乐山·一模）如图，DE
BC
∥
，且
1:2
AD DB =
∶
，则
ADE
DECB
S
S
=
四边形
∶
（ ）
A．1:2
B．1:4
C．1:9
D．1:8
【答案】D
【分析】根据DE
BC
∥
，可得
ADE
ABC
△
△
∽
，从而得到
2
1
9
ADE
ABC
S
AD
S
AB
=
=
，即可求解．
【详解】解：∵
1:2
AD DB =
∶
，
∴
1
3
AD
AB =
，
∵DE
BC
∥
，
∴
ADE
ABC
△
△
∽
，
∴
2
1
9
ADE
ABC
S
AD
S
AB
=
=
，
∴
1:8
ADE
DECB
S
S
=
四边形
∶
．
2．（2026·四川成都·一模）如图，直线AB
CD
EF
∥
∥
，直线
,
m n 与这三条平行线分别交于点,
,
A C E 和点
,
,
B D F ．已知
4,
6,
3
AC
CE
BD
=
=
=
，则BF 的长为（ ）
A．9
2
B．11
2
C．13
2
D．15
2
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理得到AC
BD
AE
BF
=
，即
AC
BD
AC
CE
BF
=
+
，求出BD 即可．
【详解】解：∵AB
CD
EF
∥
∥
，
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∴AC
BD
AE
BF
=
，
即
AC
BD
AC
CE
BF
=
+
，
∵
4,
6,
3
AC
CE
BD
=
=
=
，
∴
4
3
4
6
BF
=
+
，
解得：
15
2
BF =
．
故选：D．
3．（2026·四川南充·二模）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700 多年前中国古代数学家赵爽
的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形ABCD中，连接BE ．BAF
=
，
BEF
=
，
且
2
tan
tan
=
，则小正方形EFGH 与大正方形ABCD的面积之比为（ ）
A．1:2
B．1:3
C．1:4
D．1:5
【答案】B
【分析】设BF
x
AF
y
=
=
，
，解直角三角形得到tan
x
y
=
，tan
x
y
x
=
−
，根据
2
tan
tan
=
可推出
(
)
2
y
x
xy
−
=
，由勾股定理可得
2
2
2
2
2
AB
BF
AF
x
y
=
+
=
+
，则
(
)
2
2
2
3
AB
y
x
xy
xy
=
−
+
=
，即可得到
(
)
2
2
1
3
3
y
x
xy
AB
xy
−
=
=
，据此可得答案．
【详解】解：设BF
x
AF
y
=
=
，
，
由题意得，
90
AE
BF
x
AFB
=
=
=
，∠
，
在Rt ABF 中，tan
BF
x
AF
y
=
=
，
在Rt
EBF
△
中，tan
BF
x
EF
y
x
=
=
−
，
∵
2
tan
tan
=
，
∴
2
x
x
y
y
x
=
−
，
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∴
(
)
2
2
x
x
y
y
x
=
−
，
∴(
)
2
y
x
xy
−
=
，
在Rt ABF 中，由勾股定理得
2
2
2
2
2
AB
BF
AF
x
y
=
+
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
3
AB
y
x
xy
xy
=
−
+
=
，
∴(
)
2
2
1
3
3
y
x
xy
AB
xy
−
=
=
，
∴小正方形EFGH 与大正方形ABCD的面积之比为1:3．
4．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，在ABC中，D、E 分别为AB 、AC 上的动点，且AB
AC
=
，AD
AE
=
，
P 为ABC内一点，连接PB 、PC 、PD 、PE ．若
3
PB = ，
2
PC =
，
90
BPC
A
=
+，则PD
PE
+
的最
小值为（ ）
A．13
B．5
C．2 3
D．5
【答案】A
【分析】由
90
BPC
A
=
+结合三角形内角和得到
90
ABP
ACP
+
=
，连接PA ，把ACP绕A 点顺时
针旋转到ABM ，使AC 与AB 重合，连接MD ，MP ，MB 得到
2
BM
PC
=
=
，
ABM
ACP
=
，
BAM
CAP
=
，AM
AP
=
，即可推出
90
PBM
=
，
13
PM =
，再证明
(
)
SAS
ADM
AEP
≌
，得到
PE
DM
=
，PD
PE
PD
DM
PM
+
=
+
，当D 在PM 上时，PD
PE
+
最小，最小值为
13
PM =
．
【详解】解：∵
+
+
=
180
BPC
PBC
PCB
，
90
BPC
A
=
+
∴90
180
BAC
PBC
PCB
+
+
+
=
，
∴
90
BAC
PBC
PCB
+
+
=
，
∵
180
BAC
ABC
ACB
+
+
=
，
∴
180
BAC
ABP
PBC
ACP
PCB
+
+
+
+
=
，
∴(
)
180
BAC
PBC
PCB
ABP
ACP
+
+
+
+
=
，
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∴
90
ABP
ACP
+
=
，
∵AB
AC
=
，AD
AE
=
，
∴连接PA ，把ACP绕A 点顺时针旋转到ABM ，使AC 与AB 重合，连接MD ，MP ，MB ，
∴ACP
ABM
≌
，
∴
2
BM
PC
=
=
，
ABM
ACP
=
，
BAM
CAP
=
，AM
AP
=
，
∴
90
PBM
ABP
ABM
ABP
ACP
=
+
=
+
=
，
∵
3
PB = ，
∴
2
2
2
2
2
3
13
PM
PB
BM
=
+
=
+
=
，
∵AD
AE
=
，
BAM
CAP
=
，AM
AP
=
，
∴
(
)
SAS
ADM
AEP
≌
，
∴PE
DM
=
，
∴PD
PE
PD
DM
PM
+
=
+
，
∴当D 在PM 上时，PD
PE
+
最小，最小值为
13
PM =
．
5．（2026·四川乐山·一模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
13
AB =
，
5
BC =
，则cosA =________
【答案】12
13
【分析】在直角三角形中，先利用勾股定理求得
12
AC =
，再根据余弦函数的定义即可解答．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
13
AB =
，
5
BC =
，
∴
2
2
2
2
13
5
12
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
∴
12
cos
13
AC
A
AB
=
=
．
6．（2026·四川南充·三模）如图，PA 切
O 于点A ，半径OB
PA
∥
，
6
PA =
，
4
OB =
．连接PB ，则tanP的
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值为________．
【答案】2
5
【分析】连接OA交PB 于点C，由切线的性质及三角形相似、正切函数的定义即可求解．
【详解】解：如图，连接OA交PB 于点C，
则OA
PA
⊥
，
4
OA
OB
=
=
，
∵OB
PA
∥
，
∴
90
B
P
O
A
=
= =
，
，
∴OBC
APC
∽
，
∴
4
2
6
3
OC
OB
AC
PA
=
=
=
，
∴
3
12
5
5
AC
OA
=
=
，
在Rt CAP 中，
12
2
tan
6
5
5
AC
P
PA
=
=
=
．
7．（2026·四川南充·二模）如图，在矩形ABCD中，点E 是AD 的中点，点F 是BE 的中点，
6
AB =
，
4
BC =
，
则CF 的长为______．
【答案】3 2
【分析】过点F 作MN
AB
∥
，交AD 于M，，交BC 于N ，可先得BE 的长，则
10
BF =
，再证四边形ABNM
为矩形， 可得
1
BN
AM
=
= ，由勾股定理可得CF 的长．
【详解】解：过点F 作MN
AB
∥
，交AD 于M，，交BC 于N ，
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四边形ABCD为矩形，
90
BAD
ABC
=
=
，
4
AD
BC
=
=
，AD
BC ．
点E 是AD 的中点，
1
2
2
AE
AD
=
=
．
2
2
2
2
6
2
2 10
BE
AB
AE
=
=
=
+
+
．
点F 是BE 的中点，
1
10
2
BF
BE
=
=
．
MN
AB
∥
，
90
ABC
FNC
FNB
=
=
=
，
1
EM
EF
AM
BF
=
= ，
1
1
2
AM
AE
=
=
．
AD
BC ，
四边形ABNM 为矩形，
1
BN
AM
=
= ．
3
CN
BC
BN
=
=
−
．
(
)
2
2
2
2
10
1
3
FN
FB
BN
=
−
=
−
= ．
2
2
2
2
3
3
3 2
CF
FN
CN
=
=
=
+
+
．
8．（2026·四川成都·二模）如图，在正方形ABCD中，点E 在AB 上，AF
DE
⊥
于点F，CG
DE
⊥
于点G．若
5
4
AD
CG
=
=
，
，则AEF 的面积为________．
【答案】27
8
【分析】根据正方形的性质证明ADF
DCG
≌
，得出相等的边，利用勾股定理求出
3
DG = ，再证明
ADF
EAF
∽
，利用相似三角形的性质求出面积．
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【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴
5,
90
AD
CD
ADC
=
=
=
，
∵AF
DE
⊥
，CG
DE
⊥
，
∴
90
AFD
AFE
DGC
=
=
=
，
∴
90
ADF
DCG
CDG
=
=
−
，
90
AEF
DAF
EAF
=
=
−
，
∴
(
)
AAS
ADF
DCG
≌
，
∴
4,
CG
DF
DG
AF
=
=
=
，
由勾股定理得
2
2
25 16
3
DG
CD
CG
=
−
=
−
=
，
∴
3
AF = ，
∵
,
AFD
AFE
AEF
DAF
=
=
，
∴ADF
EAF
∽
，
∴
2
2
3
9
4
16
AEF
DAF
S
AF
S
DF
=
=
=
，
∴
9
9
1
9
1
27
4 3
16
16
2
16
2
8
AEF
DAF
S
S
DF AF
=
=
=
=
．
9．（2026·四川绵阳·二模）如图1，绵阳富乐阁是富乐山景区标志性建筑，建筑样式是中国古建筑的智慧
结晶，屋檐的八个角向上翘起，形成优美的曲线，这就是“飞檐翘角”，图2 是飞檐翘角截面示意图，这部
分由直线AB ，弧BC 构成，AB 与BC 相切，某一光线CD与BC 相切于点C ，延长AB 到点E ，点D
E
，在
同一水平线上，BM
DE
⊥
于M
CN
DE
⊥
，
于N ．已知
1m,
1.5m,
0.7m,
5
,
37
3
BM
CD
MN
CDE
BED
=
=
=
=
=
，则弧BC 的长度为___________米．（结果保留，
参考数据：
3
4
sin37
,sin53
5
5
）
【答案】1
4
【分析】记圆心为点O，连接
,
OB OC ，过点C 作CK
BM
⊥
于点K ，则
0.7m
MN
CK
=
=
，CN
KM
=
，根据
圆的切线的性质得到
,
OB
AB OC
CD
⊥
⊥
，再证明四边形OBTC 是矩形，则
90
BOC
=
，解Rt CDN
V
，求
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出
0.9m
CN =
，则
0.1m
BK
BM
KM
=
−
=
，再由勾股定理求解
2 m
2
BC =
，再求解半径，最后由弧长公式求
解即可．
【详解】记圆心为点O，连接
,
OB OC ，过点C 作CK
BM
⊥
于点K ，
∵BM
DE
⊥
，CN
DE
⊥
∴四边形MKCN 为矩形，
∴
0.7m
MN
CK
=
=
，CN
KM
=
，
∵AB 与BC 相切，某一光线CD与BC 相切于点C ，
∴
,
OB
AB OC
CD
⊥
⊥
，
∵
7 ,
3
53
CDE
BED
=
=
，
∴
(
)
180
37
53
90
DTE
BTC
=
=
−
+
=
，
∴四边形OBTC 是矩形，
∴
90
BOC
=
，
在Rt CDN
V
中，∵sin
CN
CDE
CD
=
，
∴
3
1.5
0.9m
5
CN =
=
，
∴
1 0.9
0.1m
BK
BM
KM
BM
CN
=
−
=
−
= −
=
，
∴
2
2
2
2
2
0.7
0.1
m
2
BC
CK
BK
=
+
=
+
=
，
∵OB
OC
=
，
90
BOC
=
，
∴
2
1
2
2
OB
OC
BC
=
=
=
，
∴弧BC 的长度为：
1
90
1
2
180
4
=
．
10．（2026·四川成都·二模）如图，在ABC中，
20
AB
AC
=
=
，
3
tan
4
A
=
，M ，N 分别是AB ，AC 上
的点，
3
AM
BM
=
，将AMN 沿MN 翻折得到
DMN
△
，若ND
BC
⊥
，则AN = __________．
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【答案】9 10
15
−
/ 15
9 10
−
+
【分析】过点B 作BH
AC
⊥
于H ，过点M 作MF
BC
⊥
于F ，设ND、MD 分别交BC 于E 、G ，根据
3
tan
4
A
=
得出
12
BH =
，
16
AH =
，
3
sin
5
A
=
，
4
cos
5
A
=
，
4
CH =
，
10
cos
10
C
=
，
3 10
sin
10
C
=
，根据折叠的
性质及等腰三角形的性质得出DN
AN
=
，
15
AM
DM
=
=
，
A
D
=
，
ABC
C
=
，利用
ABC
的余弦函
数求出
3 10
2
MF =
，利用
FMG
和
D
的余弦函数求出
3 10
12
2
DE =
−
，设AN
x
=
，利用
C
的正弦函数得
出
3 10 (20
)
10
NE
x
=
−
，根据DN
DE
NE
=
+
列方程求出x 的值即可得答案．
【详解】解：如图，过点B 作BH
AC
⊥
于H ，过点M 作MF
BC
⊥
于F ，设ND、MD 分别交BC 于E 、G ，
∵
3
tan
4
A
=
，
∴设
3
BH
k
=
，则
4
AH
k
=
，
∵
20
AB
AC
=
=
，
∴
2
2
2
(3 )
(4 )
20
k
k
+
=
，
解得：
4
k =
，
∴
12
BH =
，
16
AH =
，
∴
12
3
sin
20
5
BH
A
AB
=
=
=
，
16
4
cos
20
5
AH
A
AB
=
=
=
，
20 16
4
CH
AC
AH
=
−
=
−
=
，
∴
2
2
4 10
BC
BH
CH
=
+
=
，
∴
10
cos
10
CH
C
BC
=
=
，
3 10
sin
10
C
=
，
∵
3
AM
BM
=
，
20
AB =
，
∴
3
15
4
AM
AB
=
=
，
1
5
4
BM
AB
=
=
，
∵将AMN 沿MN 翻折得到
DMN
△
，
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∴DN
AN
=
，
15
AM
DM
=
=
，
A
D
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
ABC
C
=
，
∴
3 10
3 10
sin
sin
5
10
2
MF
BM
ABC
BM
C
=
=
=
=
，
∵ND
BC
⊥
，MF
BC
⊥
，
∴MF
ND ，
∴
FMG
D
A
=
= ，
∴
3 10
15 10
2
4
cos
cos
8
5
MF
MF
MG
FMG
A
=
=
=
=
，
∴
15 10
15
8
DG
DM
MG
=
−
=
−
，
∴
15 10
4
3 10
cos
(15
)
12
8
5
2
DE
DG
D
=
=
−
=
−
，
设AN
x
= ，
∴DN
AN
x
=
=
，
20
CN
AC
AN
x
=
−
=
−
，
∴
3 10
sin
(20
)
10
NE
CN
C
x
=
=
−
，
∵DN
DE
NE
=
+
，
∴3 10
3 10
(20
)
(12
)
10
2
x
x
−
+
−
=
，
解得：
9 10
15
x =
−
，即
9 10
15
AN =
−
．
11．（2026·四川成都·二模）如图，将Rt ABC绕点C 顺时针旋转得到
A B C
△
，点B恰好落在斜边AC 的
中点上，连接A B
，若
2
BC =
，则A B
的长为_____．
【答案】
2 7
【分析】结合旋转，可得到对应线段，对应角度相等，作A M
BC
⊥
，构造直角三角形，然后利用勾股定理
以及解直角三角形即可算出答案．
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【详解】解：过A作A M
BC
⊥
交BC 的延长线于点M
由旋转可知，
2
B C
BC
=
=
，
ACB
A CB
=
，AC
A C
=
B是AC 的中点
4
AC
A C
=
=
Rt ABC 中，
2
1
cos
4
2
BC
ACB
AC
=
=
=
60
ACB
=
60
A CB
=
180
60
A CM
ACB
A CB
=
−
−
=
Rt A CM
中，sin
A M
A CM
A C
=
，cos
CM
A CM
A C
=
3
sin 60
2
4
A M
A M
A C
=
=
=
，
1
cos60
4
2
CM
=
=
2,
2 3
CM
A M
=
=
2 2
4
BM
BC CM
\
=
+
= + =
2
2
2
2
4
(2 3)
2 7
A B
BM
A M
=
+
=
+
=
12．
（2026·四川成都·一模）如图，在ABC中，点D 是边AB 的中点，点E，F 分别在边
,
AC BC 上，且DE
DF
⊥
，
连接EF ．若
45 ,
2,
10
C
BF
EF
=
=
=
，则AE 的长度为______．
【答案】6 2
【分析】作
,
AH
BC
∥
交FD 的延长线于点H，连接EH ，作EM
AH
⊥
交HA 的延长线于点M，求出
2
AE
a
=
,
证明
(
)
AAS
ADH
BDF
≌
，得到
2,
,
AH
BF
DH
DF
=
=
=
则
10
EH
EF
=
=
，根据
2
2
2
EM
MH
EH
+
=
得到
(
)
2
2
2
2
10
a
a
+
+
=
，解得
6
a =
或
8
a
−
=
（不合题意，舍去）．即可求出AE 的长度．
【详解】解：作
,
AH
BC
∥
交FD 的延长线于点H，连接EH ，作EM
AH
⊥
交HA 的延长线于点M，如图，
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∴
,
,
45
HAD
B
AHD
BFD
MAE
C
=
=
=
=
，
∴AME 是等腰直角三角形，
设AM
EM
a
=
=
，
∴
2
2
2
AE
AM
ME
a
=
+
=
,
∵点D 是边AB 的中点，
∴
,
AD
BD
=
∴
(
)
AAS
ADH
BDF
≌
，
∴
2,
,
AH
BF
DH
DF
=
=
=
∴DE 是线段HF 的垂直平分线，
∴
10
EH
EF
=
=
，
在Rt
MEH
△
中，
,
2
ME
a MH
MA
HA
a
=
=
+
=
+
,
10
EH =
，
∵
2
2
2
EM
MH
EH
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
10
a
a
+
+
=
，
解得
6
a =
或
8
a
−
=
（不合题意，舍去）．
∴
2
6 2
AE
a
=
=
．
13．（2026·四川宜宾·三模）代数式
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
x
y
x
x
y
x
y
y
+
+
−
+
+
+
+
−
+
的最小值为___________．
【答案】
2
6
+
【分析】利用两点距离公式可把
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
x
y
x
x
y
x
y
y
+
+
−
+
+
+
+
−
+
的最小值转化为点(
)
,
P x y 到
OAB三个顶点的距离之和PA
PB
PO
+
+
的最小值，这其实就是费马点问题，据此求解即可．
【详解】解：
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
x
y
x
x
y
x
y
y
+
+
−
+
+
+
+
−
+
整理得，
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
0
0
2
0
0
2
x
y
x
y
x
y
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
，
(
)
(
)
2
2
0
0
x
y
−
+
−
可以看作点(
)
,x y 到点(
)
0,0 的距离，
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(
)
(
)
2
2
2
0
x
y
−
+
−
可以看作点(
)
,x y 到点(
)
2,0 的距离，
(
)
(
)
2
2
0
2
x
y
−
+
−
可以看作点(
)
,x y 到点(
)
0,2 的距离，
如图①，建立平面直角坐标系，
设点
(
)
(
)
(
)
0,0
2,0
0,2
O
A
B
，
，
，
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
x
y
x
x
y
x
y
y
+
+
−
+
+
+
+
−
+
的最小值就转化为点(
)
,
P x y 到OAB三个顶点的距离之和
PA
PB
PO
+
+
的最小值，
如图②，将PAB 绕点A 顺时针旋转60得到
P AB
△
，
可得
60
PB
P B
AP
AP
AB
AB
PAP
BAB
=
=
=
=
=
，
，
，
，
PAP
BAB
，
均是等边三角形，
PA
PP
=
，
PA
PB
PO
PP
P B
PO
+
+
=
+
+
，
当点O
P
P
B
，，，
四点共线时取得最小值，即OB的长，
2
OA
OB
B B
B A
=
=
=
，
，OB
OB
=
，
(
)
SSS
OBB
OAB
△
≌△
，
BOB
AOB
=
∠
∠
，
BB O
AB O
=
∠
∠
，
OAB是等腰三角形，BAB是等边三角形，
OB
垂直平分BA ，
设OB和BA 的交点为C ，由勾股定理得
2
2
2 2
B A
AB
OA
OB
=
=
+
=
，
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2
OC
BC
AC
=
=
=
，
在Rt
ACB
△
中，
1
30
2
AB C
AB B
=
=
∠
，
1
2
2
AC
B A
=
=
，
由勾股定理得
2
2
6
CB
B A
AC
=
−
=
，
2
6
OB
OC
CB
=
+
=
+
，
代数式
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
x
y
x
x
y
x
y
y
+
+
−
+
+
+
+
−
+
的最小值为
2
6
+
．
14．（2026·四川成都·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，AD 是边BC 上的中线，将ABC 沿AD 翻
折得△
AB D，连接BB，CB， BB分别与AD 相交于点O，与AC 相交于点E，DB与边AC 相交于点F．若
4
15
EF
CF =
，则tan
ACB
=______．
【答案】
7
4
【分析】连接CB，由轴对称的性质可证明OD是CBB的中位线，然后证明CFB
AFD
∽
，CEB
AEO
∽
，
设
4
EF
a
=
，
2
CB
x
=
，AE
y
=
，证明CFB
AFD
∽
，CEB
AEO
∽
，根据相似三角形的性质可列方程
2
15
4
x
a
AO
x
y
a
=
+
+
①，2
19
x
a
AO
y
=
②，求得
133
8
y
a
=
，从而得到
11
3
AD
OD =
，证明ABD
BOD
∽
得
2
BD
AD OD
=
，
设
11
AD
t
=
，则
4
OD
t
=
，求得BD 长，利用勾股定理求得AB 长，最后根据三角函数即可求得答案．
【详解】解：如图，连接CB，
由翻折可知，AD 垂直平分BB，
90
AOB
BOD
=
=
，OB
OB
=
，
O 是BB的中点，
AD 是边BC 上的中线，
D 是BC 的中点，
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OD是CBB的中位线，
1
2
DO
CB
=
，OD
CB
∥
，
CFB
AFD
∽
，CEB
AEO
∽
，
CB
CF
AD
AF
=
，CB
CE
AO
AE
=
，
设
4
EF
a
=
，
2
CB
x
=
，AE
y
=
，
4
15
FF
CF =
，
1
2
DO
CB
=
，
15
CF
a
=
，
19
CE
a
=
，OD
x
=
，
∴
2
15
4
x
a
AO
x
y
a
=
+
+
①，2
19
x
a
AO
y
=
②，
由①得
2
7
15
xy
ax
AO
a
−
=
，
由②得
2
19
xy
AO
a
=
，
2
2
7
19
15
xy
xy
ax
a
a
−
=
，
解得
133
8
y
a
=
，
19
152
133
133
8
CB
CE
a
AO
AE
a
=
=
=
，
15
8
133
11
19
8
CB
CF
a
AD
AF
a
a
=
=
=
+
，
∴
11
11
11
2
8
8
4
AD
CB
x
x
=
=
=
，
∴
133
2
2
2
8
7
19
19
19
11
11
11
11
4
4
4
a
xy
y
AO
a
a
a
AD
x
=
=
=
=
，
11
4
AD
OD
=
，
在ABD 和
BOD
△
中，
90
ABD
BOD
=
=
，
ADB
BDO
=
，
ABD
BOD
∽
，
BD
AD
OD
BD
=
，
2
BD
AD OD
=
，
设
11
AD
t
=
，则
4
OD
t
=
，
2
2
11 4
44
BD
t
t
t
=
=
，
2 11
BD
t
=
（负值舍去），
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(
)
(
)
2
2
2
2
11
2 11
77
AB
AD
BD
t
t
t
=
−
=
−
=
，
D 是BC 的中点，
2
4 11
BC
BD
t
=
=
，
77
7
tan
4
4 11
AB
t
ACB
BC
t
=
=
=
．
15．（2026·四川遂宁·二模）计算：
1
2
0
2
2sin 45
(1
2)
(
3)
2
−
+
−
+ −
+
−
；
【答案】2
【分析】先求出特殊角的三角函数值：
2
sin 45
2
=
°
，然后根据二次根式的性质：
2
|
|
a
a
=
，化简
2
(1
2)
−
，
再根据负整数指数幂：
1
p
p
a
a
−=
（
0
a
，p 为正整数），可求出
1
2
2
−
−
，再根据零指数幂：0
1
a = （
0
a
），
可得
0
(
3)
1
−
= ，最后将它们的结果代入求值即可。
【详解】解：原式
2
2
2
|1
2 |
1
2
2
=
+
−
+ −
+
2
( 2
1)
2
1
=
+
−
−
+
2
2
1
2
1
=
+
−−
+
2
=
16．（2026·四川南充·一模）计算：
(
)
2
0
3
1
2cos60
3
2
1
27
2
−
−
+
+ −−
−
−
．
【答案】
4
【分析】先分别计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂和立方根，再进行加减运算
即可．
【详解】 解：
(
)
2
0
3
1
2cos60
3
2
1
27
2
−
−
+
+ −−
−
−
1
4
2
3 1 3
2
=
+
+ −−
4 1 3 1 3
= + + −−
4
=
．
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17．（2026·四川成都·一模）2024 年9 月11 日，我国自主研发的朱雀三号
1
VTVL−可重复使用垂直起降回
收试验箭，在酒泉卫星发射中心完成10 公里级垂直起降返回飞行试验，标志着我国商业航天在可重复使用
运载火箭技术上取得突破．某校综合实践小组制作了一个火箭垂直起降模拟装置．如图，在一次试验中，
已知该模拟装置在下降阶段从点A 匀速垂直下降到点B，再缓速垂直下降到着陆点C，在点A 测得地面点D
的俯角为62，在点B 测得地面点D 的俯角为37，
10
BD =
米．
(1)求CD的长；
(2)若模拟装置从点A 下降到点B 的时间为2 秒，求该模拟装置从点A 下降到点B 的速度．（结果精确到0.01
米/秒；参考数据：sin37
0.60
，cos37
0.80
，tan37
0.75
，sin62
0.88
，cos62
0.47
，tan62
1.88
）
【答案】(1)CD的长为8 米
(2)模拟装置从点A 下降到点B 的速度为4.52 米/秒
【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt
GBD
△
中，求出BG 的长，即可得到CD的长；
（2）在Rt AFD中求出FD ，在Rt
GBD
△
中求出GD的长，从而得到GF 的长，即可得到AB 的长，结合从
点A 下降到点B 的时间为2 秒，得到速度．
【详解】（1）解：如图，过D 点作ED
CD
⊥
，过A 作AF
ED
⊥
于F 点，过B 作BG
ED
⊥
于G 点，
∵
90
C
=
，
∴四边形BCDG，四边形AFGB 是矩形，
∴CD
BG
=
，
根据题意，
62
FAD
=
，
37
GBD
=
，
∵
10
BD =
米，
∴在Rt
GBD
△
中，
cos
10 cos37
8
BG
BD
GBD
=
=
（米），
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∴
8
CD =
米，
答：CD的长为8 米；
（2）解：由（1）知
8
BG = 米，
∵四边形AFGB 是矩形，
∴
8
AF
BG
=
=
米，AB
FG
=
，
∴在Rt AFD中，
tan
8 tan62
15.04
FD
AF
FAD
=
=
（米），
在Rt
GBD
△
中，
tan
8 tan37
6
GD
BG
GBD
=
=
（米），
∴
15.04 6
9.04
AB
FG
FD GD
=
=
−
=
−=
（米），
∵从点A 下降到点B 的时间为2 秒，
∴从点A 下降到点B 的速度为9.04 2
4.52
=
（米/秒），
答：模拟装置从点A 下降到点B 的速度为4.52 米/秒．
18．（2026·四川广元·一模）如图是由边长为1 的小正方形组成的7 8
的网格，每个小正方形的顶点叫做格
点，已知
O 的圆心在格点上，圆上两点A 、B 在经过圆心的格线上，仅用无刻度的直尺在给定的网格区域
中完成作图．
(1)在图1 中，点C 在圆上，请在直径AB 的下方的圆上画出点E ，使
45
ACE
=
，并在网格中找点F ，使
ACF
△
是等腰直角三角形，且
90
CAF
=
；
(2)在图2 中，点D 在格点上，在直径AB 的下方的圆上画出点G ，使得OG
AD
∥
，并在线段AD 上画出点H ，
使得AH
AB
=
．
【答案】(1)
如图所示，即为所求；
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(2)
如图所示，即为所求．
【分析】（1）取
O 与格线的交点E，连接CO并延长交
O 于点T，延长AT
CE
，
交于点F，则点E 和点
F 即为所求；根据直径所对的圆周角是直角可得
90
ACB
CAT
=
=
∠
∠
，由OE
AB
⊥
可得AE
BE
=
，则
1
45
2
ACE
BCE
ACB
=
=
=
，则
ACF
△
是等腰直角三角形，且
90
CAF
=
；
（2）连接BD 交格线于点G，连接OG交
O 于点R，连接BR 并延长交AD 于点H，则点G 和点H 即为所
求；可证明点G 为BD 的中点，则OG为ABD 的中位线，则OG
AD
∥
，由平行线分线段成比例定理可得
BR
BG
BH
DG
=
，则R 为BH 的中点，由直径所对的圆周角是直角可得
90
ARB
=
，则AG 垂直平分BH ，则
AH
AB
=
．
【详解】（1）略
（2）略
19．（2026·四川成都·二模）在ABC中，
5
AC
BC
=
= ，
8
AB =
．点M 从点B 出发沿BA 边向点A 移动，
连接MC ，将线段MC 绕点M 逆时针旋转
B
的度数，得到对应线段MN ，N 为点C 的对应点．
(1)如图1，当点N 落在AC 边上时，求BM 的长；
(2)当点M 移动到MN
AB
⊥
时，求点N 到AC 边的距离；
(3)在点M 从点B 移动到点A 的过程中，求点N 经过的路径长（请直接写出答案）．
【答案】(1)3
(2) 3
5
(3) 8 10
5
【分析】（1）先证明
(
)
ASA
AMN
BCM
≌
，得出
5
AM
BC
=
=
，进而可得BM 的长；
（2）设
,
MN AC 交于点E ，根据题意得出CM
AB
⊥
，进而解直角三角形AEM ，即可求解；
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（3）过点C 作CD
AB
⊥
于点D ，过点A 作AP
BC
⊥
于点P ，设
CAB
ABC
NMC
=
=
=
,得出
24
7
sin 2
,cos2
25
25
=
=
,当N 在AC 上时，连接NB，在AB 上取点G ，使得BG
BC
=
，连接GN ，作
CAH
ABC
=
交GN 的延长线与点H ，证明
CGN
ABC
=
=
得出N 在GH 上运动，进而解Rt HAT ，
即可求得
,
GT HT 的长，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵
3
AMC
B
= +，即1
2
3
B
+= +
∵将线段MC 绕点M 逆时针旋转
B
的度数，
∴
2
B
=
，MC
MN
=
∴1
3
=
∵AC
BC
=
∴
A
B
=
∴
(
)
ASA
AMN
BCM
≌
∴
5
AM
BC
=
=
，
∴
8 5
3
BM
AB
AM
=
−
= −=
（2）解：如图，设
,
MN AC 交于点E ，
∵MN
AC
⊥
∴
1
90
A
+=
∵将线段MC 绕点M 逆时针旋转
B
的度数，
∴
2
B
=
，MC
MN
=
∵AC
BC
=
∴
A
B
=
∴
2
A
=
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∴1
2
90
+=
∴CM
AB
⊥
又∵AC
BC
=
，
∴
1
4
2
AM
BM
AB
=
=
=
∴
2
2
2
2
5
4
3
NM
CM
AC
AM
=
=
−
=
−
=
，
∴
3
sin
5
CM
A
AC
=
=
∴
3
12
sin
4
5
5
EM
A AM
=
=
=
∴
12
3
3
5
5
EN
NM
EM
=
−
=
−
=
（3）解：如图，过点C 作CD
AB
⊥
于点D ，过点A 作AP
BC
⊥
于点P ，
设
CAB
ABC
NMC
=
=
=
,
∴
3
sin
5
3
5
CD
AC
CAB
=
=
=
∵
CAB
ABC
=
=
∴
2
ACP
=
∵
1
1
2
2
ABC
S
BC
AP
AB CD
=
=
∴
8 3
24
5
5
AB CD
AP
BC
=
=
=
∴
2
2
2
2
24
7
5
5
5
PC
AC
AP
=
−
=
−
=
∴
24
24
5
sin 2
5
25
AP
AC
=
=
=
，
7
7
5
cos2
5
25
PC
AC
=
=
=
如图1，当N 在AC 上时，连接NB，在AB 上取点G ，使得BG
BC
=
，连接GN ，作
CAH
ABC
=
交GN
的延长线于点H ，
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∵
5
BG
BC
=
=
，
∴
8 5
3
AG
AB
BG
=
−
= −= ，
∵AMN
BCM
≌
，
∴
3
AN
BM
=
=
∴AN
AG
=
，
∵BG
BC
=
，
∴
(
)
1
1
180
90
2
2
BGC
BCG
=
=
−
=
−
∵
CAB
ABC
NMC
=
=
=
,
∴
(
)
1
1
180
90
2
2
AGN
=
−
=
−
∴
180
CGN
AGN
BGC
=
−
−
=
∴
CGN
ABC
=
=
∴N 在GH 上运动，
∴当点M 运动到A 点时，N 点运动到H 点，则
5
AH
AC
=
= ，
过点H 作HT
AB
⊥
于点T ，
∵
CAH
ABC
CAB
=
=
=
∴
2
HAT
=
，
∴
24
24
sin 2
5
25
5
HT
AH
=
=
=
，
7
7
cos2
5
25
5
AT
AH
=
=
=
∴
7
8
3
5
5
TG
AG
AT
=
−
=
−
=
∴
2
2
2
2
24
8
8 10
5
5
5
HG
HT
TG
=
+
=
+
=
20．（2026·四川南充·三模）【初步感知】如图①，在正方形ABCD中，E 为AB 边上一点，连接DE ，过
点E 作EF
DE
⊥
交BC 于点F ．易证：
AED
BFE
△
∽△
．（不需要证明）
【尝试探究】如图②，在矩形ABCD中，E 为AB 边上一点，连接DE ，过点E 作EF
DE
⊥
交BC 于点F ．
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(1)求证：
AED
BFE
△
∽△
；
(2)若
10
AB =
，
6
AD =
，E 为AB 的中点，求BF 的长．
【拓展应用】
(3)如图③，在ABC中，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，
12
AB =
．E 为AB 边上一点（点E 不与点A 、B 重合），
连接CE，过点E 作
45
CEF
=
交BC 于点F ．当CEF 为等腰三角形时，请直接写出BE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
25
6
BF =
(3) BE 的长为6 2 或6
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及分情况讨论．
（1）利用矩形的性质和垂直的定义，平角的定义，通过同角（等角）的余角相等证明即可；
（2）利用问题（1）的解题思路先证明
AED
BFE
△
∽△
，再通过相似三角形对应边成比例列方程求解即可；
（3）首先考虑到CEF 为等腰三角形时的三种情况：CE
CF
=
，CE
EF
=
，CF
EF
=
，然后利用几何性质
求解即可．
【详解】（1）证明：
DE
EF
⊥
，
90
DEF
=
，
90
BEF
AED
+
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
90
A
B
= =
，
90
ADE
AED
+
=
，
ADE
BEF
=
，
AED
BFE
∽
．
（2）
E 为AB 中点，
5
AE
BE
=
=
．
由（1）知
AED
BFE
△
∽△
，
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AD
AE
BE
BF
=
．
即6
5
5
BF
=
，
25
6
BF
=
．
（3）分三种情况：
①当CE
CF
=
时，则
45
CEF
CFE
=
=
，
90
ECF
=
，
则点E 与点A 重合，点F 与点B 重合，不符合题意；
②当CE
EF
=
时，则
180
45
67.5
2
EFC
ECF
−
=
=
=
，
EFC
为BEF 的外角，
EFC
B
BEF
=
+
，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，
45
A
B
∠
\
= ?
?，
90
90
67.5
22.5
ACE
ECF
=
−
=
−
=
，
67.5
45
22.5
BEF
EFC
B
=
−
=
−
=
，
ACE
BEF
=
，
在
AEC
△
和BFE 中，
(
)
A
B
ACE
BEF AAS
CE
EF
=
=
=
AEC
BFE
△
≌△
，
BE
AC
=
，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，
12
AB =
，
2
2
12
6 2
2
2
AC
AB
=
=
=
，
6 2
BE
=
；
③当CF
EF
=
时，则
45
CEF
ECF
=
=
，
90
CFE
=
，
在
BEC
V
中，
45
B
BCE
=
=
，
90
BEC
=
，
CE
AB
⊥
，
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又
AC
BC
=
，
点E 为AB 中点，
1
6
2
BE
AB
=
=
．
综上所述，BE 的长为6 2 或6．
