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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理（2个知识点+4大题型+9道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 利用勾股定理求线段长
考查题型二 利用勾股定理求面积
考查题型三 利用勾股定理证明
考查题型四 勾股树
【知识梳理】
知识点1.勾股定理（重点）
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a ，b 及c ．
=❑√c2-b2 =❑√c2-a2 =❑√a2+b2
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
知识点2.勾股定理的验证（难点）
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
考查题型一 利用勾股定理求线段长
1．（2023·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示， 的顶点A、B、C在边长为1
的正方形网格的格点上， 于点D，则 的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．
2．（2023·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，将 放在正方形网格图中（图中每个小正方
形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么 中 边上的高的长度是（ ）
A． B． C． D．3．（2023·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，在 中， ， ，
，延长 至 ，使得 ，将 沿 翻折，使点 落点 处，连接 ，求 的长
．
4.（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，求BC和AC
的长．
考查题型二 利用勾股定理求面积
1．（2023春·八年级单元测试）在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形
的面积分别 为 a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次为 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3＋S4＝(
)
A．a＋b B．b＋c C．a＋c D．a＋b＋c
2．（2023·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，将 沿 翻折得到 ， 交 于点E，F为
中点，连接 并延长交 的延长线于点G，连接 ，若 ， ， 的面积为42，则 的面积为（）
A．26 B．24 C．21 D．15
3．（2023·山西运城·八年级山西省运城中学校校考期中）如图，在长方形 中，
是 边上的一点，将 沿着 翻折，点C恰好落在 边上的点E处，则阴影部分的面积为
．
考查题型三 利用勾股定理证明
1．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．
利用此图的面积表示式证明勾股定理．
2．（2022春•尤溪县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交
AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．3.（2023春·湖北·八年级校考期中）已知如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上．
求证：（1）AD2-AB2=BD⋅CD；
（2）若D在CB上，结论如何，试证明你的结论．
考查题型四 勾股树
1.（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以
该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似
一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作
图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为______．2.（2023·河北保定·八年级保定十三中校考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，
它是由一串有公共顶点 的直角三角形演化而成的．若图2中的 ，按此规律继续
演化，……
（1）线段 的长为 ．
（2）若 代表 的面积； 代表 的面积，以此类推； 代表 的面积，则
的值为 ．3.（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西
方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至
今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分
别为S ，S ，S ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S +S =S 的有________个．
1 2 3 1 2 3
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S ，S ，直角三角形面积为S ，也满足S +S =S 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S ，S ，S 的
1 2 3 1 2 3 1 2 3
数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M
的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=__________．
1．（2023·江西抚州·八年级校考期中）在 中， ， ，以 为一边，在
外部作等腰直角 ，则线段 的长为 ．
2.（2023春·福建厦门·八年级校考阶段练习）如图的实线部分是由 Rt△ABC 经过两次折叠得到的，首先
将 Rt△ABC 沿 BD 折叠，使点 C 落在斜边上的点 C' 处，再沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC' 的
延长线上的点 A' 处．若图中 ∠C=90∘，DE=3cm，BD=4cm，则 DC' 的长为______．
3.（2023春·全国·八年级阶段练习）有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm．
①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD =_________cm．
②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则AM2、BN2与M N2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
4．（2023·江西抚州·八年级校考期中）在直线 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面
积分别题1，2，3，如图放置的四正方形的面积依次是 ， ， ， ．
(1)求前三个正方形的面积之间的关系．
(2)求 的值．
5．（2023·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，点
A的坐标为 ，点B的坐标为 ，C为第一象限内一点， 轴， 轴，D坐标为
．
(1)若 为等腰三角形，求m的值；(2)E为四边形 的某一边上一点．
①若E在边 上，满足 与 全等，求m的值；
②若使 为等腰三角形的点E有且只有4个，直接写出符合条件的m的值．
6．（2023·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 的
三个顶点 的坐标分别为 ．
(1)画出 关于 轴对称的 ；
(2)点 的坐标为______，点 的坐标为______，点 的坐标为______；
(3)已知点 在 轴上，且 ，则点 的坐标是______．
7．（2023·福建泉州·八年级校联考阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图
1，在 中， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长 到E点，使 ，连接 ．根据_____，可以判定 ______，得出
______．这样就能把线段 、 集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线
的取值范围是______ ______．【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角
形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“倍长中线”法．
【问题解决】
（2）如图2，在 中， ，D是 边的中点， ， 交 于点E， 交 于
点F，连接 ，求证： ．
【问题拓展】
（3）如图3， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ．
直接写出 的长＝______．
8．（2023·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）如图1，在等边 中，线段 为 边上
的中线，动点D在直线 （点D与点A重合除外）上时，以 为一边且在 的下方作等边 ，
连接 ．(1)证明： ；
(2)如图2，若 ，点P、Q两点在直线 上且 ，求 的长．
9.（2023·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，等腰三角形 中， ，D为 边上一
点，E为射线 上一点，连 ．
(1)如图1，点F在线段 上，连 、 ．若 ， 为等边三角形， ， ，求
的长；
(2)如图2，F为线段 的垂直平分线上一点，连接 、 、 ，M为 的中点，连接 、 ．若
，求证： ；
(3)如图3，，D为中点，F为中点，与交于点G，将沿射线方向平移得，连接、．若，直接写出的最小值．
