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专题 10 三角形
1.三角形的分类
(1)三角形按角分为 三角形、 三角形、 三角形.
(2)三角形按边分为 三角形、 三角形.
2.三角形的性质
(1)三角形中任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边.
(2)三角形的内角和为 ，外角与内角的关系：三角形的外角等于
3.三角形中的主要线段
(1)连接三角形 中点的线段叫作三角形的中位线.
(2)中位线的性质：三角形的中位线 于第三边，并且 第三边的 .
(3) 三角形的中线、高线、角平分线都是 .
4.等腰三角形的性质与判定
(1)等腰三角形的两底角 .
(2)等腰三角形底边上的 、底边上的 、顶角的 互 相 ,简称“
”.
(3)有两个角相等的三角形是 .
5.等边三角形的性质与判定
(1)等边三角形每个角都等于 ，同样具有“ ”的性质.
(2)三个角相等的三角形是 ，三边相等的三角形是 ，一个角等于 60°的 三角形
是等边三角形.
6.直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形两锐角 .
(2)直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的 .
(3)直角三角形中，斜边的中线等于斜边的 .
(4)勾股定理:
(5)勾股定理的逆定理： ·
7.相似三角形的判定方法有：
(1) 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两个角对应相等的两个三角形 ；
(3)两边对应成 且 的两个三角形相似；
(4)三边 的两个三角形相似.
8.相似三角形的性质有：(1)相似三角形的对应边 ，对应角 ；(2)相似三角形的对应边的
线、对应边上的 的比等于 比，周长之比也等于 比，面积比等于 .
9.全等三角形
(1)全等三角形: 、 的三角形叫作全等三角形.
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(2) 三角 形 全 等 的 判 定 方 法 有: 、 、 、 、 .在证明两个
三角形全等时，选择三角形全等的五种方法中，至少有一组 ，因此在应用时要养成先找边的习惯.如果选
择找到了一组对应边，再找第二组条件：若找到一组对应边则再找这两边的 用“SAS”或再找第三组
用“SSS”；若找到一组角则需找 (可能用“ASA”或“AAS”)或夹这个角的另一组 用“SAS”;若是
判定两个 全等则优先考虑“HL”.
(3)全等三角形的性质：全等三角形的 、 ,全等三角形的面积 、周长 、对应高、
、 相等.
10.分析、证明几何题的常用方法
(1) ：从命题的题设出发，通过一系列的有关定义、公理、定理的运用，逐步向前推进，直到问题解决.
(2) ：从命题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直到已知条件.(3) ：将分析法与综合法合并
使用，比较起来，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此在实际思考问题时，可合并使用灵活处理，以利于缩
短题设与结论之间的距离，最后达到完全沟通.
实战演练
1.如图,CD⊥AB 于点 D,已知∠ABC是钝角,则 ( )
A.线段CD是△ABC的AC 边上的高线
B.线段 CD 是△ABC的AB 边上的高线
C.线段 AD 是△ABC的BC 边上的高线
D.线段 AD 是△ABC的AC 边上的高线
2.如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一直线上，AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF
的是 ( )
A. BC=DE B. AE=DB
C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D
S
3.如图,在△ABC中,D、E分别为线段 BC、BA 的中点,设△ABC 的面积为S₁,△EBD的面积为S₂,则
2=()
S
1
1 1 3 7
A. B. C. D.
2 4 4 8
4.如图, 在 △ABC 和△ADE 中,∠CAB=∠DAE= 36°,AB =AC,AD=AE.连接CD,连接 BE 并延长交AC,AD 于点
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F,G.若 BE 恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是 ( )
A.∠ADC=∠AEB B. CD∥AB
C. DE=GE D. BF²=CF·AC
5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥AB于点D,E 是AB 的中点,则 DE的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,在△ABC 中,∠A=90°,D 是AB 的中点,过点 D 作 BC 的平行线交AC 于点 E,作 BC的垂线交 BC 于
点 F,若AB=CE,且△DFE 的面积为1,则 BC的长为 ( )
A.2 √5 B.5
C.4√5 D.10
7.如图,在△ABC中,AD 平分∠BAC,DE⊥AB.若 AC=2,DE=1,则S△ACD= .
8. 如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC 的垂直平分线，交AC 于点D,交 BC 于点 E,∠BAE=10°,则∠C
的度数是 .
9.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AF=EF.若∠CFE=72°,则∠B= °.
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10如图,AC 平 分 ∠DCB,CB=CD,DA 的延长线交BC 于点 E,若∠EAC = 49°, 则 ∠BAE 的 度 数为
11.如图,点 B,F,C,E 在同一条 直 线 上, BF = EC, AB = DE,∠B=∠E.
求证:∠A=∠D.
12.如图,在 Rt△ACB中,∠ACB=90°,点 M 为边AB 的中点,点 E在线段 AM 上,EF⊥AC 于点 F,连接CM,CE.
已知∠A=50°,∠ACE=30°.
求证:CE=CM;
13如图,点 D 在AB 上,点 E在AC 上,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.
AD A'D'
14.如图,在△ABC 和△A'B'C'中, D、D′分 别 是 AB、A′B′上 一点， = .
AB A'B'
CD AC AB
= =
(1)当 时,求证△ABC∽△A'B'C'.
C'D' A'C' A'B'
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
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CD AC BC
= =
(2)当 时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
C'D' A'C' B'C'
压轴预测
1. 如图,在△ABC 中,边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点 P.若△ABP 为等边三角形，则∠ACB 的度数
为 .
2.如图,在△ABC 与△DCB 中,AC 与 BD交于点E,且∠A=∠D,AE=DE.
(1)求证:△ABE≌△DCE;
(2)当∠A=90°,AB=4,AE=3时,求 BC的值.
3.如图,已知△ABC 中,AB=AC,点 D 是AC 上一点,BD=BC.
(1)求证:△ABC∽△BCD;
(2)若点 D 为 AC 中点,且 AC=4,求 BC的长.
4.已知:在△ABC 中,AB= AC,D 为 AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点 E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等
边三角形.
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参考答案
1.(1)锐角 直角 钝角
(2)等腰 三边都不相等的
2.(1)大于 小于
(2)180° 与它不相邻的两内角的和
3.(1)两边
(2)平行 等于 一半
(3)线段
4.(1)相等
(2)高 中线 角平分线 重合 三线合一
(3)等腰三角形
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5.(1)60°三线合一
(2)等边三角形 等边三角形等腰
6.(1)互余
(2)一半
(3)一半
(4)直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
(5)若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形
7.(1)平行
(2)相似
(3)比例 夹角相等
(4)对应成比例
8.(1)成比例 相等
(2)中 高 相似 相似 相似比的平方
9.(1)对应边相等 对应角相等
(2)SSS SAS ASA AAS HL相等的边 夹角 对应边 另一组角 对应边 直角三角形
(3)对应边相等 对应角相等 相等相等 对应中线 对应角平分线
10.(1)综合法(由因导果)
(2)分析法(执果索因)
(3)两头凑法
1. B 【解析】本题考查三角形的高线.⊥ ∴CD A线B段,∴CD是△ABC的AB 边上的高线,故选 B.
2. B 【解析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定.∴ ∥DF,∴∠A∴C∠A=∴D.又AC=DF,若添加 AE=BD,则
AE+BE=BD+BE,即 AB=DE,利用“SAS”可判定△ABC≌△DEF,故选 B.
3. B 【解析】本题考查相似三角形的判定与性质.因为 D，E分别为线段 BC，BA 的中点，所以
DE
=
BE
=
BD
=
1
.所以△EBD∽△ABC,所以
S
2=
(BD) 2
=
1
,
AC BA BC 2 S BC 4
1
故选 B.
4. C 【解析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形
的判定与性质.∴DAE=∠CAB,∴∠∴∠∠DAC=∴EAB. 又AB=AC,AD = AE,∴△ADC≌△AEB,∴∠ADC=∠AEB,故选项 A
正确;∠CAB=36°,且 AB=AC,∴∠ABC=72°,∴BE平分
∠ABC,∴∠ABG=∠CBG=∠DCA=36°,∴∠DCA=∠CAB,∴CD∥AB,故选项 B正确；DE=GE 条件不足，不能判定，故
选项 C 错误；∵∠CBF=∠CAB=36°,且∠BCF=∠ACB,∴△CBF∽△CAB,则BCAC=CEB,∴BC=CF·AC. ∴ AB =
AC,∠CAB= 36°, ∴∠ACB= 72°, ∴∠CFB= 180° -∠ACB-∠CBG=72°=∠ACB,∴BC= BF,∴BF²=CF·AC,故选项 D正确,
故选 C.
5. A 【解析】本题考查等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质.∴ACB=90°,∠A =30°,∴∠∴∠B=60°.∴E是
1 1 1 1
AB 的中点, AB=4,∴CE=BE= AB= ×4=2,∴△BCE 为等边三角形.∴CD∴⊥AB,∴DE= BD= BE= ×2=1,
2 2 2 2
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故选 A.
6. A 【解析】本题考查平行线分线段成比例、三角形的面积公式、勾股定理、平行线的判定和性质.如图，过
1
点 A作AH⊥BC于 H.∴点 D 是AB 的中点,∴AD=BD. ∵DEBC,∴AE=CE,DE= BC.∵DF⟂BC;
2
1 1
∴DF∥AH, DF⊥DE,∴BF= HF, DF = AH.△DFE 的面积为1,∴
2 2
DE·DF=1,∴DE·DF=2,∴BC·AH=2DE·2DF=4×2=8,∴AB·AC=8.
1
∴AB=CE,∴AB=AE=CE= AC,∴AB⋅2AB=8解得AB=2(舍负),. ∴AC=4,∴BC=√AB2+AC2=2 √5,
2
故选 A.
7.1 【解析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式.如图,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.因为 AD 平分
1 1
∠BAC,DE⊥AB,所以DF=DE=1,所以 S = × AC×DF= ×2×1=1.
ACD 2 2
8.40° 【解析】本题考查三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质.在 Rt△ABE中，
∠B=90°,∠BAE=10°,∴∠AEB=80°.∴DE 是线段AC 的垂直平分
线,∴AE=CE,∴∠C=∠CAE,∴∠AEB=∠CAE+∠C=2∠C=80°,∴∠C=40°.
9.54 【解析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理. ∴ AF =
EF,∴∠A=∠AEF.∠CFE=∠A+∠AEF,∴∠CFE=2∠A.又∵∠CFE=72°,∴∠A=36°,在 Rt△ABC
中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A=54°.
10.82° 【解析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理.∴AC平分
∠DCB，∴∠BCA=∠DCA.又∵CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴ ∠B = ∠D. ∵∠EAC= ∠D
+∠DCA=49°,∴∠B+∠BCA=49°,∴∠BAE=180°- 49°−49°=82°,,即∠BAE的度数为82°.
11.略
证明:∴BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即 BC=EF.
{AB=DE,∠B=∠E,
在△ABC 和△DEF中
BC=EF,
∴△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠D.
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12.略
根据直角三角形中线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质得∠CME=∠CEM，即可得证.
解:证明:因为∠ACB=90°,点 M 为AB 的中点.
所以MA=MC,
所以∠MCA=∠A=50°,
所以∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°,
因为 ∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°,
所以∠CME=∠CEM,所以CE=CM.
13.略
根据已知条件，结合公共角，利用“ASA”即可判定△ACD≌△ABE,得对应边相等,从而证明AD=AE.
{∠A=∠A,
证明:在△ACD和△ABE中 AC=AB,
∠C=∠B,
∴△ACD≌△ABE.
∴AD=AE.
CD AC AD
14.(1) = = ;∠A=∠A'
C'D' A'C' A'D'
(2)相似，理由略
(1)根据比例式进行代换，得三边对应成比例，得两个三角形相似后，对应角相等，将所得三边比例式和对应
角相等填入方框内；(2)分别在两个三角形中作 BC 边和B'C'边的平行线，利用所得三角形相似得比例式，再结合
比例式进行代换，得三边对应成比例，证明△DCE∽△D'C'E'，再利用平行线的性质，结合等角的补角相等以及两边
对应成比例证明△ABC∽△A'B'C'.
CD AC AD
解：
(1) = = ;∠A=∠A'.
C'D' A'C' A'D'
(2)如图,过点 D、D'分别作 DE∥BC、D'E'∥B'C',DE交AC 于点E,D'E'交A'C'于点 E'.
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∴ ∥BC,∴△∽D∴E△ADE∴∴A∵BC.
AD DE AE
∴ = = .
AB BC AC
A'D' D'E' A'E'
同理 = = .
A'B' B'C' A'C'
又
AE A'E'
同理 = .
AC A'C'
AC−AE A'C'−A'E' EC E'C'
∴ = ,即 = .
AC A'C' AC A'C'
EC AC
∴ = .
E'C' A'C'
CD AC BC
又= = ,
又
C'D' A'C' B'C'
CD DE EC
∴ = = .
C'D' D'E' E'C'
∴△DCE∽△D'C'E'.
∴∠CED=∠C'E'D'.
∴ ∥BC,∴∠D∴E∠CED+∴ACB=180°.
同理
∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°.
∴∠ACB=∠A'C'B'.
又AC=BC,∴△ABC∽△A'B'C'.
压轴预测
1.150° 【解析】本题考查线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和
定理.如图,连接 PC.设∠APC=x,∠BPC=y.△ABP是等边三角形,∴x+y=60°.∴点 P 是AC,BC 的垂直平分线的交
180❑∘−x
点,∴PA=PC=PB,∴∠PAC=∠PCA,∠PCB=∠PBC.在等腰△PAC 中, ∠PCA= .在等腰△PBC中,
2
180❑∘−y
∠PCB= ,∴∠ACB=∠PCA+∠PCB=
2
180❑∘−x 180❑∘−y 360❑∘−(x+ y)
+ = =180❑∘−30❑∘=150❑∘,∴∠ACB的度数为150°.
2 2 2
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2.(1)略 (2)4√5
解:(1)证明:∠AEB与∠DEC是对顶角,
∴∠AEB=∠DEC.
又∵∠A=∠D,AE=DE,
∴△ABE≌△DCE(ASA).
(2)∴A=90°,∴∠在 Rt△ABE中,
BE=√AB2+AE2=√42+32=5.
∵△ABE≌△DCE,
∴CE=BE=5,
∴AC=AE+CE=3+5=8,
故在 Rt△ABC中,
BC=√AB2+AC2=√42+82=4√5.
3.(1)略 (2)2 √2
(1)根据等边对等角得两组角相等，即可证明两个三角形相似；(2)根据相似三角形的对应边成比例得比例式，
将线段的长代入比例式，从而即可求出 BC的长.
解:(1)证明:∴AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
又BD=BC,
∴∠BDC=∠C,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∴∠BAC=∠CBD,
∴△ABC∽△BCD.
AB BC
(2)由(1)△ABC∽△BCD得 = .
BC CD
又AC=4,D为AC中点,
∴CD=2,
4 BC
∴ = .
BC 2
又BC>0,
∴BC=2√2.
4.略
证明:⊥ ⊥DE ABCB,,DF∴
∴∠AED=∠CFD=90°.
∵点 D为AC 的中点,
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∴AD=DC.
在 Rt△ADE 和 Rt△CDF中,
{AD=CD,
DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴∠A=∠C,∴AB=BC.
∴ AABB==BACC=,∴AC,
∴△ABC是等边三角形.
12
