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专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题（难）
题型2 二次函数中的矩形存在性问题（难）
题型3 二次函数中的菱形存在性问题（难）
题型4 二次函数中的正方形存在性问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题
1．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
(2)存在，
7
3, 2
−
或
7
5, 2
【详解】（1）解：∵抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与直线AC 交于点
(
)
(
)
4,0 ,
0, 4
A
C
−
∴
1 16
4
0
2
4
b
c
c
+
+
=
= −
解得
1
4
b
c
= −
= −
∴抛物线的函数表达式为
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
；
（2）解：存在，
对于抛物线
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
，可得对称轴为直线
1
1
1
2
2
x
−
= −
=
，
设
2
1
,
4
2
Q m
m
m
−
−
∵点, , ,
A C P Q 为顶点的四边形是以AC 为边的平行四边形
∴
,
AC
PQ AC
PQ
=
∥
，
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∴
A
C
P
Q
x
x
x
x
−
=
−
∴1
4
m
−
=
解得
3
m
−
=
或
5
m =
∴
7
3, 2
Q
−
或
7
5, 2
Q
．
2．
【答案】(1)
2
1
4
5
3
3
3
y
x
x
=
+
−
，
(
)
2, 3
D
−
−
(2)
5
2
14, 3
N
−−
或
5
2
14, 3
N
−+
或
5
4,
3
N
−
−
(3)①
(
)
2, 3
L
−
−
，
(
)
2,3
K −
；②
(
)
8,9
L −
，
(
)
2,9
K −
；③
(
)
4,9
L
，
(
)
2,9
K −
．
【详解】（1）解：把(
)
5,0
A −
，
(
)
1,0
B
代入
2
5
3
y
ax
bx
=
+
−
，
得
5
25
5
0
3
5
0
3
a
b
a
b
−
−
=
+
−
=
，
解得
1
3
4
3
a
b
=
=
，
∴抛物线解析式为
2
1
4
5
3
3
3
y
x
x
=
+
−
，
∵
(
)
2
2
1
4
5
1
2
3
3
3
3
3
y
x
x
x
−
=
+
=
+
−，
∴
(
)
2, 3
D
−
−
；
（2）解：①若点N 在AB 上方，
ABN
ABC
S
S
=
△
△
，
即1
1
2
2
N
AB OC
AB y
=
，得
5
3
N
y =
，
把
5
3
N
y =
代入抛物线
2
1
4
5
3
3
3
y
x
x−
=
+
，
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解得
2
14
x
−
=
，
∴
5
2
14, 3
N
−−
或
5
2
14, 3
N
−+
；
②若点N 在AB 下方，当
ABN
ABC
S
S
=
△
△
时，点N 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，此时点
5
4,
3
N
−
−
；
综上所述，点N 坐标为
5
2
14, 3
N
−−
或
5
2
14, 3
N
−+
或
5
4,
3
N
−
−
；
（3）解：设
(
)
2,
K
m
−
，
2
1
4
5
, 3
3
3
L n
n
n−
+
，
①如图，当AB
KL
、
为对角线时，
∴
2
2
5 1
1
4
5
0
3
3
3
n
m
n
n−
−+
= −+
+
+
=
，解得
3
2
m
n
=
= −
，
∴(
)
2, 3
L
−
−
，
(
)
2,3
K −
；
②如图，当AK
BL
、
为对角线时，
∴
(
)
2
1
5
2
1
4
5
0
0
3
3
3
n
m
n
n−
+ = −+ −
+
=
+
+
，解得
9
8
m
n
=
= −
，
∴(
)
8,9
L −
，
(
)
2,9
K −
；
③如图，当AL
BK
、
为对角线时，
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∴
2
2 1
5
1
4
5
0
0
3
3
3
n
m
n
n−
−+ = −+
+
=
+
+
，解得
9
4
m
n
=
=
，
∴(
)
4,9
L
，
(
)
2,9
K −
；
综上可得共三种情况①
(
)
2, 3
L
−
−
，
(
)
2,3
K −
；②
(
)
8,9
L −
，
(
)
2,9
K −
；③
(
)
4,9
L
，
(
)
2,9
K −
．
3．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
(2)3 秒
(3)当
5
2
t =
时，四边形PCQB 的面积最大，最大面积为57
4
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 过点
(
)
4,0
B
，
(
)
0,4
C
，对称轴是直线
1
x = ，
∴
16
4
0
4
1
2
a
b
c
c
b
a
+
+
=
=
−
=
，
解得
1
2
1
4
a
b
c
= −
=
=
，
∴
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
；
（2）解：设直线BC 的解析式为
4
y
kx
=
+
，把
(
)
4,0
B
代入得，
0
4
4
k
=
+
，
解得
1
k = −．
∴
4
y
x
−
=
+
．
∵
(
)
2
2
1
1
9
4
1
2
2
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
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∴
9
1, 4
D
，
当
1
x = 时，
1
4
3
y = −+
= ，
∴
(
)
1,3
E
．
∴
9
3
3
2
2
DE =
−=
，
∵四边形DENP 为平行四边形，
∴
3
2
NP
DE
=
=
．
∵过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P，
∴设
2
1
,
4
2
P t
t
t
−
+ +
，
(
)
,
4
N t
t
−+
，
∴
(
)
2
2
1
1
3
4
4
2
2
2
2
PN
t
t
t
t
t
−
−
−
=
+ + −
+
=
+
=
，
解得1
2
1,
3
t
t
=
=
，
∵
9
1, 4
D
，
∴
1
t = 不符合题意，舍去，
∴
3
t =
；
（3）解：由题意，得
0.5
OQ
t
=
，则
4
0.5
BQ
t
=
+
，
由（2）得，
2
1
2
2
PN
t
t
= −
+
．
∴
CQB
CPB
PCQB
S
S
S
=
+
四边形
1
1
2
2
BQ OC
PN OB
=
+
(
)
2
1
1
1
4
0.5
4
2
4
2
2
2
t
t
t
=
+
+
−
+
2
5
57
2
4
t
−
−
=
+
，
∵1
0
−
，
∴抛物线开口向下，
∴当
5
2
t =
时，四边形PCQB 的面积最大，最大面积为57
4 ．
◆题型2 二次函数中的矩形存在性问题
4．
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【答案】(1)
2
4
y
x
x
= −
+
；
(2)(
)
2,2 或(
)
3,1 或5
17 3
17
,
2
2
−
+
；
(3)(
)
4, 2
−
−
或(
)
5,1 ．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 过原点
(
)
0,0
O
，
∴
0
c =
，
∵抛物线过点
(
)
4,0
A
，
∴
2
0
4
4
0
b
= −
+
+
，
解得
4
b =
，
∴抛物线表达式为
2
4
y
x
x
= −
+
；
（2）解：设直线AB 的解析式为
4
y
kx
=
+
，
∵直线过
(
)
4,0
A
，
∴0
4
4
k
=
+
，
解得
1
k = −
∴直线AB 的解析式为
4
y
x
= −+
，
设
(
)
,
4
M m
m
−
+
，
∵MN
y
轴，
∴
(
)
2
,
4
N m
m
m
−
+
，
∵
2
MN =
，
∴
(
)
2
4
4
2
m
m
m
−
+
−−
+
=
，
即
2
5
4
2
m
m
−
+
−
=
，
当
2
5
4
2
m
m
−
+
−
=
时，
2
2
5
6
0
5
6
0
m
m
m
m
−
+
−
=
−
+
=
，
解得
2
m =
或
3
m =
，
∴
(
)
2,2
M
或
(
)
3,1
M
，
当
2
5
4
2
m
m
−
+
−
= −时，
2
2
5
2
0
5
2
0
m
m
m
m
−
+
−
=
−
+
=
，
解得
5
17
2
m
+
=
（舍去）或
5
17
2
m
−
=
，
∴
5
17 3
17
,
2
2
M
−
+
，
综上，点M 的坐标为(
)
2,2 或(
)
3,1 或5
17 3
17
,
2
2
−
+
；
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（3）解：联立
2
4
4
y
x
y
x
x
= −+
= −
+
，
解得
1
3
x
y
=
=
或
4
0
x
y
=
=
，
∴
(
)
1,3
C
，
情况1：当PC 为对角线时，
设
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，
∵矩形对角线互相平分，
∴
1
2
1
4
2
2
x
x
+
+
=
，
1
2
3
0
2
2
y
y
+
+
=
，
∵AC
AP
⊥
，
由勾股定理：
2
2
2
AC
AP
CP
+
=
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
(4 1)
(0
3)
(
4)
(
1)
(
3)
x
y
x
y
−
+
−
+
−
+
=
−
+
−
，
代入
2
1
1
1
4
y
x
x
= −
+
，
解得
1
1
x = −，
1
5
y = −，或
1
4
x =
，
1
0
y =
，（舍去），
∴
2
4
x = −，
2
2
y = −
∴
(
)
4, 2
Q −
−
，
情况2：当PA为对角线时，
设
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，
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∵矩形对角线互相平分，
∴
1
2
4
1
2
2
x
x
+
+
=
，
1
2
0
3
2
2
y
y
+
+
=
，
∵AC
CP
⊥
，
由勾股定理：
2
2
2
AC
CP
AP
+
=
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
(4 1)
(0
3)
(
1)
(
3)
(
4)
x
y
x
y
−
+
−
+
−
+
−
=
−
+
，
代入
2
1
1
1
4
y
x
x
= −
+
，
解得
1
2
x =
，
1
4
y =
，或
1
1
x = ，
1
3
y =
(舍去)，
∴
2
5
x =
，
2
1
y = ，
∴
(
)
5,1
Q
，
综上，Q 的坐标为(
)
4, 2
−
−
或(
)
5,1 ．
5．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
= −
+
+ ；
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
(2) 3
2
(3)存在，点N 的坐标为(
)
3,4 或(
)
4,3 或(
)
4,1
【详解】（1）解：设抛物线表达式为
(
)
2
y
a x
h
k
=
−
+
，
∵抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的顶点为
(
)
1,4
D
，
∴
1
a = −，
1
h = ，
4
k =
，
∴抛物线的函数表达式为
(
)
2
2
1
4
2
3
y
x
x
x
= −
−
+
= −
+
+ ，
令
0
x =
，则
2
0
2 0
3
3
y = −
+ +
= ，
∴
(
)
0,3
C
，
令
0
y =
，则
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
，
解得
1
x = −或
3
x = ，
∴
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
；
（2）解：设直线BC 表达式为y
kx
b
=
+
，代入(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
得
3
0
3
k
b
b
+
=
=
，
解得
1
3
k
b
= −
=
，
∴直线BC 表达式为
3
y
x
= −+
，
设点P 横坐标为t ，则(
)
2
,
2
3
P t
t
t
−
+
+
，
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如图，过点P 作x 轴的垂线，交BC 于点Q ，则
(
)
,
3
Q t
t
−+
，
∴
(
) (
)
2
2
2
3
3
3
PQ
t
t
t
t
t
= −
+
+
−−+
= −
+
，
∴
(
)
2
2
1
3
3
9
3
2
2
2
2
BCP
B
C
S
PQ x
x
t
t
t
t
=
−
=
−
+
= −
+
，
这是开口向下的二次函数，当
9
3
2
3
2
2
2
t = −
=
−
时，面积取得最大值，
即当BCP
面积最大时，点P 的横坐标为3
2 ；
（3）解：∵(
)
3,0
B
，
(
)
1,4
D
，
∴
(
)
(
)
2
2
3 1
0
4
2 5
BD =
−
+
−
=
，BD中点为3 1 0
4
,
2
2
+
+
即(
)
2,2 ，
∵以B 、D、M 、N 为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形，
∴
2 5
MN
BD
=
=
，MN 中点为(
)
2,2 ，
点M 是坐标轴上一点，故分两种情况讨论：
①当点M 在x 轴上时，如图，
设
(
)
,0
M m
，则
(
)
4
,4
N
m
−
，
(
)
(
)
2
2
4
0
4
2 5
MN
m
m
=
−
−
+
−
=
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
0
4
2 5
m
m
−
−
+
−
=
，
解得
1
m = 或
3
m =
（此时点M 与点B 重合，舍去），
∴4
3
m
−
= ，
∴
(
)
3,4
N
；
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②当点M 在y 轴上时，如图，
设
(
)
0,
M
m ，则
(
)
4,4
N
m
−
，
(
)
(
)
2
2
0
4
4
2 5
MN
m
m
=
−
+
−
−
=
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
0
4
4
2 5
m
m
−
+
−
−
=
，
解得
1
m = 或
3
m =
，
当
1
m = 时，4
3
m
−
= ，
当
3
m =
时，4
1
m
−
= ，
∴
(
)
4,3
N
或(
)
4,1 ；
综上，点N 的坐标为(
)
3,4 或(
)
4,3 或(
)
4,1 ．
6．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)
PBC
△
面积的最大值为27
8 ，
3
15
,
2
4
P
−
(3)存在，点E 的坐标为(
)
5, 2
−
或(
)
1, 2
−−
或
3
17
1,
2
−−
或
3
17
1,
2
−+
【详解】（1）解：∵抛物线
(
)
2
2
0
y
ax
x
c a
=
−
+
与y 轴交于点
(
)
0, 3
C
−
，对称轴为直线
1
x = ，
∴
2
1
2
3
a
c
−
−
=
= −
，
∴
1
3
a
c
=
= −
，
∴抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
=
−
−；
（2）解：设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，把B ，C 点的坐标代入得：
3
0
3
k
b
b
+
=
= −
，解得：
1
3
k
b
=
= −
，
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
=
−
点P 为直线BC 下方抛物线上的点，
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设(
)
2
,
2
3
P a a
a
−
−
，
(
)
,
3
M a a
−
，
2
2
2
3
9
3
2
3
3
2
4
PM
a
a
a
a
a
a
=
−−
+
+
= −
+
= −
−
+
，
当
3
2
a =
时，
max
9
4
PM
=
，
∴
1
3
9
27
3
2
2
4
8
PBC
S
PM
=
=
=
，即
PBC
△
面积的最大值为27
8 ，
3
15
,
2
4
P
−
；
（3）解：由题意可得：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
3 1
4
1
2
5
y
x
x
x
x
x
=
−
−
−
−−=
−
−=
−
−
，
抛物线y的对称轴为直线
2
x =
．
∵
(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
，
∴
3
OC
OB
=
= ，
45
BCO
CBO
=
=
，
如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方，过D 作DF
y
⊥
轴于点F ，
∵D 在y的对称轴上，
2
FD
=
，
∵
90
BCD
=
，
45
BCO
=
，
∴
45
DCF
=
，
2
CF
FD
=
=
，
3
2
5
OF = +
= ，即点
(
)
2, 5
D
−
，
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∴点C 向右平移2 个单位、向下平移2 个单位可得到点D ，则点B 向右平移2 个单位、向下平移2 个单位可得
到点
(
)
5, 2
E
−
；
如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方，y的对称轴为
2
x =
与x 轴交于点F ，
∵D 在y的对称轴上，
∴
2
FO =
，
3
2
1
BF
= −
= ，
45
CBO
=
，即
45
DBO
=
，
1
BF
FD
=
= ，即点
(
)
2,1
D
，
∴点B 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D ，则点C 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到
点
(
)
1, 2
E
−
−
；
如图：当BC 为矩形对角线时，设
(
)
2,
D
d ，
(
)
,
E m n ，BC 的中点F 的坐标为3
3
,
2
2
−
，
依题意得：
2
3
2
2
3
2
2
m
d
n
+
=
+
= −
，解得
1
3
m
d
n
=
+
= −
，
又
DE
BC
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2 1
3
3
d
n
−
+
−
=
+
，
解得：
17
d
n
−
=
，
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联立
17
3
d
n
d
n
−
=
+
= −
，
解得：
3
17
2
n
−
=
，
∴点E 的坐标为
3
17
1,
2
−−
或
3
17
1,
2
−+
．
综上，存在点E ，其坐标为(
)
5, 2
−
或(
)
1, 2
−
−
或
3
17
1,
2
−−
或
3
17
1,
2
−+
，使得以点B ，C ，D ，E 为顶
点的四边形是矩形．
◆题型3 二次函数中的菱形存在性问题
7．
【答案】(1)b 的值为2,c
−
的值为3
(2)
( 3
5, 5)
M −+
或
(
)
3
5,
5
M −−
−
或
(1,4)
M
或
7 5
,
4 4
M
−
【详解】（1）解：把点
(1,0)
A
和点
( 3,0)
B −
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，
得：
1
0
9
3
0
b
c
b
c
−+
+
=
−−
+
=
，
解得：
2
3
b
c
= −
=
；
∴b 的值为2,c
−
的值为3；
（2）解：存在，
( 3
5, 5)
M −+
或
(
)
3
5,
5
M −−
−
或
(1,4)
M
或
7 5
,
4 4
M
−
，理由如下：
由（1）知：
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ，
当
0
x =
时，
3
y =
，
∴
(0,3)
C
，
设直线BC 的解析式为
3
y
kx
=
+ ，
把
( 3,0)
B −
代入，得0
3
3
k
= −
+ ，解得：
1
k = ，
3
y
x
=
+ ，
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
= −
−
+
= −
+
+
，
∴抛物线向左平移2 个单位长度得到新的抛物线为
2
2
(
1 2)
4
(
3)
4
y
x
x
= −
+ +
+
= −
+
+
，
联立：
2
2
(
3)
4
2
3
y
x
y
x
x
−
−
=
+
+
=
−
+
，
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解得：
2
3
x
y
−
=
=
，
( 2,3)
D
−
，
设
( ,
3)
M m m +
，
( 3,0)
B −
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
3)
(
3)
2(
3) ,
(
2)
,
(3
2)
3
10
BM
m
m
m
DM
m
m BD
=
+
+
+
=
+
=
+
+
=
−
+
=
，
情况1：BD为菱形的边：
①当BM
BD
=
时，
2
2(
3)
10
m+
=
，
解得：
3
5
m = −+
或
3
5
m = −−
，
∴
( 3
5, 5)
M −+
或
(
)
3
5,
5
M −−
−
；
②当DM
BD
=
时，
2
2
(
2)
10
m
m
+
+
=
，
解得：
3
m
−
=
（舍去）或
1
m = ，
∴
(1,4)
M
；
情况2：BD为菱形的对角线：
③当BM
DM
=
时，
2
2
2
(
2)
2(
3)
m
m
m
+
+
=
+
，解得：
7
4
m = −
，
∴
7 5
,
4 4
M
−
，
综上：
( 3
5, 5)
M −+
或
(
)
3
5,
5
M −−
−
或
(1,4)
M
或
7 5
,
4 4
M
−
．
8．
【答案】(1)
2
4
10
2
3
3
y
x
x
= −
+
+
(2)
1
m =
(3)存在，点D 的坐标为
2
2,
3
−
或
6
4
1
13,
13
13
13
−
或
6
4
1
13,
13
13
13
+
−
或29 24
,
13 13
【详解】（1）解：∵抛物线
2
4
3
y
x
bx
c
= −
+
+ 经过点
,
A B ，
∴
12
3
0
2
b
c
c
−
+
+
=
=
，
解得
10
3
2
b
c
=
=
，
∴抛物线解析式为
2
4
10
2
3
3
y
x
x
= −
+
+
；
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（2）解：抛物线对称轴
10
5
3
4
4
2
3
x = −
=
−
，
设
2
2
4
10
,
2 ,
,
2
3
3
3
P m
m
N m
m
m
−
+
−
+
+
，
∴当
5
0
4
m
时，
2
2
4
10
2
4
2
2
4
3
3
3
3
PN
m
m
m
m
m
= −
+
+
−−
+
= −
+
，
∴
2
2
1
4
3
4
2
6
2
3
ABN
S
m
m
m
m
=
−
+
= −
+
，
当
4
ABN
S
=
△
时，得
2
2
6
4
m
m
−
+
=
，整理，得
2
3
2
0
m
m
−
+
=
，
解得
1
2
1,
2
m
m
=
=
（舍去）．
∴点M 的坐标为(
)
1,0 ；
（3）解：根据题意，得点M 的坐标为(
)
1,0 ，
(
)
3,0
A
，
3 1
2
AM
= −=
，
设
2
,
2
3
C n
n
−
+
，
当AM 为对角线时，如图，点C 的横坐标为1 3
2
2
+
=
，此时纵坐标为
2
2
2
2
3
3
−
+
=
，
故C 为
2
2, 3
，根据菱形的对称性质，得到点D 为
2
2,
3
−
当AM 为边时，AC 也为边时，根据题意，得
2
AM
AC
=
=
，
过C 作x 轴的垂线，垂足为H ，在ACH
中由勾股定理得，
(
)
2
2
2
2
2
3
2
3 n
n
−
+
+
−
=
，
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解得
6
3
13
13
n =
，
故
6
4
3
13,
13
13
13
C
+
−
或
6
4
3
13,
13
13
13
C
−
，
设
(
)
,
D p q ，
6
4
3
13,
13
13
13
C
+
−
，根据中点坐标公式，得
6
4
3
13
1
13
0
3
0
13
13
,
2
2
2
2
p
q
+
+
−
+
+
+
=
=
，
解得
6
4
1
13,
13
13
13
p
q
= +
= −
，
故
6
4
1
13,
13
13
13
D
+
−
；
设
(
)
,
D p q ，
6
4
3
13,
13
13
13
C
−
，根据中点坐标公式，得
6
4
3
13
1
13
0
3
0
13
13
,
2
2
2
2
p
q
−
+
+
+
+
=
=
，
解得
6
4
1
13,
13
13
13
p
q
= −
=
，
故
6
4
1
13,
13
13
13
D
−
；
当AM 为边时，AC 为对角线时，
过C 作x 轴的垂线，垂足为W ，在MCW
中由勾股定理得，
(
)
2
2
2
2
2
1
2
3 n
n
−
+
+
−
=
，解得
1
3
n = （舍去），
2
3
13
n =
，
故
3
24
,
13 13
C
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设
(
)
,
D p q ，
3
24
,
13 13
C
，根据中点坐标公式，得
3
24
3
0
1
0
13
13
,
2
2
2
2
p
q
+
+
+
+
=
=
，
解得
29
24
,
13
13
p
q
=
=
，
故
29 24
,
13 13
D
；
综上可知点D 的坐标为
2
2,
3
−
或
6
4
1
13,
13
13
13
−
或
6
4
1
13,
13
13
13
+
−
或29 24
,
13 13
．
9．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x−
=
+
(2)四边形ANCB 面积的最大值为75
8
(3)点Q 的坐标为(
)
0, 3 2 1
−
−
或(
)
0, 1
−
或(
)
0,3 2 1
−
【详解】（1）解：把
(
)
3,0
A −
，
(
)
1,0
B
代入
2
y
x
bx
c
=
+
+ 中，得
9
3
0
1
0
b
c
b
c
−
+
=
+
+
=
，
解得，
2
3
b
c
=
= −
，
∴这个二次函数的表达式为y
2
2
3
y
x
x−
=
+
；
（2）解：对于二次函数的表达式
2
2
3
y
x
x−
=
+
，令
0
x =
，则
3
y = −，
∴
(
)
0, 3
C
−
，
设直线AC 的表达式为
1
1
y
k x
b
=
+
，
把
(
)
3,0
A −
，
(
)
0, 3
C
−
代入y
kx
b
=
+
，得
1
1
1
3
0
3
k
b
b
−
+
=
= −
，解得，
1
3
k
b
= −
= −
∴直线AC 的表达式为
3
y
x
= −−
，
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设
(
)(
)
,0
3
0
P m
m
−
，
∵PM
x
⊥轴．
(
)
,
3
M m
m
−
−
，
(
)
2
,
2
3
N m m
m
+
−
，
∴
(
) (
)
2
2
3
2
3
3
MN
m
m
m
m
m
= −
−
−
+
−
= −
−
∴
ANC
ACB
ANCB
S
S
S
=
+
四边形
(
)
AMN
CMN
ACB
S
S
S
=
+
+
1
1
1
2
2
2
MN AP
MN OP
AB OC
=
+
+
1
1
2
2
MN OA
AB OC
=
+
(
)
2
1
1
3
3
4 3
2
2
m
m
=
−
−
+
2
3
9
6
2
2
m
m
= −
−
+
2
3
3
75
2
2
8
m
= −
+
+
3
0
2
a = −
，
∴当
3
2
m = −
时，
ANCB
S
有最大值75
8 ；
（3）解：∵
(
)
,
3
M m
m
−
−
，
(
)
2
,
2
3
N m m
m
+
−
，
(
)
0, 3
C
−
，(
)
3,0
A −
，
∴
(
) (
)
2
2
3
2
3
3
MN
m
m
m
m
m
= −
−
−
+
−
= −
−
，
2
MC
m
= −
，
3
OA
OC
=
= ，
45
ACO
=
，
分以下三种情况：
①如图中，当点M 在线段AC 上，MN
MC
=
，四边形MNQC 是菱形时．
2
3
MN
m
m
= −
−
，
2
MC
m
= −
，
2
3
2
m
m
m
−
−
= −
，
解得
3
2
m = −+
或
0
m =
（舍去）
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3 2
2
MN
=
−
．
3 2
2
CQ
MN
=
=
−，
3 2
1
OQ
=
+ ，
(
)
0,
3 2
1
Q
−
−
．
②如图，当MC 是菱形的对角线时，
根据菱形的性质可得
45
ACO
NCO
=
=
，
∴
90
MCN
=
，
∴四边形MNCQ 是正方形，
∴CN
MN
CQ
MQ
=
=
=
，
(
)
0,
3
Q
m
−
−
，
2
3
m
m
m
−
−
= −
，
解得
2
m
−
=
或0（舍去），
∴
(
)
0, 1
Q
−
．
③如图，当点M 在CA 延长线上时，MN
CM
=
，四边形MNQC 是菱形时，
则有
2
3
2
m
m
m
+
= −
，
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解得
3
2
m = −−
或0（舍去），
3 2
2
MN
CQ
=
=
+
，
3 2
1
OQ
CQ
OC
=
−
=
−，
(
)
0,3 2
1
Q
−
．
④如图，当点M 在AC 延长线上时，MN
CM
=
，四边形MNQC 是菱形，此时
0
m
，
2
2
3
3
MN
m
m
m
m
= −
−
=
+
，
2
2
MC
m
m
= −
=
，
则有
2
3
2
m
m
m
+
=
，
解得
2
3
0
m =
−
或
0
m =
，
都不满足
0
m
，
综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(
)
0, 3 2 1
−
−
或(
)
0, 1
−
或(
)
0,3 2 1
−
．
◆题型4 二次函数中的正方形存在性问题
10．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
5
2
t =
(3)存在，2 或9 2
【详解】（1）解：∵抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 经过点(
)
3,0
A
，与y 轴交于点B，且关于直线
1
x = 对称，
∴
1
2
9
3
3
0
b
a
a
b
−
=
+
+
=
，解得：
1
2
a
b
= −
=
，
∴
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线
1
x = ，
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∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵1
x
t
−
时，0
2
1
y
t
−，
①当
1
t 时，则：当x
t
= 时，函数有最大值，即：
2
2
1
2
3
t
t
t
−= −
+
+ ，
解得：
2
t
−
=
或
2
t =
，均不符合题意，舍去；
②当
1
t 时，则：当
1
x = 时，函数有最大值，即：
2
2
1
1
2
3
4
t −= −
+
+
=
，
解得：
5
2
t =
；
故
5
2
t =
；
（3）解：存在，理由如下：
对于
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，当
0
x =
时，
3
y =
，
∴
(
)
0,3
B
，
设直线
:
AB y
mx
n
=
+
∵点
(
)
3,0
A
，
∴
3
0
3
m
n
n
+
=
=
，
解得
1
3
m
n
−
=
=
，
∴直线
:
3
AB y
x
= −+
，
设
2
2
PQ
m
=
，直线MN 与y 轴交点为T ，
当MN 在AB 上方时，过点B 作BG
NM
⊥
于点G ，如图：
∵正方形PQMN ，
∴
2
,
90
2
PN
PQ
MN
m
PNM
PNT
=
=
=
=
=
，MN
AB
∥
，
∴
2
2
BG
PN
m
=
=
∵
3,
90
OA
OB
AOB
=
=
=
，
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∴
45
ABO
=
，
∴由MN
AB
∥
得
45
ABO
BTN
=
=
，
∴BTG
为等腰直角三角形，
∴
2
2
2
2
2
2
BT
TG
BG
BG
m
m
=
+
=
=
=
，
∵MN
AB
∥
，
∴设直线
:
3
MN y
x
m
= −+ +
，
与抛物线表达式联立得，
2
2
3
3
y
x
x
y
x
m
= −
+
+
= −+ +
，
∴
2
3
0
x
x
m
−
+
=
，
设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
∴
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
=
，
∴(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
9
4
x
x
x
x
x x
m
−
=
+
−
=
−
∵
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
MN
x
x
y
y
x
x
x
m
x
m
x
x
=
−
+
−
=
−
+ −
+ +
−−
+ +
=
−
，
∴
(
)
2
2 9
4
2 m
m
=
−
，
解得
2
m =
或
18
m = −
（舍），
∴
2
2
2
2
PQ =
=
；
当MN 在AB 下方时，过点B 作BG
NM
⊥
于点G ，如图：
同理可得，
2
2
BG
PN
m
=
=
，
2
BT
BG
m
=
=
，
∵MN
AB
∥
，
∴设直线
:
3
MN
y
x
m
= −+ −
，
与抛物线表达式联立得，
2
2
3
3
y
x
x
y
x
m
= −
+
+
= −+ −
，
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∴
2
3
0
x
x
m
−
−
= ，
设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
∴
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
= −
，
∴(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
9
4
x
x
x
x
x x
m
−
=
+
−
=
+
∵
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
MN
x
x
y
y
x
x
x
m
x
m
x
x
=
−
+
−
=
−
+ −
+ −
−−
+ −
=
−
，
∴
(
)
2
2 9
4
2 m
m
=
+
，
解得
18
m =
或
2
m = −（舍），
∴
2
18
9 2
2
PQ =
=
；
综上：PQ 的长为2 或9 2 ．
11．
【答案】(1)
2
2
y
x
x
−
=
+
+
(2) PBC
面积的最大值为1；
(3)存在点P ，使以D，E ，F ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为
1 5
,
2 4
−
或
2 8
,
3 9
−
或(
)
2, 4
−
−
．
【详解】（1）解：∵二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象交x 轴于点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,0
B
，
∴
(
)
2
2
1
0
2
2
0
b
c
b
c
−−
−
+
=
−
+
+
=
，
解得
1
2
b
c
=
=
，
∴
2
2
y
x
x
= −
+
+ ．
（2）解：在
2
2
y
x
x
= −
+
+
中，令
0
x =
，得
2
y =
，
∴
(
)
0,2
C
，
设(
)
2
,
2
P a
a
a
−
+
+
，
∵点P 在直线BC 上方，
(
)
2,0
B
，
(
)
0,2
C
，
∴0
2
a
，
2
OB
OC
=
=
，
作PH
x
⊥
轴于点H ，则OH
a
=
，
2
2
PH
a
a
= −
+
+
，
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用割补法求面积：
∵PBC
的面积等于梯形PHOC 的面积加PHB
的面积减去COB
的面积，
梯形PHOC 的面积
(
)
(
)
2
1
1
·
2
2
2
2
PH
CO OH
a
a
a
=
+
=
−
+
+ +
，
PHB
的面积
(
)(
)
2
1
1
·
2
2
2
2
PH BH
a
a
a
=
=
−
+
+
−
，
COB
的面积
1
1
·
2 2
2
2
OBOC
=
=
，
∴PBC
面积
(
)
(
)(
)
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2 2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
=
−
+
+ +
+
−
+
+
−
−
2
2
a
a
= −
+
(
)
2
1
1
a
= −
−
+ ，
∵(
)
2
1
0
a −
，
∴(
)
2
1
0
a
−
−
，
∴(
)
2
1
1 1
a
−
−
+ ，
∴PBC
面积的最大值为1．
（3）解：存在点P ，使以D ，E ，F ，P 为顶点的四边形是正方形，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，
∵
(
)
2,0
B
，
(
)
0,2
C
，
∴
2
0
2
k
b
b
+
=
=
，
解得
1
2
k
b
= −
=
，
∴直线BC 的解析式为
2
y
x
= −+
，
设(
)
2
,
2
P m
m
m
−
+
+
，
(
)
,
2
E n
n
−+
，
∵PE
x
轴，
∴
2
2
2
m
m
n
−
+
+
= −+
，
∴
2
n
m
m
=
−
，
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∴(
)
2
2
,
2
E m
m
m
m
−
−
+
+
，
①如图，四边形PDFE为正方形，则PE
PD
=
，
∴
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
= −
+
+
，
解得
1
2
m = −
或
2
m =
（不合题意，舍去），
∴
2
2
1
1
5
2
2
2
2
4
m
m
−
+
+
= −−
−
+
=
，
∴
1 5
,
2 4
P
−
，
②如图，四边形PDEF 为正方形，点F 在PE上方，
连接PE，DF ，交于点M ，则MD
PE
⊥
，
2
PE
MD
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
=
−
+
+
，
解得
2
3
m = −
或
2
m =
（不合题意，舍去），
∴
2
2
2
2
8
2
2
3
3
9
m
m
−
+
+
= −−
−
+
=
，
∴
2 8
,
3 9
P
−
，
③如图，四边形PFED是正方形，点F 在PE下方，
连接PE，DF ，交于点N ，则ND
PE
⊥
，
2
PE
ND
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
=
−−
+
+
，
解得
2
m = −或
2
m =
（不合题意，舍去），
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
4
m
m
−
+
+
= −−
−
+
= −，
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∴
(
)
2, 4
P −
−
，
∴点P 的坐标为
1 5
,
2 4
−
或
2 8
,
3 9
−
或(
)
2, 4
−
−
．
综合攻坚·知能拔高
1．
【答案】(1)(
)
6,0
−
，(
)
2,0 ，(
)
0, 6
−
(2)存在；(
)
2
2 5,2 5
−
或(
)
6, 8
−
−
【详解】（1）解：对于
2
1
2
6
2
y
x
x
=
+
−
来说，
当
0
x =
时 ，
6
y = −；
故点
(0, 6)
C
−
，
当
0
y =
时，有
2
1
2
6
0
2 x
x
+
−
=
，
解得：
1
2
2,
6
x
x
=
= −，
∴
(
)
2,0
B
，
(
)
6,0
A −
；
（2）解：存在：
设直线AC 的表达式为：y
kx
b
=
+
；
将
(
)
6,0
A −
，
(0, 6)
C
−
代入得：
6
0
0
6
k
b
b
−
+
=
+
= −
，
解得：
1
6
k
b
= −
= −
故直线AC 的表达式为：
6
y
x
−−
=
；
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设点D 的坐标为(
)
,
6
m
m
−
−
，其中6
0
m
−
，
∵
(
)
2 0
B
，，
(
)
0
6
C
−
，
，
∴
(
)
(
)
2
2
2=
2
6
BD
m
m
−
+
+
，
2
2
2
2
6
40
BC =
+
=
，
(
)
2
2
2
2
6
6
2
DC
m
m
m
=
+ −
−+
=
，
∵DE
BC
∥
，
∴当DE
BC
=
时，以点D，C，B，E 为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当BD
BC
=
时，四边形BDEC 为菱形，
∴
2
2
BD
BC
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
6
40
m
m
−
+
+
=
，
解得：
1
4
m = −，
2
0
m =
（舍去），
∴点D 的坐标为(
)
4, 2
−
−
，
∵点D 向左移动2 个单位长度，向下移动6 个单位长度得到点E，
∴点E 的坐标为(
)
6, 8
−
−
；
如图，当CD
CB
=
时，四边形CBED为菱形，
∴
2
2
CD
CB
=
，
∴
2
2
40
m =
，
解得：
1
2 5
m = −
，
2
2 5
m =
（舍去），
∴点D 的坐标为(
)
2 5 2 5
6
−
−
，
，
∵点D 向右移动2 个单位长度，向上移动6 个单位长度得到点E，
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∴点E 的坐标为(
)
2
2 5 2 5
−
，
；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E 为顶点的四边形为菱形，点E 的坐标为(
)
6, 8
−
−
或(
)
2
2 5 2 5
−
，
；
2．
【答案】(1)
2
4
5
y
x
x
= −
−
+
(2)
(
)
2,3
Q −
(3)存在，点M 的坐标为( 3,8)
−
或(3, 16)
−
或( 7, 16)
−
−
．
【详解】（1）解：点
( 5,0)
A −
，
(0,5)
C
在抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象上，
0
25
5
5
b
c
c
= −
−
+
=
解得
4
5
b
c
= −
=
，
抛物线的解析式为
2
4
5
y
x
x
= −
−
+
；
（2）解：设点
( 2,
)
Q
m
−
，点
( 5,0)
A −
，
(0,5)
C
，
A与B 关于对称轴对称，
连接AC 与对称轴交于点Q ，
∴QB
QA
=
，
此时BCQ
的周长
QC
QB
BC
QC
QA
BC
CA
BC
=
+
+
=
+
+
=
+
取得最小值，
设AC 解析式为y
kx
b
=
+
，
0
5
5
k
b
b
= −
+
=
，
解得
1
5
k
b
=
=
，
5
y
x
=
+
，
当
2
x = −时，
3
y =
，
( 2,3)
Q
−
，
点
( 2,3)
Q −
；
（3）解：存在，理由如下：
29 / 43
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2
2
4
5
(
2)
9
y
x
x
x
= −
−
+ = −
+
+
，
抛物线的对称轴为直线
2
x = −，
设点N 的坐标为( 2,
)
m
−
，点M 的坐标为
2
( ,
4
5)
x
x
x
−
−
+
，
分三种情况：①当AC 为平行四边形对角线时，
则5
2
x
−=
−
，解得：
3
x
−
=
，
点M 的坐标为( 3,8)
−
；
②当AM 为平行四边形对角线时，
则
5
2
x −= −，解得：
3
x = ，
点M 的坐标为(3, 16)
−
；
③当AN 为平行四边形对角线时，
则5 2
x
−−
=
，
解得：
7
x = −，
点M 的坐标为( 7, 16)
−
−
；
综上，点M 的坐标为( 3,8)
−
或(3, 16)
−
或( 7, 16)
−
−
．
3．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
−+
(2)S最大值为16，
(
)
2,4
D −
(3)存在，
(
)
1,1
P −
，
(
)
3,3
Q −
【详解】（1）解：∵直线
4
y
x
=
+ 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C ，
∴当
0,
4
x
y
=
=
；
当
0
y =
，则
4
0
x +
=
，解得
4
x = −，
∴
(
)
4,0
A −
，
(
)
0,4
C
，
∵对称轴为直线
1
x = −
∴
16
4
0
4
1
2
a
b
c
c
b
a
−
+
=
=
−
= −
，
解得
1
2
1
4
a
b
c
= −
= −
=
，
∴抛物线的表达式为
2
1
4
2
y
x
x
= −
−+
；
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（2）解：∵(
)
4,0
A −
，抛物线对称轴为
1
x = −，
∴
(
)
2,0
B
，
∴
(
)
2
4
6
AB =
−−
=
过点D 作y 轴的平行线交AC 于点K，
则
2
1
,
4
2
D m
m
m
−
−
+
，则
(
)
,
4
K m m +
，
∴
(
)
2
2
1
1
4
4
2
2
2
DK
m
m
m
m
m
= −
−
+ −
+
= −
−
∵
ACD
ABC
S
S
S
=
+
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
C
D
D
A
S
DK x
x
DK x
x
AB CO
=
−
+
−
+
(
)
2
1
1
1
2
6 4
2
2
2
C
A
m
m
x
x
=
−
−
−
+
2
1
1
1
2
4
6 4
2
2
2
m
m
=
−
−
+
2
4
12
m
m
= −
−
+
(
)
2
2
16
m
= −
+
+
，
∵4
0
m
−
，1
0
−
，
∴当
2
m = −时，S取得最大值为16，此时
(
)
2,4
D −
；
（3）解：存在，
如图，设
(
)
1,
P
p
−
，
∵四边形APCQ 是菱形，
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∴PA
PC
=
，
∴(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1 4
0
1 0
4
p
p
−+
+
−
= −−
+
−
，
解得
1
p = ，
∴
(
)
1,1
P −
∵四边形APCQ 是菱形，
∴
,
PA
CQ PA
CQ
=
∥
，
∴点P 向点A的平移方式与点C 向点Q 的平移方式一样，
∵
(
)
4,0
A −
，
(
)
1,1
P −
，
(
)
0,4
C
，
∴由平移的性质可得
(
)
3,3
Q −
．
4．
【答案】(1)
2
3
3
9
4
2
4
y
x
x
= −
+
+
(2)
(
)
1,3
E
(3)
(1, 1)
P
−或(1,4)或
17
(1,
)
3 或
8
(1,
)
3
−
【详解】（1）解：将点
( 1,0), (3,0)
A
B
−
代入关系式
2
3
4
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，
∴
3
0
4
3
9
3
0
4
b
c
b
c
−
−
+
=
−
+
+
=
，
解得
3
2
9
4
b
c
=
=
，
∴抛物线的关系式为
2
3
3
9
4
2
4
y
x
x
= −
+
+
；
（2）解：如图，
∵
1
,
2
BCE
ABCD
S
BC h S
CD BC
=
=
矩形
，且
1
4
BCE
ABCD
S
S
=
矩形
，
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∴1
1
2
4
BC h
CD BC
=
，
∴
1
1
2
2
h
CD
AB
=
=
．
∵点A，B 关于对称轴对称，
∴点E 的横坐标为1，此时
3
3
9
3
4
2
4
y = −
+
+
=
，
即点
(
)
1,3
E
；
（3）解：∵抛物线
2
3
3
9
4
2
4
y
x
x
= −
+
+
，
∴对称轴为
3
2
1
3
2 (
)
4
x = −
=
−
，
设点
(1, ),
( , ), ( 1,0),
(3,3)
P
p Q m n A
C
−
，
如图，以AC 为矩形的对角线，
由中点的坐标可知
1 3
1
0
3
m
p
n
−+
= +
+
=
+
，
解得
1
3
m
n
p
=
=
−
．
∵
90
APC
=
，
∴
2
2
2
PC
PA
AC
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
(3 1)
(3
)
( 1 1)
(0
)
( 1 3)
(0
3)
p
p
−
+
−
+ −−
+
−
= −−
+
−
，
解得
1
p = −或4，
∴点
(1, 1)
P
−或(1,4)；
如图，以AC 为矩形的边时，
由中点的坐标公式，得
1 1
3
0
3
m
p
n
−+ =
+
+
=
+
，
解得
3
3
m
n
p
= −
=
−
，
∵
90
ACP
=
，
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∴
2
2
2
PC
AC
AP
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
(3 1)
(3
)
( 1 3)
(0
3)
( 1 1)
(0
)
p
p
−
+
−
+ −−
+
−
= −−
+
−
，
解得
17
3
p =
，
∴点
17
(1,
)
3
P
；
若以AQ 为矩形的对角线时，
由中点的坐标公式，得
1 3
1
0
3
m
n
p
+
= −+
+
=
+
，
解得
5
3
m
n
p
=
=
+
，
∵
90
PAC
=
，
∴
2
2
2
AP
AC
PC
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
( 1 1)
(0
)
( 1 3)
(0
3)
(3 1)
(3
)
p
p
−−
+
−
+ −−
+
−
=
−
+
−
，
解得
8
3
p = −
，
∴点
8
(1,
)
3
P
−
，
综上所述，点P 的坐标为(1, 1)
−
或(1,4)或
17
(1,
)
3 或
8
(1,
)
3
−
．
5．
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【答案】(1)直线AB 的解析式为y
x
=
，抛物线的解析式是
2
2
y
x
=
−；
(2)3
(3)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
4
1 1, 1
0
2
11
1
3
M
M
M
M
−
,
,-
,
- , ,
- ,-
【详解】（1）解：∵直线y
kx
=
与抛物线
2
y
x
c
=
+ 交于点
(
)
2,2
B
∴2
2
k =
，4
2
c
+
=
，
∴
1
k = ，
2
c
−
=
∴直线AB 的解析式为y
x
=
，抛物线的解析式是
2
2
y
x
=
−；
（2）解：联立方程组
2
2
y
x
y
x
=
=
−
，
解得
2
2
x
y
=
=
或
1
1
x
y
= −
= −
，
∴点A 的坐标是(
)
1, 1
−−
，
当
0
x =
时，
2
2
2
y
x
=
−
= −，
∴点C 的坐标是(
)
0, 2
−
，
∴
2
OC =
，
连接AC
BC
、
，如图所示：
∴
1
1
1
2 (1 2)
3
2
2
2
ABC
AOC
BOC
A
B
S
S
S
OC
x
OC
x
=
+
=
+
=
+
=
；
（3）解：当AQ 是正方形的边时，PQ 为对角线，连接AM ，如图所示：
此时M 点与A 点关于y 轴对称，点Q 与点O 重合，点P 与点Q 关于AM 对称，
∴
(
)
1, 1
M
−
，
(
)
0, 2
P
−
，
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∴
(
)
1, 1
A −
−
，
(
)
1, 1
M
−
，
(
)
0, 2 ,
(0,0)
P
Q
−
，
∴当
(
)
0, 2
P
−
，
(
)
1, 1
M
−
时，四边形APMQ 为正方形；
同理，当点M 与顶点C 重合，点Q 与点O 重合时，如图所示：
∴当
(
)
1, 1
P
−
，
(
)
0, 2
M
−
时，四边形APMQ 为正方形；
当AQ 是正方形的边时，PQ 为对角线，连接AM ，如图所示：作点A 关于PQ 的对称点M，
∴
(
)
1, 3
M −−
，
(
)
(
)
2, 2 ,
0, 2
Q
P
−
−
−
，
∴当
(
)
0, 2
P
−
，
(
)
1, 3
M −−
时，，四边形APMQ 为正方形；
如图，当AQ 是正方形的对角线时，如图所示：
∴点P 的纵坐标为1
−
∴
(
)
1, 1
P
−
∴
2
AP =
∵AM
AP
⊥
∴
(
)
1,1
M −
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综上所述：M 点坐标为
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
4
1 1, 1 ,
0, 2 ,
1,1 ,
1, 3
M
M
M
M
−
−
−
−−
．
6．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
1
y
x
=
+
(2) 27
8
(3)存在，点M 的坐标为(
)
2,0 或(
)
2,6 或(
)
2,24
【详解】（1）解：将
(
)
(
)
1,0 ,
2,3
A
C
−
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，
得：
(
)
2
2
1
0
2
2
3
b
c
b
c
−−
−
+
=
−
+
+
=
，
解得
2
3
b
c
=
=
，
故抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
设直线AC 的函数关系式为y
kx
n
=
+
，
将
(
)
(
)
1,0 ,
2,3
A
C
−
代入得：
0
2
3
k
n
k
n
−+
=
+
=
，
解得
1
1
k
n
=
=
，
故直线AC 的函数关系式为
1
y
x
=
+ ；
（2）解：如图，过点P 作PH
x
⊥
轴交AC 于点T，交x 轴于点H，过点C 作CG
x
⊥
轴于点G，设(
)
,
1
T t t +
，
则(
)
2
,
2
3
P t
t
t
−
+
+
，
(
) (
)
2
2
2
3
1
2
PT
t
t
t
t
t
= −
+
+
−
+
= −
+ +
，
1
1
1
2
2
2
APC
APT
CPT
S
S
S
PT AH
PT GH
PT AG
=
+
=
+
=
APC
S
=
△
(
) (
)
2
2
1
3
1
27
2
2 1
2
2
2
8
t
t
t
−
+ +
+
= −
−
+
，
3
0
2
−
，
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当
1
2
x =
时，
APC
S
取最大值，最大值为27
8 ，
即
APC
△
的面积的最大值为27
8 ．
（3）解：抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 与y 轴交于点N ，
(
)
0,3
N
．
将抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 向右平移一个单位，得到新抛物线，
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
新抛物线的解析式为
(
)
(
)
2
2
2
1 1
4
2
4
4
y
x
x
x
x
= −
−−
+
= −
−
+
= −
+
，
新抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
设点M 的坐标为(
)
2,m ，点Q 的坐标为(
)
2
,
4
q
q
q
−
+
，
以A
N
M
Q
、、
、
为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况：
当AQ 为对角线时，AQ 的中点与MN 的中点重合，
2
1
0
2
2
2
0
4
3
2
2
q
q
q
m
−+
+
=
−
+
+
=
，
解得
3
0
q
m
=
=
，
点M 的坐标为(
)
2,0 ；
当AM 为对角线时，AM 的中点与NQ 的中点重合，
2
1
2
0
2
2
0
3
4
2
2
q
m
q
q
−+
+
=
+
−
+
=
，
解得
1
6
q
m
=
=
，
点M 的坐标为(
)
2,6 ；
当AN 为对角线时，AN 的中点与MQ 的中点重合，
2
1 0
2
2
2
0
3
4
2
2
q
m
q
q
−+
+
=
+
−
+
=
，
解得
3
24
q
m
= −
=
，
点M 的坐标为(
)
2,24 ；
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综上可知，新抛物线上存在一点Q ，使以A
N
M
Q
、、
、
为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为(
)
2,0
或(
)
2,6 或(
)
2,24 ．
7．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)(
)
1 2,
(3) DE 有最大值为25
4 ，
3
15
,
2
4
D
−
(4)
1
2
3
4
1 5
(1,1),
( 1,2),
(1,4),
,
2 2
N
N
N
N
−
【详解】（1）解：将
(
)
1,0
A −
，(
)
4,5
B
代入
2
y
x
mx
n
=
+
+
得，
1
0
16
4
5
m
n
m
n
−
+
=
+
+
=
，解得
2
3
m
n
= −
= −
，
抛物线的解析式为：
2
2
3
y
x
x
=
−
−；
（2）解：如图，设直线AB 的解析式为：y
kx
b
=
+
，
把点
(
)
1,0
A −
，(
)
4,5
B
代入y
kx
b
=
+
，
得
0
4
5
k
b
k
b
−+
=
+
=
，解得
1
1
k
b
=
=
，
直线AB 的解析式为：
1
y
x
=
+ ，
由（1）知抛物线
2
2
3
y
x
x
=
−
−的对称轴为
2
1
2 1
x
−
= −
=
，
点C 为抛物线对称轴上一动点，AC
BC
AB
+
，
当点C 在AB 上时，AC
BC
+
最小，
把
1
x = 代入
1
y
x
=
+ ，得
2
y =
，
点C 的坐标为(
)
1,2 ，
故答案为：(
)
1,2 ；
（3）解：如图，由（2）知 直线AB 的解析式为
1
y
x
=
+ ，
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设
(
)
2
,
2
3
D d d
d
−
−
，则
( ,
1)
E d d +
，
则
(
) (
)
2
2
2
3
25
1
2
3
3
4
( 1
4)
2
4
DE
d
d
d
d
d
d
d
=
+
−
−
−
= −
+
+
= −
−
+
−
，
当
3
2
d =
时，DE 有最大值为25
4 ，
∴
3
15
,
2
4
D
−
（4）解：如图，直线AB 的解析式为：
1
y
x
=
+ ，
直线与y 轴的交点为
(
)
0,1
D
，
1
OD = ，
( 1,0)
A −
，
1
OA = ，
,
45
OA
OD
DAO
ADO
=
=
=
，
若以点C，M，F，N 为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C 作
1
CM
y
⊥
轴于点
1
M ，则
1
DM C
为等腰直角三角形，过点C 作
1
1
CN
DN
⊥
，则四边形
1
1
CM DN
为正方形，
依题意，知D 与F 重合，点
1
N 的坐标为(
)
1,1 ；
②以
1
M 为中心分别作点F，点C 的对称点
2
2
,
M
N ，连接
2
2
2
2
,
,
CM
M N
N F ，则四边形
2
2
M N FC 是正方形，
∵
(
)
1,2
C
，
∴点
2
N 的坐标为(
)
1,2
−
；
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③延长
2
2
N M 到
3
N 使
3
2
2
N M
M C
=
，作
3
1
N F
AB
⊥
于点
1F ，则四边形
2
3
1
M N FC 是正方形，
∵点
2
N 的坐标为(
)
1,2
−
，
(
)
2 0,2
1
M
+
即
(
)
2 0,3
M
，且
2
M 为
2
3
N N 中点，
∴
3
N 的坐标为(
)
1,4 ；
④取
2
M C 的中点
4
N ，FC 的中点
2
F ，则
1
2
4
M F CN 为正方形，
∵
(
)
2 0,3
M
，
(
)
1,2
C
∴
4
N 的坐标为1 5
,
2 2
，
综上所述，点N 的坐标为：
1
2
3
4
1 5
(1,1),
( 1,2),
(1,4),
,
2 2
N
N
N
N
−
8．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2) 3 15
,
2 4
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(3)点N 的坐标为(
)
2, 1
−
或(
)
2,2
【详解】（1）解：∵抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、(
)
3,0
B
两点，抛物线的顶点D
的坐标为(
)
1,4 ，
∴
0
9
3
0
4
a
b
c
a
b
c
a
b
c
−
+
=
+
+
=
+
+
=
，
解得：
1
2
3
a
b
c
= −
=
=
，
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：在
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 中，当
0
x =
时，
3
y =
，即
(
)
0,3
C
，
设直线BC 的解析式为
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，
将
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
代入解析式可得
1
1
3
0
3
k
b
b
+
=
=
，
解得：
1
1
3
k
b
= −
=
，
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
= −+
，
如图：连接AC 、CG 、BG ，作GM
y
∥
轴交直线BC 于点M ，
设(
)(
)
2
,
2
3 1
3
G m
m
m
m
−
+
+
，则
(
)
,
3
M m
m
−
+
，
∴
(
)
2
2
2
3
3
3
GM
m
m
m
m
m
= −
+
+ −−
+
= −
+
，
∵
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
，
∴
(
)
3
1
4
AB =
−−
=
，
3
OC =
，
∴
ABC
GBC
ABGC
S
S
S
=
+
四边形
(
)
1
1
2
2
B
C
AB OC
GM
x
x
=
+
−
(
) (
)
2
1
1
4 3
3
3 0
2
2
m
m
=
+
−
+
−
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2
3
9
6
2
2
m
m
=
−
+
(
)
2
3
3
6
2 m
m
= −
−
+
2
3
3
75
2
2
8
m
= −
−
+
，
∵
3
0
2
−
，
∴当
3
2
m =
时，
ABGC
S四边形
最大，为75
8 ，此时
2
2
3
3
15
2
3
2
3
2
2
4
m
m
−
+
+
= −
+
+
=
，
∴点G 的坐标为3 15
,
2
4
；
（3）解：如图：
∵
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
，
∴
3
OB
OC
=
= ，
∴
45
OBC
OCB
=
=
，
设点E 关于BC 的对称点为点F ，则CE
CF
=
，
45
BCF
OCB
=
=
，
∴
90
FCE
FCB
OCB
=
+
=
，
∴点F 和点C 关于直线
1
x = 对称，
∴
(
)
2,3
F
，
∴
2
CE
CF
=
=
，
∴
1
OE
OC
CE
=
−
= ，即
(
)
0,1
E
，
∵以B 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，
∴
90
BME
=
，
设
(
)
1,
M
n ，
∵
(
)
2
2
2
2
1
1
2
2
EM
n
n
n
=
+
−
=
−
+
，
(
)
2
2
2
2
3 1
4
BM
n
n
=
−
+
=
+
，
2
2
2
1
3
10
BE =
+
=
，
∴
2
2
2
2
4
10
n
n
n
−
+
+
+
=
，
解得：
2
n =
或
1
n = −，
当
2
n =
时，
(
)
1,2
M
，由矩形的性质可得此时
(
)
2, 1
N
−
，
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当
1
n = −时，
(
)
1, 1
M
−
，由矩形的性质可得此时
(
)
2,2
N
；
综上所述，点N 的坐标为(
)
2, 1
−
或(
)
2,2 ．
