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专题 03 二次函数与几何图形
类型一：线段的最值问题
类型二：面积的最值问题
类型三：特殊三角形的存在性问题
类型四：平行四边形的存在性问题
类型五：角度问题
类型一：线段的最值问题
1．综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，
0），且 OA＝OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别
于点D、F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少；
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，0），且 OA＝OC，
∴C（0，4），
{ c=4 )
∴ ，
−(−4) 2−4b+c=0
{ c=4 )
∴ ，
b=−3
∴y＝﹣x2﹣3x+4，
（2）设直线AC的解析式为：y＝kx+n，
{ n=4 )
∴ ，
−4k+n=0{n=4)
∴ ，
k=1
∴y＝x+4，
∴D（m，m+4），
∵F（m，﹣m2﹣3m+4），
∴DF＝（﹣m2﹣3m+4）﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，DF最大 ＝4；
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），对
5
称轴为直线x= ．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，若点M是线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴，交抛物
线于点N，连接ON，当MN的长度最大时，判断四边形OCMN的形状并说明理由；
【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；
（2）四边形OCMN是平行四边形，理由见解答部分；
【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得a+b+4＝0，
5
∵对称轴为直线x= ，
2
b 5
∴− = ，
2a 2
∴b＝﹣5a，
∴a﹣5a+4＝0，
∴a＝1，
∴b＝﹣5，
∴y＝x2﹣5x+4；
（2）四边形OCMN是平行四边形，理由如下：令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则x2﹣5x+4＝0，
∴x＝4或x＝1，
∴A（1，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
{ d=4 )
∴ ，
4k+d=0
{k=−1)
∴ ，
d=4
∴y＝﹣x+4，
设M（t，﹣t+4），则N（t，t2﹣5t+4），
∴MN＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∴当t＝2时，MN的长度最大，
∴M（2，2），N（2，﹣2），
∴MN＝4，ON＝2❑√2，
∵CO＝4，
∴四边形OCMN是平行四边形；
3
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=− ．
2
已知点B（1，0），C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F，求线段EF的最大值
及此时点E的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点C的坐标为（0，﹣2），
∴c＝﹣2．3
∵抛物线过点B（1，0），对称轴是直线 x=− ，
2
则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣4，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+4）（x﹣1）＝a（x2+3x﹣4），
1
则﹣4a＝﹣2，则a= ，
2
1 3
∴抛物线的解析式为 y= x2+ x−2；
2 2
3
（2）∵抛物线对称轴为直线 x=− ，点B的坐标为（1，0），
2
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
1
由点A、C的坐标得，直线AC的解析式为 y=− x−2，
2
1 1 3
设点 E(x，− x−2)，则点 F(x， x2+ x−2)，
2 2 2
1 1 3 1
∴EF＝（− x﹣2）﹣（ x2+ x﹣2）＝﹣2x﹣2﹣x2﹣3x+2=− （x+2）2+2，
2 2 2 2
1
∵− ＜0，
2
∴当 x＝﹣2 时，线段EF的值最大，最大值为2，
此时点E的坐标为（﹣2，﹣1）；
4．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），
AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF
的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF ；
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；3 5 125
（2）点E的坐标为（
2
，
2
），S△ABF =
8
；
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
{ 1−b+c=0 ) {b=−2)
，解得： ，
16+4b+c=5 c=−3
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
{−k+b=0) {k=1)
∴ ，解得： ，
4k+b=5 b=1
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
3 25
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t− ）2+ ，
2 4
3 25
∴当t= 时，EF的最大值为 ，
2 4
3 5
∴点E的坐标为（ ， ），
2 2
1 1 25 125
∴S△ABF =
2
EF⋅(x
B
−x
A
)=
2
×
4
×(4+1)=
8
．
5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，
0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
9❑√2
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+10；（2） ；
2
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），
∴y＝﹣（x+2）（x﹣5），
∴y＝﹣x2+3x+10，
（2）作PH⊥AC于H，PD∥y轴交AC于D点，交x轴于E，
∵∠CAB＝45°，
∴∠PDH＝45°，
∴PD=❑√2PH，
设P（m，﹣m2+3m+10），
则E（m，0），
∴AE＝m+2，
∴DE＝m+2，
∴PD＝﹣m2+3m+10﹣（m+2）
＝﹣m2+2m+8，
当m＝1时，PD最大为9，
9❑√2
∴PH的最大值为 ，
2
9❑√2
即P到AC的最大距离为 ，
26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴直
线x＝2，已知经过B、C两点直线解析式为y＝﹣x+5．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图 1，点 E 为直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 E 作 EF⊥x 轴于 F，交 BC 于点 M，作
EG⊥BC于G．求△EGM周长的最大值，以及此时点E的坐标；
25❑√2+25 5 35
【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）△EGM周长的最大值为 ，点E的坐标为（ ， ）；
4 2 4
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+5，令y＝﹣x+5＝0，解得x＝5，令x＝0，则y＝5，
故点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5）；
∵点B的坐标为（5，0），函数的对称轴为x＝2，
故点A的坐标为（﹣1，0），
{25a+5b+c=0
)
{a=−1
)
将点A、B、C的坐标代入抛物线的表达式得： a−b+c=0 ，解得 b=4 ，
c=5 c=5
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）由点B、C的坐标知，OB＝CO，则∠CBO＝∠MBF＝45°＝∠FMB＝∠GME，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+5，❑√2
则GE＝MG= EM，
2
设△EGM周长为C，则C＝GE+MG+EM＝（❑√2+1）EM，
设点E的坐标为（x，﹣x2+4x+5），则点M（x，﹣x+5），
则C＝（❑√2+1）EM＝（❑√2+1）（﹣x2+4x+5+x﹣5）＝（❑√2+1）（﹣x2+5x），
∵﹣（❑√2+1）＜0，故C有最大值，
5 25❑√2+25 5 35
当x= 时，C取得最大值为 ，此时点E的坐标为（ ， ）；
2 4 2 4
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线
l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣
6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点
F，求PE+PF的最大值；
【答案】见试题解答内容
{−k+n=0
)
{k=−1)
【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得： ，解得： ，
5k+n=−6 n=−1
故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，
即：则PE＝PF，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，
∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，
当x＝2时，其最大值为18；
类型二：面积的最值问题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+8与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x﹣t
过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线
交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
【答案】（1）y＝﹣x2+7x+8；
（2）P点的坐标为（3，0）；
【解答】解：（1）令x＝0，得y＝8，
∴C（0，8），
∵点C与点D关于x轴对称．
∴D（0，﹣8），
把D（0，﹣8）代入y＝x﹣t，得，
∴﹣8＝﹣t，
∴t＝8，
∴y＝t﹣8，
令y＝0，得y＝x﹣8＝0，
解得x＝8，
∴B（8，0），
把B点坐标代入y＝﹣x2+bx+8中，得
0＝﹣82+8b+8，
解得，b＝7，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+7x+8；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+7m+8），N（m，m﹣8），
则MN＝﹣m2+7m+8﹣（m﹣8）＝﹣m2+6m+16，
1 1
∴S△MDB =
2
MN⋅OB=
2
×8（﹣m2+6m+16）＝﹣4m2+24m+64＝﹣4（m﹣3）2+100，
∵﹣4＜0，
∴当m＝3时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（3，0）；
5
2．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x= ，
2
1
C(0， )为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；
1 5
【答案】（1）y= x2− x﹣2；
6 632 8
（2）最大值为 ，此时E（1，− ）；
3 3
b 5
{ − = 2 )
2a ❑
【解答】解：（1）由题意得 ，
c=−2
9a−3b+c=2
1
{ a= )
6
解得 5 ，
b=−
6
c=−2
1 5
∴抛物线的解析式为y= x2− x﹣2；
6 6
（2）过点E作EP∥y轴交AD于点P，连接AE．
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
{−3m+n=2
)
把A，C的坐标代入得 1 ，
n=
2
1
{m=− )
2
解得 ，
1
n=
2
1 1
∴直线AD的解析式为y=− x+ ，
2 2
1 5
{y= x2− x−2)
6 6 {x=−3) { x=5 )
由 ，解得 或 ，
1 1 y=2 y=−2
y=− x+
2 2
∴D（5，﹣2），
1 5 1 1
设E（x， x2− x﹣2），其中﹣3＜x＜5，则P（x，− x+ ），
6 6 2 2
1 1 1 5
∴PE=− x+ −（ x2− x﹣2）
2 2 6 6
1 1 5
=− x2+ x+ ，
6 3 2
∴S△AED ＝S△AEP +S△DEP
1 1 1 5
= ×（5+3）×（− x2+ x+ ）
2 6 3 22 32
=− （x﹣1）2+ ，
3 3
2
∵− ＜0，
3
32 8
∴△ADE的面积有最大值，最大值为 ，此时E（1，− ）；
3 3
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(❑√2，0)，抛物线与y轴交于点C
3❑√2
（0，﹣2❑√2），对称轴为直线x=− ，连接AC，过点B作BE∥AC交抛物线于点E．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P是线段 AC 下方抛物线上的一个动点，过点 P作PF∥y轴交直线 BE于点 F，过点 F作
FD⊥AC交直线AC于点D，连接PD，求△FDP面积的最大值及此时点P的坐标；
❑√2 3
【答案】（1）y= x2+ x﹣2❑√2；
4 2
（2）m＝﹣2❑√2，点P（﹣2❑√2，﹣3❑√2）；
3❑√2
【解答】解：（1）∵点B的坐标为(❑√2，0)，抛物线的对称轴为直线− ，则点A（﹣4❑√2，
2
0），
设抛物线的表达式为：y＝a（x+4❑√2）（x−❑√2），
即y＝a（x2+3❑√2x﹣8）＝ax2+3❑√2ax﹣8a，即﹣8a＝﹣2❑√2，
❑√2
解得：a= ，
4
❑√2 3
故抛物线的表达式为：y= x2+ x﹣2❑√2；
4 2
（2）由点A、B、C的坐标知，AB2＝50，AC2＝40，BC2＝10，
则△ABC为直角三角形且∠ACB为直角，
∵FD⊥AC，∠ACB为直角，则DF∥BC，
1
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=− x﹣2❑√2①，
2
1 ❑√2
同理可得：直线BE的表达式为：y=− x+ ，直线BC的表达式为：y＝2（x−❑√2），
2 2
1 ❑√2 ❑√2 3
设点F（m，− m+ ），则点P（m， m2+ m﹣2❑√2），
2 2 4 2
∵DF∥BC，
1 ❑√2
则直线DF的表达式为：y＝2（x﹣m）− m+ ②，
2 2
1 1 ❑√2
联立①②得：− x﹣2❑√2=2（x﹣m）− m+ ，
2 2 2
解得：x＝m−❑√2−x ，
D
1
则△FDP面积= ⋅FP×（x ﹣x ）
2 F D
1 1 ❑√2 ❑√2 3
= ×（− m+ − m2− m+2❑√2）×（m﹣m+❑√2）
2 2 2 4 2
1 5
=− m2−❑√2m+ ，
4 2
1 9
∵− ＜0，故△FDP面积有最大值，最大值为 ，
4 2
此时，m＝﹣2❑√2，点P（﹣2❑√2，﹣3❑√2）；
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，
连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
{9a−3b+3=0) {a=−1)
∴ ，得 ，
a+b+3=0 b=−2
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
{−3k+m=0) {k=2)
，得 ，
−k+m=4 m=6
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
−p⋅(2p+6) 3 9
∴S△PAE =
2
=−（p +
2
）2+
4
，
∵﹣3＜p＜﹣1，
3 9
∴当p=−
2
时，S△PAE 取得最大值，此时S△PAE =
4
，
9
即△PAE面积S的最大值是 ；
4
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物
线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接 CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的
坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）当四边形OCPE的面积最大时，点P的坐标为（2，6），此时四边形OCPE的最大面积是16；
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，且OA＝3，OC＝4，
∴点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，4）．
将B（3，4），D（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，
{9a+3b+4=4) {a=−1)
得： ，解得： ，
a−b+4=0 b=3
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴点E的坐标为（4，0），
∴OE＝4．
过点P作PF⊥x轴于点F，如图1所示．
设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜4），
则S四边形OCPE ＝S梯形OCPF +S△APE
1 1
= （OC+PF）•OF + FE•PF
2 2
1 1
= （4﹣m2+3m+4）•m + （4﹣m）•（﹣m2+3m+4）
2 2
＝﹣2m2+8m+8
＝﹣2（m﹣2）2+16，
∵﹣2＜0，
∴m＝2时，S四边形OCPE 取得最大值，最大值＝16，此时点P的坐标为（2，6），
∴当四边形OCPE的面积最大时，点P的坐标为（2，6），此时四边形OCPE的最大面积是16．6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交
于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最
大值；
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
1
将B（0，3）代入可得a=− ，
3
1
∴y=− x2+2x+3；
3
（2）连接PO，由题意，BO＝3，AO＝3，
1
设P（n，− n2+2n+3），
3
∴S△ABP ＝S△BOP +S△AOP ﹣S△ABO ，
3
S△BPO =
2
n，
1 9
S△APO =−
2
n2+3n +
2
，
9
S△ABO =
2
，
1 9 1 9 81
∴S△ABP ＝S△BOP +S△AOP ﹣S△ABO =−
2
n2+
2
n =−
2
（n−
2
）2+
8
，
9 81
∴当n=
2
时，S△ABP 的最大值为
8
；
2
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点
3
C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 P是直线 BC 下方抛物线上的任意一点，连接 PB，PC，以 PB，PC 为邻边作平行四边形
CPBD，求四边形CPBD面积的最大值；2 4
【答案】（1）y= x2− x﹣2．
3 3
9
（2） ．
2
2
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y= x2+bx+c，
3
{2 −b+c=0) { b=− 4 )
得 3 ，解得 3 ，
6+3b+c=0 c=−2
2 4
∴该抛物线的函数表达式为y= x2− x﹣2.
3 3
（2）如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G．
2 4
∵抛物线y= x2− x﹣2与y轴交于点C，
3 3
∴C（0，﹣2）．
2
设直线BC的函数表达式为y＝kx﹣2，则3k﹣2＝0，解得k= ，
3
2
∴y= x﹣2．
32 4 2
设P（x， x2− x﹣2）（0＜x＜3），则G（x， x﹣2），
3 3 3
2 2 4 2
∴PG= x﹣2﹣（ x2− x﹣2）=− x2+2x，
3 3 3 3
1 1 1 3
∵S△PBC =
2
PG•OH +
2
PG•BH =
2
PG•OB =
2
PG，
∴S平行四边形CPBD ＝2S△PBC ＝3PG，
2 3 9
∴S平行四边形CPBD ＝3（−
3
x2+2x）＝﹣2x2+6x＝﹣2（x−
2
）2+
2
，
3 9
∴当x= 时，四边形CPBD的面积的值最大，最大值为 ．
2 2
类型三：特殊三角形的存在性问题
1 5
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x﹣1与抛物线y=− x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，
2 12
点B的横坐标为﹣6，点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A，B重合）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接PA，PB，在点P运动的过程中，是否存在某一位置，使得△PAB恰好是一个以点P为直角顶
点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：（1）在函数y= x﹣1中，
2
当y＝0时，x＝2，∴A（2，0），
当x＝﹣6时，y＝﹣4，∴B（﹣6，﹣4），
5
将A（2，0），B（﹣6，﹣4）代入y=− x2+bx+c中，
12
5
{ − ×22+2b+c=0 )
12
得 ，
5
− ×(−6) 2−6b+c=−4
12{ b=− 7 )
解得 6 ，
c=4
5 7
∴该抛物线得解析式为y=− x2− x+4…①；
12 6
（2）存在，理由：
设直线AB交y轴于点C，则点C（0，﹣1），
如图所示，作线段AB的垂直平分线交x轴于点F、交线段AB于点E，
由A、B点坐标得：则点E（﹣2，﹣2），则AE=❑√(−2−2) 2+(−2) 2=2❑√5，
AO AC 2 ❑√5
由 = ，即： = ，则AF＝5，
AE AF 2❑√5 AF
故点F（﹣3，0），
由点E（﹣2，﹣2）、F（﹣3，0）得直线EF的表达式为：y＝﹣2x﹣6…②，
联立①②并解得：x＝﹣4或6（舍去x＝6），
故点P 的坐标为（﹣4，2），
PE=❑√(−4+2) 2+(2+2) 2=2❑√5，
∵AB＝4❑√5，
∴PE＝BE＝AE，
∴△PAB是等腰直角三角形，符合题意．
2．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的
平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，
1
故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a= ，
4
1
故二次函数表达式为：y= x2；
4
1
（2）将y＝1代入y= x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），
4
则MN＝4，
∵△PMN是等边三角形，
∴点P在y轴上且PM＝4，
∴PF＝2❑√3；
∵点F（0，1），
∴点P的坐标为（0，1+2❑√3）或（0，1﹣2❑√3）；
3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，
试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
{9a+6+c=0) {a=−1)
∴ ，得 ，
c=3 c=3
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形，
理由：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，点B（3，0），点C（0，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
设点Q的坐标为（1，t），则AC2＝OC2+OA2＝32+12＝10，
AQ2＝22+t2＝4+t2，
CQ2＝12+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10，
当AC为斜边时，
10＝4+t2+t2﹣6t+10，
解得，t ＝1或t ＝2，
1 2
∴点Q的坐标为（1，1）或（1，2），
当AQ为斜边时，
4+t2＝10+t2﹣6t+10，
8
解得，t= ，
3
8
∴点Q的坐标为（1， ），
3
当CQ时斜边时，
t2﹣6t+10＝4+t2+10，
2
解得，t=− ，
3
2
∴点Q的坐标为（1，− ），
3
8 2
由上可得，当点Q的坐标是（1，1）、（1，2）、（1， ）或（1，− ）时，使得以A、C、Q为顶点
3 3
的三角形为直角三角形．
1
4．如图，抛物线y=− x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，
2
已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P
点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置
时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】见试题解答内容
1 { − 1 −m+n=0) { m= 3 )
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=− x2+mx+n得 2 ，解得 2 ，
2
n=2 n=2
1 3
∴抛物线解析式为y=− x2+ x+2；
2 2
（2）存在．
3
2 3
抛物线的对称轴为直线x=− = ，
1 2
2×(− )
2
3
则D（ ，0），
2
√ 3 5
∴CD=❑√OD2+OC2=❑( ) 2+22= ，
2 2
3
如图1，当CP＝CD时，则P （ ，4）；
1 2
3 5 3 5
当DP＝DC时，则P （ ， ），P （ ，− ），
2 2 2 3 2 2
3 3 5 3 5
综上所述，满足条件的P点坐标为（ ，4）或（ ， ）或（ ，− ）；
2 2 2 2 2
1 3
（3）当y＝0时，− x2+ x+2＝0，解得x ＝﹣1，x ＝4，则B（4，0），
2 2 1 2
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
{4k+b=0) { k=− 1 )
把B（4，0），C（0，2）代入得 ，解得 2 ，
b=2
b=2
1
∴直线BC的解析式为y=− x+2，
2
1 1 3
设E（x，− x+2）（0≤x≤4），则F（x，− x2+ x+2），
2 2 21 3 1 1
∴FE=− x2+ x+2﹣（− x+2）=− x2+2x，
2 2 2 2
1 1
∵S△BCF ＝S△BEF +S△CEF =
2
×4×EF＝2（−
2
x2+2x）＝﹣x2+4x，
1 3 5
而S△BCD =
2
×2×（4−
2
）=
2
，
∴S四边形CDBF ＝S△BCF +S△BCD
5
＝﹣x2+4x + （0≤x≤4），
2
13
＝﹣（x﹣2）2+
2
13
当x＝2时，S四边形CDBF 有最大值，最大值为
2
，此时E点坐标为（2，1）．
5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴
交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AC的解析式；
（3）试探究：在抛物线上是否存在一点P，使△APC是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出
符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
{a−2+c=0
)
∴ ，
9a+6+c=0
{a=−1)
解得： ，
c=3
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），C（0，3）代入，得：
{−k+b=0)
，
b=3
{k=3)
解得： ，
b=3
∴直线AC的解析式为y＝3x+3；
（3）在抛物线上存在点P，使△APC是以AC为直角边的直角三角形．
①当∠PAC＝90°，如图1，设直线PA交y轴于E，
∵∠PAC＝∠AOC＝∠AOE＝90°，∴∠EAO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠EAO＝∠ACO，
∴△EAO∽△ACO，
OE OA OE 1
∴ = ，即 = ，
OA OC 1 3
1
∴OE= ，
3
1
∴E（0，− ），
3
1
设直线AP 的解析式为y＝k x+b ，把A（﹣1，0），E（0，− ）代入，得：
1 1 1 3
{−k
1
+b
1
=0
)
1 ，
b =−
1 3
1
{k =− )
1 3
解得： ，
1
b =−
1 3
1 1
∴直线AP 的解析式为y=− x− ，
1 3 3
{ y=− 1 x− 1 )
联立方程组，得： 3 3 ，
y=−x2+2x+3
10
{ x = )
{x =−1 ) 2 3
1
解得： ， ，
y =0 13
1 y =−
2 9
10 13
∴P （ ，− ）；
1 3 9
②当∠P CA＝90°时，
2
∵∠P AC+∠P CA＝180°，
1 2
∴P C∥P A，
2 1
1
∴设直线P C的解析式为y=− x+d，把C（0，3）代入，得：d＝3，
2 3
1
∴直线P C的解析式为y=− x+3，
2 3
{ y=− 1 x+3 )
联立方程组，得： 3 ，
y=−x2+2x+37
{ x = )
{x =0 ) 2 3
1
解得： ， ，
y =3 20
1 y =
2 9
7 20
∴P （ ， ）；
2 3 9
10 13 7 20
综上所述，符合条件的点P的坐标为：P （ ，− ），P （ ， ）；
1 3 9 2 3 9
6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，
1
3），它的对称轴是直线x=− ．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；
（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面
积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：（1）∵对称轴是直线x=− ，点A（2，0）
2
∴B（﹣3，0）
∴设抛物线解析式y＝a（x﹣2）（x+3）且过C（0，3）
1
∴a=−
2
1 1 1
∴抛物线解析式y=− （x﹣2）（x+3）=− x2− x+3
2 2 2
（2）∵B（﹣3，0），C（0，3）
∴BC＝3❑√2
若BC＝BM＝3❑√2
∴M（﹣3﹣3❑√2，0）（不合题意舍去）或M（﹣3+3❑√2，0）
若BC＝CM＝3❑√2
∴M（3，0）
若BM＝CM
∴在Rt△CMA中，CM2＝（3﹣CM）2+CO2
∴CM＝3∴M（0，0）
∴M点坐标为（0，0），（﹣3+3❑√2，0）
（3）∵B（﹣3，0），C（0，3）
∴直线BC解析式y＝x+3
如图作PD⊥x轴交直线BC于D，
1 1
设P（a，− a2− a+3），则D（a，a+3）
2 2
1 1 1 3
∴PD=− a2− a+3﹣a﹣3= a2− a
2 2 2 2
1 1 3 3 9
∴S△PCB =
2
×（−
2
a2−
2
a）×3 =−
4
a2−
4
a
3
∵− ＜0
4
3 27
∴当x=−
2
时，S△PBC 最大值为
16
3 21
∴P（− ， ）
2 8
类型四：平行四边形的存在性问题
1．如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，直线y＝x﹣5经过B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M，当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与B，C重合），作直
线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐
标；5+❑√41 5−❑√41
【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）P点的横坐标为4或 或 ．
2 2
【解答】解：（1）对于y＝x﹣5①，
当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
{25a+30+c=0) {a=−1)
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得 ，解得 ，
c=−5 c=−5
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x ＝1，x ＝5，则A（1，0），
1 2
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
❑√2 ❑√2
∴AM= AB= ×4＝2❑√2，
2 2
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2❑√2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ＝45°，
∴PD=❑√2PQ=❑√2×2❑√2=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m ＝1（舍去），m ＝4，
1 2
当P点在直线BC下方时，
5+❑√41 5−❑√41
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m = ，m = ，
1 2 2 25+❑√41 5−❑√41
综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
2 2
2 10
2．如图，直线y=− x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+ x+c经过B、C两点．
3 3
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上
的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
2
当y＝0时，− x+4＝0，
3
x＝6，
∴C（6，0），
10
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2+ x+c中得：
3
{
c=4
)
10 ，
36a+ ×6+c=0
3
{ a=− 2 )
解得： 3 ，
c=4
2 10
∴抛物线的解析式为：y=− x2+ x+4；
3 3
（3）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，2 10 2
设E（m，− m2+ m+4），则G（m，− m+4），
3 3 3
2 10 2 2
∴EG＝（− m2+ m+4）﹣（− m+4）=− m2+4m，
3 3 3 3
1 1 2
∴S△BEC =
2
EG•OC =
2
×6（−
3
m2+ 4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
2 10 2 25 25 2 5 49
（3）y=− x2+ x+4=− （x2﹣5x+ − ）+4=− （x− ）2+ ；
3 3 3 4 4 3 2 6
5
对称轴是：x= ，
2
∴A（﹣1，0）
∵点Q是抛物线对称轴上的动点，
5
∴Q的横坐标为 ，
2
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；
①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，
2
∵点M在直线y=− x+4上，
3
∴点M的坐标是（3，2），5
又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为 ，
2
3
根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为− ，
2
3 5
∴P（− ，− ）；
2 2
②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，
由（2），可得点M的横坐标是3，
5
∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为 ，
2
13
∴P的横坐标为 ，
2
13 5
∴P（ ，− ）；
2 2
③以AM为对角线时，如图4，
∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，
1 13
∴点P的坐标是（− ， ），
2 6综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
3 5 13 5 1 13
点P的坐标是（− ，− ）或（ ，− ）或（− ， ）．
2 2 2 2 2 6
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
（0，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，则△ACD的面积为 6 ；
（3）点P是坐标平面内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直
接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）c＝8，则y＝﹣x2+bx+8，
将点B的坐标代入上式并解得：b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）如图，过点D作DH∥y轴交AC于点H，
由点A、C坐标可得，直线AC的表达式为：y＝2x+8，
抛物线与x轴交于A，则点A（﹣4，0），点的D（﹣1，9），则点H（﹣1，6），则DH＝3，
1 1
△ACD的面积= ×DH×OA= ×3×4＝6，
2 2
故答案为6；
（3）点A、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，8），设点P（m，n），而点B（2，0）；
①当AC是边时，
点A向右平移4个单位向上平移8个单位得到C，同样点P（B）向右平移4个单位向上平移8个单位得
到点B（P），故2±4＝m，0±8＝n，解得：m＝6或﹣2，n＝8或﹣8，
故点P（6，8）或（﹣2，﹣8）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：m+2＝﹣4，n＝8，
解得：m＝﹣6，n＝8，故点P（﹣6，8）；
综上，点P（6，8）或（﹣2，﹣8）或（﹣6，8）．
4．如图，在直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝8，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）
的图象经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点
P的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为AC直线上一动点，F为对称轴上一动点，当A，P，E，F四个点为顶点的
四边形为平行四边形时，求E点的坐标．
1
【答案】（1）y= x2﹣3x﹣8；
2
（2）PD最大值为4❑√2，此时点P（4，﹣12）；
（3）点E的坐标为：（9，1）或（﹣1，﹣9）或（7，﹣1）．
【解答】解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
而抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
1
解得：a= ，
2
1
故抛物线的表达式为：y= x2﹣3x﹣8；
2
（2）∵直线CA过点C，∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
1
设点P（m， m2﹣3m﹣8），则点H（m，m﹣8），
2
❑√2 1 ❑√2
∴PD＝HPsin∠PHD= （m﹣8− m2+3m+8）=− （m﹣4）2+4❑√2≤4❑√2，
2 2 4
∴当m＝4时，其最大值为4❑√2，此时点P（4，﹣12）；
（3）设点E（t，t﹣8），点F（3，n），
当AP是对角线时，由中点坐标公式得：4+8＝t+3，
解得：t＝9，
则点E（9，1）；
当AE或AF是对角线时，由中点坐标公式得：t+8＝4+3或8+3＝t+4，
解得：t＝﹣1或7，
则点E（﹣1，﹣9）或（7，﹣1）；
综上，点E的坐标为：（9，1）或（﹣1，﹣9）或（7，﹣1）．
5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其
顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物
线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
{−1−b+c=0
)
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），可得： ，
−4+2b+c=3
{b=2)
解得： ，
c=3
故抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
{−k+n=0)
设直线AC解析式为y＝kx+n，将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入得： ，
2k+n=3
{k=1)
解得： ，
n=1
故直线AC为y＝x+1．
（2）作N点关于直线x＝3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
1 21
可求出直线DN′的函数关系式为y=− x+ ，
5 5
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
1 21 18
则m=− ×3+ = ．
5 5 5
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
点E在直线AC上，设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3
解得，x＝0或x＝1（舍去），
则点E的坐标为：（0，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵点F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，1−❑√17 1+❑√17
解得x= 或x= ，
2 2
1−❑√17 3−❑√17 1+❑√17 3+❑√17
即点E的坐标为：（ ， ）或（ ， ）
2 2 2 2
1−❑√17 3−❑√17 1+❑√17 3+❑√17
综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛
物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
9
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是 时，求△ABD的面积；
2
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，
D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
{4a−2b−6=0)
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得： ，
16a+4b−6=0
3
{ a= )
4
解得： ，
3
b=−
2
3 3
∴抛物线的解析式为：y= x2− x﹣6；
4 2
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
设BC的解析式为：y＝kx+n，
{ n=−6 ) { k= 3 )
则 ，解得： 2 ，
4k+n=0
n=−6
3
∴BC的解析式为：y= x﹣6，
2
3 3 3
设D（x， x2− x﹣6），则H（x， x﹣6），
4 2 2
3 3 3 3
∴DH= x﹣6﹣（ x2− x﹣6）=− x2+3x，
2 4 2 4
9
∵△BCD的面积是 ，
2
1 9
∴ DH⋅OB= ，
2 2
1 3 9
∴ ×4×(− x2+3x)= ，
2 4 2
解得：x＝1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
15
∴D（3，− ），
4
1 1 15 45
∴△ABD的面积= AB⋅DG= ×6× = ；
2 2 4 4
（3）分两种情况：
①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，15
∵B（4，0），D（3，− ），且M在x轴上，
4
15
∴N的纵坐标为 ，
4
15 3 3 15
当y= 时，即 x2− x﹣6= ，
4 4 2 4
解得：x＝1+❑√14或1−❑√14，
15 15
∴N（1−❑√14， ）或（1+❑√14， ）；
4 4
②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，
15
∴N（﹣1，− ）；
4
15 15 15
综上，点N的坐标为：（1−❑√14， ）或（1+❑√14， ）或（﹣1，− ）．
4 4 4
类型五：角度问题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于B，
令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3）
由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），
{ c=3 )
∴ ，
−1+b+c=0
{b=−2)
解得， ，
c=3
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），
∵B（0，3），C（1，0），
∴OA＝OB＝3，OC＝1，AB＝3❑√2，
∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，
∴△PAO∽△CAB，
AP AO
∴ = ，
AC AB
AP 3
∴ = ，
4 3❑√2
∴AP＝2❑√2．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，且
AB＝4，OB＝OC．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线x＝2上是否存在点M，使∠BMA＝2∠MAB？若存在，求M点坐标；【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，
∴对称轴为x＝1，
∵AB＝4，OB＝OC，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），
∴﹣3＝﹣3a，a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2））存在，
如图2，作对称轴x＝1，交直线AM于点H，
设直线AM的解析式为：y＝kx+k，
则H（1，2k），M（2，3k），
∵AH＝BH，
∴∠MAB＝∠HBA，
∴∠BHM＝2∠MAB，
∵∠BMA＝2∠MAB，
∴∠BHM＝∠BMA，
∴BM＝BH，
❑√15
∴12+（3k）2＝22+（2k）2，解得k=± ，
5
3❑√15 3❑√15
∴M（2， ）或（2，− ）．
5 51 1
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=− x2+bx+c经
2 2
过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
S
1
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S ，△BCE的面积为S ，求 的最大
1 2 S
2
值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC
的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），
1
∵抛物线y=− x2+bx+c经过A．C两点，
2
{ 0=− 1 ×16−4b+c)
∴ 2 ，
2=c
3
∴b=− ，c＝2，
2
1 3
∴y=− x2− x+2；
2 2（2）①如图1，令y＝0，
1 3
∴− x2− x+2＝0，
2 2
∴x ＝﹣4，x ＝1，
1 2
∴B（1，0），
过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴S ：S ＝DE：BE＝DM：BN，
1 2
1 3
设D（a，− a2− a+2），
2 2
1
∴M（a， a+2），
2
∵B（1.0），
5
∴N（1， ），
2
1 5 1 4
∴S ：S ＝DM：BN＝（− a2﹣2a）： =− （a+2）2+ ；
1 2 2 2 5 5
4
∴当a＝﹣2时，S ：S 的最大值是 ；
1 2 5
②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC＝2❑√5，BC=❑√5，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
取AB的中点P，
3
∴P（− ，0），
2
5
∴PA＝PC＝PB= ，
2∴∠CPO＝2∠BAC，
4
∴tan∠CPO＝tan（2∠BAC）= ，
3
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图2，
∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG＝∠BAC，
1
∴tan∠CDG＝tan∠BAC= ，
2
1
即RC：DR= ，
2
1 3
令D（a，− a2− a+2），
2 2
1 3
∴DR＝﹣a，RC=− a2− a，
2 2
1 3
∴（− a2− a）：（﹣a）＝1：2，
2 2
∴a ＝0（舍去），a ＝﹣2，
1 2
∴x ＝﹣2，
D
情况二：∴∠FDC＝2∠BAC，
4
∴tan∠FDC= ，
3
设FC＝4k，
∴DF＝3k，DC＝5k，
∵tan∠DGC＝3k：FG＝1：2，
∴FG＝6k，
∴CG＝2k，DG＝3❑√5k
2❑√5 4❑√5
∴RC= k，RG= k，
5 511❑√5
DR＝DG﹣RG= k，
5
11❑√5 2❑√5 1 3
∴DR：RC＝（ k）：（ k）＝（﹣a）：（− a2− a），
5 5 2 2
29
∴a ＝0（舍去），a =− ，
1 2 11
29
综上所述：点D的横坐标为﹣2或− ．
11
30．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另
一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，
0）、（0，3），
{−9+3b+c=0) {b=2)
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，
c=3 c=3
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，
3
当y＝0时，x= ，
7
3
故点E（ ，0），
7
则EC+ED的最小值为DC′=❑√1+(4+3) 2=5❑√2；
（3）①当点P在x轴上方时，如图2中，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，
过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，
则PB＝PA=❑√2m，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
16＝m2+（❑√2m﹣m）2，解得：m2＝8+4❑√2，
则PB2＝2m2＝16+8❑√2
则y =❑√PB2−22=2+2❑√2；
P
②当点P在x轴下方时，则y ＝﹣（2+2❑√2）；
P
故点P的坐标为（1，2+2❑√2）或（1，﹣2﹣2❑√2）．
