文档内容
难点冲刺 03 二次函数的六个存在性问题
技巧一、固定面积的存在性问题
割补法（铅锤线法)：过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到
几何图形的面积 ，可得最大面积.
技巧二、平行四边形的存在性问题
（1）3定1动：我们把3个定点顺次连接围成三角形,然后过每个定点做对边的平行线,三条直线的交点就
是我们要求的三点.
（2）2动2定：一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况，然后用中点坐标和平行四边形对
角线互相平分即可计算中点坐标公式：已知 ,则线段 的中点坐标为
平行四边形的4个顶点的坐标为 ,
根据“平行四边形对角线互相平分”可知：对角线 的中点 与对角线 的中点
相同,可得
技巧三、等腰三角形的存在性问题
如果 为等腰三角形,一般来说分三种情况讨论：（1） ;（2） ;（3） .
因此,在解决等腰三角形存在性问题时,通常需要进行分类讨论,这类问题通常有两种方法：几何法与代数法.
（1）几何法：
①两定一动点：可采用“两圆一中垂”的方法快速找出点，再根据几何的相关知识求解;
②一定两动点：把三种情况对应的图全部都画出来,再根据几何的相关知识求解;
注：常见的几何相关知识有：全等三角形,相似三角形,锐角三角形函数,勾股定理,特殊角,三线合一等.
（2）代数法：
两点坐标距离公式：已知 ,
步骤如下：①先用坐标表示；②再利用两点距离公式表示出 ；
③分三类讨论：1. ，2. ，3. ;
④检验和总结：舍去重合等不满足题意的点，并总结
技巧四、直角三角形的存在性问题
如果 为直角三角形，一般来说分三种情况讨论：(1) ;(2) ;(3) 。因此，
在解决等腰三角形存在性问题时，通常需要进行分类讨论，常见由两种方法处理：
（1）代数法：
步骤如下：①先用坐标表示 三个点；②再利用两点距离公式表示出 ;
③分三类讨论：1. ；2. ;3. ;
④检验和总结：舍去重合等不满足题意的点，并总结
（2）解析法：
已知直线 和直线 ，若 ,则直线 。
题型一 固定面积的存在性问题
【例1】如图，顶点 在 轴负半轴上的抛物线与直线 相交于点 ， ，连接
.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若将抛物线向下平移 个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线 的下方，是否存在点 ，使
得 ？若存在，求出点 的坐标：若不存在，请说明理由.
【例2】在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线 经过点 ，对称轴为直线
．
(1)求 的值；
(2)已知点 在抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．过点 作 轴的垂线交直线 于点
，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．
（ⅰ）当 时，求 与 的面积之和；（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形的面积为 ？若存在，请求
出点 的横坐标 的值；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解
答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为 ．
已知二次函数 的图象经过点 ， ， ．求该二次函数的解析
式．
(1)请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
(2)当函数值 时，自变量 的取值范围： ；
(3)如图1，将函数 的图象向右平移 个单位长度，与
的图象组成一个新的函数图象，记为 ．若点 在 上，求 的值；
(4)如图2，在（3）的条件下，点 的坐标为 ，在 上是否存在点 ，使得 若存在，求出所
有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】如图是二次函数 的图象，其顶点坐标为 ，抛物线与x轴的交点为A、
B（点A在点B的左边）(1)写出抛物线的解析式、开口方向、对称轴；
(2)求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
(3)在二次函数的图象上是否存在点P，使 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
【变式1-3】如图，抛物线 经过 ， 两点，并且与 轴交于点 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出直线 的解析式为___________；
(3)若点 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，设 的长为
，求 与 之间的函数关系式及 的最大值；
(4)在 轴的负半轴上是否存在点 ，使以 ， ， 三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接
写出点 的坐标；如果不存在，说明理由．
题型二 平行四边形的存在性问题
【例3】如图，抛物线 与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)若点P是抛物线 段上的一点，当 的面积最大时求出点P的坐标，并求出 面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作 交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】如图，抛物线 的顶点为 ，与x轴的交点为A和B．将抛物线
绕点B逆时针方向旋转90°，点 ， 为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D
两点．
(1)若原抛物线过点 ，求抛物线 的解析式；
(2)若A， 关于点M成中心对称，求直线 的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段
的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，
若不存在，请说明理由．【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 、 两点，与
y轴交于点C，点C、点D关于抛物线C的对称轴对称．
(1)求抛物线 的函数表达式及点D的坐标；
(2)将抛物线 沿水平方向向右平移1个单位得到抛物线 ， 与y轴交于点E，点D平移后的对应点为
F，P为抛物线 的对称轴上的动点．请问在抛物线 上是否存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的
四边形是平行四边形，若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】如图1，已知抛物线 经过点 ， 两点，且与y轴交于点C．
(1)填空： ______， ______；求得直线 的解析式为______．
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点M，使得 的面积最大？求出点M的坐标及 的面积
最大值，若不存在，请说明理由．
(3)点P是线段 上的一点，过P作x轴的平行线交抛物线于Q，是否存在这样的点P，使O，A，P，Q四点能组成一个平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，点 为抛物线的顶点，点 在
轴上，直线 与抛物线在第一象限交于点 ，如图①
(1)求抛物线解析式
(2)直线 的函数解析式为________________．点 的坐标为________．
(3)在 轴上找一点 ，使得 的周长最小，具体作法如图②，作点 关于 轴的对称点 ，连接
交 轴于点 ，连接 ， ，此时 的周长最小，请求出点 的坐标；
(4)在坐标平面内是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三 菱形的存在性问题
【例5】综合与探究：如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），
与y轴交于点C，直线 与抛物线的对称轴交于点E．将直线 沿射线 方向向下平移n个单位，平移
后的直线与直线 交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线 的解析式；
(2)当 是以 为斜边的直角三角形时，求出n的值；
(3)直线 上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【例6】在平面直角坐标系中，已知抛物线 过点 ，对称轴是直线 ．
(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当 是等边三角形时，求出此三角形
的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为 ，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四
边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （ 为常数）与一次函数 （ 为
常数）交于 ， 两点，其中 点坐标为 ．
(1)求 点坐标；
(2)点 为直线 上方抛物线上一点，连接 、 ，当 时，求点 的坐标；
(3)将抛物线 （ 为常数）沿射线 平移 个单位，平移后的抛物线 与原拋物线
相交于点 ，点 为抛物线 的顶点，点 为 轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在
点 ，使得以点 、 、 、 为顶点且 为对角线的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】已知，抛物线L： 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线L的表达式．
(2)若点P是直线 上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线 ，点B的对应点为Q，是否存在以四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】如图，已知二次函数 图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛
物线的顶点，连接 ．
(1)求 ；
(2)如图1，点P在直线 下方抛物线上的一个动点，过点P作 交于点Q，过点P作 轴交
于点E，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，点M在新抛物线
对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以 为边的菱形，请直接写出
所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．
题型四 等腰三角形的存在性问题
【例7】如图，抛物线 交 轴于点 、 (点 在点 的左侧)，与 轴交于点 ，点 、 的
坐标分别为 ， ，对称轴 交 轴于 ，点 为抛物线顶点．(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是直线 下方的抛物线上一点，且 ．求 的坐标；
(3) 为抛物线对称轴上一点，是否存在以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
【例8】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P： 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于
点C，且图象与抛物线Q： 的图象关于原点中心对称．
(1)求抛物线P的表达式；
(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作 轴，交抛物线P的图象于点E，求线段DE
长度的最大值；
(3)如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件
的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】如图，抛物线 与x轴交于B，C两点（点B在点C的右侧），其顶点为点
，且抛物线经过点 ．连接 交y轴于D
(1)求a，h，k的值．
(2)证明： 是直角三角形．
(3)在对称轴上是否存在点M，使得 是等腰三角形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式4-2】如图，抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为 ，点C
坐标为 ，对称轴为 ．点M为线段 上的一个动点（不与两端点重合），过点M作 轴，
交抛物线于点P，交 于点Q．
(1)求抛物线及直线 的表达式；
(2)过点P作 ，垂足为点N．求线段 的最大值；
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】综合与探究：如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，连接 ，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接 ，交直线 于点
Q．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 的函数表达式；
(2)在点P运动的过程中，若 ，求点P的坐标；
(3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 直角三角形的存在性问题
【例9】如图1，已知抛物线 与 轴交于A， 两点（点A在点B的左侧），与 轴交
于点C，且 ，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线 上方抛物线上的点，过点P作 ， ，与 分别交于点Q和E，如图2，求 的最大值；
(3)连接 与 ，是否存在以 为直角边的 ．如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，
请说明理由．
【例10】如图1所示，已知直线 与抛物线 分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别
是点 和点 ，且抛物线的对称轴为直线 ．
(1)请分别求出k，m，a，b的值；
(2)如图2，点Q是线段 上一点，且 ，点M是y轴上一个动点，求线段 的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说
明理由．
【变式5-1】如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，与y轴交于点C，点D与点
C关于x轴对称，点 是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线 交抛物线于点Q，交直线 于
点M，交直线 于点E．(1)求抛物线的解析式；
(2)若 平分 时，试求Q点的坐标；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的
坐标：若不存在，请说明理由．
【变式5-2】已知直线l与 轴、 轴分别相交于 、 两点，抛物线 经
过点 ，交 轴正半轴于点 ．
(1)求直线 的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点 ，连接 、 ，求 面积的最大值及点 的坐标．
(3)抛物线上是否存在点 使 为直角三角形，如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说
明理由．
【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点．与y轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的平行线
交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求
出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
题型六 等腰直角三角形的存在性问题
【例11】如图①，已知抛物线 的图象经过点 ， ．过点 作 轴交抛物线
于点 ， 的平分线交线段 于点 ，连结 ．
(1)求抛物线的关系式并写出点 的坐标；
(2)若动点 在 轴下方的抛物线上，连结 、 ，当 面积最大时，求出此时 点横坐标；
(3)若将抛物线向上平移 个单位，且其顶点始终落在 的内部或边上，写出 的取值范围；(4)如图②， 是抛物线的对称轴上 的一点，在抛物线上是否存在点 ，使 成为以点 为直角顶点
的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【例12】如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴；
(2)过点C作x轴的平行线l，点E在直线l上运动，在点E运动的过程中，试判断在对称轴右侧的抛物线上
是否存在点P，使得 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式6-1】在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对
称，其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点 ， 关于x轴斜对称，在平面直角坐标
系 中，点A的坐标为 ．
(1)下列各点中，与点A关于x轴斜对称的点是________（只填序号）；
① ，② ，③ ，④ ．(2)若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线 上， 的面积为3，求k的值；
(3)抛物线 上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且 为等腰
直角三角形，则b的值为________．
【变式6-2】如图，二次函数 与x轴交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求函数表达式及顶点坐标；
(2)连接 ，点P为线段 上方抛物线上一点，过点P作 轴于点Q，交 于点H，当
时，求点P的坐标；
(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得 是以 为斜边的等腰直角三角形，若
存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 、 两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；(2)点E为B点左侧x轴上一动点（不与原点O重合），点Q为抛物线上一动点，是否存在以 为斜边的
等腰直角 ？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为线段 上方抛物线上的一点，过点P作 轴交直线 于点E，过点P作 交直线
于点F，求 周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线 沿射线 方向平移，得到新抛物线 ，新抛物线和
原抛物线交于点B，点M是x轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，是否存在以点P、M、Q为顶点
的三角形是以 为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标．
2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）已知抛物线L： 经过点 和 ，与x
轴的交点为A、B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L的函数表达式：
(2)将抛物线L平移，得到抛物线 ，且点A经过平移后得到的对应点为 ．要使 是以 为斜边的
等腰直角三角形，求满足条件的抛物线 的函数表达式．3．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于
点 ，与 轴交于点 ， （点 在点 的左边）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，连接 ， ， ．试判定 的形状，并说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，
请说明理由；
4．（2022秋·山东泰安·九年级校考期中）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴
交于C点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)证明 为直角三角形；
(3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使 是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．5．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，抛物线 经过点 与点 ．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出抛物线与x轴的交点B的坐标；
(2)点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，直线PQ交x轴于点M，连接CQ，OP，如
果 ，求PM的长；
(3)探究抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点E，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请
求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2022秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 ，经过 ，
两点的抛物线 与 轴的另一个交点为A，顶点为 ，点 为抛物线的对称轴上的一个动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出所有
符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023春·湖南衡阳·九年级校考期中）如图所示，已知抛物线C： 的对称轴为 ，
且经过点 ， ，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线C的解析式；
(2)如图所示，若点M是直线 上方抛物线C上的一动点，连接 ，设所得 的面积为S，请
结合图象求S的取值范围；
(3)在（2）的条件下，将抛物线C向右平移4个单位长度得到新抛物线 ，点N是x轴上方抛物线 上一
点，当 的面积S最大时，在x轴是否存在一点P，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与x轴交于
A、B两点（A点在B点的左侧），直线 与抛物线交于A、C两点．
(1)求点C的坐标；
(2)点P为直线 下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交 于E点，当 最长时求此时点P的坐标；(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求
出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．
9．（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与
轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，连接 ， ．
(1)填空： ， ， ；
(2)如图2，点 是线段 上方抛物线上的一个动点．过点 作 交线段 于点 ，设点 的横坐
标为 ，记 ．
①求 关于 的函数关系式；
②当 取 和 时，试比较 的对应函数值 和 的大小．
(3)如图3，直线 ： 经过点 ，点 是直线 上的动点，点 是 轴上的动点，点 是抛物线对称
轴上的动点，当以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形时，直接写出所有满足条件的点 的横坐标．
10．（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点 （不与点 重合），使 的面积与 的面积相等，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）二次函数 的图象，与 轴交于原点和点 ，
顶点 的坐标为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过 ， 两点可画无数条抛物线，设顶点为 ，过
点 向 轴、 轴作垂线，垂足为点 ， ．求当所得的四边形 为正方形时的二次函数表达式；(3) 点在（1）中求出的二次函数图象上，且 点的坐标为 ，是否存在 的面积为2，若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
12．（2023秋·湖南永州·九年级校考期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，
与 轴交于点 ，连接 ，点 为线段 上一个动点（不与点 ， 重合），过点 作 轴交抛
物线于点 ．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)当抛物线上的点 在 上方运动时，求 面积的最大值．
(3)已知点 是抛物线对称轴上的一个点，点 是平面直角坐标系内一点，当线段 取得最大值时，是否
存在这样的点 ， ，使得四边形 是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
13．（2023秋·广东惠州·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线
经过点 ，对称轴为直线 ，
(1)求 的值；
(2)已知点 在抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，过点 作 轴的垂线交直线 于
点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．
（i）当 时，求 与 的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形的面积为 ？若存在，请
求出点 的横坐标 的值；若不存在，请说明理由．
