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难点冲刺 02 二次函数的六个最值问题
技巧一、二次函数在区间上的最值问题
1、定轴定区间
对于二次函数 在 上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在 时，取到最小值，无最大值．
（2）若 ，如图②，当 ， ；当 ， ．
（3）若 ，如图③，当， ；当 ， ．
（4）若 ， ，如图④，当 ， ；当 ， ．
b b b b
x=- x=- x=- x=-
2a 2a 2a 2a
① ② ③ ④
2、轴或动区间对于二次函数 ，在 （m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论
m，n与 的大小．
技巧二、线段最值的解题思路
一般将所求线段在抛物线上的点的坐标设出来，另一个端点的坐标也设出来，若横坐标相同，用两个点的
纵坐标相减即可得出一个二次函数解析式的形式，求出这个函数的最值即可;若是纵坐标相同，采用同样的
方法，也可求出。
技巧三、线段和或周长最值解题方法
将军饮马原理:两点间线段最短:点到直线的垂直距离最短.
策略:对称（翻折)→化同为异:化异为同:化折为直.
P
B
A A A P
l l l
P B P B
B
P
两村一路（异侧）和最小 两村一路（同侧）和最小 两路一村和最小
P M A
P B
A P Q
Q l
N
O
B
Q A A
两村两路和最小 两村一路和最小
技巧四、割补法（铅锤线法)
过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到几何图形的面积
，可得最大面积.题型一 定轴定区间求最值
【例1】二次函数 ，当 时，y的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当 和 对应的y值，
确定端点值，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴当 时，y有最小值 ，
当 时， ；
当 时， ；
∴当 时，y的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当 和
对应的y值是解此题的关键．
【例2】已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则a的值为 ．
【答案】4或
【分析】由题意可知 的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，分两种情况讨论：当 时， ，解得 ；当 时，在 ， ，解得 ，即可求解答案．
【详解】解： 的对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ，
当 时，在 ，函数有最小值 ，
∵ 的最小值为 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，在 ，当 时，函数有最小值，
∴ ，
解得 ；
综上所述： 的值为4或 ．
故答案为：4或 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的
性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
【变式1-1】已知二次函数 （其中x是自变量），当 时，y随x的增大而增大，
且 时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D． 或
【答案】B
【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当 时，y随x的增
大而增大，即可得到a的正负情况，最后根据当 时，y的最大值为9和二次函数的性质，可以求
得a的值．
【详解】解：∵二次函数 （其中x是自变量），
∴该函数的对称轴为直线 ，
∵当 时，y随x的增大而增大，
，又∵当 时，y的最大值为9，
时， ，
即 ，
解得， （舍去）， ，
由上可得，a的值是1，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
【变式1-2】已知二次函数 ．
（1）当 时，二次函数 的最小值为 ．
（2）当 时，二次函数 的最小值为 ，则m的值为 ．
【答案】 或
【分析】（1）把 代入 可得， ，即可求解；
（2）根据 ，分两种情况：当 时， ，y取最小值，当 时，
抛物线开口向下，离对称轴 越远，函数值越小，结合二次函数图象与性质进行求解即可．
【详解】解：（1）当 时， ，
∵ ，
∴最小值为 ，
故答案为： ；
（2）
，∵当 时，二次函数 的最小值为 ，
当 时， ，y取最小值，
即 ，
解得 ，
当 时，抛物线开口向下，
∴离对称轴 越远，函数值越小，
∴ ，y取最小值，
即 ，
解得 ，
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图
象与性质是解题的关键．
【变式1-3】在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，且点 在点 的
左侧．
（1）点 的坐标为 ；
（2）当 时，抛物线 的最小值为 ，则 的值为 .
【答案】 1或
【分析】（1）令 ，且结合 ，以及点 在点 的左侧即可作答；
（2）分 和 两种情况进行谈论，得出最小值且结合题意，解方程即可列式作答求解．
【详解】解：（1）由题意得：令 ，
则 ，
解得： ， ，∵点 在点 的左侧，
∴点 的坐标为 ；
（2）由（1）知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当 时，抛物线开口向上，当 时，最小值为 ，
∵当 时，抛物线 的最小值为 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，抛物线开口向下，当 有最大值，
∵ ， ，且 ；
∴当 时，离对称轴较远，
故在 时，抛物线 取得最小值，
即 ，
解得 ；
所以 的值为1或 ．
故答案为： ；1或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的对称轴和最值问题，二次函数的图象性质，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．
题型二 动轴定区间求最值
【例3】已知二次函数 ，当自变量 的取值在 的范围中时，函数有最小值 ，则
的最大值是 .
【答案】【分析】根据二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，分 、 及 三种情况考虑，
利用二次函数的性质结合 的取值范围即可找出 的取值范围，取其最大值即可得出结论．
【详解】解：二次函数 图象的对称轴为直线 ．
当 时， 时 取最小值，此时 ；
当 时， 时 取最小值，此时 ；
当 时， 时 取最小值，此时 ．
综上所述： 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，分 、 及 三种情况考虑是解
题的关键．
【例4】已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则
的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】C
【分析】由二次函数解析式求出对称轴，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的 的取值范围，将
转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴为直线： ，
①当 时，抛物线开口向上，
∵ 时，y随x的增大而减小，
∴ ，即 ．
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
②当 时，抛物线开口向下，∵ 时，y随x的增大而减小，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
当 时， 有最大值 ，
∵ ，
∴此情况不存在．
综上所述， 最大值为8．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将 的最大值转化为二次函数求最值．
【变式2-1】已知关于 的二次函数 ，其中 为实数.
（1）当 取任意实数时，该二次函数有最小值为 ；
（2）当 时，该二次函数有最小值10，则 的值为 .
【答案】 1 或5
【分析】（1）运用配方法，将解析式化为顶点式，可知二次函数极值与参数m无关；
（2）根据（1）可知，要使最小值为10，则 或 ，分情况讨论：在两种情况下，根据增减性，分
别确定自变量取值范围内最小值情况，建立方程求解．
【详解】（1）∵ ，又抛物线开口向上，
∴ 取任意实数时，函数有最小值1.
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线 ，
当 时，最小值为1；
当 ， 时， 为最小值，解得 （舍去）或 .
当 ， 时， 为最小值，解得 或 （舍去）.
综上所述， 的值为 或5.【点睛】本题考查一元二次方程、配方法，二次函数的性质，注意根据增减性确定自变量取值范围内的函
数极值是解题的关键．
【变式2-2】在平面直角坐标系中，抛物线 ．
(1)若抛物线经过 ， 两点时，求抛物线的解析式；
(2)若点 ， 在抛物线上，且 ，请直接写出结果m的取值范围；
(3)当 时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)当 ， m的取值范围为
(3)m的值为m=-2或
【分析】（1）当抛物线经过 时， ，解得： ，当抛物线经过
时， ，解得 ，取其公共解即可
（2）∵a=1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当点 ， 都在
对称轴左侧抛物线上，列不等式； ，当点D在对称轴的右侧，点
C在对称轴左侧，点C离对称轴远，点D离对称轴近，列不等式5+m＜-m-2，解不等式即可；
（3）当 时，函数y的最小值等于6，分三种情况，抛物线对称轴 ，抛物线
，得出 ；当对称轴-m＜1即m＞-1，在对称轴右侧y随x的增大而增大，x=1
是取最小值，即 ；当对称轴-m＞3即m＜-3，在对称轴左侧y随x的增大而减小，x=3时，
取最小值，即 ，解方程即可．
【详解】（1）解：当抛物线经过 时， ，解得： ，
当抛物线经过 时， ，
解得 ，
∵抛物线经过 ， 两点，
∴m=1，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵a=1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当点 ， 都在对称轴左侧抛物线上，
，
解得 ，
当点D在对称轴的右侧，点C在对称轴左侧，点C离对称轴远，点D离对称轴近，抛物线得对称轴为x=-
m;
∴5+m＜-m-2，
解得 ，
∴当 ， m的取值范围为 ；
（3）解：当 时，函数y的最小值等于6，
抛物线对称轴 ，抛物线 ，
∴ ，
解得m=3（舍去）或m=-2，
当对称轴-m＜1即m＞-1，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴x=1是取最小值，即 ，
∴解得 （舍去）或 ，
当对称轴-m＞3即m＜-3，在对称轴左侧y随x的增大而减小，∴x=3时，取最小值，即 ，
解得 ，都舍去，
综合得m的值为m=-2或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，增减性，最值，掌握待定系数法求抛物线
解析式，抛物线的性质，增减性，最值是解题关键．
【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过点 ， ．
(1)若 ，求该抛物线的解析式；
(2)若 ， 是（1）中抛物线上的两点，且 ，求线段 中点M的坐标；
(3)当 时，y有最小值3，求t的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）先得出 ，再把 ， 代入 求出b和c的值，即可求出该抛
物线的解析式；
（2）把 ， 代入 得出关于 和 的表达式，再根据 ，列出
方程求出m的值，得出点 和 的坐标， 根据中点坐标公式，即可求出M的坐标；（3）把 代入 得出 ，根据点A和点B的坐标得出抛物线对称轴为直线 ，
再得出抛物线对称轴为直线 ，推出 ， ，得出抛物线表达式为 ，再根
据二次函数的增减性，进行分类讨论：①当 时， ②当 时，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
把 ， 代入 得：
，解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）解：把 ， 代入 得：
，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，
当 时， ， ，
∴ ；
当 时， ， ，
∴ ．综上： 或 ．
（3）解：把 代入 得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线 对称轴为直线 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
抛物线表达式为 ，
∵ ，
当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
①当 时，解得： ，
∵ ，
∴当 时，y取最小值，
∴ ，
解得：
②当 时，解得： ，
∵ ，
∴当 时，y取最小值，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，∴该方程无解．
综上： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和
步骤，二次函数的增减性，以及二次函数的对称轴为直线 ．
题型三 定轴动区间求最值
【例5】当 时，二次函数 的最小值为8，则 的值为（ ）
A． 或5 B．5或8 C． 或8 D．0或5
【答案】C
【分析】分类讨论对称轴的位置即可求解．
【详解】解：二次函数 的对称轴为直线
时，当 时，二次函数有最小值
即：
解得： （舍去）
时，当 时，二次函数有最小值
即：
解得： （舍去）
故： 的值为 或8
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的最值问题．根据对称轴的位置确定二次函数的最值是解题关键．
【例6】二次函数 ，当 ，有最小值1，则m的值为 ．
【答案】4或7
【分析】根据二次函数的解析式及 时 的值，画出草图，结合函数在 的范围内有最小
值1可知 或 ，据此可得答案．
【详解】解： ，当 时， ，
解得： 或 ，
∵当 时，有最小值1，
∴由图象可知，当 时，图象在直线 上方，
且 或 时，函数有最小值1，
则 或 ，
即： 的值为4或7；
故答案为：4或7．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量
取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点
处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值，借助数形结合的数学思想是解决问题的关键．
【变式3-1】当 ，函数 的最小值为0，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由条件可知当 时，y有最小值0，可知在 范围内，x可以取得1，则可得到m的取值
范围．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴当 时，y有最小值，且最小值为0，
∵当 时，函数 的最小值为0，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值，掌握当x取得对称轴值时，函数有最值是解题的关键．
【变式3-2】已知二次函数 （ 为常数， ）．点 在该二次函数的图象上．(1)求该抛物线与坐标轴的交点；
(2)当 时，该二次函数值 取得的最大值为9，求 的值．
【答案】(1)该抛物线与坐标轴的交点为 ， ， ；
(2) ．
【分析】（1）把 代入 中即可求出 的值，得到抛物线的解析式，据此即可求解；
（2）根据确定的解析式求出对称轴和顶点坐标，即可确定 时 的值，即 的值．
【详解】（1）解：∵点 在二次函数 的图象上，
∴ ．
∴ ．
解得： 或 ．
∵ ，
∴ ．
∴二次函数的解析式为 ，
当 时， ，当 时， ，
解得 ， ，
∴该抛物线与坐标轴的交点为 ， ， ；
（2）解：∵二次函数的解析式为 ，
配方得： ，
∴抛物线的对称轴为 ，顶点 ．
当 时， ，
∴ ．
∴解得： 或 ．
∵当 时， 的最大值为9，∴ ．
【点睛】本题考查二次函数的二次函数图象与性质，解题的关键是熟练运用待定系数法确定二次函数的解
析式．
【变式3-3】如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点
的坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当 时，抛物线有最小值5，求 的值．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2) 或
【分析】（1）点 ，点 代入抛物线的解析式 求出 的值，即可得到抛物线
的解析式；
（2）当 时，即 ，此时当 时，抛物线取得最小值； 当 时，即 ，此时当
时，抛物线取得最小值．
【详解】（1）解：将点 ，点 代入抛物线的解析式 可得：
，解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）解： ，
抛物线的最小值是 ，对称轴为 ，
和 不可能在抛物线对称轴的两侧，
当 时，即 ，
此时当 时，抛物线取得最小值，即 ，
解得： （舍去）或 ，
即 ，
当 时，即 ，
此时当 时，抛物线取得最小值，即 ，
解得： （舍去）或 ，
即 ，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的
图象和性质是解题的关键．
题型四 求线段最值
【例7】如图，在 中， ， cm， cm．点P从点A开始沿AC边向点C以
2cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，
用S表示 的面积，t表示移动的时间 ．(1)求 秒时， 的面积；
(2)求S关于t的函数关系式，并求 面积的最大值；
(3)当t为何值时，PQ的距离最短，并求这个最短距离．
【答案】(1)5cm2
(2) ， cm2
最大值
(3)当 时，PQ的最小值为 cm
【分析】（1）根据三角形面积公式代入数据即可得出结论；
（2）根据三角形面积公式代入数据，再利用二次函数的性质即可得出结论；
（3）根据勾股定理及二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解： ，
， ，
，
．
（2）解： ，
，
．
最大值
（3）解： ，
当 时，PQ的最小值为 cm．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，根据已知求出
， 是解题的关键．
【例8】如图， 中， ， ， ， 是线段 上一个动点，以 为边
在 外作等边 ．若 是 的中点，则 的最小值为（ ）A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】过点D作DG⊥BC于G，过点F作FH⊥BC于H，设等边△BDE的边长为x，解直角三角形BG，
DG，再求出∠CBE=90°，然后根据梯形的中位线等于两底和的一半求出FH，再求出CH，然后利用勾股定
理列式表示出CF2，再根据二次函数的增减性求出CF2的最小值，然后开方即可．
【详解】解：如图，过点D作DG⊥BC于G，过点F作FH⊥BC于H，
设等边△BDE的边长为x，
∵∠ABC=30°，
∴BG= x，DG= x，
∵∠ABC=30°，△BDE是等边三角形，
∴∠CBE=90°，
∵F为DE中点，
∴FH是梯形BEDG的中位线，
，
，
，，
，
在 中，
为线段AB上一个动点，
，
当 时 有最小值81，
∶CF的最小值为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，二次函数的最值问题，等边三角形的性质，解直角三角形，梯形的中位线
等于两底和的一半，解题的关键是熟记各性质与定理并作辅助线构造出以CF为斜边的直角三角形．
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点．在直线y＝ x
上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最
小值是（ ）
A．4.8 B．5 C．5.4 D．6
【答案】A
【分析】分别证明 ， ，∠MPN=90°，易得 为直角三角形，设 ，则， ，由勾股定理得 ，从而可得出 最小值为 ，进一步得
出结论．
【详解】 ， 为 的中点，
，
， 为 的中点,
， ,
连接 ，则 为直角三角形，
设 ，则 ， ，
当 时， 最小值为
∴ 的最小值为故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段最小值的求解方法，列出 求出 最小值为 是解
决本题的关键．
【变式4-2】如图，抛物线L：y x2 x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB
于点D，求PD的最大值，并求出此时点P的坐标；
【答案】（1） ， ；（2） 最大为 ，
【分析】（1）将 ， 代入求得 两点坐标，再用待定系数法求解直线 解析式即可，求得抛
物线的对称轴，再将对称轴代入即可求解；
（2）设 ，可求得 点坐标，用 表示出线段 的长度，再用配方法求解最值即可．
【详解】解：（1）将 代入得 ，即
将 代入得 ，化简得
即 ，解得 （舍）， 即
设直线 为 ，将 ， 代入得
，解得 ，即直线 为抛物线 的对称轴为
将 代入 得
抛物线的顶点坐标为
（2）设点 ，则 ，
线段
∴当 时， 最大为 ，
即当点 时， 最大为
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求直线解析式，二次函数顶点，配方法求二次函数的最
大值，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
【变式4-3】如图，抛物线 经过点 、 ，交 轴于点 ． 为抛
物线在第三象限部分上的一点，作 轴于点 ，交线段 于点 ，连接 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段 长度的最大值，并求此时点 的坐标；
（3）若线段 把 分成面积比为 的两部分，求此时点 的坐标．【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】（1）设抛物线的表达式为 然后把 代入求解即可得到答案；
（2）求出直线AC的解析式 ，然后设 ， ，利用两点距离公
式表示出 ，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3） ，分 和 两种情况讨论求解即可得到答案.
【详解】解：（1）设抛物线的表达式为 ，
将 代入表达式，解得 ，
抛物线的表达式为： ，
即： ；
（2）设直线 的表达式为： ．则 ，将 代入表达式，得 ，
直线 得表达式为： ；
设 ， ．
则 ；
把 代入 ，得： ，
，
线段 长度得最大值是 ，此时 的坐标是 ；（3）根据题意， ，
当 时，有： ，
解得 （舍去）；
当 时，有： ，
解得： ， （舍去）；
综上所述：当 （-1，0）时，满足条件．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识.
题型五 求线段和最值
【例9】已知抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图，点 是抛物线上位于直线 上方的动点，过点 分别作 轴， 轴的平行线，交直线 于
点 ， ，当 取最大值时，求点 的坐标．
【答案】（1） ，顶点坐标为 ；（2）
【分析】（1）把点 ， 代入抛物线 ，求出a、b，即可求出抛物线解析
式，配方为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）求出OA，OC长，进而证明PD=PE，即PD+PE=2PE，得到当 的长度最大时， 取最大值，
求出直线AC解析式为 ，设 ，则 ，得到
，根据二次函数性质即可求出当 时， 最大，即可求
出点P坐标．
【详解】解：（1） 抛物线 经过点 ， ，
，
解得 ， ，抛物线的解析式为 ．
，
抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为 ，
，
．
，
，
，
．
平行于 轴， 平行于 轴，
， ，
，
，
，
，
当 的长度最大时， 取最大值．
设直线 的函数关系式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ， ，
直线 解析式为 ．
设 ，则 ，
．
，
当 时， 最大，此时 ，．
【点睛】本题为二次函数综合题，综合性较强，第（1）步根据待定系数法求出函数解析式是解题关键，
第（2）步根据函数解析式得到PD=PE，进而得到当 的长度最大时， 取最大值时解题关键．
【例10】如图（1），二次函数 的图象与 轴、直线 的交点分别为点 、
．
图（1） 图（2） （备用图）
（1） _________， _________， =_________ ；
（2）连接AB，点 是抛物线上一点（异于点A），且 ，求点 的坐标；
（3）如图（2），点 、 是线段 上的动点，且 ．设点 的横坐标为 ．
①过点 、 分别作 轴的垂线，与抛物线相交于点 、 ，连接 ．当 取得最大值时，求
的值并判断四边形 的形状；
②连接 、 ，求 为何值时， 取得最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）① 时， 取得最大值；
四边形 是平行四边形；②当 时， 最小，这个最小值为 ．
【分析】（1）利用坐标点过二次函数图像，待定系数法即可得.
直线OB是正比例函数 ， ，可得出直线与x轴的夹角.
（2）通过找 的对称点 作辅助线,通过图像的几何特征联立方程求出直线解析式，直线一次函数与二次
函数的交点即为所求的坐标点.
（3）①找出线段关系式，即线段和 以m的关系式，问题变成以m为变量的函数极值问题，通过
配方法解得.②动点线段和的极值问题，关键是找对称点，通过“两点间，线段最短”的思路添加辅助线求得.
【详解】（1）
因为二次函数 图像经过 、
∴ 解得 ， ，
又∵正比例函数 ， ，可得出直线与x轴的夹角 ；
（2）
作点 关于直线 的对称点 ，直线
∵ ， ，
∴ ∴
又∵ ，设 的解析式为
则有
∴求出直线 的解析式为 ，
解方程组 ，得（3）①
∵点 的横坐标为 ，且 轴，
∴ ， ，
又∵ ，且 是线段 上的一动线段，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴
∴当 时， 取得最大值；
此时， ，
∴
∴四边形 是平行四边形．②
如图所示，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，交于点 ，则四边形 是平行四边形，
∴
∵点 与点 关于直线 对称，连接 ， ，则 ．
∴
∴当 ， ， 三点共线时， 最短，此时 最短，
∵ ， ，
∴ ， ，
得出直线 的解析式为 ，
解方程组 ，可得 ，
∴ ，而
∴ ， ，
，
故当 时， 最小，这个最小值为 ．
【点睛】本题是一道综合压轴题，通过待定系数法联立方程求函数解析式是解题的第一关键；其二，数形
结合，利用图形的几何的特征来解决函数的极值问题视为要点.
【变式5-1】如图，抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C,点D在x轴上，AC=CD，过点D
作DE⊥x轴交抛物线于点E，点P，Q分别是线段CO，CD上的动点，且CP=QD．记△APC的面积为S，
1
△PCQ的面积为S，△QED的面积为S，
2 3（1）若S+S=4S ，求Q点坐标；
1 3 2
（2）连结AQ，求AP+AQ的最小值；
【答案】（1） （2）
【分析】（1）先求出A,C的坐标，作QN∥OD，根据等腰三角形的性质得出D（3，0），进而求得E
（3，5），根据勾股定理求得CD＝5，设PC＝QD＝x，由△NQC∽△ODC的性质得出NQ＝ ，根
据S+S=4S，列出关于x的方程，即可求得x的值，进而求得NQ和ON，就求得Q点的坐标；
1 3 2
（2）连接AE，先证明△ACP≌△EQD，则AP＝EQ，所以AP＋AQ＝EQ＋AQ，利用三角形三边的关系
得到EQ＋AQ≥AE（当且仅当点A、Q、E共线时取等号），然后计算出AE即可．
【详解】（1）令 =0
解得x=-3,x=8
1 2
∴A（-3，0），B（8，0）
令x=0，得y=4
∴C（0，4），
∵AC＝CD，CO⊥AD，
∴OD＝OA＝3，
∴D（3，0），
∴E点的横坐标为3，
把x＝3代入 得，y＝5，
∴E（3，5），
∵OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
设PC＝QD＝x，
作QN∥OD，交OC于N，
∴△NQC∽△ODC，∴ ，即 ，
∴NQ＝ ，
∵S＋S＝4S，
1 3 2
∴ x•3＋ ×5•[3− ]＝4• x•
解得x＝ ，
∴QD＝ ，
∴CQ＝5− ＝ ，
∵ ，
∴ ，
∴NQ＝ ，CN＝2，
∴ON＝4−2＝2，
∴Q（ ，2）；
（2）连接AE，
∵AC＝CD，CO⊥AD，
∴OC平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠DCO，
∵ED∥OC，
∴∠DCO＝∠CDE，
∵DE＝CD＝AC＝5，CP＝QD，
∴△ACP≌△EDQ，
∴AP＝EQ，
∴AP＋AQ＝EQ＋AQ，
而EQ＋AQ≥AE（当且仅当点A、Q、E共线时取等号），∴EQ＋AQ的最小值＝ ＝ ＝ ，
∴AQ＋AP的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似
三角形的判定与性质，理解坐标与图形性质．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线交 轴于
点 、 ，交 轴于点 ，在 轴上有一点 ，连接 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点 为 轴上方抛物线上的一个动点，连接 ， ，设 的面积为 ，点 的横坐标为 ，
求 与 的函数关系式；
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使得 的值最小，若存在，则求出最小值及点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）点 的坐标为 时，
的值最小，最小长度为 的长，即为 ．【分析】（1） 把已知点坐标 、 代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据题意，过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，△ADE的面积=△AEF的面积-△DEF的面积，
用含m的代数式表示△ADE的面积S，即为所求；
（3） 设出点P坐标，根据线段最短可知点P是BD与对称轴的交点．
【详解】解：（1） 抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线交 轴于点 ，
解得
抛物线的表达式为 ；
（2）令 ，解得 ， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得，
解得
直线 的解析式为 ．
如解图①，过点 作 轴于点 ，延长 交 的延长线于点 ，
设 ，则 ， ，与 的函数关系式为 ；
（3）存在．如解图②，连接 ，交对称轴于点 ，
抛物线对称轴为直线 ，
设 ，直线 的解析式为 ，将 ， 代入 得，
解得
直线 的解析式为 ，
，
点 在对称轴 和直线 上，
点 的横坐标为 ，
将 代入直线 的解析式为 得 ，
点 的坐标为 时， 的值最小，最小长度为 的长，即为 ．
【点睛】本题考查的是已知点求二次函数式，及根据二次函数的性质求出三角形的面积的解析式，还考查
了根据线段最短求出符合条件的点的坐标及最短线段长．用含m的代数式表示三角形的面积是本题的难点．
【变式5-3】如图，点 ,以点 为圆心、2为半径的圆与 轴交于点 ．已知抛物线过点 和点 ，与 轴交于点 ．
(1)求点 的坐标，并画出抛物线的大致图象．
(2)点 在抛物线 上，点 为此抛物线对称轴上一个动点，求 的最小值．
【答案】（1）C（0，2），图象详见解析；（2）
【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标可知抛物线的解析式为y＝ （x−2）（x−6），然后再进行整理
即可；
（2）连结AQ交直线x＝4与点P，连结PB，先求得点Q的坐标，然后再依据轴对称的性质可知当点A、
Q、P在一条直线上时，PQ＋PB有最小值
【详解】（1）∵点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B，
∴A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A和B，
∴y＝ （x−2）（x−6）
∴
∵当
∴C（0，2）
抛物线的大致图象如图下所示：（2）如下图所示：连结AQ交直线x＝4与点P，连结PB．
∵A、B关于直线x＝4对称，
∴PA＝PB，
∴PB＋PQ＝AP＋PQ，
∴当点A、P、Q在一条直线上时，PQ＋PB有最小值．
∵Q（8，m）抛物线上，
∴m＝2．
∴Q（8，2）
∴
∴ .
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、
轴对称−最短路径问题．
题型六 求面积最值
【例11】如图，动点P在线段 上（不与点A，B重合）， ．分别以 为直径作半圆，
记图中所示的阴影部分面积为y，线段 的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则
阴影面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】 ，则 ，然后根据 求出y关于x的函数关系式即可得到答
案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
，
，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键．
【例12】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 、 两点，其顶点为 ，连
接 ，点 是线段 上一个动点（不与 、 重合）．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点 的坐标；(2)过点 作 轴于点 ，连接 ．求 面积 的最大值．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为 ，顶点 的坐标为
(2) 面积 的最大值为
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意先求出直线 的解析式，设 ，则 ，用含 的式子表示
， ， ，根据 ，可得 与 的关系式，运用配方
法即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过 、 两点，
∴ ，解得， ，
∴抛物线的函数解析式为 ，
将抛物线解析式变为顶点式得， ，
∴顶点 的坐标为 ．
（2）解：抛物线的函数解析式为 ， 、 ， ，
设 所在直线的解析式为 ，
∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 是线段 上一个动点（不与 、 重合）， ，
∴设 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴当 时， 有最大面积，且最大面积为 ，
∴ 面积 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与
几何图形面积的计算方法是解题的关键．
【变式6-1】在长方形 中， cm， cm，点P从点A开始沿边 向终点B以1cm/s的速
度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果 、 分别从 、
同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为 秒， 的面积为 （cm2）．
(1)填空： ， （用含 的代数式表示）；
(2)求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)求 的面积的最大值．
【答案】(1) cm， cm
(2)
(3)
【分析】（1）规划局路程，速度，时间的关系解决问题即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可；（3）利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解： cm， cm
故答案为： cm， cm
（2）解：∵四边形 是矩形，
，
；
（3）解： ， ，
时，y的值最大，最大值为 ．
的面积的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，四边形的面积，二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解
决最值问题．
【变式6-2】如图，直线 与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线 过B，C两点，
与x轴的另一个交点为A，点D是在直线 上方的抛物线上一动点，连接 ， ， ．
(1)求b、c的值；
(2)设四边形 的面积为S，求S的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）先求出 ， 坐标，再把 ， 坐标代入抛物线解析式即可；
（2）由图形可知，当 的面积最大时， 最大，过点 作 轴交 于 ，设点 坐标为 ，，则 ，得出 ，然后由三角形面积公式得出 关于 的解
析式，再由函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：对于直线 ，当 时， ，当 时， ，
， ，
抛物线 过 ， 两点，
，
解得 ，
， ；
（2）由（1）知，抛物线解析式为 ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
，
，
的面积为定值，
当 的面积最大时， 最大，
过点 作 轴交 于 ，
设点 坐标为 ， ，则 ，
，，
，
当 时， 最大，最大值为8，
，
的最大值为 ．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，二次函数的最值，用待定
系数法求函数表达式等知识，求出 关于 的解析式是解题关键．
【变式6-3】已知函数y=-x2+(m-1) x+m (m为常数)，其顶点为M．
(1)请判断该函数的图像与x轴公共点的个数，并说明理由；
(2)当-2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点M纵坐标的取值范围；
(3)在同一坐标系内两点A(-1，-1)、B(1，0)，△ABM的面积为S，当m为何值时，S的面积最小？并求出这
个最小值．
【答案】(1) 该函数的图像与 轴公共点的个数是1个或2个；(2) 当-2≤m≤3时，该函数图像的顶点纵坐标
的取值范围是0≤y≤4；(3) 当 时，面积有最小值
【分析】(1)计算判别式△的大小，比较与0的大小关系，即可得到根的个数，进而得到函数的图像与x轴
公共点的个数；
(2)把函数的解析式化成顶点式，结合m的取值范围，即可得到图像的顶点M纵坐标的取值范围；
(3) 列出关于△ABM的面积为S的表达式，求其根据二次函数的性质求其最小值即可得到答案．
【详解】(1)由题意得：△=
∴该函数的图像与 轴公共点的个数是1个或2个 ；
(2)将y=-x2+(m-1) x+m化成顶点式得到
顶点的纵坐标是y= ，
当m=-1时，y有最小值为0；
当m＜﹣1时，y随m的增大而减小，当m＞﹣1时，y随m的增大而增大，
当m=-2时，y=0.25；
当m=3时，y=4，
则当-2≤m≤3时，该函数图像的顶点纵坐标的取值范围是0≤y≤4 ；
(3)根据题意，经过点M、点A的直线斜率
经过点M、点A的直线可表示为：
令 可得直线与x轴交点横坐标为
则△ABM的面积为
故当 时，面积有最小值 ．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点即根的判别式的问题以及二次函数图像的性质和三角形的面积
计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
1．（2022·河北沧州·统考二模）如图，点 坐标为 ，点 坐标为 ， 为 上一个动点，分别以
、 为斜边在 的同侧作两个等腰直角三角形 和 ，连结 ．（1）线段 的长为 ．
（2）则 长的最小值是 ．
【答案】 7 3.5
【分析】（1）利用坐标直接计算即可；
（2））作 于M， 于N，连接DE，作 于H，根据题意可推出DM=CM，
EN=CN，可得 ，在 中，可得
由此即可判断出DE的最小值．
【详解】解：（1） ，
故答案为：7；
（2）作 于 ， 于 ，连接 ，作 于 ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴DM=CM，
同理可证： ，EN=CN，∴
在 中， ， ，
∴当 重合时，即 时，
即 为 中点时， 最小为3.5，
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次函数最值问题，
得出DE的表达式是解题关键．
2．（2023春·山东东营·九年级东营市实验中学校考期中）如图，矩形 的两边长 ，
，点M、N分别从A、B同时出发．M在边 上沿 方向以每秒 的速度匀速运动，N在边
上沿 方向以每秒 的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．当运动时间
秒时， 的面积最大，最大值为 ．
【答案】 4 20
【分析】 ， ，根据 ，结合 得出当 时，
的面积最大，且最大值为 ．
【详解】解：∵N在边 上沿 方向以每秒 的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动，
∴ ，
∵M在边 上沿 方向以每秒 的速度匀速运动，N在边 上沿 方向以每秒 的速度的匀速
运动，
∴ ， ，
∴，
∴当 时， 的面积最大，且最大值为：
．
故答案为：4；20．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是根据题意得出 ．
3．（2023秋·福建厦门·九年级校考期中）已知函数 ，当 时，函数有最大值
，最小值3，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数表达式可求出对称轴，再根据函数图象开口向下可得函数性质，确定最值范围即可求解．
【详解】解： ，
对称轴为直线 ，
当 时， ，当 时， ，
因此 时， ，
当 时， 随 值的增大而增大，当 时， 随 值的增大而减小，
时，有最大值 ，最小值3，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握性质及图象、运用数形结合思想是解题
的关键．
4．（2023秋·广东深圳·九年级校考期末）如图，线段 ，点 在线段 上，在 的同侧分别以
、 为边长作正方形 和 ，点 、 分别是 、 的中点，则 的最小值是 ．【答案】5
【分析】设 ， ，根据正方形的性质和勾股定理列出 关于x的二次函数关系式，求二次函
数的最值即可．
【详解】解：作 于 ，如图所示：
设 ， ，
根据题意得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ．
∵ ，
∴当 ，即 时， ，
∴ ．即MN的最小值为5；
故答案为5．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是
解决问题的关键．5．（2023秋·四川德阳·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4 ，D为边AB上一动点
（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值
为 ．
【答案】 10
【分析】如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据等腰
三角形的性质以及三角形的面积可求出 ，继而根据勾股定理求出 ，从而求得 的长，然后
证明 ，根据全等三角形的性质可得 ，设 ，则 ，继而根据三角形
的面积公式可得 ，根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
， ， ，
，
，
，
即 ，
，
在 中， ，
，
，
四边形 是正方形，， ，
，
，
又 ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
的最大值为 ，
故答案为 ， ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，
综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
6．（2022·新疆和田·二模）如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿 边向点 以1
个单位每秒的速度移动，同时点 从点 出发沿 边向点 以2个单位每秒的速度移动。如果 两点
在分别到达 两点后就停止移动，设运动时间为 秒 ，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时， 的面积等于 ；
（２）设五边形 的面积为 ，写出 与 的函数关系式，当 为何值时 最小？求 的最小值．
【答案】（1）运动开始后第2秒或第4秒时， 的面积等于 ；（2） ，当t=3时，S有
最小值63.
【分析】（1）分别用t表示出PB和BQ，根据 的面积等于 ，列出方程解出t即可；
（2）用矩形 减去 的面积即为五边形 的面积，写出五边形 面积的代数式，从
而求出S最小值时对应的t值.
【详解】（1）由题知PB=6-t，BQ=2t，
的面积等于 ，则 ，
解得 ，
则运动开始后第2秒或第4秒时， 的面积等于 ；
（2）由题知矩形 减去 的面积即为五边形 的面积，
∴
当t=3时，S有最小值63.
【点睛】本题考查了二次函数的最值在解决面积问题中的运用关键是根据t，表示相关线段的长度，再计
算面积，把所得的代数式看作二次函数求最值．7．（2023秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）已知关于x的二次函数 ．
(1)若 ， 两点在该二次函数的图象上，直接写出 与 的大小关系；
(2)若将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线，当 时，新抛物线对应的函数有最小值3，求m的值．
【答案】(1)
(2)m的值是 和
【分析】（1）抓住二次函数图象的特征：开口向上，因此离对称轴越近的点的纵坐标越小，据此求解即
可；
（2）先利用对称的规律求出新函数的解析式，分析新函数的图象及性质，再分三种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的开口向上，对称轴是直线 ，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
∵ ， ， ，
∴ ；
（2）解：将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线的解析式为：
，
∴新抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，
分三种情况讨论：
①当 ，即 时，在 范围内， 随 的增大而增大，
则 时，函数有最小值，即 ，
解得： ， （舍去）；
②当 ，即 时，在 范围内， 随 的增大而减小，
则 时，函数有最小值，即 ，
解得： ， （舍去）
③当 ，即 时，在 范围内， 时，函数有最小值 ，不合题意；
综合所述：m的值是 和 ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是恰当分类，灵活运用二次函数的图象及性质．
8．（2022·贵州遵义·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm，点P，点Q分别以
2cm/s和1cm/s的速度从A，B沿AB，BC方向运动．设t秒（t≤5）时，△PBQ的面积为y．
（1）试写出y与t的函数关系式．
（2）当t为何值时，S ＝6cm2？
PBQ
△
（3）在P、Q运动过程中，四边形APQC的面积是否有最小值？如果有，直接写出S ＝ ．
四边形APQC
【答案】（1）y＝﹣t2+5t（2）当t为2秒或3秒时，S ＝6cm2（3）18.75cm2
PBQ
△
【分析】（1）根据题意求出BQ，PB的长度即可列出函数关系式.
（2）把y=6带入函数解析式解出t.
（3）将y的解析式配方后求出△PBQ面积最大值，从而得到四边形APQC面积最小值.
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝10cm，BC＝5cm，
根据题意，AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝10﹣2t，
∵S ＝ PB•QB，
PBQ
△
∴y＝﹣t2+5t，
（2）把y＝6cm2代入解析式，可得：6＝﹣t2+5t，
解得：t＝2，t＝3，
1 2
答：当t为2秒或3秒时，S ＝6cm2；
PBQ
△
（3）∵y＝﹣t2+5t＝﹣（t﹣2.5）2+6.25，
∴当t＝2.5时，y有最大值，最大值为6.25，
∴△PBQ的面积的最大值为6.25cm2，所以四边形APQC的面积此时最小，S ＝
四边形APQC
cm2，
故答案为18.75cm2
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.
9．（2022秋·天津河西·九年级校考期末）如图，在 中， ， cm， cm，点P
由点A出发，沿 方向向点B匀速运动，速度为1cm/s，点Q由点B出发，沿 方向向点C匀速运动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B两点出发，一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动
的时间为t（s），
(1) ______cm， ______cm（用含t的代数式表示）
(2)求 的面积S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围
(3)经过几秒， 的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)当 秒时， 的面积最大，且最大面积为
【分析】（1）根据点P，Q的运行速度分别列出代数式即可得到答案；
（2）先分别计算出点P从点A运动到点B的时间和点P从点B运动到点C的时间，得到 ，再
即可得到S关于t的函数关系式；
（3）根据（2）的关系式进行配方得到 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ cm,
∴ cm，
∵ cm,
故答案为： ， ．
（2）解：∵点P的速度为1cm/s， cm，
∴点P从点A运动到点B的时间为： ，
∵点Q的速度为2cm/s， cm，∴点P从点B运动到点C的时间为： ，
∵一个点到达终点时，另一个点也停止运动，
∴ ,
∵ ，
∴ ， ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴
∴当 秒时， 的面积最大，且最大面积为 ．
【点睛】本题考查一元二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式．
10．（2022秋·四川自贡·九年级统考期末）如图，线段 ，点 是线段 上的一个动点，分别以
和 为边在线段 的同侧构造菱形 和菱形 ，且 ， 是菱形
的对角线交点、 是菱形 的对角线交点，连接 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=10-2a，PM=a，PN= （5-a），构建二次函数，利用二
次函数的性质即可解决问题．
【详解】∵四边形APCD、四边形PBFE是菱形，
∵ 是菱形 的对角线交点、 是菱形 的对角线交点
∴设PA=2a，则PB=10-2a，PM=a，PN= （5-a），
∴ 时，MN有最小值，最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段的最值问题，掌握菱形的性质、二次函数的性质是解题的关键．
11．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 和点 ，抛物线 经过
两点，并且与 轴交于另一点 .点 为第四象限抛物线上一动点(不与点 重合)，过点 作
轴，垂足为 ，交直线 于点 ，连接 .设点 的横坐标为 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)当 时，求出此时 的值;
(3)点 在运动的过程中， 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1) ；(2)当 时， ；(3)存在. 时， 的周长最小.
【分析】(1)易求 ，根据待定系数法，即可得到答案；
(2)过点 作 轴，垂足为 ，易得： 点 ，进而可知：， ，根据 时， ，
列出方程，即可求解；
(3)易证： 的周长= ，可知：当 最小，即 时，
的周长最小，进而可求出 的周长最小时，m的值.
【详解】(1)在 中，当 时， ；当 时， ，
.
把 代入 中， 得：
，解得 ，
抛物线的解析式是 ；
(2)过点 作 轴，垂足为 .
，
，
.
点 ，
， ，
当 时， ，
，
解得： (舍去)， .
当 时， ；
(3)存在.
在抛物线 中，当 时， ，解得 ，
点 坐标为 .
，
.
设 的周长为 ，
则 ，
的值不变，
当 最小，即 时， 的周长最小.
当 时， ，
，
，
时， 的周长最小.
【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点E的坐标用未知数m表示出来，是解题的
关键，体现了数形结合的思想方法.
12．（2022·广东汕头·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开
始以相同速度沿边BC，CD运动，与 BCF相应的 EGH在运动过程中始终保持 EGH≌△BCF，对应边
EG＝BC，B，E，C，G在一条直线上△. △ △
（1）若BE＝a，求DH的长；（2）当E点在BC边上的什么位置时， DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.
△
【答案】（1） a；（2）E为BC的中点时， a2
【分析】（1）可通过构建直角三角形求解．连接FH，则FH∥BE且FH=BE，FH⊥CD．因此三角形DFH
为直角三角形．
点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，那么DF=3a-a=2a，DF=2a，FH=a，根据
勾股定理就求出了DH的长．
（2）设BE=x，△DHE的面积为y，通过三角形DHE的面积=三角形CDE的面积+梯形CDHG的面积-三
角形EGH的面积，来得出关于x，y的函数关系式，然后根据函数的性质求出y取最小值时x的值，并求
出此时y的值．
【详解】解：（1）连接FH，
∵△EGH≌△BCF，
∴HG＝FC，∠G＝∠BCF，
∴HG∥FC，
∴四边开FCGH是平行四边形，
∴FH∥CG，且FH＝CG，
又∵EG＝BC，
∴EG－EC＝BC－EC，即CG＝BE，
∴FH＝BE，
∵FH∥CG，
∴∠DFH＝∠DCG＝90°，
由题意可知：CF＝BE＝a，
在Rt DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，
△
∴DH＝ ＝ a；
（2）设BE＝x， DHE的面积为y，根据题意得：
△y＝S CDE+S CDHG－S EGH＝ ×3a(3a－x)+ (3a+x)x－ ×3a×x，
梯形
△ △
∴y＝ x2－ ax+ a2＝ (x－ a)2+ a2，
∴当x＝ a，即E为BC的中点时，y取得最小值，即△DHE的面积取得最小值，最小值是 a2.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，二次函数的综合应用等知识点．
13．（2022·安徽六安·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知C点坐标为（0，-3），且OA＝OC
＝3OB，抛物线 图象经过A，B，C三点，D点是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)判断△ADC的形状，并求△ADC的面积；
(3)如图2，点P是该抛物线位于第三象限的部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于点E，PE的值是否存
在最大值？如果存在，请求出PE的最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)三角形ACD是直角三角形，3
(3)PE有最大值为
【分析】(1)根据C点坐标为(0，-3)，且OA=OC= 3OB，得出A， B点的坐标，用待定系数法求解析式即
可；
(2)根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；(3)求出直线AC的解析式，过点P作PH//y轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE
的值，根据二次函数性质求最值即可．
【详解】（1）解：∵C点坐标为（0，-3），且OA＝OC＝3OB，
∴A（-3，0），B（1，0），将A，B两点坐标分别代入解析式得，
，解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为 ，
∴D点的坐标为（-1，-4），
∴ ，
， ，
∵ ，即 ，
∴三角形ACD是直角三角形，
∴ ；
（3）PE的值存在最大值,理由如下：
设直线AC的解析式为 ，把A，C点的坐标分别代入，
得 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为 ，
如图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵ ，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∴ ，
∴PE有最大值为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，一次函数，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，用待定
系数法求函数解析式，利用二次函数性质求最值是解题的关键．
14．（2019·内蒙古赤峰·九年级期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，抛物线
经过点 ，与 轴另一交点为 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求 的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请
说明理由．【答案】（1） ；（2） ；（3）（1，2＋2 ）或（1，−2−2 ）．
【分析】（1）直线y＝−x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、
（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC＋ED为最小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】解：（1）直线 与 轴、 轴分别交于 两点，则点 的坐标分别为 ，
将点 的坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，
故函数的表达式为： ，
令 ，则 或3，故点 ；
（2）如图1，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则此时 为最小，
函数顶点坐标为 ，点 ，
将 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 的表达式为： ，
当 时， ，
故点 ；
（3）①当点 在 轴上方时，如下图2，
∵ ，则 ，
过点 作 ，设 ，
则 ，
由勾股定理得： ，
，解得：m2＝8＋4 ，
则PB2＝2m2＝16＋8
则y ＝
P
∴P（1， ）；
②当点P在x轴下方时，
则y ＝−（2＋2 ）；
P
故点P的坐标为（1，2＋2 ）或（1，−2−2 ）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中
（3），要注意分类求解，避免遗漏．
