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第二十二章 二次函数过关测试
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：60分钟 满分：100分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案；
【详解】A、 是二次函数，故此选项符合题意；
B、 分母中含字母，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、当 时， 不是 的二次函数，故本选项不符合题意；
D、 最高次数是3次，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记 次函数的定义是解此题的关键，注意：形
如 、 、 为常数, 的函数，叫二次函数
2．下列抛物线中，左移2个单位，下移3个单位可得到抛物线 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的平移的规律逆推解答即可，抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减.
【详解】解：根据题意：将抛物线 向右平移2个单位，上移3个单位可得到 ；
即抛物线 左移2个单位，下移3个单位可得到抛物线 ；
故选：A.
【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题关键.3．若二次函数 的图象经过原点，则 的值必为（ ）
A． 或 B． C． D．0
【答案】C
【分析】根据题意把 代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：由题意可把 代入 得：
，
解得： ，
∵ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题主要考查求解二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
4．关于二次函数 的下列结论，正确的是（ ）
A．它的开口方向是向上 B．当 时， 随 的增大而增大
C．它的顶点坐标是 D．当 时， 有最小值是3
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答
本题．
【详解】解：∵二次函数 ， ，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意；
当 时，y随x的增大而增大，故选项B正确，符合题意；
它的顶点坐标为 ，故选项C错误，不符合题意；
当 时，y有最大值3，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
5．已知二次函数 图象上三点 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先算出对称轴，将所有点转换在一边，结合二次函数的性质判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴A点关于对称轴的对称点是： ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键将所有点转换在对称轴的同一侧．
6．飞机着陆后滑行的距离s（m）与滑行的时间t（s）之间的关系式为 ．则飞机滑行中最后
的滑行距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数解析式转化成顶点式求出滑行的最大距离，从而求得滑行时间的最大值，即可求得滑行最
后 前的距离，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴当 时，s取最大值600，
即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
∴ ，
当 时， ，∴飞机滑行中最后 的滑行距离为： ，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题的关键．
7．如图，抛物线 （ ， 为常数）经过点 ，点 ，点 在该抛物线上，其横坐标
为 ，若该抛物线在点 左侧部分（包括点 ）的最低点的纵坐标为 ．则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左
侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可．
【详解】解：将 ， 分别代入 得，
解得
，
，
抛物线顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
当 时，抛物线顶点为最低点，
，解得 ，
当 时，点P为最低点，
将 代入 得 ，
解得 (舍)， ，
或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质，二次函数
与方程的关系，通过数形结合求解．
8．已知抛物线 ，现将其图象向上平移 个单位得到抛物线 ，当
时，若抛物线 与直线 有两个交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】二次函数图象平移中，将 和 时代入直线和抛物线解析式，当点重合时求出 的值，从而
获得 的取值范围．
【详解】抛物线 的解析式为 ，
时， ，
将 代入 得 ，
，
将 代入 和 中得 ， ，
，
解得 ， （舍 ，
当直线 与抛物线相切时，，则 ，
，
则 ，
解得 ，
的取值范围为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标
特征，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
9．如图，抛物线 与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作 ，将 向右
平移得 ， 与x轴交于点B，D，若直线 与 ， 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出 解析式，分别求出直线 与抛物线 相切时m
的值以及直线 过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】解：令 ，
即 ，
解得 或 ，
则点 ， ，
，由于将 向右平移2个长度单位得 ，
则 解析式为 ，
当 与 相切时，
令 ，
即 ， ，
解得 ，
当 过点B时，
即 ， ，
当 时直线 与 、 共有3个不同的交点，
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地
画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
10．如图，二次函数 的图象与 轴的交点在 与 之间，对称轴为直线 ，
函数最大值为4，结合图象给出下列结论：① ；② ；③ ；④若关于 的一元二
次方程 有两个不相等的实数根，则 ；⑤当 时， 随 的增大而减小．
其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据对称轴 判断①；根据顶点坐标为 可得 ，再根据与 轴的交点在
与 之间确定c的范围，即可判断②；根据抛物线与x轴交点个数判断③；利用一元二次方程与二
次函数的关系判断④；根据图象的增减性判断⑤．
【详解】解： 二次函数 的对称轴为 ，
，
故①正确；
函数图象开口向下，对称轴为 ，函数最大值为 ，
函数的顶点坐标为
当 时， ，
，
二次函数 的图象与 轴的交点在 与 之间，
，
，故②正确；
抛物线与 轴有两个交点，
，
，故③正确；
抛物线的顶点坐标为 且方程 有两个不相等的实数根，
抛物线 与 有两个交点，
，
，故④正确；
由图象可得，当 时， 随 的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②③④，共4个，
故选C．
【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，以及一
元二次方程与二次函数的关系．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共计18分.
11．若 是二次函数，则 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义得到 且 ，即可求出a的值．
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ 且 ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数，形如 （ 都是常数，其中 ）的函数叫做二次函数，
熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
12．抛物线 的对称轴为直线 ，则n的值为 （写出一个满足条件的即
可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴n为奇数，
∴n可以取1．
故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线 的对称轴是直线 是解题的
关键．
13．如图，抛物线 与x轴相交于点 、点 ，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，
当 轴时， ．
【答案】4
【分析】与抛物线 与x轴相交于点 、点 ，可得抛物线的对称轴为直线
，由 轴，可得 ， 关于直线 对称，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线 与x轴相交于点 、点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵当 时， ，即 ，
∵ 轴，
∴ ， 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ；
故答案为：4
【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．14．定义：min{a，b}＝ 若函数y＝min{x＋1， }，则该函数的最大值为 .
【答案】3
【分析】根据定义画出函数图象，设直线y=x+1，抛物线 ，联立直线与抛物线方程得抛物线
与直线交点坐标，结合图象求解．
【详解】解：依题意，设直线y=x+1，抛物线 ，
联立直线与抛物线方程得
，
解得 或 ，
∴直线与抛物线交点坐标为（-1，0），（2，3），
如图，
∴x≤-1时，y= ，函数最大值为y=0，
-1＜x≤2时，y=x+1，函数最大值为y=3，
当x＞2时，y= ，y＜3，
∴x=2时，函数取最大值为3，
故答案为：3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解．
15．图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点
， 处．从桥头点 处的碑文得知桥面 长为270米，小张从桥头点 出发到桥尾点 的微信步数
（步长视为定值）统计如下表：
点 点
计数位置 点 点 点 点
步数/步 0 140 180 360 400 540
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
【答案】 /
【分析】根据路程等于步数乘步长可求得步长；建立坐标系，分别求得 段和 段抛物线的解析式，求
得点M的横坐标，进一步计算即可求解．
【详解】解：步长 （米）；
设点A为原点， 所在直线为x轴，则 ， ， ，
设 段抛物线的解析式为 ，
将 代入得 ，
∴ ，
∴ 段抛物线的解析式为 ，
∵三条抛物线的形状相同，C、D的中点为∴设 段抛物线的解析式为 ，
将 代入得 ，
∴ ，
∴ 抛物线的解析式为 ，
解方程 ，
，
即点M的横坐标为162，
由对称性知点N的横坐标为 ，
∴ （步），
（米），
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，分别求得 段和 段抛物线的解析式是解题的关键．
16．如图，二次函数 与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为 ．
点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿 运动到点P，再以每秒1个
单位长度的速度沿 运动到点A停止，则时间最短为 秒．
【答案】
【分析】如图，连接 ，作 于点D， 与 交点即为符合题意的点P，可得
，利用 角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为 解题即可．【详解】如图，连接 ，作 于点D， 与 交点即为符合题意的点P，
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴A，B两点坐标为 ， ，
∴ ，
∵A，B两点关于 对称，
∴ ，
∵顶点C到x轴的距离为 ，
∴
∴ ，
∵ 都是 的高，
∴ ，
由题意得动点运动的时间为 ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵作 ，
∴ ，
∴ ，
显然在l上另取一点 ，连接 ，
∵ ，
∴当 时，运动时间最短为 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查最短路径问题，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题：本题共7小题，共计52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知二次函数
(1)将 化成 的形式；并写出其对称轴和顶点坐标；
(2)当 取何值时， 随 的增大而减小．
【答案】(1) ；对称轴是直线 ，顶点坐标是
(2)当 时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项函系数的一半的平方来凑完全平方公式，把
一般式转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
（2）根据二次函数的图像即可解答．
【详解】（1）
该二次函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；
（2）如图，当 时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及顶点坐标的求法，熟知二次函数的顶点式是解题关键．18．己知抛物线 交x轴于 ， ，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的顶点坐标；
(2)已知P为抛物线 一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点 恰好在直线 ：
上，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法先求得抛物线的解析式，再利用顶点坐标公式即可求解．
（2）设点 的坐标为 ，由对称可得点P的坐标为： ，将其带入抛物线的解析式即可求
解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ，
当 时， ，
此抛物线的顶点坐标为： ．
（2）设点 的坐标为 ，点P与点 关于x轴对称，
点P的坐标为： ，
又点P在抛物线上，
，
解得： ， ，
又 点P不与点B重合，
，
点P的坐标为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线顶点坐标及轴对称，熟练掌握待定系数法求函数解
析式及关于x轴对称的点坐标的规律是解题的关键．
19．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了 的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙
长 ）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
(1)若要建的矩形养鸡场面积为 ，求鸡场的长 和宽 ；
(2)该扶贫单位想要建一个面积最大的矩形养鸡场，如何设计鸡场的长 和宽 ？
【答案】(1)鸡场的长 和宽 分别为 与 ．
(2)鸡场的长 为 ，宽 为 时，面积最大．
【分析】（1）设 ，则可表示出长 ，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
（2）设 ，则可表示出长 ，由面积关系即可列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可作出
判断．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
由题意得： ，
解得： ，
当 时， ，不符合题意；当 时， ，符合题意；答：鸡场的长 和宽 分别为 与 ．
（2）解：设 ，则 ，
设鸡场的面积为 ，则 ，
∵ ，则当 时， 随 的增大而减小，
∵
∴
即当 时， 最大，最大面积 ，
则
答：鸡场的长 为 ，宽 为 时，面积最大．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程、二次函数关系式是解
题的关键．
20．已知抛物线 ．
(1)若抛物线与y轴的交点为 ，求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点 ， 在抛物线上，求c
的取值范围及m的最大值．
【答案】(1) ； ；
(2) ；1．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式，再将其化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，得到 ，再根据与x轴有交点，利用一元二次方程根的
判别式，解得 ，然后利用抛物线上对称点与对称轴的关系，求出 ，即可得到m的最大值．
【详解】（1）解： 抛物线 与y轴的交点为 ，
，
抛物线的函数表达式为 ，
，顶点坐标为 ；
（2）解： 抛物线 与y轴的交点在y轴正半轴上，
，
抛物线 与x轴有交点，
有实数解，
，
由图像法解一元二次不等式，得： 或 （舍），
c的取值范围为 ，
抛物线 ，
对称轴为 ，
点 ， 在抛物线上，
，
，
，
m的最大值为1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与 轴的交点问题，
一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的性质，以及二次函数与一元二次方程的联系是解题
关键．
21．如图，在 中， ， ， ，两个动点 ， 同时从 点出发，点 沿 运
动，点 沿 ， 运动，两点同时到达点 ．(1)点 的速度是点 速度的多少倍？
(2)设 ， 的面积是 ，求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)求出 的最大值．
【答案】(1) 倍
(2)
(3)
【分析】（1）由两点同时出发同时达到点C可知，速度比等于路程比；
（2）分点Q在 上，点Q在 上两种情况，用含x的代数式表示出 的底和高，即可求解；
（3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解： 中， ， ， ，
，
，
， 同时从 点出发，点 沿 运动，点 沿 ， 运动，两点同时到达点 ，
点 的速度与点 的速度比为： ，
即点 的速度是点 速度的 倍；
（2）解：分两种情况，当点Q在 上时，如图：由（1）知点 的速度是点 速度的 倍，
，
， ，
，
，
；
当点Q在 上时，作 交 于点H，如图：
， ，
，
，
，
， ，，
；
综上可知， ；
（3）解：对于 ，
当 时，y取最大值，最大值为 ；
对于 ，
，
当 时，y取最大值，最大值为 ，
，
y的最大值为 ．
【点睛】本题考查三角形上的动点问题，涉及二次函数的应用，求二次函数的最值，含30度角的直角三角
形的性质，勾股定理等知识点，综合运用上述知识点，注意分情况讨论是解题的关键．
22．定义：如果抛物线 与 轴交于点 ， ，那么我们把线段 叫做雅
礼弦， 两点之间的距离 称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线 的雅礼弦长；
(2)求抛物线 的雅礼弦长的取值范围；(3)设 ， 为正整数，且 ，抛物线 的雅礼弦长为 ，抛物线
的雅礼弦长为 ， ，试求出 与 之间的函数关系式，若不论 为何值，
恒成立，求 ， 的值．
【答案】(1)4
(2)
(3) ， 或 ，
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得 ，根据 的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得 ，根据 ，求得出 与 之间的函数关系式，根据 恒成立，可得
，根据 ， 为正整数，且 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
， ，
雅礼弦长 ；
（2） ， ，
，
， ，
，
，
当 时， 最小值为 ，当 时， 最大值小于 ，
；
（3）由题意，令 ，
， ，
则 ，
同理 ，
，
，
要不论 为何值， 恒成立，
即： 恒成立，
由题意得： ， ，
解得： ，
， 为正整数，且 ，
则 ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题
的关键．
