文档内容
热点专题 07 相似（11 个热点）
考点一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段 长度分别是 ，那么就说这两条线段的比是 ，
或写成
2．成比例线段：对于四条线段 ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 （ 称为 的比例中项）．
考点二、黄金分割比1.黄金分割的定义：点 把线段 分割成 和 两段,如果 ,那么线段 被点 黄金分割，
点 叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比.
51
注意： ( 叫做黄金分割值).
2
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段 ，按照如下方法作图：
（1）经过点 作 ，使 .
（2）连接 ，在 上截取 .
（3）在 上截取 .则点 为线段 的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
D
E
A B
C
考点三、相似图形
1.相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形
注意：①相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
②“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
2.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
考点四、平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
A B
几何语言： C D
E F
图一如图一:直线 .直线 分别交 于，若 .则
拓展：
①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
如图一:直线 ，直线 分别交 于 .且
距离为 ,若 ,则
②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
如图二:在 中， 为 中点， 交 于点 ，则
A
D E
B C
图二
③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
如图三:在梯形 中， 为 中点， 交 于点 ，则
A D
E F
C
B
图三
考点五、平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
A A
D
B
E C
D
B
E
C
图四 图五
如图四，在 中， ,则如图五，在 中， 交 延长线于 ,则
（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角
形的三边对应线段成比例
如图四，在 中， ，则
如图五，在 中， 交 延长线于 ，则
考点六、相似三角形的相关概念
在 和 中，如果 ， ，我们就说
与 相似，记作 ， 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ，则说明点 的对
应点是 ，点 的对应点是 ，点 的对应点是 ；
②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三
角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
考点七、相似三角形的判定
1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；
2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相
似；
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边
的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
注意：
5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若
有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似
考点八、相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ，则
由比例性质可得：
A A
B C
B C
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二， ，则 分别作出 与 的高 和 ，
1 1
BCAD kBCkAD
S △ABC 2 2 =k2
S 1 1
△ABC BCAD BCAD
2 2
则
A A
B D C
B D C
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
题型一 成比例线段
【例1】已知四条线段a，b，c，d成比例，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了比例线段，利用成比例线段的定义得到 ，然后根据比例的性质对各选项进行判断．
熟练掌握成比例线段的定义是解决问题的关键．
【详解】解：∵四条线段 ， ， ， 成比例，
∴ ，即： ．
故选：B．
【例2】已知线段 厘米， 厘米，如果线段 是线段 和 的比例中项，那么 厘米．
【答案】
【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到 ，然后利用比例性质计算即可，解题的
关键是理解四条线段 、 、 、 ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，
，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当 时，线段 是线段 和 的
比例中项．
【详解】∵线段 是线段 和 的比例中项，
∴ ， 即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1-1】下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答
【详解】解：A．∵ ，∴四条线段成比例，符合题意；
B．∵ ，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C．∵ ，∴四条线段不成比例，不符合题意；
D．∵ ，∴四条线段成比例，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和
最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
【变式1-2】如图，点P把线段 分成两部分，且 为 与 的比例中项．如果 ，那么
．【答案】 /
【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得 ，即可得出结论．
【详解】解：∵点P把线段 分成两部分，且 为 与 的比例中项，
∴ ，
∴根据黄金分割的定义可得出： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段
的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
【变式1-3】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全
部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设
计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为xm，根据题意可得 ，求解即可；
【详解】设雕像的下部高为xm，则上部长为 ，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为 ，∴ ，
∴ ，
解得： （舍）或 ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题主要考查了比例线段的知识点和一元二次方程的计算，准确列出比例方程是解题的关键．
题型二 黄金分割
【例3】如图，乐器上的一根弦 ，两个端点 固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄
金分割点，且 ，则点A，点C之间的距离为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】
本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设 ，则
，由 得 ，再解方程即可；
【详解】
解：设 ，则 ，
，
，
解得 （舍），
点A，点C之间的距离为 ，故答案为： ．
【例4】叶脉绣是以树叶为载体，以传统刺绣衬托出叶脉美的刺绣工艺品，可谓自然之美与中国传统刺绣
结合得相得益彰．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，
点 是 的黄金分割点 ，如果 的长为 ，那么 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解： 点 是 的黄金分割点 ，
，
，
故答案为： ．
【变式2-1】黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金
构图法．其原理是：如图，将正方形 的底边 取中点E，以E为圆心，线段 为半径作圆，其与
底边 的延长线交于点F，这样就把正方形 延伸为矩形 ，称其为黄金矩形．若 ，则
（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握 ，计算即可．
【详解】解：设 ，
四边形 是正方形，
，
矩形 是黄金矩形，
，
，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
，
故选：D．
【变式2-2】某品牌汽车为打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点位置（如图，
即车尾到倒车镜的距离与车长之比为 ），若车头与倒车镜的水平距离为 ，则该车车身总长约为
（结果保留整数）．【答案】
【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义（黄金分割是指将整体一分为二，较大部
分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为 ）．据此列式解答即可．
【详解】解：设该车车身总长为 ，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且符合题意，
∴该车车身总长约为 ，
故答案为： ．
【变式2-3】如图，正方形 的边长为 为线段 的中点， 为线段 的黄金分割点 ，
以 为边作正方形 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了黄金分割，正方形的性质．根据黄金分割的定义可得 ，再结合正方形的性质，
可得 ，即可求解．
【详解】解：∵正方形 的边长为2，
∴ ，
∵ 为线段 的黄金分割点，
∴ ，
∴ ，∵ 为线段 的中点，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
题型三 比例的基本性质
【例5】若 ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
利用比例的性质逐一判断即可．
【详解】解：A．因为 ，所以 ， 故A不符合题意；
B．因为 ，所以 ， ，故B不符合题意；
C．因为 ，所以 ， ，故C不符合题意；
D．因为 ，所以 ，故D符合题意；
【例6】已知线段 ，b，c，如果 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用已知条件进而表示出a，b，c，进而代入求出答案．【详解】解：∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例线段，比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
【变式3-1】用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若 ，则▲，●，◆
这三种物体的重量比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可设 ，利用等比性质可得 的值，设▲为x，●为y，◆为z，得到 个等
式，联立可得用x表示y、z，相比即可．
【详解】解：设 ，▲为 ，●为 ，◆为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴▲，●，◆这三种物体的重量比为 ．
故选：B．
【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键．
【变式3-2】已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于 ．
【答案】
【分析】
本题考查比例的性质，利用设参法进行求解即可．
【详解】解：∵ ，∴设 ，
∴ ；
故答案为： ．
【变式3-3】已知 ，则代数式 的值为 ．
【答案】 /0.75
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可．解题的关键是掌握比例的性质．
【详解】
解：因为 ，
可得： ， ，
把 ， 代入 ，
可得： ，
故答案为： ．
题型四 平行线分线段成比例
【例7】如图，正方形 的边长为 ， 为 边中点， 为 边上一点，连接 ，相交于点
．若 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解
题关键．过点 作 交 于点 ，根据平行线分线段成比例定理，推出 ，再利用勾股
定理，求得 ， ，再利用平行线分线段成比例定理，即可求出 的长度．
【详解】解：如图，过点 作 交 于点 ，
则 ，即 ，
四边形 是正方形，边长为6，
， ， ，
为 边中点，
，
， ，
，
，
，
，
故选：D
【例8】如图，在锐角 中，D为 边上一点， ，将 绕点C顺时针旋转 后得到 ，且点D，B的对应点分别为A，E， 交 于点O，连接 ．下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质、平行线的证明、平行线分线段成比例定理对选项逐一判断
即可得到答案．
【详解】解：由题意知 ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故A项正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故B项正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故C项正确；
根据已知条件推不出 ，故D项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，等边三角形的证明，平行线的证明，平行线分线段成比例定理，熟练掌握图形旋转前后对应边相等，对应角相等．平行线分线段成比例定理是解题的关键，
【变式4-1】如图，在 中，D，E分别为 ， 边上的点， ， 与 相交于点F，则
下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线
分线段成比例定理进行判断即可．
【详解】解： ，
， ，
，A正确；
，
，B错误；
，
，C错误；
，
，D错误，
故选：A．
【变式4-2】如图， 是 的直径， ， 是 外的一点， 是线段 的中点，连接 交
于点 ，且满足四边形 是矩形，则阴影部分的面积为 ．【答案】
【分析】
本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线分线段成比例，中位线，扇形的面积等知识．找到阴
影部分面积与已知图形之间的面积关系是关键．根据 求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形， ，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数
的图象于点B，交函数 的图象于点C，过点C作y轴的平行线交 的延长线于
点D，则四边形 的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例，设 ，即可确定点B和点C的纵坐标，
根据反比例函数的解析式求得横坐标，进一步求得它们的长度之比，结合平行线分线段成比例和梯形的面
积公式求解即可．
【详解】解：设 ，
过点A作x轴的平行线，交函数 的图象于点B，交函数 的图象于点C，
， ，
， ，
，
，
又 ， 轴，
，
，
四边形 的面积等于 ，
故答案为：15．题型五 相似三角形的判定【例9】如图所示，点 在同一直线上，满足
， ，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】先根据同角的余角相等，得 ，再根据“等边对等角”可得 ，然后根据
“两角相等的两个三角形相似”得出答案.
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
即 .
∵ ，
∴ ，
∴ ..
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．即两角相等的两个三角形
相似.
【例10】如图， 中，点D是边 上一点， ，连接 ．从下列条件中，选择一个作为附
加条件① ；② ；③ ，求证： ．
【答案】②，见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应
相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判
定其相似．
【详解】证明：选择①
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式5-1】如图，已知 是 的直径，点D为 延长线上的一点，点A为圆上一点，且 ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，由于 ，于是得到 ；
（2）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，得到 ，由 是 的直径，得
到 ，即可得到结论．
【详解】（1）证明：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，∴OA⊥AD，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作
出辅助线是解题的关键．
【变式5-2】如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， 和 的顶点都在边
长为1的小正方形的格点上．
(1) ___________°；
(2)判断 与 是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由．
【答案】(1)135
(2) ，证明见解析
【分析】（1）利用，网格以及勾股定理解决问题即可．
（2）结论： ．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【详解】（1）解：观察图形可知， ， ．
故答案为135
（2）解：结论： ．
理由： ， ， ， ，
，
，
．【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是网格与勾股定理的应用，相似三角
形的判定定理．
【变式5-3】如图， 中，在斜边 上选一点O为圆心画圆，此圆恰好经过点A，且与直角边
相切于点D，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求阴影部分图形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由题意易知 ， ， ，证得
，可得 ，可证得 ，即可证得结论；
（2）由（1）可知， ，可知 ， ， ，证得 为
等边三角形，易得 ，可得 ，进而可得 ， ，求得 的
长度，结合阴影部分图形的周长为 即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
由题意可知， ， 为直径，
∴ ，则 ，∵ 与 相切于点D，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，由（1）可知， ，
∴ ，则 ， ， ，
∴ 为等边三角形，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
，
∴阴影部分图形的周长为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，圆周角定理，切线的性质，等边三角形的判定及性质，弧长公式，
连接圆心与切点是解决问题的关键．
题型六 相似三角形的性质
【例 11】如图在 中， 、 分别是边 、 上的点，且 ，若 ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由 ，求证 ， ，根
据相似三角形性质得到 ，进而由相似三角形的性质即可解决问题，解题的关键是灵活运用相
似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
【详解】
解：过 作 ，如图所示：
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
故选：D．
【例 12】如图， 中， ， ， ，点 D、E 分别是 、 边上的动点，折叠
得到 ，且点 落在 边上，若 恰好与 相似， 的长为 ．【答案】 或
【分析】
设 ，则 ，由折叠的性质得到 ，分两种情况：
或 ，即可解决问题．
【详解】
解：设 ，
∴ ，
∵折叠 得到 ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 长是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，折叠问题，关键是注意要分两种情况讨论，由相似三角形的性质：相似三角
形的对应边成比例，即可解决问题．【变式6-1】如图，在 中， ， ，点D是 边上的一个动点，点E在 上，点D
在运动过程中始终保持 ，当 时，则 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】先利用等腰三角形的性质可得 ，再利用等量代换可得 ，然后利用两角相
等的两个三角形的相似证明 ，从而利用相似三角形的性质可求出 的长，进而求出 的
长．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是
解题的关键．
【变式6-2】如图，等边 被矩形 所截， ，线段 被截成三等份．若 的面积为
，图中阴影部分的面积为 ．【答案】4
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据
，得到 ，利用三角形相似的性质可求得 ，同理求得 ，它们的差
即为所求答案．
【详解】 线段 被截成三等份，
， ，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积 ．故答案为：4．
【变式6-3】如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、 上， ， ，
， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握三角形相似的性质是解题的
关键．
【详解】解： ，
，
， ， ，
，
解得： ，
四边形 是矩形，
，
．
题型七 相似三角形的判定与性质的综合
【例13】如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，点 在边 上，若
，且 平分 的周长，则 的长是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判
定及性质是解决问题的关键．过点 作 于点 ，先证 ，求得 ，
从而求得 再利用勾股定理即可得解．
【详解】解：过点 作 于点 ，
∵ ， ， ，
∴
∵ 平分 的周长，
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ，
∴ 即
∴ ，
∴
∴
故选：C．【例14】如图，在 中， ， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明： ， ，
， ，
，
，
，
，
即 ．
（2）解： ， ，
， ， ，
， ，
，
，
即 ，
， ，
．
【变式7-1】如图，在四边形 中， ， ，以 为腰作等腰 ，顶点 恰好
落在 边上，若 ，则 的长是 ．【答案】
【分析】
作 ， 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 可 得 ， ，
， 由 ，得到 ，即可求解，
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是：作辅助线构造相似
三角形．
【详解】解：过点 作 ，交 于 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，∴ ，即： ，解得： ，
故答案为： ．
【变式7-2】如图，在 中，点E是 的中点，且 ，点F是 的三等分点（点F靠近点
A）．若 5，则 的长为
【答案】
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及相似三角形的性质，过点F作 ，分别交
于点 ，由 ，得出 ，求得 ，由勾股定理求出 ，证明
，得 ，进一步求出 ，由勾股定理可求出 ．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
如图，过点F作 ，分别交 于点 ，则
∴四边形 是平行四边形，
∴
∵
∴
∴在 中， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【变式7-3】如图，在 中， ， 为 的中位线，延长 至F，使
，连接 并延长交 于点M，若 ，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，根据三角形的中位线定理推出 ，
进而推出 为等边三角形，求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ 为 的中位线，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ 的周长为 ；
故答案为： ．
题型八 相似三角形中的动点问题
【例15】如图，在 中， ，E是 边上一动点，沿A→C→B的
路径移动，过点E作 ，垂足为D．设 ， 的面积为y，则下列能大致反映y与x函数
关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论①当点E在 上②当点E在 上的情况，利用相似三角形的判定与性质，即可求解．【详解】解：在 中， ，
由勾股定理可得 ，
①当点E在 上时，如图，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
此时 ，即 ，
∴ 是开口向上的一段抛物线；排除 ，
②当点E在 上时， ，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，为开口向下的抛物线，
故选： ．
【点睛】本题考查了动点问题与相似三角形的综合．分类讨论是解题关键，熟记相似三角形的判定与性质
定理内容是推理关键．
【例16】如图，正方形 的边 与矩形 的边 重合，将正方形 以1cm/秒的速度沿
方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形 的边长为1cm， ， ，
设正方形移动的时间为x秒，且 ．
(1)直接填空： cm（用含x的代数式表示）；
(2)若以G、D、C为顶点的三角形同 相似，求x的值；
(3)连接 ，过点A作 交 于点P，连接 ．若 的面积记为 ， 的面积记为 ，
则 的值会发生变化吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)不会发生变化，理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：
（1）根据 ，正方形 的边长为1cm，结合题意，列出式子即可；
（2）分两种情况讨论：当 时和当 时，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）证明 ，推出 ，分别求得 和 ，即可得出结论．
【详解】（1）解： ，正方形 的边长为1cm，正方形 以1cm/秒的速度沿 方向
移动，移动开始前点A与点F重合．，
故答案为： ；
（2）解：由题意得， ， ， ，
当 时，
，
，
解得： ；
当 时，
，
，
解得： ，
当 或 时，以 、 、 为顶点的三角形同 相似．
（3）解：结论： 的值不会发生变化．
理由如下：
，
，
又 ，
，
，
，
，
，，
的值不会发生变化．
【变式8-1】如图，在 中， ，翻折 ，使点 落在直角边 上某一点
处，折痕为 ，点 、 分别在边 、 上，若 与 相似，则 的长为（）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得 的长，从
而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
当 时，
则 ，
∵ ，翻折 ，使点 落在直角边 上某一点 处，
∴ ，
解得 ；
当 时，
则 ，
∵ ，翻折 ，使点 落在直角边 上某一点 处，解得 ；
由上可得， 的长为 或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答
是解答本题的关键．
【变式8-2】如图，在 中， ， ，动点 从 点出发到 点止，动点 从 点出
发到 点止，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ．若 ， 两点同时出发，则当以点 ，
， 为顶点的三角形与 相似时，运动时间为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：① 与 对应；②
与 对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：根据题意，点 从点 到点 的时间为 ；点 从点 到点 的时间为 ，
如果两点同时运动，设运动 秒时，以点 、 、 为顶点的三角形与 相似，
则 ．
①当D与B对应时，有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 与 对应时，有 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故当以点 、 、 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是 或 ，符合题意，
故答案为： 或 ．【变式8-3】如图，在 中， ， ， ，点P从点B出发，沿 以
的速度向点C移动，点Q从点C出发，以 的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，
当点P运动到点C时，P、Q停止运动．设运动时间为 ，当 时， 与 相似．
【答案】4.8或
【分析】分 和 是对应边， 和 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可
得解．
【详解】解： 和 是对应边时， ，
所以， ，
即 ，
解得 ；
和 是对应边时， ，
所以， ，
即 ，
解得 ．
综上所述，当 或 时， 与 相似．
故答案为4.8或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．题型九 相似三角形的应用
【例17】在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼
为18米的点 处竖立一个长度为2.8米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点
、直杆顶点 和教学楼顶点 三点共线．测得人与直杆的距离 为2米，人眼高度 为1.6米，则教
学楼的高度 为（ ）
A．15.2米 B．13.6米 C．12.4米 D．1米
【答案】B
【分析】
本题考查相似三角形的应用．过点 作 于点 ，交 于点 ．则四边形 ，四边形
都是矩形．利用相似三角形的性质求出 ，可得结论．
【详解】
解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ．则四边形 ，四边形 都是矩形．
米， 米， 米， 米，
米．
（米 ，
∵ ，
，
，，
（米 ，
（米 ，
故选：B．
【例18】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳
光下，分别测得该建筑物 的影长 为 米， 的影长 为 米，小明的影长 为 米，其中 、
、 、 、 五点在同一直线上， 、 、 三点在同一直线上，且 ， ．已知小明
的身高 为 米，则旗杆的高 为 米．
【答案】
【分析】本题考查了平行投影和相似三角形的判定与性质，证明 ，利用相似比计算出 的
长，再证明 ，然后利用相似比计算 的长，进一步计算即可求解，熟练掌握相似三角形的
判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
同理， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），故答案为： ．
【变式9-1】“今有邑方二百步，各开中门，出东门一十五步有木，问出南门几何步而见木？”这是《九
章算术》中的一段话，如图，大意是今有正方形小城市，边长200步，东门在 的中点 处，南门在
的中点 处，东门正东方向15步的点 处有一棵树，则从南门 往正南方向走 步能见到这棵树．
【答案】 /
【分析】
本题考查了相似三角形的应用．证明 ，利用相似三角形的性质得 ，然后利用比
例性质可求出 的长．
【详解】
解：由题意得 步， 步，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （步 ；
答：从南门 往正南方向走 步能见到这棵树．故答案为： ．
【变式9-2】如图，矩形 是路灯 旁边的一个广告牌，晚上，该广告牌在路灯 的灯泡照射下，点
的影子在 处，点 的影子在 处，测得 ， ，已知O、C、F、B、E在同一水平线上，
且 ， ， ， ， ，求路灯灯杆的高度 ．
【答案】路灯灯杆的高度 为
【分析】
题目主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意得出 ， ，
．再利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】
解：由已知可得 ， ， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴路灯灯杆的高度 为 ．
【变式9-3】某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点 A，B间的距离），可以
按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点 A；②再在河的这一边选定点 B和点 C，使
；③再选定点E，使 ，然后用视线确定 和 的交点D．(1)用皮尺测得 ， ， ，求河宽 ．
(2)请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度 的方案．
要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示，直接标注在图2中的线段上；②不要求写操作步骤；
③结合所测数据直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗杆高度 ．
【答案】(1)河宽 为95m
(2) ，示意图见解析
【分析】
本题主要考查了相似三角形的应用——测量河宽和旗杆高．熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问
题的关键．
（1）证明 ，得到 ，得到 ，即得 ．
（2）将标杆 竖立在地面适当的位置，使点 C、D、A 三点共线，测出 ， ．根据
， ，得到 ，得到 ，得到 ，即得旗杆高 ．
【详解】（1）
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：河宽 为95m．
（2）
（方法不唯一）如图．①将标杆 竖立在一个适当的位置，使点C和标杆的顶点D，旗杆的顶点A三点在一条直线上，
②测出 ， ．
③计算旗杆的高度：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴旗杆的高 ．
题型十 图形的位似变化
【例19】如图， 与 位似，其中 、 的对应点分别为 、 ， 、 均在图中正方形网格
格点上，若线段 上有一点 ，则点P在 上的对应点 的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查坐标的位似变换，先根据点A和 的坐标求出位似比，从而得解，掌握求一个点位似变换后点的坐标就是用这个点的横纵坐标都乘以位似比或位似比的相反数是解题的关键．
【详解】解：∵ 与 位似，其中 、 的对应点分别为 、 ， 、 均在图中正方形网格
格点上，
即A点坐标为： ， 点坐标为： ，
∴线段 上有一点 ，则点P在 上的对应点 的坐标为： ．
故选：C．
【例20】如图， 中， ， 两个顶点在 轴的上方，点 的坐标是 ，以点 为位似中心，在
轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的2倍．设点 的对应点 的横坐
标是2，则点 的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质，掌握位似的两个图形是相似形和相似三角形
的性质是解题的关键．过B和 向x轴引垂线，构造相似比为 的相似三角形，那么利用相似比和所给
的横坐标即可求得点B的横坐标．
【详解】如图，过点B， 分别作 轴于D， 轴于E，
∴ ．
∵ 的位似图形是 ，∴点B， C， 在一条直线上，
∴ ，
∴ ，
，
又 ，
．
又∵点 的横坐标是2，点C的坐标是 ，
∴ ，
，
，
∴点B的横坐标为： ．
故答案为 ．
【变式10-1】如图， 与 是位似图形，点O为位似中心，位似比为 ．若 的面积为8，
则 的面积是（ ）
A．15 B．16 C．9 D．18
【答案】D
【分析】
根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】
解：解：∵ 与 位似，点O为位似中心，相似比为 ，
∴ 与 的面积之比为 ，
∵ 的面积为8，∴ 的面积是18，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形
之间，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点 ，则 点为位似中心，然后写出 点坐标即
可．
【详解】解：如图，点 为位似中心， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．
【变式10-3】如图，原点 是 和 的位似中心，点 与点 是对应点， 的面
积是3，则 的面积是 ．【答案】12
【分析】根据点A到点O的距离和点 到点O的距离，得到这两个位似三角形的相似比，根据面积比是相
似比的平方，求出 的面积．
【详解】解：∵点 与点 是对应点，原点 是位似中心，
∴ 和 的位似比是1∶2，
∴ 和 的面积的比是1∶4，
又∵ 的面积是3，
∴ 的面积是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查位似图形和相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比和相似比的关系．
题型十一位似变化作图
【例21】如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ．(1)将 先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到 ，请画出 ；
(2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将 放大为原来的2倍得到 ，请画出
；
(3)请直接写出（2）中点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)点 的坐标为 ．
【分析】本题考查作图—平移变换和作图—位似变换．
（1）利用平移变换的性质分别作出 、 、 的对应点 ，再顺次连接即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点 ，再顺次连接即可；
（3）根据点 的位置写出点 的坐标．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
；
（2）解：如图， 即为所求，；
（3）解：由图得，点 的坐标为 ．
【例22】如图，在 正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位．建立坐标系后， 中点
坐标为 ．
(1)把 绕点C顺时针旋转 后得到 ，画出 ，并写出 坐标；
(2)把 以O为位似中心放大，使放大前后对应边长为 ，在第四象限画出放大后的 ，并写
出 坐标．
【答案】(1)见解析， 坐标为
(2)见解析， 坐标为
【分析】
本题考查了旋转作图及图形位似的知识，解答此类题目的关键是就是寻找对应点，要求掌握旋转三要素、
位似的特点．（1）根据旋转变换的定义，将三角形的三个顶点分别顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可得；
（2）根据位似变换的定义得出点的对应点，顺次连接即可得．
【详解】（1）解：如下图所示： 即为所求， 坐标为 ；
（2）解：如下图所示： 即为所求， 坐标为 ．
【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点都在格点上，点A的坐标为 ，点B的
坐标为 ，点C的坐标为 ，请解答下列问题：(1)将 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的 ；
(2)以原点O为位似中心，画出 的位似图形 ，使 与 的相似比为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—平移变换、位似变换，熟练掌握平移规律，位似变换的性质是解题的关键．
（1）根据“横坐标：左减右加，纵坐标：上加下减”的平移规律，得到平移后的点坐标，描点，连接即
可；
（2）根据位似的性质，将横坐标，纵坐标都按照位似比进行变化，得到变换后的点坐标，描点，连接即
可．
【详解】（1）解： 点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点 ， ， ，
为点 ， ， 分别向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得，
， ， ，
， ， ，
如图所示，连接 ， ， 组成的 即为所求．（2）解： ， ， ， 与 的相似比为 ，原点O为位似中心，
， ， ，即 ， ， ，
如图所示，连接 ， ， ，组成的 即为所求．
【变式11-2】如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点
的线段 和格点 ．
(1)在所给网格中，以格点 为位似中心将线段 放大2倍得到线段 ，画出线段 ；
(2)把线段 绕端点 顺时针旋转 得到线段 ，画出线段 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-位似变换，旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换
的性质，属于中考常考题型．
（1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点 ， 即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出点A的对应点 即可．
【详解】（1）解：连接 并延长至 ，使 ，连接 并延长至 ，使 ，连接 ，所作线段 如图所示；
（2）解：以 中心，把线段 顺时针旋转 得到线段 ，如图所示，线段 为求作的．
【变式11-3】如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 的顶点均在格点上，按
要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以 为边，画出 ，使 和 全等，D为格点，请在图1中画出满足条件的
所有 ；
(2)在图2中，以点C为位似中心．画出 ，使 与 位似，且位似比 ，点E、F
为格点；
(3)在图3中，在 边上找一个点P，且满足 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了作图﹣相似变换，熟练掌握全等图形、位似图形、相似三角形的判定与性质是解
题的关键．
（1）根据全等三角形的性质即可作出；（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出 ；
（3）取格点E，F，连接 ，交 于点P，则点P即为所求作的点．
【详解】（1）如图， 和 和 即为所作，
（2）如图， 即为所作，
；
（3）如图所示，取格点E，F，交 于点P．
∵ ，
∴ ，
∴ ．一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且 ， ， ，那么d的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与
另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到 ，然后根据比例的性质求d的值．
【详解】解：根据题意得 ，
即 ，
解得 ．
故选：D．
2．（2023·云南昭通·二模）如图，点D、E分别在 的边 、 上，且 ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．证明
，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选∶A．
3．（2024·河南商丘·一模）如图，在 中， ， 与 相切于点 ， 经过圆心 且与圆
相交于点 ， ．若 ， ，则 的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接 ，根据切线的性质得到 ，结合同一圆的半径相等可得到 ，由于直径
所对的圆周角是直角，可进一步证明得 ，最后列出比例关系即可．
【详解】连接 ，如解图所示
为 的切线
为 的直径即 的直径为
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理及其推论，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
解题的关键在于画出正确辅助线．
4．（2023·重庆渝北·一模）如图，四边形 与四边形 是以点 为位似中心的位似图形，已知
，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查位似图形的性质．根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可．
【详解】 四边形 与四边形 是以点 为位似中心的位似图形，且四边形 的面积∶四边形 的面积
∶四边形 的面积
四边形 的面积 ．
故选：D．
5．（2023·云南·模拟预测）如图，在 中，点D是边 的中点，按以下步骤作图：①以顶点B为圆
心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M， N ②分别以点M， N为圆心， 大于 长为半径
画弧，两弧相交于点P； ③作射线 ； ④以点D为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点 Q; ⑤作
射线 交边 于点E．若 ， 则 的长为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了角的平分线作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，三
角形中位线定理，根据基本作图，得 ，根据 得 ，继而得到
得到 ，得到 ，结合点D是边 的中点，得到 ，
结合 解答即可．
【详解】根据基本作图，得 ，
根据 得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵点D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选C．
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在 中， .则图中相似三
角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
， ，
，， ，
，
， ，
．
故相似的三角形对数为4对：
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．（2023·山东日照·三模）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在第二象限，点B坐标为 ，
点C坐标为 ，以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 ．若点A的对应点 的
坐标为 ，点B的对应点 的坐标为 ，则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作 轴， 轴，如图，利用相似三角形的性质求得 和 的长度，进而即可求解．
【详解】解：作 轴， 轴，如图∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵由题意可得：
∴
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴
∴点A坐标为
故选：C
【点睛】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．
8．（2023·广东深圳·二模）如图，已知 ， ， ，将 绕点 沿逆时针
方向旋转后得到 ，直线 、 相交于点 ，连接 ．则以下结论中：① ∽ ；②
；③ 为 的中点；④ 面积的最大值为 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由旋转性质、等腰直角三角形的性质结合三角形相似的判定条件即可判断①正确；设 与AB交
于点G，由 ，可推出 ，再根据对顶角 ，即可推出，即②正确；由圆周角定理可知点A、C、B、F共圆，再结合圆内接四边形的性质，
可求出 ，最后由等腰三角形三线合一，即证明点F为BD中点，即③正确；设点F到AC的距
离为h，由AC为固定值，故h最大， 面积最大，由h最大值时F点与E点重合，即可求出其面积
最大值，即可判断④．
【详解】∵ ， ，
∴ ， ．
∵将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ．
又∵ ，
∴ ，故①正确；
如图，设 与AB交于点G．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴点A、C、B、F在同一圆上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴点F为BD中点，故③正确；
设点F到AC的距离为h，则 ，
∵AC长度为2，
∴当h最大时， 最大．
∵当F点与E点重合时， ，此时为h最大，如图．
∴ ，故④错误．
综上可知①②③正确，共3个．
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定
理以及圆的内接四边形的性质等知识，综合性强．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
二、填空题
9．（2024·吉林松原·一模）如图， 表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离 ， 和 表
示射入室内的光线，若某一时刻 在地面的影长 ， 在地面的影长 ，则窗户的高
度 为 ．
【答案】1.2
【分析】
本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的
数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线 与
仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出 的长，即窗户的高度．
【详解】解：∵ ，，
∴ ，
∴ ，
， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（2023-24九年级上·广东揭阳·期末）两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P
是线段 上一点 ，若满足 ，即 ，则称点P是 的黄金分割点．黄金分
割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主
持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关
键．本题由 再建立方程即可．
【详解】解：由题意知 米， ，
而 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
11．（2024·山西晋城·一模）在平面直角坐标系中， 与 关于原点 位似，点 及其对应点
的坐标分别为 ， ，则 与 的相似比为 ．
【答案】 /【分析】此题主要考查了位似变换，根据题意得出位似比是解题关键．利用位似图形的性质，结合对应点
的坐标得出位似比，即可得出答案．
【详解】解：∵ 与 关于原点 位似，点 及其对应点 的坐标分别为 ， ，
∴ 与 的相似比为 ．
故答案为： ．
12．（2024·云南昆明·一模）如图，若 ，请再添加一个条件，使得 ，你添加
的条件是 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三
角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似．
【详解】解：添加条件 ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
13．（2023·上海闵行·模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫
做等高底三角形，这条边叫做等底．如图， 是等高底三角形， 是等底，点 关于直线 的对称
点是点 ，连接 ，如果点 是 的重心，那么 的值是 ．【答案】 /
【分析】延长 与 交于点 ，根据轴对称性质得 ， ， ，再由 是
等高底三角形， 是等底，得 ，再根据三角形的重心定理得 ，设 ，
则 ，由勾股定理用 表示 ，进而计算 的值便可．
【详解】解：延长 与 交于点 ，如图所示：
点A关于直线 的对称点是点 ，
， ， ，
是等高底三角形， 是等底，
，
点 是 的重心，
，
设 ，则 ，
，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出
与 的数量关系．
14．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 的相似比为 ，点
是位似中心，已知点 ，点 ， ．则点 的坐标为 ．（结果用含 ， 的式子表
示）
【答案】
【分析】过点 分别作 轴的垂线 垂足分别为 ，根据题意得出 ，则
，得出 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 分别作 轴的垂线 垂足分别为 ，
∵ 与 的相似比为 ，点 是位似中心，
∴
∵ ，
∴ ,
∴ ，∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
15．（2023-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形 中，E，F分别为 边的中点， 分
别与 交于点P，Q．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了平行线平行线分线段成比例定理，同时也利用了矩形的性质和全等三角形的判定和性质，
如图，延长 交于G，首先利用已知条件证明 ，然后利用勾股定理求出 ，也就求
出 ，最后利用平行线的性质得到比例线段即可求出 ．
【详解】解：如图，延长 交于G
，
∵E为 的中点，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
而 ，∴ ，
∴ ，
∵E，F分别为 边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16．（2023·湖北孝感·三模）如图1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 方向运动，当
点 到达点 时停止运动，过点 作 交 于 点．设点 运动路程为 ，如图2所表示
的是 与 的函数关系的大致图象，当点 在 上运动时， 的最大长度是 ，则矩形 的面积是
．【答案】20
【分析】由题意可知，易证 ，可得 ，根据二次函数图像对称性可得 在 中点时，
有最大值，列出二次函数解析式即可解题．
【详解】解：若点 在 上时，如图
， ，
，
在 和 中， ， ，
∽ ，
由二次函数图像对称性可得 在 中点时， 有最大值，此时 ，
，
即 ，
，
当 时，代入得到
解得： ， （不合题意舍去），
，
，
∵ ，
矩形 的面积为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题
中由图像得出 为 中点是解题的关键．
三、解答题17．（2023·宁夏固原·一模） 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出已知 关于y轴对称的 ；
(2)以点O为位似中心，将 放大为原来的2倍，得到 ，请在网格中画出 ，并写出点
的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】
本题考查的是画关于y轴对称的三角形，画关于原点位似的三角形：
（1）找到A、B、C关于y轴对称的点，再连接相应的点；
（2）连接 ，延长至点 （或反向延长至点 ），满足 ，按同样的方法确定 ，再顺次连
接即可，再根据 的位置可得其坐标．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；（2）解：如图， 即为所求；
点 的坐标为 或 ．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在 中， ，过点 作 ，垂足为 ．
(1)若 ， ， ，求 的长；
(2)连接 ，若 ，且 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）证明 即可求解；（ ）由 得到 ，求得 ，利用勾股定理可得 ，再证明
即可求解；
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，D是 的边 上的一点，连接 ，已知 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
（1）利用相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形对应边成比例进行计算求出 ，即可得到线段 的长．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
，
得 ，
解得 ，
20．（2023·山东聊城·三模）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，过点D作 ，且
，连接 ．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)连接 ，交 于点F，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)【分析】（1）根据菱形的性质，得到 ， ，进而得到 ，推出四边形
是平行四边形，进而证明四边形 为矩形即可；
（2）根据菱形的性质，得到 ，再根据矩形的性质，得到 ， ， ，利用勾
股定理，求得 ，然后根据平行线分线段成比例定理，得出 为 中点，最后由直平行线分线段
成比例定理，即可求出 的长．
【详解】（1）证明： 四边形 是菱形，
， ，
，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是矩形；
（2）解： 四边形 是菱形，
，
由（1）得：四边形 为矩形，
， ， ，
在 中， ，
，
，
为 中点，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线分线
段成比例定理等知识，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．21．（2024·吉林·模拟预测）如图（1），在四边形 中， ， ， ，
， ，动点 从点 开始沿 边匀速运动，动点 从点 开始沿 边匀速运动，它们
的运动速度均为 ．点 和点 同时出发，设运动的时间为 ， ．
(1)用含 的代数式表示 ；
(2)当以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求 的值；
(3)如图（ ），延长 ， ，两延长线相交于点 ，当 为直角三角形时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）过点 作 于 ，得矩形 ，则 ， ，
，由勾股定理可求得 的长，从而可得 ；
（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；
（3）分 和 两种情况考虑，再由相似三角形的性质即可求得 的值．
【详解】（1）解：过点D作 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，， ，
，
在 中，由勾股定理，得 ，
，
．
（2）①当 时，则有 ，
，
解得 ．
②当 时，则有 ，
，解得 ．
综上所述，当 或 时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似；
（3）①当 时， 为直角三角形，如图，
过点 作 于 ， 于 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
∵ ，，
， ，
， ，
，
由 ，得 ，
解得 ．
②当 时， 为直角三角形，如图：则 ，
，
，
，即 ，
解得 ．
综上所述，当 或 时， 是直角三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性
质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
