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热点专题 07 相似（11 个热点）
考点一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段 长度分别是 ，那么就说这两条线段的比是 ，
或写成
2．成比例线段：对于四条线段 ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 （ 称为 的比例中项）．
考点二、黄金分割比1.黄金分割的定义：点 把线段 分割成 和 两段,如果 ,那么线段 被点 黄金分割，
点 叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比.
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注意： ( 2 叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段 ，按照如下方法作图：
（1）经过点 作 ，使 .
（2）连接 ，在 上截取 .
（3）在 上截取 .则点 为线段 的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
D
E
A B
C
考点三、相似图形
1.相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形
注意：①相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
②“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
2.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
考点四、平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
A B
几何语言： C D
E F
图一如图一:直线 .直线 分别交 于，若 .则
拓展：
①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
如图一:直线 ，直线 分别交 于 .且
距离为 ,若 ,则
②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
如图二:在 中， 为 中点， 交 于点 ，则
A
D E
B C
图二
③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
如图三:在梯形 中， 为 中点， 交 于点 ，则
A D
E F
C
B
图三
考点五、平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
如图四，在 中， ,则
如图五，在 中， 交 延长线于 ,则
（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角
形的三边对应线段成比例
如图四，在 中， ，则如图五，在 中， 交 延长线于 ，则
考点六、相似三角形的相关概念
在 和 中，如果 ， ，我们就说
与 相似，记作 ， 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ，则说明点 的对
应点是 ，点 的对应点是 ，点 的对应点是 ；
②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三
角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
考点七、相似三角形的判定
1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；
2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相
似；
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边
的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
注意：
5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若
有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似
考点八、相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ，则
由比例性质可得：A A
B C
B C
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二， ，则 分别作出 与 的高 和 ，
1 1
BCAD kBCkAD
S △ABC 2 2 =k2
S 1 1
△ABC BCAD BCAD
则 2 2
A A
B D C
B D C
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
题型一 成比例线段
【例1】已知四条线段a，b，c，d成比例，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知线段 厘米， 厘米，如果线段 是线段 和 的比例中项，那么 厘米．
【变式1-1】下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．【变式1-2】如图，点P把线段 分成两部分，且 为 与 的比例中项．如果 ，那么
．
【变式1-3】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全
部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设
计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
题型二 黄金分割
【例3】如图，乐器上的一根弦 ，两个端点 固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄
金分割点，且 ，则点A，点C之间的距离为 ．（结果保留根号）
【例4】叶脉绣是以树叶为载体，以传统刺绣衬托出叶脉美的刺绣工艺品，可谓自然之美与中国传统刺绣
结合得相得益彰．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，
点 是 的黄金分割点 ，如果 的长为 ，那么 的长为 ．【变式2-1】黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金
构图法．其原理是：如图，将正方形 的底边 取中点E，以E为圆心，线段 为半径作圆，其与
底边 的延长线交于点F，这样就把正方形 延伸为矩形 ，称其为黄金矩形．若 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-2】某品牌汽车为打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点位置（如图，
即车尾到倒车镜的距离与车长之比为 ），若车头与倒车镜的水平距离为 ，则该车车身总长约为
（结果保留整数）．
【变式2-3】如图，正方形 的边长为 为线段 的中点， 为线段 的黄金分割点 ，
以 为边作正方形 ，则 的值为 ．题型三 比例的基本性质
【例5】若 ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知线段 ，b，c，如果 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若 ，则▲，●，◆
这三种物体的重量比为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于 ．
【变式3-3】已知 ，则代数式 的值为 ．
题型四 平行线分线段成比例
【例7】如图，正方形 的边长为 ， 为 边中点， 为 边上一点，连接 ，相交于点．若 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【例8】如图，在锐角 中，D为 边上一点， ，将 绕点C顺时针旋
转 后得到 ，且点D，B的对应点分别为A，E， 交 于点O，连接 ．下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图，在 中，D，E分别为 ， 边上的点， ， 与 相交于点F，则
下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．【变式4-2】如图， 是 的直径， ， 是 外的一点， 是线段 的中点，连接 交
于点 ，且满足四边形 是矩形，则阴影部分的面积为 ．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数
的图象于点B，交函数 的图象于点C，过点C作y轴的平行线交 的延长线于
点D，则四边形 的面积等于 ．
题型五 相似三角形的判定【例9】如图所示，点 在同一直线上，满足
， ，且 ．求证： ．
【例10】如图， 中，点D是边 上一点， ，连接 ．从下列条件中，选择一个作为附
加条件① ；② ；③ ，求证： ．【变式5-1】如图，已知 是 的直径，点D为 延长线上的一点，点A为圆上一点，且 ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线．
【变式5-2】如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， 和 的顶点都在边
长为1的小正方形的格点上．
(1) ___________°；
(2)判断 与 是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由．
【变式5-3】如图， 中，在斜边 上选一点O为圆心画圆，此圆恰好经过点A，且与直角边
相切于点D，连接 、 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求阴影部分图形的周长．
题型六 相似三角形的性质
【例 11】如图在 中， 、 分别是边 、 上的点，且 ，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【例 12】如图， 中， ， ， ，点 D、E 分别是 、 边上的动点，折叠
得到 ，且点 落在 边上，若 恰好与 相似， 的长为 ．
【变式6-1】如图，在 中， ， ，点D是 边上的一个动点，点E在 上，点D在运动过程中始终保持 ，当 时，则 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式6-2】如图，等边 被矩形 所截， ，线段 被截成三等份．若 的面积为
，图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-3】如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、 上， ， ，
， ，求 的长．
题型七 相似三角形的判定与性质的综合
【例13】如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，点 在边 上，若
，且 平分 的周长，则 的长是（ ）A． B． C． D．
【例14】如图，在 中， ， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式7-1】如图，在四边形 中， ， ，以 为腰作等腰 ，顶点 恰好
落在 边上，若 ，则 的长是 ．
【变式7-2】如图，在 中，点E是 的中点，且 ，点F是 的三等分点（点F靠近点
A）．若 5，则 的长为
【变式7-3】如图，在 中， ， 为 的中位线，延长 至F，使，连接 并延长交 于点M，若 ，则 的周长为 ．
题型八 相似三角形中的动点问题
【例15】如图，在 中， ，E是 边上一动点，沿A→C→B的
路径移动，过点E作 ，垂足为D．设 ， 的面积为y，则下列能大致反映y与x函数
关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【例16】如图，正方形 的边 与矩形 的边 重合，将正方形 以1cm/秒的速度沿
方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形 的边长为1cm， ， ，
设正方形移动的时间为x秒，且 ．
(1)直接填空： cm（用含x的代数式表示）；
(2)若以G、D、C为顶点的三角形同 相似，求x的值；
(3)连接 ，过点A作 交 于点P，连接 ．若 的面积记为 ， 的面积记为 ，则 的值会发生变化吗？请说明理由．
【变式8-1】如图，在 中， ，翻折 ，使点 落在直角边 上某一点
处，折痕为 ，点 、 分别在边 、 上，若 与 相似，则 的长为（）
A． B． C． 或 D． 或
【变式8-2】如图，在 中， ， ，动点 从 点出发到 点止，动点 从 点出
发到 点止，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ．若 ， 两点同时出发，则当以点 ，
， 为顶点的三角形与 相似时，运动时间为 ．
【变式8-3】如图，在 中， ， ， ，点P从点B出发，沿 以
的速度向点C移动，点Q从点C出发，以 的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，
当点P运动到点C时，P、Q停止运动．设运动时间为 ，当 时， 与 相似．题型九 相似三角形的应用
【例17】在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼
为18米的点 处竖立一个长度为2.8米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点
、直杆顶点 和教学楼顶点 三点共线．测得人与直杆的距离 为2米，人眼高度 为1.6米，则教
学楼的高度 为（ ）
A．15.2米 B．13.6米 C．12.4米 D．1米
【例18】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳
光下，分别测得该建筑物 的影长 为 米， 的影长 为 米，小明的影长 为 米，其中 、
、 、 、 五点在同一直线上， 、 、 三点在同一直线上，且 ， ．已知小明
的身高 为 米，则旗杆的高 为 米．
【变式9-1】“今有邑方二百步，各开中门，出东门一十五步有木，问出南门几何步而见木？”这是《九
章算术》中的一段话，如图，大意是今有正方形小城市，边长200步，东门在 的中点 处，南门在
的中点 处，东门正东方向15步的点 处有一棵树，则从南门 往正南方向走 步能见到这棵树．【变式9-2】如图，矩形 是路灯 旁边的一个广告牌，晚上，该广告牌在路灯 的灯泡照射下，点
的影子在 处，点 的影子在 处，测得 ， ，已知O、C、F、B、E在同一水平线上，
且 ， ， ， ， ，求路灯灯杆的高度 ．
【变式9-3】某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点 A，B间的距离），可以
按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点 A；②再在河的这一边选定点 B和点 C，使
；③再选定点E，使 ，然后用视线确定 和 的交点D．
(1)用皮尺测得 ， ， ，求河宽 ．
(2)请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度 的方案．
要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示，直接标注在图2中的线段上；②不要求写操作步骤；
③结合所测数据直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗杆高度 ．
题型十 图形的位似变化
【例19】如图， 与 位似，其中 、 的对应点分别为 、 ， 、 均在图中正方形网格
格点上，若线段 上有一点 ，则点P在 上的对应点 的坐标为( )A． B． C． D．
【例20】如图， 中， ， 两个顶点在 轴的上方，点 的坐标是 ，以点 为位似中心，在
轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的2倍．设点 的对应点 的横坐
标是2，则点 的横坐标是 ．
【变式10-1】如图， 与 是位似图形，点O为位似中心，位似比为 ．若 的面积为8，
则 的面积是（ ）
A．15 B．16 C．9 D．18
【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形
之间，则位似中心的坐标为 ．【变式10-3】如图，原点 是 和 的位似中心，点 与点 是对应点， 的面
积是3，则 的面积是 ．
题型十一位似变化作图
【例21】如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ．
(1)将 先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到 ，请画出 ；(2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将 放大为原来的2倍得到 ，请画出
；
(3)请直接写出（2）中点 的坐标．
【例22】如图，在 正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位．建立坐标系后， 中点
坐标为 ．
(1)把 绕点C顺时针旋转 后得到 ，画出 ，并写出 坐标；
(2)把 以O为位似中心放大，使放大前后对应边长为 ，在第四象限画出放大后的 ，并写
出 坐标．
【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点都在格点上，点A的坐标为 ，点B的
坐标为 ，点C的坐标为 ，请解答下列问题：(1)将 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的 ；
(2)以原点O为位似中心，画出 的位似图形 ，使 与 的相似比为 ．
【变式11-2】如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点
的线段 和格点 ．
(1)在所给网格中，以格点 为位似中心将线段 放大2倍得到线段 ，画出线段 ；
(2)把线段 绕端点 顺时针旋转 得到线段 ，画出线段 ．
【变式11-3】如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 的顶点均在格点上，按
要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以 为边，画出 ，使 和 全等，D为格点，请在图1中画出满足条件的
所有 ；
(2)在图2中，以点C为位似中心．画出 ，使 与 位似，且位似比 ，点E、F
为格点；
(3)在图3中，在 边上找一个点P，且满足 ．一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且 ， ， ，那么d的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2023·云南昭通·二模）如图，点D、E分别在 的边 、 上，且 ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南商丘·一模）如图，在 中， ， 与 相切于点 ， 经过圆心 且与圆
相交于点 ， ．若 ， ，则 的直径为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重庆渝北·一模）如图，四边形 与四边形 是以点 为位似中心的位似图形，已知
，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是（ ）A． B．5 C． D．
5．（2023·云南·模拟预测）如图，在 中，点D是边 的中点，按以下步骤作图：①以顶点B为圆
心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M， N ②分别以点M， N为圆心， 大于 长为半径
画弧，两弧相交于点P； ③作射线 ； ④以点D为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点 Q; ⑤作
射线 交边 于点E．若 ， 则 的长为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在 中， .则图中相似三
角形共有（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．（2023·山东日照·三模）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在第二象限，点B坐标为 ，
点C坐标为 ，以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 ．若点A的对应点 的
坐标为 ，点B的对应点 的坐标为 ，则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广东深圳·二模）如图，已知 ， ， ，将 绕点 沿逆时针
方向旋转后得到 ，直线 、 相交于点 ，连接 ．则以下结论中：① ∽ ；②
；③ 为 的中点；④ 面积的最大值为 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2024·吉林松原·一模）如图， 表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离 ， 和 表示射入室内的光线，若某一时刻 在地面的影长 ， 在地面的影长 ，则窗户的高
度 为 ．
10．（2023-24九年级上·广东揭阳·期末）两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P
是线段 上一点 ，若满足 ，即 ，则称点P是 的黄金分割点．黄金分
割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主
持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ．
11．（2024·山西晋城·一模）在平面直角坐标系中， 与 关于原点 位似，点 及其对应点
的坐标分别为 ， ，则 与 的相似比为 ．
12．（2024·云南昆明·一模）如图，若 ，请再添加一个条件，使得 ，你添加
的条件是 ．（写出一个即可）
13．（2023·上海闵行·模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图， 是等高底三角形， 是等底，点 关于直线 的对称
点是点 ，连接 ，如果点 是 的重心，那么 的值是 ．
14．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 的相似比为 ，点
是位似中心，已知点 ，点 ， ．则点 的坐标为 ．（结果用含 ， 的式子表
示）
15．（2023-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形 中，E，F分别为 边的中点， 分
别与 交于点P，Q．若 ， ，则 的长为 ．
16．（2023·湖北孝感·三模）如图1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 方向运动，当
点 到达点 时停止运动，过点 作 交 于 点．设点 运动路程为 ，如图2所表示
的是 与 的函数关系的大致图象，当点 在 上运动时， 的最大长度是 ，则矩形 的面积是．
三、解答题
17．（2023·宁夏固原·一模） 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出已知 关于y轴对称的 ；
(2)以点O为位似中心，将 放大为原来的2倍，得到 ，请在网格中画出 ，并写出点
的坐标．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在 中， ，过点 作 ，垂足为 ．
(1)若 ， ， ，求 的长；(2)连接 ，若 ，且 ， ，求 的长．
19．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，D是 的边 上的一点，连接 ，已知 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
20．（2023·山东聊城·三模）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，过点D作 ，且
，连接 ．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)连接 ，交 于点F，连接 ，若 ， ，求 的长．
21．（2024·吉林·模拟预测）如图（1），在四边形 中， ， ， ，
， ，动点 从点 开始沿 边匀速运动，动点 从点 开始沿 边匀速运动，它们
的运动速度均为 ．点 和点 同时出发，设运动的时间为 ， ．
(1)用含 的代数式表示 ；
(2)当以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求 的值；(3)如图（ ），延长 ， ，两延长线相交于点 ，当 为直角三角形时，求 的值．
