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第二十二章 二次函数 基础常考60题（20个考点）专练
【精选2023年最新题型训练】
基础常考题一、列二次函数关系式
1．（2023·全国·九年级假期作业）正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，
则y是x的函数，它们的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先计算正方体一个面的面积，然后乘以六得到正方体的表面积．
【详解】解：正方体的每一个面都是面积为 的小正方形，
∵展开后由六个全等的小正方形组成，
∴正方体表面积为 ．
故答案选：D
【点睛】本题考查了二次函数关系式，用棱长表示出正方体表面积是解题关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， ， ， ，四边形 是 的内接
矩形，如果 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 与 的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得 是等腰直角三角形，得出 ，进而根据矩形的面积
即可求解．
【详解】 ， ，
．
四边形 是 的内接矩形，
， ， ，，
．
， ，
∴ ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30
元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量
（千克）是销售单价 （元）的一次函数，且当 时， 时， ．在销售过程中，每
天还要支付其它费用450元．
(1)求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式．
【答案】(1) ( )；
(2) ( )
【分析】（1）根据 与 写成一次函数解析式，设为 ，把 与 的两对值代入求出 与 的值，即
可确定出 与 的解析式，并求出 的范围即可；
（2）根据利润=单价 销售量列出 关于 的二次函数解析式即可．
【详解】（1）设 与 的函数关系式为
．
时， ，
时， ，
，解得 ，
，
根据部门规定，得 ．
（2）
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二
次函数性质是解本题的关键．
基础常考题二、二次函数的识别
1．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合
并同类项）后，能写成 （a，b，c为常数， ）的形式，那么这个函数就是二次函数，否
则就不是．
【详解】A． ，关系式不是整式，故不是二次函数；
B． ，关系式不是整式，故不是二次函数；
C． ，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；
D． ，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 （a，b，c为常数， ）的函数叫做
二次函数．2．（2023·浙江·九年级假期作业）有下列函数：① ；② ；③ ；④
．其中y是x的二次函数有 ．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据二次函数定义：形如 （a、b、c是常数， ）的函数，叫做二次函数进行分
析即可．
【详解】解：y是x的二次函数的是② ；③ ；④ ．
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若
是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个
关键条件．
3．（2023·上海·九年级假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请
指出二次项、一次项系数及常数项．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
(2)不是；
(3)是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
(4)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1）是二次函数，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；（2） ，不含二次项，故不是二次函数；
（3）是二次函数，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
（4） 中 不是整式，故不是二次函数．
【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知
识点．形如 （ ）的函数叫做二次函数，其中 叫做二次项、 叫做一次项系数、 是
常数项．
基础常考题三、根据二次函数的定义求参数
1．（2023春·黑龙江绥化·八年级校联考期末）若 是二次函数，则 的值是（ ）
A． B．3 C．9 D．
【答案】D
【分析】根据指数为2，且二次项系数不为零，计算即可．
【详解】∵ 是二次函数，
∴ ，
解得 ，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（2023秋·河南开封·九年级统考期末）已知函数 是二次函数，则 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义分析即可，二次函数的定义：一般地，形如 （ 是常数，
）的函数，叫做二次函数．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）若 ．
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据二次函数的定义得出 ，进而即可求解；
（2）根据一次函数的定义得出 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：(1)当 是二次函数时，
有 ，
解得 ，
∴当 时，此函数是二次函数；
（2）当 是一次函数时，
有 ，
解得 或 ，
∴ 或 时，此函数是一次函数．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义
是解题的关键．基础常考题四、y=ax2的图象与性质
1．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线 与直线 ， ， ， 围成的正方形有公共点，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形，求出过 、(2，1)两点的抛物线解析式可确定a的取值范围．
【详解】解：当 时，抛物线 与直线 ， ， ， 围成的正方形没有公共点，
则 ，画出草图如图，
把 代入 得 ，
把点 代入 得 ，
则a的范围介于这两点之间，故 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象及性质，采用数形结合的思想是
解决此类题的关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则实数a
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由当 时，y随x的增大而减小，可知： ，
∴ ；故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数 的图象经过点 ．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点 是否在此函数的图象上．
【答案】(1) ，对称轴为y轴
(2)点 不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当 ，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在 中，当 时， ，
∴点 不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
基础常考题五、y=ax2+k的图象与性质
1．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线 ， ， 共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同
【答案】B
【分析】从所给抛物线的开口方向、对称轴、最高点或最低点、顶点坐标等方面考虑即可完成．【详解】解：抛物线 开口向上，对称轴是 轴，有最低点，顶点坐标 ；抛物线 ，开
口向下，对称轴是 轴，有最高点，顶点坐标 ；抛物线 开口向上，对称轴是 轴，有最高
点，顶点坐标 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线的图象与性质是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点 ， 是抛物线 上的两点，若
，则 （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】＜
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线 可知： ，开口向下，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当点 ， 是抛物线 上的两点，且 ，则 ；
故答案为＜．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2023·上海·九年级假期作业）已知函数 是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点 ， ，若满足 ，则此时m的值是多少？
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义可得 ， ，即可求解；
（2）点 ， ，且 ，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ，
解得： 或 ．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点 ， ，且 ，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴ ，解得
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，
次数最高为2； 时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增
大而增大， 时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而
减小．
基础常考题六、y=a(x+h)2的图象与性质
1．（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当 时， 随 的增大而减小 D．顶点坐标为
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，
在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，
【详解】对于二次函数 ， ，则开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，
故A，B选项错误，D选项正确，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
∴当 时， 随 的增大先增大后减小，故C选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知函数 ．当 时， 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：∵ 中， ，
∴该二次函数图象的开口向上，当 时，函数有最小值为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3) ．
【答案】(1)开口向下，对称轴是 ，顶点坐标为
(2)开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为
(3)开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为
【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴开口向下，对称轴是 ，顶点坐标为 ；（2）解：∵抛物线 ，
∴开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为 ；
（3）解：∵抛物线 ，
∴开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
基础常考题七、y=a(x+h)2+k的图象与性质
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3D．函数的最
小值是－3
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数 的对称轴为 ，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
2．（2023·上海·九年级假期作业）与抛物线 形状相同，顶点为（3， ）的抛物线解析式为
．
【答案】 或
【分析】设解析式为 ，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：设解析式为 ，∵抛物线形状与 相同，
∴ ，
∵顶点为（3， ），
∴ ， ，
∴解析式为 、 ．
故答案为： 或
【点睛】本题考查二次函数的顶点式的求法，抛物线形状相同，则说明a相等或互为相反数．
3．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数
(1)将 化成 的形式；并写出其对称轴和顶点坐标；
(2)当 取何值时， 随 的增大而减小．
【答案】(1) ；对称轴是直线 ，顶点坐标是
(2)当 时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项函系数的一半的平方来凑完全平方公式，把
一般式转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
（2）根据二次函数的图像即可解答．
【详解】（1）
该二次函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；
（2）如图，当 时，y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及顶点坐标的求法，熟知二次函数的顶点式是解题关键．
基础常考题八、y=ax2+bx+c的图象与性质
1．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）已知二次函数 的图像上有两点 和
，则当 时，二次函数的值是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线 ，也可表示为直线 ，可得 ，代
入函数的解析式即可求得二次函数的值．
【详解】解： 二次函数 的图像上有两点 和 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，二次函数 ．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，图像上的点坐标符合解析式是解
题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考期中）已知二次函数 ，当
时， 的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的增减性即可得出结论．
【详解】解： ，
该抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， 的取值范围为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．
3．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）已知二次函数 ．
(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点 在该函数图象上
①当 时，则x的取值范围为___________；
②当 （t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
【答案】(1)见解析
(2)① ，②
【分析】（1）先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象；
（2）①根据（1）中的图象，即可得出x的取值范围；②先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，
得出结论．
【详解】（1）解：列表如下：
x …… 0 1 ……
y …… 0 3 4 3 0 ……
二次函数 如图所示：（2）解：①由图可知：当 时，x的取值范围为 ，
故答案为： ；
②由图可知，该二次函数对称轴为直线 ，
∵y随x的增大而减小，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用描点法画二次函数图象的方法，以
及能够结合图象，分析函数的性质．
基础常考题九、二次函数图象的平移
1．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）将二次函数 的图象先向右平移2个单位长度，再
向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定抛物线顶点平移后的坐标即可确定平移后抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，它向右平移2个单位长度，再向上平移8个单
位长度后的坐标为 ，而平移不改变图形的大小与形状，所以平移后的抛物线解析式为：
；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，抓住顶点的平移是解题的关键．
2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）点 是抛物线 ： 上一点，将抛物线 平
移，得到抛物线 ： ，点P平移后的对应点为点 ，则点 坐标为 ．
【答案】
【分析】根据顶点式得到平移规律，即可求解．
【详解】解：将抛物线 ： 平移，得到抛物线 ： ，
平移规律为向左平移4个单位，向下平移3个单位，
则点 平移后的对应点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数图象的平移确定平移是解答此题的关键．
3．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点 ，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点 代入 可求出b，从而得解；
（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点 代入可求出n的值．【详解】（1）解：把点 代入 得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得： ，
把点 代入 得：
解得：
即n的值为1．
【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．
基础常考题十、一次函数、二次函数图象综合判断
1．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是一次函数 的图象，则二次函数
的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数图象确定 ，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，由此即
可得到答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、三象限且与y轴交于y轴的正半轴，
∴ ，
∴二次函数 的图象的开口向上，∵二次函数的对称轴为直线 ，
∴二次函数的对称轴在y轴左侧，
∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出 是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）观察函数 与 的图像，写出一条它们的共同特征：
．
【答案】都过 等
【分析】从函数图像的分布，图像过点等角度去探索答案．
【详解】∵函数 与 的图像都经过点（0，-1），
故答案为：（0，-1）．
【点睛】本题考查了函数图像的特点，熟练掌握图像的特点是解题的关键．
3．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线 经过A(6，0)，顶点M在直线y=2x-7上，
求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性求出顶点的横坐标，再代入直线y=2x-7，再将A及顶点坐标代入解析式
，据此即可求出抛物线的解析式．
【详解】∵ ，
∴抛物线经过(0，0)，
∵抛物线经过(6，0)，
∴抛物线对称轴为直线x=- =3，
∴b=-6a， ，
将x=3代入y=2x-7中得y=6-7=-1，
∴抛物线顶点坐标为(3，1)，将(3，1)代入 得 ，
解得a=- ，
∴ ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键．
基础常考题十一、简单的二次函数图象与各系数的关系
1．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）二次函数 的图象如图所示，则下列各式正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图知， ，对称轴 ，得 ， ， ； 时， ；
时， ，变形求解．
【详解】由图知， ，对称轴 ，得 ， ， ，故A选项错误，D选项错误；
时， ，故B错误；
时， ，得 ，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的解析式，图象性质，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是解题
的关键．
2．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知二次函数 ，其中自变量 与函数值
之间满足下面的对应关系：…… 2 3 7 ……
…… ……
下列判断中，正确的是 （填序号）．
①顶点是 ；② ；③ ；④当 时， ；⑤当 时， 随着 的增大而
减小．
【答案】②④⑤
【分析】由 ， 可得抛物线的对称轴为直线 ，由 ， ， 可知抛
物线的开口向下，进而逐项判断即可得到结论．
【详解】已知抛物线经过 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴顶点不是 ，故①错误；
由 ， ，可得 时， 随着 的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∴ ，故②正确；
∵抛物线经过点 ， ， ，
∴抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线经过 ，
∴抛物线经过点 ，
∴当 时， ，故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴ 时， 随着 的增大而减小，故⑤正确；
故答案为：②④⑤
【点睛】本题主要考查二次函数的图像性质，根据抛物线经过的点判断抛物线的开口方向及对称轴，掌握
二次函数与方程和不等式的关系是解题的关键．
3．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝ ＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关
系是解题的关键．基础常考题十二、待定系数法求二次函数的解析式
1．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若二次函数 （a，b为常数）的图象如图，
则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象开口向下可知 ，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于
a的一元二次方程即可．
【详解】解：把原点 代入抛物线解析式，得 ，
解得 ，
∵函数开口向上， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关
键．
2．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图1，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 ）
的薄壳屋顶，已知它的拱宽 为4米，拱高 为0.8米，为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当
的平面直角坐标系，求表达式，如图2是以 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴建立的平面直角
坐标系，则图2中的抛物线的解析式为 ．【答案】
【分析】根据图形，设解析式为 ，由题知 ， ，构建方程组求解．
【详解】解：抛物线关于y轴对称，设解析式为 ，由题知 ， ，得 ，
解得
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，结合抛物线在坐标系的位置，将二次函数解析式设为
适当的形式是解题的关键．
3．（2022秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知二次函数图象经过点 ，其对称轴
为直线 ，函数的最大值为 .
(1)求此函数的解析式；
(2)当 随 的增大而减小时， 的取值范围为____________（请直接写出答案）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可设二次函数的解析式为 ，根据题意可直接求得 与 的值，根据二次函数
图象经过点 ，可求得 的值．
（2）根据二次函数的图象和性质可直接求得答案．【详解】（1）设二次函数的解析式为 ．
∵对称轴为直线 ，函数的最大值为 ，
∴ ， ．
二次函数图象经过点 ，可得
．
解得
．
所以，二次函数解析式为 ．
（2）根据二次函数的图象和性质，可知当 时， 随 的增大而减小．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，牢记二次函数解析式
的形式以及二次函数的图象和性质是解题的关键．
基础常考题十三、二次函数与一元二次方程的关系
1．（2023·全国·九年级假期作业）若二次函数 的图象经过点 ， ，则关于x的方
程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．
【详解】解： 的图象经过点 ， ，
方程 的解为 ， ．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．
2．（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）已知二次函数 （ 均为常数，且 ），若 与 的部分对应值如下表所示，则方程 的根为 ．
x ... -2 -1 0 1 2 3 4 ...
y ... 5 0 -3 -4 -3 0 5 ...
【答案】 ，
【分析】根据图表当 时， ；当 时， ；直接得出方程 的根．
【详解】解：由图表可知：
当 时， ；当 时， ；
方程 的根为 ，
故答案为 ， ．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点，解题关键是根据图表直接找出 取何值时 ．
3．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线 （ 为常数），求证：无论
为何值，抛物线与 轴总有两个公共点．
【答案】见解析
【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明．
【详解】证明：∵ ，
∴无论 为何值，抛物线与 轴总有两个公共点．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问
题是解题的关键．
基础常考题十四、利用二次函数的交点确定不等式的取值范围
1．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图，抛物线 与直线 相交于 ，
两点，则当 时，自变量x的取值范围是（ ）．A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】根据当 时，自变量x的取值范围是抛物线图象在一次函数图象上方部分所对应的 的取值
范围，结合图象进行作答即可．
【详解】解：由图象可知，当 时，自变量x的取值范围是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的交点与不等式的解集的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2．（2023春·广西·八年级南宁十四中校考期末）如图，一次函数 与二次函数
的图象相交于 ， 两点，则关于x的不等式 的解集
为 ．
【答案】
【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可．
【详解】解：由图象可知，关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．【点睛】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟
练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小．
3．（2023春·北京西城·九年级北京八中校考开学考试）对于抛物线 ．
(1)它与 轴交点的坐标为_______，与 轴交点的坐标为________，顶点坐标为_______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
… …
… …
(3)当 时，结合函数图象，直接写出 的取值范围________；
(4)若点 ， 在抛物线上，且 ，直接写出 的取值范围_______．
【答案】(1) ， ； ；
(2)见解析
(3)
(4) 或
【分析】（1）分别令 ，求得与坐标轴的交点，化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）根据列表描点连线画出函数图象即可求解；
（3）根据函数图象直接可得结果；
（4）根据题意得出 ，进而根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解： ，当 ， ，
当 ， ，
解得： ，
，
∴顶点坐标为 ，
∴ 与 轴交点的坐标为 ， ，与 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为： ；
故答案为： ， ； ； ．
（2）列表如下，
… …
… …
描点、连线如下，
（3）当 时， ，
故答案为： ．
（4）点 ， 在抛物线上，且 ，
则 ，
∴ ，根据 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．
基础常考题十五、二次函数与坐标轴的交点
1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）若抛物线对称轴为直线 ，与x轴交于点 ，则该抛物
线与x轴的另一交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线 求解．
【详解】解：抛物线对称轴为直线 ，点A坐标为 ，
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．
2．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）二次函数 的图象与直线 的交点坐标是
．
【答案】
【分析】联立两个函数解析式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得 ，
∴次函数 的图象与直线 的交点坐标是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数与直线的交点问题，联立函数解析式求解是解答本题的关键．3．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)求此抛物线的顶点坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）当 时，解方程 即可得到A、B的坐标，将 代入即可得到点C的坐标；
（2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．
【详解】（1）当 时，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得：
∴
（2）∵
∴顶点坐标是：
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的
求法是解题的关键．
基础常考题十六、二次函数的应用之增长率问题1．（2023·福建·九年级专题练习）根据福建省统计局数据，福建省 年的地区生产总值为 亿
元， 年的地区生产总值为 亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题
意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开
展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种
子平均每年的增长率为x，则x的值为 ．
【答案】20%
【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每
年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： (不符合题意，舍去)，
∴x的值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023·上海·九年级假期作业）某公司 月份的营收为 万元，设每个月营收的增长率相同，且为
， 月份的营收为 万元，写出 关于 的函数解析．
【答案】
【分析】设每月增长率都为 ，所以5月份的营收为 万元，6月份的营收为 万元．【详解】解：因为 月份的营收为 万元， 月份起，每月增长率都为 ，所以 月份的营收为 万
元， 月份的营收为 万元．
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
基础常考题十七、二次函数的应用之拱桥问题
1．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地
面宽度为 ，两侧距地面 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为 ，则这个门洞内部顶端离地面的
距离为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，由题意可知各点坐标为 ， ， ，
设抛物线解析式为 把B、D两点带入解析式，
∴ ，解得： ，
∴解析式为 ，则 ，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为 ，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.
2．（2023·江西吉安·统考一模）如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，
以桥底部（正好为水面）所在直线为 轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O建立如图2所示的
平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ．【答案】
【分析】设抛物线解析式为 ，根据题意可得 ，抛物线与x轴两交点坐标分别为 、
，代入即可求出．
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
由题意可知： ，抛物线与x轴两交点坐标分别为 、 ，
把 、 ，代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求抛物线解析式，正确设出解析式和确定点的坐标是解题关键．
3．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽 为
，拱顶内高 ．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是 的中点）．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽 ，高 的大型
货运卡车是否可以通过？为什么？
【答案】(1)(2)一辆宽 ，高 的大型货运卡车可以通过，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当 时，x的值，再根据车辆宽 且只能在中心的两侧行驶进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为 ，点A和点B的坐标分别为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：一辆宽 ，高 的大型货运卡车可以通过，理由如下：
在 中，当 时，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴一辆宽 ，高 的大型货运卡车可以通过．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
基础常考题十八、二次函数的应用之销售问题
1．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客
做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y
（元）与售价x（元/个）之间关系式满足 ，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，
第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价−成本
价）（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
【答案】A
【分析】根据题意列方程组求出二次函数的解析式，再列方程即可得到结论．【详解】解：由题意知：当 时， ；当 时， 代入 中，
得 ，
解得： ，
∴ ，
当每天利润为0元时，售价即为成本价．令 ，
解得： ，
由题意可知38不符合条件，
∴ ，
∴这种口罩的成本价是10元/个；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：
当销售单价是25元时，每天的销售量为150件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设销
售单价为x（元），每天的销售量为y（件），每天所得的销售利润w（元）．则当销售单价为
元时，每天的销售利润最大，最大利润 ．
【答案】 30 1000
【分析】先表示出涨了 元，销售量少 件，现在的销售量为 件，再利用公式
总利润 单利润 销售量即可求解．
【详解】解：由题意，得：涨了 元，销售量少 件，
现在的销售量为 件，
，
当 时，此时 最大，
元．
故当销售单价为30元时，每天的销售利润最大，最大利润1000元．
故答案为：30，1000．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握有总利润 单利润 销售量的公式．
3．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）为做好防疫保供两不误，全力保障市民生活所需，截至目前，某
市63家企业推出了126个APP或小程序，提供线上下单、线下无接触配送服务．某超市销售箱装高档水
果，每箱水果盈利50元，超市每天可销售20箱．为提高利润，超市决定降价销售，经调查发现，每箱水
果降价1元，超市每天可多售出2箱．当每箱水果降价多少元时，该超市的日盈利最大，最大是多少？
【答案】每箱水果降价20元时，该超市的日盈利最大，最大是1800元
【分析】设每箱水果降价x元，每天获利 元，列出函数关系式，根据二次函数的最值求解．
【详解】解：设每箱水果降价x元，每天获利 元，
由题意可得：
，
∴当每箱水果降价20元时，该超市的日盈利最大，最大是1800元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．
基础常考题十九、二次函数的应用之投球问题
1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高
度的关系为 、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在
高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】C
【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时
x的值．
【详解】解：∵此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是： ，
∴炮弹所在高度最高的是第12秒．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的
关键．
2．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 ，则铅球推出的距离 m．
【答案】10
【分析】令 ，则 ，再解方程，结合函数图象可得答案．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令 求解方程的解是解本题的关键．
3．（2023·上海·九年级假期作业）如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为
（单位：米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，
求：
(1)出手点A离地面的高度；
(2)最高点C离地面的高度；
(3)该运动员的成绩是多少米？
【答案】(1) 米
(2)3米；
(3)10米．【分析】（1）根据解析式直接令 求值即可；
（2）将解析式化为顶点式，即可得到答案；
（3）令 ，解方程即可
【详解】（1）解：令 中 ，得 ，
∴出手点 ，即出手点离地面高度为 米；
（2）∵ ，
∴顶点 ，
可知最高点离地面高度为3米；
（3）令 ，解得 ， ，
∴ ，
由此可知该运动员成绩为10米．
【点睛】此题考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数各点表示的实际意义，可将实际问题转化为点坐标
的求解．
基础常考题二十、二次函数的应用之图形运动问题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在 中， ， ， ．动点 从点 出
发，沿边 向点 以 的速度移动（不与点 重合），同时动点 从点 出发，沿边 向点 以
的速度移动（不与点 重合）．当四边形 的面积最小时，经过的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用含 代数式表示四边形 的面积，通过配方求解．【详解】解：设运动时间为 秒，四边形 的面积为 ，
则 ， ，
，
，
即 ，
当 时， 有最小值为12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并
根据二次函数的性质求出最值．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 中， ， ， 为 中点． 、
是边 、 上的动点， 从 出发向 运动，同时 以相同的速度从 出发向 运动， 运动到
停止．当 为 时， 的面积最大．
【答案】4
【分析】设 ，可得 ，可得到 ，再利用二次函数的性质，
即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 的面积最大．故答案为：4
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意准确得到 是解题的
关键．
3．（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）已知：如图所示，在 中， ， cm，
cm，点P从点A开始沿 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿 边向点C以
2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)如果 分别从 同时出发，那么几秒后， 的面积等于4cm2？
(2)几秒时， 的面积最大？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设经过x秒钟， 的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿 边向点B以 的速
度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）设经过t秒以后 面积最大，用含 的式子表示 的面积，即可得出结论．
【详解】（1）解：设经过x秒以后 面积为 ，则
，
整理得： ，
解得： ，
∵当 时， ，∴ 不合题意，
答：1秒后 的面积等于 ；
（2）解：当 秒时， 面积最大．理由如下：
设经过t秒以后 面积最大，则
，
当 秒时， 面积最大．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“ 的面积最大”得出等量关系是解
决问题的关键．
