文档内容
专题 08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法
类型一、平行四边形存在性问题
例．已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与轴交于 点，点 是
抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接 ， ， ，设 的面积为 ．
①求 关于 的函数表达式；
②求 点到直线 的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)如图2，设抛物线的对称轴为 ， 与 轴的交点为 ，在直线 上是否存在点 ，使得
四边形 是平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②点 到直线 的距离的最大值为 ，此时点 的坐标为
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①在图1中，过点 作 轴，交 于点 ，求得直线 的解析式为
．点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，根据三角形的面积公
式得出 ；
②根据二次函数的性质得出当 时， 取最大值，最大值为 ．勾股定理求得 ，等
面积法求得点 到直线 的距离，进而得出 的坐标；
（3）如图2，连接 ，交抛物线对称轴 于点 ，因为抛物线 与 轴交于， 两点，所以抛物线的对称轴为直线 ，由平行四边形的性质及平移规
律可求出点 的坐标；当 时，不存在．
【详解】（1）(1)将 ， 代入 ，
得 解得： ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）①在图1中，过点 作 轴，交 于点 ．
设直线 的解析式为 ，
将 、 代入 ，
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴
②
∵ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ．
∵ 、 ，
∴线段 ，∴点 到直线 的距离的最大值为 ，
当 时， ，则此时点 的坐标为
（3）如图 ，连接 ，交抛物线对称轴 于点 ，
抛物线 与 轴交于 ， 两点，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
，
，
在 中，当 时， ，
，
，
，
，
点 的坐标为 ；
当 时，不存在，理由如下，
若四边形 是平行四边形，则 ，
点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
点 的横坐标 ，
又 ，
不存在，
综上所述， ．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等，
解题关键是能够灵活运用平行四边形的性质及判定等．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与x轴交于A、B两点
（A点在B点的左侧），直线 与抛物线交于A、C两点．
(1)求点C的坐标；
(2)点P为直线 下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交 于E点，当 最长时求
此时点P的坐标；
(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以 为顶点的四边形为平行四边
形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点N的坐标为： ， ， ，见解析
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ，
解得： ， ，
，
直线 经过点 ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立方程组，得 ，解得： ，
；
（2）如图1，设点 ，则点 ，
，
，
当 时， 取得最大值 ，此时， ；
（3） ，
抛物线顶点为 ，
如图2，点 为顶点的四边形是平行四边形时，设 ，分三种情况：
① 为对角线时， 的中点与 的中点重合，， ，解得： ， ，
，
② 为对角线时， 的中点与 的中点重合，
， ，解得： ， ，
，
③ 为对角线时， 的中点与 的中点重合，
， ，
解得： ， ，
，
综上所述，点N的坐标为： ， ， ．
【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的
最值问题，平行四边形的性质，要分情况讨论求解，以防遗漏．
【变式训练2】如图，抛物线 经过 ， 两点．
(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点 ，使得 值最小，求最小值；
(3)点 为 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点 ，使以 ， ， ， 四点构成的
四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)(3) ， ，
【分析】（1）把 ， 两点代入求出 、 的值即可；
（2）因为点 关于对称轴对称的点 的坐标为 ，连接 交对称轴直线于点 ，求出
点坐标即可；
（3）分点 在 轴下方或上方两种情况进行讨论．
【详解】（1）解： 抛物线 经过 ， 两点，
，
解得： ， ，
此拋物线的解析式为 ；
（2）如图，连接 ，交对称轴于点 ，
拋物线的解析式为 ，
其对称轴为直线 ，
当 时， ，
，
又 ，
设 的解析式为 ，，
解得： ， ，
的解析式为 ，
当 时， ，
，
；
（3）存在，如图所示：
①当点 在 轴下方时，
抛物线的对称轴为 ， ，
，
②当点 在 轴上方时，如图，过点 作 轴于点 ，
在 和 中， ， ，
，即 点的纵坐标为，解得： 或 ，
， ，
综上所述符合条件的 的坐标有 ， ， ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解
析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（3）时要
注意进行分类讨论．
【变式训练3】综合与实践
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接 ．
(1)求抛物线的解析式：
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，求
出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行
四边形，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)存在， 或 或
(3) 或 或 或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）分两种情况：以C为顶点，即 ；以D为顶点，即 ，利用勾股定理
及等腰三角形的定义建立方程即可完成；
（3）分三种情况：当 是对角线时；当 是对角线时；当 是对角线时；分别设点E与F的坐标，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：∵点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，
∴ ，
解得： ，
∴所求抛物线解析式为 ；
（2）解：存在
由抛物线解析式知，其对称轴为直线 ， ，
设 ，则 ， ， ，
①以C为顶点，即 时；
则 ，
解得： 或 （舍去），
∴点P的坐标 ，
②以D为顶点，即 时，
则 ，
解得： ，
∴点P的坐标为 或 ，
综上，点P的坐标为 或 或 ；
（3）解：设点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，
①当 是对角线时；
由中点坐标公式得： ，
解得： 或 （舍去），∴点E的坐标 ；
②当 是对角线时；
由中点坐标公式得： ，
解得： ，
∴点E的坐标为 或 ；
③当 是对角线时；
由中点坐标公式得： ，
解得： 或 （舍去），
∴点E的坐标 ；
综上，点E的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的
性质，中点坐标公式，勾股定理等知识，本题有一定的综合性，注意分类讨论．
类型二、菱形存在性问题
例．如图，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于点 ，顶
点为 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形 的面积为 ，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点 是对称轴上一点，点 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的
抛物线上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，且 ，
如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点G的坐标为 或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接 ，过点 作 轴交 于点 ．先求得直线 的表达式为：
．再设 ， ，则
，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线
的对称轴与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，设 ，利
用面积构造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下图，连接 ， ，由菱形及等边三角形的性质证明 得
．从而求得直线 的表达式为： ．联立方程组求解，
又连接 ， ， ，证 ．得 ，又证 ．得
．进而求得直线 的表达式为： ．联立方程组求解即
可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ，解得 ．
∴抛物线的表达式为： ．
（2）解：方法一：如下图，连接 ，过点 作 轴交 于点 ．∵
，
∴ ．
令 中 ，则 ，
解得 或 ，
∴ ，
设直线 为 ，
∵ 过点 ，， ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的表达式为： ．
设 ， ，
∴
．
∴
．∵ ，
∴ ．
整理得 ，解得 ．
∴ ．
方法二：
如下图，
抛物线的对称轴与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，
设 ，
∴ ，
∴
．
∵ ，
∴ ．
整理得 ，解得 ．
∴ ．
（3）解：存在，点 的坐标为 或 ．
如下图，连接 ， ，∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，点 与点 关
于对称轴 对称，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ 即 ， ，
∴ ．
∴ ．
∴直线 的表达式为： ．
与抛物线表达式联立得 ．
∴点 坐标为 ．
如下图，连接 ， ， ，同理可证： 是等边三角形， 是等边三角形， ．∴ ，
∵ ， ，∴ ．
∴ ．∴ ．
∴直线 的表达式为： ．
与抛物线表达式联立得 ．
∴点 坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，
待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，
熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求
一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．
【变式训练1】如图1，抛物线 交x轴于点 和点 ，交y轴于点
C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D是直线 上方拋物线上一动点，连接 ， 和 ， 交 于点M，设的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点D的坐标；
(3)如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作 轴交直线 于Q点，请问在y轴
上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的
坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2) 或 ．
(3)符合条件的点 有三个，坐标为： ， ，
【分析】（1）把点 和 代入解析式求解即可；
（2）由 得 从而 ，即 ，据此列
方程求解即可；
（3）分类当 为对角线和菱形边时，利用直线 与x轴成 角关系建立关于P的横坐
标的方程，进而求出点的坐标．
【详解】（1）把点 和 代入得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）设 ，对于抛物线 ，令 ，则 ，
．
，
．
，即 ．
，
．
，解得 ， ．
点 的坐标是 或 ．
（3）设直线 解析式是 ，把 ， 代入，得
，
∴ ，
∴ ．
①当 为菱形的对角线时，如图2， 垂直平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
，
此时四边形 是正方形．
．
设 ，则 ，
，
，解得 （不合题意舍去）或 ，
此时 ， ．
②当 为菱形的边时，如图3，设 ，则 ，
∴ ， ，
作 于点H，
，
∴ ．
∴
解得： ， ， （不合题意舍去）．
或 ．
， ，
综上所述，符合条件的点 有三个，坐标为： ， ， ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，
数形结合是解题的关键．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于
两点（点 在点 左侧），与 轴交于 点．
(1)求 的面积；
(2)点 为直线 上方抛物线上的任意一点，过点 作 轴交直线 于点 ，求
的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移 个单位长度得到新的抛物线，点 为原抛物
线与平移后的抛物线的交点，点 为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点 为坐标平面
内的一点，直接写出所有使得以点 为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并
把求其中一个点 的坐标的求解过程写出来．
【答案】(1) ；(2) 的最大值为 ， ；
(3) 或者 ；
【分析】（1）根据抛物线的解析式及抛物线与 轴的交点坐标即可解答；
（2）根据题意得到直线 的解析式为 ，进而设 ，
，最后利用两点之间的距离公式及等腰直角三角形的性质得到
即可解答；
（3）根据平移规律得到新抛物线的解析式及对称轴，再根据菱形的性质分情况讨论即可解
答．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 左侧），
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴设直线 的解析式为 ，
∴解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
∴设点 ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
∴当 的最大值时， ，
∴ ，
（3）解：∵抛物线 ，
∴ ，
∵将抛物线 沿着水平方向向右平移 个单位长度得到新的抛物线，
∴新抛物线为： ，
∴原抛物线与新抛物线的交点，
∴ ，
∴解得： ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 为菱形的边长时，
设 ，∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或者 ，
∵ 的中点坐标位 ， ，
∴ 的中点坐标 ， ，
∴ 或者 ，
∵当 为对角线时，无法形成菱形，
∴点 不存在，
∴ 或者 ，
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，
掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键．
类型三、矩形存在性问题
例．已知抛物线 交x轴于点 和点 ，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线 下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交
直线 于点D，交x轴于点E，当 取最大值时，求点P的坐标及 最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且 为
一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；
(3) 、
【分析】（1）把点 和点 代入抛物线 ，解方程即可得
到a、b的值；
（2）先用待定系数法求出直线 的解析式，再设 ，则 ，
，然后求出 ，由函数的性质求出 取
最大值时t的值，即可求出点P的坐标；
（3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且
为一条边的四边形为矩形，过点O作 于一点H，可求得 的解析式，则可设出
过点A且与 平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线 与抛物线有交点M，
联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标．
【详解】（1）解：把点 和点 代入抛物线 ，
得 ，
解得 ，∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由（1）知，点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时点P的坐标为 ；
（3）解：过点O作 于一点H，如图所示：
，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴点H为 的中点，即 ，
则 所在的直线方程为 ，
∵四边形 为矩形，
∴过A与直线 相垂直的直线函数解析式中的k值与 的解析式的k值相同，
∴设 所在的直线解析式为 ，
∵点A在直线 上，
∴可求得 ，即 所在的直线解析式为 ，联立 的直线方程与抛物线的解析式，
得 ，解得 或 ，
其中 为点A的坐标，即 ，
∵四边形 为矩形， 且 ，
根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得
到点N的坐标，
即 ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，
坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 、
两点，交 轴于点 ．
(1)求点 、 、 的坐标；
(2)将抛物线 向右平移1个单位，得到新抛物线 ，点 在坐标平面内，在新抛物线 的
对称轴 上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)存在，点 的坐标为 或
【分析】（1）分别令 和 ，求解即可；
（2）先求得平移后的抛物线 的解析式，再分情况讨论：当 为对角线时，当 为对
角线时，根据矩形的性质求解即可．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得 ， ，
，令 ，则 ，
．
（2） ，
，
对称轴 为 ．
当 为边时，分两种情况：
当 为对角线时，连接 ，过点 作 的垂线，交 于点 ，交 轴于点 ，
， ，
，
，
．
设 所在直线解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得 ，
所在直线解析式为 ，
当 时， ．
．
当 为边时，同理过点 作 的垂线，交 于点 ，交 轴于点 ，
易得 所在直线解析式为 ，则 与对称轴l的交点坐标为 ．
当 为对角线时， 也为对角线，易得 ，由图可知此时点 不可能在
上，
此种情况不存在．综上，在新抛物线 的对称轴 上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是矩
形，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论
是解题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线 经过点 ， ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 为第一象限内抛物线上的一点，设 的面积为S，求S的最大值及此时点 的
坐标；
(3)已知 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)S最大值为 ，
(3)存在，点 或 或 或 ．
【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线 ，点 代入
求解；
（2）如图，过点P作 ，垂足为点D，交 于点E，设 ，确定
的解析式 ，于是 ，从而 ，所
以 时，S最大值为 ，进而求得 ；
（3）设 ，如图， ， ， ，分类讨论：当
为对角线时， ，由勾股定理， ，解得 ，
设点 ，则 ，从而得点 或 ；另当 为对角线时， ，同法求得 ，当 为对角线时， ，同法求
得点 ．
【详解】（1）解：设抛物线 ，
由经过点 ，得 ，
∴
∴ ．
（2）如图，过点P作 ，垂足为点D，交 于点E，
设
设直线 的解析式为 ，得
，解得
∴
则点 ，
∴
∴当 时，S最大值为
，
∴ ；
（3）存在．
设 ，如图， ， ，
当 为对角线时，
由勾股定理，
∴ ，解得 ，设点 ，则
解得
∴点 或
如图，当 为对角线时，
，即 ，解得 ，则
解得
∴点
如图，当 为对角线时，，即 ，解得 ，则
解得
∴点
综上，点 或 或 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与面积最值问题，二次函数与矩形
存在性问题，注意分类讨论，运用数形结合思想，将图形信息转化为数量关系是解题的关
键．
类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛
物线 经过 两点， 是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的对称轴方程；
(2)若点 满足 ，求点 的坐标；
(3)设 是抛物线的对称轴上一点， 是坐标平面内一点，若四边形 是正方形，求
此正方形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)正方形 的面积为 或
【分析】（1）由 可知 ， ，进而求得抛物线解析式为
，即可得抛物线的对称轴方程；（2）由题意可知 ，可知 ，进而值 为线段 的垂直平分线，设
其与 交于点 ，可得 ，可求得 的解析式为 ，联立 求
解即可；
（3）由四边形 是正方形，可知 是等腰直角三角形，可得 ，
，设 ， 与 轴交于点 ，分当点 在 轴上方时和当点
在 轴下方时分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
∴当 时， ，当 时， ，即： ， ，
把 ， ，代入 得： ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴方程为 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为线段 的垂直平分线，
设其与 交于点 ，则点 的横坐标为： ，纵坐标为：
，
∴ ，
设 的解析式为 ，代入 ，可得 ，解得 ，
∴ 的解析式为 ，
联立 ，解得： 或 （舍去）
∴（3）∵四边形 是正方形，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
设 ， 与 轴交于点 ，
当点 在 轴上方时，过点 作 于 ，此时 ，
则
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，则 ， ，即： ，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，解得： ， （舍去），
∴ ，则 ，
∴正方形 的面积为 ；
当点 在 轴下方时，过点 作 于 ，此时 ，
则
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
则 ， ，
即： ，∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，解得： ， （舍去），
∴ ，则 ，
∴正方形 的面积为 ；
综上，正方形 的面积为 或 ．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，垂直平分线的判定，正方形的性质及全
等三角形的判定及性质，添加辅助线，利用数形结合是解决问题的关键．
【变式训练1】如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左
侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标
为m，过点P作直线 轴于点D．交 于点E．过点P作 的平行线，交y轴于点
M．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 的函数表达式；
(2)在点P的运动过程中，求使四边形 为菱形时，m的值；
(3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线 上是否存在点Q使得以P，E，
Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) ， ， ；
(2)
(3) ，【分析】（1）分别令 ， ，可求出点 ， ， ，再利用待定系
数法解答，即可求解；
（2）作 于点 ，根据题意可得 是等腰直角三角形，从而得到 ，
进而得到 是等腰直角三角形，可得到 ，再由点 ，可
得 ， ， ，然后根据菱形的性质 ，可得到关于m
的方程，即可求解；
（3）由（2）得：点 ， ，可得 ，再求出直线
的解析式为 ，过点E作 交直线 于点Q，可得 ，
此时点 使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；过点E作
于点Q，过点Q作 轴于点S，可得 ， 是等腰直角三角形，
∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形，即可．
【详解】（1）解：在 中，
令 ，可得 ，
解得 ， ．
令 ，得： ，
∴ ， ， ．
设直线 的函数表达式为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，
直线 的函数表达式为 ；
（2）解：如图，作 于点 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵点 ，
∴点 ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵四边形 为菱形，
∴ ．
∴ ，
解得 或0（舍去）；
（3）解：存在，
由（2）得：点 ， ，
∴ ，
根据题意可设直线 的解析式为 ，
把点 代入，得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
如图，过点E作 交直线 于点Q，∴点 ，
∴ ，
∴ ，
此时点 使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；
如图，过点E作 于点Q，过点Q作 轴于点S，
由（2）得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；
∴ ，
∴点 ，
对于 ，当 时， ，
此时点 ，
综上所述，存在点 或 ，使得以P，E，Q，N为顶点的四
边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求一次函数解析式，正方形的性质，
二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
，点 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在第一象限内，过点 作 轴，交 于点 ，作 轴，交抛物线于点 ，
点 在点 的左侧，以线段 为邻边作矩形 ，当矩形 的周长为11时，
求线段 的长；
(3)点 在直线 上，点 在平面内，当四边形 是正方形时，请直接写出点 的
坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2) ；
(3)点 的坐标为 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线 的解析式为 ，设 ，则 ，利用对称性质求得 ，推出 ， ，利
用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
（3）先求得直线 的解析式为 ，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、
Q，证明 ，推出 ， ，设 ，则
，由点M在直线 上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质
即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵点 和 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，且 ，则 ，
∴ ，
∵解析式的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
依题意得 ，
解得 （舍去）或 ，
∴ ；（3）解：令 ，则 ，
解得 或 ，
∴ ，
同理，直线 的解析式为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
， ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ， ，则 ，
∵点M在直线 上，
∴ ，解得 或 ，
当 时， ， ，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形 是正方形，此时 ；
当 时， ， ，
点O向左平移 个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移 个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴ ，即 ．综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待
定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方
形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分
情况讨论．
课后训练
1．如图1，抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点 、 为直线 下方抛物线上的两点，点 的横坐标比点 的横坐标大1，
过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，求 的最大
值及此时点 的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位
长度得到新的抛物线 ，在 的对称轴上有一点 ，坐标平面内有一点 ，使得以点 、
、 、 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)当 时， ，
(3) 或 或 或
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设 ，则 ，进而得到 ， ；再表
示出 ，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）分以 为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩
形的判定定理解答即可．
【详解】（1）解：把 和 代入 ，得，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：设 ，则 .
又
∴ ，
∴ ，
∴
∴当 时，
∴ ．
（3）解：由题意可得： ，
∴ 的对称轴为
∵抛物线 与 轴交于点 ．
∴ ,
∵ ,
∴ , ；
如图：当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作 轴，
∵D在 的对称轴为 ，
∴ ，
∴ , ,即点 ，
∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下
平移3个单位可得到 ；
如图：当 为矩形一边时，且点D在x轴的上方， 的对称轴为 与x轴交于F，
∵D在 的对称轴为 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ,即点 ，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上
平移1个单位可得到点 ；
如图：当 为矩形对角线时，设 ， ，
∴ 的中点F的坐标为 ，
∴ ，解得：
又∵ ,
∴ ，解得： ，
联立 ，解得： ，
∴点E的坐标为 或 ．综上，存在 或 或 或 使以点 、 、 、 为顶
点的四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函
数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ，点 为抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为直线 上的动点，当点 在第四象限时，求四边形 面积的最大值及此
时点 的坐标；
(3)已知点 为 轴上一动点，点 为平面内任意一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶
点的四边形是以 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ； ； ；
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线 ，过 作 轴于点 ，交 于点 ．设 ，则
， ，则 ，当 时， 的面积最大值为
，从而求出此时四边形 面积的最大值， 点坐标；
（3）设 ， ，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．【详解】（1）解：将 ， 代入 中，
得 ，解得 ．
该抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：作直线 ，过 作 轴于点 ，交 于点 ．
设直线 的表达式为： ，将 ， 代入 中，
得 ，解得 ，
．
设 ，则 ， ，
∵
∴
∴ ，
∴ ，
当 时， 面积的最大值为 ．
与直线 平行，
，
四边形 面积的最大值为 ．
当 时， ，（3）解：设 ， ，
I.如图，当点E在原点时，即点 ， ， ，
∵四边形 为正方形，
∴点 ，
II.如解图3-2，当四边形 为正方形时， ， ，
作 轴，垂足为 ，作 轴，垂足为 ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ， ，
同理可得： ，
∴ ，∴ ，解得： ，（ ，不合题意舍去）
∴ ，
∴点 ，
III.如解图3-3，当四边形 为正方形时，
同理可得： ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，（ ，不合题意舍去）
∴ ，∴点 ，
IV.如解图3-4，当四边形 为正方形时，
同理可得： ， ，∴ ，
∴ ，解得： ，（ ，不合题意舍去）
∴ ，∴点 ，综上所述：点 坐标为 ； ； ； ．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求
函数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与
分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
3．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，直线 与
抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ．
(1)求出抛物线与直线的解析式；
(2)已知点 为线段 上一动点，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，连接 、
，求 的最大面积；
(3)若点 是 轴上的一动点，点 是抛物线上一动点，当以点 、 、 、 四点为顶
点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得点 的坐标，当 取得最大值时， 的面积取得最大值，设
，则 ，进而表示出 ，根据二次函数的性质求得
的最大值，即可求解；（3）先求得 点的坐标，分 为对角线与边两种情况讨论，根据平行四边形的性质即可
求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，
∴
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
将点 代入 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线解析式为： ；
（2）依题意，联立
解得： ，
∴
∵ ,
∴当 取得最大值时， 的面积取得最大值，
设 ，则
∴
∴ 时， 取得最大值为 ，
∴ 的面积最大值为 ；（3）∵ 是 与 轴的交点，
当 时， ，
∴ ；
①当 为边时，
∵ ， ， 在 轴上，
∴ ，则点 的纵坐标为 ，
∵ 在 上，
∴ ，
解得：
∴ 或 ，
②当 为对角线时，则 的中点在 轴上，
∴ 的纵坐标为 ，
∴
解得：
∴ 或
综上所述， 或 或 或
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形的性质，熟练掌握是二
次函数的性质解题的关键．4．在平面直角坐标系中，抛物线 （ ）经过点 ， 和 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线 与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当 有最大值时，
求出抛物线上点M的坐标；
(3)若点P为抛物线 （ ））的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个
单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在（2）的条件下求得的点M，是否能与A，
P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ， 或 ， 或 ，
【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
（2）由“直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与抛物线交于点 ”，可得出点 ，
的坐标，进而可得出 ， 的值，代入 中，可得出 ，
再利用二次函数的性质，即可求出m，代入可得M点的坐标；
（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为 ，利用二次函数图象上
点的坐标特征，可求出点 的坐标，假设存在以 ， ， ， 为顶点的平行四边形，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，分 为对角线、 为对角线及 为
对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于 的一元一次方程，
解之可得出 值，再将其代入点 的坐标中，即可得出结论．
【详解】（1）解：将 ， ， 代入 得：
，解得： ，
抛物线的表达式为 ；（2） 直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与抛物线交于点 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
，且 ，
当 时， 有最大值，此时 ；
（3） ，
抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为 ．
当 时， ，
点 的坐标为 ， ．
假设存在以 ， ， ， 为顶点的平行四边形，设点 的坐标为 ，点 的坐标为
．
①当 为对角线时，对角线 ， 互相平分，
，
解得： ，
点 的坐标为 ， ；
②当 为对角线时，对角线 ， 互相平分，
，解得： ，
点 的坐标为 ， ；
③当 为对角线时，对角线 ， 互相平分，
，解得： ， 点 的坐标为 ， ．
综上所述，存在以 ， ， ， 为顶点的平行四边形，点 的坐标为 ， 或 ，
或 ， ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定
系数法求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质，求出的最大值；（3）利用平行
四边形的性质（对角线互相平分），找出关于的一元一次方程．
