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三年级数学·上 新课标[人]
第 9 单元 数学广角—集合
《数学广角—集合》是教材中新增设的内容,它主要是介绍和渗透一些数学思想方法,
尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式,采用生动有趣的事例呈现出来。
重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。学生虽然已经学习过分类的思想方法,但
集合这部分内容比较抽象,针对三年级学生的认知水平,在这里让学生通过生活中容易理解
的题材初步体会集合思想,为以后学习打下必要的基础,学生能够用自己的方法解决问题就
可以了。
让学生经历韦恩图的产生过程,能借助直观图,利用集合的思想方法解决简单的实际问
题。
培养学生善于观察、善于思考的学习习惯。使学生感受到数学在现实生活中的广泛应
用,尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题,体验解决问题策略的多样性。
体会数学的严谨性,感受数学与生活的联系,提高学习数学的兴趣。
培养学生初步养成善于观察、善于思考的学习习惯。
【重点】
理解集合图的各部分意义,能用集合图分析生活中简单的有重复部分的问题。
【难点】借助直观图解决集合问题。
1.注意自主探索与有意义的接受学习有机结合。
学生对于“重复的人数要减去”是有经验的,应充分尊重学生的基础,放手让学生自主
探索解决问题的方法。如果学生不能画出韦恩图,不必一味让学生“创造”,教师可以用讲
授法让学生认识并理解。出示韦恩图让学生先独立填写,再汇报交流。同时利用多媒体课件
或教具,配合学生汇报直观演示将两个集合圈合并的过程。在汇报交流时,一要注意引导学
生讨论发现“集合中的元素是不能重复出现的”,体会集合元素的互异性;“集合元素的顺
序可以不同”,体会集合元素的无序性。二要让学生说一说图中每一部分所表示的含义,尤
其是“两项都参加的”和“参加这两项比赛的”,体会交集和并集的含义。
2.重视多元表征,感悟集合思想。
在学生解决“求两个集合的并集的元素个数”的问题时,会用到多种方法,如画图示或
列算式等。教师应放手让学生尝试解决,并充分展示学生的方法。学生画的图示并不一定是
标准的韦恩图,只要能清楚地表示出两个集合的关系,教师都应给予充分的肯定。另外,要注
重通过语言描述,让学生在图示与算式这两种表征之间进行转换,感受集合的知识。当让学
生列式解答时,学生会有多种算法。教师应让学生结合韦恩图说一说算式所表示的意思,借
助直观,深刻理解韦恩图中每一部分的含义,加深对集合知识的理解。
3.把握好教学要求。
集合思想虽然在小学数学教学中有广泛的渗透,但是此内容并不是必须掌握的内容。本
单元教学的落脚点不是掌握与集合有关的概念,也不是熟练掌握计算的方法,而是让学生经
历探究的过程,在解决问题的过程中理解集合的思想,并获得有价值的数学活动经验。因此,
教师在教学中要注意把握好知识的难度和要求,尽量用通俗易懂的语言渗透集合思想。例如,
对于集合的术语,如集合、元素、交集、并集等,虽然在教学中可以介绍给学生,但并不需要
让学生掌握,只要学生能用自己的语言表达和交流就可以了。教科书中出现的解决问题都是
计算运算后的集合(并集或交集)的元素个数,但重点不是熟练计算,而是让学生通过解决此
类问题,了解、体会集合概念及运算的道理。另外,教科书中只给出了利用韦恩图表示两个
集合的交和并的问题,没有出现三个集合的情况。如果学生在解决练习二十三第4题和第6
题的时候,尝试用韦恩图表示三个集合的运算,教师应给予鼓励和指导。数学广角——集合
1.例1,通过解决生活中的实际问题(求两个集合的并集的元素个数),让学生体会集合
概念的含义及集合的运算,学习用集合的思想方法解决简单的实际问题。
2.用统计表的形式给出三(1)班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单,提出要解决的问题。
3.介绍用韦恩图表示集合及其运算的方法,让学生体会集合元素的特性;互异性和无序
性,体会集合的运算:交集、并集。
1.让学生经历解决问题的过程,了解简单的集合知识,初步感受它的意义。
2.使学生学会借助韦恩(Venn)图,运用集合的思想方法来解决较简单的实际问题,从而
感受到数学与生活之间的相互联系。
3.培养学生合作学习的意识和学习的兴趣。
【重点】
理解集合图的各部分意义,能用集合图分析生活中简单的有重复部分的问题。
【难点】
借助直观图解决集合问题。
【教师准备】 多媒体课件,韦恩图。方法一
师:我想试试同学们反应快不快,请大家猜个脑筋急转弯:
两个爸爸和两个儿子去动物园,可是他们只买了三张票,便顺利地进了动物园,这是为什
么?
预设 生:爷爷、爸爸、儿子。(板书:爷爷、爸爸、儿子)
师:两个爸爸(板书:2),两个儿子(板书:2),却只买了三张票。(板书:3)这2+2怎么会等
于3?这里谁的身份最特殊?为什么?
预设 生:爸爸的身份最特殊,有两个身份,既是爷爷的儿子又是儿子的爸爸。(板书:
既……又……)
师:爸爸有两个身份,重复算了一次。(板书:2+2- 1=3)
师:今天,我们要研究的就是与这有关的一类问题。(板书:数学广角——集合)窍门满街
跑,看你找不找。这节课看谁找的窍门最多?谁表现得最好?
[设计意图] 从生活中的实例买门票引起,让学生脑筋急转弯,到底是哪里的原因少了
1个人呢?引起学生的探究兴趣,引出新课课题。
方法二
师:今天我们来做个小游戏,需要两个同学来帮忙。其他同学可要认真观察呀!
两个同学一人一张纸条。
师:这两张纸条上都是6个格子,请你们把它们对接在一起。(学生操作)现在两张纸条
共有多长?怎样计算。
预设 生:两张纸条一共12个格子,6+6=12(个)。
师:慢慢向中间移动,这时还是12个格子吗?为什么?
预设 生:不是,因为有一部分重合在一起了。
师:哪部分重合了?谁来指一指?
预设 生:原来就是这重合的部分引起了长度的变化。重合在数学中也叫重叠,这节课我
们就一起来研究集合重叠问题。(板书课题:数学广角——集合)
[设计意图] 让学生在操作中直观感知,重叠会使总数减少,引起学生的好奇心,激发
学生的探究欲望。一、了解运动爱好。
师:同学们平时喜欢体育运动吗?体育运动各种各样,你喜欢什么样的运动?
学生随意回答。
师:假如学校里要组织活动,一项跳绳,一项踢毽,请你选择的话,你喜欢什么运动?
师:我们举举手看,喜欢跳绳的有哪些同学?喜欢踢毽的有哪些同学?都很多,有没有两样
都喜欢的?
师:老师想进一步了解你们,请允许我对你们其中的一个小组进行调查,好吗?看看哪个
小组今天的精神面貌最好!
(老师在讲台的两边分别画了两个圈:左边的圈表示喜欢跳绳的,右边的圈表示喜欢踢毽
的)
二、提出问题,激发冲突。
(指定第一小组)
师:现在请喜欢跳绳的同学到左边的圈内(有9人,板书:9);请喜欢踢毽的同学到右边的
圈内(有8人,板书:8)。
师:为了让大家看得更清楚,老师在黑板上画一个表格:“第一小组喜欢跳绳、踢毽学生
名单”。
课件出示:第一小组喜欢跳绳、踢毽学生名单:
王
跳 杨 陈 刘 李 马 丁 赵 徐
爱
绳 明 东 红 芳 超 旭 军 强
华
朱
踢 刘 于 周 杨 李 陶 卢
小
毽 红 丽 晓 明 芳 伟 强
东
师:共有多少人呢?谁来说一说?
预设 生:8+9=17(人)。
师:那么对不对呢?我们来数一数吧。
预设 生:不对,没有那么多。
师:为什么算出来的人数和实际人数不符呢?
预设 生:有的同学两项都参加了。
师:为什么“两项都参加的”影响了我们解决问题?“两项都参加的”到底应该算几个
人?师:我们应该用什么样的方法表示“既能清楚地看出每个人的情况,又能明显看出一共
有多少人?”
三、小组讨论,初步感知集合概念。
1.小组交流,互相介绍自己的方案。
2.选择有代表性的方案全班交流。
请学生介绍自己的思考过程,注意追问“如何表示出两项比赛都参加的学生”,体会两
个集合中的公共元素构成的交集。
随学生回答课件出示各图:
预设 生1:把参加两项比赛的学生姓名分别列出来,把相同的名字连起来,就找到两项
比赛都参加的学生了,有3人。这样参加跳绳比赛的9人,加上参加踢毽比赛的8人,再去掉
3个重复的,应该是14人。
生2:先写出所有参加跳绳比赛同学的姓名,再写参加踢毽比赛的。如果与前面的相同
就不重复写了,连线就能表示了。一共写出了14个不同的姓名,说明参加比赛的有14人。
从姓名上如果引出两条线,就说明他两项比赛都参加了。
生3:把参加两项比赛学生的姓名分别放到两个圈里,再把两项比赛都参加的学生的名
字移到一边,两个圈里都有这三个名字,把这两个圈的这部分重叠起来,名字只出现一次就可
以了。可以看出只参加跳绳比赛的有6人,两项比赛都参加的有3人,只参加踢毽比赛的有5
人,一共有14人。
四、介绍用韦恩图表示集合的运算。
在黑板上贴出上面的韦恩图:师:左边圈住的是什么?(喜欢跳绳的同学)右边圈住的是什么?(喜欢踢毽的同学)中间相
交的部分呢?(既喜欢跳绳又喜欢踢毽的同学)一共是多少个同学?(14人)
师:这个图是100多年前英国的一个名叫韦恩的逻辑学家最早发明的,所以就以他的名
字命名这种图,叫韦恩图。老师发现不少同学的想法和韦恩的一样,看来如果你生的比他早,
那就是用你的名字来命名了。
师:现在我们知道了可以用韦恩图,既能表示重复的部分,又能方便统计总数。接下来,
假如要用算式表示喜欢跳绳和踢毽的一共有多少人,又该是怎样的呢?
预设 生1:9+8- 3=14(人)。
师:你是怎么想的?
预设 生1:先把喜欢跳绳的和喜欢踢毽的分别加起来。算式是 9+8=17,然后再用17减
去三个重复的,17- 3=14。
生2:6+5+3=14(人)。
师:请你解释一下。
生2:6是只喜欢跳绳的人数,5是只喜欢踢毽的人数,3是既喜欢跳绳又喜欢踢毽的人数,
是重复的。
生3:9+5=14(人)。喜欢跳绳的9人,加上只喜欢踢毽的5人。
生4:8+6=14(人)。喜欢踢毽的8人,加上只喜欢跳绳的6人。
五、比较辨析,体会基本方法。
师:刚才同学们想了很多算法,你觉得哪种比较容易理解。把你比较容易理解的那种算
法,说给你的同桌听一下。
师:通过对各种计算方法的比较,发现虽然具体列式方法不同,但都解决了问题,即求出
了两个集合的总数。
师:谁能说一说9+8- 3=14这一算式的含义?(板书:9+8- 3=14(人))
预设 生:参加跳绳比赛的人数加上参加踢毽比赛的人数,再减去重叠的人数。
六、巩固练习。
填一填。(1)两天进的货相同的有几种?
(2)文具店两天一共进了多少种文具?
【参考答案】 (1)3 (2)5+5- 3=7(种)
[设计意图] 通过不同方式的表示方法,得出用韦恩图表示最直观、最简便,重叠的部
分重复计算了,所以求出两个集合的总数后,再减去重叠部分的个数,才是集合的总数。
1.
(1)填一填。
(2)这个班参加语文兴趣小组和数学兴趣小组的一共有多少人?
2.在圈中填上合适的数。
两个圈里都有的数是多少?请把它圈出来。
3.三(1)班同学订杂志。订《少年天地》的有20人,订《童话世界》的有18人,两种杂
志都订的有8人。订这两种杂志的一共有多少人?
【参考答案】 1.(1)如下图所示。(2)7+8- 3=12(人) 2.个位是7的两位数:17,27,37,47,57,67,77,87,97 十位是7的两位
数:70,71,72,73,74,75,76,77,78,79 两个圈里都有的数是:77 3.20+18- 8=30(人)
师:今天我们学习了集合的知识,还会运用集合知识解决生活中的问题。说一说今天你
有什么收获?
预设 生:这节课我们学习了集合,会用集合图分析生活中简单的有重复部分的问题。
作业1
教材第106页练习二十三第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)小红排队时她前面有6人,后面有4人,这一队共有( )人。
2.(基础题)妈妈昨天买了豆角、黄瓜、茄子、西红柿、辣椒、韭菜、芹菜。今天买了香菜
芹菜、冬瓜、豆角、油菜、黄瓜、萝卜、白菜、苦瓜。
(1)昨天买了( )种蔬菜。
(2)今天买了( )种蔬菜。
(3)两天都买的蔬菜有:( )。
(4)两天一共买了( )种蔬菜。
3.(重点题)同学们排队去参观展览,无论从前面数还是从后面数,李华都排在第8个。这一
排共有多少名同学?
4.(难点题)现有一个柄长80厘米的扫把,一根150厘米长的竹竿,接头处至少接30厘米才
牢固,那么接起来的长柄扫把柄长最长可达多少厘米?
【提升培优】
5.(难点题)三(1)班有20名同学参加竞赛,其中参加数学竞赛的有17人,参加作文竞赛的有11人,没有两种都不参加的。
(1)既参加数学竞赛又参加作文竞赛的有几人?
(2)只参加数学竞赛的有几人?
(3)只参加作文竞赛的有几人?
6.(重点题)三(2)班参加美术比赛的有24人,参加声乐比赛的有18人,两项都参加的有3人,
两项都没参加的有10人,三(2)班一共有多少人?
【思维创新】
7.(竞赛题)三(4)班排成每列人数相同的队伍入场参加校运动会,梅梅这一列她的位置从前
面数是第6个,从后面数是第5个,这一列从左面数、从右面数都是第3列。三(4)班共有学
生多少人?
【参考答案】
作业1:1.(1)5+7- 4=8(种) (2)略 2.(1)4 (2)15人 (3)略 3.(1)如下图所示。 (2)
略
作业 2:1.11 2.(1)7 (2)9 (3)豆角、黄瓜、芹菜 (4)13 3.8+8- 1=15(名)
4.80+150- 30=200(厘米) 5.(1)17+11- 20=8(人) (2)17- 8=9(人) (3)11- 8=3(人)
6.24+18- 3+10=49(人) 7.6+5- 1=10(人) 3+3- 1=5(列) 10×5=50(人)
数学广角—集合1.借助课件优化教学过程。对于提高学生的学习能力,发展学生思维能起到积极的作用。
在这节课中教师利用简单的动画演示,形象地体现出集合思想的实质——交集的意义,使教
学难点迎刃而解,促进学生的思维更加活跃。
2.注重知识的形成过程,让知识的理解水到渠成。本节课上,我尝试让学生从生活实际
中亲身感知集合的思想,并使他们亲身体验集合图的产生过程,让学生在过程中体验集合的
思想,在过程中感悟重叠,让学生经历问题解决的数学化过程,从而获得数学学习经验。接着,
创设了让学生自己设计图。学生设计的图各式各样。可见,创造源于实践,提供实践操作平
台,激发学生学习数学的兴趣和热情的同时也培养学生的创新思维。当学生汇报自己独特的
表示方法时,进而引导学生借助一种图(集合图)来理解解决这一问题,让学生经历集合图的
产生过程并充分感知体验集合图的作用。通过让学生在情景体验中“学”、在解决问题中
“悟”,调动了学生学习的主动性,激发了学生的竞争意识和表现意识,使学生发现问题、探
索问题、解决问题的能力得到提高,思维也更加活跃。
1.关注全体落实不够。由于学生多,调控难度大,再加上课堂内容密度大,所以本课在教
学中很难充分关注到每一个学生。
2.学生间的交流与评价还不够充分。在每个环节,尽管都有意识地给学生提供机会,让
他们展开交流与评价。但由于受时间的限制,有些交流与评价进行得不充分。
再深入理解教材,教学设计更仔细些;必须要耐心,对学生的回答要多加鼓励与认可。
【做一做·105页】
1. 2.(1)6 (2)19
【?·105页】8+4+2+1=15(场) 15×2+1=31(场)
【练习二十三·106页】
1.(1)8种 (2)略 2.(1)4 (2)15人 (3)略 4.(1)9人 (2)8人 5.(1)如图所示。
(2)37
(3)略 6.(1)15个 (2)20个
某商店两天进货单如下。
(1)商店两天一共进了多少种文具?
(2)你能提出其他数学问题并解答吗?
[名师点拨] 两天中都进了一些文具,但哪些是两天都进的文具呢?可以利用韦恩图整
理。如下图。
在昨天进的文具中,对应今天进的文具品种,发现相同的有4种,即重复的有4种,用
5+7- 4=8(种),就是两天一共进的文具种数了。
[解答] (1)5+7- 4=8(种)。
答:商店两天一共进了8种文具。
(2)两天都进的文具有几种?(答案不唯一)
答:两天都进的文具有4种。
【知识拓展】 利用集合思想解决问题的题型灵活,如上题知道两天共进8种文具,并知道昨天和今天分别进5种和7种文具,也可以计算出两天进的重复的文具数,即:5+7-
8=4(种)。
韦恩(1834~1923)
19世纪英国哲学家和数学家,1881年发明了韦恩图,又叫文氏图。
韦恩图(文氏图)是用封闭的曲线直观地表示集合及其关系的图形。在解决一些实际问
题中,由于其直观,往往具有特殊的功效。
集 合
集合是近代数学中的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要
标志,在解决某些数学问题时,若是运用集合思想,可以使问题解决得更简单明了。集合论的
创始人是德国的数学家康托(1845~1918),其主要思想方法可归结为三个原则,即概括原则、
外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来,它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学
的各个分支中,成为现代数学的基础。瑞士数学家欧拉(1707~1787)最早使用了表示两个非
空集之间的关系的图,现称欧拉图。英国数学家韦恩最早使用了另一种图即可以用于表示任
意的几个集合(不论它们之间的关系如何,都可以画成同一样式),又称“韦恩图”,用韦恩图
表示集合,有助于探索某些数学题的解决思路。
第 8,9 单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、看图填空(25分)
1.写出合适的分数。(10分)
图形 阴影部分无阴影部分
2.先涂上颜色,再比较大小。(8分)3.按分数圈一圈。(3分)
2
3
4.如下图所示,香蕉的数量占水果总数的( ),苹果的数量占水果总数的( )。(4分)
二、我会填(15分)
4 1 1 3
1. 是( )个 ,5个 是( ),3个( )是 。
5 5 7 9
2.将一张白纸平均分成6份,每一份是这张白纸的( )。
2 1 1
3. 加上4个 是( )个 ,就是( )。
10 10 10
4 2 1 1 1
4. - 表示( )个 减去( )个 ,剩( )个 ,就是( )。
7 7 7 7 7
9
5. 读作( ),六分之一写作( )。
10
6.比较分子是1的分数的大小时,分母越( ),分数越大;比较分母相同的分数的大小时,
分子越( ),分数越小。
7.三(1)班有24名女生,其中,喜欢穿裙子的有18人,喜欢穿短裤的有16人,每名同学至少
喜欢一种,既喜欢穿裙子又喜欢穿短裤的女同学有( )人。
三、我是小法官(10分)3
1.把一个西瓜分成7块,雯雯吃了3块,她吃了这个西瓜的 。 ( )
7
1 1 1 1
2. 和 比较,因为2<7,所以 < 。( )
2 7 2 7
1 5 6
3. + = =1。 ( )
6 6 6
1
4.将一根铁丝平均分成10段,每段是它的 。 ( )
10
5.分子和分母相同(0除外)的分数等于1。 ( )
四、按要求写分数(6分)
1
1.写出3个大于 的分数。
8
7
2.写出3个小于 的分数。
12
五、我会填(12分)
三(1)班参加语文、数学竞赛的同学名单
语文 李文 丁芳 李丽 赵红
数学 李文 丁芳 王强 高明
语文 夏雪 李丹 王明 孙强
数学 夏雪 李丹 孙丽 张瑞
六、解决问题(32分)
4 1
1.贺贺买了一张彩纸,用了这张纸的 折纸鹤,折幸运星用了这张纸的 ,一共用去这张纸的
8 8
几分之几?
2 3
2.丹丹看一本《灌篮高手》,第一天看了这本书的 ,第二天看了这本书的 。
6 6
(1)两天一共看了这本书的几分之几?
(2)还剩几分之几没看?
1 2
3.盒子里共有12个球,其中 是红球, 是黄球,红球和黄球各有多少个?
3 34.小红统计全班46人所喜欢的科目,其中有22人喜欢语文,30人喜欢数学,10人既喜欢语
文,又喜欢数学,既不喜欢语文又不喜欢数学的有多少人?
★附加题
一个人沿着一条路走了全长的二分之一后,又走了剩下的二分之一,还剩下1千米,则这条
路全长多少千米?
【参考答案】
5 4 5 3 2 4 5 1 2 2
一、1.阴影部分: 无阴影部分: 2.(涂色略)< >
9 9 6 5 4 9 9 6 5 4
6 4
> > 3.略 4.
10 10
5 1 1 6 2 1
二、1.4 2. 3.6 4.4 2 2 5.十分之九 6.小 小 7.10
7 9 6 10 7 6
三、1.✕ 2.✕ 3.√ 4.√ 5.√
1 1 1 6 5 4
四、1. , , (答案不唯一) 2. , , (答案不唯一)
2 3 4 12 12 12
五、
4 1 5 2 3 5 5 1
六 、 1. + = 2.(1) + = (2)1- = 3.红 球 :12÷3=4( 个 ) 黄
8 8 8 6 6 6 6 6
球:4×2=8(个) 4.22+30- 10=42(人) 46- 42=4(人) 答:有4人既不喜欢语文又不喜欢
数学。
附加题 4千米
