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专题06 利用二次函数解决实际问题的六类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、销售问题
题型二、拱桥问题
题型三、投球问题
题型四、喷水问题
题型五、图形问题
题型六、图形运动问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：源于真实情境（如利润最值、抛物线形拱桥/隧道/投篮、面积最大、增长率等），需建立二次
函数模型。
- 解题方法：审题设自变量与因变量，依据等量关系列函数式；用配方法或顶点公式（x=−
𝒃
𝟐𝒂）求最值；注
意自变量的实际限制（如正整数、非负、范围约束）。
- 易错提醒：忽略自变量取值范围导致最值取不到顶点；抛物线形问题未合理建系；利润问题混淆“单件
利润”与“总利润”；单位未统一。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、销售问题
典例1 （25-26 八年级下·安徽安庆·期末）2026 年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而
嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．
(1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2 月份销量为10 万件，4 月份销量已增至12.1 万件．求该电商平台“哭
哭马”2 月到4 月销量的月平均增长率．
(2)某商铺以每件15 元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价
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为35 元/件时，日销量为80 件．售价每降低1 元，日销量可增加10 件．
①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800 元，则每件应降价多少
元？
②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3 元快递费，且线上日销量固定为100 件．当每件降价
多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
；
(2)①每件应降价10 元；②当降价1 元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310 元．
【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2 月到4 月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求
解即可；
（2）①设每件应降价y 元，则每件的销售利润为
元，日销售量为
件，根据每件利润
乘以日销售量等于日总利润建立方程求解；
②设线上和线下的日利润总和为w 元，售价为a 元/件，列出
关于
的二次函数关系式，再根据二次函数
的性质求解即可．
【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2 月到4 月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：
，
解得
，
（不符合题意，舍去）．
答：该电商平台“哭哭马”2 月到4 月销量的月平均增长率为
；
（2）解：①设每件应降价y 元，则每件的销售利润为
元，日销售量为
件，
根据题意得：
，
整理得：
解得：
，
又∵要尽快减少库存，
∴
，
答：每件应降价10 元．
②设线上和线下的日利润总和为w 元，售价为a 元/件
则
，
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，
∴当
时，w 有最大值，最大值为3310，
∴当售价为34 元/件，即降价
元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310 元．
题型模版
1.特征：通过价格调整影响销量，求利润最大化的定价或销量，常列出利润=单价×销量-成本。
2.方法：设涨价或降价为x，用含x 的式子表示单价和销量，建立利润的二次函数，配方求顶点得最值。
变式1-1（25-26 八年级下·福建福州·期末）清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式
来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8 元束的价
格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4 天的这种菊花日销售量y
（束）与销售单价x（元）的对应值表：
销售单价
元
16
18
20
22
日销售量
束
24
20
16
12
小宇马上判断出y 与x 是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题：
(1)y 与x 之间的函数关系式是：________．
(2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182 元？
(3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)销售单价为15 元或21 元
(3)当销售单价为18 元时，日销售利润最大，最大利润为200 元
【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可；
（3）设日销售利润为W 元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为
，
将
，
代入
，得
，
解得
，
与x 之间的函数关系式为
．
（2）解：由题意列方程：
，
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解得
，
，
答：当销售单价为15 元或21 元时，日销售利润为182 元．
（3）解：设日销售利润为W 元，
则由题意知
，
，
抛物线开口向下
当
时，W 有最大值200，
答：当销售单价为18 元时，日销售利润最大，最大利润为200 元．
变式1-2（25-26 八年级下·河南开封·期末）某义乌玩具厂赶制2026 年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上
扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌
的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026 年顶流网
红马．
(1)某网店“哭哭马”今年1 月份的销售量为1200 件，3 月份的销售量为1728 件．若1 月份到3 月份销售量
的月平均增长率都相同，求月平均增长率；
(2)若该“哭哭马”的进价为每件15 元，售价为每件25 元，每天能销售40 件；若售价每降价1 元，每天可
多售出10 件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480 元，为了尽快清理库存，则售价应降
低多少元？
(3)当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？
【答案】(1)月平均增长率为
(2)售价应降低
元
(3)当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为
元
【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）设售价应降低y 元，根据题意列一元二次方程求解即可；
（3）设每天的利润为w，表示出
，然后利用二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，
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根据题意得，
解得
，
（舍去）
∴月平均增长率为
；
（2）解：设售价应降低y 元
根据题意得，
解得
，
∵为了尽快清理库存
∴
要尽可能大
∴售价应降低
元；
（3）解：设每天的利润为w
根据题意得，
∵
∴抛物线开口向下
∴当
时，w 取得最大值490
∴当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为
元．
变式1-3（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题
【项目背景】
太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30 元/盒
的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与
日均销量的函数模型，优化定价策略．
【信息收集】
素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下：
销售单价x（元/盒）
40
42
44
45
50
日均销量y（盒）
200
180
160
150
100
素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d 元．
【建立模型】
(1)根据素材1 中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二
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次”“反比例”），y 与x 之间的函数关系式为________．
【问题解决】
(2)若不考虑额外费用d 元，求日均销售利润w 的最大值及对应的销售单价．
(3)若考虑额外费用
元，且日均利润为1800 元，此时销售单价为________元/盒时更惠民．
【答案】(1)
一次，
(2)
日均销售利润最大值为2250 元，对应销售单价为45 元/盒
(3)
45
【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1 元，日均销量就减少10 盒，故日均销量y（盒）是销售
单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据题意得
，
，根据二次函数的性质求出w 的最大值及对应的销
售单价；
（3）根据题意得
，求解即可．
【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1 元，日均销量就减少10 盒，故日均销量y（盒）
是销售单价x（元/盒）的一次函数；
设一次函数关系式为
．
将
，
代入，得
可得
解得
所以，
与
之间的函数关系式为
．
（2）解：根据题意得
，
即
．
关于
的二次函数开口向下，对称轴为
．
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所以，当
时，
可以取得最大值，最大值为
．
所以，日均销售利润最大值为2250 元，对应销售单价为45 元/盒．
（3）解：由题意得
，
整理得
解得
，
∴此时销售单价为45 元/盒时更惠民．
题型二、拱桥问题
典例2 （2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽
与桥长
均为
米，
在距离
点
米的
处，测得桥面到桥拱的距离
为
米，以桥拱顶点
为原点，桥面所在直线为
轴
建立平面直角坐标系．如图
，桥面上方有根高度均为
米的支柱
、
、
，过相邻支柱顶端的两
根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为
米．
(1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式；
(2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图
），求出可以在竖直方向安装
的灯带中最短的灯带长度．
【答案】(1)拱桥抛物线表达式为
；右边钢缆的抛物线表达式为
；左边钢缆的抛
物线表达式为
(2)灯带长度的最小值是
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设灯带长度为
，则
，即可得解．
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【详解】（1）解：①由题意得
，
，右边钢缆的抛物线顶点为
，
设右边钢缆的抛物线表达式为
，
，
，
，
．
②由题意得
，
，左边钢缆的抛物线顶点为
，
设左边钢缆的抛物线表达式为
，
，
，
，
．
设拱桥抛物线表达式为
，由题意得
，
，
．
．
（2）解：设灯带长度为
，
则
，
，
当
时，
有最小值为
．
答：灯带长度的最小值是
．
题型模版
1.特征：桥拱呈抛物线形，已知跨径或拱高，求抛物线解析式或特定点的水位高度。
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2.方法：建立坐标系，设抛物线顶点式或一般式，代入已知点（如跨径两端、拱顶）求解析式，再代入横坐
标求高度。
变式2-1（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛
物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面
可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．
现有以下三条素材：
素材1：整个图形是轴对称图形；
素材2：跨度
米，竖直支撑
米，最高点P 到
的距离为5 米；
素材3：两灯笼
，
之间的水平距离为4 米，点M、N 均在抛物线上且关于抛
物线的对称轴对称．
现以
所在直线为x 轴，
的垂直平分线（直线
）为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围）
(2)若
米，求灯笼底端（点E 或F）到
的距离．
【答案】(1)
(2)
米
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）将
代入抛物线的解析式，求出y 的值，再根据
求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意可知，点D 的坐标为
，P 的坐标为
．
设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：
，
将点
代入得，
，
解得
，
∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为
；
（2）解：由题意知，
，M、N 关于抛物线的对称轴对称，
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∴点N 的横坐标为2，
当
时，
，
，
∴灯笼底端（点E 或F）到
的距离为
米．
变式2-2（2026·广西玉林·三模）综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？
素材
某游乐园计划在道路
上方搭建一座抛物线型彩虹
桥．如图①，道路
的宽为
，桥拱最高处
距
离路面的距离为
．
素材
在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直
方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于
桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离
．
素材
如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆
，为了宣传
游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆
上方
设置一个面积为
的矩形广告牌，要求矩形广告牌
的一边落在
上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告
牌关于桥拱的对称轴对称．
问题解决：以
的中点
为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务．
(1)确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式；
(2)确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）；
(3)拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形
中
点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)共有两种设计方案：
方案一；矩形广告牌的长为
，宽为
，
点的坐标是
；
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方案二：矩形广告牌的长为
，宽为
，
点的坐标是
【分析】（1）由题意易得桥拱最高点
的坐标为
，
，则有
，设抛物线的解析式为
，然后根据待定系数法可进行求解；
（2）由题意可把
代入函数解析式进行求解即可；
（3）由题意易知矩形广告牌有下列6 种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在
上）：①
：②
；③
；④
；⑤
；⑥
，然后根据拱桥的最高点到
的距离为
进行分类求解
即可．
【详解】（1）解：由题意可知：桥拱最高点
的坐标为
，
，
∴
，
∴
，
设抛物线的解析式为
，
则
，
解得
，
∴抛物线的函数表达式为
；
（2）解：∵
，
∴
，
令
，则有
，
∴桥墩的高度
；
（3）解：∵矩形广告牌的面积为
且长、宽均为整数，
∴矩形广告牌有下列6 种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在
上）：
①
：②
；③
；④
；⑤
；⑥
，
∵拱桥的最高点到
的距离为
，
∴方案①，②，③不符合题意，
方案④：
当
时，
，
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为
，
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∵
，
∴方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是
，
方案⑤：
当
时，
，
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为
，
∵
，
∴方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是
，
方案⑥：
当
时，
，
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为
，
∵
，
∴方案⑥不满足要求，
综上所述，共有两种设计方案：
方案一；矩形广告牌的长为
，宽为
，
点的坐标是
，因为点
与点
关于对称轴对称，所以
点的坐标是
；
方案二：矩形广告牌的长为
，宽为
，
点的坐标是
，因为点
与点
关于对称轴对称，所以
点的坐标是
．
变式2-3（2026·河南三门峡·二模）某蔬菜种植基地建造了一批塑料大棚（如图1），其截面（如图2）由
矩形
和抛物线的一部分
构成（点
为最高点），
，
在水平地面上，曲线
为大棚外
沿，
为大棚的加固钢架．以
所在的直线为
轴、
的中点
为原点建立平面直角坐标系．已知
，大棚最高点
到水平地面的距离为
．
(1)求曲线
所在抛物线的表达式．
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(2)雨季到来，为加固大棚，准备安装三条钢架
，
，
，其中点
，
在曲线
上（点
在点
右侧且不与点
重合），点
，在
上，且四边形
为矩形，求三条钢架的长度之和最多是多少米．
(3)在冬季，光照时长不足，为增加光照时间，促进蔬菜光合作用，准备安装一排补光灯用于夜间补光，要
求：补光灯安装在距离地面
且与地面平行的一条直线上，每相邻
个补光灯之间的水平距离相等且不超
过
，最外侧的2 个补光灯安装在曲线
C 上．则至少需要安装__________个补光灯（参考数据：
）．
【答案】(1)
(2)三条钢架的长度之和最多是
(3)
【分析】（1）由顶点
，利用顶点式及待定系数法求抛物线的表达式．
（2）设点
的横坐标为
，用含
的代数式表示出三条钢架的长度之和，再利用二次函数图象的性质求得
最大值．
（3）先求出最外侧2 个补光灯之间的距离，再确定需要补光灯的最少总个数．
【详解】（1）解：由题意可知，
．
设曲线
所在抛物线的表达式为
，
将
代入，得
，
解得
，
∴曲线
所在抛物线的表达式为
．
（2）解：设点
的坐标为
的长度之和为
，
可得
，
则
．
，
∴当
时，
取最大值，最大值为
．
答：三条钢架的长度之和最多是
．
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（3）解：当
时，
，解得
，
∴最外侧的2 个补光灯之间的距离为
，约为
．
∵每相邻2 个补光灯之间的水平距离相等且不超过
，
如果中间安装3 个补光灯，检验：
，不符合要求；
如果中间安装4 个补光灯，检验；
，符合要求；
如果中间安装5 个补光灯，检验：
，符合要求．
综上可知，至少要安装6 个补光灯．
题型三、投球问题
典例3 （25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己
实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，
在一次投掷中，实心球从y 轴上的点
处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B
的坐标为
，落在x 轴上的点C 处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某市男子实心球的得分标准如表：
得分
100
95
90
85
80
76
70
66
60
50
40
30
20
10
掷远
（米）
12.4
11.2
9.6
9.1
8.4
7.8
7.0
6.5
5.3
5.0
4.6
4.2
3.6
3.0
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准小强得______分；
(3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9 米处有一个身高1.2 米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否
有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
【答案】(1)
(2)小强在这次训练中的成绩为
米，小强的得分是90 分
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(3)该小朋友有危险，理由如下：
当
时，
，
∵
，
∴该小朋友有危险
【分析】（1）设该抛物线的解析式为
，将
代入解析式求出
，即可得
解；
（2）当
时，
，解方程并结合表格判断即可得出结果；
（3）求出当
时
的值，比较即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点
的坐标为
，
设该抛物线的解析式为
，
将
代入解析式得
，
解得
，
∴该抛物线的解析式为
；
（2）解：当
时，
，
解得
，
，
∵点
落在
轴的正半轴，
∴
，即小强在这次训练中的成绩为
米，
∵
，
∴小强的得分是90 分；
（3）略．
题型模版
1.特征：物体（如篮球、铅球）运动轨迹呈抛物线，求落地点距离或最大高度。
2.方法：建立坐标系，设抛物线顶点式或一般式，代入出手点、最高点或落地点坐标求解析式，再求所需值。
变式3-1（25-26 八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距
离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶
者所站位置为原点，地面为
轴，
为1 个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点
的运
动路径可看作抛物线
的一部分，点
从点
处出手
，矩形
为壶，
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，
，
．
(1)如图1，
，若点
为抛物线的顶点，
，且抛物线经过点
．
①求抛物线的解析式；
②竖直提高点
的出手位置（点
），使点
落在
上（不含边界），求
的取值范围．
(2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点
处到达最高点．若点
经过点
正上方
处，求出点
在点
正上方的距离（用含
的式子表示）．
【答案】(1)①
②
(2)
【分析】（1）①运用待定系数法求解即可；②根据函数值求自变量的值即可；
（2）根据题意得到抛物线解析式为
，抛物线过点
，则
，
抛物线解析式为
，且抛物线过
，
，当
时，代入计
算即可．
【详解】（1）解：①
，
为顶点，
则抛物线
，
∵过点
代入得：
，
∴
，
抛物线解析式为
；
②解：抛物线经过点
时，
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，
，
抛物线经过点
时，
，
，
当
时，点
落在
上．
（2）解：
顶点
，
抛物线解析式为
，
抛物线过点
，
，
，
，且抛物线过
，
，
，
当
时，
，
，
点
在点
正上方
处．
变式3-2（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用
模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟
演示如图
所示．跳弹在空中飞行的高度
与水平距离
之间的关系如图
所示．飞机在距水面垂直高度
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为
的
处投放跳弹，跳弹与水面接触于点
开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别
为
，
，
，与水面分别接触于点
，点
．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
(1)已知点
与点
所在直线
的表达式为
，分别求出
，
两点的坐标；
(2)若水面上
处有一个高为
（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽
的暗礁，抛物线
在
时距水面最高，请判断跳弹沿路径
运动时能否避开障碍物和暗礁；
(3)在
的条件下，若跳弹从水面上点
弹起后，沿路径
撞击对方目标截面
处时，启动跳弹内部回弹
装置，避开暗礁沿直线
加速飞向水面，接触水面后沿直线
撞向目标，该过程始终保持
．且目标露出水面的垂直高度
，点
的坐标
，打击点
距水面的距离为
，
且
，求抛物线
中
的取值范围．
【答案】(1)
，
；
(2)能避开障碍物和暗礁；
(3)
．
【分析】
将
，代入
，求得
的坐标，将
，代入
，即可求得
的
坐标；
先根据对称轴为
得出
，代入
求得
，得出
，分别计算
和
的函数值，结合题意，即可求解；
设
，根据已知得出
，将
代入
，得出
，将
代入，得出
，进而解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为
的
处投放跳弹，直线
的表达式为
，
∴当
时，
，
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解得：
，
∴
，
∵
，
当
时，
，
解得：
，
，
∴
；
（2）解：∵
，抛物线
在
时距水面最高，
∴
，
解得：
，
∴
，
∵
过点
，
∴当
时，
，
解得：
，
∴
，
当
时，
，
解得：
，
，
∴
，
∵水面上
处有一个高为
（宽忽略不计）的障碍物，
∴当
时，
，
∵
，
∴跳弹能避开障碍物，
∵暗礁的一个截面宽
，
，
∴
，
∴当
时，
，
∵
，
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∴跳弹能避开暗礁，
综上所述，跳弹沿路径
运动时能避开障碍物和暗礁；
（3）解：∵点
的坐标
，
设
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵要避开暗礁，
∴
，
∴
，即
，
∵
过点
，
当
时，
，即
，
∴当
时，
，
，
即
，
∵
，
∴
，
解得：
．
变式3-3（2026·广东深圳·模拟预测）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心
球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了
邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离
与竖直高度
的数据如下表．随后，黎老师根据表中
的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，
请根据所给信息回答下列问题：
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水平距离
0
2
4
5
6
8
9
竖直高度
2
2
(1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m；
(2)求图中抛物线的解析式
；
(3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等
于
米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由；
(4)已知图中抛物线经过
，
两点，且
，
分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的
部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为
，则
的值为_______．
【答案】(1)2，
(2)
(3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下：
把
代入
，
得
，
解得
或
（不符合题意，舍去），
∵
，
∴邓同学在此次训练中能得到满分；
(4)m 的值为
或
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
（1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为
时y 的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对
称性确定对称轴和顶点坐标；
（2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可；
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（3）令
得到一元二次方程，解方程与
米比较即可；
（4）根据
，
分别位于对称轴两侧求出
的取值范围，再分情况讨论：求出当M 为最低点，或N 为最
低点时
的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为
时y 的值，
通过图表可得：当
时，
，
则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2 米，
由当
时，
；当
时，
可得：
对称轴为直线
，
则当
时，实心球在空中取得最大高度，
通过图表可得：当
时，
，
则实心球在空中的最大高度是
米；
（2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为
，
则
，
抛物线的解析式为
，
将
代入
得：
，
解得：
，
抛物线的解析式为
；
（3）略；
（4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线
，
，
分别位于对称轴两侧，
解得：
①如图，当
时，
，
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即
，
解得：
或
；
与
相矛盾，故舍去，
；
②如右图，当
时，
，
即
，
解得：
或
，
与
相矛盾，故舍去，
，
综上所述，m 的值为
或
．
题型四、喷水问题
典例4 （25-26 八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，
为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口
离地面的
高度为
，水流落地点为点
，喷出的水流呈抛物线型．以
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建
立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知
，
，从
处喷出的水流高度
与水平距离
之间的关系为
．
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(1)求
，的值；
(2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？
(3)点
在点
正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在
处的水流高度达到
米，则消防车
从
点沿
方向应至少前进多少米？
【答案】(1)
，
(2)水流高度能达到的最大高度是
米
(3)消防车从
点沿
方向应至少前进米
【分析】（1）根据已知数据确定点
、
，再利用待定系数法求解即可；
（2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案；
（3）先求出当
时，
，
，再由平移即可得出结论．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
，
将
和
代入
中，得
，
解得
；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式为：
，
将表达式转化为顶点式为：
，
∴抛物线的顶点坐标为
，
∴水流高度能达到的最大高度是
米；
（3）解：令
，即
，整理得：
，
解得：
，
，
∵点
在点
正前方米处，
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∴
，
∴至少需前进
（米），
∴消防车从
点沿
方向应至少前进米.
题型模版
1.特征：喷水水流呈抛物线形，求喷水最大高度或水柱落地点距离，常结合坐标系。
2.方法：以喷口为原点或合适位置建系，设抛物线顶点式或一般式，代入已知点求解析式，再求顶点纵坐标
或令y=0 解x。
变式4-1（25-26 八年级下·福建福州·期末）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水
流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试
水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，
，
米，
米，坡面
上有一棵
小树
（小树粗细忽略不计，点
在斜坡上且与点
不重合，
），现在斜坡底
处安装一个喷
水管
，水流呈抛物线状，恰好落在
处．技术人员以
为原点，水平向右为
轴，竖直向上为
轴，记
录了喷头开启后喷水管喷出水流到
的水平距离
（米）与水流的高度
（米）的变化规律如表：
0
1
2
3
4
…
…
(1)根据表格数据，求出水流的函数解析式；
(2)若调试时，水流恰好经过树顶
点，
①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树
可达到的最大高度是多少？
②在灯光测试中，需要在
右侧（靠近
的一侧）再放置一棵与
等高的小树
（
在坡面上，树干
垂直
），且水流也能刚好经过树顶
．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底
的横坐标
的取值
范围．
【答案】(1)
(2)①2 米；②
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【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①求出直线
的函数解析式为
；设
，则
，可求出
，据此可得答案；②设第二棵树底横坐标为
，同理可得
，根据题意可
得，
，则可推出
，再根据
求出m 的取值范围即可．
【详解】（1）解：设水流的函数解析式为
，
由题意得
∴
，
∴水流的函数解析式为
；
（2）解：①∵
米，
米，
∴
，
设直线
的函数解析式为
，
∴
，
∴
，
∴直线
的函数解析式为
；
设
，则
，
∴
，
∵
，
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∴当
时，
有最大值，最大值为2，
答：这棵小树
可达到的最大高度是2 米；
②设第二棵树底横坐标为
，
同理可得
，
∵两棵树等高，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，即
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
变式4-2（2026·山西长治·三模）综合与实践
问题情境
喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥
秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究．
资料收集
实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流：
小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O 在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度
（水流喷水孔
点O 与落地点M 之间的水平距离）为
，最高点距地面
．
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小亮：图2 是乙组喷泉水柱形状的示意图，
为喷水管，点A 为喷水孔，此时B 为水的落地点，记
的
长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为
．
小颖：图3 是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道
在
线段
上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入
上方的安全区域矩形
内．
数学建模
如图3，以甲组喷泉喷水孔点O 为坐标原点，
所在直线为x 轴，过点O 竖直向上为y 轴的正方向，建立
平面直角坐标系．
问题解决
(1)求图3 中甲组喷泉抛物线的函数表达式；
(2)若乙组喷泉跨度
恰好为
，求喷水管
的高度；
(3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为
，求此时安全通道
的宽度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令
求解即可；
（3）对于两组抛物线，分别令
求出
值，即可求解
．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为
，
故设抛物线表达式为
代入
可得，
，
解得
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∴抛物线表达式为
（2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为
，
故设抛物线的表达式为
，
代入
可得，
解得
或
（舍去）
∴抛物线的表达式为
当
时，
∴喷水管
的高度为
（3）解：由题意得，
对于
，当
时，则
，
解得
；
对于
，当
时，则
，
解得
，
∴安全通道
的宽度为
．
变式4-3（2026·江苏淮安·二模）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，
对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1 个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1 所示，观察喷头可顺、
逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2 中建立合适的直角坐标系，喷水口中心
有一喷水管
，从
点向外喷水，喷出的
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水柱形状为拋物线，这些抛物线的开口方向和大小都与
相同．以水平方向为
轴，点
为原点建
立平面直角坐标系，点
（喷水口）在
轴上，
轴上的点
为水流的最外落水点．
素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，
与
区域种植不同蔬菜，测得
米．
【项目任务】
(1)任务一：甲小组测量得喷头的高
米，喷水口中心点
到水柱的最外落水点
水平距离为5.5 米．求
出水柱所在抛物线的函数解析式．
(2)任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水
口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：
）
(3)任务三：现需要对
区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到
区域的蔬菜上，丙小组准备在
处设立挡
板
，为了挡板使用材料最少，请直接写出
的最小值．
【答案】(1)
(2)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约7.6 米
(3)
的最小值约
米
【分析】任务一：因为抛物线开口方向和大小与
相同，所以可设抛物线解析式为
，
再将点
和点
的坐标代入，求解未知系数即可得到解析式．
任务二：先设薄膜所在直线的解析式，根据薄膜与地面夹角为
确定直线斜率；再根据“水与薄膜距离至
少10 厘米”的条件，结合点到直线的距离公式，建立抛物线点到直线的距离不等式，求解对应横坐标即可
得到水平距离．
任务三：因为要使挡板
材料最少即长度最小，所以
是点
到抛物线的最短距离，设抛物线上点的坐
标，用两点距离公式表示
的长度，结合抛物线解析式求
表达式的最小值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线开口大小和方向与
相同，
∴设解析式为
．
由题意得喷水口
，
代入，得
；
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再将落水点
代入，得
，
解得
．
∴抛物线解析式为：
．
（2）解：设薄膜与x 轴交点为
，
∵薄膜与地面夹角为
，
∴薄膜所在直线与y 轴交点为
，
设薄膜所在直线解析式为
，
则
，
解得
，
∴薄膜所在直线解析式为
．
设抛物线上一点
到直线
的距离为
，要求水到薄膜的垂直距离至少为
，即
，
过点E 作
轴，过点F 作
轴，
则
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴当
时，
，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
化简得
，
∵x 值唯一，
∴
，
解得
．
即薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约为7.6 米时满足要求．
（3）解：设抛物线上点
，
∵
，
∴
，
∵抛物线解析式
，
∴整理得
，
代入得：
，
∵抛物线
的范围为
，
∴当
时，
最小为，
得
（米）．
∴
最小值约
米．
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题型五、图形问题
典例5 （25-26 九年级上·江苏泰州·期末）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图
所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25 米，其余部分用总长36 米的铝合金材料围成，且在两个
车棚中间及左右两侧各设置一个1 米宽的通道（通道不用铝合金材料）．
(1)设自行车车棚的面积为S 平方米，车棚的宽度
为x 米，求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变
量x 的取值范围；
(2)S 是否总随x 的增大而增大，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)S 不总是随x 的增大而增大，当
时，S 随x 的增大而增大；当
时，S 随x 的增大而减
小
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解不等式组等知识点，理解题意、找到等量关系、列出函数关
系式是解题的关键．
（1）设车棚宽度
为
，那么宽需要需用的材料为
米，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去
三条宽长度即可表示出
，最后利用长乘以宽表示出面积，结合墙的长度可列出不等式表示出自变量的范
围；
（2）根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设车棚宽度
为
，
∵铝合金材料总长36 米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1 米宽的通道（通道不用铝合金材料），
∴
，
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∴
．
由
，
解得：
．
∴S 与
之间的函数关系式为
，自变量
的取值范围是
．
（2）解：S 不总随x 的增大而增大，理由如下：
由（1）得：
，
∵
的对称轴为直线
，且
，
∴S 不总是随x 的增大而增大，当
时，S 随x 的增大而增大；当
时，S 随x 的增大而减
小．
题型模版
1.特征：用二次函数表示图形面积、周长或体积，求最值或范围，常涉及矩形、三角形。
2.方法：设几何量（如边长）为变量，用函数表示目标量，转化为二次函数求顶点或区间最值，注意取值范
围。
变式5-1（25-26 九年级上·山东·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一
边利用教学楼的后墙（可利用墙长为
），其他的边用总长
的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个
的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8 米处，规划有机动车
停车位）
(1)设自行车车棚面积为
，车棚宽度
为
，求与
之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量
的取值范围______；
(2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明．
【答案】(1)
；
(2)
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自行车车棚面积最大可达到
，
说明：
，
，对称轴为直线
，而
，
当
时，有最大值为：
，
自行车车棚面积最大可达到
.
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的面积表示出，结合题目条件求出自变量的范围；
（2）根据二次函数的性质解题即可．
【详解】（1）解：由题意知，
，
∴
，
且墙长为
，在自行车棚后面距教学楼后墙8 米处，规划有机动车停车位，
∴
，
解得
；
故答案为：
；
；
（2）略
变式5-2（25-26 九年级上·吉林四平·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角
（墙角两边
和
足够长），用
长的篱笆围成一个矩形花园
（篱笆只围
和
两边）．设
，
．
(1)求
与
之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当矩形花园的面积为
时，求
的长；
(3)如果在点
处有一棵树（不考虑粗细），它与墙
和
的距离分别是
和
，如果要将这棵树围在
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矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值．
【答案】(1)
(2)当矩形花园的面积为
时，
的长为
或
(3)如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），矩形花园面积的最大值为
【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法．
（1）根据矩形面积
长宽求解；
（2）令
，解一元二次方程求解；
（3）由点P 在矩形内部可得x 的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴y 与x 的关系式为
；
（2）解：令
，则
，
解得
或
，
∴
的长为
或
；
（3）解：∵点P 在矩形内部，
∴
，
解得
，
∵
，
当
时，y 随x 增大而增大，
∴
时，y 取最大值为
，
答：花园面积最大值为
．
变式5-3（25-26 九年级上·浙江台州·期末）素材1：小明家共有
长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱
笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2 个、
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6 个小长方形，每种方案的篱笆总长均为
．爸爸已经算出方案丙中，当
时，所围的菜地面积
最大．
任务1：（1）在方案甲中，
长为 m 时，所围菜地面积最大，最大面积为
；
任务2：（2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值；
素材2：爱思考的小明发现，当三种方案的菜地面积分别达到最大值时，每种方案横向的篱笆总长（即
，
，
）存在某种特殊的规律．
任务3：（3）①请猜想各方案中，当菜地面积最大时横向的篱笆总长所存在的规律；
②小明为了证明上述猜想具有一般性，设计了如图2 所示的方案：用总长为l 的篱笆围成长方形菜地，其中
横向篱笆m 条，纵向篱笆n 条．请利用该方案证明上述猜想具有一般性．
【答案】（1）30，900；
（2）
；
（3）①横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半；
②设菜地面积为
，横向篱笆长为
，则纵向长为
，由题意，得
，
∴当横向篱笆长
时，菜地面积
，
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此时横向篱笆的总长度为
，
∴猜想成立．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设
，该长方形的面积为
，则该长方形的宽为
，由题意得
，然后根据二次函数的性质可求解；
（2）设菜地面积为
，横向
长为
，则纵向长为
，由题意得：
，然后根据二次函数的性质可进行求解；
（3）①根据（1）（2）可进行求解；②设菜地面积为
，横向篱笆长为
，则纵向长为
，由
题意得：
，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：（1）设
，该长方形的面积为
，则该长方形的宽为
，
由题意得：
，
∵
，
∴当
时，S 有最大值，最大值为900；
故答案为30，900；
（2）设菜地面积为
，横向
长为
，则纵向长为
，由题意得：
；
∵
，
∴当
时，面积
；
答：方案乙所围菜地面积的最大值为
．
（3）①猜想：横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半，理由如下：
由（1）（2）可知：方案甲：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为
，所以横向篱笆的总长度是篱
笆总长的一半；
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方案乙：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为
，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半；
方案丙：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为
，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一
半；
综上所述：横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半；
②略
题型六、图形运动问题
典例6 （25-26 九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形
中，
，
，点P 从点
A出发沿
以
的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿
以
的速度向点C匀速移动．设
点P 运动的时间为
．
(1)
___________
，
___________
（用含t 的代数式表示）
(2)记
的面积为
，
的面积为
．
①试判断
是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
②求
的最小值．
【答案】(1)
，
(2)①是，
；②
【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意列出相关代数式即可；
（2）分别计算出
和
，①求得
是定值；②求得
，运用二次函数的性质
可得结论．
【详解】（1）解：∵点P 的速度是
，运动时间为
，所以
；
点Q 的速度是
，运动时间为
，所以
；
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∵
，
∴
；
故答案为：t，
；
（2）解：①
，
，
∴
；
；
∴
；
又矩形
的面积为
，
；
；
∴
∴
，是定值；
②
∵
，
∴当
时，
取得最小值
．
题型模版
1.特征：几何图形按规律运动（如平移、旋转），面积或长度随时间变化，求最值或特殊状态。
2.方法：设运动时间为t，用含t 式子表示动态边长，建立面积或长度的二次函数，求顶点或特定值。
变式6-1（25-26 九年级上·吉林·期末）如图，在
中，
，
，
．点
从
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点
出发以每秒2 个单位长度的速度沿线段
向终点
运动．当点
不与点
重合时，过点
作
于点
，作点
关于
的对称点为点
，连接
，
．设点
的运动时间为
秒，
与
重
叠部分图形的面积为
．
(1)
________，
________．（用含
的式子表示）
(2)当点
和点
重合时，
________．
(3)求
关于
的函数解析式，并写出自变量
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)1
(3)当
时，
；当
时，
【分析】本题考查的是含30 度角的直角三角形性质、勾股定理及列二次函数表达式，
（1）先求出
，再根据含30 度角的直角三角形性质、勾股定理求出结论；
（2）先求出
，由对称得出
，解出即可；
（3）分两种情况：当点
和点
重合之前时，即
时；或当点
和点
重合之后时，即
时，
分别列出关系式即可．
【详解】（1）解：在
中，
，
，
由题意得：
，
，
；
（2）解：在
中，
，
，
，
，
；
∵点
关于
的对称点为点
，点
和点
重合，
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，
；
（3）解：当点
和点
重合之前时，即
时，
，点
关于
的对称点为点
，
，
，
，
，
与
重叠部分图形的面积为
；
∵
，
∴点
到达点
时时间为
秒，
当点
和点
重合之后时，即
时，如下图，
由题意得：
，
，
，
，
在
中，
，
，
与
重叠部分图形的面积为
，
综上所述，当
时，
；当
时，
．
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变式6-2（25-26 九年级上·吉林·期末）如图，在
中，
，
，
，动点P
从点A 向终点B 运动，速度为1 个单位长度/秒，过点P 作
，
交射线
于点Q．设点P 的运动
时间为t 秒（
）．
(1)当点Q 在线段
的延长线上时，线段
的长为_______；（用含t 的代数式表示）
(2)设
与
重叠部分的面积为S，求出S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围；
(3)当点Q 在线段
的延长线上时，连结
，若
是等腰三角形，直接写出t 的值．
【答案】(1)
(2)当点Q 在线段
上时，
，当点Q 在线段
的延长线上时，
(3)t 的值为3
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识；解
题的关键是熟练掌握分类讨论的思想．
（1）过P 作
于H，则H 为
中点，根据
得
，
，
则
，即可得到
；
（2）分两种情况，根据
与
重叠部分的形状再求面积即可；
（3）点Q 在
延长线上，根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：在
中，
，
，
，
∴
，
，
动点P 从点A 向终点B 运动，速度为1 个单位长度/秒，
∴
，
当点Q 在线段
的延长线上时，
过P 作
于H，则H 为
中点，
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∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
故答案为：
；
（2）解：①如图，当点Q 在线段
上时，
，
与
重叠部分为
，
由（1）可得
，
，
，
；
②当点Q 在线段
的延长线上时，
，
与
重叠部分为四边形
，
由（1）可得
，
，
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
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∴
，
综上所述，
与
重叠部分的面积为
；
（3）解：点Q 在
延长线上，如图，
∵
，
是等腰三角形，
∴
，
∴当
是等腰三角形时，仅存在
，此时，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
则
，
解得：
．
变式6-3（25-26 九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，
是等腰直角
三角形，
，
，顶点
，点B 在第一象限，正方形
的顶点
，点C 在
y 轴的正半轴上，点D 在第二象限．将正方形
沿x 轴向右平移，得到正方形
，点O、C、D、
E 的对应点分别为
、
、
、
．设
，正方形
与
重叠部分的面积为S．
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(1)点B 的坐标为_______，点D 的坐标为_______；
(2)当点
与点A 重合时，求t 的值；
(3)求S 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握分类
讨论的思想方法是解题的关键．
（1）过点
作
轴于
，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质和点的坐标的特征解答即可；
（2）利用平移的概念，即可解答；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情况分别求得重叠部分的面积的函数关系式，即可得出结论．
【详解】（1）解：过点
作
轴于
，如图，
点
，
，
，
，
，
点
的坐标为
．
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点
，
，
四边形
为正方形，
，
，
，
点
坐标为
；
故答案为：
；
；
（2）解：当点
与点A 重合时，
；
（3）解：当
时，正方形
与
重叠部分为等腰直角三角形，如图，
由题意：
，
，
当
时，正方形
与
重叠部分为五边形，如图，
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形
为正方形，
，
正方形
的边长为2，
，
，
，
，
，
，
，
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．
当
时，正方形
与
重叠部分为等腰直角三角形，如图，
由题意得：
，
，
，
综上，
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（2026·天津北辰·二模）如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数
（
）刻画，斜坡可以用一次函数
刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的
高度y（米）的变化规律如下表：
x
0
1
2
m
4
5
6
…
y
0
6
8
n
…
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有下列结论：
①
；
②当小球飞行的水平距离为2 米时，小球距离斜坡的高度为6 米；
③小球的落点A 距离斜坡起点O 的水平距离为7 米；
④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为
米．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用待定系数法可求出二次函数解析式为
，可判断①；②分别求出当
时，两函
数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x 的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中与斜坡
的最大高度差与x 的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④．
【详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过
点
，
∴
，
解得：
，
∴二次函数解析式为
，
当
时，
，
解得：
或
（舍去），
∴
，
当
时，
，故①正确；
②对于
，当
时，
，
对于
，当
时，
，
∴当小球飞行的水平距离为2 米时，小球距离斜坡的高度为
米，故②错误；
联立得：
，
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解得：
，
∴小球的落点A 距离斜坡起点O 的水平距离为7 米，故③正确；
小球在飞行的过程中与斜坡的高度差
，
∵
，
∴当
时，h 的值最大，最大值为
，
即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为
米，故④错误；
综上所述，正确的有①③．
2．（2026·天津·中考真题）矩形
中，
，
．动点
从点
出发，以
的速度
沿边
、边
向终点
运动；动点
从点
同时出发，以
的速度沿边
、边
向终点
运动．设
运动的时间为
．当
时，点
，
的位置如图所示．给出下面三个结论：
①当
时，四边形
是平行四边形；
②
的最大面积为
；
③当
的面积为
时，
或
．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二
次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断．
【详解】解：①当
时，如图2，
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，
，
∴
，
∴
，
∵矩形
，
∴
，即
，
∴四边形
是平行四边形，①正确；
②当点
在
上，点
在
上，此时
时，如图1，
，
，
∴当
时，
的最大面积为
；
当点
在
上，点
在
上，此时
时，如图3，
，
，
，
∴当
时，
的最大面积为
；
当点
在
上，点
在
上，此时
时，如图4，
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，
，
，
，
∴
，
∵
，当
时，
随的增大而减少，
∴不存在最大值，
综上，
的最大面积为
，②正确；
③当点
在
上，点
在
上，此时
时，
又②可知：
，
，
由题意得
，
∴
（负值已舍）；
当点
在
上，点
在
上，此时
时，
由②可知：
，
由题意得
，
∴
（不符合题意，舍去）；
当点
在
上，点
在
上，此时
时，
，
由题意得
，
∴
（不符合题意，舍去）或
；
综上，当
的面积为
时，
或
，③正确．
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二、填空题
3．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到
捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2 是一次捕食中一条射水鱼
发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点
射出，水流运动的高度
与水平距离
近似满足
函数关系
．若这只昆虫在点
，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”
或“不能”）
【答案】不能
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把
代入
，把结果与50 比较
即可．
【详解】解：把
代入
，得
，
，
不能击中昆虫．
4．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图
，以拱架底部
的中点
为原
点，
所在直线为
轴，过点
且垂直于
的直线为
轴建立平面直角坐标系，
轴与抛物线交于顶点
．已知
，现要在距离底部
高处安装一根与
平行的通风管
，通风管
的长度为
，
则拱架最高点
距底部
的高度为_______
．
【答案】
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【分析】由题意得
，
，求出抛物线解析式为
，得
，从而求出拱架最高
点
距底部
的高度．
【详解】解：由题意得，
，
，
设抛物线解析式为
，
∴
，解得：
，
∴抛物线解析式为
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
∴拱架最高点
距底部
的高度为
米．
三、解答题
5．（25-26 九年级上·江苏徐州·期末）如图，某农户准备用长24 米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁
栅栏围成长方形羊圈
和一个边长为1 米的正方形狗屋
．设
米．设山羊活动范围即图中
阴影部分的面积为平方米．
(1)求关于
的函数表达式；
(2)山羊的活动范围的面积能否达到35 平方米？
(3)求出山羊活动范围面积的最大值．
【答案】(1)
（
）
(2)面积能达到35 平方米
(3)最大值为
平方米
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是正确求出函数解析式和列出一元二次
方程．
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（1）先用
表示出
，再由长方形面积公式建立函数关系式；
（2）令
，代入整理得
，再解方程即可；
（3）利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：
长方形对边相等，
，
，
.
，
，
，
解得
，
的取值范围为
.
关于
的函数表达式为
（
）；
（2）解：令
，代入得
，
整理得：
，
解得
或
，均在
范围内，
面积能达到35 平方米；
（3）解：二次函数
中，
，
将
，
代入
得
，
将
代入函数表达式得
，
最大值为
平方米．
6．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已
知
米，
米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为
米的道路．已
知铺地毯防污的面积为675 平方米．
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(1)求道路的宽是多少米？
(2)该美食节共有摊位60 个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200 元时，可全部租出；若每个摊位的日
租金每上涨5 元，就会少租出1 个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，
最大收入是多少元？
【答案】(1)道路的宽为3 米
(2)当每个摊位的日租金上涨50 元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500 元
【分析】（1）设道路的宽为
米，根据“铺地毯防污的面积为675 平方米”列方程求解即可；
（2）设日租金上涨
元，美食节的日租金收入为w，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求最大
值即可．
【详解】（1）解：设道路的宽为
米，
根据题意得，
，
解得：
（舍去），
，
答：道路的宽为3 米；
（2）解：设日租金上涨
元，美食节的日租金收入为w，
根据题意得：
，
∵
∴抛物线开口向下
∴当
时，w 有最大值12500，
答：当每个摊位的日租金上涨50 元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500 元．
7．（25-26 九年级上·陕西西安·期末）某公园计划修建一个如图1 所示的以
为半径的圆形喷水池，喷
水池中心
处立着一个高为
的实心石柱
，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形
状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点
处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱
处能达到
最大高度，与池面的距离为
．在距离池面
的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池
不能影响水流．
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(1)求圆形喷水池的半径．
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少
？
【答案】(1)圆形喷水池的半径为
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质；结合题意熟练运用二次函数的性质解题是关键．
（1）通过顶点坐标求得二次函数解析式；再令
，解一元二次方程，得出
，保留符合题意的
值，即
解得答案；
（2）根据题意，令
，解一元二次方程求出
，保留符合题意的
值，即解得答案．
【详解】（1）解：以
为原点建立平面直角坐标系，则第一象限抛物线的顶点的坐标为
．
设第一象限抛物线的函数表达式为
．
将点
代入，得
，解得
．
．
令
，则
，
解得
或
（不符合题意，舍去），
圆形喷水池的半径为
．
（2）解：令
，则
，
解得
或
（不符合题意，舍去），
为了不影响水流，小水池的半径不能超过
．
8．
（25-26 九年级上·吉林·期中）如图，在等腰直角三角形
中，
，
边上的高
．点
P 从点A 出发，沿
以
的速度向终点B 运动，当点P 不与点A、B 重合时，过点P 作
，交
边
或边
于点Q，以
为边向下作正方形
，设正方形
与
重叠部分图形的面积为
，点P 运动的时间为
．
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(1)求
的长；
(2)直接写出点M 落在边
上时t 的值；
(3)求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)2；
(3)
．
【分析】（1）利用等腰三角形底边三线合一和直角三角形斜边中线性质可得
，即可求得
的长；
（2）用含t 的式子表示出
和
，建立方程求解即可；
（3）分类讨论：
时，正方形
与
重叠部分图形的面积为正方形
的面积；
时，重合面积为正方形
的面积减去多出等腰直角三角形的面积；
时，重合面积为正方形
的面积的一半．
【详解】（1）解：
在等腰直角三角形
中，
，
边上的高
．
是等腰直角三角形
斜边上的中线，
；
（2）解：
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
小学
初中
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，
如图：点M 落在边
上时，
四边形
是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由（1）知
，
，解得：
；
（3）由（2）知，当
时，如图：
为正方形
的面积，即
；
当
时，如图：
由题意可知：
和
均为等腰直角三角形，
，
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；
当
时，如图：
；
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、正方形的性质、实际问题与二
次函数、分段函数的定义，分类讨论思想等知识点，掌握这些是解题的关键．
9．（2026·新疆喀什·一模）艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、
线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下：
①生产艾德莱斯绸的成本为30 元/米，车间固定成本为800 元/天；
②线下门店固定开支为500 元/天．根据市场调研发现，售价定为40 元/米时，每天可售出80 米，售价每增
加1 元，每天售出减少2 米；
③线上直播销售无固定开支，且每销售1 米可获得40 元的利润．
(1)若合作社以50 元/米的价格，通过车间直销的方式售出60 米，则当日车间直销利润为______元；
(2)线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700 元，且尽量让利于顾客，售价应定
为多少元/米？
(3)“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1 米，向学校非遗
社团捐赠t 元（
），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为
，当线
上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？
【答案】(1)400
(2)售价应定为50 元/米
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(3)当线上销售利润最大时，捐赠额为10 元/米，最大利润为9000 元
【分析】（1）根据“利润
（售价成本）销量固定成本”直接求解；
（2）根据“总利润
单个利润数量固定开支”将关系式列出来，求解后根据要尽量让利于顾客来确定所
求的值；
（3）根据“总利润
单个利润数量固定支出”列出二次函数，利用二次函数开口向下，顶点处取得最大
值求解．
【详解】解：（1）当日车间直销获得的利润为
（元）．
（2）设线下门店售价提高x 元/米，
由题意可列方程，
，
整理可得
，
解得
或
，
∵要尽量让利于顾客，∴
，
∴售价为
元．
答：售价应定为50 元/米；
（3）由题意，线上直播销售每米实际利润为
元，设利润为
元，由题意可得，
，
∵
，且
，
∴当
时，
最大，此时
．
答：当线上销售利润最大时，捐赠额为10 元/米，最大利润为9000 元
10．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球
运动路线近似为抛物线．
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI 分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了
实心球的几组水平距离
（单位：m）和竖直高度
（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部
分图象如图．
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设抛物线的表达式为
．
…
…
…
…
(1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式；
(2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离；
(3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项
系数变为
，顶点为
，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10 米．
【答案】(1)
(2)
，投掷的距离为
米
(3)改进后投掷实心球的距离能超过10 米
【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出
的值即可；
（2）由（1）可得顶点坐标，令
求出对应的
的值即可；
（3）先根据题意写出新的函数表达式，再令
求出对应的
的值即可．
【详解】（1）解：由表格可知，点
和点
的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线
，
结合表格可知，顶点坐标为
，
∴
，
，
，
将点
代入
，得，
，
解得
，
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∴抛物线的函数表达式为
；
（2）解：由（1）可知，顶点坐标为
，顶点即最高点，
将
代入
，得，
，
解得
，
（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为9.8 米；
（3）解：根据题意，改进后，
，
将
代入
，得，
，
解得
，
（负值，舍去）．
∵
，
又∵
，
∴
，
∴
．
答：改进后投掷实心球的距离能超过10 米．
11．（25-26 九年级上·北京·期末）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），
喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在
两面墙之间，
为水平地面，
，
．消防喷淋头M 安装在距离地面3 米高的棚顶
上，其到墙面
的水平距离
为
2 米，此时最外层的水柱喷射到墙面
上的点E 处，
米．以O 为原点，地面
所在的水平线为x
轴，墙面
所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线的解析式；
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(2)已知车棚的宽度
为15 米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1 米高
的全部范围．工作人员计划在棚顶
上安装若干个与消防喷淋头M 相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋
头的位置不变）．
①请通过计算，回答至少需要 个消防喷淋头；
②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d 的取值范围．
【答案】(1)
(2)①4；②
．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点．
（1）由题意可知：顶点M 的坐标为
，点E 的坐标为
，然后运用待定系数法求解即可；
（2）①设抛物线
上横坐标为4 的点为P，则
，得到一个喷淋头在
高度覆盖的
水平宽度为4 米，据此求解即可；
②由题意可设消防喷淋头N 的最外层水柱所在抛物线的表达式为
，当抛物线
经过点
或
时，求得
或
，据此计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意可知：顶点M 的坐标为
，点E 的坐标为
，
则可设最外层水柱所在抛物线的表达式为
，
将点
代入，得
，解得
，
最外层水柱所在抛物线的表达式为
；
（2）解：①∵
，
∴当
时，
，解得
或
，
设抛物线
上横坐标为4 的点为P，则
，
∴一个喷淋头在
高度覆盖的水平宽度为4 米，
，
∴至少需要4 个消防喷淋头；
②由题意可设消防最后一个喷淋头N 的最外层水柱所在抛物线的表达式为
，
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当抛物线
经过点
时，有
，
解得
（舍去）或
，
此时
米，
米．
当抛物线
经过点
时，有
，
解得
（舍去）或
，
此时
米，
米．
综上所述，在满足所需条件时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离的取值范围为
．
12．（25-26 九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）综合与实践
【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空
间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系．
【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线
和矩形
构成（如图1 所示），抛物线最
高点
到地面的距离为5 米，
为
中点，以
所在直线为
轴，垂直于
的直线
为
轴，建立平
面直角坐标系
，已知
米，
米．
（1）求抛物线的表达式；
【应用模型】
（2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，
，
垂
直地面，
平行地面，点
，
在抛物线上，如图2 所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，
“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？
（3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线
内部建两个正方形的窗户，（正方形
的
边
和正方形
的边
都在
上，点
，
都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1 米，如
图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1 米，参考数据：
，
，
）
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【答案】（1）
；（2）当“支撑架”
，
安装在与
轴水平距离
米的位置时，“支撑架”
的长度最长，最长长度为
米；（3）5 平方米
【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设抛物线的函数表达式为
，点
代入求解即可；
（2）设点
的坐标为
，由题意得点
坐标
，点
坐标
，点
的坐标
，得到
，
，
则 “支撑架”的长度为：
，得出答案；
（3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点
的坐标为
，
，求解即可
得出答案．
【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为
，
将点
代入得：
，
解得：
，
抛物线的函数表达式为
；
（2）设点
的坐标为
，
由题意得点
坐标
，点
坐标
，点
的坐标
，
，
，
“支撑架”的长度为：
，
，
，
当
时，“支撑架”的长度最长，最长长度为
米．
即当“支撑架”
，
安装在与
轴水平距离
米的位置时，
“支撑架”的长度最长，最长长度为
米；
（3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点
的坐标为
，
点
在抛物线
上，
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，
整理得
，
解得
或
（舍去），
两个窗户的面积和
（平方米）．
