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专题04 角平分线和垂直平分线重难点六大题型汇编
常考题型·精准突破
◆题型·1:利用垂直平分线的性质求角度
1．
【答案】B
【详解】解：∵𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐵，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴= 40°，
∵∠𝐴= 40°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶=
180°−∠𝐴
2
= 70°，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐷= 30°．
故选：B．
2．
【答案】D
【详解】如图，连接𝑂𝐴．
∵𝑂是△𝐴𝐵𝐶三边垂直平分线的交点，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴∠𝑂𝐴𝐵= ∠𝑂𝐵𝐴，∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐶𝐴．
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 100°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −100° = 80°，
∴∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐴𝐵+ ∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶= 80°，
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) −(∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐶𝐴) = 100° −80° = 20°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180° −(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180° −20° = 160°．
故选：D．
3．
【答案】B
【详解】解：∵𝑀𝑃和𝑄𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，
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∴𝑃𝐵= 𝑃𝐴，𝑄𝐴= 𝑄𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐵= 20°，∠𝐶= ∠𝑄𝐴𝐶= 30°，
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 130°，
∴∠𝑃𝐴𝑄= ∠𝐵𝐴𝐶−(∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑄𝐴𝐶) = 130° −50° = 80°，
故选：B．
4．
【答案】C
【详解】解：∵𝐴𝐵、𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐵𝐶于D、E，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 105°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 75°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 105°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐶= 105° −75° = 30°，
故选：C．
5．
【答案】A
【详解】解： ∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷垂直平分𝐵𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸𝐵𝐷，
∵𝐷𝐸= 𝐵𝐷，∠𝐵𝐷𝐸= 90°，
∴△𝐵𝐷𝐸是等腰直角三角形，
∴∠𝐷𝐵𝐸= 45°，
∴∠𝐸𝐶𝐷= 45°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐸𝐶𝐷= 15°．
故选：A．
◆题型·2:利用垂直平分线定位性质求线段长度（常考）
6．
【答案】B
【详解】解：由作图可知：𝑀𝑁是𝐵𝐷的垂直平分线，
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∴𝐸𝐵= 𝐷𝐸，
∵△𝐴𝐷𝐸的周长为15，
∴𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 15，
∵由作图可知𝐴𝐷= 𝐴𝐶= 6，
∴𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 15 −𝐴𝐷= 15 −6 = 9，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 9．
7．
【答案】C
【详解】解：根据作图痕迹判断𝑀𝑁是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∵△𝐴𝐷𝐶的周长为18，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 18，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 18，即𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 18，
∵𝐴𝐵= 10，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为A𝐶+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 18 + 10 = 28．
8．
【答案】A
【详解】解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∵𝐺𝐹是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐺= 𝐶𝐺，
∴△𝐴𝐸𝐺的周长= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐺+ 𝐴𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐺+ 𝐶𝐺= 𝐵𝐶+2𝐸𝐺= 9 + 2 = 11．
9．
【答案】A
【详解】解：如图，连接𝐵𝐷，
由作图可知𝐶𝐷= 𝐴𝐶= 2, 𝑃𝑄是𝐵𝐷的垂直平分线，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐸，
∴△𝐶𝐷𝐸的周长为𝐶𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶= 2 + 6 = 8．
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◆题型·3;利用角平分线的性质求面积（重点）
10．
【答案】D
【详解】解：过点M 作𝑀𝐸⊥𝑂𝑃, 𝑀𝐹⊥𝑂𝐵，垂足分别为E、F．
∵M 是∠𝐴𝑂𝐵平分线上的一点，
∴𝑀𝐸= 𝑀𝐹，
∵𝑆△𝑂𝑄𝑀=
1
2 𝑂𝑄× 𝑀𝐹= 2，
∴𝑂𝑄× 𝑀𝐹= 4，
∵𝑂𝑃= 2𝑂𝑄，
∴𝑂𝑃× 𝑀𝐹= 𝑂𝑃× 𝑀𝐸= 8．
∴𝑆△𝑂𝑃𝑀=
1
2 𝑂𝑃× 𝑀𝐹= 4．
故选：D．
11．
【答案】A
【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 6 × 5 = 15，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐶𝐷=
1
2 × 10 × 5 = 25，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 15 + 25 = 40 ．
12．
【答案】A
【详解】解：过点O 作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于点E，过点O 作𝑂𝐹⊥𝐴𝐶于点F，连接𝑂𝐴，如图所示：
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∵点O 为∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线的交点，且𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 𝑂𝐹，
∵𝑂𝐷= 3.5cm，△𝐴𝐵𝐶的周长是48cm，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐵𝑂𝐶+ 𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐴𝑂𝐶
= 1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝐸+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝑂𝐹+ 1
2 𝐵𝐶⋅𝑂𝐷
= 1
2 (𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶) ⋅𝑂𝐷
= 1
2 × 48 × 3.5
= 84cm2；
故选：A．
13．
【答案】B
【详解】解：如图，过𝐸作𝐸𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，
∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴𝐸𝐻= 𝐸𝐹，
∵𝐵𝐷是中线，𝐴𝐶= 12，△𝐵𝐷𝐶的面积是30，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶=
1
2 × 12 = 6，△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐵𝐷𝐶的面积= 30，
∵△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐴𝐵𝐸的面积+ △𝐴𝐷𝐸的面积，
∴30 =
1
2 𝐴𝐵⋅𝐸𝐹+
1
2 𝐴𝐷⋅𝐸𝐻=
1
2 (𝐴𝐵+ 𝐴𝐷) ⋅𝐸𝐹，
∵𝐴𝐵= 14，𝐴𝐷= 6，
∴
1
2 × (14 + 6) ⋅𝐸𝐹= 30，
∴𝐸𝐹= 3．
故选：B．
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14．
【答案】B
【详解】解：∵𝐴𝐸是𝐵𝐶边上的高， 𝐵𝐶= 14，𝐴𝐸= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐸=
1
2 × 14 × 6 = 42，
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 42 = 21，
𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐶= 7．
过点F 作𝐹𝑀⊥𝐴𝐵于点M，作𝐹𝑁⊥𝐵𝐶于点N，
∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐹𝑀⊥𝐴𝐵，𝐹𝑁⊥𝐵𝐶，
∴𝐹𝑀= 𝐹𝑁，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐹+ 𝑆△𝐵𝐷𝐹=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐹𝑀+
1
2 𝐵𝐷⋅𝐹𝑁，
∴
1
2 × 11 × 𝐹𝑁+
1
2 × 7 × 𝐹𝑁= 21，
∴𝐹𝑁=
7
3，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐹=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐹𝑁=
1
2 × 7 ×
7
3 =
49
6 ．
故选∶B．
◆题型·4;利用角平分线的性质求边长
15．
【答案】2.4
【详解】解：∵∠𝐶= 90°,𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶 , 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐸= 1.6，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 1.6，
∵𝐵𝐶= 4,
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐶𝐷= 4 −1.6 = 2.4．
16．
【答案】6
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐸的面积是6，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷边𝐴𝐷上的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2 × 6 = 12，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积是18
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∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 18 −12 = 6
如图所示，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，过D 作𝐷𝐺⊥𝐴𝐶于G，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐺，
∵𝐴𝐶= 3，
∴
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐹
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐺=
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
𝐴𝐵
3 =
12
6 ，
∴𝐴𝐵= 6．
17．
【答案】5
【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐷𝐸= 4，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 × 4𝐴𝐶+
1
2 × 4𝐵𝐶，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 28，𝐵𝐶= 9，
∴28 = 2𝐴𝐶+ 18，
∴2𝐴𝐶= 10，
∴𝐴𝐶= 5．
18．
【答案】3
【详解】解：∵∠𝐶= 90°，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐶，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷，
∵𝐵𝐶= 7 cm，𝐵𝐷= 4 cm，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐶−𝐵𝐷= 7 −4 = 3(cm)，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 3cm，即𝐷𝐸的长为3cm．
19．
【答案】6
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【详解】解：由作图可知，射线𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∵∠𝐶= 90°，
∴𝐷𝐶⊥𝐴𝐶，
∵点𝐷到直线𝐴𝐵的距离为2，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴𝐷𝐶等于点𝐷到直线𝐴𝐵的距离，即𝐷𝐶= 2，
∵𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶，𝐵𝐷= 4，
∴𝐵𝐶= 4 + 2 = 6，𝐵𝐶的长为6．
20．
【答案】2
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∴𝐷𝐶⊥𝐵𝐶．
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐶⊥𝐵𝐶，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐶= ∠𝐷𝐸𝐴= 90°，
又∵∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸，
∴△𝐷𝐶𝐹≌△𝐷𝐸𝐴(ASA)，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐸= 2．
◆题型·5:角平分线+垂直构造全等模型（难点）
21．
【详解】（1）解：∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐴= ∠𝐴．
又∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐴= ∠𝐶𝐵𝐸，
∵∠𝐶= 90°，
又∵∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 30°；
(2)
证明：∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，且𝐸𝐷⊥𝐴𝐵, 𝐸𝐶⊥𝐵𝐶，
∴𝐸𝐶= 𝐸𝐷，
由（1）可知，∠𝐴= 30∘，
∴ 𝐴𝐸= 2𝐸𝐷．
∴𝐴𝐸= 2𝐸𝐶，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐶= 2𝐸𝐶+ 𝐸𝐶= 3𝐸𝐶．
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22．解决问题
(1)如图1，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐵𝐶= 12cm．把△𝐴𝐵𝐶向下平移至△𝐷𝐸𝐹后，𝐴𝐷= 5cm，
𝐺𝐶= 4cm ．请求出图中阴影部分的面积．
(2)如图2，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸是边𝐴𝐶的垂直平分线，𝐴𝐷= 5，𝐵𝐷= 2，求𝐵𝐶的长．
(3)如图3，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐷𝐸垂直𝐴𝐵的延长线于点𝐸, 𝐷𝐹垂直𝐴𝐶的延长线于点F．求证：
𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
【详解】（1）解：∵把△𝐴𝐵𝐶向下平移至△𝐷𝐸𝐹，
∴ 𝐵𝐶= 𝐸𝐹= 12cm，𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 5cm，
∵ 𝐺𝐶= 4cm，
∴ 𝐵𝐺= 12 −4 = 8cm，
∴阴影部分面积=梯形𝐵𝐺𝐸𝐹的面积，= (8 + 12) × 5 ÷ 2 = 50cm2．
（2）∵𝐷𝐸垂直平分
∴ 𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 5，
∴ 𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 2 + 5 = 7．
(3)证明：如图，连接𝐴𝐷．
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶,
𝐵𝐷= 𝐶𝐷,
𝐴𝐷= 𝐴𝐷,
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(SSS)，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．
又∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹
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23．
【详解】（1）解：∵𝐹𝐸是𝐵𝐶的垂直平分线，
∴𝐹𝐵= 𝐹𝐶，
△𝐶𝐷𝐹的周长= 𝐹𝐶+ 𝐹𝐷+ 𝐶𝐷
= 𝐹𝐵+ 𝐹𝐷+ 𝐶𝐷
= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷，
∵𝐵𝐷= 7，𝐶𝐷= 3，
∴△𝐶𝐷𝐹的周长= 10，
∴△𝐶𝐷𝐹的周长为10．
（2）解：过点𝐷分别作𝐷𝐺⊥𝐴𝐵于点𝐺，𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，如图，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐷𝐺= 𝐷𝐻．
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹= 4，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐹=
1
2 ⋅𝐵𝐶⋅𝐸𝐹= 10，
∴𝐵𝐶= 5．
∵𝐵𝐹: 𝐷𝐹= 5: 3，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐶=
8
5 𝑆△𝐵𝐶𝐹= 16，
∴
1
2 × 5 × 𝐷𝐻= 16，
解得𝐷𝐻=
32
5 ，
∴𝐷𝐺= 𝐷𝐻=
32
5 ，
即点𝐷到𝐴𝐵的距离为
32
5 ．
24．
【答案】(1)
证明：如图，连接𝐵𝐷、𝐶𝐷，
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∵𝐷𝐺⊥𝐵𝐶且𝐵𝐺= 𝐺𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，
在Rt △𝐵𝐸𝐷与Rt △𝐶𝐹𝐷中，
{𝐷𝐸= 𝐷𝐹
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
，
∴Rt △𝐵𝐸𝐷≌Rt △𝐶𝐹𝐷(HL)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹；
（2）解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐸𝐷与Rt △𝐴𝐹𝐷中，
{𝐴𝐷= 𝐴𝐷
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
，
∴Rt △𝐴𝐸𝐷≌Rt △𝐴𝐹𝐷(HL)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐹−𝐴𝐶= 𝐴𝐸−𝐴𝐶，
由（1）知：𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐶
即5 −𝐴𝐸= 𝐴𝐸−3，
∴𝐴𝐸= 4cm，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 5 −4 = 1，
25．
【答案】(1)
解：𝐵𝐷= 𝐶𝐸，理由如下：
∵点𝑃在𝐵𝐶的垂直平分线上，
∴𝐵𝑃= 𝐶𝑃，
∵𝐴𝑃是∠𝐷𝐴𝐶的平分线，𝑃𝐷⊥𝐴𝐵，𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝑃= 𝐸𝑃，
在Rt △𝐵𝐷𝑃和Rt △𝐶𝐸𝑃中，
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{𝐵𝑃= 𝐶𝑃
𝐷𝑃= 𝐸𝑃
，
∴Rt △𝐵𝐷𝑃≌Rt △𝐶𝐸𝑃(HL)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
（2）解：∠𝐷𝐴𝐶= 84°，𝐴𝑃平分∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐸=
1
2 × 84° = 42°，
∵∠𝐴𝑃𝐵= 24°，
∴∠𝐴𝐵𝑃= 42° −24° = 18°，
∵Rt △𝐵𝐷𝑃≌Rt △𝐶𝐸𝑃，
∴∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐸𝐶𝑃= 18°，
∵𝑃𝐵= 𝑃𝐶，
∴∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑃𝐶𝐵，
设∠𝐴𝐶𝐵= 𝑥，则：
∴∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑃𝐶𝐵= 𝑥+ 18°，
∵∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，
∴18° + (𝑥+ 18°) + 𝑥= 84°，
解得：𝑥= 24°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 24°．
26．
【答案】（1）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴点A 在线段𝐵𝐷的垂直平分线上，
又∵𝐶𝐵= 𝐶𝐷，
∴点C 在线段𝐵𝐷的垂直平分线上，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∴𝑆筝形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐷𝐶+ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝑂+
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝑂=
1
2 𝐴𝐶⋅(𝐷𝑂+ 𝐵𝑂) =
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，
（2）如图2，延长𝐴𝐵至𝐸，使𝐵𝐸= 𝐷𝑀，连接𝐶𝐸，
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝑀𝐷𝐶= 90°，
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又𝐵𝐸= 𝐷𝑀，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，
∴△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝑀(SAS)，
∴𝐶𝑀= 𝐶𝐸, ∠𝑀𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
∵∠𝑀𝐶𝐷+ ∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝑀𝐶𝑁，
∴∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝑀𝐶𝑁，
即∠𝑁𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，
又∵𝐶𝑁= 𝐶𝑁，
∴△𝑀𝐶𝑁≌△𝐸𝐶𝑁(SAS)
∴𝑀𝑁= 𝐸𝑁，
∴𝐶△𝐴𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐴𝑁+ 𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐴𝑁+ 𝑁𝐸= 𝐴𝑀+ 𝐴𝐸= 𝐴𝑀+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸
= 𝐴𝑀+ 𝐴𝐵+ 𝑀𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 𝑎，
∴𝐶△𝐴𝑀𝑁= 2𝑎
（3）①如图3，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵, 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹
又∵𝐵𝐷= 𝐶𝐷, 𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴R𝑡△𝐷𝐸𝐵≌R𝑡△𝐷𝐹𝐶(HL)，R𝑡△𝐴𝐷𝐸≌R𝑡△𝐴𝐷𝐹(HL)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹, 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴𝐵𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐶𝐹+ 𝐴𝐹，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶
②100°或40°
◆题型·6:利用尺规作图综合应用（常考）
27．
【答案】如图：点P 即为所求．
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28．
【答案】解：如图，点𝑃即为所求．
29．
【答案】(1)如图，点D 即为所求：
(2)如图，射线𝐴𝐸即为所求：
30．
【答案】如图，点D 即为所求：
31．
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【答案】(1)
（2）解：∵𝐷𝑃是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵= 30°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 30°，∠𝐶= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −(30° + 40°) = 110°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 110° −30° = 80°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐷𝐴𝐶= 40°．
综合攻坚·知能拔高
1．
【答案】D
【详解】解：∵𝐷𝐸为𝐴𝐵边的垂直平分线，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐷，
∵𝐵𝐷= 5cm, 𝐶𝐷= 2cm,𝐴𝐶= 4cm
∴△𝐴𝐶𝐷的周长为𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 11cm，
故选D．
2．
【答案】B
【详解】解：∵𝑂𝑀是𝐴𝐵的垂直平分线，𝑂𝑁是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶= 𝑂𝐴，
∵△𝐴𝐷𝐸的周长为14cm，
∴𝐷𝐴+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐴= 14cm，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐵+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶= 14cm，
∵△𝑂𝐵𝐶的周长为29cm，
∴𝑂𝐵+ 𝑂𝐶+ 𝐵𝐶= 29cm，
∴2𝑂𝐴+ 14 = 29cm，
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∴𝑂𝐴= 7.5cm．
故选：B ．
3．
【答案】A
【详解】解：∵𝐷𝑀，𝐸𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐸𝐴= 𝐸𝐶（线段垂直平分线的性质），
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐴，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 100°，
∴∠𝐵+ ∠𝐶= 180° −∠𝐵𝐴𝐶= 180° −100° = 80°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐵−∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶−(∠𝐵+ ∠𝐶) = 100° −80° = 20°，
故选：A．
4．
【答案】B
【详解】解：过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝐴𝐵，如图所示：
由作图可知：𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐶= 90°，
∴𝐹𝐻= 𝐶𝐹，
∵𝐵𝐶= 10cm，𝐵𝐹= 6cm，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐶−𝐵𝐹= 4(cm)，
∴𝐹𝐻= 4cm，即点𝐹到𝐴𝐵边的距离为4cm．
5．
【答案】B
【详解】解：∵在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵= 24°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵= 66°，
由作图方法可得𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 33°，∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 180° −∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐴𝐸𝐷= 57°．
6．
【答案】B
【详解】解：过点G 作𝐺𝐻⊥𝐴𝐵于点H，
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根据题意得，𝐴𝐹是∠𝐶𝐴𝐵的角平分线，
∵∠𝐶= 90°，
∴𝐴𝐶⊥𝐶𝐺，
∵𝐺𝐻⊥𝐴𝐵，
∴𝐶𝐺= 𝐺𝐻= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐺=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐺𝐻=
1
2 × 12 × 4 = 24．
7．
【答案】B
【详解】解：过𝐷点作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹点，如图，
∵𝐴𝑀是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝑆△𝐴𝐶𝑀= 𝑆△𝐴𝐵𝑀，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝑀= 2 × 5.5 = 11，
∵线段𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵, 𝐷𝐹 ⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 2，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴
1
2 × 6 × 2 +
1
2 × 𝐴𝐶× 2 = 11，
解得𝐴𝐶= 5．
故答案为：B．
8．
【答案】B
【详解】解：由作图方法可得𝑂𝑀平分∠𝐴𝑂𝐵，∠1 = ∠2，𝑂𝐶= 𝑂𝐷, 𝑀𝐶= 𝑀𝐷，
∴△𝑂𝐶𝑀≌△𝑂𝐷𝑀(SAS)，
∴A、C、D 正确，不符合题意；
无法得出∠1 = ∠3，符合题意；
故选：B．
9．
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【答案】B
【详解】解：作𝑂𝐸⊥𝐵𝐶, 𝑂𝐹⊥𝐴𝐵，垂足分别为𝐸, 𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶的角平分线交于点O，𝑂𝐷⊥𝐴𝐶于D，𝑂𝐷= 2，
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐸= 𝑂𝐹= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐶𝑂𝐵+ 𝑆△𝐴𝑂𝐶
= 1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝐹+ 1
2 𝐵𝐶⋅𝑂𝐸+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝑂𝐷
= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶；
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为17，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 17，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 17；
故选B．
10．
【答案】A
【详解】解：①∵三角形𝐴𝐵𝐶中，∠A的平分线交𝐵𝐶于点D，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，
又∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴Rt △𝐴𝐷𝐹≌Rt △𝐴𝐷𝐸(HL)，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐸，
∴∠AFE = ∠AEF，
故①正确；
②∵𝐷𝐹= 𝐷𝐸，𝐴𝐹= 𝐴𝐸，
∴点D 在𝐸𝐹的垂直平分线上，点A 在𝐸𝐹的垂直平分线上，
∴𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹，
故②正确；
③∵𝑆△𝐵𝐸𝐷=
1
2 𝐵𝐸⋅𝐷𝐸，𝑆△𝐶𝐹𝐷=
1
2 𝐶𝐹⋅𝐷𝐹，𝐷𝐹= 𝐷𝐸，
∴
𝑆△𝐵𝐸𝐷
𝑆△𝐶𝐹𝐷=
𝐵𝐸
𝐶𝐹；
故③正确；
④∵∠𝐴𝐹𝐸不一定等于∠𝐴𝐶𝐵，
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∴𝐸𝐹不一定平行𝐵𝐶．
故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故选：A．
11．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，且𝐷𝐸= 3，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 3．
（2）解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 6 × 3 = 9，
𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐹=
1
2 × 8 × 3 = 12，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 9 + 12 = 21，
又∵𝐴𝐺是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐺= 21，
即
1
2 × 8 ⋅𝐴𝐺= 21，
解得𝐴𝐺=
21
4 ．
12．
【答案】解：如图所示，作线段𝐴𝐵的垂直平分线，再作∠𝑀𝑂𝑁的角平分线交线段𝐴𝐵的垂直平分线于点
P，则点P 即为所求；
由线段垂直平分线的性质可得点P 到两个城镇A，B 的距离相等，由角平分线的性质可得点P 到两条高
速公路𝑂𝑀和𝑂𝑁的距离也相等．
13．
【详解】（1）解：证明：∵𝑃𝐶⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵，
∴∠𝑃𝐶𝑂= ∠𝑃𝐷𝑂，
∵𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，
∴∠𝐶𝑂𝑃= ∠𝐷𝑂𝑃 ，
在△𝐶𝑂𝑃和△𝐷𝑂𝑃中，
{
∠𝑃𝐶𝑂= ∠𝑃𝐷𝑂
∠𝐶𝑂𝑃= ∠𝐷𝑂𝑃
𝑃𝑂= 𝑃𝑂
，
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∴△𝐶𝑂𝑃≌△𝐷𝑂𝑃(ASA)，
∴𝑃𝐶= 𝑃𝐷；
（2）①如图所示即为所求：
②∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷、𝐶𝐸𝐹𝐺是长方形，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹= 90°，
又∵∠𝐴𝐶𝐹= 90°，
即∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐹𝐶𝐸= 90°，
又∵∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐹𝐶𝐸，
在△𝐴𝐶𝐵和△𝐶𝐹𝐸中，
{
∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐹𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐶𝐹𝐸(AAS)，
∴𝐸𝐶= 𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐵𝐶= 𝐹𝐸= 𝐴𝐷= 𝐺𝐶，
设𝐷𝐶= 𝐸𝐶= 𝑥，则𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 7 + 𝑥，
即𝐴𝐷= 𝐶𝐺= 7 + 𝑥，
∵𝐷𝐺= 23，
∴𝐷𝐶+ 𝐶𝐺= 𝑥+ 7 + 𝑥= 23，
解得：𝑥= 8，
∴𝐷𝐶= 8，𝐴𝐷= 𝐶𝐺= 7 + 𝑥= 15，
过𝑃点作𝑃𝑀⊥𝐴𝐷，𝑃𝑁⊥𝐷𝐶如图所示：
又∵𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐶，由（1）结论得：𝑃𝑀= 𝑃𝑁，
∴
𝑆△𝐴𝐷𝑃
𝑆△𝐶𝐷𝑃=
1
2𝐴𝐷×𝑃𝑀
1
2𝐷𝐶×𝑃𝑁=
𝐴𝐷
𝐷𝐶=
15
8 ，
∴△𝐴𝐷𝑃与△𝐶𝐷𝑃的面积之比为15:8．
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14．
【答案】(1)
证明：∵𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸, 𝑃𝐹⊥𝑂𝐵于点𝐹
∴∠𝑃𝐸𝑂= ∠𝑃𝐹𝑂= 90°
∵𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，
∴∠𝑃𝑂𝐸= ∠𝑃𝑂𝐹
又∵𝑃𝑂= 𝑃𝑂
∴△𝑃𝑂𝐸≌△𝑃𝑂𝐹(AAS)，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹；
(2)
证明：∵𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸，𝑃𝐹⊥𝑂𝐵于点𝐹，𝑃为∠𝐴𝑂𝐵平分线上的一点，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹，∠𝑃𝐸𝑀= ∠𝑃𝐹𝑁= 90°
∵∠𝑂𝑀𝑃+ ∠𝑂𝑁𝑃= 180°，∠𝑃𝑁𝐹+ ∠𝑂𝑁𝑃= 180°
∴∠𝑂𝑀𝑃= ∠𝑃𝑁𝐹
∴△𝑃𝑀𝐸≌△𝑃𝑁𝐹(AAS)
∴𝑃𝑀= 𝑃𝑁．
