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专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题（难）
题型2 二次函数中的矩形存在性问题（难）
题型3 二次函数中的菱形存在性问题（难）
题型4 二次函数中的正方形存在性问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与直线AC 交于点
(
)
(
)
4,0 ,
0, 4
A
C
−
．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该抛物线的对称轴上有一点P ，是否在该抛物线上存在一点Q ，使得以点, , ,
A C P Q 为顶点的四边形是以
AC 为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点Q 的坐标．如果不存在，请说明理由．
2．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，抛物线
2
5
3
y
ax
bx
=
+
−
交x 轴于(
)
5,0
A −
，
(
)
1,0
B
两点，点D 是抛物线的
顶点．
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(1)求抛物线解析式及顶点D 坐标；
(2)抛物线上有一点N （不与C 重合），使
ABN
ABC
S
S
=
△
△
，求点N 坐标；
(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L，若使A，B ，K ，L 为顶点的四边形为平行四边形，直接
写出K ，L坐标．
3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中
(
)
4,0
B
，
(
)
0,4
C
，对称轴是直线
1
x = ．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，
设运动时间为t（0
4
t
）秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
(3)动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．当t 为
何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
◆题型2 二次函数中的矩形存在性问题
4．（25-26 九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点
(
)
4,0
A
的直线AB 与y 轴交于点
(
)
0,4
B
．经过原点O的抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 交直线AB 于点A，C ，抛物线的顶点为D ．
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(1)求抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的表达式；
(2) M 是线段AB 上一点，N 是抛物线上一点，当MN
y
∥轴且
2
MN =
时，求点M 的坐标；
(3) P 是抛物线上一动点，Q 是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C ，P ，Q 为顶点且以AC 为边
的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（25-26 九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究
如图，抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的顶点为
(
)
1,4
D
，与x 轴交于A和B 两点，交y 轴于点C ．
(1)求抛物线的函数表达式及点A，B ，C 的坐标；
(2)如图1，点P 是直线BC 上方的抛物线上的动点，当BCP
面积最大时，求点P 的横坐标；
(3)如图2，若点M 是坐标轴上一点，点N 为平面内一点，是否存在这样的点，使以B 、D 、M 、N 为顶
点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（25-26 九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)
2
2
0
y
ax
x
c a
=
−
+
与x 轴交
于点A和点B ，与y 轴交于点
(
)
0, 3
C
−
，对称轴为直线
1
x = ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC ，点P 为直线BC 下方抛物线上的动点，求
PBC
△
面积的最大值及此时点P 的坐标；
(3)如图3，将抛物线
(
)
2
2
0
y
ax
x
c a
=
−
+
先向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到新的抛
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物线y，在抛物线y的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E ，使得以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形
是矩形，求点E 的坐标．
◆题型3 二次函数中的菱形存在性问题
7．（25-26 八年级下·上海·阶段检测）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A
和点(
)
3,0
B −
，与y
轴交于点C．
(1)求b，c 的值；
(2)如图，将该抛物线向左平移2 个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N 是平
面坐标系内一点，直线BC 上是否存在点M，使B，D，M，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写
出M 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2025·江苏镇江·一模）如图，抛物线
2
4
3
y
x
bx
c
= −
+
+ 经过点(
)
(
)
3,0 ,
0,2
A
B
．
(
)
,0
M m
为x 轴上一动点，
过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点
,
P N ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点M 在线段OA上且位于抛物线对称轴左侧，当m 为何值时，ABN
的面积为4？
(3)在（2）的条件下，若点C 为直线AB 上一点，点D 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点C 和点D ，
使得以点
,
,
,
A C D M 为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象交x 轴于点(
)
3,0
A −
，
(
)
1,0
B
，交y 轴于点
C，点
(
)
,0
P m
是x 轴上的一动点，PM
x
⊥轴，交直线AC 于点M，交抛物线于点N．
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点P 仅在线段AO 上运动，如图，求四边形ANCB 面积的最大值；
(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，
请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
◆题型4 二次函数中的正方形存在性问题
10．（26-27 九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 经过点
(3,0)
A
，与y 轴交于点B ，且关于直线
1
x = 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当1
x
t
−
时，y 的取值范围是0
2
1
y
t
−，求t 的值；
(3)若点P 、Q 在直线AB 上，问：在该二次函数图象上是否存在点M ，N ，使得四边形PQMN 是正方形？
若存在，请直接写出PQ 的长；若不存在，请说明理由．
11．（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象交x 轴于点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,0
B
，交y
轴于点C ，P 是抛物线上一点．
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点P 在直线BC 上方时，求PBC
面积的最大值；
(3)直线PE
x
轴，交直线BC 于点E ，点D 在x 轴上，点F 在坐标平面内，是否存在点P ，使得以D ，E ，
F ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26 九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线
2
1
2
6
2
y
x
x
=
+
−
与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B
的左侧），与y 轴交于点C，连接
,
AC BC ．
(1)求A、B，C 三点的坐标．
(2)点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l，交线段AC 于点D．在直线l 上是否
存在点E，使得以点D，C，B，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明
理由．
2．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点(
)
5,0
A −
，B （点A在
点B 的左侧），与y 轴交于点
(
)
0,5
C
．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点Q ，使BCQ
的周长最小，求点Q 的坐标；
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(3)若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，请直接写出点M 的坐标，请说明理由．
3．（25-26 九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线
4
y
x
=
+ 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C ，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过A，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线
1
x = −．
(1)求抛物线的表达式；
(2) D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D 点的
坐标；
(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角
线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（25-26 九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，( 1,0), (3,0),
(3,3)
A
B
C
−
，抛物
线
2
3
4
y
x
bx
c
−
=
+
+ 经过点A 和点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E 在x 轴上方的抛物线上，当
1
4
BCE
ABCD
S
S
=
矩形
时，求点E 的坐标；
(3)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在坐标平面内，以, , ,
A C P Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P 的
坐标．
5．（25-26 九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线
2
y
x
c
=
+ 与直线y
kx
=
交于A，B 两点，与y 轴交于点C，
已知B 点的坐标是(
)
2,2 ．
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(1)求直线AB 及抛物线的解析式．
(2)求ABC
的面积．
(3)点P 在抛物线上，点Q 在直线AB 上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M 为顶点的四边
形是正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由
6．（25-26 九年级上·河南开封·阶段检测）如图，已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与一直线相交于(
)
(
)
1,0 ,
2,3
A
C
−
两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．
(1)抛物线及直线AC 的函数关系式；
(2)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求
APC
△
的面积的最大值．
(3)将抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 向右平移一个单位，M 是新抛物线对称轴上一点，新抛物线上是否存在一点Q ，
使以A
N
M
Q
、、
、
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理
由．
7．（25-26 九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，一次函数与二次函数
2
y
x
mx
n
=
+
+
的图象交于点
( 1,0), (4,5)
A
B
−
．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为_______；
(3)点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE
x
⊥
轴，交线段AB 于点E，求线段DE 长度
的最大值并求出此时点D 的坐标．
(4)在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以C，
M，F，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．
8．（25-26 九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图
象与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点C ，且抛物线的顶点D 的坐标为(
)
1,4 ，连接BC ，抛物
线的对称轴与BC 交于点H ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上B 、D 两点之间的部分（不包含B 、D 两点），是否存在点G ，使得四边形ABGC 的面积最大，
若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将抛物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点E ，M 为直线
1
x = 上一个动点，在平面
内是否存在一个点N ，使得以B 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，请直接
写出N 点坐标，若不存在，请说明理由．
