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专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题（难）
题型2 二次函数中的矩形存在性问题（难）
题型3 二次函数中的菱形存在性问题（难）
题型4 二次函数中的正方形存在性问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与直线AC 交于点
(
)
(
)
4,0 ,
0, 4
A
C
−
．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该抛物线的对称轴上有一点P ，是否在该抛物线上存在一点Q ，使得以点, , ,
A C P Q 为顶点的四边形是以
AC 为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点Q 的坐标．如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
(2)存在，
7
3, 2
−
或
7
5, 2
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设
2
1
,
4
2
Q m
m
m
−
−
，然后根据平行四边形得到
,
AC
PQ AC
PQ
=
∥
，则
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A
C
P
Q
x
x
x
x
−
=
−
，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与直线AC 交于点
(
)
(
)
4,0 ,
0, 4
A
C
−
∴
1 16
4
0
2
4
b
c
c
+
+
=
= −
解得
1
4
b
c
= −
= −
∴抛物线的函数表达式为
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
；
（2）解：存在，
对于抛物线
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
，可得对称轴为直线
1
1
1
2
2
x
−
= −
=
，
设
2
1
,
4
2
Q m
m
m
−
−
∵点, , ,
A C P Q 为顶点的四边形是以AC 为边的平行四边形
∴
,
AC
PQ AC
PQ
=
∥
，
∴
A
C
P
Q
x
x
x
x
−
=
−
∴1
4
m
−
=
解得
3
m
−
=
或
5
m =
∴
7
3, 2
Q
−
或
7
5, 2
Q
．
2．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，抛物线
2
5
3
y
ax
bx
=
+
−
交x 轴于(
)
5,0
A −
，
(
)
1,0
B
两点，点D 是抛物线的
顶点．
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(1)求抛物线解析式及顶点D 坐标；
(2)抛物线上有一点N （不与C 重合），使
ABN
ABC
S
S
=
△
△
，求点N 坐标；
(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L，若使A，B ，K ，L 为顶点的四边形为平行四边形，直接
写出K ，L坐标．
【答案】(1)
2
1
4
5
3
3
3
y
x
x
=
+
−
，
(
)
2, 3
D
−
−
(2)
5
2
14, 3
N
−−
或
5
2
14, 3
N
−+
或
5
4,
3
N
−
−
(3)①
(
)
2, 3
L
−
−
，
(
)
2,3
K −
；②
(
)
8,9
L −
，
(
)
2,9
K −
；③
(
)
4,9
L
，
(
)
2,9
K −
．
【分析】( )
1 把
(
)
5,0
A −
，(
)
1,0
B
代入
2
5
3
y
ax
bx
=
+
−
，求出抛物线解析式为
2
1
4
5
3
3
3
y
x
x
=
+
−
，然后通过配方即
可求出顶点坐标；
( )
2 分①若点N 在AB 上方，
ABN
ABC
S
S
=
△
△
，②若点N 在AB 下方，当
ABN
ABC
S
S
=
△
△
时，点N 的纵坐标与点
C 的纵坐标相同两种情况求解即可；
( )
3 分①当AB
KL
、
为对角线时，②当AK
BL
、
为对角线时，③当AL
BK
、
为对角线时三种情况，然后通
过平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：把
(
)
5,0
A −
，
(
)
1,0
B
代入
2
5
3
y
ax
bx
=
+
−
，
得
5
25
5
0
3
5
0
3
a
b
a
b
−
−
=
+
−
=
，
解得
1
3
4
3
a
b
=
=
，
∴抛物线解析式为
2
1
4
5
3
3
3
y
x
x
=
+
−
，
∵
(
)
2
2
1
4
5
1
2
3
3
3
3
3
y
x
x
x
−
=
+
=
+
−，
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∴
(
)
2, 3
D
−
−
；
（2）解：①若点N 在AB 上方，
ABN
ABC
S
S
=
△
△
，
即1
1
2
2
N
AB OC
AB y
=
，得
5
3
N
y =
，
把
5
3
N
y =
代入抛物线
2
1
4
5
3
3
3
y
x
x−
=
+
，
解得
2
14
x
−
=
，
∴
5
2
14, 3
N
−−
或
5
2
14, 3
N
−+
；
②若点N 在AB 下方，当
ABN
ABC
S
S
=
△
△
时，点N 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，此时点
5
4,
3
N
−
−
；
综上所述，点N 坐标为
5
2
14, 3
N
−−
或
5
2
14, 3
N
−+
或
5
4,
3
N
−
−
；
（3）解：设
(
)
2,
K
m
−
，
2
1
4
5
, 3
3
3
L n
n
n−
+
，
①如图，当AB
KL
、
为对角线时，
∴
2
2
5 1
1
4
5
0
3
3
3
n
m
n
n−
−+
= −+
+
+
=
，解得
3
2
m
n
=
= −
，
∴(
)
2, 3
L
−
−
，
(
)
2,3
K −
；
②如图，当AK
BL
、
为对角线时，
∴
(
)
2
1
5
2
1
4
5
0
0
3
3
3
n
m
n
n−
+ = −+ −
+
=
+
+
，解得
9
8
m
n
=
= −
，
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∴(
)
8,9
L −
，
(
)
2,9
K −
；
③如图，当AL
BK
、
为对角线时，
∴
2
2 1
5
1
4
5
0
0
3
3
3
n
m
n
n−
−+ = −+
+
=
+
+
，解得
9
4
m
n
=
=
，
∴(
)
4,9
L
，
(
)
2,9
K −
；
综上可得共三种情况①
(
)
2, 3
L
−
−
，
(
)
2,3
K −
；②
(
)
8,9
L −
，
(
)
2,9
K −
；③
(
)
4,9
L
，
(
)
2,9
K −
．
3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中
(
)
4,0
B
，
(
)
0,4
C
，对称轴是直线
1
x = ．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，
设运动时间为t（0
4
t
）秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
(3)动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．当t 为
何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
(2)3 秒
(3)当
5
2
t =
时，四边形PCQB 的面积最大，最大面积为57
4
【分析】（1）根据抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 过点
(
)
4,0
B
，
(
)
0,4
C
，对称轴是
1
x = 求解即可；
（2）用待定系数法求出直线BC 的解析式为
4
y
x
−
=
+
，求出
3
2
DE =
，根据四边形DENP 为平行四边形得
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3
2
NP
DE
=
=
．设
2
1
,
4
2
P t
t
t
−
+ +
，
(
)
,
4
N t
t
−+
，得出
2
1
3
2
2
2
PN
t
t
= −
+
=
求解即可；
（3）根据
CQB
CPB
PCQB
S
S
S
=
+
四边形
列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 过点
(
)
4,0
B
，
(
)
0,4
C
，对称轴是直线
1
x = ，
∴
16
4
0
4
1
2
a
b
c
c
b
a
+
+
=
=
−
=
，
解得
1
2
1
4
a
b
c
= −
=
=
，
∴
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
；
（2）解：设直线BC 的解析式为
4
y
kx
=
+
，把
(
)
4,0
B
代入得，
0
4
4
k
=
+
，
解得
1
k = −．
∴
4
y
x
−
=
+
．
∵
(
)
2
2
1
1
9
4
1
2
2
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
∴
9
1, 4
D
，
当
1
x = 时，
1
4
3
y = −+
= ，
∴
(
)
1,3
E
．
∴
9
3
3
2
2
DE =
−=
，
∵四边形DENP 为平行四边形，
∴
3
2
NP
DE
=
=
．
∵过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P，
∴设
2
1
,
4
2
P t
t
t
−
+ +
，
(
)
,
4
N t
t
−+
，
∴
(
)
2
2
1
1
3
4
4
2
2
2
2
PN
t
t
t
t
t
−
−
−
=
+ + −
+
=
+
=
，
解得1
2
1,
3
t
t
=
=
，
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∵
9
1, 4
D
，
∴
1
t = 不符合题意，舍去，
∴
3
t =
；
（3）解：由题意，得
0.5
OQ
t
=
，则
4
0.5
BQ
t
=
+
，
由（2）得，
2
1
2
2
PN
t
t
= −
+
．
∴
CQB
CPB
PCQB
S
S
S
=
+
四边形
1
1
2
2
BQ OC
PN OB
=
+
(
)
2
1
1
1
4
0.5
4
2
4
2
2
2
t
t
t
=
+
+
−
+
2
5
57
2
4
t
−
−
=
+
，
∵1
0
−
，
∴抛物线开口向下，
∴当
5
2
t =
时，四边形PCQB 的面积最大，最大面积为57
4 ．
◆题型2 二次函数中的矩形存在性问题
4．（25-26 九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点
(
)
4,0
A
的直线AB 与y 轴交于点
(
)
0,4
B
．经过原点O的抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 交直线AB 于点A，C ，抛物线的顶点为D ．
(1)求抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的表达式；
(2) M 是线段AB 上一点，N 是抛物线上一点，当MN
y
∥轴且
2
MN =
时，求点M 的坐标；
(3) P 是抛物线上一动点，Q 是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C ，P ，Q 为顶点且以AC 为边
的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
y
x
x
= −
+
；
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(2)(
)
2,2 或(
)
3,1 或5
17 3
17
,
2
2
−
+
；
(3)(
)
4, 2
−
−
或(
)
5,1 ．
【分析】（1）已知抛物线过原点和点
(
)
4,0
A
，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于系数b 、c 的方程，
求解即可得到解析式．
（2）先求出直线AB 的解析式，设点M 横坐标为m ，由MN
y
轴可知点N 横坐标也为m ，分别表示两点
纵坐标，根据
2
MN =
列方程，结合M 在线段AB 上的条件确定m 的值，从而得到点M 坐标．
（3）先求点C 坐标，再根据矩形的性质（对角线相等且互相平分、邻边垂直），分2 种情况（PC 为对角线、
PA为对角线），利用中点坐标公式和勾股定理列方程求解，得到点Q 的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 过原点
(
)
0,0
O
，
∴
0
c =
，
∵抛物线过点
(
)
4,0
A
，
∴
2
0
4
4
0
b
= −
+
+
，
解得
4
b =
，
∴抛物线表达式为
2
4
y
x
x
= −
+
；
（2）解：设直线AB 的解析式为
4
y
kx
=
+
，
∵直线过
(
)
4,0
A
，
∴0
4
4
k
=
+
，
解得
1
k = −
∴直线AB 的解析式为
4
y
x
= −+
，
设
(
)
,
4
M m
m
−
+
，
∵MN
y
轴，
∴
(
)
2
,
4
N m
m
m
−
+
，
∵
2
MN =
，
∴
(
)
2
4
4
2
m
m
m
−
+
−−
+
=
，
即
2
5
4
2
m
m
−
+
−
=
，
当
2
5
4
2
m
m
−
+
−
=
时，
2
2
5
6
0
5
6
0
m
m
m
m
−
+
−
=
−
+
=
，
解得
2
m =
或
3
m =
，
∴
(
)
2,2
M
或
(
)
3,1
M
，
当
2
5
4
2
m
m
−
+
−
= −时，
2
2
5
2
0
5
2
0
m
m
m
m
−
+
−
=
−
+
=
，
解得
5
17
2
m
+
=
（舍去）或
5
17
2
m
−
=
，
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∴
5
17 3
17
,
2
2
M
−
+
，
综上，点M 的坐标为(
)
2,2 或(
)
3,1 或5
17 3
17
,
2
2
−
+
；
（3）解：联立
2
4
4
y
x
y
x
x
= −+
= −
+
，
解得
1
3
x
y
=
=
或
4
0
x
y
=
=
，
∴
(
)
1,3
C
，
情况1：当PC 为对角线时，
设
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，
∵矩形对角线互相平分，
∴
1
2
1
4
2
2
x
x
+
+
=
，
1
2
3
0
2
2
y
y
+
+
=
，
∵AC
AP
⊥
，
由勾股定理：
2
2
2
AC
AP
CP
+
=
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
(4 1)
(0
3)
(
4)
(
1)
(
3)
x
y
x
y
−
+
−
+
−
+
=
−
+
−
，
代入
2
1
1
1
4
y
x
x
= −
+
，
解得
1
1
x = −，
1
5
y = −，或
1
4
x =
，
1
0
y =
，（舍去），
∴
2
4
x = −，
2
2
y = −
∴
(
)
4, 2
Q −
−
，
情况2：当PA为对角线时，
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设
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，
∵矩形对角线互相平分，
∴
1
2
4
1
2
2
x
x
+
+
=
，
1
2
0
3
2
2
y
y
+
+
=
，
∵AC
CP
⊥
，
由勾股定理：
2
2
2
AC
CP
AP
+
=
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
(4 1)
(0
3)
(
1)
(
3)
(
4)
x
y
x
y
−
+
−
+
−
+
−
=
−
+
，
代入
2
1
1
1
4
y
x
x
= −
+
，
解得
1
2
x =
，
1
4
y =
，或
1
1
x = ，
1
3
y =
(舍去)，
∴
2
5
x =
，
2
1
y = ，
∴
(
)
5,1
Q
，
综上，Q 的坐标为(
)
4, 2
−
−
或(
)
5,1 ．
5．（25-26 九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究
如图，抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的顶点为
(
)
1,4
D
，与x 轴交于A和B 两点，交y 轴于点C ．
(1)求抛物线的函数表达式及点A，B ，C 的坐标；
(2)如图1，点P 是直线BC 上方的抛物线上的动点，当BCP
面积最大时，求点P 的横坐标；
(3)如图2，若点M 是坐标轴上一点，点N 为平面内一点，是否存在这样的点，使以B 、D 、M 、N 为顶
点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
= −
+
+ ；
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
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(2) 3
2
(3)存在，点N 的坐标为(
)
3,4 或(
)
4,3 或(
)
4,1
【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令
0
x =
、
0
y =
求解，即可得到点A，B ，
C 的坐标；
（2）先求出直线BC 的解析式，设点P 的横坐标为t ，通过作铅垂线得到点P 与直线BC 上对应点Q 的纵坐
标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时
点P 的横坐标；
（3）先计算BD的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分M 在x 轴、y 轴两类设点
坐标，由中点公式表示出N 点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件
的N 点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线表达式为
(
)
2
y
a x
h
k
=
−
+
，
∵抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的顶点为
(
)
1,4
D
，
∴
1
a = −，
1
h = ，
4
k =
，
∴抛物线的函数表达式为
(
)
2
2
1
4
2
3
y
x
x
x
= −
−
+
= −
+
+ ，
令
0
x =
，则
2
0
2 0
3
3
y = −
+ +
= ，
∴
(
)
0,3
C
，
令
0
y =
，则
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
，
解得
1
x = −或
3
x = ，
∴
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
；
（2）解：设直线BC 表达式为y
kx
b
=
+
，代入(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
得
3
0
3
k
b
b
+
=
=
，
解得
1
3
k
b
= −
=
，
∴直线BC 表达式为
3
y
x
= −+
，
设点P 横坐标为t ，则(
)
2
,
2
3
P t
t
t
−
+
+
，
如图，过点P 作x 轴的垂线，交BC 于点Q ，则
(
)
,
3
Q t
t
−+
，
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∴
(
) (
)
2
2
2
3
3
3
PQ
t
t
t
t
t
= −
+
+
−−+
= −
+
，
∴
(
)
2
2
1
3
3
9
3
2
2
2
2
BCP
B
C
S
PQ x
x
t
t
t
t
=
−
=
−
+
= −
+
，
这是开口向下的二次函数，当
9
3
2
3
2
2
2
t = −
=
−
时，面积取得最大值，
即当BCP
面积最大时，点P 的横坐标为3
2 ；
（3）解：∵(
)
3,0
B
，
(
)
1,4
D
，
∴
(
)
(
)
2
2
3 1
0
4
2 5
BD =
−
+
−
=
，BD中点为3 1 0
4
,
2
2
+
+
即(
)
2,2 ，
∵以B 、D、M 、N 为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形，
∴
2 5
MN
BD
=
=
，MN 中点为(
)
2,2 ，
点M 是坐标轴上一点，故分两种情况讨论：
①当点M 在x 轴上时，如图，
设
(
)
,0
M m
，则
(
)
4
,4
N
m
−
，
(
)
(
)
2
2
4
0
4
2 5
MN
m
m
=
−
−
+
−
=
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
0
4
2 5
m
m
−
−
+
−
=
，
解得
1
m = 或
3
m =
（此时点M 与点B 重合，舍去），
∴4
3
m
−
= ，
∴
(
)
3,4
N
；
②当点M 在y 轴上时，如图，
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设
(
)
0,
M
m ，则
(
)
4,4
N
m
−
，
(
)
(
)
2
2
0
4
4
2 5
MN
m
m
=
−
+
−
−
=
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
0
4
4
2 5
m
m
−
+
−
−
=
，
解得
1
m = 或
3
m =
，
当
1
m = 时，4
3
m
−
= ，
当
3
m =
时，4
1
m
−
= ，
∴
(
)
4,3
N
或(
)
4,1 ；
综上，点N 的坐标为(
)
3,4 或(
)
4,3 或(
)
4,1 ．
6．（25-26 九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)
2
2
0
y
ax
x
c a
=
−
+
与x 轴交
于点A和点B ，与y 轴交于点
(
)
0, 3
C
−
，对称轴为直线
1
x = ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC ，点P 为直线BC 下方抛物线上的动点，求
PBC
△
面积的最大值及此时点P 的坐标；
(3)如图3，将抛物线
(
)
2
2
0
y
ax
x
c a
=
−
+
先向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到新的抛
物线y，在抛物线y的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E ，使得以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形
是矩形，求点E 的坐标．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)
PBC
△
面积的最大值为27
8 ，
3
15
,
2
4
P
−
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(3)存在，点E 的坐标为(
)
5, 2
−
或(
)
1, 2
−−
或
3
17
1,
2
−−
或
3
17
1,
2
−+
【分析】（1）利用对称轴公式可得
2
1
2a
−
−
= ，再结合点C 的坐标利用待定系数法求解即可；
（2）先解得直线BC 的解析式为
3
y
x
=
−
，设(
)
2
,
2
3
P a a
a
−
−
，
(
)
,
3
M a a −
，得到的PM 的值，当
3
2
a =
时，
PM 最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）分情况讨论，当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方；当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方；
当BC 为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
(
)
2
2
0
y
ax
x
c a
=
−
+
与y 轴交于点
(
)
0, 3
C
−
，对称轴为直线
1
x = ，
∴
2
1
2
3
a
c
−
−
=
= −
，
∴
1
3
a
c
=
= −
，
∴抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
=
−
−；
（2）解：设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，把B ，C 点的坐标代入得：
3
0
3
k
b
b
+
=
= −
，解得：
1
3
k
b
=
= −
，
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
=
−
点P 为直线BC 下方抛物线上的点，
设(
)
2
,
2
3
P a a
a
−
−
，
(
)
,
3
M a a
−
，
2
2
2
3
9
3
2
3
3
2
4
PM
a
a
a
a
a
a
=
−−
+
+
= −
+
= −
−
+
，
当
3
2
a =
时，
max
9
4
PM
=
，
∴
1
3
9
27
3
2
2
4
8
PBC
S
PM
=
=
=
，即
PBC
△
面积的最大值为27
8 ，
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3
15
,
2
4
P
−
；
（3）解：由题意可得：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
3 1
4
1
2
5
y
x
x
x
x
x
=
−
−
−
−−=
−
−=
−
−
，
抛物线y的对称轴为直线
2
x =
．
∵
(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
，
∴
3
OC
OB
=
= ，
45
BCO
CBO
=
=
，
如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方，过D 作DF
y
⊥
轴于点F ，
∵D 在y的对称轴上，
2
FD
=
，
∵
90
BCD
=
，
45
BCO
=
，
∴
45
DCF
=
，
2
CF
FD
=
=
，
3
2
5
OF = +
= ，即点
(
)
2, 5
D
−
，
∴点C 向右平移2 个单位、向下平移2 个单位可得到点D ，则点B 向右平移2 个单位、向下平移2 个单位可得
到点
(
)
5, 2
E
−
；
如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方，y的对称轴为
2
x =
与x 轴交于点F ，
∵D 在y的对称轴上，
∴
2
FO =
，
3
2
1
BF
= −
= ，
45
CBO
=
，即
45
DBO
=
，
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1
BF
FD
=
= ，即点
(
)
2,1
D
，
∴点B 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D ，则点C 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到
点
(
)
1, 2
E
−
−
；
如图：当BC 为矩形对角线时，设
(
)
2,
D
d ，
(
)
,
E m n ，BC 的中点F 的坐标为3
3
,
2
2
−
，
依题意得：
2
3
2
2
3
2
2
m
d
n
+
=
+
= −
，解得
1
3
m
d
n
=
+
= −
，
又
DE
BC
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2 1
3
3
d
n
−
+
−
=
+
，
解得：
17
d
n
−
=
，
联立
17
3
d
n
d
n
−
=
+
= −
，
解得：
3
17
2
n
−
=
，
∴点E 的坐标为
3
17
1,
2
−−
或
3
17
1,
2
−+
．
综上，存在点E ，其坐标为(
)
5, 2
−
或(
)
1, 2
−
−
或
3
17
1,
2
−−
或
3
17
1,
2
−+
，使得以点B ，C ，D ，E 为顶
点的四边形是矩形．
◆题型3 二次函数中的菱形存在性问题
7．（25-26 八年级下·上海·阶段检测）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A
和点(
)
3,0
B −
，与y
轴交于点C．
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(1)求b，c 的值；
(2)如图，将该抛物线向左平移2 个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N 是平
面坐标系内一点，直线BC 上是否存在点M，使B，D，M，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写
出M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)b 的值为2,c
−
的值为3
(2)
( 3
5, 5)
M −+
或
(
)
3
5,
5
M −−
−
或
(1,4)
M
或
7 5
,
4 4
M
−
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）求出平移后的解析式，求出D 点坐标，根据菱形的性质，分2 种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点
(1,0)
A
和点
( 3,0)
B −
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，
得：
1
0
9
3
0
b
c
b
c
−+
+
=
−−
+
=
，
解得：
2
3
b
c
= −
=
；
∴b 的值为2,c
−
的值为3；
（2）解：存在，
( 3
5, 5)
M −+
或
(
)
3
5,
5
M −−
−
或
(1,4)
M
或
7 5
,
4 4
M
−
，理由如下：
由（1）知：
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ，
当
0
x =
时，
3
y =
，
∴
(0,3)
C
，
设直线BC 的解析式为
3
y
kx
=
+ ，
把
( 3,0)
B −
代入，得0
3
3
k
= −
+ ，解得：
1
k = ，
3
y
x
=
+ ，
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
= −
−
+
= −
+
+
，
∴抛物线向左平移2 个单位长度得到新的抛物线为
2
2
(
1 2)
4
(
3)
4
y
x
x
= −
+ +
+
= −
+
+
，
联立：
2
2
(
3)
4
2
3
y
x
y
x
x
−
−
=
+
+
=
−
+
，
解得：
2
3
x
y
−
=
=
，
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( 2,3)
D
−
，
设
( ,
3)
M m m +
，
( 3,0)
B −
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
3)
(
3)
2(
3) ,
(
2)
,
(3
2)
3
10
BM
m
m
m
DM
m
m BD
=
+
+
+
=
+
=
+
+
=
−
+
=
，
情况1：BD为菱形的边：
①当BM
BD
=
时，
2
2(
3)
10
m+
=
，
解得：
3
5
m = −+
或
3
5
m = −−
，
∴
( 3
5, 5)
M −+
或
(
)
3
5,
5
M −−
−
；
②当DM
BD
=
时，
2
2
(
2)
10
m
m
+
+
=
，
解得：
3
m
−
=
（舍去）或
1
m = ，
∴
(1,4)
M
；
情况2：BD为菱形的对角线：
③当BM
DM
=
时，
2
2
2
(
2)
2(
3)
m
m
m
+
+
=
+
，解得：
7
4
m = −
，
∴
7 5
,
4 4
M
−
，
综上：
( 3
5, 5)
M −+
或
(
)
3
5,
5
M −−
−
或
(1,4)
M
或
7 5
,
4 4
M
−
．
8．（2025·江苏镇江·一模）如图，抛物线
2
4
3
y
x
bx
c
= −
+
+ 经过点(
)
(
)
3,0 ,
0,2
A
B
．
(
)
,0
M m
为x 轴上一动点，
过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点
,
P N ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点M 在线段OA上且位于抛物线对称轴左侧，当m 为何值时，ABN
的面积为4？
(3)在（2）的条件下，若点C 为直线AB 上一点，点D 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点C 和点D ，
使得以点
,
,
,
A C D M 为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
10
2
3
3
y
x
x
= −
+
+
(2)
1
m =
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(3)存在，点D 的坐标为
2
2,
3
−
或
6
4
1
13,
13
13
13
−
或
6
4
1
13,
13
13
13
+
−
或29 24
,
13 13
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）表示
2
2
4
10
2
4
2
2
4
3
3
3
3
PN
m
m
m
m
m
= −
+
+
−−
+
= −
+
，再表示三角形的面积求解即可；
（3）设
2
,
2
3
C n
n
−
+
，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线
2
4
3
y
x
bx
c
= −
+
+ 经过点
,
A B ，
∴
12
3
0
2
b
c
c
−
+
+
=
=
，
解得
10
3
2
b
c
=
=
，
∴抛物线解析式为
2
4
10
2
3
3
y
x
x
= −
+
+
；
（2）解：抛物线对称轴
10
5
3
4
4
2
3
x = −
=
−
，
设
2
2
4
10
,
2 ,
,
2
3
3
3
P m
m
N m
m
m
−
+
−
+
+
，
∴当
5
0
4
m
时，
2
2
4
10
2
4
2
2
4
3
3
3
3
PN
m
m
m
m
m
= −
+
+
−−
+
= −
+
，
∴
2
2
1
4
3
4
2
6
2
3
ABN
S
m
m
m
m
=
−
+
= −
+
，
当
4
ABN
S
=
△
时，得
2
2
6
4
m
m
−
+
=
，整理，得
2
3
2
0
m
m
−
+
=
，
解得
1
2
1,
2
m
m
=
=
（舍去）．
∴点M 的坐标为(
)
1,0 ；
（3）解：根据题意，得点M 的坐标为(
)
1,0 ，
(
)
3,0
A
，
3 1
2
AM
= −=
，
设
2
,
2
3
C n
n
−
+
，
当AM 为对角线时，如图，点C 的横坐标为1 3
2
2
+
=
，此时纵坐标为
2
2
2
2
3
3
−
+
=
，
故C 为
2
2, 3
，根据菱形的对称性质，得到点D 为
2
2,
3
−
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当AM 为边时，AC 也为边时，根据题意，得
2
AM
AC
=
=
，
过C 作x 轴的垂线，垂足为H ，在ACH
中由勾股定理得，
(
)
2
2
2
2
2
3
2
3 n
n
−
+
+
−
=
，
解得
6
3
13
13
n =
，
故
6
4
3
13,
13
13
13
C
+
−
或
6
4
3
13,
13
13
13
C
−
，
设
(
)
,
D p q ，
6
4
3
13,
13
13
13
C
+
−
，根据中点坐标公式，得
6
4
3
13
1
13
0
3
0
13
13
,
2
2
2
2
p
q
+
+
−
+
+
+
=
=
，
解得
6
4
1
13,
13
13
13
p
q
= +
= −
，
故
6
4
1
13,
13
13
13
D
+
−
；
设
(
)
,
D p q ，
6
4
3
13,
13
13
13
C
−
，根据中点坐标公式，得
6
4
3
13
1
13
0
3
0
13
13
,
2
2
2
2
p
q
−
+
+
+
+
=
=
，
解得
6
4
1
13,
13
13
13
p
q
= −
=
，
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故
6
4
1
13,
13
13
13
D
−
；
当AM 为边时，AC 为对角线时，
过C 作x 轴的垂线，垂足为W ，在MCW
中由勾股定理得，
(
)
2
2
2
2
2
1
2
3 n
n
−
+
+
−
=
，解得
1
3
n = （舍去），
2
3
13
n =
，
故
3
24
,
13 13
C
设
(
)
,
D p q ，
3
24
,
13 13
C
，根据中点坐标公式，得
3
24
3
0
1
0
13
13
,
2
2
2
2
p
q
+
+
+
+
=
=
，
解得
29
24
,
13
13
p
q
=
=
，
故
29 24
,
13 13
D
；
综上可知点D 的坐标为
2
2,
3
−
或
6
4
1
13,
13
13
13
−
或
6
4
1
13,
13
13
13
+
−
或29 24
,
13 13
．
9．（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象交x 轴于点(
)
3,0
A −
，
(
)
1,0
B
，交y 轴于点
C，点
(
)
,0
P m
是x 轴上的一动点，PM
x
⊥轴，交直线AC 于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的表达式；
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(2)若点P 仅在线段AO 上运动，如图，求四边形ANCB 面积的最大值；
(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，
请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x−
=
+
(2)四边形ANCB 面积的最大值为75
8
(3)点Q 的坐标为(
)
0, 3 2 1
−
−
或(
)
0, 1
−
或(
)
0,3 2 1
−
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，分别用含m 的代数式表示出M 、N 的坐标，进而可得MN ，
再根据
(
)
ANC
ACB
AMN
CMN
ACB
ANCB
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
+
四边形
，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值；
（3）分四种情形：当点M 在线段AC 上，MN
MC
=
，四边形MNQC 是菱形时；当MC 是菱形的对角线时，
四边形MNCQ 是正方形；当点M 在CA 延长线上时，MN
CM
=
，四边形MNQC 是菱形时；当点M 在AC 延
长线上时，MN
CM
=
，四边形MNQC 是菱形．分别求解即可．
【详解】（1）解：把
(
)
3,0
A −
，
(
)
1,0
B
代入
2
y
x
bx
c
=
+
+ 中，得
9
3
0
1
0
b
c
b
c
−
+
=
+
+
=
，
解得，
2
3
b
c
=
= −
，
∴这个二次函数的表达式为y
2
2
3
y
x
x−
=
+
；
（2）解：对于二次函数的表达式
2
2
3
y
x
x−
=
+
，令
0
x =
，则
3
y = −，
∴
(
)
0, 3
C
−
，
设直线AC 的表达式为
1
1
y
k x
b
=
+
，
把
(
)
3,0
A −
，
(
)
0, 3
C
−
代入y
kx
b
=
+
，得
1
1
1
3
0
3
k
b
b
−
+
=
= −
，解得，
1
3
k
b
= −
= −
∴直线AC 的表达式为
3
y
x
= −−
，
设
(
)(
)
,0
3
0
P m
m
−
，
∵PM
x
⊥轴．
(
)
,
3
M m
m
−
−
，
(
)
2
,
2
3
N m m
m
+
−
，
∴
(
) (
)
2
2
3
2
3
3
MN
m
m
m
m
m
= −
−
−
+
−
= −
−
∴
ANC
ACB
ANCB
S
S
S
=
+
四边形
(
)
AMN
CMN
ACB
S
S
S
=
+
+
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1
1
1
2
2
2
MN AP
MN OP
AB OC
=
+
+
1
1
2
2
MN OA
AB OC
=
+
(
)
2
1
1
3
3
4 3
2
2
m
m
=
−
−
+
2
3
9
6
2
2
m
m
= −
−
+
2
3
3
75
2
2
8
m
= −
+
+
3
0
2
a = −
，
∴当
3
2
m = −
时，
ANCB
S
有最大值75
8 ；
（3）解：∵
(
)
,
3
M m
m
−
−
，
(
)
2
,
2
3
N m m
m
+
−
，
(
)
0, 3
C
−
，(
)
3,0
A −
，
∴
(
) (
)
2
2
3
2
3
3
MN
m
m
m
m
m
= −
−
−
+
−
= −
−
，
2
MC
m
= −
，
3
OA
OC
=
= ，
45
ACO
=
，
分以下三种情况：
①如图中，当点M 在线段AC 上，MN
MC
=
，四边形MNQC 是菱形时．
2
3
MN
m
m
= −
−
，
2
MC
m
= −
，
2
3
2
m
m
m
−
−
= −
，
解得
3
2
m = −+
或
0
m =
（舍去）
3 2
2
MN
=
−
．
3 2
2
CQ
MN
=
=
−，
3 2
1
OQ
=
+ ，
(
)
0,
3 2
1
Q
−
−
．
②如图，当MC 是菱形的对角线时，
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根据菱形的性质可得
45
ACO
NCO
=
=
，
∴
90
MCN
=
，
∴四边形MNCQ 是正方形，
∴CN
MN
CQ
MQ
=
=
=
，
(
)
0,
3
Q
m
−
−
，
2
3
m
m
m
−
−
= −
，
解得
2
m
−
=
或0（舍去），
∴
(
)
0, 1
Q
−
．
③如图，当点M 在CA 延长线上时，MN
CM
=
，四边形MNQC 是菱形时，
则有
2
3
2
m
m
m
+
= −
，
解得
3
2
m = −−
或0（舍去），
3 2
2
MN
CQ
=
=
+
，
3 2
1
OQ
CQ
OC
=
−
=
−，
(
)
0,3 2
1
Q
−
．
④如图，当点M 在AC 延长线上时，MN
CM
=
，四边形MNQC 是菱形，此时
0
m
，
2
2
3
3
MN
m
m
m
m
= −
−
=
+
，
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2
2
MC
m
m
= −
=
，
则有
2
3
2
m
m
m
+
=
，
解得
2
3
0
m =
−
或
0
m =
，
都不满足
0
m
，
综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(
)
0, 3 2 1
−
−
或(
)
0, 1
−
或(
)
0,3 2 1
−
．
◆题型4 二次函数中的正方形存在性问题
10．（26-27 九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 经过点
(3,0)
A
，与y 轴交于点B ，且关于直线
1
x = 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当1
x
t
−
时，y 的取值范围是0
2
1
y
t
−，求t 的值；
(3)若点P 、Q 在直线AB 上，问：在该二次函数图象上是否存在点M ，N ，使得四边形PQMN 是正方形？
若存在，请直接写出PQ 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
5
2
t =
(3)存在，2 或9 2
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【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分
1
t 和
1
t ，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）先求出直线
:
3
AB y
x
= −+
，设
2
2
PQ
m
=
，直线MN 与y 轴交点为T ，当MN 在AB 上方时，过点B 作
BG
NM
⊥
于点G ，可得
2
BT
BG
m
=
=
，设直线
:
3
MN y
x
m
= −+ +
，与抛物线表达式联立得，
2
2
3
3
y
x
x
y
x
m
= −
+
+
= −+ +
，得到
2
3
0
x
x
m
−
+
=
，设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，那么由韦达定理可得
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
=
，
则(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
9
4
x
x
x
x
x x
m
−
=
+
−
=
−
，而
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
MN
x
x
y
y
x
x
=
−
+
−
=
−
，则得到
(
)
2
2 9
4
2 m
m
=
−
，解得
2
m =
或
18
m = −
（舍），故
2
2
2
2
PQ =
=
；当MN 在AB 下方时，同理求解即
可．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 经过点(
)
3,0
A
，与y 轴交于点B，且关于直线
1
x = 对称，
∴
1
2
9
3
3
0
b
a
a
b
−
=
+
+
=
，解得：
1
2
a
b
= −
=
，
∴
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线
1
x = ，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵1
x
t
−
时，0
2
1
y
t
−，
①当
1
t 时，则：当x
t
= 时，函数有最大值，即：
2
2
1
2
3
t
t
t
−= −
+
+ ，
解得：
2
t
−
=
或
2
t =
，均不符合题意，舍去；
②当
1
t 时，则：当
1
x = 时，函数有最大值，即：
2
2
1
1
2
3
4
t −= −
+
+
=
，
解得：
5
2
t =
；
故
5
2
t =
；
（3）解：存在，理由如下：
对于
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，当
0
x =
时，
3
y =
，
∴
(
)
0,3
B
，
设直线
:
AB y
mx
n
=
+
∵点
(
)
3,0
A
，
∴
3
0
3
m
n
n
+
=
=
，
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解得
1
3
m
n
−
=
=
，
∴直线
:
3
AB y
x
= −+
，
设
2
2
PQ
m
=
，直线MN 与y 轴交点为T ，
当MN 在AB 上方时，过点B 作BG
NM
⊥
于点G ，如图：
∵正方形PQMN ，
∴
2
,
90
2
PN
PQ
MN
m
PNM
PNT
=
=
=
=
=
，MN
AB
∥
，
∴
2
2
BG
PN
m
=
=
∵
3,
90
OA
OB
AOB
=
=
=
，
∴
45
ABO
=
，
∴由MN
AB
∥
得
45
ABO
BTN
=
=
，
∴BTG
为等腰直角三角形，
∴
2
2
2
2
2
2
BT
TG
BG
BG
m
m
=
+
=
=
=
，
∵MN
AB
∥
，
∴设直线
:
3
MN y
x
m
= −+ +
，
与抛物线表达式联立得，
2
2
3
3
y
x
x
y
x
m
= −
+
+
= −+ +
，
∴
2
3
0
x
x
m
−
+
=
，
设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
∴
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
=
，
∴(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
9
4
x
x
x
x
x x
m
−
=
+
−
=
−
∵
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
MN
x
x
y
y
x
x
x
m
x
m
x
x
=
−
+
−
=
−
+ −
+ +
−−
+ +
=
−
，
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∴
(
)
2
2 9
4
2 m
m
=
−
，
解得
2
m =
或
18
m = −
（舍），
∴
2
2
2
2
PQ =
=
；
当MN 在AB 下方时，过点B 作BG
NM
⊥
于点G ，如图：
同理可得，
2
2
BG
PN
m
=
=
，
2
BT
BG
m
=
=
，
∵MN
AB
∥
，
∴设直线
:
3
MN
y
x
m
= −+ −
，
与抛物线表达式联立得，
2
2
3
3
y
x
x
y
x
m
= −
+
+
= −+ −
，
∴
2
3
0
x
x
m
−
−
= ，
设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
∴
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
= −
，
∴(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
9
4
x
x
x
x
x x
m
−
=
+
−
=
+
∵
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
MN
x
x
y
y
x
x
x
m
x
m
x
x
=
−
+
−
=
−
+ −
+ −
−−
+ −
=
−
，
∴
(
)
2
2 9
4
2 m
m
=
+
，
解得
18
m =
或
2
m = −（舍），
∴
2
18
9 2
2
PQ =
=
；
综上：PQ 的长为2 或9 2 ．
11．（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象交x 轴于点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,0
B
，交y
轴于点C ，P 是抛物线上一点．
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点P 在直线BC 上方时，求PBC
面积的最大值；
(3)直线PE
x
轴，交直线BC 于点E ，点D 在x 轴上，点F 在坐标平面内，是否存在点P ，使得以D ，E ，
F ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
y
x
x
−
=
+
+
(2) PBC
面积的最大值为1；
(3)存在点P ，使以D，E ，F ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为
1 5
,
2 4
−
或
2 8
,
3 9
−
或(
)
2, 4
−
−
．
【分析】（1）把
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,0
B
代入
2
y
x
bx
c
= −
+
+ ，可得b ，c ，即可得二次函数的表达式；
（2）设(
)
2
,
2
P a
a
a
−
+
+
，作PH
x
⊥
轴于点H ，则OH
a
=
，
2
2
PH
a
a
= −
+
+
，利用割补法，可得
(
)
2
1
1
PBC
S
a
= −
−
+
，即可得PBC
面积的最大值；
（3）由待定系数法，可得直线BC 的解析式为
2
y
x
= −+
，设(
)
2
,
2
P m
m
m
−
+
+
，由PE
x
轴，可得
(
)
2
2
,
2
E m
m
m
m
−
−
+
+
，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点P 坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象交x 轴于点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,0
B
，
∴
(
)
2
2
1
0
2
2
0
b
c
b
c
−−
−
+
=
−
+
+
=
，
解得
1
2
b
c
=
=
，
∴
2
2
y
x
x
= −
+
+ ．
（2）解：在
2
2
y
x
x
= −
+
+
中，令
0
x =
，得
2
y =
，
∴
(
)
0,2
C
，
设(
)
2
,
2
P a
a
a
−
+
+
，
∵点P 在直线BC 上方，
(
)
2,0
B
，
(
)
0,2
C
，
∴0
2
a
，
2
OB
OC
=
=
，
作PH
x
⊥
轴于点H ，则OH
a
=
，
2
2
PH
a
a
= −
+
+
，
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用割补法求面积：
∵PBC
的面积等于梯形PHOC 的面积加PHB
的面积减去COB
的面积，
梯形PHOC 的面积
(
)
(
)
2
1
1
·
2
2
2
2
PH
CO OH
a
a
a
=
+
=
−
+
+ +
，
PHB
的面积
(
)(
)
2
1
1
·
2
2
2
2
PH BH
a
a
a
=
=
−
+
+
−
，
COB
的面积
1
1
·
2 2
2
2
OBOC
=
=
，
∴PBC
面积
(
)
(
)(
)
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2 2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
=
−
+
+ +
+
−
+
+
−
−
2
2
a
a
= −
+
(
)
2
1
1
a
= −
−
+ ，
∵(
)
2
1
0
a −
，
∴(
)
2
1
0
a
−
−
，
∴(
)
2
1
1 1
a
−
−
+ ，
∴PBC
面积的最大值为1．
（3）解：存在点P ，使以D ，E ，F ，P 为顶点的四边形是正方形，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，
∵
(
)
2,0
B
，
(
)
0,2
C
，
∴
2
0
2
k
b
b
+
=
=
，
解得
1
2
k
b
= −
=
，
∴直线BC 的解析式为
2
y
x
= −+
，
设(
)
2
,
2
P m
m
m
−
+
+
，
(
)
,
2
E n
n
−+
，
∵PE
x
轴，
∴
2
2
2
m
m
n
−
+
+
= −+
，
∴
2
n
m
m
=
−
，
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∴(
)
2
2
,
2
E m
m
m
m
−
−
+
+
，
①如图，四边形PDFE为正方形，则PE
PD
=
，
∴
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
= −
+
+
，
解得
1
2
m = −
或
2
m =
（不合题意，舍去），
∴
2
2
1
1
5
2
2
2
2
4
m
m
−
+
+
= −−
−
+
=
，
∴
1 5
,
2 4
P
−
，
②如图，四边形PDEF 为正方形，点F 在PE上方，
连接PE，DF ，交于点M ，则MD
PE
⊥
，
2
PE
MD
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
=
−
+
+
，
解得
2
3
m = −
或
2
m =
（不合题意，舍去），
∴
2
2
2
2
8
2
2
3
3
9
m
m
−
+
+
= −−
−
+
=
，
∴
2 8
,
3 9
P
−
，
③如图，四边形PFED是正方形，点F 在PE下方，
连接PE，DF ，交于点N ，则ND
PE
⊥
，
2
PE
ND
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
=
−−
+
+
，
解得
2
m = −或
2
m =
（不合题意，舍去），
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
4
m
m
−
+
+
= −−
−
+
= −，
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∴
(
)
2, 4
P −
−
，
∴点P 的坐标为
1 5
,
2 4
−
或
2 8
,
3 9
−
或(
)
2, 4
−
−
．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26 九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线
2
1
2
6
2
y
x
x
=
+
−
与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B
的左侧），与y 轴交于点C，连接
,
AC BC ．
(1)求A、B，C 三点的坐标．
(2)点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l，交线段AC 于点D．在直线l 上是否
存在点E，使得以点D，C，B，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)(
)
6,0
−
，(
)
2,0 ，(
)
0, 6
−
(2)存在；(
)
2
2 5,2 5
−
或(
)
6, 8
−
−
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和
待定系数法是解题的关键．
（1）分别令
0
x =
，
0
y =
，即可求出A B C
、、三点的坐标；
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（2）根据A C
、
三点的坐标求直线AC 的函数表达式，根据直线AC 的表达式设点D 的坐标为(
)
,
6
m
m
−
−
，
然后分为四边形BDEC 是菱形和四边形CBED是菱形两种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：对于
2
1
2
6
2
y
x
x
=
+
−
来说，
当
0
x =
时 ，
6
y = −；
故点
(0, 6)
C
−
，
当
0
y =
时，有
2
1
2
6
0
2 x
x
+
−
=
，
解得：
1
2
2,
6
x
x
=
= −，
∴
(
)
2,0
B
，
(
)
6,0
A −
；
（2）解：存在：
设直线AC 的表达式为：y
kx
b
=
+
；
将
(
)
6,0
A −
，
(0, 6)
C
−
代入得：
6
0
0
6
k
b
b
−
+
=
+
= −
，
解得：
1
6
k
b
= −
= −
故直线AC 的表达式为：
6
y
x
−−
=
；
设点D 的坐标为(
)
,
6
m
m
−
−
，其中6
0
m
−
，
∵
(
)
2 0
B
，，
(
)
0
6
C
−
，
，
∴
(
)
(
)
2
2
2=
2
6
BD
m
m
−
+
+
，
2
2
2
2
6
40
BC =
+
=
，
(
)
2
2
2
2
6
6
2
DC
m
m
m
=
+ −
−+
=
，
∵DE
BC
∥
，
∴当DE
BC
=
时，以点D，C，B，E 为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当BD
BC
=
时，四边形BDEC 为菱形，
∴
2
2
BD
BC
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
6
40
m
m
−
+
+
=
，
解得：
1
4
m = −，
2
0
m =
（舍去），
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∴点D 的坐标为(
)
4, 2
−
−
，
∵点D 向左移动2 个单位长度，向下移动6 个单位长度得到点E，
∴点E 的坐标为(
)
6, 8
−
−
；
如图，当CD
CB
=
时，四边形CBED为菱形，
∴
2
2
CD
CB
=
，
∴
2
2
40
m =
，
解得：
1
2 5
m = −
，
2
2 5
m =
（舍去），
∴点D 的坐标为(
)
2 5 2 5
6
−
−
，
，
∵点D 向右移动2 个单位长度，向上移动6 个单位长度得到点E，
∴点E 的坐标为(
)
2
2 5 2 5
−
，
；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E 为顶点的四边形为菱形，点E 的坐标为(
)
6, 8
−
−
或(
)
2
2 5 2 5
−
，
；
2．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点(
)
5,0
A −
，B （点A在
点B 的左侧），与y 轴交于点
(
)
0,5
C
．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点Q ，使BCQ
的周长最小，求点Q 的坐标；
(3)若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，请直接写出点M 的坐标，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
5
y
x
x
= −
−
+
(2)
(
)
2,3
Q −
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(3)存在，点M 的坐标为( 3,8)
−
或(3, 16)
−
或( 7, 16)
−
−
．
【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解；
（2）AC 与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线AC 的解析式，进而即可求解；
（3）当AC 为平行四边形对角线时，则5
2
x
−=
−
，解得：
3
x
−
=
，即可求解；当
(
)
AM AN 为平行四边形对
角线时，同理可解．
【详解】（1）解：点
( 5,0)
A −
，
(0,5)
C
在抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象上，
0
25
5
5
b
c
c
= −
−
+
=
解得
4
5
b
c
= −
=
，
抛物线的解析式为
2
4
5
y
x
x
= −
−
+
；
（2）解：设点
( 2,
)
Q
m
−
，点
( 5,0)
A −
，
(0,5)
C
，
A与B 关于对称轴对称，
连接AC 与对称轴交于点Q ，
∴QB
QA
=
，
此时BCQ
的周长
QC
QB
BC
QC
QA
BC
CA
BC
=
+
+
=
+
+
=
+
取得最小值，
设AC 解析式为y
kx
b
=
+
，
0
5
5
k
b
b
= −
+
=
，
解得
1
5
k
b
=
=
，
5
y
x
=
+
，
当
2
x = −时，
3
y =
，
( 2,3)
Q
−
，
点
( 2,3)
Q −
；
（3）解：存在，理由如下：
2
2
4
5
(
2)
9
y
x
x
x
= −
−
+ = −
+
+
，
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抛物线的对称轴为直线
2
x = −，
设点N 的坐标为( 2,
)
m
−
，点M 的坐标为
2
( ,
4
5)
x
x
x
−
−
+
，
分三种情况：①当AC 为平行四边形对角线时，
则5
2
x
−=
−
，解得：
3
x
−
=
，
点M 的坐标为( 3,8)
−
；
②当AM 为平行四边形对角线时，
则
5
2
x −= −，解得：
3
x = ，
点M 的坐标为(3, 16)
−
；
③当AN 为平行四边形对角线时，
则5 2
x
−−
=
，
解得：
7
x = −，
点M 的坐标为( 7, 16)
−
−
；
综上，点M 的坐标为( 3,8)
−
或(3, 16)
−
或( 7, 16)
−
−
．
3．（25-26 九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线
4
y
x
=
+ 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C ，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过A，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线
1
x = −．
(1)求抛物线的表达式；
(2) D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D 点的
坐标；
(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角
线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
−+
(2)S最大值为16，
(
)
2,4
D −
(3)存在，
(
)
1,1
P −
，
(
)
3,3
Q −
【分析】本题考查了二次函数与面积，特殊四边形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，菱形的
性质，平移的性质等知识点．
（1）先求出直线
4
y
x
=
+ 与坐标轴的交点，再由待定系数法求解二次函数解析式；
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（2）先求出
6
AB =
，过点D 作y 轴的平行线交AC 于点K，则
2
1
,
4
2
D m
m
m
−
−
+
，则
(
)
,
4
K m m +
，那么
2
1
2
2
DK
m
m
= −
−
，由
ACD
ABC
S
S
S
=
+
，得到
2
4
12
S
m
m
= −
−
+
，再由二次函数的性质即可求解；
（3）由菱形可得PA
PC
=
，设
(
)
1,
P
p
−
，则(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1 4
0
1 0
4
p
p
−+
+
−
= −−
+
−
，解得
1
p = ，故(
)
1,1
P −
，
再由平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线
4
y
x
=
+ 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C ，
∴当
0,
4
x
y
=
=
；
当
0
y =
，则
4
0
x +
=
，解得
4
x = −，
∴
(
)
4,0
A −
，
(
)
0,4
C
，
∵对称轴为直线
1
x = −
∴
16
4
0
4
1
2
a
b
c
c
b
a
−
+
=
=
−
= −
，
解得
1
2
1
4
a
b
c
= −
= −
=
，
∴抛物线的表达式为
2
1
4
2
y
x
x
= −
−+
；
（2）解：∵(
)
4,0
A −
，抛物线对称轴为
1
x = −，
∴
(
)
2,0
B
，
∴
(
)
2
4
6
AB =
−−
=
过点D 作y 轴的平行线交AC 于点K，
则
2
1
,
4
2
D m
m
m
−
−
+
，则
(
)
,
4
K m m +
，
∴
(
)
2
2
1
1
4
4
2
2
2
DK
m
m
m
m
m
= −
−
+ −
+
= −
−
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∵
ACD
ABC
S
S
S
=
+
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
C
D
D
A
S
DK x
x
DK x
x
AB CO
=
−
+
−
+
(
)
2
1
1
1
2
6 4
2
2
2
C
A
m
m
x
x
=
−
−
−
+
2
1
1
1
2
4
6 4
2
2
2
m
m
=
−
−
+
2
4
12
m
m
= −
−
+
(
)
2
2
16
m
= −
+
+
，
∵4
0
m
−
，1
0
−
，
∴当
2
m = −时，S取得最大值为16，此时
(
)
2,4
D −
；
（3）解：存在，
如图，设
(
)
1,
P
p
−
，
∵四边形APCQ 是菱形，
∴PA
PC
=
，
∴(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1 4
0
1 0
4
p
p
−+
+
−
= −−
+
−
，
解得
1
p = ，
∴
(
)
1,1
P −
∵四边形APCQ 是菱形，
∴
,
PA
CQ PA
CQ
=
∥
，
∴点P 向点A的平移方式与点C 向点Q 的平移方式一样，
∵
(
)
4,0
A −
，
(
)
1,1
P −
，
(
)
0,4
C
，
∴由平移的性质可得
(
)
3,3
Q −
．
4．（25-26 九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，( 1,0), (3,0),
(3,3)
A
B
C
−
，抛物
线
2
3
4
y
x
bx
c
−
=
+
+ 经过点A 和点B．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点E 在x 轴上方的抛物线上，当
1
4
BCE
ABCD
S
S
=
矩形
时，求点E 的坐标；
(3)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在坐标平面内，以, , ,
A C P Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P 的
坐标．
【答案】(1)
2
3
3
9
4
2
4
y
x
x
= −
+
+
(2)
(
)
1,3
E
(3)
(1, 1)
P
−或(1,4)或
17
(1,
)
3 或
8
(1,
)
3
−
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理，
对于（1），直接将点
( 1,0),
(3,0)
A
B
−
代入关系式，求出方程组的解即可；
对于（2），先根据面积之间的关系求出点E 的横坐标为1，再代入关系式即可；
对于（3），先求出对称轴为
1
x = ，再设点
(1, ),
( , ), ( 1,0),
(3,3)
P
p Q m n A
C
−
，然后分三种情况：以AC 为矩形的
对角线时，以AC 为矩形的边时，若以AQ 为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：将点
( 1,0), (3,0)
A
B
−
代入关系式
2
3
4
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，
∴
3
0
4
3
9
3
0
4
b
c
b
c
−
−
+
=
−
+
+
=
，
解得
3
2
9
4
b
c
=
=
，
∴抛物线的关系式为
2
3
3
9
4
2
4
y
x
x
= −
+
+
；
（2）解：如图，
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∵
1
,
2
BCE
ABCD
S
BC h S
CD BC
=
=
矩形
，且
1
4
BCE
ABCD
S
S
=
矩形
，
∴1
1
2
4
BC h
CD BC
=
，
∴
1
1
2
2
h
CD
AB
=
=
．
∵点A，B 关于对称轴对称，
∴点E 的横坐标为1，此时
3
3
9
3
4
2
4
y = −
+
+
=
，
即点
(
)
1,3
E
；
（3）解：∵抛物线
2
3
3
9
4
2
4
y
x
x
= −
+
+
，
∴对称轴为
3
2
1
3
2 (
)
4
x = −
=
−
，
设点
(1, ),
( , ), ( 1,0),
(3,3)
P
p Q m n A
C
−
，
如图，以AC 为矩形的对角线，
由中点的坐标可知
1 3
1
0
3
m
p
n
−+
= +
+
=
+
，
解得
1
3
m
n
p
=
=
−
．
∵
90
APC
=
，
∴
2
2
2
PC
PA
AC
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
(3 1)
(3
)
( 1 1)
(0
)
( 1 3)
(0
3)
p
p
−
+
−
+ −−
+
−
= −−
+
−
，
解得
1
p = −或4，
∴点
(1, 1)
P
−或(1,4)；
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如图，以AC 为矩形的边时，
由中点的坐标公式，得
1 1
3
0
3
m
p
n
−+ =
+
+
=
+
，
解得
3
3
m
n
p
= −
=
−
，
∵
90
ACP
=
，
∴
2
2
2
PC
AC
AP
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
(3 1)
(3
)
( 1 3)
(0
3)
( 1 1)
(0
)
p
p
−
+
−
+ −−
+
−
= −−
+
−
，
解得
17
3
p =
，
∴点
17
(1,
)
3
P
；
若以AQ 为矩形的对角线时，
由中点的坐标公式，得
1 3
1
0
3
m
n
p
+
= −+
+
=
+
，
解得
5
3
m
n
p
=
=
+
，
∵
90
PAC
=
，
∴
2
2
2
AP
AC
PC
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
( 1 1)
(0
)
( 1 3)
(0
3)
(3 1)
(3
)
p
p
−−
+
−
+ −−
+
−
=
−
+
−
，
解得
8
3
p = −
，
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∴点
8
(1,
)
3
P
−
，
综上所述，点P 的坐标为(1, 1)
−
或(1,4)或
17
(1,
)
3 或
8
(1,
)
3
−
．
5．（25-26 九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线
2
y
x
c
=
+ 与直线y
kx
=
交于A，B 两点，与y 轴交于点C，
已知B 点的坐标是(
)
2,2 ．
(1)求直线AB 及抛物线的解析式．
(2)求ABC
的面积．
(3)点P 在抛物线上，点Q 在直线AB 上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M 为顶点的四边
形是正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)直线AB 的解析式为y
x
=
，抛物线的解析式是
2
2
y
x
=
−；
(2)3
(3)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
4
1 1, 1
0
2
11
1
3
M
M
M
M
−
,
,-
,
- , ,
- ,-
【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关
知识是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据题意得出，
2
OC =
，连接AC
BC
、
，然后结合图形得出
ABC
AOC
BOC
S
S
S
=
+
即可求解；
（3）分AQ 是正方形的边和AQ 是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线y
kx
=
与抛物线
2
y
x
c
=
+ 交于点
(
)
2,2
B
∴2
2
k =
，4
2
c
+
=
，
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∴
1
k = ，
2
c
−
=
∴直线AB 的解析式为y
x
=
，抛物线的解析式是
2
2
y
x
=
−；
（2）解：联立方程组
2
2
y
x
y
x
=
=
−
，
解得
2
2
x
y
=
=
或
1
1
x
y
= −
= −
，
∴点A 的坐标是(
)
1, 1
−−
，
当
0
x =
时，
2
2
2
y
x
=
−
= −，
∴点C 的坐标是(
)
0, 2
−
，
∴
2
OC =
，
连接AC
BC
、
，如图所示：
∴
1
1
1
2 (1 2)
3
2
2
2
ABC
AOC
BOC
A
B
S
S
S
OC
x
OC
x
=
+
=
+
=
+
=
；
（3）解：当AQ 是正方形的边时，PQ 为对角线，连接AM ，如图所示：
此时M 点与A 点关于y 轴对称，点Q 与点O 重合，点P 与点Q 关于AM 对称，
∴
(
)
1, 1
M
−
，
(
)
0, 2
P
−
，
∴
(
)
1, 1
A −
−
，
(
)
1, 1
M
−
，
(
)
0, 2 ,
(0,0)
P
Q
−
，
∴当
(
)
0, 2
P
−
，
(
)
1, 1
M
−
时，四边形APMQ 为正方形；
同理，当点M 与顶点C 重合，点Q 与点O 重合时，如图所示：
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∴当
(
)
1, 1
P
−
，
(
)
0, 2
M
−
时，四边形APMQ 为正方形；
当AQ 是正方形的边时，PQ 为对角线，连接AM ，如图所示：作点A 关于PQ 的对称点M，
∴
(
)
1, 3
M −−
，
(
)
(
)
2, 2 ,
0, 2
Q
P
−
−
−
，
∴当
(
)
0, 2
P
−
，
(
)
1, 3
M −−
时，，四边形APMQ 为正方形；
如图，当AQ 是正方形的对角线时，如图所示：
∴点P 的纵坐标为1
−
∴
(
)
1, 1
P
−
∴
2
AP =
∵AM
AP
⊥
∴
(
)
1,1
M −
综上所述：M 点坐标为
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
4
1 1, 1 ,
0, 2 ,
1,1 ,
1, 3
M
M
M
M
−
−
−
−−
．
6．（25-26 九年级上·河南开封·阶段检测）如图，已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与一直线相交于(
)
(
)
1,0 ,
2,3
A
C
−
两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．
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(1)抛物线及直线AC 的函数关系式；
(2)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求
APC
△
的面积的最大值．
(3)将抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 向右平移一个单位，M 是新抛物线对称轴上一点，新抛物线上是否存在一点Q ，
使以A
N
M
Q
、、
、
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
1
y
x
=
+
(2) 27
8
(3)存在，点M 的坐标为(
)
2,0 或(
)
2,6 或(
)
2,24
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过点P 作PH
x
⊥
轴交AC 于点T，交x 轴于点H，过点C 作CG
x
⊥
轴于点G，根据
1
1
1
2
2
2
APC
APT
CPT
S
S
S
PT AH
PT GH
PT AG
=
+
=
+
=
求解；
（3）先求出点N 坐标和抛物线平移后的解析式，再分三种情况：AQ 为对角线，AM 为对角线，AN 为对
角线，根据两条对角线的中点重合列方程求解．
【详解】（1）解：将
(
)
(
)
1,0 ,
2,3
A
C
−
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，
得：
(
)
2
2
1
0
2
2
3
b
c
b
c
−−
−
+
=
−
+
+
=
，
解得
2
3
b
c
=
=
，
故抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
设直线AC 的函数关系式为y
kx
n
=
+
，
将
(
)
(
)
1,0 ,
2,3
A
C
−
代入得：
0
2
3
k
n
k
n
−+
=
+
=
，
解得
1
1
k
n
=
=
，
故直线AC 的函数关系式为
1
y
x
=
+ ；
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（2）解：如图，过点P 作PH
x
⊥
轴交AC 于点T，交x 轴于点H，过点C 作CG
x
⊥
轴于点G，设(
)
,
1
T t t +
，
则(
)
2
,
2
3
P t
t
t
−
+
+
，
(
) (
)
2
2
2
3
1
2
PT
t
t
t
t
t
= −
+
+
−
+
= −
+ +
，
1
1
1
2
2
2
APC
APT
CPT
S
S
S
PT AH
PT GH
PT AG
=
+
=
+
=
APC
S
=
△
(
) (
)
2
2
1
3
1
27
2
2 1
2
2
2
8
t
t
t
−
+ +
+
= −
−
+
，
3
0
2
−
，
当
1
2
x =
时，
APC
S
取最大值，最大值为27
8 ，
即
APC
△
的面积的最大值为27
8 ．
（3）解：抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 与y 轴交于点N ，
(
)
0,3
N
．
将抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 向右平移一个单位，得到新抛物线，
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
新抛物线的解析式为
(
)
(
)
2
2
2
1 1
4
2
4
4
y
x
x
x
x
= −
−−
+
= −
−
+
= −
+
，
新抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
设点M 的坐标为(
)
2,m ，点Q 的坐标为(
)
2
,
4
q
q
q
−
+
，
以A
N
M
Q
、、
、
为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况：
当AQ 为对角线时，AQ 的中点与MN 的中点重合，
2
1
0
2
2
2
0
4
3
2
2
q
q
q
m
−+
+
=
−
+
+
=
，
解得
3
0
q
m
=
=
，
点M 的坐标为(
)
2,0 ；
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当AM 为对角线时，AM 的中点与NQ 的中点重合，
2
1
2
0
2
2
0
3
4
2
2
q
m
q
q
−+
+
=
+
−
+
=
，
解得
1
6
q
m
=
=
，
点M 的坐标为(
)
2,6 ；
当AN 为对角线时，AN 的中点与MQ 的中点重合，
2
1 0
2
2
2
0
3
4
2
2
q
m
q
q
−+
+
=
+
−
+
=
，
解得
3
24
q
m
= −
=
，
点M 的坐标为(
)
2,24 ；
综上可知，新抛物线上存在一点Q ，使以A
N
M
Q
、、
、
为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为(
)
2,0
或(
)
2,6 或(
)
2,24 ．
7．（25-26 九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，一次函数与二次函数
2
y
x
mx
n
=
+
+
的图象交于点
( 1,0), (4,5)
A
B
−
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为_______；
(3)点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE
x
⊥
轴，交线段AB 于点E，求线段DE 长度
的最大值并求出此时点D 的坐标．
(4)在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以C，
M，F，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)(
)
1 2,
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(3) DE 有最大值为25
4 ，
3
15
,
2
4
D
−
(4)
1
2
3
4
1 5
(1,1),
( 1,2),
(1,4),
,
2 2
N
N
N
N
−
【分析】（1）将
(
)
1,0
A −
，(
)
4,5
B
代入
2
y
x
mx
n
=
+
+
得到关于m ，n 的二元一次方程组求解即可；
（2）抛物线的对称轴为
1
x = ，求出直线AB 与对称轴的交点即可求解；
（3）设
(
)
2
,
2
3
D d d
d
−
−
，则
( ,
1)
E d d +
，则
(
)
2
2
(
1)
2
3
3
4( 1
4)
DE
d
d
d
d
d
d
=
+
−
−
−
= −
+
+
−
，根据二次
函数的性质得出DE 的最大值，即可求解此时点D 坐标；
（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．
【详解】（1）解：将
(
)
1,0
A −
，(
)
4,5
B
代入
2
y
x
mx
n
=
+
+
得，
1
0
16
4
5
m
n
m
n
−
+
=
+
+
=
，解得
2
3
m
n
= −
= −
，
抛物线的解析式为：
2
2
3
y
x
x
=
−
−；
（2）解：如图，设直线AB 的解析式为：y
kx
b
=
+
，
把点
(
)
1,0
A −
，(
)
4,5
B
代入y
kx
b
=
+
，
得
0
4
5
k
b
k
b
−+
=
+
=
，解得
1
1
k
b
=
=
，
直线AB 的解析式为：
1
y
x
=
+ ，
由（1）知抛物线
2
2
3
y
x
x
=
−
−的对称轴为
2
1
2 1
x
−
= −
=
，
点C 为抛物线对称轴上一动点，AC
BC
AB
+
，
当点C 在AB 上时，AC
BC
+
最小，
把
1
x = 代入
1
y
x
=
+ ，得
2
y =
，
点C 的坐标为(
)
1,2 ，
故答案为：(
)
1,2 ；
（3）解：如图，由（2）知 直线AB 的解析式为
1
y
x
=
+ ，
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设
(
)
2
,
2
3
D d d
d
−
−
，则
( ,
1)
E d d +
，
则
(
) (
)
2
2
2
3
25
1
2
3
3
4
( 1
4)
2
4
DE
d
d
d
d
d
d
d
=
+
−
−
−
= −
+
+
= −
−
+
−
，
当
3
2
d =
时，DE 有最大值为25
4 ，
∴
3
15
,
2
4
D
−
（4）解：如图，直线AB 的解析式为：
1
y
x
=
+ ，
直线与y 轴的交点为
(
)
0,1
D
，
1
OD = ，
( 1,0)
A −
，
1
OA = ，
,
45
OA
OD
DAO
ADO
=
=
=
，
若以点C，M，F，N 为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C 作
1
CM
y
⊥
轴于点
1
M ，则
1
DM C
为等腰直角三角形，过点C 作
1
1
CN
DN
⊥
，则四边形
1
1
CM DN
为正方形，
依题意，知D 与F 重合，点
1
N 的坐标为(
)
1,1 ；
②以
1
M 为中心分别作点F，点C 的对称点
2
2
,
M
N ，连接
2
2
2
2
,
,
CM
M N
N F ，则四边形
2
2
M N FC 是正方形，
∵
(
)
1,2
C
，
∴点
2
N 的坐标为(
)
1,2
−
；
小学
初中
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③延长
2
2
N M 到
3
N 使
3
2
2
N M
M C
=
，作
3
1
N F
AB
⊥
于点
1F ，则四边形
2
3
1
M N FC 是正方形，
∵点
2
N 的坐标为(
)
1,2
−
，
(
)
2 0,2
1
M
+
即
(
)
2 0,3
M
，且
2
M 为
2
3
N N 中点，
∴
3
N 的坐标为(
)
1,4 ；
④取
2
M C 的中点
4
N ，FC 的中点
2
F ，则
1
2
4
M F CN 为正方形，
∵
(
)
2 0,3
M
，
(
)
1,2
C
∴
4
N 的坐标为1 5
,
2 2
，
综上所述，点N 的坐标为：
1
2
3
4
1 5
(1,1),
( 1,2),
(1,4),
,
2 2
N
N
N
N
−
8．（25-26 九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图
象与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点C ，且抛物线的顶点D 的坐标为(
)
1,4 ，连接BC ，抛物
线的对称轴与BC 交于点H ．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上B 、D 两点之间的部分（不包含B 、D 两点），是否存在点G ，使得四边形ABGC 的面积最大，
若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将抛物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点E ，M 为直线
1
x = 上一个动点，在平面
内是否存在一个点N ，使得以B 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，请直接
写出N 点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2) 3 15
,
2 4
(3)点N 的坐标为(
)
2, 1
−
或(
)
2,2
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）求出
(
)
0,3
C
，从而可得直线BC 的解析式为
3
y
x
= −+
，连接AC 、CG 、BG ，作GM
y
∥
轴交直线BC
于点M ，设(
)(
)
2
,
2
3 1
3
G m
m
m
m
−
+
+
，则
(
)
,
3
M m
m
−
+
，表示出
2
3
GM
m
m
= −
+
，再根据
ABC
GBC
ABGC
S
S
S
=
+
四边形
，并结合二次函数的性质计算即可得出结果；
（3）由等腰直角三角形的性质可得
45
OBC
OCB
=
=
，设点E 关于BC 的对称点为点F ，则CE
CF
=
，
45
BCF
OCB
=
=
，求出
90
FCE
=
，得到点F 和点C 关于直线
1
x = 对称，即
(
)
2,3
F
，求出
(
)
0,1
E
，
由题意可得
90
BME
=
，设
(
)
1,
M
n ，再由矩形的性质和勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、(
)
3,0
B
两点，抛物线的顶点D
的坐标为(
)
1,4 ，
∴
0
9
3
0
4
a
b
c
a
b
c
a
b
c
−
+
=
+
+
=
+
+
=
，
解得：
1
2
3
a
b
c
= −
=
=
，
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：在
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 中，当
0
x =
时，
3
y =
，即
(
)
0,3
C
，
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设直线BC 的解析式为
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，
将
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
代入解析式可得
1
1
3
0
3
k
b
b
+
=
=
，
解得：
1
1
3
k
b
= −
=
，
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
= −+
，
如图：连接AC 、CG 、BG ，作GM
y
∥
轴交直线BC 于点M ，
设(
)(
)
2
,
2
3 1
3
G m
m
m
m
−
+
+
，则
(
)
,
3
M m
m
−
+
，
∴
(
)
2
2
2
3
3
3
GM
m
m
m
m
m
= −
+
+ −−
+
= −
+
，
∵
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
，
∴
(
)
3
1
4
AB =
−−
=
，
3
OC =
，
∴
ABC
GBC
ABGC
S
S
S
=
+
四边形
(
)
1
1
2
2
B
C
AB OC
GM
x
x
=
+
−
(
) (
)
2
1
1
4 3
3
3 0
2
2
m
m
=
+
−
+
−
2
3
9
6
2
2
m
m
=
−
+
(
)
2
3
3
6
2 m
m
= −
−
+
2
3
3
75
2
2
8
m
= −
−
+
，
∵
3
0
2
−
，
∴当
3
2
m =
时，
ABGC
S四边形
最大，为75
8 ，此时
2
2
3
3
15
2
3
2
3
2
2
4
m
m
−
+
+
= −
+
+
=
，
∴点G 的坐标为3 15
,
2
4
；
（3）解：如图：
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∵
(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
，
∴
3
OB
OC
=
= ，
∴
45
OBC
OCB
=
=
，
设点E 关于BC 的对称点为点F ，则CE
CF
=
，
45
BCF
OCB
=
=
，
∴
90
FCE
FCB
OCB
=
+
=
，
∴点F 和点C 关于直线
1
x = 对称，
∴
(
)
2,3
F
，
∴
2
CE
CF
=
=
，
∴
1
OE
OC
CE
=
−
= ，即
(
)
0,1
E
，
∵以B 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，
∴
90
BME
=
，
设
(
)
1,
M
n ，
∵
(
)
2
2
2
2
1
1
2
2
EM
n
n
n
=
+
−
=
−
+
，
(
)
2
2
2
2
3 1
4
BM
n
n
=
−
+
=
+
，
2
2
2
1
3
10
BE =
+
=
，
∴
2
2
2
2
4
10
n
n
n
−
+
+
+
=
，
解得：
2
n =
或
1
n = −，
当
2
n =
时，
(
)
1,2
M
，由矩形的性质可得此时
(
)
2, 1
N
−
，
当
1
n = −时，
(
)
1, 1
M
−
，由矩形的性质可得此时
(
)
2,2
N
；
综上所述，点N 的坐标为(
)
2, 1
−
或(
)
2,2 ．
