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专题09 一元二次方程及其应用（5 大考点36 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 方程相关
概念
基础必考，以根的代入求值、参数求
解为主，结合函数图象、坐标几何情
境命题，侧重概念理解与基础运算辨
析。
数形创新：结合函数图象估算根的范
围；
逆向考法：由根的特征反求参数，强
化逻辑辨析能力。
考点02 方程实际
应用
核心高频考点，覆盖增长率、比赛场
次、销售利润等场景，考查建模列方
程、求解取舍，兼顾实际意义验证。
情境创新：结合文创销售、体育赛事、
科技产品生产；
考法升级：融合二次函数求最值，综
合考查建模与最值分析。
考点03 方程解法
侧重因式分解、配方法、公式法规范
求解，常结合菱形、赵爽弦图等几何
图形综合计算，注重转化数学思想。
融合创新：方程解联动几何边长、面
积计算；
思想考查：显性考查转化、配方思想，
弱化机械解方程。
考点04 根与系数
关系
重难点考点，依托韦达定理进行整体
代入求值、参数范围判定，多结合抛
物线与坐标轴交点问题综合设问。
综合升级：联动二次函数、不等式取
值；
创新设问：已知根的数量关系、倍数
关系逆向求参，灵活性更强。
考点05 根的判别
式
高频基础考点，考查判别式判断根的
情况、根据根的个数求参数范围，覆
盖选择填空与简单解答题。
定义创新：结合新定义运算、一次函
数背景命题；
综合考法：判别式与方程、函数、参
数取值多层结合考查。
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考点01 一元二次方程的相关概念
1．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数
2
3
3
y
x
x
=
+
−的图象，可以发现方程
2
3
3
0
x
x
+
−
=
在0，1 之间
有根．取0，1 的平均数0.5，当
0.5
x =
时，
0
y
，进一步可知这个根在0.5 和1 之间，则与方程
2
3
3
0
x
x
+
−
=
另一根更接近的是（ ）
A．4.5
−
B．4
−
C．3.5
−
D．3
−
2．（2026·河南·中考真题）已知
2
x =
是关于x 的方程
2
6
x
mx
−
=
的一个根，则m 的值为（ ）
A．5
B．5
−
C．1
D．1
−
3．
（2026·江西·中考真题）如图，点P 在直线
(
)
0
y
x
b b
−
=
+
上，过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A ，
B ，矩形OAPB的面积为1（O 为坐标原点）．若满足条件的点P 有且仅有三个，则点P 的横坐标为
______________．
4．（2026·广东·中考真题）已知方程
2
3
0
x
x
c
+
+
=
的一个根是1，则c = _____．
5．（2026·甘肃天水·中考真题）已知m 是一元二次方程
2
2
3
0
x
x
+
−
=
的一个根，则代数式
2
2
4
m
m
+
的值是
________________．
考点02 一元二次方程的实际问题
1．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3 月
份此款飞行器产量为1200 台，5 月份的产量为1600 台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长
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率为x ，则下列方程正确的是（ ）
A．
(
)
1200 1
1600
x
+
=
B．
(
)
1200 1 2
1600
x
+
=
C．
(
)
2
1200 1
1600
x
+
=
D．
(
)
2
1600 1
1200
x
−
=
2．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x 支球队进入
决赛阶段，共比赛72 场，根据题意可列关于x 的方程为（ ）
A．
(
)
1
1
72
2 x x−
=
B．(
)1
72
x x−
=
C．(
)1
72
x x +
=
D．
(
)
1
1
72
2 x x +
=
3．（2026·湖北·中考真题）2026 年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有
n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1 场），共需进行136 场比赛，则可列方程
（ ）
A．1 (
1)
136
2 n n −
=
B．(
1)
136
n n −
=
C．1 (
1)
136
2 n n +
=
D．(
1)
136
n n +
=
4．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90 周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某
款文创产品的成本价是每件20 元，日销售量y （件）与每件售价x （元）的函数关系如图所示．
(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525 元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的
售价为多少元？
5．（2026·四川眉山·中考真题）2025 年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济
发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000 件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880
件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
(2)该食品厂原来每天可销售60 件芝麻糕，每件盈利30 元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1 元，就可
多售出5 件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
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考点03 一元二次方程的解法
1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程
2
9
14
0
x
x
−
+
=
的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面
积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为
“倒数点”．如：
1
(2, )
2
A
，
1
3,
3
B
−
−
都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数
3
y
x
=
的图象上存在2 个“倒数点”；
②函数
1
y
x
=
−的图象上不存在“倒数点”；
③函数
2
2
1
y
x
=
+ 的图象上存在1 个“倒数点”；
④若函数
2
y
kx
=
+ 的图象上存在“倒数点”，则
1
k −．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2026·四川达州·中考真题）“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（ ）
①
锐角三角形
三角形直角三角形
钝角三角形
②
③
2
4
3
0
x
x
−
+
= 一元二
次方程
↓
3
0
x−=
或
1
0
x −= 一
元一次方程
④
(
)(
)
3
2
a
b
a
b
+
−
多项式多项式
(
)
(
)
3
3
2
2
a
a
b
b
a
b
=
−
+
−
单项式多项式
3
2
2
2
a
a
a b
b
a
b b
=
−
+
−单项式单项式
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
4．
（2026·山东·中考真题）若关于x 的一元二次方程(
2)(
)
0
x
x
m
−
−
=
的一个根是10，则另一个根是________．
5．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c 是三个不为零的实数，且
2
a
bc
=
，则
2
2
2
c
a
b
−
的最小值为____．
6．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框
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出3 3
的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务．
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
C
D
28
29
30
(1)如图，若九宫格的中心数为n ，四个角的数字分别是A 、B 、C 、D ．
①用含n的式子表示A ；
②探究B C
A D
−
是否为定值，请证明：
(2)若框选出的九宫格的中心数是方程
2
13
22
0
x
x
−
+
=
的根，求九宫格中最大的数．
7．（2026·新疆·中考真题）解决问题：
(1)解方程：3
2
2
3
x
x
=
+
；
(2)被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形ABCD
的面积为100，正方形EFGH 的面积为4，求BF 的长．
8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
2
6
5
x
x
−
=
．
9．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程(
)1
8
8
x x
x
−
=
−．
考点04 一元二次方程的根与系数的关系
1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知
1x ，
2x 是一元二次方程
2
2
9
0
x
x
+
−
=
的两个根，则
1
2
1
2
2
x
x
x x
+
−
的值
为（ ）
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A．16
B．16
−
C．20
D．20
−
2．（2026·四川巴中·中考真题）已知
1x ，2x 是关于x 的一元二次方程
2
0
x
x
t
−
+ =
的两个实数根，则
2
2
1
2
x
x
+
的
最小值是______________．
3．（2026·四川眉山·中考真题）若方程
2
4
3
0
x
x
−
−
=
的两个根是
1x ，
2x ，则
2
2
1
2
1
2
x x
x x
+
的值为________．
4．（2026·四川南充·中考真题）抛物线
2
2
y
x
mx
m
=
+
+
−
与x 轴交于A，B 两点，且
5
AB =
，则m 的值为
_______．
5．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程
2
4
3
0
x
x
+
−
=
的两根是
1x ，2x ，则
2
2
1
2
x
x
+
的值为_______．
6．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程
2
4
3
0
x
x
−
+
= 的两个根是
1x 和
2x ，则
1
2
x x =_________．
7．（2026·四川广安·中考真题）已知
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k
−
+
=
的两个实数根，且
1
2
1
2
3
2
x
x
x x
+
−
，则k 的取值范围是_____．
8．（2026·河北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
4
x
x
m
+
+
=
有两个实数根，其中一个根是另一个
根的平方，则m=_________．
9．（2026·四川南充·中考真题）关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
k
−
+
+
+
−
=
．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为
1x ，
2x ，且
1
2
2
x
x
=
，求k 的值．
考点05 一元二次方程根的判别式
1．（2026·安徽·中考真题）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
b
a
a
−
−
+
=
有两个相等的实数根，则b
a =
（ ）
A．2
−
B．
1
2
−
C．1
2
D．2
2．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．
2
2
0
x
x
−
=
B．
2
2
0
x −
=
C．
2
2
0
x
x
+
=
D．
2
2
0
x +
=
3．
（2026·四川广元·中考真题）若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
bx
+
+
=
有两个相等的实数根，则b 的值为（ ）
A．2 3
B．2 3
C．3
D．
3
±
4．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
kx−
+
=
根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
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C．没有实数根
D．无法判断根的情况
5．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
+
−=
的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
6．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a 、b ，定义运算“☆”如下：
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，例如：
2
3
2
3 2
3 2
6
=
−
=
☆
，则方程2
3
x =
☆
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于x 的方程
2
4
0
x
x
a
−
+
=
有两个不相等
．．．的实数根，则a 的取值范围为
______．
8．（2026·广西·中考真题）关于x 的一次函数
(
)
2
1
0
2
y
k x
k k
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，O
是坐标原点．
【性质初探】
(1) y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）；
(2)求证：AOB 的面积为1；
【归纳提炼】我们把形如
(
)
2
1
0
2
y
k x
k k
=
+
的一次函数称为“正向积1”函数．
【深入探究】
(3)图象经过点(
)
2,2 的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由；
(4)已知点(
)
,
P m n 不在坐标轴上，若图象过点P 的“正向积1”函数有且只有一个．
①求n关于m 的函数解析式；
②选取一个符合条件的点P ，并验证该点是线段AB 的中点．
