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题型01：⽴体⼏何表⾯积与体积⼩题
1．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱与底⾯所成⻆的余弦值为
，则该正四棱台的
表⾯积是（
）
A．36
B．40
C．52
D．56
2．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底⾯积分别为2，8，当正四棱台的外接球的体积最⼩时，该四
棱台的侧⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，⼀个圆柱形容器中盛有⽔，圆柱⺟线AA1＝4，若⺟线AA1放置在⽔平地⾯上时，⽔⾯恰好过OA
的中点，那么当底⾯圆O ⽔平放置时，⽔⾯⾼为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知某圆台轴截⾯的周⻓为10，⾯积为
，圆台的⾼为
，则该圆台的表⾯积为（
）
A．6π
B．10π
C．11π
D．12π
5．⼀个底⾯边⻓为2cm 的正四棱柱形状的容器内装有⼀些⽔（底⾯放置于桌⾯上），现将⼀个底⾯半径为
1cm 的铁制实⼼圆锥放⼊该容器内，圆锥完全沉⼊⽔中且⽔未溢出，并使得⽔⾯上升了
cm．若该容
器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧⾯积为（
）
A．
B．6πcm2
C．
D．
6．六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是⼀种⽆⾊、⽆味、⽆毒、不燃的稳定⽓体，有良好的绝缘性，在
电器⼯业⽅⾯具有⼴泛⽤途．六氟化硫分⼦结构为正⼋⾯体结构（正⼋⾯体是每个⾯都是正三⻆形的⼋⾯
体），如图所示．若此正⼋⾯体的棱⻓为2，则下列说法正确的是（
）
A．正⼋⾯体的体积为
B．正⼋⾯体的表⾯积为
C．正⼋⾯体的外接球体积为
D．正⼋⾯体的内切球表⾯积为
7．⽶⽃是称量粮⻝的量器，是古代官仓、粮栈、⽶⾏等的⽤具，有着吉祥的寓意，是丰饶富⾜的象征，带
有浓郁的⺠间⽂化韵味．某居⺠家中收藏了⼀个⽊质的⽶⽃，如图所示，该⽶⽃的容积为1 ⽃，其形状
可近似看成⼀个正四棱台，且该正四棱台的下底⾯边⻓是上底⾯边⻓的2 倍，若该⽶⽃中刚好装了半⽃
⽶（⽶均匀分布在⽶⽃中），则该⽶⽃中⽶的深度与⽶⽃⾼度的⽐值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．⻩地绿彩云⻰纹盘是收藏于中国国家博物馆的⼀件明代国宝级瓷器．该⻰纹盘敞⼝，弧壁，⼴底，圈⾜．器
内施⽩釉，外壁以⻩釉为地，刻云⻰纹并填绿彩，美不胜收．⻩地绿彩云⻰纹盘可近似看作是圆台和圆
柱的组合体，其⼝径22.5cm，⾜径14.4cm，⾼3.8cm，其中底部圆柱⾼0.8cm，则⻩地绿彩云⻰纹盘的侧
⾯积约为（
）（附：π的值取3，
）
A．300.88cm2
B．311.31cm2
C．322.24cm2
D．332.52cm2
题型02：平⾏垂直判定⼩题
9．空间中有三个平⾯α，β，γ与三条直线l，m，n，则下列说法⼀定正确的是（
）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β
D．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
10．设l，m，n 是空间中三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，则下列命题为真命题的是（
）
A．若l⊥m，m⊥n，则l⊥n
B．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，且m，n 不平⾏，则l，m，n 相交于同⼀点
11．已知m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平⾯，则下列命题正确的是（
）
A．若α，β垂直于同⼀平⾯，则α与β平⾏
B．若m，n 平⾏于同⼀平⾯，则m 与n 平⾏
C．若α，β相交，则在α内不存在与β平⾏的直线
D．若m，n 异⾯，则m 与n 不可能垂直于同⼀平⾯
12．在正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论错误的是（
）
A．AD1∥平⾯C1BD
B．A1C⊥平⾯C1BD
C．存在过AC 的平⾯α，使得A1B∥α
D．存在过AC 的平⾯β，使得A1B⊥β
13．设α，β是两个平⾯，m，l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（
）
A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B．若m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β
C．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l
D．若m⊥α，l∥β，α∥β，则m⊥l
14．设m，n 是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平⾯，那么下列说法正确的为（
）
A．若α∥β，m⊂α，则m∥β
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m∥n，m⊂α，则n∥α
D．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
15．已知m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平⾯，下列命题正确的是（
）
A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
B．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
16．已知l，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是（
）
A．若l∥α，m∥α，且l，m⊂β，则α∥β
B．若l⊥α，m∥β，且l⊥m，则α∥β
C．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β
D．若l∥α，m∥β，且l⊥m，则α⊥β
17．设l，m，n 是空间中三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，则下列命题为真命题的是（
）
A．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
D．若α∩β＝l，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则l，m，n 彼此平⾏
题型03：线⾯平⾏性质证明线线平⾏（交线问题）
18．已知E，F，G，H 为空间四边形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．
19．如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底⾯的圆⼼，圆锥的底⾯直径AB＝4，⺟线PH＝2
，M 是PB 的
中点，四边形OBCH 为正⽅形．
（1）设平⾯POH∩平⾯PBC＝l；证明：l∥BC；
20．如图所示，已知四边形ABCD 是正⽅形，四边形ACEF 是矩形，M 是线段EF 的中点．
（1）求证：AM∥平⾯BDE；
（2）若平⾯ADM∩平⾯BDE＝l，平⾯ABM∩平⾯BDE＝m，试分析l 与m 的位置关系，并证明你的结
论．
题型04：平⾏于“边线”证明线⾯平⾏
21．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，平⾯PAD⊥平⾯ABC，△PAD 为等边三⻆形，底⾯ABCD 为等腰梯形，
且AD＝2AB＝2BC＝4，点E 是棱PC 的中点，过点A，B，E 的平⾯α交棱PD 于点F．
（1）证明：AD∥平⾯PBC；
（2）求
的值．
22．如图，AB 为圆锥PO 的底⾯直径，点C，D 为底⾯上
的三等分点，点M，N 分别为PA，PB 的中点．
（1）证明：MN∥平⾯PCD；
题型05：平⾏于“内线”证明线⾯平⾏
23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，A1A⊥底⾯ABC，底⾯ABC 为等边三⻆形，E，F 分别为BB1，AC
的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平⾯A1EC；
24．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，点M 为AC 的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平⾯A1BM；
25．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 为正⽅形，PA⊥底⾯ABCD，PA＝AB＝2，点M、N 分别为
AP、BC 的中点．
（1）证明：直线MN∥平⾯PCD；
26．如图所示的⼏何体中，四边形ABCD 为矩形，AF⊥平⾯ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，
点P 为棱DF 的中点．
（1）求证：BF∥平⾯APC；
27．如图，在四棱锥S﹣ABCD 中，SA⊥平⾯ABCD，AB∥CD，∠CDA＝60°，AB＝2AD＝2CD＝8，P 为棱
SA 上的⼀点，且AP＝2PS＝4．
（1）证明：SC∥平⾯DPB；
题型06：分线段成⽐例证明线⾯平⾏
1．如图，已知四棱锥P﹣ABCD 的底⾯ABCD 为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝
，BC＝CD＝1，AB＝2，∠
BCD＝
，点P 在底⾯ABCD 上的投影落在AB 边上．
（1）若E 为PD 上⼀点且PE＝2ED，证明：PBǁ平⾯ACE
2．如图，在⼏何体ABCDFE 中，四边形ABCD 为直⻆梯形，DC＝2AB，GC＝2FG，平⾯ABEF∩平⾯CDEF
＝EF．
（1）证明：AF∥平⾯BDG；
（2）证明：AB∥EF．
3．在通⽤技术课上，⽼师给同学们提供了⼀个如图所示的⽊质正四棱锥模型P﹣ABCD．点E 在棱PB 上，
满⾜
，点F 在棱PC 上，满⾜
，要求同学们按照以下⽅案进⾏切割：
（1）试在棱PC 上确定⼀点G，使得EF∥平⾯ABG；
（2）过点A，E，F 的平⾯α交PD 于点H，沿平⾯α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了⽅
便切割，需先在模型中确定H 点的位置，请求出
的值．
题型07：⾯⾯平⾏证明线⾯平⾏
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，四边形ABCD 是正⽅形，PA＝PC，E 为侧棱PD 上的点，且PE＝3ED．
（1）证明：PD⊥AC：
（2）已知点F 是侧棱PC 上靠近点C 的三等分点，求证：BF∥平⾯ACE．
5．如图，四棱锥C﹣ABED 中，四边形ABED 是正⽅形，若G，F 分别是线段EC，BD 的中点．
（1）求证：GF∥平⾯ABC．
6．如图，在四⾯体ABCD 中，AD⊥⾯BCD，AD＝2，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在棱AC 上，
且AQ＝3QC．请建⽴适当的空间直⻆坐标系，证明：PQ∥⾯BCD．
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是正⽅形，E、F 分别为PB、PC 的中点，G 为线段AC 上⼀
点，且CG＝3AG．
（1）证明：EG∥平⾯BDF；
题型08：证明共点、共线、共⾯
8．如图，在⻓⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1，点E，F 分别在BC，CC1上（不包含端点），且CE＝
CF．证明：
（1）A，D1，E，F 四点共⾯；
（2）直线AE，D1F，DC 交于⼀点．
9．正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q，P 分别是AB，BC，CC1，C1D1的中点．
（1）证明：M，N，Q，P 四点共⾯．
（2）证明：PQ，MN，DC 三线共点．
10．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直⻆梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝
AD，BE∥
FA，BE＝FA，G，H 分别为FA，FD 的中点．
（1）证明：四边形BCHG 是平⾏四边形；
（2）C，D，F，E 四点是否共⾯？为什么？
11．如图，在正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，对⻆线A1C 与平⾯BDC1交于点O，AC 与BD 交于点M，E 为
AB 的中点，F 为AA1的中点．求证：
（1）C1，O，M 三点共线；
（2）E，C，D1，F 四点共⾯．
12．在空间四边形ABCD 中，H，G 分别是AD，CD 的中点，E，F 分别边AB，BC 上的点，且
＝
＝．求
证：
①点E，F，G，H 四点共⾯；
②直线EH，BD，FG 相交于⼀点．
13．如图，在四⾯体ABCD 中，E，G 分别为BC，AB 的中点，点F 在CD 上，点H 在AD 上，且有DF：
FC＝1：3，DH：HA＝1：3．求证：EF，GH，BD 交于⼀点．
14．如图，在正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，M 分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点．
（1）求证：E、M、B、D 四点共⾯；
（2）是否存在过点E，M 且与平⾯A1FC 平⾏的平⾯？若存在，请作出这个平⾯并证明，若不存在，请
说明理由．
15．如图所示，在正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别是AB、AA1的中点．求证：
（1）四边形EFD1C 是梯形；
（2）CE、D1F、DA 三线共点；
（3）直线BC 和直线D1F 是异⾯直线．
16．如图，四棱锥P﹣ABCD 的底⾯是矩形，PA⊥底⾯ABCD，M，N 分别为CD，PD 的中点，AC 与BM
交于点E，
，AD＝6，K 为PA 上⼀点，
．
（1）证明：K，E，M，N 四点共⾯；
17．如图，在⻓⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别是B1C1和C1D1的中点．证明：E，F，D，B 四点共⾯．
题型09：线段/⾯积⽐值问题
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是正⽅形，E，F 分别为PB，PC 的中点，G 为线段AC 上
⼀点，且CG＝3AG．
（1）证明：EG∥平⾯BDF；
（2）若PD⊥平⾯ABCD，且
，求△AEG 与△BDF 的⾯积之⽐．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∠APB＝∠CBA＝90°，平⾯PAB⊥平⾯ABCD．
（1）求证：平⾯PAC⊥平⾯PBC；
（2）若M 为棱PD 上⼀点，且PB∥平⾯MAC，求
的值．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD 的底⾯是梯形，AB∥CD，AB＝2CD，点M 在棱PD 上，点N 在直线AD 上．
（1）若PM＝2MD，证明PB∥平⾯MAC；
（2）在（1）下若MN∥平⾯PBC，求
的值．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 为梯形，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，点M 在棱PD 上．
（1）求证：CD∥平⾯PAB；
（2）若PB∥平⾯MAC，求
的值．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，平⾯PAD⊥平⾯ABCD，底⾯ABCD 为直⻆梯形，△PAD 为等边三⻆形，
AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝2BC＝2．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）点N 在棱PC 上运动，求△ADN ⾯积的最⼩值；
（3）点M 为PB 的中点，在棱PC 上找⼀点Q，使得AM∥平⾯BDQ，求
的值．
23．如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱⻓都为1，BC⊥CC1，点P 为线段B1C1上的动点．
（1）若点P 恰为线段B1C1上靠近点C1的三等分点，求三棱锥P﹣A1BC 和三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积
之⽐；
（2）求PA1+PC 的最⼩值及此时B1P 的值．
24．如图是⼀个棱⻓为2 的正⽅体的展开图，其中M，N 分别是棱DB，KF 的中点．请以G，E，K 三点所
在⾯为底⾯将展开图还原为正⽅体．
（1）求证：点M 在平⾯AEN 内；
（2）⽤平⾯AEN 截正⽅体，将正⽅体分成两个⼏何体，两个⼏何体的体积分别为V1，V2（V1＜V2），试
判断体积较⼩的⼏何体的形状（不需要证明），并求V1：V2的值．
25．已知圆锥SO 的底⾯半径r＝4，⾼h＝3．
（1）求圆锥SO 侧⾯展开图圆⼼⻆α（⽤弧度表示）；
（2）球O1在圆锥SO 内，圆锥SO 在球O2内，
（ⅰ）求球O1的表⾯积的最⼤值；
（ⅱ）求球O2与球O1体积之⽐的最⼩值．
题型10：证明⾯⾯平⾏
1．如图，在正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，S 是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC，SC 的中点，求证：
（1）EG∥平⾯BDD1B1；
（2）平⾯EFG∥平⾯BDD1B1．
2．在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 为平⾏四边形，O 为底⾯中⼼，M，E 分别为PA，PD 的中点，△
PDC 为等腰直⻆三⻆形，且DP＝DC．
（1）求证：MO∥平⾯PDC；
（2）求异⾯直线MO 与EC 所成⻆的余弦值；
（3）若F，N 分为CE，DE 的中点，点G 在线段PB 上，且PG＝3GB．求证：平⾯GFN∥平⾯ABCD．（注：
只能使⽤⼏何法，其他⽅法⼀律不给分）
3．在正四棱锥P﹣ABCD 中，O 为底⾯中⼼，H，E，F 分别为PA，AH，HO 的中点，点M 在棱PD 上，
且PM＝3MD．
（1）证明：HO∥平⾯PCD．
（2）证明：平⾯EFM∥平⾯ABCD．
4．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平⾯，C 是圆O 上的点．
（1）求证：BC⊥平⾯PAC；
（2）设Q 为PA 的中点，G 为△AOC 的重⼼，求证：⾯OQG∥平⾯PBC．
5．如图，四边形ABCD 与ADEF 均为平⾏四边形，M，N，G 分别是AB，AD，EF 的中点．
（1）求证：BE∥平⾯DMF；
（2）求证：平⾯BDE∥平⾯MNG．
题型11：⼏何法证明线线垂直
1．如图，在棱⻓为2 的正⽅体中，E，F 分别是DD1，DB 的中点，G 在棱CD 上，且
，H 是C1G
的中点．建⽴适当的空间直⻆坐标系，解决下列问题：
（1）求证：EF⊥B1C；
2．如图，在⻓⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E 为CD 中点．
（1）求证：B1E⊥AD1；
3．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别为线段BC，AC 上的点，且AB∥平⾯DEC1．
（1）求证：DE∥A1B1；
（2）当D 为BC 的中点，AB＝BC 时，求证：BE⊥C1E．
题型12：⼏何法证明线⾯垂直
4．如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝6，A1B1＝4．
（1）若CC1＝
，证明：CC1⊥平⾯AA1B1B；
5．在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4 个⾯都是直⻆三⻆形的四⾯体．如图，在等腰梯形
ABCD 中，AB∥CD，AE⊥CD，且DE＝AE＝AB＝2．现将△ADE 沿AE 翻折，使四⾯体DACE 为⼀个鳖
臑，并得到四棱锥D﹣ABCE．
（Ⅰ）设F 为ED 的中点，求证：AF∥平⾯BCD；
（Ⅱ）求证：CD⊥平⾯ADE．
6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，△ABC 为等边三⻆形，平⾯A1ACC1⊥平⾯ABC，四边形A1ACC1为
菱形，∠A1AC＝60°，AB＝2．F 为BB1的中点．
（Ⅰ）证明：AC1⊥平⾯A1CF；
7．在如图①所示的平⾯图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进⾏翻折，使得AB⊥平⾯ACDE，过点E
作EF∥AB，且
，连接FD，FB，BD，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接
FG．
（1）求证：FG⊥平⾯ABD；
8．已知点O 是正⽅形ABCD 两对⻆线的交点，DE⊥平⾯ABCD，BF⊥平⾯ABCD，且AB＝BF＝2DE．
（Ⅰ）求证：EO⊥平⾯AFC；
9．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，平⾯PAB⊥平⾯ABC，AB＝6，BC＝2
，AC＝2
，D、E 分别为线段
AB、BC 上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC．
（1）求证：DE∥平⾯PAC；
（2）求证：PD⊥平⾯ABC．
题型13：⼏何法证明⾯⾯垂直
10．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，DA＝DC＝DD1＝2，AB＝C1D1＝1，∠ADC＝120°，∠
D1DA＝∠B1BA＝90°．
（1）证明：平⾯D1C1CD⊥平⾯ABCD．
11．已知四边形ABCD 为直⻆梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，△ABD 为等腰直⻆三⻆形，平⾯PAD⊥平⾯
ABCD，E 为PA 的中点，
，PA＝3PD＝3．
（1）求证：平⾯PAB⊥平⾯PBD．
12．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝2，∠A1AC＝60°，
，点D，E，F 分别为线段
BC，AA1，A1C1的中点，且BC⊥A1D．
（1）证明：平⾯ACC1A1⊥平⾯ABC；
13．如图，在矩形ABCD 中，AB＝2AD，M 为CD 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平⾯ADM⊥平⾯
ABCM．点O 是线段AM 的中点．求证：
（1）平⾯BDO⊥平⾯ABCM；
（2）AD⊥BM．
14．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，平⾯PAB⊥平⾯ABCD，AD∥BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD＝AD，
E 为AD 的中点．
（1）求证：PA⊥CD．
（2）求证：平⾯PBD⊥平⾯PAB．
15．如图，在⼏何体中，四边形ABCD 为菱形，对⻆线AC 与BD 的交点为O，四边形DCEF 为梯形，EF
∥CD，FB＝FD．
（Ⅰ）若CD＝2EF，求证：OE∥平⾯ADF；
（Ⅱ）求证：平⾯ACF⊥平⾯ABCD．
题型14：向量法证明垂直关系
1．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，P′为P 在平⾯ABC 内的射影点，已知
，BC＝4，AC＝3，
，
．
（1）请以
、
为基底表示
，并证明BP′⊥AC．
（2）求证PB⊥平⾯PAC．
2．如图，平⾏六⾯体ABCD﹣A1B1C1D1的底⾯ABCD 是菱形，且CD＝CC1＝2，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD
＝60°．
（1）求CA1的⻓；
（2）求证：CA1⊥平⾯C1BD．
3．如图，在平⾏六⾯体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．
（1）求AC1的⻓；
（2）求证：直线A1C⊥平⾯BDD1B1．
题型15：余弦定理法求异⾯直线夹⻆
1．△ABC 中，AB＝2，AC＝4，BC＝3，点P 在平⾯ABC 外，且
，
，取AB 中点D，则
异⾯直线DP 与BC 夹⻆的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．《⼏何原本》是古希腊数学家欧⼏⾥得的⼀部不朽之作，其第⼗⼀卷中称轴截⾯为等腰直⻆三⻆形的圆
锥为直⻆圆锥．如图，若AB，CD 都是直⻆圆锥SO 底⾯圆的直径，且
，则异⾯直线SA 与
BD 所成⻆的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示的三棱锥P﹣ABC 中，D 是棱PB 的中点，已知PA⊥底⾯ABC，PA＝BC＝2，AB＝4，AB⊥BC，
则异⾯直线PC，AD 所成⻆的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N 分别为DB，A1C1的中点，则直线A1M 和BN 夹⻆的余弦值
为（
）
A．
B．
C．
D．
题型16：向量分解法求异⾯直线夹⻆
5．如图，在平⾏六⾯体ABCD﹣A'B'C'D'中，底⾯ABCD 是正⽅形，AA'＝2AB，M 是CD 中点，∠A′AB＝∠
A′AD＝120°，则直线AC′与BM 所成⻆的正弦值为（
）
A．
B．
C．1
D．
6．在四⾯体ABCD 中，∠BAD＝∠CAD＝60°，AC⊥AB，AB＝AD＝2，AC＝3，则异⾯直线AC 与BD 所成
的⻆为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7．⻓⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，
，则异⾯直线DB1与AA1所成⻆的⼤⼩为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
题型17：体积法求⾼确定夹⻆求线⾯夹⻆
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是边⻓为a 的正⽅形，PA⊥平⾯ABCD．若PA＝a，则直线
PB 与平⾯PCD 所成的⻆的⼤⼩为（
）
A．
B．
C．
D．
2．三棱锥A﹣BCD 的各⾯展开图如图所示，其中△BCD 是边⻓为1 的等边三⻆形，AB＝AD＝AC′＝2．P
是棱BC 上的动点，记直线DP 与平⾯ABC 所成⻆为θ，则sinθ的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平⾯ABC，PA＝AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，F 为棱PC 上⼀点，满⾜AF⊥
PC 于F．
（1）求证：平⾯ABF⊥平⾯PBC；
（2）求PB 与⾯ABF 所成⻆的正弦值．
4．在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平⾯ABCD，E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，
．
（1）求证：平⾯PAC⊥平⾯AEF；
（2）求直线PA 与平⾯AEF 所成⻆的正弦值．
题型18：线⾯夹⻆综合
1．在⻓⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平⾯A1BC1所成⻆的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知正四棱台上底⾯边⻓为1，下底⾯边⻓为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底⾯所成⻆的正切值为
（
）
A．
B．
C．
D．
3．在正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为棱AB 上的动点，则A1M与平⾯ABC1D1所成⻆的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在正三棱锥P﹣ABC 中，AB＝3，
，则直线PA 与平⾯ABC 所成⻆的⼤⼩为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
5．已知三棱锥P﹣ABC 中，△ABC 是边⻓为2 的正三⻆形，PB⊥AB，PC⊥AC，若三棱锥P﹣ABC 的外接
球体积为
，则直线PA 与平⾯ABC 所成⻆的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知正三棱台ABC﹣A1B1C1 的体积为
，则A1A 与平⾯ABC 所成⻆的正切值为
（
）
A．
B．1
C．2
D．3
7．如图，在正四⾯体ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 的中点，则EF 与平⾯BCD 所成⻆的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平⾯ABC，∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，则AC
与平⾯BCC1B1所成⻆的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，∠ACB＝90°，PA⊥平⾯ABC，AC＝BC＝PA，M 是PB 的中点，则AM 与
平⾯PBC 所成⻆的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知直线l 与平⾯α交于点A，l 上的不同两点M，N 在α上的射影分别为M′，N′，若
，
则l 与α所成⻆的⼤⼩为
．
11．如图，已知∠AOB＝∠AOC＝60°，在平⾯α内，OA 是平⾯α的斜线，且OA＝2，OB＝OC＝1，
，
则直线OA 与平⾯α所成的⻆的⼤⼩为
．
题型19：汉堡模型
1．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6 个顶点都在球O 的球⾯上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则
球O 的直径为（
）
A．13
B．
C．
D．
2．设三棱柱的侧棱垂直于底⾯，所有棱⻓都为a，顶点都在⼀个球⾯上，则该球的表⾯积为（
）
A．πa2
B．
C．
D．5πa2
3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同⼀球⾯上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表⾯积
等于（
）
A．20π
B．10π
C．5π
D．5
π
4．若⼀个圆柱的表⾯积为12π，则该圆柱的外接球的表⾯积的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．16π
5．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，底⾯积为
，⼀个侧⾯的周⻓为
，则正三棱柱ABC﹣A1B1C1
外接球的表⾯积为（
）
A．4π
B．8π
C．16π
D．32π
6．有⼀个圆锥与⼀个圆柱的底⾯半径相等，此圆锥的⺟线与底⾯所成⻆为60°，若此圆柱的外接球的表⾯
积是圆锥的侧⾯积的4 倍，则此圆柱的⾼是其底⾯半径的（
）
A．
倍
B．2 倍
C．
倍
D．3 倍
7．已知矩形ABCD 中，AB＝2AD＝2，E，F 分别为AB，CD 的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起，使⼆⾯
⻆A﹣EF﹣C 的⼤⼩为120°，则过A，B，C，D，E，F 六点的球的表⾯积为（
）
A．6π
B．5π
C．4π
D．3π
8．已知四棱锥P﹣ABCD 的底⾯ABCD 是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平⾯PAD⊥平⾯ABCD，△PAD 为
等边三⻆形，则四棱锥P﹣ABCD 的外接球体积为（
）
A．
B．
C．
D．
9．⼀个六棱柱的底⾯是正六边形，其侧棱垂直底⾯．已知该六棱柱的顶点都在同⼀个球⾯上，且该六棱柱
的体积为
，底⾯周⻓为3，则这个球的体积为
．
10．已知圆柱的上底⾯圆周经过正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱的中点，下底⾯圆⼼为此三棱锥底⾯中⼼O．若
三棱锥P﹣ABC 的⾼为该圆柱外接球半径的2 倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的⽐值为
题型20：⽃笠模型
1．在三棱锥P﹣ABCD 中，PA＝PB＝PC＝2
，AC＝AB＝4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表⾯积为
（
）
A．4π
B．36π
C．48π
D．24π
2．在三棱锥P﹣ABC 中，PA＝PB＝PC＝
，侧棱PA 与底⾯ABC 所成的⻆为60°，则该三棱锥外接球的
体积为（
）
A．2π
B．
C．4π
D．
3．在三棱锥P﹣ABC 中，
，AC＝AB＝2，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表⾯积为（
）
A．4π
B．8π
C．16π
D．9π
4．已知正四棱锥P﹣ABCD 的各顶点都在同⼀球⾯上，底⾯正⽅形的边⻓为
，若该正四棱锥的体积为2，
则此球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．⼀个圆锥恰有三条⺟线两两夹⻆为60°，若该圆锥的侧⾯积为
，则该圆锥外接球的表⾯积
为
．
6．如图所示，在正四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是边⻓为4 的正⽅形，E，F 分别是AB，CD 的中点，
cos∠PEF＝
，若A，B，C，D，P 在同⼀球⾯上，则此球的体积为
．
7．已知圆锥的顶点为P，⺟线PA 与底⾯所成的⻆为30°，底⾯圆⼼O 到PA 的距离为1，则该圆锥外接球
的表⾯积为
．
8．在六棱锥P﹣ABCDEF 中，底⾯是边⻓为
的正六边形，PA＝2 且与底⾯垂直，则该六棱锥外接球的
体积等于
．
题型21：对棱相等模型
1．在三棱锥A﹣BCD 中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．43π
2．已知三棱锥A﹣BCD 内接于球O，且AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，AB＝CD＝
，则三棱锥A﹣BCD 的
外接球的表⾯积是（
）
A．38π
B．9π
C．76π
D．19π
3．已知棱锥S﹣ABC 中，SA＝BC＝
，SB＝AC＝
，SC＝AB＝
，则该三棱锥的外接球表⾯积为
（
）
A．64π
B．16π
C．14π
D．4π
4．已知三棱锥A﹣BCD 满⾜AB＝CD＝2
，AC＝BD＝10，AD＝BC＝4
，则三棱锥A﹣BCD 外接球
的表⾯积为（
）
A．116π
B．128π
C．132π
D．156π
题型22：墙⻆模型
5．已知三棱锥S﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA＝2，SB＝SC＝4，则该三棱锥的外接球的半径为（
）
A．3
B．6
C．36
D．9
6．在正三棱锥S﹣ABC 中，M，N 分别是棱SC，BC 的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA＝2
，则正三棱锥
S﹣ABC 外接球的体积是（
）
A．20
π
B．60π
C．40
π
D．48π
7．点A，B，C，D 均在同⼀球⾯上，且AB，AC，AD 两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表
⾯积为（
）
A．7π
B．14π
C．
D．
8．等腰△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC 沿BC 边上的⾼AD 折成直⼆⾯⻆B﹣AD﹣C，则三棱锥
B﹣ACD 的外接球的表⾯积为（
）
A．5π
B．
C．10π
D．34π
题型23：切⽠模型
1．在三棱锥P﹣ABC 中，平⾯PAB⊥平⾯ABC，
，且直线PA 与平⾯ABC
所成⻆的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表⾯积为（
）
A．13π
B．52π
C．
D．
2．已知空间四边形ABCD，∠BAC＝
，AB＝AC＝2
，BD＝CD＝6，且平⾯ABC⊥平⾯BCD，则空
间四边形ABCD 的外接球的表⾯积为（
）
A．60π
B．36π
C．24π
D．12π
3．已知三棱锥A﹣BCD 中，△ABD 与△BCD 是边⻓为2 的等边三⻆形且⼆⾯⻆A﹣BD﹣C 为直⼆⾯⻆，
则三棱锥A﹣BCD 的外接球的表⾯积为（
）
A．
B．5π
C．6π
D．
4．把边⻓为3 的正⽅形ABCD 沿对⻆线AC 对折，使得平⾯ABC⊥平⾯ADC，则三棱锥D﹣ABC 的外接
球的表⾯积为（
）
A．32π
B．27π
C．18π
D．9π
5．在四棱锥A﹣BCDE 中，△ABC 是边⻓为6 的正三⻆形，BCDE 是正⽅形，平⾯ABC⊥平⾯BCDE，则
该四棱锥的外接球的体积为（
）
A．21
π
B．84π
C．7
π
D．28
π
6．在三棱锥P﹣ABC 中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，PB＝PC＝4
，平⾯PBC⊥平⾯ABC，则三棱锥P
﹣ABC 外接球的表⾯积为
．
7．如图，已知平⾯四边形ABCD 满⾜AB＝AD＝2，∠A＝60°，∠C＝90°，将△ABD 沿对⻆线BD 翻折，使
平⾯ABD⊥平⾯CBD，则四⾯体ABCD 外接球的体积为
．
题型24：鳄⻥模型
1．在三棱锥A﹣BCD 中，△ABD 和△CBD 均为边⻓为2 的等边三⻆形，且⼆⾯⻆A﹣BD﹣C 的平⾯⻆为
60°，则三棱锥的外接球的表⾯积为（
）
A．π
B．
π
C．
π
D．
π
2．如图，在体积为
的四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 为边⻓为2 的正⽅形，△PAB 为等边三⻆形，
⼆⾯⻆P﹣AB﹣C 为锐⻆，则四棱锥P﹣ABCD 外接球的半径为（
）
A．
B．
C．
D．
3．在三棱锥A﹣BCD 中，AB＝BC＝CD＝DA＝
，BD＝
，⼆⾯⻆A﹣BD﹣C 是钝⻆．若三棱锥A
﹣BCD 的体积为2．则三棱锥A﹣BCD 的外接球的表⾯积是（
）
A．12π
B．
π
C．13π
D．
π
4．在四⾯体ABCD 中，BC＝CD＝BD＝AB＝2，∠ABC＝90°，⼆⾯⻆A﹣BC﹣D 的平⾯⻆为150°，则四⾯
体ABCD 外接球的表⾯积为（
）
A．
B．
C．31π
D．124π
5．如图，直⻆三⻆形ABC，∠ABC＝
，AC+BC＝2，将△ABC 绕AB 边旋转⾄△ABC’位置，若⼆⾯⻆C
﹣AB﹣C’的⼤⼩为
，则四⾯体C’﹣ABC 的外接球的表⾯积的最⼩值为（
）
A．6π
B．3π
C．
D．2π
6．已知三棱锥P﹣ABC 中，AB⊥BC，AB＝2
，BC＝
，PA＝PB＝3
，且⼆⾯⻆P﹣AB﹣C 的⼤⼩
为150°，则三棱锥P﹣ABC 外接球的表⾯积为（
）
A．100π
B．108π
C．110π
D．111π
7．在三棱锥S﹣ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC＝
，SA＝SC＝2，⼆⾯⻆S﹣AC﹣B 的余弦值是
，若S、
A、B、C 都在同⼀球⾯上，则该球的表⾯积是（
）
A．
B．
C．24
D．6π
8．在三棱锥P﹣ABC 中，AB⊥BC，三⻆形PAC 为等边三⻆形，⼆⾯⻆P﹣AC﹣B 的余弦值为﹣
，当
三棱锥P﹣ABC 的体积最⼤值为
时，三棱锥P﹣ABC 的外接球的表⾯积为
．
9．在平⾯五边形ABCDE 中，∠A＝60°，AB＝AE＝6
，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC＝DE＝6．将五边形
ABCDE 沿对⻆线BE 折起，使平⾯ABE 与平⾯BCDE 所成的⼆⾯⻆为120°，则沿对⻆线BE 折起后所
得⼏何体的外接球的表⾯积是
．
10．已知空间四边形ABCD 中，AB＝BD＝AD＝2，BC＝1，CD＝
，若⼆⾯⻆A﹣BD﹣C 的取值范围为[
，
]，则该⼏何体的外接球表⾯积的取值范围为
．
题型25：圆台模型
8．圆台的上下底⾯半径和⾼的⽐为3：4：1，⺟线⻓为
，则圆台的外接球表⾯积为
．
9．已知圆台上底半径为1，下底半径为3，⾼为2，则此圆台的外接球的表⾯积为
．
10．如图，圆台O1O2中，O1O2＝
，其外接球的球⼼O 在线段O1O2 上，上下底⾯的半径分别为r1＝1，
r2＝
，则圆台外接球的表⾯积为
．
题型26：棱台模型
11．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上、下底⾯边⻓分别为
，该正四棱台的外接球的表⾯积
为100π，则该正四棱台的⾼为
．
12．我国古代《九章算术》中将上，下两⾯为平⾏矩形的六⾯体称为刍童，如图的刍童ABCD﹣EFGH 有外
接球，且
，点E 到平⾯ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表
⾯积为
．
题型27：内切球模型之圆锥模型
1．将半径为3，圆⼼⻆为
的扇形围成⼀个圆锥，则该圆锥的内切球的表⾯积为（
）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
2．⼀个圆锥的⺟线⻓为2，圆锥的⺟线与底⾯的夹⻆为
，则圆锥的内切球的表⾯积为（
）
A．8π
B．
C．
D．
题型28：内切球模型之棱锥模型
3．四棱锥P﹣ABCD 的底⾯ABCD 是边⻓为6 的正⽅形，且PA＝PB＝PC＝PD，若⼀个半径为1 的球与此
四棱锥所有⾯都相切，则该四棱锥的⾼是（
）
A．6
B．5
C．
D．
4．在三棱锥S﹣ABC 中，SA⊥平⾯ABC，∠ABC＝90°，且SA＝3，AB＝4，AC＝5，若球O 在三棱锥S﹣ABC
的内部且与四个⾯都相切（称球O 为三棱锥S﹣ABC 的内切球），则球O 的表⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底⾯ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积
为
．
6．已知在三棱锥S﹣ABC 中，SA＝SB＝SC＝
，BC＝6，若点A 在侧⾯SBC 内的射影恰是△SBC 的垂
⼼，则三棱锥S﹣ABC 的内切球的体积为
题型29：内切球模型之圆台模型
1．现准备给⼀半径为6cm 的实⼼球体玩具制作⼀个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下
该球体玩具，且该包装盒的下底⾯是半径为4cm 的圆，则制成的包装盒的容积最⼩为（
）
A．532πcm3
B．399πcm3
C．266πcm3
D．133πcm3
2．已知圆台的上、下底⾯圆的半径之⽐为
，侧⾯积为9π，在圆台的内部有⼀球O，该球与圆台的上、
下底⾯及⺟线均相切，则球O 的表⾯积为（
）
A．3π
B．5π
C．8π
D．9π
3．已知球O 内切于圆台（即球与该圆台的上、下底⾯以及侧⾯均相切），且圆台的上、下底⾯半径r1：r2
＝2：3，则圆台的体积与球的体积之⽐为（
）
A．
B．
C．2
D．
4．已知某圆台的上、下底⾯半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2 的球与圆台的上、下底⾯及侧⾯均
相切，则该圆台的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
题型30：内切球模型之棱台模型
5．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r 的球O 与该正四棱台的各个⾯均
相切，该球的表⾯积S＝（
）
A．4π
B．6π
C．8π
D．10π
6．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的内切球半径
，AB＝2A1B1，则异⾯直线A1B1与DD1所成⻆的余
弦值为
．
题型31：球体最值问题
1．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧⾯、底⾯均相切）的体积为
，则该圆锥的表⾯积的最⼩值为
（
）
A．32π
B．28π
C．24π
D．20π
2．已知三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平⾯ABC，AB⊥AC，BC＝6，PA＝3，D 是BC 的中点，则三棱锥P﹣ABC
的体积最⼤时，三棱锥P﹣ABD 外接球的表⾯积为（
）
A．18π
B．
C．
D．27π
3．已知⼀个装满⽔的圆台容器的上底⾯半径为5，下底⾯半径为1，⾼为
，若将⼀个铁球放⼊该容器
中，使得铁球完全没⼊⽔中，则可放⼊铁球的表⾯积的最⼤值为（
）
A．32π
B．36π
C．48π
D．50π
4．已知A，B，C，D 四点都在表⾯积为100π的球O 的表⾯上，若AD 为球O 的直径，且BC＝4，∠BAC
＝150°，则三棱锥A﹣BCD 体积的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．表⾯积为15π的球内有⼀内接四⾯体PABC，其中平⾯ABC⊥平⾯PAB，△ABC 是边⻓为3 的正三⻆形，
则四⾯体PABC 体积的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．棱⻓为
的正四⾯体内切⼀球，然后在正四⾯体和该球形成的空隙处各放⼊⼀个⼩球，则这样⼀个
⼩球的表⾯积最⼤为（
）
A．
B．π
C．
D．
7．已知球O 的半径为
，球⾯上有不共⾯的四个点A，B，C，D，且
，则四⾯体ABCD 体积
的最⼤值是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知三棱锥P﹣ABC 的四个顶点都在半径为3 的球⾯上，AB⊥AC，则该三棱锥体积的最⼤值
是
．
9．如图，圆锥PO 的底⾯直径和⾼均是a，过PO 上⼀点O′作平⾏于底⾯的截⾯，以该截⾯为底⾯挖去⼀
个圆柱，则该圆柱体积的最⼤值为
．
10．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1所有顶点都在球O 上，若球O 的体积为
，则该正三棱柱体积的最⼤
值为
．
题型32：球体截⾯问题
1．已知平⾯α截⼀球⾯得圆M，过圆⼼M 且与α成60°⼆⾯⻆的平⾯β截该球⾯得圆N，若该球的半径为4，
圆M 的⾯积为4π，则圆N 的⾯积为（
）
A．7π
B．9π
C．11π
D．13π
2．平⾯α截球O 的球⾯所得圆的半径为1，球⼼O 到平⾯α的距离为
，则此球的体积为（
）
A．
π
B．4
π
C．4
π
D．6
π
3．已知球的半径为2，相互垂直的两个平⾯分别截球⾯得两个圆，若两圆的公共弦⻓为2，则两圆的圆⼼
距等于（
）
A．1
B．
C．
D．2
4．⽤与球⼼距离为1 的平⾯去截球，所得的截⾯⾯积为π，则球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知球O 的体积为
，点A 到球⼼O 的距离为3，则过点A 的平⾯α被球O 所截的截⾯⾯积的最
⼩值是（
）
A．9π
B．12π
C．16π
D．20π
6．已知正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的棱⻓为2，P 为DD1的中点，过A，B，P 三点作平⾯α，则该正⽅体的
外接球被平⾯α截得的截⾯圆的⾯积为（
）
A．
B．
C．3π
D．
7．某同学制作了⼀个⼯艺品，如图所示．该⼯艺品可以看成是⼀个球被⼀个棱为4 的正⽅体的六个⾯所截
后剩余的部分（球⼼与正⽅体的中⼼重合），若其中⼀截⾯圆的周⻓为2π，则原来被截之前的球的表⾯
积为（
）
A．25π
B．20π
C．16π
D．12π
8．在棱⻓为2 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R 分别为棱BC，CD，CC1的中点，平⾯PQR 截正⽅
体ABCD﹣A1B1C1D1外接球所得的截⾯⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
9．在⻓⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AC1⊥BD，其外接球体积为36π，则其外接球被平⾯AB1D1截
得图形⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知三棱锥P﹣ABC 的顶点都在球O 上，且
，
点Q 为PB 中点，则过Q 的平⾯截球O 所得的截⾯⾯积最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．π
11．若球的两个平⾏截⾯的⾯积分别为10π和16π，球⼼到这两个截⾯的距离之差为
，则球的直径为
（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知H 是球O 的直径AB 上⼀点，AH：HB＝1：2，AB⊥平⾯α，H 为垂⾜，α截球O 所得截⾯的⾯积
为π，M 为α上的⼀点，且
，过点M 作球O 的截⾯，则所得的截⾯⾯积最⼩的圆的半径为（
）
A．
B．
C．
D．
题型33：⼏何证明中的三⻆形五⼼
13．四⾯体ABCD 中，棱AB、AC、AD 两两互相垂直，则顶点A 在底⾯BCD 上的正投影H 为△BCD 的（
）
A．垂⼼
B．重⼼
C．外⼼
D．内⼼
14．设P 是△ABC 所在平⾯α外⼀点，H 是P 在α内的射影，且PA，PB，PC 与α所成的⻆相等，则H 是
△ABC 的（
）
A．内⼼
B．外⼼
C．垂⼼
D．重⼼
15．6、如果三棱锥S﹣ABC 的底⾯是不等边三⻆形，侧⾯与底⾯所成的⼆⾯⻆都相等，且顶点S 在底⾯的
射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的（
）
A．垂⼼
B．重⼼
C．外⼼
D．内⼼
16．已知P 为△ABC 所在平⾯外⼀点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平⾯ABC 于H，则H 为△ABC
的（
）
A．重⼼
B．垂⼼
C．外⼼
D．内⼼
17．P 为边⻓为a 的正三⻆形ABC 所在平⾯外⼀点且PA＝PB＝PC＝a，则P 到平⾯ABC 的距离
为
．
18．点P 是△ABC 所在平⾯外⼀点，点O 是点P 在平⾯ABC 上的射影．若PA＝PB＝PC，则点O 是△ABC
的
⼼；若点P 到△ABC 的三边的距离相等，且点O 在△ABC 的内部，则点O 是△ABC 的
⼼；若PA、PB、PC 两两垂直，则点O 是△ABC 的
⼼．
19．已知P 是△ABC 所在平⾯α外⼀点，O 是点P 在平⾯α内的射影
（1）若P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则O 是△ABC 外⼼；
（2）若PA、PB、PC 与平⾯α所成的⻆相等，则O 是△ABC 的内⼼；
（3）若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的内⼼；
（4）若平⾯PAB、PBC、PCA 与平⾯α所成的⻆相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的外⼼；
（5）若PA、PB、PC 两两垂直，则O 是△ABC 的垂⼼．
其中正确命题的序号是
（把你认为正确命题的序号都写上）
题型34：直接法确定点⾯距离求体积
1．如图，在四⾯体ABCD 中，平⾯ABC⊥平⾯ACD，AB⊥BC，AC＝AD＝2，BC＝CD＝1
（Ⅰ）求四⾯体ABCD 的体积；
（Ⅱ）求⼆⾯⻆C﹣AB﹣D 的平⾯⻆的正切值．
2．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2
，PD＝CD＝2．
（1）求异⾯直线PA 与BC 所成⻆的正切值；
（2）证明平⾯PDC⊥平⾯ABCD；
（3）求四棱锥P﹣ABCD 的体积．
3．如图，⻓⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的底⾯ABCD 是正⽅形，点E 在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平⾯EB1C1；
（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C 的体积．
题型35：平⾏转移法确定点⾯距离求体积
4．（如图，四边形ABCD 为矩形，PA⊥平⾯ABCD，DE∥PA．
（1）若直线m⊂平⾯PAB，试判断直线m 与平⾯CDE 的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝PA＝2DE＝2，AD＝3，求三棱锥E﹣PCD 的体积．
5．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB 与△PAD 都是边⻓为2 的等边三
⻆形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求点A 到平⾯PCD 的距离．
题型36：等体积法确定点⾯距离求体积
6．在⻓⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝6，⽤过A1，B，C1三点的平⾯截去⻓⽅体的⼀个⻆后，留下
如图的⼏何体，且这⼏何体的体积为120．
（1）求棱AA1的⻓；
（2）求点D1到平⾯A1BC1的距离．
7．如图1，矩形ABCD 中，AB＝12，AD＝6，E，F 分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE
沿BE 折起⾄△PBE 位置（如图2 所示），连接AP、EF、PF，其中PF＝2
．
（1）求证：平⾯PEF⊥平⾯ABED；
（2）求点F 到平⾯PBE 的距离．
8．四棱锥S﹣ABCD 中，底⾯ABCD 为平⾏四边形，侧⾯SBC⊥底⾯ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，
BC＝2
，SA＝SB＝
．
（Ⅰ）证明：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD 与平⾯SBC 所成⻆的正弦值．
题型37：分点⽐例法确定点⾯距离求体积
（多选）1．如图，正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的棱⻓为1，O 是底⾯A1B1C1D1的中⼼，则下列结论正确的是
（
）
A．点O 到平⾯ABC1D1的距离是
B．点O 到平⾯ABC1D1的距离是
C．平⾯ABC1D1的法向量可以为（1，0，1）
D．平⾯ABC1D1的法向量可以为（1，1，1）
2．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是矩形，PA⊥平⾯ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，以BD 的中
点O 为球⼼、BD 为直径的球⾯交PD 于点M，
（1）求证：平⾯ABM⊥平⾯PCD；
（2）求直线PC 与平⾯ABM 所成的⻆；
（3）求点O 到平⾯ABM 的距离．
题型38：多⾯体割补法求体积
3．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥AC，AB⊥BC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝2
，D 为线段AC 的中点，
将△CBD 折叠⾄△EBD，使得平⾯EDB⊥平⾯ABC 且PC 交平⾯EBD 于F．
（1）求证：平⾯BDE⊥平⾯PAC．
（2）求三棱锥P﹣EBC 的体积．
4．如图所示，在多⾯体ABCDEF 中，已知ABCD 是边⻓为1 的正⽅形，且△ADE，△BCF 均为正三⻆形，
EF∥AB，EF＝2，求该多⾯体的体积．
5．如图，在三棱台A1B1C1﹣ABC 中，已知A1A⊥底⾯ABC，A1A＝A1B1＝B1C1＝a，B1B⊥BC，且B1B 和底
⾯ABC 所成的⻆45°，求这个棱台的体积．
6．如图，△ABC 中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平⾯ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，
求此⼏何体的体积．
7．如图，空间⼏何体ADE﹣BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF
是矩形，且平⾯ABCD⊥平⾯CDEF，AD⊥DC，AB＝AD＝DE＝2，EF＝4，M 是线段AE 上的动点．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）试确定点M 的位置，使AC∥平⾯MDF，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，求空间⼏何体ADM﹣BCF 的体积．
8．如图，在正四棱锥P﹣ABCD 中，AB＝2，PA＝4，M 是PB 上的点且PM＝2MB，N 是PD 的中点．求：
（1）四棱锥P﹣ABCD 的表⾯积；
（2）三棱锥N﹣MCD 的体积．
题型39：体积最值综合
1．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平⾯ABC，AB⊥BC，AD⊥BP，PA＝AC，若三棱锥P﹣ABC 外接球
表⾯积为8π，则三棱锥P﹣ACD 体积的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在三棱锥A﹣BCD 中，BC＝DC＝AB＝AD＝2，BD＝2
，平⾯ABD⊥平⾯BCD，O 为BD 中点，
点P，Q 分别为线段AO，BC 上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO 体积的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．3
3．已知圆锥的底⾯半径为3，⺟线⻓为5，若在该圆锥内部有⼀个与该圆锥共轴的圆柱，则这个圆柱的体
积的最⼤值为（
）
A．8π
B．
C．
D．
4．已知△ABC 是边⻓为4 的正三⻆形，M，N 分别为BA，BC 边上的⼀点（不含端点），现将△BMN 折起，
记⼆⾯⻆B﹣MN﹣A 的平⾯⻆为α，若
，则四棱锥B﹣MNAC 体积的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知正四棱锥的侧棱⻓为l，其各顶点都在同⼀球⾯上．若该球的表⾯积为36π，且
，则该
正四棱锥体积的最⼤值是（
）
A．18
B．
C．
D．27
6．已知P，A，B，C 是半径为2 的球⾯上四点，△ABC 为等边三⻆形且其⾯积为
，则三棱锥P﹣ABC
体积的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知球O 的半径为2，三棱锥的顶点为O，底⾯的三个顶点均在球O 的球⾯上，则该三棱锥的体积最⼤
值为（
）
A．
B．
C．
D．2
8．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，已知：PA⊥平⾯ABCD，∠BAD＝90°，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝AD＝
2，已知Q 是四边形ABCD 内部⼀点（包括边界），且⼆⾯⻆Q﹣PD﹣A 的平⾯⻆⼤⼩为
，若点M 是
PC 中点，则四棱锥M﹣ADQ 体积的最⼤值是（
）
A．
B．
C．
D．
题型40：范围问题综合
9．已知正四棱锥的侧棱⻓为l，其各顶点都在同⼀球⾯上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3
，则该正四
棱锥体积的取值范围是（
）
A．[18，
]
B．[
，
]
C．[
，
]
D．[18，27]
10．已知三棱锥P﹣ABC 的四个顶点在球O 的球⾯上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边⻓为
的正三⻆形，三
棱锥P﹣ABC 的体积为
，Q 为BC 的中点，则过点Q 的平⾯截球O 所得截⾯⾯积的取值范围是（
）
A．[
，
]
B．[
，
]
C．[
，
]
D．[
π，π]
11．已知四⾯体ABCD 的所有棱⻓均为
，M，N 分别为棱AD，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A，B 的
动点．有下列结论：
①线段MN 的⻓度为1；
②点C 到⾯MFN 的距离范围为
；
③△FMN 周⻓的最⼩值为
；
④∠MFN 的余弦值的取值范围为
．
其中正确结论的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．点M，N 分别是棱⻓为2 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1 中棱BC，CC1 的中点，动点P 在正⽅形BCC1B1
（包括边界）内运动．若PA1∥⾯AMN，则PA1的⻓度范围是（
）
A．
B．
C．
D．[2，3]
13．如图，在⻓⽅形ABCD 中，AB＝2，BC＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC（端点除外）上⼀动点．现
将△AFD 沿AF 折起，使平⾯ADF⊥平⾯ABC．在平⾯ABD 内过点D 作DK⊥AB，K 为垂⾜．设AK＝
t，则t 的取值范围是（
）
A．（0，）
B．（，）
C．（，）
D．（，1）
14．如图，在棱⻓为2
的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，若△ABA1绕A1B 旋转⼀周，则在旋转过程中，三
棱锥A﹣BDC1的体积的取值范围为
．
15．如图，正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的棱⻓为4，点P 在正⽅形ABCD 的边界及其内部运动．平⾯区域W
由所有满⾜4≤|A1P|≤2
的点P 组成，则四⾯体P﹣A1BC 的体积的取值范围
．
题型41：动点轨迹综合
1．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AA1＝6，D 为CC1中点，E 为BB1上⼀点，
＝3
，∠A1AC＝60°，M 为侧⾯AA1C1C 上⼀点，且BM∥平⾯ADE，则点M 的轨迹的⻓度为（
）
A．1
B．
C．
D．2
2．已知棱⻓为1 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1，M 是BB1的中点，动点P 在正⽅体内部或表⾯上，且MP∥
平⾯ABD1，则动点P 的轨迹所形成区域的⾯积是（
）
A．
B．
C．1
D．2
3．在棱⻓为1 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N 分别是棱BC，CC1的中点，动点P 在正⽅形BCC1B1
（包括边界）内运动．若PA1∥平⾯AMN，则PA1的最⼩值是（
）
A．1
B．
C．
D．
4．如图，在棱⻓为2 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H 分别为CC1，C1D1，D1D，CD 的中点，
N 是BC 的中点，M 在四边形EFGH 上以及其内部运动，若MN∥平⾯A1BD，则M 的轨迹的⻓度是
（
）
A．
B．2
C．π
D．
5．已知正⽅体ABD﹣A1B1C1D1的棱⻓为2，E，F 分别是CC1，DD1的中点，点P 在矩形C1D1FE 的内部及
其边界上运动，点Q 在线段AD 上运动，则线段PQ 中点M 的轨迹所形成的⼏何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．1
6．已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1 的棱⻓均为
，点P 在棱AA1 上运动，点Q 在底⾯ABCDEF
内运动，PQ＝
，R 为PQ 的中点，则动点R 的轨迹与正六棱柱的侧⾯和底⾯围成的较⼩部分的体积
为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，在棱⻓为a 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 是棱DD1的中点，F 是侧⾯CDD1C1上的动点，
且B1F∥⾯A1BE，则F 在侧⾯CDD1C1上的轨迹的⻓度是（
）
A．a
B．
C．
D．
（多选）8．如图，在棱⻓为1 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，P 为棱BB1的中点，Q 为正⽅形BB1C1C 内⼀
动点（含边界），则下列说法中正确的是（
）
A．平⾯A1PD 截正⽅体的截⾯为等腰梯形
B．若CQ∥平⾯A1PD，则直线CQ 不可能垂直于直线C1Q
C．若
，则点Q 的轨迹⻓度为
D．三棱锥A﹣A1PD 的外接球的表⾯积为
（多选）9．如图，正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的棱⻓为4，E 是AB 上⼀点，AE＝1，F 是正⽅形A1B1C1D1内
⼀点（不包括边界），若CF＝2
，则（
）
A．对任意点F，直线AE 与直线D1F 异⾯
B．存在点F，使得直线EF∥平⾯ADD1A1
C．直线D1F 与AB 所成⻆的最⼤值为30°
D．EF 的最⼩值为5
10．已知正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的棱⻓为2，点P 在棱D1C1上运动，点Q 在棱BC 上运动，且PQ 与BB1
所成的⻆为
，若线段PQ 的中点为M，则点M 的轨迹的⻓度是
．
题型42：截⾯问题综合
1．在四棱锥P﹣ABCD 中，棱⻓为2 的侧棱PD 垂直底⾯边⻓为2 的正⽅形ABCD，M 为棱PD 的中点，
过直线BM 的平⾯α分别与侧棱PA、PC 相交于点E、F，当PE＝PF 时，截⾯MEBF 的⾯积为（
）
A．
B．2
C．
D．3
2．在棱⻓为2 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，M 为AB 的中点，过点M 的平⾯α截正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1
的外接球的截⾯⾯积的最⼩值为（
）
A．2π
B．
C．π
D．
3．正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱⻓为2，E，F，G 分别为棱AA1，BC，CD 的中点，则该正⽅体的外接球
被平⾯EFG 所截的圆的⾯积是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别是AB、BC 的中点，过点D1、E、F 的截⾯将正⽅体分割
成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1、V2（V1＜V2），则V1：V2＝（
）
A．
B．
C．
D．
5．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱⻓均为2，点E，F 分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F 作
⼀截⾯，则截⾯的周⻓为（
）
A．2+2
B．
C．
D．
6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，2AA1＝3AB＝12，点M 是线段BB1的中点，点N 是线段DD1上靠近
D 的三等分点，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1被过点A1，M，N 的平⾯所截，则所得截⾯的周⻓为（
）
A．
B．
C．
D．
7．⼀正四⾯体⽊块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将⽊块锯开，使截⾯平⾏于棱VB 和AC，若⽊
块的棱⻓为a，则截⾯⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知四棱锥S﹣ABCD 中，SA⊥平⾯ABCD，四边形ABCD 为正⽅形，SA＝AB＝6，平⾯α过SB，CD，
SD 的中点，则平⾯α截四棱锥S﹣ABCD 所得的截⾯⾯积为（
）
A．
B．
C．9
D．12
（多选）9．如图，已知正⽅体ABCD﹣A1B1C1D 的棱⻓为2，E，F，G 分别为AB，AD，B1C1的中点，以下
说法正确的是（
）
A．三棱锥C﹣EFG 的体积为1
B．A1C⊥平⾯EFG
C．异⾯直线EF 与AG 所成的⻆的余弦值为
D．过点E，F，G 作正⽅体的截⾯，所得截⾯的⾯积是
（多选）10．如图，在⻓⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，E 为棱A1B1的中点，则（
）
A．AB1∥⾯BC1D
B．A1C⊥BD
C．平⾯AC1E 截该⻓⽅体所得截⾯⾯积为
D．三棱锥A﹣B1C1E 的体积为
题型43：最短路径综合
1．如图正三棱柱ABC﹣A'B'C'的底⾯边⻓为
，⾼为2，⼀只蚂蚁要从顶点A 沿三棱柱的表⾯爬到顶点
C′，若侧⾯AA'C'C 紧贴墙⾯（不能通⾏），则爬⾏的最短路程是（
）
A．
B．
C．4
D．
2．如图，在正三棱锥P﹣ABC 中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝4，⼀只⾍⼦从A 点出发，
绕三棱锥的三个侧⾯爬⾏⼀周后，⼜回到A 点，则⾍⼦爬⾏的最短距离是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，底⾯为正⽅形的四棱锥P﹣ABCD 中，四条侧棱相等，且PA＝AB，E，F 分别为棱PA 和PC 上的
两点，PE＝3，PF＝6，F 处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧⾯爬⾏到E 处，则蚂蚁爬⾏的最短距离为（
）
A．3
B．5
C．3
D．9
4．正三棱锥P﹣ABC 中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90°，PA＝PB＝PC＝a，AB 的中点为M，若⼀只⼩蜜蜂
沿锥体侧⾯经过棱PB 由点M 爬到点C，则最短路程是（
）
A．（2+
a）
B．
a
C．
a
D．（1+
a）
5．在四⾯体ABCD 中，AB＝BC＝CA＝1，DA 与直线AB，CA 均垂直，且
，⼀只蚂蚁从△ABC 的中
⼼沿表⾯爬⾄点D，则其爬过的路程最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，圆柱的底⾯半径为1，平⾯ABCD 为圆柱的轴截⾯，从A 点开始，沿着圆柱的侧⾯拉⼀条绳⼦到
C 点，若绳⼦的最短⻓度为3π，则该圆柱的侧⾯积为（
）
A．4
π2
B．2
π2
C．5
π2
D．4π2
7．如图，已知圆柱OO1的⾼π，平⾯ABA1B1为圆柱的轴截⾯，现有⼀质点从点A 出发，沿着圆柱的侧⾯
绕⾏两圈半后到达A1点的最短路线的⻓为
，则该⼏何体体积为（
）
A．π2
B．2π2
C．
D．4π2
8．如图．M 是棱⻓为2cm 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正⽅体表⾯从点A 到点M 的最
短路程是
cm．
题型43：空间向量线性运算
1．如图，空间四边形OABC 中，
，
，
，M 在线段OA 上，且OA＝3AM，点N 为BC 中
点，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
2．四⾯体OABC 中，
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
3．在四⾯体OABC 中，点M 在线段OA 上，且OM＝2MA，G 是△ABC 的重⼼，已知
，
，
，
则
等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是正⽅形，E 是PD 的中点，点F 满⾜
，若
，
，
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，M 是四⾯体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN＝ON，AP
＝AN，⽤向量
，
，
表示
，则
＝（
）
A．
+
+
B．
+
+
C．
+
+
D．
+
+
6．在平⾏六⾯体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC 与BD 的交点为M．设
＝，
＝，
＝，则下
列向量中与
相等的向量是（
）
A．
﹣
﹣
B．﹣
﹣
﹣
C．﹣
+
﹣
D．
+
﹣
7．空间四边形ABCD 中，
，
，
，点P 为AB 中点，点Q 为CD 靠近D 的三等分点，则
等于（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图1，在四⾯体OABC 中，点M，N 分别为线段OA，BC 的中点，若
，则x+y﹣z
的值为（
）
A．
B．
C．
D．1
9．已知三棱锥O﹣ABC，点M，N 分别为AB，OC 的中点，且
＝，
＝，
＝，⽤，，表示
，
则
等于（
）
A．
B．
C．
D．
题型45：空间向量数量运算
10．已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，y，2），且
，则y 的值为（
）
A．6
B．10
C．12
D．14
11．已知向量
，则﹣在上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知空间向量
，
，则下列结论正确的是（
）
A．
B．与夹⻆的余弦值为
C．
D．
13．已知
，则
＝（
）
A．
B．1
C．0
D．
14．若
，则
＝（
）
A．10
B．8
C．﹣10
D．﹣8
15．向量
，若
，则x＝（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．0
16．已知向量
，则向量在向量上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
17．已知向量＝（0，0，1），＝（1，﹣1，1），向量
在向量上的投影向量为（
）
A．（0，0，2）
B．（0，0，1）
C．（0，0，﹣1）
D．（0，0，﹣2）
18．已知空间向量
，
，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
19．已知空间向量
，
，
，cos＜
＞＝，则| |＝（
）
A．3
B．
C．
D．21
20．空间向量
在
上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
21．若
构成空间的⼀个基底，则下列向量共⾯的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型46：空间向量基本定理
22．在下列等式中，使点M 与点A，B，C ⼀定共⾯的是（
）
A．
B．
C．
D．
23．在空间直⻆坐标系中，A（1，1，﹣2），B（1，2，﹣3），C（﹣1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），
若四点A，B，C，D 共⾯，则（
）
A．2x+y+z＝1
B．x+y+z＝0
C．x﹣y+z＝﹣4
D．x+y﹣z＝0
24．若
是空间的⼀个基底，则下列各组向量中⼀定能构成空间的⼀个基底的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．在三棱锥A﹣BCD 中，点M 是BC 中点，若
＝x
+y
+z
，则x+y+z＝（
）
A．0
B．
C．1
D．2
26．已知SA⊥平⾯ABC，AB⊥AC，SA＝AB＝1，
，则空间的⼀个单位正交基底可以为（
）
A．
B．
C．
D．
27．已知BD⊥平⾯ABC，AB⊥BC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，则空间的⼀个单位正交基底可以为（
）
A．
B．
C．
D．
28．已知
是空间的⼀个基底，则下列说法错误的是（
）
A．若
，则x＝y＝z＝0
B．
两两共⾯，但
不共⾯
C．⼀定存在x，y，使得
D．
⼀定能构成空间的⼀个基底
题型47：空间向量建系与求坐标
[例1](1)如图，在棱⻓为2 的正⽅体ABCD－A1B1C1D1中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．试建
⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(2)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平⾯ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E 分别
在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M 为棱A1B1的中点．试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点
坐标．
(3)如图所示，在四棱锥P－ABCD 中，底⾯ABCD 是正⽅形，侧棱PD⊥底⾯ABCD，PD＝DC＝2，E
是PC 的中点，过点E 作EF⊥PB 于点F．试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(4)如图所示，在四棱锥P－ABCD 中，PC⊥平⾯ABCD，PC＝2，在四边形ABCD 中，∠
B＝∠
C
＝90°，AB＝4，CD＝1，点E 为PA 的中点，点M 在PB 上，PB＝4PM，PB 与平⾯ABCD 成30°⻆，试建⽴
适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(5)在△ABC 中，D，E 分别为AB，AC 的中点，AB＝2BC＝2CD＝2a，如图①，以DE 为折痕将△ADE
折起，点A 到达点P 的位置，使平⾯DEP⊥平⾯BCED，如图②．试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各
点坐标．
【对点训练
对点训练
对点训练】
1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧⾯AA1B1B 为正⽅形，AB＝BC＝2，E，F 分别为AC 和CC1的中点，
试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
2．如图，在⻓⽅体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F 分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．若
AB＝2，AD＝1，AA1＝3，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
3．如图，在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥底⾯ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点
E 为棱PC 的中点，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
4．在四棱锥P－ABCD 中，底⾯ABCD 为矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD＝2AB＝4，PD 与底⾯ABCD 所
成的⻆为45°，且BE⊥DP，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
5．等边△ABC 的边⻓为3，点D，E 分别是AB，AC 上的点，且满⾜AD
DB＝CE
EA＝1
2(如图①)，将△ADE 沿
DE 折起到△A1DE 的位置，使⼆⾯⻆A1－DE－B 成直⼆⾯⻆，连接A1B，A1C(如图②)．试建⽴适当的空
间直⻆坐标系并确定各点坐标．
[例2]
(1)在如图所示的多⾯体中，四边形ABCD 是平⾏四边形，四边形BDEF 是矩形，ED⊥平⾯ABCD，
∠
ABD＝π
6，AB＝2，AD＝1，ED＝BD．试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(2)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底⾯是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠
BAD＝60°，E，M，N 分别是
BC，BB1，A1D 的中点．试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(3)如图，已知三棱锥P－ABC，平⾯PAC⊥平⾯ABC，AB＝BC＝PA＝1
2PC＝2，∠
ABC＝120°．试建
⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(4)在三棱锥A－BCD 中，已知CB＝CD＝5，BD＝2，O 为BD 的中点，AO⊥平⾯BCD，AO＝2，E
为AC 的中点．若点F 在BC 上，满⾜BF＝1
4BC，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(5)如图，在四棱锥P－ABCD 中，底⾯ABCD 是边⻓为a 的正⽅形，侧⾯PAD⊥底⾯ABCD，且PA＝
PD＝2
2 AD，设E，F 分别为PC，BD 的中点．试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(6)已知四棱锥P－ABCD，底⾯ABCD 为菱形，PD＝PB，PA＝PC＝3AB，PA 与平⾯ABCD 所成的⻆
为60°，PA＝2，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(7)如图，正⽅形ABCD 的边⻓为2 2，四边形BDEF 是平⾏四边形，BD 与AC 交于点G，O 为GC 的
中点，FO＝3，且FO⊥平⾯ABCD．试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(8)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱⻓都等于2，∠
ABC 和∠
A1AC 均为60°，平⾯AA1C1C⊥
平⾯ABCD，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(9)如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直⻆三⻆形，BC∥AD，CD⊥AD，PC
＝AD＝2DC＝2CB＝2，E 为PD 的中点．试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
(10)如图所示的⼏何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠
ABC＝60°，AB＝2BC＝2CD＝4，
四边形DCEF 是正⽅形，N，G 分别是线段AB，CE 的中点，且⼆⾯⻆A－CD－F 的⼤⼩为120°．试建⽴
适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
1．如图所示，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠
BCD＝120°，四边形BFED 是以BD 为
直⻆腰的直⻆梯形，DE＝2BF＝2，平⾯BFED⊥平⾯ABCD，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点
坐标．
2．如图，在⼏何体ABC－A1B1C1中，平⾯A1ACC1⊥底⾯ABC，四边形A1ACC1是正⽅形，B1C1∥BC，Q
是A1B 的中点，且AC＝BC＝2B1C1＝2，∠
ACB＝2π
3 ，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
3．如图，在⼏何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB⊥平⾯BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，
F 分别是线段BE，DC 的中点，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
4．如图，在三棱锥P－ABC 中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为AC 的中点．若点M 在棱
BC 上，且PM⊥BC，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
5．如图，在四棱锥P－ABCD 中，侧⾯PAD⊥底⾯ABCD，底⾯ABCD 为直⻆梯形，其中AB∥CD，∠
CDA
＝90°，CD＝2AB＝2，AD＝3，PA＝5，PD＝2 2，点E 在棱AD 上且AE＝1，点F 为棱PD 的中点，试
建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
6．如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底⾯ABCD 是菱形，CC1⊥底⾯ABCD，且∠
BAD＝60°，CD＝
CC1＝2C1D1＝4，E 是棱BB1的中点，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
7．如图，在三棱锥P－ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，PO⊥平⾯ABC，垂⾜O 落在线段AD 上．已
知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2．点M 是线段AP 上⼀点，且AM＝3，试建⽴适当的空间直⻆坐标
系并确定各点坐标．
8．如图，在四棱锥P－ABCD 中，底⾯ABCD 是平⾏四边形，AB＝AC＝2，AD＝2 2，PB＝2，PB⊥AC．
且∠
PBA＝45°，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
9．如图，在五⾯体ABCDEF 中，底⾯ABCD 是直⻆梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧⾯CDEF 是菱形，∠
DCF＝60°，CD＝2AD＝2AB＝2，AE＝5AD，试建⽴适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
10．斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底⾯是边⻓为2 的正三⻆形，A1B＝7，∠
A1AB＝∠
A1AC＝60°，试建⽴
适当的空间直⻆坐标系并确定各点坐标．
题型48：空间向量求法向量
1．若l∥α，且
为直线l 的⼀个⽅向向量，
为平⾯α的⼀个法向量，则t
的值为（
）
A．8
B．﹣8
C．﹣6
D．﹣4
2．已知点Pn（1，2，3）是法向量为
的平⾯ABC 内的⼀点，则下列各点中，不在平⾯ABC
内的是（
）
A．（3，2，1）
B．（﹣2，5，4）
C．（﹣3，4，5）
D．（2，﹣4，8）
3．已知A（1，2，1），B（0，1，2），C（3，1，1），若平⾯ABC 的⼀个法向量为＝（x，y，1），则＝
（
）
A．
B．
C．
D．
4．在空间直⻆坐标系中，
为直线l 的⼀个⽅向向量，
为平⾯α的⼀个法向
量，且l∥α，则t＝（
）
A．3
B．﹣3
C．1
D．﹣1
5．已知平⾯
为平⾯α的⼀个法向量，则下列向量是平⾯β的⼀个法向量的是
（
）
A．（1，﹣2，3）
B．（3，﹣1，2）
C．（1，2，﹣3）
D．
题型49：空间向量证明平⾏与垂直
6．如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，△ABC 为等边三⻆形，AB＝2A1B1＝4，AA1⊥平⾯ABC，点M，N，D 分
别为AB，AC，BC 的中点，A1B⊥AC1．
（Ⅰ）证明：CC1∥平⾯A1MN；
7．如图，在棱⻓为1 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G 分别是DD1，BD，BB1的中点．
（1）求证：EF⊥CF；
8．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，若A1A⊥⾯ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝3，A1C1＝1，空间中D，
E 两点分别满⾜
，
．
（Ⅰ）证明：DE∥平⾯ABB1A1；
9．如图，AB∥CD 且CD＝2AB，AD⊥CD，EG∥AD 且AD＝2EG，FG∥CD 且FG＝CD，DG⊥平⾯ABCD，
AD＝CD＝DG＝2，M 为棱FG 的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平⾯CEM；
题型50：空间向量求线线夹⻆
1．在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1 中，底⾯ABCD 为平⾏四边形，侧⾯ADD1A1 为等腰梯形，且侧⾯ADD1A1
⊥底⾯ABCD，AB＝BD＝3，AD＝2，A1B1＝1，A1D1与BC 的距离为
，点E，F 分别在棱AB，CC1
上，且
，
．
（1）求证：EF∥平⾯ADD1A1；
（2）求四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的⾼；
（3）求异⾯直线A1C1与EF 所成的⻆的余弦值．
2．如图，已知圆锥的底⾯半径r＝2，经过旋转轴SO 的截⾯是等边三⻆形SAB，点Q 为半圆弧
的中点，
点P 为⺟线SA 的中点．
（1）求此圆锥的侧⾯积；
（2）求异⾯直线PQ 与SO 所成⻆的余弦值．
3．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC＝2，M 是棱CC1上的中点．
（1）求证：AM⊥BD；
（2）异⾯直线AM 与B1C1所成⻆的余弦值．
4．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底⾯的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，
M，N 分别为A1B1，A1A 的中点．
（1）求直线BN 和直线CB1所成⻆的余弦值．
（2）求点B1到平⾯C1MN 的距离．
5．如图，四边形ABCD 为菱形，PB⊥平⾯ABCD．
（1）证明：平⾯PAC⊥平⾯PBD；
（2）若PA⊥PC，⼆⾯⻆A﹣BP﹣C 的⼤⼩为120°，求PC 与BD 所成⻆的余弦值．
题型51：空间向量求线⾯夹⻆
6．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，点Q 为PD 的中点，PA ⊥底⾯ABCD ，平⾯PAB ⊥平⾯
．
（1）证明：AB⊥BC；
（2）若AC＝AD，求直线CQ 与平⾯PBC 所成⻆的正弦值．
7．如图，BCFE 是平⾏四边形，AEFD 是梯形，
，EF＝2AE，CF＝2，DF⊥EF，CD⊥平⾯AEFD，
⼆⾯⻆B﹣EF﹣D 的平⾯⻆是
．
（1）求多⾯体AEFDBC 的体积；
（2）求直线AB 与平⾯ACF 的夹⻆的正弦值．
8．如图，等腰梯形ABED 的⾼为2，AB∥DE，AB＝3DE＝6，C 是AB 上靠近A 的三等分点，如图①所示，
将△ACD 沿DC 折起到△A1CD 的位置，使得A1C⊥CB，如图②所示，点M 在棱A1B 上．
（1）求证：直线A1C⊥平⾯BCDE；
（2）若M 是A1B 的中点，求直线DM 与平⾯A1BE 所成⻆的正弦值；
（3）若平⾯DCM 与平⾯A1BE 所成的锐⼆⾯⻆为45°，求
的值．
9．如图1，在平⾏四边形ABCD 中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°，E 为CD 的中点．将△ADE 沿AE 折起，
连接BD 与CD，如图2．
（1）当BD 为何值时，平⾯ADE⊥平⾯ABCE？
（2）设
，当BE⊥DE 时，是否存在实数λ，使得直线AF 与平⾯ABCE 所成⻆
的正弦值为
？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
（3）当三棱锥B﹣CDE 的体积最⼤时，求三棱锥D﹣ABE 的内切球的半径．
10．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，
，
．
（1）求证：A1D⊥BE；
（2）求直线A1D 与平⾯BDE 所成⻆的正弦值．
11．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥⾯ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝2
，PA＝1，AB⊥
BC，E，F 分别为PD，BC 的中点．
（1）求证：EF∥平⾯PAB；
（2）在线段PD 上是否存在⼀点M，使得直线CM 与平⾯PBC 所成⻆的正弦值是
？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由；
（3）在平⾯PBC 内是否存在点H，满⾜
＝0，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H
的轨迹图形形状．
12．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，平⾯PAC⊥平⾯ABC，AB⊥BC，
，△PAC 是等边三⻆形，O
为AC 的中点，M 为BC 的中点．
（1）求证：PO⊥平⾯ABC；
（2）求直线PC 与平⾯PAM 所成⻆的正弦值．
题型52：空间向量求⼆⾯夹⻆
13．如图1，在平⾏四边形ABCD 中，D＝60°，DC＝2AD＝2，将△ADC 沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，
且PC⊥BC，连接PB 得三棱锥P﹣ABC，如图2．
（1）证明：平⾯PAB⊥平⾯ABC；
（2）在线段PC 上是否存在点M，使平⾯AMB 与平⾯MBC 的夹⻆的余弦值为
，若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由．
14．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 为梯形，AB∥CD，CD⊥BC，AB＝2CD＝4，BD＝BP，△PCD
为等边三⻆形．
（1）证明：BC⊥平⾯PCD．
（2）若△ABD 为等边三⻆形，求平⾯PBD 与平⾯PAD 夹⻆的余弦值．
15．已知正⽅形ABCD 和矩形ACEF 所在的平⾯互相垂直，AB＝2，AF＝1，点M 在线段EF 上．
（Ⅰ）若M 为EF 的中点，求证：AM∥平⾯BDE；
（Ⅱ）求⼆⾯⻆A﹣DF﹣B 的正切值；
（Ⅲ）证明：存在点M，使得AM⊥平⾯BDF，并求
的值．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平⾯ABCD，底⾯ABCD 是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．
（1）求证：直线BD⊥平⾯PAC；
（2）若点M 为线段PC 的中点，求⼆⾯⻆C﹣MB﹣A 的正弦值．
17．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2
，AA1＝5，D 为AC 中点，且∠ABD＝30°，BE
＝
．
（1）求证：BD⊥A1F；
（2）求平⾯AEF 与平⾯A1EF 夹⻆的余弦值．
题型53：空间向量求点⾯距离
1．如图，在平⾏四边形ABCD 中，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°，E 为CD 的中点，沿AE 将△DAE 翻折⾄△
PAE 的位置得到四棱锥P﹣ABCE，且PB＝2．若F 为棱PB 的中点，则点F 到平⾯PCE 的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在棱⻓为1 的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为线段DD1的中点，F 为线段BB1的中点，则直线
AE 到平⾯C1DF 的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是边⻓为2 的正⽅形，PA⊥平⾯ABCD，Q 为棱PD 的中点．
（1）求证：PB∥平⾯ACQ；
（2）已知AQ⊥PC．
①求直线PC 与平⾯ACQ 所成⻆的正弦值；
②求点P 到平⾯ACQ 的距离．
4．在三棱锥P﹣ABC 中，平⾯PAB⊥平⾯ABC，
，BC＝2，AC＝4，△PAB 是等腰直⻆三⻆形，
PA＝PB．
（1）求证：PA⊥平⾯PBC；
（2）求异⾯直线PB 与AC 的夹⻆的余弦值；
（3）设点T 是三棱锥P﹣ABC 外接球上⼀点，求T 到平⾯PBC 距离的最⼤值．
5．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底⾯ABCD 是正⽅形，D1D⊥平⾯ABCD，D1D＝2，AB＝6，A1B1
＝3．
（1）求证：A1A∥平⾯C1BD；
（2）求直线A1A 到平⾯C1BD 的距离；
6．在如图所示的⼏何体中，四边形ABCD 为矩形，AF⊥平⾯ABCD，EF∥AB，其中AD＝2，AB＝AF＝2EF
＝1，P 是棱DF 的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平⾯APC；
（Ⅱ）求直线DF 与平⾯APC 夹⻆的正弦值；
（Ⅲ）求点E 到平⾯APC 的距离；
题型54：空间向量存在性问题探讨
7．如图1，在平⾯四边形BCDP 中，PD∥BC，BA⊥AD，垂⾜为A，PA＝AB＝BC＝2AD，将PAB 沿AB 翻
折到△SAB 的位置，使得平⾯SAB⊥平⾯ABCD，如图2 所示．
（1）设平⾯SCD 与平⾯SAB 的交线为l，证明：BC⊥l．
（2）在线段SC 上是否存在⼀点Q（点Q 不与端点重合），使得⼆⾯⻆Q﹣BD﹣C 的余弦值为
，若
存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，平⾯PDC⊥平⾯ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，
CD＝AD＝1，M 为
棱PC 的中点．
（Ⅰ）证明：BM∥平⾯PAD；
（Ⅱ）若
，PD＝1，
（i）求⼆⾯⻆P﹣DM﹣B 的余弦值；
（ii）在线段PA 上是否存在点Q，使得点Q 到平⾯BDM 的距离是
？若存在，求出PQ 的值；若不
存在，说明理由．
9．如图，四棱锥A﹣BCDE 中，平⾯ABC⊥平⾯BCDE，△ABC 是边⻓为2 的等边三⻆形，底⾯BCDE 是
矩形，且
．
（Ⅰ）若点G 是AE 的中点，
（i）求证：AC∥平⾯BDG；
（ii）求直线DG 与平⾯ABC 所成⻆的正弦值；
（Ⅱ）在线段AB 上是否存在⼀点F，使⼆⾯⻆B﹣CE﹣F 的⼤⼩为
．若存在，求
的值；若不存在，
请说明理由．
10．如图，在正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，点E 在棱AB 上，且AE＝1．
（1）求三棱锥D1﹣A1CE 的体积；
（2）在线段B1C1上是否存在点F，使得BF∥平⾯A1CE？若存在，求
的值；若不存在，请说明理
由．
（3）求⼆⾯⻆A1﹣CE﹣A 的余弦值．
11．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，△PBC 为等边三⻆形，底⾯ABCD 是矩形，平⾯PBC⊥平⾯ABCD，O，
E 分别为线段BC，PA 的中点，点F 在线段PB 上（不包括端点）．
（1）若
，求证：点O，D，E，F 四点共⾯；
（2）若BC＝2AB＝2，是否存在点F，使得EF 与平⾯PCD 所成⻆的正弦值为
，若存在，求出
，
若不存在，请说明理由．
12．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
，侧⾯BB1C1C 是正⽅形，D 为BC 的中点，⼆
⾯⻆A﹣BC﹣B1的⼤⼩是
．
（1）求证：平⾯AA1D⊥平⾯ABC；
（2）线段BC 上是否存在⼀个点E，使直线C1E 与平⾯ACC1A1所成⻆的正弦值为
．若存在，求出
BE 的⻓；若不存在，请说明理由．
