文档文本内容
第08 讲 函数模型及其应用
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 二次函数模型应用.....................................................................................................................2
题型02 分式型函数模型应用.................................................................................................................3
题型03 分段函数模型应用.....................................................................................................................4
题型04 指数函数模型应用
...............................................................................................................5
题型05 对数函数模型应用
...............................................................................................................6
题型06 幂函数模型应用.........................................................................................................................6
题型07 函数模型的选择
...................................................................................................................7
题型08 构造函数模型解决实际问题
...............................................................................................9
重难·创新演练......................................................................................................................................................10
真题·实战演练......................................................................................................................................................12
模拟·基础演练
考查重点：本专题着重考查二次函数、分式函数、分段函数、指数函数、对数函数、幂函数等主流
函数模型，结合生产生活、工程技术等真实背景，考查学生提取信息、建立数学模型，并完成计算、
推理与综合分析的能力。
题型01 二次函数模型应用
1．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线
的一部分（如图所示），若命中篮环中心，
则他与篮底的距离t 是（ ）
A．3.5 B．4m C．4.5m D．4.6m
2.某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为米，宽度为米.根据城市规划要求，
米，且充电桩间隔距离需满足
.为使充电区有效面积最大，应选择的尺寸是（ ）
A．
米，
米 B．
米，
米
C．
米，
米 D．
米，
米
3．
年
月
日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交
万颗低轨卫星频轨资源申请，
年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一
号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在
近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从
年起全面发售.经测算，生产该高级设
备每年需投入固定成本
万元，每生产百台高级设备需要另投成本
万元，且
，
.每百台高级设备售价为
万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大
为
台.
(1)求企业获得年利润
（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
题型02 分式型函数模型应用
4．现在要装修一间高为4 米，底面积为30 平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那
面长为米（
）.现有
两支装修队给出了报价，A 的报价方案为：有窗的墙体每平方米300 元，
普通的三面墙体每平方米200 元，屋顶和地面以及其他共计18000 元；B 给出总价为
万元（
）.若B 要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______.
5．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（
）万元，则该材料的销售量可增加
吨，每吨的销售价格为
万元，另外生产p 吨该材料还需要投入其他成本
万元.
(1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x 之间的函数关系式；
(2)当x 为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元?
6．（25-26 高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八
边形休闲广场，其中两个相同的矩形
和
构成的十字形区域总面积为
.中心正方形
区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为
2100 元
；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价
为
105 元
；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造
价
为40 元
.设总造价为
（单位：元），
（单位：m）.
(1)设
长为
（单位：m），用表示
，并求出的取值范围；
(2)
取何值时可使总造价最低，并求出最低造价.
题型03 分段函数模型应用
7.一种细胞的分裂速度v（单位：个/秒）与其年龄t（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：
其中
.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞
5 岁和60 岁的分裂速度相等，则
（ ）
（参考数据：
）
A．6.402
B．6.463
C．6.502
D．6.522
8.漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌
止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后
的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y 满足函数关系
，其中m，a 为常数．已知采
用该种保鲜方法后，杨梅采摘10 小时之后失去
的新鲜度，采摘40 小时之后失去
的新鲜度．如今
我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于
，则物流时
间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：
）（ ）
A．20 小时
B．25 小时
C．28 小时
D．35 小时
9.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量
(单位：百件)关于每件衣服的利润(单位：元)的函数解
析式为
， 则当该服装厂所获效益最大时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：
某珍稀水果树的单株产量
（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：
肥料成本投入为
元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计
元．
已知这种水果的市场售价大约为21 元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为
（单位：
元）．
(1)写出单株利润
（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式．
(2)若施用肥料
千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
题型04 指数函数模型应用
11．（多选）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系
（
为常数）．若该食品在
的保鲜时间是192 小时，在
的保鲜时间是48 小时，则下列
关于该食品保鲜的描述正确的是（ ）
A．
B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在
的保鲜时间是96 小时
D．在
的保鲜时间是24 小时
12.（2026·浙江·模拟预测）古生物学家经常利用碳14 的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存
时，其体内的碳14 含量会保持在一定的水平，设为
.当生物体死亡后，碳14 会发生衰变，且碳14 含量
随时间（单位：年）的变化规律满足
，其中
是衰变常数.已知碳14 的半衰期约为
5730 年，即每经过5730 年，碳14 含量就会变为原来的
.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古
生物化石碳14 含量为
.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致
范围是（ ）
（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
13．（多选）某元素的原子核带有放射性，会发生衰变．若样本中该元素的质量
随时间（单位：年）
的衰变规律满足关系式
，其中
表示该元素原有的质量，则下列说法正确的有（ ）
（参考数据：
）
A．经过
年后，样本中的该元素会全部消失
B．样本中该元素的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用时间称作半衰期）为
年
C．经过
年后，样本中的该元素的质量变为原来的
D．若年后，样本中该元素的质量为
，则
14．我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强
（单位：
）随高度（单位：
）的变化满足指数衰减规律：
，其中
为海平面处的大气压强，k 为常量．已知在高度为
处，大气压强为海平面处的
，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的
，则当前高度
约为（ ）
A．150 km
B．100 km
C．175 km
D．125 km
15．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10 元.已知日销售量与每盒
售价（元）满足关系式：
，其中p 为每盒售价
，
为每日销量.
若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（ ）
A．17.9 元
B．18.9 元
C．19.9 元
D．20.9 元
题型05 对数函数模型应用
16．我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I 的声波，音量的计算公式是
，这里常数
是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB 时的声音强度I 是10dB 时声音强
度
的（ ）
A．2 倍
B．4 倍
C．10 倍
D．100 倍
17．（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．
当损失值低于初始损失值的
时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值
（
为初始损失值，t 为训练轮次，k 为衰减系数），已知训练到第10 轮时（当
时），训练损失值降至
初始损失值的
，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据
）（ ）
A．24
B．35
C．47
D．100
18.根据火箭理想速度公式
，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：
），其中
（单位：
）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进
剂与火箭质量的总和，
应称为总质比．已知A 型火箭喷流相对速度为
，根据以上信息：
（1）当总质比为50 时，A 型火箭的最大速度为
；
（2）若经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到原来的2 倍，总质比变为原来的
，
若要使火箭的最大速度至少增加
，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 ．
（所有结果保留整数，参考数据：
）
题型06 幂函数模型应用
19.2020 年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻
坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021 年初有资金150
万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10 万元．若要实现2024 年初的资金达到270 万元的
目标，资金的年平均增长率应为（参考值：
）（ ）
A．10%
B．20%
C．22%
D．32%
20.遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述
了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中
掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学
利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率
与初次记忆经过的时间
（小时）的大致关系：
，若陈同学需要在明天15 时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大
约在（ ）（参考数据:
）
A．14：30
B．14：00
C．13：30
D．13：00
21.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力
满足公式
，其中
是空气密度，是该飞行
器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度，
是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反
映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率
. 当
不变，比原来提高
时，下列说法
正确的是（ ）
A．若
不变，则
比原来提高不超过
B．若
不变，则
比原来提高超过
C．为使
不变，则
比原来降低不超过
D．为使
不变，则
比原来降低超过
题型07 函数模型的选择
22.（多选）新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必经之
路.某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019 年该企业新能源汽车的销售量逐月平
稳增长，1，2，3 月份的销售量分别为1.2 千台、1.4 千台、1.8 千台，为估计以后每个月的销售量，以这三
个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y（单位：千台）和月份x 之间的函数关系，有以
下两个函数模型可供选择：①
；②
.如果4 月份的销售量为
2.3 千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．选择
作为模拟函数
D．估计5 月份的销售量为4.2 千台
23.舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来
自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题
的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于
，则认为
本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3 天的舆
论场指数整理成如下表格：
天数
1
2
3
舆论场指数
12
48
156
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①
；②
；
③
其中含的项的系数均不为0.
(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4 天时的舆论场指数；
(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.
24．某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100 万元，全部用于甲、乙两种产品
的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润
（单位：万元），乙产品的利润
（单位：
万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示.
万元)
4
9
16
25
万元)
28
33
40
49
万元)
30
42
54
66
(1)根据以上表格中的数据判断：①
；②
；③
；④
，上述
四个模型哪两个更适宜分别作为
与
关于的函数模型？（不需要说明理由）
(2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式；
(3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？
题型08 构造函数模型解决实际问题
25.（25-26 高三下·四川成都·阶段检测）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型
知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练
个单位的数据量所需的时间
（单位：），其中
为常数.在此条件下，训练200000 个单位的数据量与训练2000 个单位的
数据量所需的时间之差为
，当训练
个单位的数据量所需的时间为
时，
（ ）
A．10000
B．15000
C．20000
D．30000
26．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型
（其中
y 为感染人数，
为初始感染人数，k 为传播系数，t 为发现疫情后的天数，e 为自然对数的底数）．已知
发现疫情第1 天感染人数为120 人，第3 天感染人数为270 人．若感染人数达到1000 人时需要启动紧急防
控预案，则最迟应在发现疫情后第（ ）天启动．（参考数据：
，
，
）
A．6
B．7
C．8
D．9
27．如图，某大学将一矩形ABCD 操场扩建成一个更大的矩形DEFG 操场，要求A 在DE 上，C 在DG 上，且
B 在EG 上．若
米．
米，设
米（
）．
(1)要使矩形DEFG 的面积大于2700 平方米，求x 的取值范围；
(2)当DG 的长度是多少时，矩形DEFG 的面积最小？并求出最小面积．
28.数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全
要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G 通信
等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工
智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000 万元；②
材料成本：
万元，x 为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为
万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如
何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400 万元？附：利润＝售价×销量－成本.
重难·创新演练
设题创新: 题目紧密结合人工智能、航天科技、生态环保、日常民生等前沿热点创设全新情境，打
破传统出题形式，侧重考查知识迁移、逻辑思考以及运用函数模型解决复杂实际问题的综合能力。
1．（2026·湖南怀化·二模）某AI 大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为
，经过t 年后算力为P，
则P 与t 的函数关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·吉林·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：
）关于时
间（单位：）的函数解析式为
（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为
，若从
到
，水面高度下降了
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
3．【新情境】（2026·山东聊城·模拟预测）某新能源汽车研究机构发现，A 款电动汽车的保值率（即使用t
年后的二手车价格与新车指导价的比值）P 随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：
，其中，a 和b 为常数.已知A 款电动汽车使用2 年后保值率为
，使用4 年后保值率为
.
若该车的保值率低于
即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?
（参考数据：
，
）（ ）
A．5 年
B．6 年
C．7 年
D．8 年
4．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率
（单位：次
）与体重
（单位：kg）、外界环境温度
（单位：℃）有关，满足
（为常数）．已
知在环境温度为
时，
为两个睡眠中的恒温动物，
的体重为
、脉搏率为210 次
，
的脉搏率是105 次
，则
的体重为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力
（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）
满足饱和增长模型：
，其中
为该中心最大理论算力.已知投入2 万片芯片时，算力
，若要求算力
，则芯片投入量至少为（ ）
A．3 万片
B．4 万片
C．5 万片
D．6 万片
6．【新载体】（2026·河南·三模）一款运动APP 测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分
钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足
，其
中为正整数，
表示不超过的最大整数.当
时，心率为120 次/分钟，当心率不低于90 次/分钟时，
身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60 次/分钟，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
的最大值为124
C．该运动员第9 分钟时恢复到静息心率
D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟
7．【新设问】某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修
排气扇恢复正常，每排气4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的
.由检验知该地下车库一氧化碳
浓度
（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系
，其中
（
为常数）.已知空气
中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，人可以安全进入车库.若刚好经过
（分钟），人就可以
安全进入车库了，则（ ）
A．
B．
C．
D．排气12 分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm
8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大
于或者等于
且小于
认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员
喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
. 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会
以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈
0.48，1g7 ≈ 0.85）
9．【新思维】为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x 年底光伏
太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型
，其中N 为饱和度，
为初始值，p 为年
增长率．若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20 万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为
，饱和度为1020 万块，那么2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约__________万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：
，
，
）
10．【新模型】（2026·江苏·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量
（单位：拷
贝数/升）与时间（小时）的关系为
，其中
，
为初始病毒载量，则病毒载量在
_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1 小时衰减为原来的
倍，当低于
时不具传染性，则从
起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时．
真题·实战演练
高频考点：分段函数、指数函数、对数函数、幂函数和分式函数是本板块高频考查内容，相关题型
分布广、出现频次高，也是解答实际应用题、创新题型的核心知识点。
1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形
是一块边长为
的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀
的区域，其余部分完好，曲线
为以
为对称轴的抛物线的一部分，
．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料
，当其面积有最大值时，
的长
为__________．
