文档文本内容
第07 讲 机械能及其守恒定律模型
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目录
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模型一 机车启动模型
模型二 动能定理解决多过程综合问题
模型三 机械能守恒定律在曲线运动中的应用
模型四 机械能守恒定律在连接体系统中的应用
模型五 机械能守恒定律在弹簧系统中的应用
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模型建构
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✡模型一 机车启动模型
模型剖析
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1.以恒定功率启动
(1)过程分析
(2)此过程的P-t 图像和v-t 图像
2.以恒定加速度启动
(1)过程分析
(2)此过程的P-t 图像和v-t 图像
3.总结提升
（1）P=Fv 中三个物理量的制约关系：P 一定时，v 越大，F 越小；F 一定时，v 越大，P 越大。
（2）额定功率与实际功率：额定功率指发动机正常工作时的最大功率，实际功率指发动机实际输出的功
率，一般小于额定功率。最大速度vm= P额
f
。
模型特训
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【典例1】（2026·河北·高考真题）我国科技爱好者复原了春秋战国时期带有刃车軎（wéi）的马车；并
对其性能进行了测试。在t1−t2时间内，若马车以恒定功率在水平路面上沿直线运动，速度从v1加速到v2
，假定马车所受阻力不变，则马车运动的v −t图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2026·福建漳州·三模）（多选）在火星探测中，火星车“祝融号”沿水平直线运动的
v −t图像如图所示。火星车从静止开始匀加速启动，经过时间t1速度达到4cm/s，此时功率为6W，之后恒
功率加速，t2时刻达到最大速度vm并匀速运动一段时间。关闭动力后经0.144s 停止运动。已知火星车所受
阻力f =100 N恒定，则火星车（ ）
A．最大速度vm =6cm /s
B．质量m=240kg
C．在0∼t1时间内所受合力为150N
D．在t1∼t2时间内的平均速度为5cm/s
【变式1-2】（2026·四川资阳·三模）如图甲所示，电动机通过绕过定滑轮的轻细绳，与放在倾角为
θ =30°足够长的光滑斜面上的物体相连，启动电动机后物体沿斜面上升；在0~6s时间内物体运动的v −t
图像如图乙所示，其中除1~5s时间段图像为曲线外，其余时间段的图像均为直线，1s后电动机的输出功
率保持不变；已知物体的质量为2kg，不计一切摩擦，重力加速度g取10m/s
2。下列说法正确的是
（ ）
A．在0~6s内电动机牵引力大小处于0~10 N范围内
B．1s后电动机的输出功率为50 W
C．物体达到的最大速度vm大于10 m/s
D．0~5s内物体沿斜面向上运动了35m
✡模型二 动能定理解决多过程综合问题
模型剖析
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1.应用动能定理解决多过程问题的两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不
同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看
作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大减少运算。
2.全过程列式时要注意
(1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。
(2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。
模型特训
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【典例1】（2026·福建龙岩·三模）如图所示，竖直平面内固定的圆弧轨道BCD 和圆管轨道DE 在D 处平
滑连接，O 为圆弧圆心，半径均为R =0.8 m，C 点和E 点分别是轨道的最低点和最高点，OB 和OD 连线与竖
直直径的夹角分别为60°和37°，BF 是与轨道共面的倾角为α（α 未知）的直线，在该直线上某点A 将
一质量为m=0.08kg的小球以某一初速度水平抛出，恰好从B 点沿圆弧轨道的切线进入轨道，经过C 点时
速度大小为4m/s。已知小球直径略小于圆管内径，且远小于圆弧半径，不计轨道摩擦和空气阻力，
sin37
∘=0.6，cos37
∘=0.8，g=10 m /s
2。求：
(1)小球经过C 点时对轨道压力的大小；
(2)小球平抛初速度v0的大小；
(3)若从直线BF 上水平抛出的小球均能从圆弧轨道的B 点沿切线进入轨道，且小球能够到达E 点，则抛出
点到B 点的竖直高度h 的最小值是多少。
【变式1-1】（2026·安徽·模拟预测）如图，位于竖直平面内、半径R =1m的1
4
圆弧形光滑绝缘轨道AB
固定在水平面，其下端点B与水平绝缘轨道BC相切，水平轨道BC与倾角为53°、固定在水平面的绝缘斜
轨道在C点平滑连接，斜面顶端固定一轻质弹簧（弹簧也由绝缘材料制成）。整个轨道处在水平向左的匀
强电场中，电场强度E =5×10
3 N /C。现有一质量为m=0.2kg、带电荷量q =+3×10
−4C的小滑块（可视
为质点）从A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点。已知水平
轨道BC长为0.1m，斜轨道上CD长为0.05 m，滑块与水平轨道和斜轨道间的动摩擦因数均为μ=0.1，重力
加速度g=10 m /s
2，sin53° =0.8，cos53° =0.6，求：
(1)小滑块第一次经过圆弧形轨道最低点B时对轨道的压力大小；
(2)弹簧的最大弹性势能；
(3)小滑块在水平轨道上运动的总路程。
【变式1-2】（2024·浙江金华·二模）某轨道模型如图所示，AB 为弧形轨道，在B 处与水平轨道BH 平滑
相接。CDE 为半径R =0.1m的圆形轨道，C、E 略微错开。FG 段为以v0=3 m /s顺时针旋转的长度L1=2m的
传送带。水平轨道末端H 处放置长度L2=2m，质量M =0.3kg的木板。质量m=0.1kg可视为质点的滑块
从距水平轨道高h 处滑下，与传送带动摩擦因数μ1=0.1，与木板动摩擦因数μ2=0.3，其余摩擦很小均不
计，重力加速度g=10 m /s
2，求：
(1)滑块恰好能过圆轨道最高点时，下落高度h1和此时通过传送带上G 点速度v。
(2)滑块恰好不滑离木板时，下落高度h2。
(3)若滑块能顺利通过圆轨道，求滑块与木板摩擦产生的热量Q 与滑块下落高度h 的关系。
✡模型三 机械能守恒定律在曲线运动中的应用
模型剖析
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守恒前提
只有重力做功，轨道光滑、支持力不做功。
包含三类曲线场景：
1.抛体运动（平抛、斜抛）：只用守恒求速率，避开运动分解
2.光滑圆弧 / 曲面轨道滑行：轨道末端常衔接平抛综合计算
3.竖直圆周运动（轻绳内侧轨道、轻杆 / 圆管轨道）：本模型重难点
标准解题组合
圆周极值点（最高点、最低点）列向心力牛顿方程 + 两点间列机械能守恒方程联立求解
守恒列式两种用法
1.设定零势能面：Ek 1+ E p1= Ek 2+ E p2
2.变化量形式：−Δ E p= Δ Ek（重力势能减少量 = 动能增加量）
模型特训
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【典例1】（2026·湖北·高考真题）（多选）如图所示，半径为R、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平
面内。初始时刻，质量为m 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为v0= ❑√2 gR（g为重力加速度大小）的
水平初速度向右运动，同时质量为2m的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第
一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．乙的初速度大小为3 ❑√gR
B．甲、乙两小球运动的周期相等
C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心
D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零
【变式1-1】（2026·山东济宁·三模）如图所示，光滑斜面AB、水平传送带BC、光滑水平面CD和两
个半径为R的光滑四分之一圆管轨道顺次平滑连接。现有一可视为质点的小滑块从斜面上距传送带h高处
由静止释放，通过传送带和CD后，进入圆管轨道。已知传送带BC长L=2m且以v0=1m /s顺时针转动，
CD长s=1m，R =0.4 m，小滑块的质量m=0.2kg，小滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，忽略空气阻
力，重力加速度大小g=10 m /s
2。
(1)若小滑块恰好到达圆管轨道最高点E，求小滑块在D点受圆管轨道的支持力大小和释放高度h；
(2)若CD段粗糙，小滑块与CD段的动摩擦因数记为μ1，小滑块从斜面上距传送带高度h=1.5 m处由静止
释放，最终停在CD的中点，求：
①若小滑块只经过C点一次，μ1的可能值；
②若小滑块能经过C点多次，μ1的可能值。
【变式1-2】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，半径R =0.75m的光滑圆弧轨道的底端与水面相
切，轨道上端点P 和圆心O 的连线与水平面成θ =37
∘角。将质量m=0.5kg的小物块A 以v0=3 m /s速度向
左水平抛出，恰好从P 点沿切线进入圆弧轨道，当A 运动到圆弧轨道的底端时，与静止在该处的小物块B
发生弹性碰撞，碰后A 返回圆弧轨道，恰好能上升到与圆心等高的Q 点。重力加速度取g=10 m /s
2，
sin37
∘=0.6，cos37
∘=0.8。求：
(1)小物块A 抛出点离地面的高度；
(2)小物块A 通过P 时对轨道的压力大小；
(3)小物块B 的质量。
✡模型四 机械能守恒定律在连接体系统中的应用
模型剖析
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1.注意点
(1)注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的
机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
2.几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v=ωr 知，v 与r 成正比。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
模型特训
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【典例1】（2026·河北保定·二模）如图，质量均为m 的小球A、B 用一根长为l 的轻杆相连，竖直放置
在光滑的水平面上，质量也为m 的小球C 紧挨着小球B 放置在水平面上，扰动小球A 使其向左倾倒，小球
A、B、C 在同一个竖直面内运动，B 与C 分离后小球C 的速度为v。取水平面为零势能面，重力加速度为
g。下列说法正确的是（ ）
A．B、C 分离前小球C 先加速后减速
B．B、C 分离时小球A 的机械能为mgl−m v
2
C．直到A 球落地的整个过程中，轻杆对小球B 做的功为1
4 m v
2
D．小球A 落地时动能为1
8 m v
2
【变式1-1】（2026·海南海口·二模）（多选）如图所示，细绳绕过定滑轮连接小球a和小球b，小球a
固定在轻质细杆的一端，细杆可绕O轴自由转动，整个装置静止时，杆和绳与竖直方向的夹角均为30°。
现施加外力抬高小球a位置，使轻杆水平，（如图中虚线位置），然后由静止释放，不计一切摩擦，细绳
足够长。则杆向下转动60°的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球a和小球b的质量之比为❑√3:1
B．小球a和小球b的动能之和先增大后减小
C．图示位置时，小球a和小球b的速度之比为❑√3:2
D．图示位置时，小球a和小球b的重力功率之比为1:1
【变式1-2】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图所示，滑块a、b 的质量均为m，a 套在固定竖直杆上，
与光滑水平地面相距h，b 放在地面上。a、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、
b 可视为质点，重力加速度大小为g，则（ ）
A．a 落地前，轻杆对b 先做负功后做正功
B．a 落地时速度大小为❑√2 gh
C．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为2mg
✡模型五 机械能守恒定律在弹簧系统中的应用
模型剖析
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系统能量构成
系统机械能 = 物体动能 + 重力势能 + 弹簧弹性势能
两大基础题型
1.竖直弹簧系统：物体压缩 / 拉升弹簧，分析原长点、最高点、最低点能量转化
2.水平弹簧系统：滑块压缩弹簧、弹簧弹开滑块
核心临界结论
两物体与弹簧相连相互作用时，弹簧最长、最短时刻两物体共速，弹性势能达到最大值。
守恒条件
接触面光滑无摩擦力，只有重力和弹簧弹力做功。
模型特训
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【典例1】（2026·天津南开·二模）如图所示，质量为2m 的物块P 静止在光滑水平地面上，其右侧表面
是半径为R 的1
4
光滑圆弧轨道，圆弧轨道下端与水平地面相切。物块P 右侧静止有质量为m 的球b，球b 左
侧固定有轻弹簧。将质量为m 的球a 从圆弧轨道最上端静止释放，球a 离开物块P 后与轻弹簧左侧接触并
粘连。已知重力加速度为g，弹簧的形变始终在弹性限度内。求：
(1)若物块P 固定，整个运动过程中弹簧的最大弹性势能Ep；
(2)若物块P 不固定，球a 离开物块P 瞬间速度va的大小，及球b 能达到的最大速度vb的大小。
【变式1-1】（2025·山东·高考真题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、
Q 分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P 处轨道的切线沿水平方向，Q 处轨道的切线沿竖直方向。小物
块a、b 用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b 被锁定。一质量m= 1
2 kg的小球自Q 点正上方h=2m处自由下
落，无能量损失地滑入轨道，并从P 点水平抛出，恰好击中a，与a 粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到
F =15 N时，b 解除锁定开始运动。已知a 的质量ma=1kg，b 的质量mb= 3
4 kg，方形物体的质量M = 9
2 kg
，重力加速度大小g=10 m /s
2，弹簧的劲度系数k =50 N / m，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表
达式Ep= 1
2 k x
2（x 为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P 点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小v1、v2；
(2)弹簧弹性势能最大时，b 的速度大小vb及弹性势能的最大值Epm。
【变式1-2】（2026·浙江·二模）如图甲，劲度系数为k 的轻弹簧下端悬挂薄板A，A 静止。带孔薄板B
套于弹簧且与弹簧间无摩擦，A、B 质量相同，B 从A 上方h 高度处由静止释放，A、B 碰撞时间极短，碰后
粘在一起下落3l 后速度减为零，以A、B 碰撞位置为坐标原点O，竖直向下为正方向建立x 轴，A、B 整体
的重力势能随下落距离x 变化图像如图乙中Ⅰ所示，弹簧的弹性势能随下落距离x 变化图像如图乙中Ⅱ所
示，重力加速度为g，则（ ）
A．薄板A 的质量为kl
2 g
B．薄板B 下落的高度h 为2l
C．碰撞后两薄板的最大速度为❑√3 gl
D．碰撞后两薄板上升的最大高度在O 上方l 处
