文档文本内容
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第20 讲 机械能及机械能守恒定律
目录
考情探究...........................................................................................................................
知识梳理...........................................................................................................................
探究核心考点...................................................................................................................
考点一 机械能的理解....................................................................................................................
考点二 机械能守恒的理解与判断................................................................................................
考点三 单物机械能守恒问题........................................................................................................
考点四 多物体的机械能守恒问题................................................................................................
三阶突破训练...................................................................................................................
基础过关..........................................................................................................................................
能力提升..........................................................................................................................................
真题感知..........................................................................................................................................
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年北京卷，第7 题
2025 年河北卷，第7 题
机械能的理解
万有引力
向心力
动能定理
2021 年全国乙卷，第1 题
2023 年全国甲卷，第1 题
机械能守恒的判断
平抛
动量守恒定律
2021 年浙江卷，第21 题
2021 年海南卷，第2 题
单物机械能守恒
匀变速直线运动规律
牛顿第二定律
1
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2022 年全国乙卷，第3 题
2024 年全国甲卷，第4 题
2024 年湖北卷，第14 题
2025 年安徽卷，第14 题
传送带
平抛
向心力
动能定理
碰撞
动量守恒定律
2022 年全国乙卷，第12 题
2023 年全国甲卷，第11 题
2023 年湖南卷，第15 题
2024 年湖南卷，第15 题
2024 年江苏卷，第8 题
多物机械能守恒
平抛
弹性碰撞
动量守恒定律
人船模型
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本讲内容是新高考卷的必考内容。本类试题经常与动量知识相互综合。与动量综合时，常以
碰撞模型出现。要求体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
【备考策略】1.理解、掌握机械能的特点。
2.理解、掌握机械能守恒定律。
3.具备数形结合的思想意识。
4.能应用机械能守恒定律解决实际问题。
【命题预测】本讲内容是新高考卷的必考内容，可选择、可实验、可计算。
一、机械能守恒的判断
1．重力做功与重力势能的关系
(1)重力做功的特点
①重力做功与路径 ，只与始末位置的高度差有关．
②重力做功 引起物体机械能的变化．
(2)重力势能
①表达式：Ep＝ .
②重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与 的选取有关，但重力势能的变化与参考平
面的选取 ．
(3)重力做功与重力势能变化的关系
2
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重力对物体做正功，重力势能 ；重力对物体做负功，重力势能 ．即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
2．弹性势能
(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：
弹力做正功，弹性势能 ；弹力做负功，弹性势能 ．即W＝－ΔEp.
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
(2)表达式：mgh1＋mv1
2＝mgh2＋mv2
2.
4．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数
和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转
化，则机械能守恒．
二、单物体机械能守恒问题
1．表达式
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
三、解决多物体系统机械能守恒的注意点
1、对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气
阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．
2、注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3
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3、列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
考点一 机械能的理解
典例1．（2025·广西柳州市·二模）某同学将一质量为m 的篮球从距离地面
处，以
的初速度竖直向下
抛出，落到地面上并沿竖直方向弹回，上升的最大高度为
，不计空气阻力，重力加速度为g，则篮球与
地面碰撞过程中损失的机械能为（ ）
A.
B.
C.
D.
典例2．（2025·四川省成都市·二诊）（多选）如图所示，“系留照明”无人机系统广泛应用于抢险救灾照明
中。系统由地面设备、足够长的系留电缆、无人机（含照明灯）组成。无人机质量为
，系留电缆柔软
且不可伸长，单位长度的质量为
。无人机从地面静止启动后受升力、重力和电缆拉力作用，在竖
直方向上先做匀加速运动，后做匀减速运动直至速度为零，最终悬停在离地
的预定高度。若加速阶段
与减速阶段的加速度大小均为
，重力加速度
取
。下列说法正确的是（ ）
A. 无人机上升全过程的最大速度为
B. 无人机上升全过程的时间为
C. 系统上升全过程重力势能增加
D. 无人机向上匀加速运动
时升力大于
跟踪训练1．（2025·江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学·一模）如图所示，2024 珠海航空展上，
飞行员驾驶飞机沿实线轨迹在竖直面内匀速率飞行， a、b、c 为飞行轨迹上的三点，a、c 为飞行过程中距
离地面高度相等的两点。关于此飞机，下列说法中正确的是（ ）
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A. 各点的加速度方向竖直向下
B. 在a 点所受的合力比在c 点小
C. a、c 两点的重力功率相等
D. a、b、c 三点的机械能相等
跟踪训练2．（2025·湖南省永州市·三模）如图所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O 点，当弹簧
处于自由状态时，弹簧另一端在A 点。将小球从A 点正上方由静止释放，小球将弹簧压缩至最低点B，随
即被弹簧竖直弹出，已知C 点为AB 的中点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 从B 到A 过程中，小球的机械能守恒
B. 从B 到A 过程中，小球的动能一直在增大
C. 小球向上运动过程中，小球在AC 之间某位置与弹簧分离
D. 小球在B 点时的加速度大小大于重力加速度大小g
考点二 机械能守恒的理解与判断
典例1．（2025·天津市和平区·一模） 庆祝盛大的节日常会燃放烟花。现有某烟花筒的结构如图所示，其
工作原理为：在地面上的O 处点燃引线，发射药燃烧发生爆炸，礼花弹获得一个竖直方向的速度开始上升
并同时点燃延期引线，当礼花弹到最高点时，延期引线点燃礼花弹并炸开形成漂亮的球状礼花。现假设某
礼花弹在最高点炸开成a、b 两部分，速度均为水平方向，已知两部分质量ma>mb。忽略空气阻力及所有引
线中火药的作用，则（ ）
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A. 从发射药爆炸前到礼花弹炸开后的过程，系统的机械能守恒
B. a、b 两部分落地点到O 点的距离可能相等
C. 礼花弹在最高点炸开过程，a、b 两部分动量变化相同
D. 整个过程中消耗的燃料化学能等于a、b 落地时动能之和
典例2．（2025·江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学·一模）如图所示，在倾角为
的光滑斜面
上，劲度系数为
的轻质弹簧一端连接在固定挡板
上，另一端连接一质量为
的物体
，一
轻细绳通过定滑轮，一端系在物体
上，另一端与质量也为
的小球
相连，细绳与斜面平行，斜面足
够长，用手托住球
使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放，不计一切摩擦，
取
.则（ ）
A. A、B 组成的系统在运动过程中机械能守恒
B. 弹簧恢复原长时细绳上的拉力为
C. A 沿斜面向上运动的最远距离为
D. 如果把斜面倾角改为
，
上滑到最高点时间不变
典例3．（2025·云南省丽江市第一高级中学·三模）如图所示，小球甲在真空中做自由落体运动，另一同样
的小球乙在黏性较大的油液中由静止开始下落，它们都由高度为
的位置下落到高度为
的位置。在这两
种情况下，下列说法正确的是（ ）
A. 甲球的重力势能变化大
B. 甲球的末动能大
C. 乙球
机械能守恒
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D. 乙球重力的平均功率大
跟踪训练1．（2025·江西省·三模）（多选）轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置
静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落后落地，箱子落地后瞬间速度减为零
且不会反弹。此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧
劲度系数为
，箱子和小球的质量均为
，重力加速度为
。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度
内，下列说法正确的是（ ）
A. 箱子下落过程中，箱子机械能守恒
B. 箱子落地后，弹簧弹力的最大值为3mg
C. 箱子落地后，小球运动的最大速度为
D. 箱子与地面碰撞损失的机械能为
跟踪训练2．（2025·河北省保定市·一模）如图所示，轻弹簧上端固定在光滑斜面顶端，自由伸长时下端在
点（图中未画出），下端连接某物体时物体恰能静止于斜面的
点。现对物体施加一个平行于斜面向上
的力
，使物体沿斜面缓慢向上移动到
点，此过程中力
做功为
。则此过程中（ ）
A. 物体机械能守恒
B. 弹簧和物体组成的系统机械能守恒
C. 力
的大小始终等于弹簧弹力的大小
D. 弹簧弹性势能减小量等于
跟踪训练3．（2025·湖南省新高考教学教研联盟·一模）如图所示，光滑的地面上有一个木块C，C 上面通
过一个弹性棒连接木块B，弹性棒可以弯曲但不改变长度。开始弹性棒处于竖直状态，一颗子弹A 以水平
初速度
射入B 但没有穿出，射入过程时间极短，之后 AB 整体在弹性棒上面反复左右摇摆。
已知
，
，
，整个运动过程C 始终没有脱离地面且没有翻倒，下列
说法正确的是（ ）
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A. 子弹A 射入木块B 过程中AB 系统机械能守恒
B. 弹性棒向右弯曲最大时AB 整体的速度为
C. 弹性棒向右弯曲最大时具有的弹性势能大小等于子弹射入木块B 之后系统减少的动能
D. 弹性棒第一次回到竖直状态时C 的速度大小为
考点三 单物机械能守恒问题
典例1．（2025·河南省名校联盟·二模）如图所示，半径
、圆心角
的光滑圆弧轨道的左端
点与倾角
的粗糙斜面底端P 相切，右端点Q 与水平面相连。现将质量
的滑块，从斜面上
距离其底端
处由静止释放，滑块与斜面间的动摩擦因数
，重力加速度g 取10m/s2
，滑块可视为质点，不计空气阻力，求：
（1）滑块滑到斜面底端P 所用的时间t；
（2）滑块经过圆弧轨道最低点时，轨道对滑块的支持力大小
；
（3）滑块在水平面上
落点到圆弧轨道右端点Q 的距离x。
典例2．（2025·北京市第三十五中学·三模）一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在
研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，该
一小段圆周的半径为该点的曲率半径。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运
动的分析方法来处理了。小珂发现游乐场的过山车轨道不是圆形轨道而是“水滴形”轨道（如图1），小
珂设计了如图2 所示的过山车模型，质量为
的小球在A 点由静止释放沿倾斜轨道
下滑，经水平轨道
BC 进入半径
的圆形轨道，恰能做完整的圆周运动；再经水平轨道
进入“水滴形”曲线轨道
，
点的曲率半径
，“水滴形”轨道最高点
与圆形轨道最高点
等高。忽略所有轨道
摩擦力，各轨道都平滑连接，“水滴形”轨道左右对称，
取
。
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（1）求小球释放点A 距离水平面的高度
；
（2）在圆形轨道上运动时，小球在最低点
与最高点
的向心加速度大小的差值；
（3）在“水滴形”轨道
上运动时，小球的向心加速度大小为一个定值，求“水滴形”轨道
上
任意一点的曲率半径
随距地面高度变化的函数表达式（即：用和
表示
）。
典例3．（2025·湖南省长沙市·一模）如图，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在
点，另一端固定一
质量为
的小球。小球从
点由静止开始摆下，先后经过
两点，
点分别位于
点的正上方和
正下方，
点与
点等高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A. 小球在B 点受到的合力大小为
B. 小球在
点受到的合力大小为
C. 从
到
的过程，杆对小球的弹力最大值为
D. 从
到
过程，杆对小球的弹力最小值为
跟踪训练1．（2025·江苏省宿迁市·三模）如图所示，不可伸长的细线一端固定，另一端系一小球，小球从
与悬点等高处由静止释放后做圆周运动，不计空气阻力。小球从释放向最低点运动的过程中，设细线与水
平方向夹角为θ，则线中拉力的大小F、小球沿圆弧切线方向加速度的大小a 随sinθ 变化的图像可能正确
的是（ ）
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A.
B.
C.
D.
跟踪训练2．（2025·吉林省通化市梅河口市第五中学·二模）目前常见的过山车为了增加安全性，都用由上、
下、侧三组轮子组成的安全装置把轨道车套在轨道上（如图甲）。现有与水平面成θ=37°角的斜轨道和半
径R=10m 的光滑圆轨道相切于B 点，且固定于竖直平面内，圆轨道的最低点位于地面（如图乙）。带安全
装置、可视为质点的轨道车从斜面上的A 点由静止释放，经B 点后沿圆轨道运动、恰好到达最高点C，已
知轨道车与斜轨道间的动摩擦因数µ=0.25，重力加速度g 取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法
正确的是（ ）
A. 轨道车在C 点的速度为10m/s
B. 轨道车在B 点的速度为20m/s
C. 斜轨道AB 间的长度L 为45m
D. 轨道车在C 点受轨道的作用力一定向下
跟踪训练3．（2025·湖南省岳阳市·二模）（多选）如图所示，质量为
的石块以初速度
从高处以仰角
斜向上方抛出。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
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A. 石块抛出至落地的过程中，速度先减小后增大
B. 石块抛出至轨迹最高点的过程中，机械能不断增大
C. 改变仰角，其他条件不变，石块落地时的动量不变
D. 石块抛出至落地的过程中，重力的功率先减小后增大
考点四 多物体的机械能守恒问题
典例1．（2025·云南省怒江州民族中学·三模）如图所示，A、B 两球质量相等，A 球用不能伸长的轻绳系
于O 点，B 球用轻弹簧系于O′点，O 与O′点在同一水平面上，分别将A、B 球拉到与悬点等高处，使绳和轻
弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时两球
恰好仍处在同一水平面上，则( )
A. 两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B. 两球到达各自悬点的正下方时，A 球动能较大
C. 两球到达各自悬点的正下方时，B 球动能较大
D. 两球到达各自悬点的正下方时，A 球损失的重力势能较多
典例2．（2025·湖南省常德市·二模）（多选）如图（a）所示，可视为质点的
、
两球通过轻绳连接跨
过光滑轻质定滑轮，
球在外力作用下静止悬空。以地面为重力势能的零势能面，从静止释放
球，在
球落地前的过程中，a、b两球的重力势能随时间的变化关系如图（b）所示，图中两图像交点对应时刻
，
球始终没有与定滑轮相碰，
、
始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，重力加速度
。则（ ）
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A.
球质量
B.
球落地时
球的动能为
C.
球下落前距地面
高度为
D.
时
球离地面的高度为
典例3．（2025·辽宁省鞍山市第一中学·三模）如图所示，A、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A
放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为
，B、C 两小球通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，放在倾角为
带有挡板的固定光滑斜面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，保证滑轮两侧细线
均与斜面平行，且C 球与挡板接触。已知A 的质量为2m，B 的质量为m，C 的质量为4m，重力加速度为
g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。现释放A 球，求：
（1）初始时，弹簧形变量
大小；
（2）A 沿斜面下滑的最大速度
；
（3）A 沿斜面下滑至位移最大时，C 对挡板的压力大小。
跟踪训练1．（2025·江苏省苏州市八校联考·三模）如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，
时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后
又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一
过程弹簧弹力F 随时间t 变化的图像如图（乙）（ ）
A.
时刻小球动能最大
B.
时刻小球动能最大
C.
这段时间内，小球增加的机械能等于弹簧减少的弹性势能
D.
这段时间内，小球的动能先减小后增加
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跟踪训练2．（2025·宁夏回族自治区吴忠市盐池县·一模）（多选）如图（a）所示，可视为质点的
、
两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，质量为
的
球在外力作用下静止在地面上，
球悬空且距离地
面的高度为
。由静止释放
球，
球的动能
随其上升的高度的变化关系如图（
），
始终没有与
定滑轮相碰，
球落地后不反弹，忽略空气阻力，已知重力加速度为
，则（ ）
A. 从释放到最终稳定的过程两小球组成的系统机械能守恒
B.
球的质量为
C.
的大小为
D.
与地面作用过程中，地面对
的冲量大小为
跟踪训练3．（2025·贵州省毕节市·三模）如图所示，两根完全相同的轻质弹簧1、2 连接着一小球，两弹
簧
端和
端分别固定，且位于同一竖直线上。小球静止于O 点时，弹簧2 处于原长状态。现将小球从
1 的原长处C 点由静止释放，已知CO 的距离为，重力加速度大小为
。若忽略空气阻力，弹簧始终处于
弹性限度内，则（ ）
A. 小球到达O 点的速率为
B. 小球运动到最低点时加速度大小为
C. 由C 到O 的过程，小球的机械能守恒
D. 由C 到O 的过程，小球的机械能先减小后增大
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1．（2025·辽宁省·三模）如图所示，一半径为
的光滑大圆环固定在竖直平面内，一质量为
的小环套在
大圆环上，小环沿大圆环在竖直平面内做圆周运动，
为竖直线与大圆环的切点。已知小环经过
点时受
到的支持力等于小环经过最高点时受到的支持力的3 倍，重力加速度大小为
，则小环经过最高点时受到
的支持力大小可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（2025·吉林省延边朝鲜族自治州·一模）某同学通过Tracker 软件（视频分析和建模工具）研究羽毛球
运动轨迹与初速度的关系。如图所示为羽毛球的一条运动轨迹，击球点在坐标原点O，a 点为运动轨迹的
最高点，下列说法正确的是（ ）
A. 羽毛球水平方向的运动为匀速直线运动
B. a 点羽毛球只受重力
C. 羽毛球下降过程处于超重状态
D. 羽毛球在空中运动过程中，机械能不断减小
3．（2025·江西省赣州市·一模）2025 年蛇年春晚的舞台上，《秧BOT》节目开场，一群穿着花棉袄的机
器人在舞台上扭起了秧歌。其中机器人转手绢的动作，使手绢绕中心点O 在竖直面内匀速转动，如图所示，
若手绢上有质量不相等的两质点A、B，则（ ）
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A. 质点A、B 的线速度相同
B. 质点A、B 的动能可能相等
C. 质点A、B 受到的合外力可能相同
D. 质点A、B 的机械能守恒
4. （2025·四川省绵阳市·三模）如图所示，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系一小球，抡动轻绳，
使小球恰好能够在竖直面内绕
点沿逆时针方向做圆周运动，当小球运动到轻绳与竖直方向夹角为60°的
点时，剪断轻绳，小球飞行一段时间后落在水平地面上。已知绳长为
，
点到地面的高度为
、忽
略空气阻力。小球落地点与
点的水平距离是（ ）
A.
B.
C.
D.
5．（2025·江苏省盐城市射阳中学·三模）如图所示，质量均为m 的两物体A、B 用劲度系数为k 的轻质弹
簧拴接，物体C 叠放在物体B 上，系统处于静止状态。现将C 瞬间取走，物体A 恰好不离开地面。已知弹
性势能的表达式为
，其中x 为弹簧的形变量，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A. 物体C 的质量为3m
B. 物体B 运动到最高点时的加速度大小为3g
C. 物体B 的最大速度大小为
D. 物体B 上升的最大高度为
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6．（2025·江苏省盐城市射阳中学·二模）如图甲所示，半径为R 的光滑半球壳固定于水平地面上，开口平
面平行于地面，O 为球心，质量均为m 的A、B 两小球用长为R 的轻质硬杆连接置于球壳内，重力加速度
为g。
（1）求两球静止时杆对A 球的作用力大小F1；
（2）如图乙，在过O 的竖直平面内将B 球置于开口边缘且A 球紧靠壳壁，将两小球由静止释放，求两球
速度最大时球壳对A 球的作用力F2；
7．（2025·吉林省延边朝鲜族自治州·一模）（多选）如图所示是儿童游乐场所的滑索模型，儿童质量为
5m，滑环质量为m，滑环套在水平固定的光滑索道上。该儿童站在一定的高度由静止开始滑出，静止时不
可伸长的轻绳拉离竖直方向一定角度。儿童和滑环均可视为质点，索道始终处于水平状态，不计空气阻力，
重力加速度为g，以下判断正确的是（ ）
A. 儿童和滑环组成的系统动量守恒
B. 儿童和滑环组成的系统机械能守恒
C. 儿童运动到最低点时减少的机械能大于滑环增加的机械能
D. 儿童从静止运动到最低点的过程中，儿童和滑环的水平位移之比为1：5
8．（2025·吉林省长春市·二模）彩虹圈有很多性质和弹簧相似，在弹性限度内弹力随着形变量的增加而增
大，但彩虹圈的重力不能忽略。如图所示，用手拿起彩虹圈的上端，让彩虹圈自由下垂且下端离地面一定
高度，然后由静止释放，彩虹圈始终没有超出弹性限度。则（ ）
A. 彩虹圈下落过程中长度不变
B. 刚释放瞬间彩虹圈上端的加速度大于重力加速度
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C. 刚释放瞬间彩虹圈下端的加速度等于重力加速度
D. 彩虹圈下落过程中只有弹性势能和动能相互转化
9．（2025·黑龙江省哈尔滨市第九中学·二模）（多选）如图所示，质量为0.1kg 的带孔物块A 和质量为
0.2kg 的金属环B 通过光滑铰链用轻质细杆连接，A 套在固定的竖直杆上且与竖直放置的轻弹簧上端相连，
轻弹簧下端固定在水平横杆上，轻弹簧劲度系数
，弹簧原长
，B 套在固定的水平
横杆上。弹簧处于原长时将A 由静止释放，弹簧始终在弹性限度内，已知弹簧的弹性势能
（
为弹簧的形变量）。忽略一切摩擦，重力加速度
取
，在A 下降的过程中，下列说法正确的是（
）
A. 物块A 和金属环B 组成的系统机械能守恒
B. 在A、B 运动过程中当图中
时，
C. B 动能最大时，B 受到水平横杆的支持力大小等于2N
D. 弹簧弹性势能最大时，
间距离为1cm
10．（2025·辽宁省丹东市·二模）如图所示，水平地面上放置着用轻质弹簧竖直连接的A、B 物块（两端
栓接），其中物体A 的质量为m，B 的质量为2m，弹簧的劲度系数为k。用竖直向下的力F＝mg，作用在
A 上，撤去F 后，物体A 从静止开始做简谐运动，已知弹簧弹性势能的表达式为
（x 为弹簧的
形变量），重力加速度为g，不计一切阻力，弹簧足够长且始终在弹性限度内，求：
（1）撤去F 时物体A 的加速度a 大小；
（2）物体A 运动过程中的最大速率和地面受到的最小压力。
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1．（2025·甘肃省兰州市·一模）（多选）如图所示，光滑水平轨道AB 与竖直光滑半圆形轨道BC 在B 点
平滑连接。一小物块（可视为质点）将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，物块脱离弹簧后进入半圆形轨道，
恰好能够到达最高点C，D 点为圆弧BC
中点。若物块质量为0.2kg，轨道半径为0.5m，重力加速度
。下列说法正确的是（ ）
A. 物块在C 点的速度为零
B. 物块在C 点的向心加速度等于重力加速度
C. 物块在D 点时对轨道的压力为6N
D. 物块在A 点时弹簧的弹性势能等于0.5J
2．（2025·安徽省临泉第二中学·三模）（多选）如图所示，质量为m 的小球从不同高度下落压缩弹簧，弹
簧的弹性势能的表达式为
，其中k 是弹簧的劲度系数，x 是弹簧的形变量。假设整个过程弹簧始终在
弹性限度内，不计一切阻力，不计小球和弹簧接触时的能量损失，重力加速度为g。下列说法正确的是（
）
A. 小球和弹簧组成的系统（包括地球）机械能不守恒
B. 无论小球从多高处下落，小球具有最大动能的位置不会改变
C. 克服弹力做功不能度量小球机械能在小球和弹簧之间的转移
D. 小球的加速度能达到2g 的最小下落高度是
（距弹簧上端的高度）
3．（2025·西藏自治区日喀则市·二模）（多选）如图所示，一质量
，足够长的“
”形支架的直
杆上套有一质量
的环形物块，物块与“T”形支架上端之间夹有一被压缩的轻质弹簧（弹簧与物
块不相连），弹簧的弹性势能
。现将该装置从地面上方足够高处由静止释放。同时释放弹簧，假
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设弹簧瞬间恢复形变。已知物块与直杆间滑动摩擦力大小恒为
，重力加速度
，不计
空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 释放弹簧过程中，支架、物块与弹簧组成的系统动量不守恒
B. 释放弹簧过程中，支架、物块与弹簧组成的系统机械能守恒
C. 支架与物块共速瞬间的速度大小为
D. 系统损失的机械能为
4．（2025·湖南省长沙麓山国际实验学校·二模）（多选）如图，两根轻杆与质量为M 的球甲通过轻质铰链
连接。轻杆长度都为L，C、D 为两个完全相同的物块，质量都为m，开始时，两轻杆处在竖直方向，C、
D 恰好与杆接触，C、D 都静止在水平地面上。某时刻受扰动，两杆推动C、D 物体分别向左右运动，当
为
时，杆与物体仍未分离。甲、C、D 在同一竖直平面内运动，忽略一切摩擦，重力加速度为g，在甲
球从静止开始运动到落地的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 当
为
时，
B. 当
为
时，
C. 当
为
时，
D. 左杆末端与物体C 一定会在甲落地前分离
5．（2025·宁夏银川二中·二模）如图所示，质量为
的物体B，其下端连接一固定在水平地面上的轻
质弹簧，弹簧的劲度系数
。一轻绳一端与物体B 连接，另一端绕过两个光滑的轻质小定滑轮
、
后与套在光滑直杆顶端、质量为
的小球A 连接。已知直杆固定，杆长
，且与水平
面的夹角
，初始时使小球A 静止不动，与A 相连的绳子保持水平，此时绳子的张力
。已
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知
，图中直线
与杆垂直。现将小球A 由静止释放直至运动到
的过程中，（重力加速度
，
，
，轻绳不可伸长，滑轮
、
视为质点），则（ ）
A. 小球A 与物体B 组成的系统机械能守恒
B. 小球A 经过
点时，绳对A 的瞬时功率小于绳对B 的瞬时功率
C. 物体B 从开始运动到最低点时，弹簧弹性势能的变化量为0
D. 小球A 运动到
点时的速度为
6．（2025·广西南宁市·三模）（多选）如图所示，质量分别为m、2m 的两小球A、B 用轻质弹簧相连接，
弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能
，x 为弹簧的形变量。A 球通过一根水平轻质细线（足够
长）连接到墙壁上，A、B 均静止在光滑水平地面上。现将小球B 向右拉开一小段距离
后由静止释放，
关于从释放小球B 到小球A 碰撞墙壁前的过程说法正确的是（ ）
A. 小球A、B 的系统动量守恒
B. 小球B 的最大速度为
C. 小球A 的最大速度为
D. 弹簧最短时，其压缩量为
7．（2025·湖北省部分高中协作体·二模）如图所示，一倾斜轨道
，通过微小圆弧与足够长的水平轨道
平滑连接，水平轨道与一半径为
的圆弧轨道相切于
点，A、
、
、
均在同一竖直面内。质量
的小球（可视为质点）压紧轻质弹簧并被锁定，解锁后小球
的速度离开弹簧，从光滑
水平平台飞出，经A 点时恰好无碰撞沿
方向进如入倾斜轨道滑下。已知轨道
长
，与水平
方向夹角
，小球与轨道
间的动摩擦因数
，其余轨道部分均为光滑，
取
，
，
。求：
（1）未解锁时弹簧的弹性势能；
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（2）小球在
点时速度的大小；
（3）要使小球不脱离圆轨道，轨道半径
应满足什么条件。
8．（2025·湖南省株洲市·一模）用三根细线将三个物块A、B、C 和定滑轮组装成图示装置。已知B、C 的
质量分别为3m、2m，它们间细线长度为L，C 离地高度也为L；A 的质量M 满足3m<M<5m，连接A 和B
的细线足够长，开始时整个系统处于静止状态。某时刻剪断A 与地面间的细线，此后A 在运动过程中始终
没有与定滑轮相碰，C 触地后不反弹。
（1）求C 在下落过程中的加速度大小；
（2）求A 上升的最大速度；
（3）若B 刚好能着地，求A 的质量。
9．（2025·湖南省娄底市·二模）如图，AB 等高，B 为可视为质点的光滑定滑轮，C 为大小可忽略的轻质光
滑动滑轮。AB 之间距离为2d，一根足够长的轻质不可伸长的细绳一端系在A 点，穿过光滑动滑轮C 再绕
过定滑轮B，动滑轮下挂着质量为m 的小球P，绳另一端吊着质量为m 的小球Q。初始时整个系统都静止，
然后在外力作用下，将动滑轮C 缓慢上移到与AB 等高并由静止释放。已知重力加速度为g，整个过程中Q
未与滑轮B 相撞，不计空气阻力和一切摩擦则下列说法正确的是（ ）
A. 初始时刻，AC 与BC 夹角为60°
B. C 可以下降的最大高度为2d
C. P 下降高度为d 时系统的动能最大
D. 系统运动过程中最大动能为
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10．（2025·湖南省·三模）（多选）如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧与A、B 物
块相连，A、C 物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C 在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B
放置在水平面上，A 静止。现撤去外力，物块C 沿斜面向下运动，当C 运动到最低点时，B 对地面的压力
刚好为零。已知A、B 的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中（ ）
A. C 的质量mC可能小于m
B. C 的速度最大时，A 的加速度为零
C. C 的速度最大时，弹簧弹性势能最小
D. A、B、C 系统的机械能先变大后变小
11．（2025·辽宁省实验中学·二模）（多选）2024 年8 月22 日，中星4A 卫星顺利进入预定轨道，如图所
示为质量为
的中星4A 卫星发射变轨过程的简化示意图，其中轨道Ⅰ为近地圆形轨道，轨道Ⅲ为距离地
面高度为6R 的圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅱ与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ分别相切于P 点和Q 点。已知地球半
径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响。若取无穷远处引力势能为零，质量为m 的物
体在距离地球球心为r 时的引力势能
（M 为地球的质量），下列说法正确的是（ ）
A. 中星4A 卫星在轨道Ⅱ上经过P 点的速度大于经过Q 点的速度
B. 中星4A 卫星在轨道Ⅲ上的动能为
C. 中星4A 卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了
D. 中星4A 卫星在轨道Ⅱ上运行的周期是在轨道Ⅲ上运行的周期的
12．（2025·宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学·二模）（多选）如图所示，半径为R 的光滑大圆环用一细
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杆固定在竖直平面内，质量为m 的小球A 套在大圆环上。上端固定在杆上的轻质弹簧与质量为m 的滑块B
连接，并一起套在杆上，小球A 和滑块B 之间用长为
的轻杆分别通过铰链连接，当小球A 位于圆环最
高点时、弹簧处于原长；此时给A 一个微小扰动（初速度视为0），使小球A 沿环顺时针滑下，当杆与大
圆环相切时小球A 的速度为
（g 为重力加速度）。不计一切摩擦，A、B 均可视为质点，则下列说法
正确的是（ ）
A. 小球A、滑块B 和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能守恒
B. 当杆与大圆环相切时B 的速度为
C. 小球A 从圆环最高点到达杆与大圆环相切的过程中滑块B 的重力势能减小
D. 小球A 从圆环最高点到达杆与大圆环相切的过程中弹簧的弹性势能增加了
13．（2025·青海省西宁市大通县·三模）（多选）如图所示，截面为直角三角形的斜面体固定在水平面上，
两斜面光滑，斜面倾角分别为
和
，左侧斜面底端固定一挡板，物块a 紧挨挡板放置，斜面顶端固
定一轻质定滑轮，轻绳一端连接物块a，一端跨过定滑轮与劲度系数为k 的弹簧上端连接，弹簧的下端连
接物块b。初始状态，用手托住物块b（处于P 处），使两物块a、b 均静止，弹簧处于原长且轻绳刚好伸
直，轻绳和弹簧都与斜面平行。现释放物块b，物块b 从P 运动到最低点Q 的过程中，物块a 恰好没有离
开挡板。已知弹簧的弹性势能表达式
（x 为弹簧形变量），物块a 的质量为M，重力加速度为
g，下列说法正确的是（ ）
A. 物块b 被释放瞬间，其加速度大小为
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B. 物块a、b 的质量之比为
C. 弹簧的最大弹性势能为
D. 物块b 运动到PQ 中点时速度大小为
14．（2025·山西省·一模）如图所示，竖直面内处于同一高度的光滑轻质滑轮
、
相距
。轻绳穿过
带有光滑小孔的小球P，轻绳的两端绕过滑轮分别与轻弹簧
、
相连，弹簧
、
下端分别与置于水平
地面的物体A、B 相连，物体A 质量为
，物体B 质量为
。初始时刻用手将P 球托住静止在
、
连线的中点处；此时轻绳伸直且张力为零。放手后，P 球下落到最低点时，A 物体与地面恰好无作用力。
弹簧
、
完全相同，弹簧的弹性势能表达式为
，
为弹簧形变量，劲度系数
，重力
加速度为
。在此过程中（ ）
A. P 球下落到最低点时，物体B 对地面的压力为零
B. P 球下落到最低点时，弹簧
的弹性势能大小为
C. P 球下落的最大高度为
D. P 球的质量为
15．（2025·陕西省·三模）2025 年2 月22 日20 时11 分，中星10R 卫星在西昌卫星发射中心乘载运载火箭
成功发射，该卫星覆盖中国及西亚、南亚、东南亚部分地区，提供高效的卫星网络传输服务。假设该卫星
沿椭圆轨道变轨后做圆周轨道运行，其动能变为原来的
，不考虑因变轨质量变化，关于该卫星下
列说法正确的是（ ）
A. 万有引力变为原来的
B. 运行速度变为原来的
C. 变轨后该卫星机械能减小了
D. 变轨过程一直处于完全失重状态
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1．（2025 年河北卷第7 题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从
某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀
的球体，半径为
，表面重力加速度为
。质量为m 的飞行器与星球中心距离为r 时，引力势能为
。要使飞行器在距星球表面高度为
的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度
为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. （2025 年北京卷第7 题）2024 年6 月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测
器在圆形轨道1 上绕月球飞行，在A 点变轨后进入椭圆轨道
、
为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列
说法正确的是（ ）
A. 在轨道2 上从A 向B 运动过程中动能逐渐减小
B. 在轨道2 上从A 向B 运动过程中加速度逐渐变大
C. 在轨道2 上机械能与在轨道1 上相等
D. 利用引力常量和轨道1 的周期，可求出月球的质量
3. （2025 年安徽卷第14 题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
。一
根长为
的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、
M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳
子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取
。
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（1）求绳子被拉断时小球
速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
（2）求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
（3）若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小
值。
4. （2024 年湖北卷第14 题）如图所示，水平传送带以5m/s 的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距
离为
。传送带右端的正上方有一悬点O，用长为
、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2kg 的小球，
小球与传送带上表面平齐但不接触。在O 点右侧的P 点固定一钉子，P 点与O 点等高。将质量为0.1kg 的
小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度
大小为
、方向水平向左。小球碰后绕O 点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P 点向上
运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小
。
（1）求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
（2）求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
（3）若小球运动到P 点正上方，绳子不松弛，求P 点到O 点的最小距离。
5. （2024·江苏卷·第8 题）在水平面上有一个U 形滑板A，A 的上表面有一个静止的物体B，左侧用轻弹
簧连接在滑板A 的左侧，右侧用一根细绳连接在滑板B 的右侧，开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光滑，
剪断细绳后，则（ ）
A. 弹簧原长时物体动量最大
B. 压缩最短时物体动能最大
C. 系统动量变大
D. 系统机械能变大
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6. （2024 年全国甲卷第4 题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m 的小环套在大圆环上，
小环从静止开始由大圆环顶端经Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中
对大圆环的作用力大小（ ）
A. 在Q 点最大
B. 在Q 点最小
C. 先减小后增大
D. 先增大后减小
7. （2024 年湖南卷第15 题）如图，半径为R 的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A
和B（mA>mB）。初始时小球A 以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B 发生碰撞。不计小球与
圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A 与B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小；
（2）若小球A 与B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量
比
。
（3）若小球A 与B 之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e 倍
（0<e<1） ，求第1 次碰撞到第2n+1 次碰撞之间小球B 通过的路程。
8. （2023 年湖南卷第15 题）如图，质量为
的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的
光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为
和
，长轴水平，短轴竖直．质量为
的小球，初始时刻从椭
圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于
地面的直角坐标系
，椭圆长轴位于
轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为
。
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽
速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系
中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若
，求小球下降
高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用
及
表示）。
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9. （2023 年全国甲卷第1 题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程
中（ ）
A. 机械能一直增加
B. 加速度保持不变
C. 速度大小保持不变
D. 被推出后瞬间动能最大
10.（2023 年全国甲卷第11 题） 如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m
的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为
。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，
与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相
等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的
。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加
速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
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