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第21 讲 机械能守恒定律及其应用
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................3
考点一 机械能守恒定律的理解与判断............................................................................................3
知识点1 重力做功与重力势能..................................................................................................................3
知识点2 弹性势能......................................................................................................................................3
知识点3 机械能守恒定律..................................................................................................................4
考向1 机械能守恒条件的理解..................................................................................................................5
考向2 机械能守恒的判断..........................................................................................................................5
考点二 单个物体机械能守恒的应用
知识点1 机械能守恒定律表达式...........................................................................................................7
知识点2 应用机械能守恒定律解题的一般步骤.................................................................................7
知识点3 机械能守恒的常见三种情况..................................................................................................7
考向1 单物体单过程机械能守恒问题......................................................................................................8
考向2 单物体多过程机械能守恒问题......................................................................................................8
考点三 系统的机械能守恒问题......................................................................................................13
知识点1 轻绳或轻杆连接系统................................................................................................................13
知识点2 轻弹簧连接系统........................................................................................................................14
考向1 轻绳或轻杆连接系统机械能守恒问题........................................................................................15
考向2 轻弹簧连接系统机械能守恒问题................................................................................................22
考向3 非质点系统的机械能守恒问题....................................................................................................25
04 真题溯源·考向感知.................................................................................................................28
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
机械能守恒的理
解与判断
选择题
非选择题
单个物体机械能
守恒定律
选择题
非选择题
湖南卷T10，5 分
湖南卷T15，17 分
浙江1 月卷T18，16 分
北京卷T7，3 分
全国甲卷T4,6 分
全国甲卷·T24 ，6 分
系统机械能守恒
定律
选择题
非选择题
湖南卷T15，17 分
·山东卷·T7
江苏卷·T9 4 分
、2023·浙江6 月选考
卷·T18
考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2.命题分析：机械能守恒定律各省命题的常考知识点之一，高考题中一般会以中等及以上的题型出现，考
查的内容主要有单个物体的机械能守恒问题的理解和计算和多个物体关联的机械能守恒问题的理解和计
算。题目情境会愈发紧密联系生活实际、科技前沿，如体育运动中的蹦床、跳水，工程技术里的过山车运
行、起重机吊运等，要求学生在复杂情境中灵活运用机械能守恒定律分析问题，对定律本质的理解与知识
迁移能力的考查也会加强。
3.备考建议：理解并掌握机械能的概念，理解机械能的守恒条件；理解多物体构成速度关联问题并解决系
统机械能守恒问题。
复习目标：
目标1.理解重力势能和弹性势能，知道机械能守恒的条件。
目标2.会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。
目标3.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
2
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考点一 机械能守恒的理解与判断
知识点1 重力做功与重力势能
1.重力做功的特点
（1）重力做功与 路径 无关，只与初、末位置的 高度差 有关。
（2）重力做功不引起物体 机械能 的变化。
2.重力势能
（1）定义：物体由于 被举高 而具有的能。
（2）表达式：Ep＝
mgh
。
（3）矢标性：重力势能是 标量 ，正负表示其 大小 。
3
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3.重力做功与重力势能变化的关系
（1）定性关系：重力对物体做正功，重力势能就 减少 ；重力对物体做负功，重力势能就 增加 。
（2）定量关系：重力对物体做的功 等于 物体重力势能的减少量。即WG＝－（Ep2－Ep1）＝ －
Δ E p
。
知识点2 弹性势能
1.定义：物体由于发生 弹性形变 而具有的能。
2.大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量 越大 ，劲度系数 越大 ，
弹簧的弹性势能越大。
3.弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝ －
Δ E p
。
知识点3 机械能守恒定律
1.机械能： 动能 和 势能 统称为机械能，其中势能包括 弹性势能 和 重力势能 。
2.机械能守恒定律的内容：在只有 重力或弹力 做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的
机械能 保持不变 。
3.机械能守恒定律的表达式
mgh1＋1
2mv1
2＝mgh2＋1
2mv2
2。
4.机械能守恒定律的条件：只有重力或弹簧的弹力做功。
知识点4 判断机械能是否守恒的三种方法
1．利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。
2．利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或者虽受其他力，但其他力不做功(或做
功代数和为0)，则机械能守恒。
3．利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的
转化，则机械能守恒。
考向1 机械能守恒的理解
例1（2025·广东汕头·一模）如图1 为海盗桶玩具，当插进桶内的剑触发桶内开关时，小海盗就从木桶顶部
突然跳出来。其原理可简化为图2 所示，弹簧压缩后被锁扣
锁住，打开锁扣
，小球被弹射出去，A 位
置为弹簧原长，忽略弹簧质量和空气阻力，从B 到A 的过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．小球的机械能守恒
B．小球的速度一直在增大
C．小球的加速度先增大后减小
D．小球与弹簧组成的系统重力势能与弹性势能之和先减小后增大
【答案】D
【详解】A．小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故A 错误；
BC．小球向上运动的过程，对小球受力分析，可知，刚开始弹簧的弹力先大于重力，故加速度向上，速度
向上，随着形变量的减小，加速度不断减小，但小球的速度向上不断增大；然后，弹簧的弹力等于重力，
此时加速度为零，速度最大；最后弹簧的弹力小于重力，加速度向下，速度向上，随着形变量的减小，加
速度不断增大，但小球的速度不断减小，所以此过程小球的速度先增大后减小，加速度先减小后增大，故
BC 错误；
D．由题分析，可知小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，故
在此过程中，小球的速度先增大后减小，则小球的动能先增大后减小，所以重力势能与弹性势能之和先减
小后增，故D 正确。
故选D。
【变式训练1】（2025·山西·三模）如图所示，三角形支架放在水平台秤上，剪断斜面上固定小
球的细绳，小球沿着斜面滚下。在小球滚下的过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．台秤的示数增大
D．台秤的示数减小
【答案】BD
【详解】AB．在小球滚下的过程中，要克服摩擦力做功，机械能减少；故A 错误，B 正
确；
CD．小球沿着斜面向下加速运动，处于失重状态，台秤的示数减小。故C 错误，D 正确。
故选BD。
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考向2 机械能守恒的判断
例2 现有一物体从离地高H 处的M 点开始做自由落体运动，下落至离地高度为H 处的N 点，下列能量条
形图表示了物体在M 和N 处的动能Ek和重力势能Ep的相对大小关系，可能正确的是( )
【答案】D
【解析】： 由于机械能守恒，动能与重力势能之和应等于释放时的机械能，A、B、C 错误；设释放位置
所在平面为零势能面，则机械能为零，D 正确。
【变式训练1】（如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在
物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能不变
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒
【答案】D
【解析】：物体下滑的过程动能增加，A 错误；物体在下滑过程中，斜面体做加速运动，其机械能增加，
B 错误；物体沿斜面下滑时，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物
体的作用力对物体做负功，C 错误；对物体与斜面体组成的系统，只有物体的重力做功，机械能守恒，D
正确。
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考点二 单物体机械能守恒问题
知识点1．机械能守恒定律表达式
说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
知识点2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
知识点3．机械能守恒的常见三种情况
(1)物体在运动过程中只有重力做功，机械能守恒。
(2)单个物体在竖直光滑圆轨道上做圆周运动时，因只有重力做功，机械能守恒。
(3)单个物体做平抛运动、斜抛运动时，因只有重力做功，也常用机械能守恒定律列式求解。
考向1 单物体单过程机械能守恒问题
例1（2025·湖南长沙湖师附属·一模）如图，某同学在水平地面上先后两次从
点抛出沙包，分别落在正
前方地面
和
处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于
点，
点正下方地面处设为
点。
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已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为
，
，
，
，沙包质量为
，忽略空气阻力，重力加速度大小取
，则沙包（ ）
A．第一次运动过程中上升与下降时间之比
B．第一次经
点时的机械能比第二次的小
C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为
D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大
【答案】BD
【知识点】斜抛运动、用动能定理求解外力做功和初末速度、利用机械能守恒定律解决简单问题
【详解】A．沙包从抛出到最高点的运动可视为平抛运动的“逆运动”，则可得第一次抛出上升的高度为
上升时间为
最高点距水平地面高为
，故下降的时间为
故一次抛出上升时间，下降时间比值为
，故A 错误；
BC．两条轨迹最高点等高、沙包抛出的位置相同，故可知两次从抛出到落地的时间相等为
故可得第一次，第二次抛出时水平方向的分速度分别为
由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度也相等，为
由于沙包在空中运动过程中只受重力，机械能守恒，故第一次过P 点比第二次机械能少
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从抛出到落地瞬间根据动能定理可得
则故落地瞬间，第一次，第二次动能之比为
，故B 正确，C 错误；
D．根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，
由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，如图所示，故可知第一次抛出时速度与水平方
向的夹角较大，第一次落地时速度与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速
度方向夹角比第二次大，故D 正确。
故选BD。
【变式训练1】（2025·湖南省岳阳市高三二模）如图所示，质量为
的石块以初速度
从
高处以仰角
斜向上方抛出。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 石块抛出至落地的过程中，速度先减小后增大
B. 石块抛出至轨迹最高点的过程中，机械能不断增大
C. 改变仰角，其他条件不变，石块落地时的动量不变
D. 石块抛出至落地的过程中，重力的功率先减小后增大
【答案】AD
【解析】
【详解】A．由动能定理知，重力为合力，合力先做负功后做正功，故动能先减小后增大，即速度先减小
后增大。故A 正确；
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B．石块抛出至轨迹最高点的过程中，不计阻力，只有重力做功，机械能守恒，故B 错误；
C．改变仰角，其他条件不变，由动能定理得
解得
故落地时速度大小不变。但改变仰角，落地时速度的水平分量发生变化，落地时速度方向不同，故动量只
是大小相等，方向不同，故C 错误；
D．石块抛出至落地的过程中，重力的功率PG=mgvy
vy先减小后增大，则PG先减小后增大，故D 正确。
故选AD。
考向2 单物体多过程机械能守恒问题
例2（2025·北京顺义·一模）如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB 段为曲面，BC 段水平，CD 段是
半径
的半圆形轨道，BC 段与CD 段在C 点相切。在A 点由静止释放一质量为
的小球，小
球沿轨道运动至D 点后，沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC 段上的E 点，A 点距水平面的高度
，重力加速度g 取
，求：
(1)小球运动到B 点时的速度大小
；
(2)小球运动到D 点时轨道对小球的弹力大小
；
(3)C、E 两点的距离x。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意，小球从
到
的过程中，由机械能守恒定律有
解得
（2）根据题意，小球从
到
的过程中，由机械能守恒定律有
解得
在
点，由牛顿第二定律有
解得
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（3）小球从
点飞出后做平抛运动，飞行时间为
C、E 两点的距离
【变式训练1】．（2025·河南·一模）目前常见的过山车为了增加安全性，都用由上、下、侧三组轮子组成
的安全装置把轨道车套在轨道上（如图甲）。现有与水平面成θ=37°角的斜轨道和半径R=10m 的光滑圆轨
道相切于B 点，且固定于竖直平面内，圆轨道的最低点位于地面（如图乙）。带安全装置、可视为质点的
轨道车从斜面上的A 点由静止释放，经B 点后沿圆轨道运动、恰好到达最高点C，已知轨道车与斜轨道间
的动摩擦因数µ=0.25，重力加速度g 取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．轨道车在C 点的速度为10m/s
B．轨道车在B 点的速度为20m/s
C．斜轨道AB 间的长度L 为45m
D．轨道车在C 点受轨道的作用力一定向下
【答案】C
【详解】A．由于轨道车恰好经过最高点C，则轨道车到达最高点时速度为0，故A 错误；
B．轨道车由B 到C 的过程，根据机械能守恒定律可得
解得
故B 错误；
C．轨道车由A 运动到B 的过程中，有
，
解得
故C 正确；
D．轨道车在C 点受轨道的向上作用力，故D 错误。
故选C。
考点三 系统的机械能守恒问题
知识点1 轻绳或轻杆连接系统
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
（1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空
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气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.轻绳连接的物体系统机械能守恒
常见
情景
三点
提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系
统，机械能则可能守恒。
3 轻杆连接的物体系统机械能守恒
常见
情景
模型
特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械
能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做
功，则系统机械能守恒。
知识点2 轻弹簧连接系统
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹
簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。分析含弹簧问题时，注意以下两点：
（1）对同一弹簧，弹簧的弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
（2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹簧的弹性势
能最大。
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考向1 轻杆或轻绳连接系统机械能守恒问题
例1．（2025·湖南大联考·一模）如图，两根轻杆与质量为M 的球甲通过轻质铰链连接。轻杆长度都为
L，C、D 为两个完全相同的物块，质量都为m，开始时，两轻杆处在竖直方向，C、D 恰好与杆接触，C、
D 都静止在水平地面上。某时刻受扰动，两杆推动C、D 物体分别向左右运动，当
为
时，杆与物体仍
未分离。甲、C、D 在同一竖直平面内运动，忽略一切摩擦，重力加速度为g，在甲球从静止开始运动到落
地的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当
为
时，
B．当
为
时，
C．当
为
时，
D．左杆末端与物体C 一定会在甲落地前分离
【答案】ABD
【知识点】杆连接物体运动的分析、用杆连接的系统机械能守恒问题
【详解】A．设左杆的下端点为A，由对称性易知杆与竖直方向成
角，由关联速度知
得
又
可得
故A 正确；
B．从杆竖起到
过程，对整个系统，由机械能守恒，得
又
联立解得
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B 正确；
C．A 与C 没有分离前，C 物体一直向左加速，A 对C 有向左的弹力，对端点A 分析，易知杆对A 的力沿
杆斜向下，故杆对球甲的力沿杆斜向上.由对称性知，两杆对球甲的合力向上，故
C 错误；
D．由甲与端点A 的速度关系知，当球甲落地瞬间，端点A 速度为0，端点A 速度先变大后变小，端点A
速度最大时，C 的速度也是最大，C 的加速度为零，与端点A 之间的弹力为零，A 与C 分离，D 正确。
故选ABD。
【变式训练1】（2025·湖南衡阳·一模）如图，竖直放置的轻质圆盘半径为R，光滑水平固定轴穿过圆心O
处的小孔。在盘的最右边缘固定一质量为2m 的小球A，在离O 点
处固定一质量为m 的小球B，两小
球与O 点连线的夹角为135°。现让圆盘自由转动，不计空气阻力，两小球均可视为质点，当A 球转到最低
点时（ ）
A．两小球的重力势能之和减少
B．A 球机械能增加
C．A 球速度大小为
D．此后半径OA 向左偏离竖直方向的最大角度大于45°
【答案】D
【知识点】用杆连接的系统机械能守恒问题
【详解】A．由题意可知，两小球的重力势能之和减少
故A 错误；
B．当A 球转到最低点时，B 球的重力势能增加，动能增加，B 球的机械能增加，由A、B 组成的系统机械
能守恒，故A 球的机械能减少，故B 错误；
C．由系统机械能守恒定律
根据
可知
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联立解得A 球速度大小为
故C 错误；
D．设此后半径OA 向左偏离竖直方向的最大角度为θ，则有
其中
联立解得
故
故D 正确。
故选D。
【变式训练2】如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的固定半圆轨道BC，与两个竖直轨道AB 和CD 相
切，轨道均光滑。现有长也为R 的轻杆，两端固定质量分别为3m、m 的小球a、b（可视为质点），用某
装置控制住小球a，使轻杆竖直且小球b 与B 点等高，然后由静止释放。b 球能到达的最大高度h 为
（ ）
A．2 R
B．5
2 R
C．7
3 R
D．9
4 R
【答案】B
【详解】以BC 所在平面为零势能面，根据机械能守恒
3mgR =3mgh1+mgh2
又
h2−h1= R
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得
h2= 3
2 R
故b 球能到达的最大高度h 为
h=h2+ R = 5
2 R
故选B。
．
例2．（2025 湖南省株洲市高三一模）用三根细线将三个物块A、B、C 和定滑轮组装成图示装置。已知
B、C 的质量分别为3m、2m，它们间细线长度为L，C 离地高度也为L；A 的质量M 满足3m<M<5m，连接
A 和B 的细线足够长，开始时整个系统处于静止状态。某时刻剪断A 与地面间的细线，此后A 在运动过程
中始终没有与定滑轮相碰，C 触地后不反弹。
（1）求C 在下落过程中的加速度大小；
（2）求A 上升的最大速度；
（3）若B 刚好能着地，求A 的质量。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
剪断细线后，对A、B、C 整体，由牛顿第二定律得
解得
【小问2 详解】
物块C 刚落地时，M 的速度最大，三个物体组成的系统机械能守恒，则
解得
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【小问3 详解】
物块C 落地后，物块B 恰能下降地面，则此时物块A 和物块B 的速度为零
联立解得
【变式训练1】（2025·湖南娄底·二模）如图，AB 等高，B 为可视为质点的光滑定滑轮，C 为大小可忽略
的轻质光滑动滑轮。AB 之间距离为2d，一根足够长的轻质不可伸长的细绳一端系在A 点，穿过光滑动滑
轮C 再绕过定滑轮B，动滑轮下挂着质量为m 的小球P，绳另一端吊着质量为m 的小球Q。初始时整个系
统都静止，然后在外力作用下，将动滑轮C 缓慢上移到与AB 等高并由静止释放。已知重力加速度为g，
整个过程中Q 未与滑轮B 相撞，不计空气阻力和一切摩擦则下列说法正确的是（ ）
A．初始时刻，AC 与BC 夹角为60°
B．C 可以下降的最大高度为2d
C．P 下降高度为d 时系统的动能最大
D．系统运动过程中最大动能为
【答案】D
【详解】A．初始时刻静止，绳子中拉力T=mg，对动滑轮C 进行受力分析可得，AC 与BC 夹角为120°，
故A 错误；
B．设C 可以下降的最大高度为h，由能量守恒可得，
，联立可得
，故B
错误；
CD．P 和Q 总动能最大时系统的总势能最小，即总势能取极小值，对应系统静止时的平衡位置，即AC 与
BC 夹角为120°，此时P 下降高度
，Q 上升高度
，由机械能守恒定律，此时总动
能
。
故C 错误，D 正确。
故选D。
．
考向2 轻弹簧连接系统机械能守恒问题
例3（2025·湖南省郴州市高第一次教学质量监测） 如图所示，轻质弹簧的两端分别与小物块B、C 相连，
并放在足够长的光滑斜面上，弹簧与斜面平行，C 靠在固定的挡板P 上，绕过定滑轮的轻绳一端与B 相连，
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另一端与悬空的小物块A 相连。开始时用手托住A，使滑轮右侧的轻绳恰好伸直且无弹力，滑轮左侧轻绳
沿竖直方向，然后由静止释放A，当C 刚要离开挡板时，A 的速度恰好达到最大。斜面的倾角为30°，B、
C 的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g，A、B、C 均视为质点。不计一切摩擦，不计
空气阻力，弹簧始终处在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A.释放A 的瞬间，A 的加速度大小为
B. A 的质量为
C. 从释放A 到C 刚要离开挡板的过程中，A 的最大速度为
D. 从释放A 到C 刚要离开挡板的过程中，由A、B 组成的系统机械能一直增大
【答案】.AC
【详解】若只有重力或弹力做功由机械能守恒，释放A 的瞬间，对A 、B 整体进行分析有
解得
，故A 正确；A 、B 、C 整体进行分析有
，解得
，故B 错误；根据机械能守恒有
解得
，故C 正确；则A、B 组成的系统机械能先增大后减小，故D 错误。
【变式训练1】（2025·1 月四川高考改革适应性演练测试）如图，原长为l0的轻弹簧竖直放置，一端固定
于地面，另端连接厚度不计、质量为m1的水平木板X。将质量为m2的物块Y 放在X 上，竖直下压Y，使
X 离地高度为l，此时弹簧的弹性势能为Ep，由静止释放，所有物体沿竖直方向运动。则（ ）
A. 若X、Y 恰能分离，则
B. 若X、Y 恰能分离，则
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C. 若X、Y 能分离，则Y 的最大离地高度为
D. 若X、Y 能分离，则Y 的最大离地高度为
【答案】.AD
【详解】将质量为m2的物块Y 放在X 上由静止释放，两物体一起向上加速，若X、Y 恰能分离，则到达
原长时速度刚好为零，则弹性势能刚好全部转化为系统的重力势能，由机械能守恒定律可知
故A 正确，B 错误；．若X、Y 能分离，则两物体到达原长时还有速度为
，有
经过原长后两物体分离，物体Y 的动能全部变成重力势能，上升的高度为，则有
则Y 的最大离地高度为
故C 错误，D 正确。
【变式训练2】（2025·山东威海·三模）如图所示，质量分别为
和
的物体
、
用跨过
定滑轮
的轻绳连接，
置于倾角为
的光滑固定斜面上，
穿在固定的竖直光滑杆
上。轻质弹簧的一端固定在地面上，另一端连接
。初始时，控制
使轻绳伸直且无拉
力，轻绳的
段与斜面平行，
段与杆的夹角为
。将
由静止释放，
在运动过
程中经过
点，
与杆垂直，长为
。
、
均可视为质点，弹簧始终在弹性限
度内，劲度系数
，重力加速度为
，
，
。
经过
点
时的速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【详解】未释放P 前，对Q 有
解得弹簧压缩量
当
经过
点时，由于
与杆垂直，可知此时P 的速度为0，几何关系可知
可知在M 点时，弹簧拉伸量为L，弹性势能与开始时相同，故对P、Q 和弹簧构成的系统，
由机械能守恒有
解得
故选A。
考向3 非质点系统机械能守恒问题
例4 如图所示，长为L 的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的1
4 垂在桌边，松手后链条从静止开始
沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为（重力加速度为g）（ ）
A．√
3
2 gL
B．√15 gL
4
C．√gL
4
D．2√gL
【答案】B
【详解】设桌面为零势能面，链条的总质量为m，开始时链条的机械能为
E1=−1
4 mg⋅1
8 L
当链条刚脱离桌面时的机械能
E2= 1
2 m v
2−mgL
2
由机械能守恒可得
E1= E2
即
−1
4 mg· L
8 = 1
2 m v
2−mgL
2
解得
v = √15 gL
4
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故选B。
【变式训练1】一条长为L 的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂直于桌边，如图所示。现由
静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面瞬时的速度为多大（ ）
A．√3 gL
2
B．√
gL
18
C．√gL
D．√
gL
6
【答案】A
【详解】由静止开始使链条自由滑落到当它全部脱离桌面过程，由于桌面光滑，整个链条的机械能守恒。
取桌面为零势能面，整个链条的质量为m，根据机械能守恒定律得
−1
2 mg· L
4 = 1
2 m v
2−mg· 1
2 L
解得它全部脱离桌面瞬时的速度为
v = √3 gL
2
故A 正确，BCD 错误。
故选A。
【变式训练2】如图所示，长度为L 的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的L
4 在桌边，松手后链条
从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为（链条未着地）（ ）
A．1
2 √15 gL
B．1
4 √15 gL
C．3
4 √15 gL
D．√15 gL
【答案】B
【详解】设桌面为零势能面，开始时链条的机械能为
E1=−1
4 mg⋅1
8 L
当链条刚脱离桌面时的机械能为
E2= 1
2 m v
2−mg⋅L
2
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由机械能守恒可得
E2= E1
联立解得
v = 1
4 √15 gL
故B 正确，ACD 错误。
故选B。
1.（2025·湖南卷·高考真题）如图，某爆炸能量测量装置由装载台和滑轨等构成，C 是可以在滑轨上运动的
标准测量件，其规格可以根据测量需求进行调整。滑轨安装在高度为h 的水平面上。测量时，将弹药放入
装载台圆筒内，两端用物块A 和B 封装，装载台与滑轨等高。引爆后，假设弹药释放的能量完全转化为A
和B 的动能。极短时间内B 嵌入C 中形成组合体D，D 与滑轨间的动摩擦因数为
。D 在滑轨上运动
距
离后抛出，落地点距抛出点水平距离为
，根据
可计算出弹药释放的能量。某次测量中，A、B、C 质
量分别为
、
、
，
，整个过程发生在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度大小为
g。则（ ）
A. D 的初动能与爆炸后瞬间A 的动能相等
B. D 的初动能与其落地时的动能相等
C. 弹药释放的能量为
D. 弹药释放的能量为
【答案】BD
【解析】
【详解】A．爆炸后，AB 组成的系统动量守恒，即3mv1=mv2
B 与C 碰撞过程动量守恒mv2=6mv
联立解得v=0.5v1。
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爆炸后瞬间A 的动能
D 的初动能
两者不相等，故A 错误；
B．D 水平滑动过程中摩擦力做功为
做平抛运动过程中重力做的功为
故D 从开始运动到落地瞬间合外力做功为0，根据动能定理可知D 的初动能与其落地时的动能相等，故B
正确；
CD．D 物块平抛过程有
，
联立可得
D 水平滑动过程中根据机械能守恒有
化简得
弹药释放的能量完全转化为A 和B 的动能，则爆炸过程的能量为
故C 错误，D 正确。
故选BD。
2.（2025·湖南卷·高考真题） 某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，
需要将质量为m 的机器人抛至悬崖上的A 点，图为山体截面与表演装置示意图。a、b 为同一水平面上两条
光滑平行轨道，轨道中有质量为M 的滑杆。滑杆用长度为L 的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳？？紧
且与轨道平行，机器人从B 点以初速度v 竖直向下运动，B 点位于轨道平面上，且在A 点正下方，
。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终作同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻
绳不可伸长，
，重力加速度大小为g。
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（1）若滑杆固定，
，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小；
（2）若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为
时，机器人松开轻绳后被抛
至A 点，求v 的大小；
（3）若滑杆能沿轨道自由滑动，
，且
，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角
为
时，机器人松开轻绳后被抛至A 点，求v 与k 的关系式及v 的最小值。
【答案】（1）
（2）
（3）
，
【解析】
【小问1 详解】
由B 点到最低点过程机械能守恒有
最低点牛顿第二定律可得
联立可得
【小问2 详解】
轻绳运动到左上方与水平方向夹角为
时由机械能守恒守恒可得
水平方向
竖直方向取向上为正可得
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联立可得
【小问3 详解】
当机器人运动到滑杆左上方且与水平方向夹角为
时计为点C，由机械能守恒可得
设
的水平速度和竖直速度分别为
，则有
则水平方向动量守恒可得
水平方向满足人船模型可得
此时机器人相对滑杆做圆周运动，因此有速度关系为
设此时机器人的速度与竖直方向的夹角为
，则有速度关系
水平方向
竖直方向
联立可得
即
显然当
时取得最小，此时
3.（2024·全国甲卷·高考真题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m 的小环套在大圆环上，
小环从静止开始由大圆环顶端经Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中
对大圆环的作用力大小（ ）
A．在Q 点最大
B．在Q 点最小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】C
【详解】方法一（分析法）：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处（P点）与圆环的作用力恰好为
零，如图所示
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设图中夹角为θ，从大圆环顶端到P点过程，根据机械能守恒定律
mgR(1−cosθ)= 1
2 m v
2
在P点，根据牛顿第二定律
mgcosθ =m v
2
R
联立解得
cosθ = 2
3
从大圆环顶端到P点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，
所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从P点到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环
对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二（数学法）：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角
为θ (0≤θ≤π )，根据机械能守恒定律
mgR(1−cosθ)= 1
2 m v
2 (0≤θ≤π )
在该处根据牛顿第二定律
F +mgcosθ =m v
2
R (0≤θ≤π )
联立可得
F =2mg−3mgcosθ
则大圆环对小环作用力的大小
|F|=|2mg−3mgcosθ|
根据数学知识可知|F|的大小在cosθ = 2
3时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用
力大小先减小后增大。
故选C。
4．（2024·北京·高考真题）如图所示，光滑水平轨道AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道BC 在B 点平滑连
接。一小物体将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点
C。下列说法正确的是（ ）
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A．物体在C 点所受合力为零
B．物体在C 点的速度为零
C．物体在C 点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点的动能
【答案】C
【详解】AB．物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆
轨道的半径为r，由牛顿第二定律得
解得物体在C 点的速度
AB 错误；
C．由牛顿第二定律得
解得物体在C 点的向心加速度
C 正确；
D．由能量守恒定律知，物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点时的动能和重力势能之和，D 错误。
故选C。
5．（2024·江苏·高考真题）在水平面上有一个U 形滑板A，A 的上表面有一个静止的物体B，左侧用轻弹
簧连接在物体B 的左侧，右侧用一根细绳连接在物体B 的右侧，开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光滑，
剪断细绳后，则（ ）
A．弹簧原长时B 动量最大
B．压缩最短时A 动能最大
C．系统动量变大
D．系统机械能变大
【答案】A
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【详解】对整个系统分析可知合外力为0，A 和B 组成的系统动量守恒，得
设弹簧的初始弹性势能为
，整个系统只有弹簧弹力做功，机械能守恒，当弹簧原长时得
联立得
故可知弹簧原长时物体速度最大，此时动量最大，动能最大。对于系统来说动量一直为零，系统机械能不
变。故选A。
6.（2024·浙江·高考真题）如图所示，质量为m 的足球从水平地面上位置1 被踢出后落在位置3，在空中达
到最高点2 的高度为h，则足球（ ）
A．从1 到2 动能减少mgh
B．从1 到2 重力势能增加mgh
C．从2 到3 动能增加mgh
D．从2 到3 机械能不变
【答案】B
【详解】AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从从1 到2 重力势能
增加mgh，则1 到2 动能减少量大于mgh，A 错误，B 正确；
CD．从2 到3 由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于mgh，选项CD 错
误。
故选B。
7．（2023·浙江·高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时
的加速度大小a、速度大小v、动能Ek 和机械能E 随运动时间t 的变化关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A．由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改
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变，故A 错误；
B．铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有
则抛出后速度大小为
可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B 错误；
C．铅球抛出后的动能
可知动能与时间不是一次函数关系，故C 错误；
D．铅球水平抛出后由于忽略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故D 正确。
故选D。
8．（2023·全国·高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中
（ ）
A．机械能一直增加B．加速度保持不变C．速度大小保持不变D．被推出后瞬间动能最大
【答案】B
【详解】A．铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A 错误；
B．铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B 正确；
CD．铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度
变大，则动能越来越大，CD 错误。
故选B。
9．（2023·全国·高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m 的小球
压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为
。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧
分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂
直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的
。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大
小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【答案】（1）
；（2）
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【详解】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
得小球离开桌面时速度大小为
（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
第一次碰撞前速度的竖直分量为
，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得
，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
30
