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专题12 机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒
目录
题型一 机械能守恒的判断...........................................................................................................................................1
题型二 单物体的机械能守恒问题..............................................................................................................................2
题型三 连接体的机械能守恒问题..............................................................................................................................8
类型1 链条类机械能守恒问题............................................................................................................................9
类型2 轻绳连接的物体系统................................................................................................................................9
类型3 轻杆连接的物体系统..............................................................................................................................15
类型4 含“弹簧类”系统的机械能守恒.........................................................................................................18
题型四 功能关系的理解和应用................................................................................................................................21
类型1 功能关系的理解....................................................................................................................................25
类型2 功能关系与图像的结合........................................................................................................................29
类型3 功能关系的综合应用..............................................................................................................................35
题型五 能量守恒定律的理解和应用........................................................................................................................41
题型一 机械能守恒的判断
【解题指导】机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不
做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其
他形式能的转化，则机械能守恒．
【例1】如图所示，物体以速度
冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，压缩弹簧至最短的过
程中（ ）
A．弹簧弹力对物体做正功
B．弹簧的弹性势能增加
C．合外力对物体做正功
D．物体的机械能守恒
【答案】B
1
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【详解】AB．物体向左运动，弹力方向向右，故弹力做负功，弹簧的弹性势能增加，故A
错误，B 正确；
C．根据动能定理
所以合外力对物体做负功，故C 错误；
D．因弹力对物体做负功，则物块的机械能减小，故D 错误。
故选B。
【变式演练1】(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽
的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A 点的正上方由静止开
始下落，从A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守
恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
【答案】 BC
【解析】 当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力
使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，
A、D 错误；小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力
做功，小球的机械能守恒，B 正确；小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小
球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C 正确．
【变式演练2】如图，斜面体A 放在水平面上，球体B 放在斜面体的斜面与竖直墙壁之间，
外力F 作用在A 上使A、B 处于静止状态，不计一切摩擦，现撤去F，在球B 向下运动的
过程中，下列说法正确的是（ ）
2
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A．A 对B 不做功
B．B 对A 不做功
C．B 的机械能守恒
D．A、B 组成的系统机械能守恒
【答案】D
【详解】ABCD．撤去推力后，A、B 组成的系统机械能守恒，B 对A 做正功，A 对B 做负
功，A 的机械能增大，B 的机械能减小。
故选D。
题型二 单物体的机械能守恒问题
【解题指导】1．表达式
2．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势
能面。
3．一般步骤
3
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【例1】一个弹性很好的橡胶球从距离地面高为h 处被竖直抛下，落到坚硬的水平地面上
被弹回，回跳的高度比抛出点高h0，已知重力加速度为g，不计空气阻力和球与地面碰撞
时的能量损失，则在抛出点必须以多大的速度将球向下抛出（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】从将球向下抛出到球上升到最高点，小球减少的动能为
小球增加的重力势能为
由机械能守恒定律得
联立得
故选C。
【例2】如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道
，半径为
，小球以一定
的初速度从最低点A 冲上轨道，图2 是小球在半圆形轨道上从A 运动到
的过程中，其速
度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点
受到轨道的作用力为
，空气阻
力不计，
点为
轨道中点，重力加速度
取
，下列说法错误的是（ ）
4
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A．最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2 中
C．小球在B 点受到轨道作用力为
D．小球质量为
【答案】C
【详解】A．在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A 正确，不符合
题意；
D．由图2 可得在最高点，小球的速度
，由牛顿第二定律
可解得小球的质量
故D 正确，不符合题意；
B．小球从A 运动到
的过程中，由机械能守恒定律
解得
故B 正确，不符合题意；
C．小球从A 运动到B 的过程中，由机械能守恒定律
5
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解得
小球在B 点受到轨道作用力为
故C 错误，符合题意。
故选C。
【变式演练1】运动员某次投篮时，篮球的运动过程可简化为如图所示，已知篮球的质量
为m，投出时篮球的初速度为
，距离篮框的竖直距离为h，忽略篮球运动过程中的空气
阻力，取篮框所在的平面为零势能面，重力加速度为g，篮球可看成质点，则下列说法正
确的是（ ）
A．篮球抛出后在空中做平抛运动
B．篮球在投出点的重力势能为mgh
C．篮球刚进入篮框时的机械能为
D．从投出至进框的过程中，篮球重力势能的变化量为mgh
【答案】D
【详解】A．篮球抛出后在空中做斜抛运动，故A 错误；
B．取篮框所在的平面为零势能面，篮球在投出点的重力势能为
-mgh
故B 错误；
C．篮球在抛出时的机械能为
6
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且运动过程中机械能守恒，故C 错误；
D．篮球在投出点的重力势能为
-mgh
进框时的重力势能为
0
从投出至进框的过程中，篮球重力势能的变化量为
故D 正确。
故选D。
【变式演练2】从地面以
的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为g，
以地面为重力势能的零势能面。当物体的重力势能为动能的
时，物体离地面的高度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】物体上抛过程，机械能守恒，可得
又
联立，解得
故选D。
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【变式演练3】如图所示，质量为m 的物体，以速度v 离开高为H 的桌子，当它落到距地
面高为h 的A 点时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能零，下列说法是正确的
是（ ）
A．物体在A 点具有的机械能是
B．物体在A 点具有的机械能是
C．物体在A 点具有的动能是
D．物体在A 点具有的动能是mg（H-h）
【答案】A
【详解】AB．物体在抛出点的机械能为
物体离开桌面后只有重力做功，机械能守恒，则物体在A 点机械能也为该值，故A 正确，
B 错误；
CD．根据机械能守恒定律有
故A 点的动能为
故CD 错误。
故选A。
【变式演练4】如图甲，O 点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O 点之间。现将
摆球拉到A 点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C 之间来回摆动，其中B 点为运动中
的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F 随时间t 变化的曲线，图中
为摆球从
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A 点开始运动的时刻，g 取10
，则摆球的质量是（ ）
A．0.05kg
B．0.10kg
C．0.18kg
D．0.21kg
【答案】B
【详解】在A 点
在B 点
从A 到B
另周期
联立可得
故选B。
题型三 连接体的机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
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(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．常见的三种模型
(1)轻绳连接的物体系统模型
常见
情景
模型
提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系
统，机械能则可能守恒。
(2)轻杆连接的物体系统模型
常见
情景
模型
特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能
不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做
功，则系统机械能守恒。
(3)轻弹簧连接的物体系统模型
模型
特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内
物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点
提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是
压缩。
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②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速
度，弹性势能最大。
类型1 链条类机械能守恒问题
【例1】如图所示，长为L 的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的
垂在桌边，松
手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为（重力加速度
为g）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设链条的总质量为
，选取桌面为零势能面，则刚开始是的重力势能
整个链条刚滑落桌面时的重力势能
在此过程中，重力做的功
根据动能定理可得链条的速度
A 正确。
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故选A。
【变式演练1】有一条均匀金属链条，一半长度在光滑的足够高斜面上，斜面顶端是一个
很小的圆弧，斜面倾角为
，另一半长度竖直下垂，由静止释放后链条滑动，已知重力
加速度
，链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为
，则金属链条的长度为
（ ）
A．0.6m
B．1m
C．2m
D．2.6m
【答案】C
【详解】设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
链条全部滑出后，动能为
重力势能为
由机械能守恒可得
即
解得
故选C。
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【变式演练2】如图（a）所示，一根质量为M、长度为L 的均匀柔软细绳置于光滑水平桌
面上，绳子右端恰好处于桌子边缘，桌面离地面足够高。由于扰动，绳从静止开始沿桌边
下滑。当绳下落的长度为x 时，加速度大小为a，绳转折处O 点的张力大小为T，桌面剩余
绳的动能为
、动量为p，如图（b）所示。则从初态到绳全部离开桌面的过程中，下列说
法正确的是（ ）
A．当
时，张力T 有最大值
B．当
时，动量P 有最大值
C．当
时，加速度a 有最大值
D．当
时，动能
有最大值
【答案】B
【详解】AC．绳子下落长度为
时，对整条绳，由牛顿第二定律有
解得绳上各点的加速度大小为
对桌面上的绳子，由牛顿第二定律有
联立解得
可知，当
时，加速度
有最大值，当
时，张力
有最大值，故AC 错误；
B．绳子从开始运动到绳子下落长度
的过程中，由机械能守恒定律可得
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解得
则桌面剩余绳的动量为
可知，当
时，动量
有最大值，故B 正确；
D．桌面剩余绳子的动能为
根据数学知识可知，当
即
动能
有最大值，故D 错误。
故选B。
类型2 轻绳连接的物体系统
【例2】如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A 和B，已
知小球A 的质量为m，用手托住B 球，轻绳刚好被拉紧时，B 球离地面的高度为h，A 球
静止于水平地面上。现释放B 球，落地时的速度为
。定滑轮的质量及轮与轴间的摩
擦均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
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A．B 球的质量为4m
B．A 球上升h 的过程中，轻绳对A 球的拉力做的功为mgh
C．B 球从释放至落地，运动的时间为
D．A 球从地面开始上升的最大高度为1.6h
【答案】ACD
【详解】A．设B 球的质量为M，根据动能定理
解得
故A 正确；
B．设轻绳对A 球的拉力做的功为W，根据动能定理
解得
故B 错误；
C．将AB 球看成整体，则根据牛顿第二定律
解得
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所以，B 球从释放至落地，运动的时间为
故C 正确；
D．B 球落地时，A 球的位移为
此后A 球做竖直上抛运动，则位移为
所以，A 球从地面开始上升的最大高度为
故D 正确。
故选ACD。
【变式演练1】如图所示，物体Q 锁定在水平地面上，不可伸长的轻质细线一端连接在Q
上，另一端绕过三个光滑轻质小滑轮后固定在地面上。物体P 与滑轮2 相连，系统静止，
四段细线都竖直，现解除对物体Q 的锁定，物体P 触地后静止不动，物体P 触地瞬间连接
物体Q 的绳子断开。已知物体P 与地面间高度差为h，物体P、Q 质量分别为3m、m，重
力加速度为g，天花板离滑轮1 和3 足够高，物体P、Q 均可视为质点，不计空气阻力。下
列说法正确的是（ ）
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A．物体Q 上升过程中的最大速度为
B．物体Q 上升过程中的最大速度为
C．物体Q 上升的最大高度为
D．物体Q 上升的最大高度为
【答案】AD
【详解】AB．根据题意可知，物体P 刚刚触地时，Q 速度最大，此时
根据机械能守恒定律有
解得
故A 正确，B 错误；
CD．绳子断开后有
物体Q 上升的最大高度
结合上述解得
故C 错误，D 正确。
故选AD。
【变式演练2】如图，ab、cd 为在同一竖直面内的两光滑水平轨道，两轨道间的竖直距离
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为h。轨道上有两个可视为质点的物体A 和B，质量均为m，它们通过一根绕过定滑轮的
不可伸长的轻绳相连接。现用水平向右的拉力拉着物块A，使A、B 一起运动，当轻绳OB
与水平轨道的夹角
时，撤掉拉力，此时物体A 在cd 轨道运动的速率为v，设绳长
BO 远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，不计空气阻力。下列说法正确的是
（ ）
A．当轻绳OB 与水平轨道夹角为30°时，物体B 的速度大小为
B．当轻绳OB 与水平轨道夹角为90°时，物体B 的速度大小为
C．轻绳OB 与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B 做的功为
D．轻绳OB 与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B 做的功为
【答案】BD
【详解】A．当轻绳OB 与水平轨道夹角为30°时，物体B 的速度大小
选项A 错误；
B．当轻绳OB 与水平轨道夹角为90°时，此时物体A 的速度为零，从撤去外力到该位置由
机械能守恒定律
解得物体B 的速度大小为
选项B 正确；
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CD．轻绳OB 与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B 做的功为
选项C 错误，D 正确。
故选BD。
类型3 轻杆连接的物体系统
【例3】如图，一长为L 的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定质量为m 的小球。开
始时，轻杆位于竖直方向，之后受轻微扰动后向左自由转动。某时刻轻杆与竖直方向的夹
角记为
，取重力加速度为g，关于转动过程中小球的以下说法正确的是（ ）
A．竖直速度先增大后减小
B．重力的最大功率为
C．当
时，小球只受重力作用
D．水平方向上速度最大值为
【答案】BCD
【详解】A．小球受杆沿杆方向的支持力或拉力作用，竖直向下的重力作用，转动过程中，
重力一直做正功，竖直方向速度一直增加，故A 错误；
B．杆对小球不做功，重力对小球做正功，当
时，有
解得
重力的最大功率为
故B 正确；
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C．当
时，由机械能守恒可得
解得
此时小球做圆周运动需要的向心力为
重力沿杆方向的分力为
则杆对小球无作用力，小球只受重力作用，故C 正确；
D．杆对小球的作用力由支持力逐渐变为拉力，则在水平方向为向左的推力逐渐变为0，再
变为向右的拉力；杆对小球无作用力时水平方向速度速度最大，为
故D 正确。
故选BCD。
【变式演练1】如图所示，O 点为足够长的光滑水平面与光滑竖直墙面的交点，长为3l 的
轻直刚性杆两端分别用光滑铰链连接一可视为质点且完全相同的小球甲和乙。现让小球乙
静止于O 点，使小球甲从墙面上距水平面高度为3l 的a 点由静止开始无初速度下滑。已知
墙面上沿竖直方向的各点间距ab=bc=cO=l，重力加速度为g，不计空气阻力，则在小球甲
从a 点运动到O 点过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．小球甲的最大速度为
B．小球甲的最大速度为
C．小球甲运动到b 点时，小球乙的速度为
D．小球甲运动到c 点时，小球乙的速度为
【答案】BC
【详解】AB．由分析知，当小球甲运动到O 点时，小球乙的速度为零，此时小球甲的速度
最大，设其最大速度为v 甲，根据机械能守恒定律有
解得
故A 错误，B 正确；
C．小球甲运动到b 点时，设小球乙的速度为v2时，对应的小球甲的速度大小为v1，杆与竖
直方向的夹角为
，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律可得
其中
，
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解得
小球甲运动到b 点时，小球乙的速度等于
，选项C 正确；
D．小球甲运动到c 点时，设小球乙的速度为v4时，对应的小球甲的速度大小为v3，杆与竖
直方向的夹角为
，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律可得
其中
，
解得
选项D 错误。
故选BC。
【变式演练2】如图所示，有一光滑轨道
，
部分竖直，
部分水平，
部分
是半径为
的四分之一圆弧，其中
与
、
相切。质量均为
的小球
、
（可视
为质点）固定在长为
的竖直轻杆两端，开始时
球与
点接触且轻杆竖直，由静止释放
两球使其沿轨道下滑，重力加速度为
。下列说法正确的是（ ）
A．
球下滑过程中机械能减小
B．
球下滑过程中机械能增加
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C．
球滑到水平轨道上时速度大小为
D．从释放
、
球到两球均滑到水平轨道的过程中，轻杆对
球做功为
【答案】D
【详解】C．两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有
解得
即
、
球滑到水平轨道上时速度大小均为
，故C 错误；
D．b 球在滑落过程中，设杆对b 球做功为W，根据动能定理可得
联立解得
对a 球由动能定理可得
解得杆对a 球做功为
故D 正确；
AB．结合D 项分析可知，杆对
球做正功，对b 球做负功，故下滑过程中
球机械能增大，
b 球机械能减小，即对单个球来看，机械能均不守恒，故AB 错误。
故选D。
【变式演练3】如图所示，在两个质量分别为m 和2m 的小球A 和B 之间用一根长为L 的
轻杆连接，轻杆可绕中心O 的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置无初速度释放，在
杆转至竖直的过程中（轻杆质量不计）（ ）
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A．A 球机械能减小
B．杆对B 球不做功，B 球机械能守恒
C．A 球和B 球总机械能守恒
D．A 球和B 球总机械能不守恒
【答案】C
【详解】A．释放后，A 球向上运动，速度增大，高度增大，所以A 球的动能和势能都增
大，即A 球的机械能增大，故A 错误；
BCD．在杆从水平转至竖直的过程中，A 球和B 球组成的系统只有重力做功，所以系统的
机械能守恒，又根据机械能守恒可得
所以A 球的机械能增大，B 球的机械能减少，杆对B 球做负功，故BD 错误，C 正确。
故选C。
类型4 含“弹簧类”系统的机械能守恒
1．通过其他能量求弹性势能
根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
2．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧
弹性势能相等．
3．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
【例4】（2023 春·河北·高三校联考期中）如图所示，轻质弹簧下端与光滑固定斜面底端
栓接，上端连接物块B，物块A 通过细线跨过光滑定滑轮与物块B 连接，已知斜面倾角为
，物块B 的质量为
不变，物块A 的质量可以改变，弹簧的原长为
，物块
A、B 以及滑轮大小忽略不计。初始时在外力作用下，弹簧处于原长，细线刚好绷紧，物
块A、B 处于等高位置。挂不同质量的物块A，撤去外力，让物块A、B 自由运动；当
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时，物块A 能够上升的最大高度为
；当
时，物块A 能够下降的最大高
度为
：当
时，物块A 下降
时速度可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，由能量守恒可得
当
时，由能量守恒可得
解得
当
时，由能量守恒可得
解得
根据题意有
联立可得
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故选A。
【变式演练1】如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上的O 点，下端与固定在斜面底
端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A 点。一物块由斜面上A 点上方某位置由静止释
放，将弹簧压缩至最低点B，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．物块运动到A 点时的动能最大
B．物块从A 点运动到B 点过程中机械能守恒
C．物块运动到B 点后将在B 点保持静止状态
D．弹簧弹性势能的最大值等于物块从O 点到B 点重力势能的减少量
【答案】D
【详解】A．物块运动到A 点时，弹力为零，合力不为零，则物块有沿斜面向下的加速度，
则此时速度不是最大，即动能不是最大，选项A 错误；
B．物块从A 点运动到B 点过程中弹簧的弹力对物块做负功，则物块的机械能不守恒，选
项B 错误；
C．物块运动到B 点后合力沿斜面向上，则将沿斜面向上运动，不会在B 点保持静止状态，
选项C 错误；
D．由能量关系可知，弹簧弹性势能的最大值等于物块从O 点到B 点重力势能的减少量，
选项D 正确。
故选D。
【变式演练2】如图所示，质量均为m 的物体A、B 用跨过滑轮O 的轻绳连接，A 穿在固
定的竖直光滑杆上，B 置于倾角
的光滑固定斜面上。一劲度系数
的轻质弹簧
的一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接B。初始时，施加外力将A 置于N 点，轻绳
恰好伸直但无拉力，
段长为
，与杆垂直，
段与斜面平行。现将A 由静止释放，沿
杆下滑到最低点
，
为
中的一点，且
。A、B 均可视为质点，运动过程中B
不会与滑轮相碰，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计一切阻力。则A 从N 点
26
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下滑到M 点的过程中（ ）
A．B 沿斜面运动的距离为
B．A、B 组成的系统机械能守恒
C．经过M 点时A 的速度大小为
D．轻绳对A 做的功为
【答案】AC
【详解】A．A 从N 点下滑到M 点的过程，B 沿斜面运动的距离为
故A 正确；
B．由于弹簧对B 做功，所以A、B 组成的系统机械能不守恒，故B 错误；
CD．开始运动时，弹簧的压缩量为
则A 经过M 点时，弹簧的伸长量为
可知A 从N 点下滑到M 点的过程，弹簧的弹性势能变化量为0，根据能量守恒可得
根据速度关联关系可得
其中
联立解得经过M 点时A 的速度大小为
27
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对A 根据动能定理可得
解得轻绳对A 做的功为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
【变式演练3】如图所示，轻弹簧一端固定在O 点，另一端与一质量为m 的小球相连，小
球套在固定的竖直光滑杆上，P 点到O 点的距离为L，
与杆垂直，杆上M、N 两点与O
点的距离均为
。已知弹簧的劲度系数为k，原长为L，重力加速度为g，现让小球从M
处由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．小球从M 运动到N 的过程中，小球的机械能守恒
B．小球通过N 点时速率为
C．小球从M 运动到N 的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大
D．小球从M 运动到N 的过程中，小球的动能和弹簧的弹性势能之和先减小后增大
【答案】BC
【详解】A．小球从
运动到
的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的
机械能并不守恒，故A 错误；
B．根据几何关系有
28
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解得
小球在M、N 两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，在此过程中小球
的重力势能全部转化为动能，则
解得
故B 正确；
C．
，等于弹簧的原长，则小球位于P 点时，弹簧弹力为0，弹簧的弹性势能为0 且
最小，所以从
运动到N 的过程中弹簧的弹性势能先减小后增大，故C 正确；
D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒，小球的重力势能一直在减小，所以小球的动能和
弹簧的弹性势能之和一直在增大，故D 错误。
故选BC。
【变式演练4】如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O 上，另一端与套在
光滑固定直杆A 处质量为m 的小球（可视为质点）相连。A 点距水平面的高度为h，直杆
与水平面的夹角为30°，OA＝OC，B 为AC 的中点，OB 等于弹簧原长。小球从A 处由静止
开始下滑，经过B 处的速度为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球在C 点时的动能
B．小球通过B 点时的加速度为
C．弹簧具有的最大弹性势能为
D．小球下滑过程机械能守恒
【答案】AB
【详解】A．小球在A 点和C 点时，弹簧的长度相同，即弹簧的形变量相同，具有相同的
弹性势能，全程弹簧的弹力做功为零，则小球从A 点到C 点的过程，根据动能定理
29
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即
故A 正确；
B．因在B 点时弹簧在原长，则到达B 点时的加速度为
故B 正确；
C．弹簧形变量最大时弹性势能最大，即小球在A 点时，弹簧具有最大的弹性势能，小球
由A 点到B 点过程中，根据能量守恒
解得
故C 错误；
D．小球下滑过程中，除了小球重力做功外，还有弹簧的弹力做功，所以小球下滑过程机
械能不守恒，故D 错误。
故选AB。
题型四 功能关系的理解和应用
1．做功的过程就是能量转化的过程．功是能量转化的量度.
2．功与能量的变化是“一一对应”的，如重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应
动能的变化等.
3．分析机械能的变化，既可以用定义法也可以根据除重力(弹簧弹力)以外的其他力做功来
分析．
类型1 功能关系的理解
常见的功能关系
30
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能量
功能关系
表达式
势能
重力做功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能
合外力做功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝mv2－mv0
2
机械能
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械
能变化量
W 其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦
产生
的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝
对值等于产生的内能
Q＝Ff·x 相对
电能
克服安培力做功等于电能增加量
W 电能＝E2－E1＝ΔE
【例1】翼装飞行是一项极具刺激的娱乐项目，亚洲翼装飞行第一人张树鹏的飞行梦始于
张家界天门山。如图所示为张树鹏完成比赛时的情景，张树鹏由高空静止跳下，在空中滑
行一段距离后安全地着陆在山脚下。则张树鹏在空中下落的过程中（ ）。
A．机械能守恒
B．重力势能的减少大于动能的增加
C．合力做的功等于重力势能的减少量
D．重力做的功等于机械能的减少量
【答案】B
【详解】A．张树鹏在下落的过程中，重力做正功，空气的阻力做负功，所以机械能不守
恒，故A 错误；
B．由动能定理可知
所以重力做的功大于动能的增加，即重力势能的减少大于动能的增加，故B 正确；
31
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C．由动能定理可知合力的功等于动能的增加量，故C 错误；
D．阻力的功等于机械能的减少量，故D 错误。
故选B。
【变式演练1】如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地350m 高的桥面一跃而下，
实现了自然奇观与极限运动的完美结合。假设质量为m 的跳伞运动员，由静止开始下落，
在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度
，在运动员下落h 的过程中，下列说法
正确的是（ ）
A．运动员重力做功为
B．运动员克服阻力做功为
C．运动员的动能增加了
D．运动员的机械能减少了
【答案】D
【详解】A．运动员下落h，则重力做功为
故A 错误；
B．根据
得
则运动员克服阻力做功为
故B 错误；
C．运动员的动能增加量等于合外力做功，则
32
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=
故C 错误；
D．运动员的机械能减少量等于克服阻力做功，即
故D 正确。
故选D。
【变式演练2】在实际情况中，物体做抛体运动时总会受到空气阻力的影响。如图所示，
虚线是炮弹在忽略空气阻力情况下计算出的飞行轨迹；实线是炮弹以相同的初速度和抛射
角射出在空气中实际的飞行轨迹，这种曲线叫作弹道曲线。由于空气阻力的影响，弹道曲
线的升弧和降弧不再对称，升弧长而平伸，降弧短而弯曲。炮车的大小可以忽略。当炮弹
做弹道运动时，结合学过的力学知识，分析判断下列说法正确的是（ ）
A．炮弹上升的时间一定等于下降的时间
B．炮弹在最高点时的加速度等于重力加速度
C．炮弹在上升阶段损失的机械能等于在下降阶段损失的机械能
D．炮弹在上升阶段重力势能的增加量等于在下降阶段重力势能的减少量
【答案】D
【详解】A．炮弹上升过程中，在竖直方向上，受到重力和阻力在竖直向下的分力，即
解得
炮弹下降过程中，在竖直方向，受到向下的重力和阻力在竖直向上的分力，即
解得
33
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则
设炮弹上升的时间为t1，炮弹下降的时间为t2，根据
得
炮弹上升的时间一定小于下降的时间，A 错误；
B．到达最高点时，除受竖直向下的重力外还受到水平方向的空气阻力作用f，合力
由牛顿第二定律可知，炮弹在最高点时的加速度大于重力加速度，B 错误；
C．假设空气阻力大小不变，由微元法，上升过程克服空气阻力做的功等于空气阻力与上
升过程路程的乘积，下降过程克服空气阻力做的功等于空气阻力与下降过程路程的乘积。
升弧长而平伸，降弧短而弯曲。上升过程克服空气阻力做的功大于下降过程克服空气阻力
做的功。又由功能关系，克服空气阻力做的功等于机械能的减少量。炮弹在上升阶段损失
的机械能大于在下降阶段损失的机械能。假设空气阻力大小与速度成正比或与速度的平方
成正比，由于空气阻力始终做负功，同一高度处，上升过程的速度大小总是大于下降过程
的速度大小，则同一高度处，上升过程的空气阻力大小总是大于下降过程的空气阻力大小。
由微元法，上升过程克服空气阻力做的功等于空气阻力与上升过程路程的乘积，下降过程
克服空气阻力做的功等于空气阻力与下降过程路程的乘积。升弧长而平伸，降弧短而弯曲。
上升过程克服空气阻力做的功大于下降过程克服空气阻力做的功。又由功能关系，克服空
气阻力做的功等于机械能的减少量。炮弹在上升阶段损失的机械能大于在下降阶段损失的
机械能。
C 错误；
D．炮弹在上升阶段重力势能的增加量等于在下降阶段重力势能的减少量，D 正确。
故选D。
34
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【变式演练3】一个物块从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端。已知小物块
的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为
。若小物块冲上
斜面的初动能变为2E，则有（ ）
A．返回斜面底端时的动能为
B．返回斜面底端时的动能为E
C．返回斜面底端时的速度大小为2v
D．克服摩擦阻力做的功仍为
【答案】B
【详解】ABD．设以初动能为E 冲上斜面的初速度为
，则以初动能为2E 冲上斜面时，
初速度为
，由于两次向上运动的加速度相同，根据
，
可知第二次冲上斜面的位移是第一次的两倍，所以第二次上升过程中克服摩擦力做功是第
一次的两倍，第二次整个上升返回过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，即为E；根据
能量守恒可知第二次返回到底端时的动能为
故AD 错误，B 正确；
C．第一次小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为
，
则有
若小物块冲上斜面的初动能变为2E，设它返回斜面底端的速度大小为
，由于克服摩擦阻
力做功为E，则有
联立可得
故C 错误。
故选B。
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类型2 功能关系与图像的结合
【例2】从地面竖直向上抛出一物体，取地面为零势能参考面，该物体的
和
随上升高
度h 的变化如图所示。重力加速度取
，由图中数据可得（ ）
A．物体的质量为2.5 kg
B．h＝2 m 时，物体的动能
C．h＝0 时，物体的速度大小为
D．物体的速度大小为20 m/s 时，距地面的高度h=2 m
【答案】AC
【详解】A．由图可知，上升的最大高度为4m，由重力势能公式
可得
A 正确；
BD．由图可知
时，物体的动能
物体的速度为
BD 错误；
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C．h＝0 时，物体的速度大小为
C 正确；
故选AC。
【变式演练1】一质量为1kg 的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x 轴
运动，出发点为x 轴零点，拉力做的功W 与物体坐标x 的关系如图所示。物体与水平地面
间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．从x=0 运动到x=2m 过程中拉力的大小为12N
B．在x=3m 时，物体的动能为15J
C．从x=0 运动到x=2m，物体机械能增加了4J
D．从x=0 运动到x=4m 的过程中，物体的最大速度为2m/s
【答案】C
【详解】A．由于拉力在水平方向，则拉力做的功为
，可看出
图像的斜率代
表拉力F，则从x=0 运动到x=2m 过程中拉力的大小
故A 错误；
B．由图可知从x=0 运动到x=3m，拉力做功为W=15J，根据动能定理有
可得x=3m 时物体的动能为
故B 错误；
37
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C．从x=0 运动到x=2m，拉力做功
W=12J
物体克服摩擦力做的功为
根据功能关系
故C 正确；
D．根据
图像可知在0~2m 的过程中
，2~4m 的过程中
，由于物体受到
的摩擦力恒为f=4N，则物体在x=2m 处速度最大，根据动能定理有
可得
故D 错误。
故选C。
【变式演练2】如图甲所示，将物块从倾角为θ=30°的斜面顶端由静止释放，取地面为零势
能面，物块在下滑过程中的动能Ek、重力势能Ep与下滑位移x 间的关系如图乙所示，取
g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物块的质量是0.1kg
B．物块与斜面间的动摩擦因数为
C．当下滑的距离为4.8m 时，物块动能与势能相等
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D．当物体的势能为8J 时，动能为
J
【答案】D
【详解】A．由图知，小球下滑的最大位移为 x=12m，在最高点时，小球的重力势能
得小球的质量
故A 错误；
B．根据除重力以外其他力做的功
可知
由图知，最高点的机械能为
最低点的机械能为
又
x=12m
解得
故B 错误；
C．设小球动能和重力势能相等时的高度为h，此时有
由动能定理有
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联立解得
h=2.4m
故C 错误；
D．由图可知，在物块下滑4m 处，小球的重力势能是8J，动能为
故D 正确。故选D。
【变式演练3】从地面竖直向上抛出一物体，其机械能
等于动能
与重力势能
之和。
取地面为重力势能零点，该物体的
和
随它离开地面的高度h 的变化如图所示。重力
加速度取
。由图中数据可得（ ）
A．物体的质量为1kg
B．h＝0 时，物体的速率为20m/s
C．物体上升4m 过程中，物体的动能减少了80J
D．物体上升2m 过程中，克服阻力做功10J
【答案】D
【详解】A．根据题意，由公式
结合图像可得，物体的质量为
故A 错误；
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B．h＝0 时，物体的重力势能为0，则有
解得
故B 错误；
C．由图可知，物体上升到4m 时
此时物体的动能为0，则物体的动能减少了
故C 错误；
D．由图可知，物体上升到2m 时
，
则此时的动能为
由动能定理有
解得
故D 正确。
故选D。
【变式演练4】滑草是一项使用滑草车沿倾斜草地滑行的运动，深受青年人喜爱，甲图为
滑草运动场地鸟瞰图。某滑草运动场地由倾斜滑道AB 和水平滑道BC 两部分组成，B 点处
平滑连接，如图乙所示。倾斜滑道AB 长100m，与水平面夹角为18°。某游客乘坐滑草车
从A 点由静止开始沿滑道下滑，滑草车在AB 段做匀加速直线运动。取倾斜滑道底端为零
势能面，游客与滑草车在AB 上运动的机械能、重力势能随着位移x 的变化情况如图丙所示。
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重力加速度大小取
，
，下列说法正确的是（ ）
A．游客和滑草车总质量为186kg
B．游客到达B 点时的速度为10m/s
C．滑草车与倾斜滑道间的动摩擦因数为0.26
D．游客在倾斜滑道上的加速度为
【答案】B
【详解】A．游客和滑草车开始下滑时的重力势能为
总质量为
m=60kg
选项A 错误；
B．游客到达B 点时的动能等于机械能为3000J，则根据
可得速度为
vB=10m/s
选项B 正确；
C．滑草车下滑过程中由能量关系
解得与倾斜滑道间的动摩擦因数为
μ=0.274
选项C 错误；
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D．游客在倾斜滑道上的加速度为
选项D 错误。
故选B。
类型3 功能关系的综合应用
【例3】（2024·山东·高考真题）如图所示，质量均为m 的甲、乙两同学，分别坐在水平放
置的轻木板上，木板通过一根原长为l 的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d
（d<l）。两木板与地面间动摩擦因数均为μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E=
kx2（x 为绳的伸长量）。现用水平力F 缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开
原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k 保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度大小为g，则F 所做的功等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有
解得弹性绳的伸长量
则此时弹性绳的弹性势能为
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从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为
则由功能关系可知该过程F 所做的功
故选B。
【变式演练1】如图所示，质量为m 的物体A 下端连接着固定在地面上的竖直轻质弹簧，
上端通过绕过定滑轮的轻质细绳连接着质量为2m 的物体B，整个系统处于静止状态。已知
轻质弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力及一切摩擦。现将细绳从P 处剪
断，下列说法正确的是（ ）
A．剪断绳的瞬间，A 的加速度大小为g
B．剪断绳后，A 做简谐运动的振幅为
C．剪断绳后，A 从图示位置运动到最低点的过程中，重力的瞬时功率一直增加
D．剪断绳后，A 从图示位置运动到最低点的过程中，机械能先增加后减小
【答案】D
【详解】A．剪断绳之前，根据受力平衡可知，弹簧弹力大小为
剪断绳的瞬间，A 受到向下的重力
及向下的大小为
的弹簧弹力，所以A 的加速度大
小为
故A 错误；
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B．剪断绳之前，弹簧处于伸长状态，伸长量为
剪断绳后，A 做简谐运动，其平衡位置对应的弹簧压缩量为
因此A 做简谐运动的振幅为
故B 错误；
CD．剪断绳后，A 从图示位置运动到最低点的过程中，速度先增大后减小，所以重力的瞬
时功率先增大后减小；弹簧弹力先做正功再做负功，A 的机械能先增加后减小，故C 错误，
D 正确。
故选D。
【变式演练2】一质量为m 的小球，从地面附近的某高度处以初速度v 水平抛出，除重力
外小球还受一水平恒力作用，经过一段时间，小球的速度大小变为2v，方向竖直向下，小
球还未到达地面。在此过程中( )
A．小球的动能增加了mv2
B．小球的重力势能减少了2mv2
C．小球的机械能增加了2mv2
D．水平恒力做功的大小大于重力做功的大小
【答案】 B
【解析】 小球的动能增加了ΔEk 增＝m(2v)2－mv2＝mv2，故A 错误；小球在竖直方向做自
由落体运动，且水平恒力作用一段时间后，小球运动速度方向竖直向下，说明水平方向的
速度恰好减为零，小球的重力势能减少了ΔEp 减＝mgh，又(2v)2＝2gh，联立得ΔEp 减＝
2mv2，故B 正确；下落过程根据动能定理得WF＋mgh＝m(2v)2－mv2，即WF＋2mv2＝m(2v)2
－mv2，解得WF＝－mv2，水平恒力做功为－mv2，小球的机械能减少mv2，重力做功等于重
力势能的减少量即为2mv2，故C、D 错误。
【变式演练3】如图，在倾角为
的光滑斜坡上有20 个均匀分布的减速带，减速带之间的
距离均为d，每个减速带的宽度远小于d。质量为m 的无动力小车（可视为质点）从距第一
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个减速带L 处由静止下滑。小车通过减速带所损失的机械能与到达减速带时的速度有关。
某同学观察发现，小车通过第17 个减速带后，在相邻减速带间的平均速度不再增加。小车
通过最后一个减速带后立刻进入与斜面平滑连接的水平地面继续滑行距离s 后停下，小车
与地面间的动摩擦因数为
，重力加速度为g。
（1）小车进入水平地面时速度的大小；
（2）小车通过20 个减速带共损失的机械能
；
（3）小车通过第17 个减速带后，每经过一个减速带损失的机械能
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）在水平地面上，小车水平方向受到摩擦力即合外力，根据牛顿第二定律
f = ma
f=μN=μmg
可得
a =μg
由公式
可得
=
（2）以水平地面为零势能面，静止下滑处小车的机械能为
通过20 个减速带时小车的机械能为
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小车通过20 个减速带共损失的机械能为
（3）通过相邻减速带间的平均速度不再增加的大致v-t 图像
或
（图像不做
要求）
通过第17 个及之后的减速带时小车的平均速度相同，即达到减速带时小车的瞬时速度相同。
小车通过第17 个减速带后，根据功能关系，每经过一个减速带损失的机械能
【变式演练4】如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，斜面的底端固定一垂
直斜面的挡板，上端固定一定滑轮O。劲度系数为
的轻弹簧下端固定在挡板上，
上端与质量为2m 的物块Q 连接。一跨过定滑轮O 的轻绳一端与物块Q 连接，另一端与套
在水平固定的光滑直杆上质量为m 的物块P 连接。初始时物块P 在水平外力F 作用下静止
在直杆的A 点，且恰好与直杆没有相互作用，轻绳与水平直杆的夹角为30°。去掉水平外
力F，物块P 由静止运动到B 点时轻绳与直杆间的夹角37°。已知滑轮到水平直杆的垂直距
离为d，重力加速度大小为g，弹簧轴线、物块Q 与定滑轮之间的轻绳与斜面平行，不计滑
轮大小及摩擦，
，
。则下列说法正确的是（ ）
A．物块P 在A 点时弹簧的伸长量为
B．物块P 从A 点到B 点时，物块Q 的势能减少量等于P、Q 两物块增加的总动能
C．物块P 运动到B 点时，物块Q 的速度为
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D．物块P 从A 点运动到B 点的过程中，轻绳拉力对物块P 做的功为
【答案】BD
【详解】A．初始时物块P 在水平外力F 作用下静止在直杆的A 点，且恰好与直杆没有相
互作用，可知细绳的拉力为
对滑块P 分析可知
解得
选项A 错误；
B．物块P 从A 点到B 点时，物块Q 下滑的距离
即此时弹簧被压缩
，在两个状态下的弹簧弹性势能相等，则由系统机械能守恒关系可知，
物块P 从A 点到B 点时，物块Q 的势能减少量等于P、Q 两物块增加的总动能，选项B 正
确；
C．物块P 运动到B 点时，设物块Q 的速度为v，则物块P 的速度
由能量关系
物块Q 的速度为
选项C 错误；
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D．物块P 从A 点运动到B 点的过程中，轻绳拉力对物块P 做的功为
选项D 正确。
故选BD 。
【变式演练5】如图所示，木块放在光滑水平面上，一颗子弹水平射入木块。若子弹受到
的平均阻力为f，射入深度为d，在此过程中木块的位移为s，则（ ）
A．子弹的动能减少了
B．木块的动能增加了
C．系统产生的热量为
D．子弹克服阻力做功为
【答案】BC
【详解】AD．对子弹，根据定理定律可得
可知子弹克服阻力做功为
，子弹的动能减少了
，故AD 错误；
B．对木块，根据定理定律可得
可知木块的动能增加了
，故B 正确；
C．子弹与木块发生的相对位移为
，根据功能关系可知子弹与木块组成系统产生的热量
为
故选C 正确。
故选BC。
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题型五 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个
物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE 减＝ΔE 增．
3．应用能量守恒定律解题的步骤
(1)首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性
势能、电势能)、内能等．
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE 减和增加的能
量ΔE 增的表达式．
【例题】如图为某研究小组设计的一种节能运输系统。木箱在倾角为30°的斜面轨道顶端
时，自动装货装置将货物装入质量为M 的木箱内，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下
（货物与木箱之间无相对滑动），当斜面底端的轻弹簧被压缩至最短时，系统将木箱锁定，
自动卸货装置将货物卸下，此后解除对木箱的锁定，木箱恰好被轻弹簧弹回到轨道顶端。
已知木箱下滑的最大距离为L，轻弹簧的弹性势能
，x 为弹簧的形变量，轻弹簧的
劲度系数
，轻弹簧始终在弹性限度内，木箱与轨道间的动摩擦因数为
，重力
加速度大小为g。
，
，求：
（1）弹簧被压缩后的最大弹性势能；
（2）运送的货物的质量；
（3）木箱与货物在向下运动过程中的最大动能。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
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【详解】（1）设弹簧的最大弹性势能为
，弹簧将箱子弹回到最高点的过程中，根据能
量守恒
解得
（2）设运送的货物的质量为m，货物和箱子向下运动过程中，根据能量守恒
解得
（3）当箱子和货物向下运动的速度达到最大时，设弹簧的压缩量为
，根据力的平衡有
解得
设弹簧的最大压缩量为
，则
解得
设木箱与货物运动过程中的最大动能为
，根据能量守恒
解得
【变式演练1】如图所示，质量为
的三轮车静止在水平地面上。此车通过钢丝（绕过光
滑定滑轮）将质量为
的石头从洞中拉到洞口，地面上方部分钢丝水平。三轮车以额定
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功率
从静止开始启动，经过时间
三轮车达到行驶的最大速度，立刻关闭发动机，又经
过一段时间，三轮车停止运动，此时石头刚好到达洞口。若钢丝不计质量，石头可视为质
点，三轮车行驶过程中所受地面的阻力为其重力的
，不计空气阻力，重力加速度为
，
求：
（1）石头从开始运动到洞口上升的高度是多少；
（2）关闭发动机后瞬间钢丝对石头拉力的功率。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）石头从开始运动到洞口，设上升高度为，由能量守恒定律有
解得
（2）关闭发动机后瞬间，三轮车向右减速运动，石头向上减速运动，钢丝对石头的拉力为
，对三轮车由牛顿第二定律有
对石头由牛顿第二定律有
解得
由题意关闭发动机后瞬间，三轮车达到最大速度，有
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关闭发动机后瞬间钢丝对石头拉力的功率
【变式演练2】某商家为了促销推出图甲所示的弹珠抽奖游戏，图乙为游戏的模型示意图，
平面游戏面板与水平面成
角固定放置，面板右侧的直管道与半径为
的
细
圆管轨道平滑连接，两者固定在面板上。圆管轨道的圆心为O，顶端水平。顾客游戏时，
用外力压缩面板底部连接的小弹簧将弹簧顶端的小弹珠（可视为质点）弹出，若弹珠直接
打中面板底部的中奖区域，则获得相应奖励，若弹珠打中侧面挡板，则抽奖无效。已知弹
珠质量
，直管道长度
，中奖区域AB 长度
，其等分为如图所示的
五个中奖区域，不计所有摩擦和阻力，弹簧的长度忽略不计，重力加速度g 取
，求：
（1）弹珠从圆管轨道顶端以
的速度飞出时，弹珠对轨道的压力以及此时顾客的
中奖情况；
（2）顾客获得一等奖时，弹簧初始弹性势能的取值范围。
【答案】（1）
，方向沿斜面向下，三等奖；（2）
或
【详解】（1）在圆管轨道顶端对弹珠受力分析
解得
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根据牛顿第三定律，弹珠对轨道的压力为
，方向沿斜面向下。根据牛顿第二定律有
解得
根据运动的分解有
联立解得
，
由于
则小球落在三等奖区域，顾客获得三等奖。
（2）根据能量守恒有
对类平抛运动有
联立得
顾客获得一等奖时
或
解得
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或
【变式演练3】如图所示，倾角为
的斜面与圆心为O、半径
的光滑圆弧轨
道在B 点平滑连接，且固定于竖直平面内。斜面上固定一平行于斜面的轻质弹簧，现沿斜
面缓慢推动质量为
的滑块a 使其压缩弹簧至A 处，将滑块a 由静止释放，通过D
点时轨道对滑块a 的弹力为零。已知A、B 之间的距离为
，滑块a 与斜面间动摩
擦因数
，C 为圆弧轨道的最低点，CE 为圆弧轨道的直径，OD 水平，滑块a 可视
为质点，忽略空气阻力，取
，
，
，
。
（1）求滑块a 在C 点对轨道压力的大小。
（2）求滑块a 整个运动过程中系统因摩擦而产生的热量。
（3）若仅将滑块a 换为质量为
的滑块b，滑块b 由A 点弹出后立即撤去弹簧，
求滑块b 第一次落在斜面上的位置至B 点的距离（结果保留2 位有效数字）。
【答案】（1）24N；（2）7.92J；（3）1.8m
【详解】（1）由题可知，滑块a 在D 点处的速度为0，对滑块a 由C 至D 点过程，由动能
定理有
对滑块a 在C 点由牛顿第二定律有
结合牛顿第三定律可知，滑块a 在C 点对轨道压力的大小
（2）设滑块a 在A 处时弹簧储存的弹性势能为
，由能量守恒定律可知
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解得
最终滑块a 在B 与B 关于C 对称的点之间运动，由能量守恒可知
解得
（3）设滑块b 能通过E 点，对滑块b 由A 点至E 点由能量守恒有
解得
滑块b 恰好能通过E 点时，有
可知
，假设成立，设滑块b 在空中运动的时间为t，滑块b 落在斜面上的位置与B 之
间的水平距离为d，则有
解得
又有
解得
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