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专题12 机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒
目录
题型一 机械能守恒的判断........................................................................................................................................ 1
题型二 单物体的机械能守恒问题............................................................................................................................3
题型三 连接体的机械能守恒问题............................................................................................................................6
类型1 链条类机械能守恒问题.........................................................................................................................8
类型2 轻绳连接的物体系统.............................................................................................................................9
类型3 轻杆连接的物体系统...........................................................................................................................13
类型4 含“弹簧类”系统的机械能守恒.......................................................................................................18
题型四 功能关系的理解和应用.............................................................................................................................. 21
类型1 功能关系的理解.................................................................................................................................21
类型2 功能关系与图像的结合.....................................................................................................................25
类型3 功能关系的综合应用...........................................................................................................................30
题型五 能量守恒定律的理解和应用......................................................................................................................36
题型一 机械能守恒的判断
【解题指导】机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不
做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其
他形式能的转化，则机械能守恒．
【例1】(2022·广东惠州一中月考)(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光
滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A 点
的正上方由静止开始下落，从A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守
恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
【答案】 BC
【解析】 当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力
使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，
A、D 错误；小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力
做功，小球的机械能守恒，B 正确；小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小
球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C 正确．
【例2】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻
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力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是(
)
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
【答案】 C
【解析】 小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力
作用，开始时弹簧压缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的增加，弹
力增大，当重力等于弹力时，速度最大，然后弹簧继续被压缩，弹力大于重力，小球开始
做减速运动，所以整个过程中小球加速后减速，根据Ek＝mv2，动能先增大然后减小，故A
错误；在向下运动的过程中，小球受到的弹力对它做负功，小球的机械能不守恒，故B 错
误；在向下运动过程中，重力势能减小，最终小球的速度为零，动能减小，弹簧的压缩量
增大，弹性势能增大，根据能量守恒定律，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重
力势能之和，即克服弹力做功大于重力做功，故D 错误，C 正确．
【例3】（2023 春·江西上饶·高三校联考期中）忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足
机械能守恒的是（ ）
A．电梯匀速下降
B．运动员乘着降落伞匀速下降
C．物体在竖直平面内做匀速圆周运动
D．物体沿光滑斜面加速下滑
【答案】D
【详解】A．电梯匀速下降，动能不变，重力势能减小，机械能减小，A 不满足机械能守
恒定律；
B．运动员乘着降落伞匀速下降，动能不变，重力势能减小，机械能减小，B 不满足机械能
守恒定律；
C．物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能变化，C 不满足
机械能守恒定律；
D．物体沿光滑斜面加速下滑，只有重力做功，物体的机械能守恒，D 满足机械能守恒定
律。
故选D。
【例4】．（2023 春·山东淄博·高三校联考期中）下图实例中，判断正确的是（
）
2
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A．甲图中冰晶五环被匀速吊起的过程中机械能守恒
B．乙图中物体在外力F 作用下沿光滑斜面加速下滑的过程中机械能守恒
C．丙图中不计任何阻力，轻绳连接的物体A、B 组成的系统运动过程中机械能守恒
D．丁图中小球在光滑水平面上以一定的初速度压缩弹簧的过程中，小球的机械能守恒
【答案】C
【详解】A．甲图中冰晶五环被匀速吊起的过程中，拉力做功不为零，机械能不守恒，A
错误；
B．由于外力F 做功不为零，物体机械能不守恒，B 错误；
C．物体A、B 组成的系统运动过程中重力做功，绳子拉力对两物体做功之和为零，机械能
守恒，C 正确；
D．丁图中小球在光滑水平面上以一定的初速度压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力对小球做
负功，小球的机械能不守恒，D 错误。
故选C。
题型二 单物体的机械能守恒问题
【解题指导】1．表达式
2．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势
能面。
3．一般步骤
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【例1】 (2022·山东日照市校际联考)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看
成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图3 甲所示，
曲线上A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一个圆，在极限情
况下，这个圆叫作A 点的曲率圆，其半径叫作A 点的曲率半径。现将一物体沿着与水平面
成α 角的方向以某一速度从地面抛出，如图乙所示，其轨迹最高点P 离地面的高度为h，
曲率半径为，忽略空气阻力，则tan α 的值为( )
A.
B.
C．2
D．4
【答案】 C
【解析】 在P 点时，重力恰好作为向心力，满足mg＝m，又由题意可知R＝，联立可解
得vP＝，vP即为物体抛出时速度的水平分量，设物体抛出时速度的竖直分量为vy，抛出时
的速度为v，由机械能守恒定律可得mv2＝mgh＋mv，又v2＝v＋v，联立可得vy＝，物体抛
出时速度v 与水平面所成α 角满足tan α＝，代入数据可得tan α＝2，C 正确。
【例2】（2023·福建·模拟预测）如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道
，半
径为
，小球以一定的初速度从最低点A 冲上轨道，图2 是小球在半圆形轨道上从A 运
动到
的过程中，其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点
受到轨道的
作用力为
，空气阻力不计，
点为
轨道中点，重力加速度
取
，下列说法错
误的是（ ）
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A．最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2 中
C．小球在B 点受到轨道作用力为
D．小球质量为
【答案】C
【详解】A．在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A 正确，不符合
题意；
D．由图2 可得在最高点，小球的速度
，由牛顿第二定律
可解得小球的质量
故D 正确，不符合题意；
B．小球从A 运动到
的过程中，由机械能守恒定律
解得
故B 正确，不符合题意；
C．小球从A 运动到B 的过程中，由机械能守恒定律
解得
小球在B 点受到轨道作用力为
故C 错误，符合题意。
故选C。
【例3】（2023 春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）如图甲，O 点为单摆的固定悬
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点，将力传感器接在摆球与O 点之间。现将摆球拉到A 点，释放摆球，摆球将在竖直面内
的A、C 之间来回摆动，其中B 点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F
随时间t 变化的曲线，图中
为摆球从A 点开始运动的时刻，g 取10
，则摆球的质
量是（ ）
A．0.05kg
B．0.10kg
C．0.18kg
D．0.21kg
【答案】B
【详解】在A 点
在B 点
从A 到B
另周期
联立可得
故选B。
题型三 连接体的机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．常见的三种模型
(1)轻绳连接的物体系统模型
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常见
情景
模型
提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系
统，机械能则可能守恒。
(2)轻杆连接的物体系统模型
常见
情景
模型
特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能
不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做
功，则系统机械能守恒。
(3)轻弹簧连接的物体系统模型
模型
特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内
物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点
提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是
压缩。
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速
度，弹性势能最大。
类型1 链条类机械能守恒问题
【例1】（2023 春·高三课时练习）一条长为L，质量为m 的均匀链条放在光滑的水平桌面
上，其中
悬在桌边，如图所示，在链条的另一端用水平力缓慢地把链条全部拉到桌面上
需做功为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】悬在桌边的
长的链条重心在其中点处，离桌面的高度
它的质量为
，当把它缓慢拉到桌面时，增加的重力势能就是外力需要做的功，则拉力需
要做的功为
故C 正确，ABD 错误。
故选C。
【例2】．（2023 春·高三课时练习）如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度
为H 的光滑桌面上，有长度为a 的一段下垂，
，重力加速度为g，则铁链刚接触地
面时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设铁链单位长度的质量为m，设地面为零势能面，由机械能守恒定律可得
解得
故ABC 错误，D 正确。
故选D。
【例3】（2023 春·高三课时练习）如图所示，有一条柔软的质量为
、长为
的均匀链条，
开始时链条的
长在水平桌面上，而
长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，
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桌子足够高。下列说法中正确的是（ ）
A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
【答案】BD
【详解】AB．若自由释放链条，以桌面为零重力势能参考平面，根据机械能守恒可得
解得链条刚离开桌面时的速度为
B 正确，A 错误；
CD．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做的功等于垂于桌外
链条增加的重力势
能，则有
D 正确，C 错误。
故选BD。
类型2 轻绳连接的物体系统
【例1】（2023 春·江西上饶·高三校联考期中）如图所示，物体甲、乙质量分别为0.3kg 和
0.5kg，用轻绳连接跨在一个光滑定滑轮两侧，用手将甲按在地面上，乙距地面5m。放开
物体甲，不计一切摩擦阻力和空气阻力，下列说法正确的是（ ）（取
g=10m/s2）
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A．乙物体落地的速度为10m/s
B．甲上升到最高点时离地面6.25m
C．从释放到乙落地时，绳对甲做的功为18.75J
D．从释放到乙落地时，绳对乙做的功为18.75J
【答案】BC
【详解】A．根据机械能守恒定律得
解得
A 错误；
B．根据机械能守恒定律得
解得
甲上升到最高点时离地面
B 正确；
C．从释放到乙落地时，绳对甲做的功为
C 正确；
D．根据动能定理得
解得
D 错误。
故选BC。
【例2】．（2023 春·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，一轻绳通过光滑的轻质定滑
轮与套在光滑水平杆上的小物块A 连接，另一端与小球B 连接．系统由静止释放后，物块
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A 经过图示位置时向右运动的速度大小为
，小球B 的速度大小为
，轻绳与杆的夹角为
（
）。则（ ）
A．
B．图示时刻，小球B 处于失重状态
C．由静止释放到图示时刻的过程中，绳中拉力一直对A 不做功
D．图示时刻，轻绳对物块A 和小球B 做功的功率大小相等
【答案】AD
【详解】A．物块A 的运动为合运动，将物块A 的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的
方向，在沿绳子方向的分速度等于小球B 的速度，即有
故A 正确；
B．运动过程中，没有摩擦，系统机械能守恒，系统重力势能转化为两者动能，当
时，B 球的速度为零，故B 球向下先加速后减速，B 球先失重后超重，无法判断图示时刻
B 球的状态，故B 错误；
C．由静止释放到图示时刻的过程中，绳中拉力与A 的位移一直成锐角，做正功，故C 错
误；
D．系统机械能守恒，轻绳对物块A 和小球B 的拉力大小相等，沿绳子的速度大小相等，
则轻绳对两者拉力做功的功率大小相等，故D 正确。
故选AD。
【例3】．（2023 春·福建莆田·高三校考期中）图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的
一端，轻绳的另一端系一质量为m 的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮
与直杆的距离为d，已知A 点与定滑轮等高，A、B 两点间的距离为d。现将小环从A 点由
静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．小环到达B 点时，重物上升的高度为
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B．小环在下滑过程中的机械能先增大后减小
C．小环在B 点的速度与重物上升的速度大小之比为1：
D．小环下滑的最大距离为
【答案】AD
【详解】A．当小环到达B 点时，虚线长度为
，则重物上升的高度为
，A 正
确；
B．小环在下降过程中，重力做功，杆对小环的弹力不做功，绳子的拉力一直做负功，则
小环的机械能减少，B 错误；
C．根据题意，沿绳子方向的速度大小相等，将小环速度沿绳子方向与垂直于绳子方向正
交分解应满足
v 环cosθ = v 物
即
C 错误；
D．当小环的速度为零时，小环下滑有最大距离，则根据系统机械能守恒有
解得
D 正确。
故选AD。
类型3 轻杆连接的物体系统
【例1】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，一长为L 的轻杆一端固定在光滑铰链上，
另一端固定质量为m 的小球。开始时，轻杆位于竖直方向，之后受轻微扰动后向左自由转
动。某时刻轻杆与竖直方向的夹角记为
，取重力加速度为g，关于转动过程中小球的以
下说法正确的是（ ）
A．竖直速度先增大后减小
B．重力的最大功率为
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C．当
时，小球只受重力作用
D．水平方向上速度最大值为
【答案】BCD
【详解】A．小球受杆沿杆方向的支持力或拉力作用，竖直向下的重力作用，转动过程中，
重力一直做正功，竖直方向速度一直增加，故A 错误；
B．杆对小球不做功，重力对小球做正功，当
时，有
解得
重力的最大功率为
故B 正确；
C．当
时，由机械能守恒可得
解得
此时小球做圆周运动需要的向心力为
重力沿杆方向的分力为
则杆对小球无作用力，小球只受重力作用，故C 正确；
D．杆对小球的作用力由支持力逐渐变为拉力，则在水平方向为向左的推力逐渐变为0，再
变为向右的拉力；杆对小球无作用力时水平方向速度速度最大，为
故D 正确。
故选BCD。
【例2】．（2023·浙江·模拟预测）摆动是生活中常见的运动形式。如图甲所示，长为L 的
轻杆一端绕光滑的轴转动，另一端固定质量为m 的小球1。如图乙所示，长为
的轻杆一
端绕光滑的轴转动，中点处和另一端分别固定质量均为m 的小球2、3。三个小球均可视为
质点，两杆均从水平位置由静止释放，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
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A．1、2 运动到各自最低点时的动能相等
B．1、2 运动到各自最低点时的向心加速度大小之比为5：3
C．在2 运动到最低点的过程中，轻杆对2 做正功
D．在3 运动到最低点的过程中，轻杆对3 做的功为
【答案】BD
【详解】A．对1 由机械能守恒定律可得
对2、3 组成的系统由机械能守恒定律可得
由同轴转动规律可得
综合解得
故A 错误；
B．根据
1 在A 点的向心加速度
2 在B 点的向心加速度
综合可得
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故B 正确；
C．在2 运动到最低点的过程中，对2 由动能定理可得
综合解得轻杆对2 做的功为
故C 错误；
D．在3 运动到最低点的过程中，轻杆对2、3 做的功的代数和为0，则轻杆对3 做的功为
故D 正确。
故选BD。
【例3】．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）正三角形滑块ABC 放置于水
平面上，轻杆一端与固定在水平面上的铰链连接，另一端固定一小球，已知铰链连接处到
小球球心的距离为
，小球和滑块的质量都为
。如图所示，将小球与滑块的
斜面接
触，在水平面上反复移动滑块，直到轻杆与斜面
平行，然后由静止释放滑块，重力加
速度为
，不计一切摩擦。则在小球和滑块的相互作用过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．滑块的速度先增大后减小
B．小球的速度一直增大
C．当轻杆与水平面的夹角为
时，小球的动能为
D．从释放小球到轻杆与水平面的夹角为
的过程中，小球对滑块做功为
【答案】BD
【详解】A．小球在与滑块相互作用的过程中，始终对斜面体的BC 面存在压力，斜面体受
到的合力作用水平向左，对滑块一直做正功，所以滑块的速度一直增加，故A 错误；
B．设某时刻轻杆与水平面的夹角为
，对小球的速度沿这两个方向进行分解如图所示
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小球参与了沿水平面向左的运动和沿滑块斜面向下的运动，三角形滑块的速度与小球在水
平方向的分速度
相等，在小球与滑块相互作用的过程中，轻杆与水平面的夹角
减小，
而对应的小球水平方向的分速度一直增大，由于小球的合速度对应的角度始终为
不变，
可知小球的速度一直增大，故B 正确；
C．轻杆与水平面的夹角为
时，设小球速度为v，滑块速度为
，由系统机械能守恒可
得
根据速度合成与分解，可得
可得小球动能为
故C 错误；
D．根据动能定理可得，小球对滑块做功等于滑块增加的动能，可求得小球对滑块做功为
故D 正确。
故选BD。
【例4】（2023 春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）现代科学的发展揭示了无序性
也是世界构成的一个本质要素。意大利物理学家乔治·帕里西发现了从原子到行星尺度的物
理系统中无序和涨落间的相互影响，深刻揭示了无序体系中的隐藏对称性，荣获了诺贝尔
物理学奖。如图所示是力学中的一个无序系统模型，质量均为1kg 的小球M、N 用两根长
度均为
的轻质细杆a、b 连接，细杆a 的一端可绕固定点O 自由转动，细杆b 可绕
小球M 自由转动。开始时两球与O 点在同一高度，静止释放两球，并开始计时，两球在竖
直面内做无序运动；t＝2s 时，细杆a 与竖直方向的夹角为
，小球N 恰好到达与O
点等高处且速度方向水平向右。重力加速度
，不计一切摩擦和空气阻力，下列
说法正确的是（ ）
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A．t＝2s 时，两小球速度大小相等
B．t＝2s 时，N 球的速度大小为1.5m/s
C．此运动过程中，细杆b 对N 球做功1J
D．此运动过程中，a、b 两杆对M 球做功之和为－1.125J
【答案】BD
【详解】A．细杆a 的一端可绕固定点O 自由转动，则M 的速度方向始终与杆a 垂直，设t
＝2s 时，M、N 的速度大小分别为
、
，如图所示
当N 速度方向水平向右时，根据关联速度可知
可得
故A 错误；
B．根据机械能守恒定律有
解得
，方向向右下方，与水平方向的夹角为
，方向水平向右
故B 正确；
C．对N 由动能定理有
解得
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故C 错误；
D．对M 球根据动能定理有
解得
故D 正确。
故选BD。
类型4 含“弹簧类”系统的机械能守恒
1．通过其他能量求弹性势能
根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
2．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧
弹性势能相等．
3．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
【例1】（2023 春·河北·高三校联考期中）如图所示，轻质弹簧下端与光滑固定斜面底端
栓接，上端连接物块B，物块A 通过细线跨过光滑定滑轮与物块B 连接，已知斜面倾角为
，物块B 的质量为
不变，物块A 的质量可以改变，弹簧的原长为
，物块
A、B 以及滑轮大小忽略不计。初始时在外力作用下，弹簧处于原长，细线刚好绷紧，物
块A、B 处于等高位置。挂不同质量的物块A，撤去外力，让物块A、B 自由运动；当
时，物块A 能够上升的最大高度为
；当
时，物块A 能够下降的最大高
度为
：当
时，物块A 下降
时速度可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，由能量守恒可得
当
时，由能量守恒可得
解得
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当
时，由能量守恒可得
解得
根据题意有
联立可得
故选A。
【例2】(多选)如图所示，A、B 两物块由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑
斜面上，B 和物块C 在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 放在水平地面上．
现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线
与斜面平行．已知A 的质量为5m，B、C 的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间
的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时C 恰
好离开地面．下列说法正确的是( )
A．C 刚离开地面时，B 的加速度为零
B．从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A、B 组成的系统机械能先增加后减小
C．弹簧恢复原长瞬间，细线中的拉力大小为
D．A 的最大速度为g
【答案】 ABD
【解析】 当C 刚离开地面时，A 的速度最大，B 的速度也最大，此时B 的加速度为零，
故A 正确；从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A、B、C 以及弹簧组成的系统只有重力和
弹力做功，故A、B、C 及弹簧组成的系统机械能守恒，因弹簧的弹性势能先减小后增加，
C 的机械能不变，可知A、B 组成的系统机械能先增加后减小，故B 正确；当A、B 的速度
最大时，C 恰好离开地面，弹簧的弹力F 弹恰好等于C 的重力mg，即F 弹＝mg，设斜面倾
角为α，对A、B 整体，沿细线方向进行受力分析可知F 弹＋mg＝5mgsin α，当弹簧恢复原
长时，弹簧的弹力为零，对A、B 整体，根据牛顿第二定律有5mgsin α－mg＝6ma，隔离
A，根据牛顿第二定律有5mgsin α－FT＝5ma，联立解得FT＝mg，故C 错误；根据F 弹＋
mg＝5mgsin α，得sin α＝，释放A 之前，弹簧处于压缩状态，对B 进行受力分析，可得弹
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簧压缩量为x1＝，释放A 后速度最大瞬间，对C 进行受力分析可得弹簧的伸长量为x2＝，
从释放A 到AB 整体的速度最大，对AB 整体，由于弹簧的形变量相等，弹力做功为零，根
据机械能守恒有5mg(x1＋x2)sin α－mg(x1＋x2)＝(m＋5m)vm
2，联立解得vm＝g，故D 正确．
【例3】如图所示，轻质弹簧一端固定在O 处，另一端与质量为m 的物块相连，物块套在
光滑竖直固定杆上．开始时物块处于A 处且弹簧处于原长．现将物块从A 处由静止释放，
物块经过B 处时弹簧与杆垂直，经过C 处时弹簧再次处于原长，到达D 处时速度为零．已
知OB 之间的距离为L，∠AOB＝30°，∠BOD＝60°.弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度
为g.在物块下滑的整个过程中，下列说法正确的是( )
A．物块在由A 处下滑至C 处的过程中机械能守恒
B．物块在B 处的速度为
C．物块在B 处时弹簧的弹性势能最大
D．物块在D 处时弹簧的弹性势能为mgL
【答案】 D
【解析】 物块在由A 处下滑至C 处的过程中，物块受到弹簧的弹力做功，物块的机械能
不守恒，但是物块和弹簧组成的系统机械能守恒，A 错误；物块由A 处下滑至C 处的过程
中，若只是重力势能转化为动能，则mgLtan 30°＝mv2，可知物块在B 处的速度为，但还有
一部分重力势能转化为弹性势能，所以物块在B 处的速度小于，B 错误；物块由B 处下滑
至D 处的过程中，物块和弹簧组成的系统机械能守恒，动能减小，重力势能减小，所以弹
性势能增加，故D 处弹簧的弹性势能大于B 处弹簧的弹性势能，C 错误；物块由A 处下滑
至D 处的过程中，物块的重力势能转化为弹簧的弹性势能，则mg(Ltan 30°＋Ltan 60°)＝
EpD，可得EpD＝mgL，D 正确．
题型四 功能关系的理解和应用
1．做功的过程就是能量转化的过程．功是能量转化的量度.
2．功与能量的变化是“一一对应”的，如重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应
动能的变化等.
3．分析机械能的变化，既可以用定义法也可以根据除重力(弹簧弹力)以外的其他力做功来
分析．
类型1 功能关系的理解
常见的功能关系
能量
功能关系
表达式
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势能
重力做功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能
合外力做功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝mv2－mv0
2
机械能
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械
能变化量
W 其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦
产生
的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝
对值等于产生的内能
Q＝Ff·x 相对
电能
克服安培力做功等于电能增加量
W 电能＝E2－E1＝ΔE
【例1】（2023 春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第四中学校校考期中）质量为m 的物体，
由静止开始下落，由于空气阻力作用，下落的加速度为
，在物体下落h 的过程中，下
列说法正确的是（ ）
A．物体所受阻力做功为
B．物体重力做的功为-mgh
C．物体重力势能减少了mgh
D．物体动能增加了
【答案】C
【详解】A．根据牛顿第二定律
解得
物体所受阻力做功为
故A 错误；
B．物体重力做的功为
故B 错误；
C．物体重力势能减少量为
故C 正确；
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D．物体动能增加量为
故D 错误。
故选C。
【例2】．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考一模）避险车道是指在长陡下坡路段
行车道外侧增设的供速度失控（刹车失灵）车辆驶离正线安全减速的专用车道，如图所示。
一辆质量为
的失控载重卡车以速度冲上避险车道，直线行驶位移
后安全停下。查阅公
路设计资料得知，该避险车道的路面与水平路面的夹角为
。若将载重卡车视为做匀变速
直线运动的质点，当地重力加速度为
，关于载重卡车在避险车道上的运动，下列说法正
确的是（ ）
A．加速度大小为
B．加速度大小为
C．运动时间为
D．损失的机械能为
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，卡车在避险车道上做匀减速直线运动，根据位移速度关系可
得
得卡车在避险车道上的加速度大小为
故A 错误；
B．由于避险车道的路面对卡车有摩擦力
的作用，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
故B 错误；
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C．依题意，根据
，可得卡车在避险车道上运动时间为
故C 错误；
D．根据题意，由功能关系可得卡车损失的机械能为
故D 正确。
故选D。
【例3】．（2023·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）在实际情况中，物体做抛体运动
时总会受到空气阻力的影响。如图所示，虚线是炮弹在忽略空气阻力情况下计算出的飞行
轨迹；实线是炮弹以相同的初速度和抛射角射出在空气中实际的飞行轨迹，这种曲线叫作
弹道曲线。由于空气阻力的影响，弹道曲线的升弧和降弧不再对称，升弧长而平伸，降弧
短而弯曲。炮车的大小可以忽略。当炮弹做弹道运动时，结合学过的力学知识，分析判断
下列说法正确的是（ ）
A．炮弹上升的时间一定等于下降的时间
B．炮弹在最高点时的加速度等于重力加速度
C．炮弹在上升阶段损失的机械能等于在下降阶段损失的机械能
D．炮弹在上升阶段重力势能的增加量等于在下降阶段重力势能的减少量
【答案】D
【详解】A．炮弹上升过程中，在竖直方向上，受到重力和阻力在竖直向下的分力，即
解得
炮弹下降过程中，在竖直方向，受到向下的重力和阻力在竖直向上的分力，即
解得
则
设炮弹上升的时间为t1，炮弹下降的时间为t2，根据
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得
炮弹上升的时间一定小于下降的时间，A 错误；
B．到达最高点时，除受竖直向下的重力外还受到水平方向的空气阻力作用f，合力
由牛顿第二定律可知，炮弹在最高点时的加速度大于重力加速度，B 错误；
C．假设空气阻力大小不变，由微元法，上升过程克服空气阻力做的功等于空气阻力与上
升过程路程的乘积，下降过程克服空气阻力做的功等于空气阻力与下降过程路程的乘积。
升弧长而平伸，降弧短而弯曲。上升过程克服空气阻力做的功大于下降过程克服空气阻力
做的功。又由功能关系，克服空气阻力做的功等于机械能的减少量。炮弹在上升阶段损失
的机械能大于在下降阶段损失的机械能。假设空气阻力大小与速度成正比或与速度的平方
成正比，由于空气阻力始终做负功，同一高度处，上升过程的速度大小总是大于下降过程
的速度大小，则同一高度处，上升过程的空气阻力大小总是大于下降过程的空气阻力大小。
由微元法，上升过程克服空气阻力做的功等于空气阻力与上升过程路程的乘积，下降过程
克服空气阻力做的功等于空气阻力与下降过程路程的乘积。升弧长而平伸，降弧短而弯曲。
上升过程克服空气阻力做的功大于下降过程克服空气阻力做的功。又由功能关系，克服空
气阻力做的功等于机械能的减少量。炮弹在上升阶段损失的机械能大于在下降阶段损失的
机械能。
C 错误；
D．炮弹在上升阶段重力势能的增加量等于在下降阶段重力势能的减少量，D 正确。
故选D。
类型2 功能关系与图像的结合
【例1】（2023 春·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）一物块在高3.0m、长5.0m 的斜
面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s 的变化图中直线I、II 所示，
重力加速度取
。则（ ）
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A．物块下滑过程中机械能守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.2
C．物块下滑时加速度的大小为
D．当物块下滑2.0m 时机械能损失了12J
【答案】C
【详解】A．由图像可知，下滑5m 的过程中，重力势能减少30J，动能增加10J，减少的
重力势能大于增加的动能，物块下滑过程中机械能减少，故A 错误；
B．设斜面倾角为
，斜面高3m、长5m，则有
可得
物块在斜面顶端时的重力势能为
可得
下滑5m 过程中，由功能原理，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，则有
解得
故B 错误；
C．由牛顿第二定律可得
解得
故C 正确；
D．物块下滑2.0m 时，损失的机械能为
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故D 错误。
故选C。
【例2】．（2023 春·江西南昌·高三南昌十中校考阶段练习）如图甲所示，将物块从倾角
为θ=30°的斜面顶端由静止释放，取地面为零势能面，物块在下滑过程中的动能Ek、重力
势能Ep与下滑位移x 间的关系如图乙所示，取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物块的质量是0.1kg
B．物块与斜面间的动摩擦因数为
C．当下滑的距离为4.8m 时，物块动能与势能相等
D．当物体的势能为8J 时，动能为
J
【答案】D
【详解】A．由图知，小球下滑的最大位移为 x=12m，在最高点时，小球的重力势能
得小球的质量
故A 错误；
B．根据除重力以外其他力做的功
可知
由图知，最高点的机械能为
最低点的机械能为
又
x=12m
解得
故B 错误；
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C．设小球动能和重力势能相等时的高度为h，此时有
由动能定理有
联立解得
h=2.4m
故C 错误；
D．由图可知，在物块下滑4m 处，小球的重力势能是8J，动能为
故D 正确。故选D。
【例3】（2023·上海闵行·统考二模）如图（a），竖直平面内有轨道ABC，AB 段是半径为
R=5m 的光滑
圆弧，BC 段是长为s=25m 的粗糙水平轨道。质量m=0.5kg 的物块由A 点静
止释放，恰好运动到C 点停止。求：
（1）运动到B 点时，物块的速度vB的大小；
（2）离开圆弧轨道前一瞬间，物块对轨道的压力大小；
（3）物块和轨道BC 段间的动摩擦因数
；
（4）如图（a）所示，以A 点的水平位置为坐标原点O，以水平向右为正方向，建立Ox 轴。
以BC 为零势能面，在图（b）中画出物块机械能E 随水平位置x 变化的
图。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）物体在
下滑过程中只有重力做功，根据动能定理可得
解得
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（2）离开圆弧轨道前一瞬间，以物块为对象，根据牛顿第二定律得
解得
根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力大小为
（3）由于物体从
点到
点做匀减速直线运动，根据动能定理可得
解得
（4）当
时，由于机械能守恒，则有
如图曲线①所示；
当
时
摩擦力做功使得机械能减小，由功能关系得
代入数据可得
解得
（单位为焦耳）
如图曲线②。
类型3 功能关系的综合应用
【例1】（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，质量为m 的
物体A 下端连接着固定在地面上的竖直轻质弹簧，上端通过绕过定滑轮的轻质细绳连接着
质量为2m 的物体B，整个系统处于静止状态。已知轻质弹簧的劲度系数为k，重力加速度
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为g，不计空气阻力及一切摩擦。现将细绳从P 处剪断，下列说法正确的是（ ）
A．剪断绳的瞬间，A 的加速度大小为g
B．剪断绳后，A 做简谐运动的振幅为
C．剪断绳后，A 从图示位置运动到最低点的过程中，重力的瞬时功率一直增加
D．剪断绳后，A 从图示位置运动到最低点的过程中，机械能先增加后减小
【答案】D
【详解】A．剪断绳之前，根据受力平衡可知，弹簧弹力大小为
剪断绳的瞬间，A 受到向下的重力
及向下的大小为
的弹簧弹力，所以A 的加速度大
小为
故A 错误；
B．剪断绳之前，弹簧处于伸长状态，伸长量为
剪断绳后，A 做简谐运动，其平衡位置对应的弹簧压缩量为
因此A 做简谐运动的振幅为
故B 错误；
CD．剪断绳后，A 从图示位置运动到最低点的过程中，速度先增大后减小，所以重力的瞬
时功率先增大后减小；弹簧弹力先做正功再做负功，A 的机械能先增加后减小，故C 错误，
D 正确。
故选D。
【例2】（2023 春·江西抚州·高三江西省广昌县第一中学校联考阶段练习）如图所示，原
长为L 的轻弹簧一端固定在O 点，另一端与质量为m 的小球相连，小球穿在倾斜的光滑固
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定杆上，杆与水平面之间的夹角为α，小球在A 点时弹簧水平且处于原长，OB 垂直于杆，
C 点是杆上一点且A、C 关于B 点对称。将小球从A 由静止释放，到达D 点时速度为零，
OD 沿竖直方向，弹簧始终在弹性限度内。则（ ）
A．下滑过程中，小球在C 点的动能最大
B．下滑过程中小球经过A、B、C 三点的加速度相同
C．小球在C 点的动能为mgLsinα
D．从B 运动到D 的过程中，重力势能与弹性势能之和增大
【答案】B
【详解】A．下滑过程中，小球在CD 中间某位置合力为零，可知此时的动能最大，即C
点的动能不是最大，故A 错误；
B．在A 点时，因弹簧处于原长，则小球的加速度为gsinθ；在B 点时，弹簧处于压缩状态，
且弹力方向垂直于斜杆，可知小球的加速度也为gsinθ；在C 点时，因弹簧也处于原长，则
小球的加速度为gsinθ，即下滑过程中小球经过A、B、C 三点的加速度相同，故B 正确；
C．从A 到C 由动能定理
即小球在C 点的动能为mgLsin2α，故C 错误；
D．因小球下滑过程中，重力势能、动能和弹性势能之和守恒，则从B 运动到D 的过程中，
动能先增加后减小，则重力势能与弹性势能之和先减小后增大，故D 错误。
故选B。
【例3】(2022·河北廊坊市摸底)一质量为m 的小球，从地面附近的某高度处以初速度v 水
平抛出，除重力外小球还受一水平恒力作用，经过一段时间，小球的速度大小变为2v，方
向竖直向下，小球还未到达地面。在此过程中( )
A．小球的动能增加了mv2
B．小球的重力势能减少了2mv2
C．小球的机械能增加了2mv2
D．水平恒力做功的大小大于重力做功的大小
【答案】 B
【解析】 小球的动能增加了ΔEk 增＝m(2v)2－mv2＝mv2，故A 错误；小球在竖直方向做自
由落体运动，且水平恒力作用一段时间后，小球运动速度方向竖直向下，说明水平方向的
速度恰好减为零，小球的重力势能减少了ΔEp 减＝mgh，又(2v)2＝2gh，联立得ΔEp 减＝
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2mv2，故B 正确；下落过程根据动能定理得WF＋mgh＝m(2v)2－mv2，即WF＋2mv2＝m(2v)2
－mv2，解得WF＝－mv2，水平恒力做功为－mv2，小球的机械能减少mv2，重力做功等于重
力势能的减少量即为2mv2，故C、D 错误。
【例4】（2023 春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，轻质弹簧的一
端与固定的竖直挡板
拴接，另一端与物体
相连，物体
置于光滑水平桌面上（桌面足
够大），A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连。开始时托住B，让A
处于静止且细线恰好水平伸直，然后由静止释放B，直至其获得最大速度。已知物体A 始
终没有碰到滑轮，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。关于该过程，下列说法正确的
是（ ）
A．物体B 受到细线的拉力保持不变
B．物体B 机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
C．物体A 动能的增量小于物体B 所受重力对B 做的功与弹簧弹力对
做的功之和
D．物体A 与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于物体B 所受重力对B 做的功
【答案】C
【详解】A．物体B 下降的过程中，B 的速度逐渐增大，弹簧弹力逐渐增大，因此加速度
逐渐减小，对物体B 进行受力分析可知，绳子拉力逐渐增大，A 错误；
B．根据能量守恒可知，物体B 机械能的减小量等于弹簧弹性势能的增量和物体A 动能的
增量之和，B 错误；
C．根据动能定理可知物体A 动能的增量等于弹簧对A 做的负功与绳子拉力对A 做的正功
之和，而由于物体B 加速下降，绳子拉力小于B 的重力，因此物体A 动能的增量小于物体
B 所受重力对B 做的功与弹簧弹力对A 做的功之和，C 正确；
D．物体A 与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于绳子拉力对A 做的功，而绳子拉力小
于B 所受的重力，D 错误。
故选C。
【例5】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图甲所示，在水平地面上固定一个倾角为
的足够长的光滑斜面，小滑块从斜面底端在与斜面平行的拉力F 作用下由静止开始沿斜面
运动，拉力
随时间变化的图象如图乙所示，小滑块运动的速度一时间图象如图丙所示，
重力加速度
为
．求：
（1）斜面倾角为多少；小滑块的质量m 为多少；
（2）在
时间内小滑块机械能增加了多少．
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【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）第一阶段
内，由图丙得
由牛顿第二定律得
第二阶段
内，由图丙得
解得
，
（2）第一阶段，根据运动学规律有
由功能关系可知，小滑块机械能增加量等于拉力F 做的功，即
【例6】（2023·河北·模拟预测）竖直平面内有一内径很小的固定圆形管道，管道的半径为
R，圆管内靠近圆心O 的侧壁粗糙，远离圆心O 的侧壁光滑。直径比圆管内径略小质量为
m 的小球在最低点初速度为
，刚好可以第二次经过管道最高点，并从最高点滑
下来。重力加速度为g，求：
（1）小球从开始运动到第二次运动到最高点过程中机械能减少量；
（2）小球从开始到最终运动的整个过程中，摩擦力做的总功。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由题意可知，小球刚好可以第二次经过管道最高点，则小球刚好通过最高点
的临界速度
小球从开始运动到第二次运动到最高点过程，由动能定理得
解得
由功能关系可知，小球从开始运动到第二次运动到最高点过程中机械能的减少量等于小球
克服摩擦力做的功，即
（2）由题意可知，小球在直径ab 以下运动不受摩擦力，根据能量守恒定律可得小球最终
将在直径ab 以下的半圆弧内做往复运动，由能量守恒定律可得
解得
即小球在整个运动过程中，摩擦力做的总功为
【例7】（2023·上海黄浦·上海市大同中学统考二模）如图，在倾角为
的光滑斜坡上有20
个均匀分布的减速带，减速带之间的距离均为d，每个减速带的宽度远小于d。质量为m 的
无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L 处由静止下滑。小车通过减速带所损失的
机械能与到达减速带时的速度有关。某同学观察发现，小车通过第17 个减速带后，在相邻
减速带间的平均速度不再增加。小车通过最后一个减速带后立刻进入与斜面平滑连接的水
平地面继续滑行距离s 后停下，小车与地面间的动摩擦因数为
，重力加速度为g。
（1）小车进入水平地面时速度的大小；
（2）小车通过20 个减速带共损失的机械能
；
（3）小车通过第17 个减速带后，每经过一个减速带损失的机械能
。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）在水平地面上，小车水平方向受到摩擦力即合外力，根据牛顿第二定律
f = ma
f=μN=μmg
可得
a =μg
由公式
可得
=
（2）以水平地面为零势能面，静止下滑处小车的机械能为
通过20 个减速带时小车的机械能为
小车通过20 个减速带共损失的机械能为
（3）通过相邻减速带间的平均速度不再增加的大致v-t 图像
或
（图像不做
要求）
通过第17 个及之后的减速带时小车的平均速度相同，即达到减速带时小车的瞬时速度相同。
小车通过第17 个减速带后，根据功能关系，每经过一个减速带损失的机械能
题型五 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个
物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE 减＝ΔE 增．
3．应用能量守恒定律解题的步骤
34
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(1)首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性
势能、电势能)、内能等．
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE 减和增加的能
量ΔE 增的表达式．
【例1】（2023 春·浙江·高三校联考阶段练习）某地区常年有风，风速基本保持在8m/s，
该地区有一风力发电机，其叶片转动可形成半径为15m 的圆面，若保持风垂直吹向叶片，
空气密度为
，风的动能转化为电能的效率为20%。现用这台风力发电机给一水泵
供电，使水泵从地下50m 深处抽水，水泵能将水抽到离地1.5m 高处并以4m/s 的速度射出，
出水口的横截面积为
，水的密度为
，水泵及电机组成的抽水系统效率为
80%，则下列说法正确的是（ ）
A．该风力发电机的功率约为230kW
B．每分钟水流机械能增加约为
C．风力发电机一天的发电量可供该水泵正常工作约10h
D．若风速变为16m/s，则该风力发电机的发电功率变为原来的4 倍
【答案】C
【详解】AD．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为
单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为
依题意，此风力发电机发电的功率为
若风速变为16m/s，则该风力发电机的发电功率变为原来的8 倍；
故AD 错误；
B．每分钟水流机械能增加约为
其中
解得
故B 错误；
C．水泵正常工作每秒钟耗电为
风力发电机一天的发电量为
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解得
故C 正确；
故选C。
【例2】(多选)如图所示，光滑水平面OB 与足够长粗糙斜面BC 交于B 点。轻弹簧左端固
定于竖直墙面，现将质量为m1的滑块压缩弹簧至D 点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后
经B 点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上。不计滑块在B 点的机械能损失；换
用相同材料质量为m2的滑块(m2＞m1)压缩弹簧至同一点D 后，重复上述过程，下列说法正
确的是( )
A．两滑块到达B 点的速度相同
B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同
C．两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同
D．两滑块上升到最高点过程机械能损失相同
【答案】 CD
【解析】 两滑块到达B 点的动能相同，由于m2＞m1，所以速度不同，故A 错误；两滑块
在斜面上运动时加速度相同，由于在B 点时的速度不同，故上升的最大高度不同，故B 错
误；两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功为mgh，由能量守恒定律得Ep＝mgh＋
μmgcos θ·，则mgh＝，故两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功相同，故C 正确；
由能量守恒定律得E 损＝μmgcos θ·＝，结合C 可知D 正确。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）风能是可再生资源中发展最快的清洁能源，我国目前
正逐步采用变桨距控制风力发电机替代定桨距控制风力发电机，来提高风力发电的效率。
具体风速对应的功率如下图所示，设下图中风力发电机每片叶片长度为30 米，所处地域全
天风速均为
，空气的密度为
，圆周率
取3.14，下列选项不正确的是
（ ）
A．变桨距控制风力发电机将风能转化成电能的效率为
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B．用变桨距控制风力发电机替换定浆距控制发电机后，每台风力发电机每天能多发电
C．无论采用变桨距控制风力发电机还是定浆距控制风力发电机，每台发电机每秒钟转化
的空气动能均为
D．若煤的热值为
，那么一台变浆距控制风力发电机每小时获得的风能与完全
燃烧45 千克煤所产生的内能相当
【答案】D
【详解】A．设在时间t 内发电机获得的风能为
，则
由于
所以
故变桨距控制风力发电机将风能转化成电能的效率
故A 不符合题意；
B．由图像可知，当风速为7.5m/s 时，变桨距控制风力发电机的功率为400kw，定桨距控
制风力发电机的功率为100kw，所以每台风力发电机每天能多发电
故B 不符合题意；
C．由A 知道空气的动能为
，所以每台发电机每秒钟转化的空气动能均为
故C 不符合题意；
D．完全燃烧45kg 煤所产生的内能
一台变桨距控制风力发电机每小时获得的风能为
故D 符合题意。
故选D。
【例4】（2023·湖南·校联考三模）如图所示，一倾角为
的光滑斜面固定在水平面
上，斜面的底端固定一垂直斜面的挡板，上端固定一定滑轮O。劲度系数为
的轻
弹簧下端固定在挡板上，上端与质量为
的物块Q 连接。一跨过定滑轮O 的轻绳一端与
物块Q 连接，另一端与套在水平固定的光滑直杆上质量为m 的物块P 连接。初始时物块P
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在水平外力F 作用下静止在直杆的A 点，且恰好与直杆没有相互作用，轻绳与水平直杆的
夹角也为
。去掉水平外力F，物块P 由静止运动到B 点时轻绳与直杆间的夹角
。
已知滑轮到水平直杆的垂直距离为d，重力加速度大小为g，弹簧轴线、物块Q 与定滑轮之
间的轻绳与斜面平行，不计滑轮大小及摩擦，
，
。则下列说法正
确的是（ ）
A．物块P 在A 点时弹簧的伸长量为
B．物块P 从A 点运动到B 点时，物块Q 的势能减少量等于P、Q 两物块增加的总动能
C．物块P 从A 点运动到B 点的过程中，轻绳拉力对物块P 做的功为
D．物块P 运动到B 点时，物块Q 的速度为
【答案】BD
【详解】A．对物块P 在A 点时进行受力分析，其恰好与直杆没有相互作用，所以绳子拉
力竖直向上的分力与其重力大小相等，有
所以绳子拉力
对物块Q 进行受力分析，沿斜面方向上
解得此时弹簧弹力为
由胡克定律可得弹簧此时的伸长量为
故A 错误；
B．物块P 到B 点时，由几何可得物块Q 沿斜面向下滑了
所以弹簧此时压缩量为
，所以此时弹簧的弹性势能与物块P 在A 点时的相同，物块P 从
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A 点运动到B 点的过程中，弹簧弹力做功为零，所以由能量守恒定律，物块Q 重力势能减
少量之和等于P、Q 两物块增加的总动能，故B 正确；
D．物块P 到B 点时，P、Q 速度满足
物块P 从A 点运动到B 点的过程中，由能量守恒定律
联立解得
故D 正确；
C．对物块P 由动能定理从A 运动到B 的过程中，绳子拉力做功
故C 错误。
故选BD。
【例5】（2023 春·山西·高三校联考阶段练习）如图所示，倾角
的足够长的斜面固
定在水平面上，斜面下端固定一挡板，劲度系数k=20N/m 的轻弹簧一端与挡板连接，另一
端与质量
的滑块连接。绕过光滑轻质定滑轮的轻绳一端与滑块相连，另一端与质量
为
的石块相连。已知滑块与斜面间的动摩擦因数
，轻弹簧的弹性势能与形
变量的关系为
（x 为弹簧的形变量），开始时托住石块，轻绳恰好伸直且与斜面
平行，滑块m 恰好不上滑。现由静止释放石块，整个过程弹簧都在弹性限度内，最大静摩
擦力等于滑动摩擦力，滑块与石块均可视为质点，重力加速度取
，
，则（ ）
A．释放石块瞬间，轻弹簧的弹性势能为5J
B．石块的速度最大时，轻弹簧的形变量为0.5m
C．石块的最大速度为
m/s
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D．滑块沿斜面向上运动的最大距离为2m
【答案】BD
【详解】A．释放石块前，滑块受到弹簧弹力、静摩擦力、重力、支持力，四力平衡，且
滑块恰好不上滑，则沿斜面方向有
代入数据解得
则释放石块瞬间，轻弹簧的弹性势能为
故A 错误；
B．松手后，滑块做加速度减小的加速运动，当滑块受到的合力为零时，速度最大，当滑
块加速度为零时，石块的加速度也为零，对滑块受力分析得
对石块受力分析得
代入数据解得
故B 正确；
C．根据能量守恒定律，松手后到滑块最大速度的过程中有
根据前面选项的分析可知，从松手后到滑块最大速度的过程中，弹簧从压缩0.5m 变为拉伸
0.5m，则
代入数据解得最大速度为
故C 错误；
D．当滑块向上滑行的距离最大时，滑块与石块的速度都为0，石块的重力势能转化为滑块
的重力势能、弹性势能和摩擦产生的内能，根据能量守恒定律有
代入数据解得滑块沿斜面向上运动的最大距离为
故D 正确。
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故选BD。
【例6】（2023·全国·高三专题练习）以动力电池为驱动能源的电动汽车在我国高速发展，
比亚迪、宁德时代等企业享誉全球。有一辆总质量m=2×103kg 的电动汽车，当驱动电机的
输入最大电流I=400A，电压U=300V 时，在此行驶状态下，g=10m/s2。求：
（1）若该汽车所受阻力与车重的最大比值为0.15，驱动电机能够将输入功率的90%转化为
用于牵引汽车前进的机械功率为
，求该汽车可以达到的最大速度。
（2）设想改用纯太阳能电池给该车供电，其他条件不变，求所需太阳能电池板的最小面积。
（已知太阳辐射的总功率P0=4×1026W，太阳到地球的距离r=1.5×1011m，太阳光传播到达地
面的过程中大约有30%的能量损耗,该车所用太阳能电池的能量转化效率约为15%，球体的
表面积公式S=4πR2）
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由电动机中能量转化特征可知
汽车达到最大速度时，加速度为0，应有
由
解得
（2）当阳光垂直电池板入射时，所需电池板的面积最小，设为S，由题意有
解得
【例7】（2023·浙江金华·统考模拟预测）小丁同学设计了一个玩具遥控赛车的轨道装置，
轨道的主要部分可简化为如图所示的模型，水平轨道AB 和倾斜轨道OD 分别与圆轨道相切
于B 点和D 点，弯曲轨道AE 与水平轨道平滑连接，E 点切线方向恰好水平。O 点固定一弹
射装置，刚开始时装置处于锁定状态。当赛车从A 点出发经过圆轨道进入OD 轨道，到达
O 点时恰好可以触发弹射装置将赛车原路弹回，最终进入回收装置F。测得赛车与弹射装
置碰撞时机械能损失
，每次弹射后装置可自动锁定到初始时的弹性势能值。已知赛车
质量为
，电动机功率恒为
，圆轨道半径为
，E 点离水平轨道高度和与F
点间水平距离均为
，AB 轨道长
，赛车在水平轨道上运动时所受阻力等于其对轨道压
力的0.25 倍，赛车在轨道其余部分上所受摩擦力可忽略，赛车看成质点。
（1）若赛车恰好能过C 点，求赛车经过H 点时对轨道的压力大小；
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（2）若某次测试时，赛车电动机工作
，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此
次测试中给弹射装置设置的弹性势能为多大？
（3）若某次测试时，赛车电动机工作
，最终停在水平轨道AB 上，且运动过程中赛车
不能脱轨，求弹射装置的弹性势能取值范围。
【答案】（1）6N；（2）2.3J；（3）
【详解】（1）赛车恰好过C 点，根据牛顿第二定律
解得
从H 到C，由动能定理有
解得
根据指向圆心方向合力提供向心力有
解得
根据牛顿第三定律在H 点对轨道压力
；
（2）赛车从E 到F 做平抛运动，有
解得
对赛车，从A 出发最终到E 的过程中，根据功能关系可得
代入数据解得
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（3）题中所述赛车最终停在水平轨道AB 上，有两种临界情况
①假设赛车第一次弹回时，恰好能过C 点，此时
最小，由上分析可知
小车从出发到第二次经过C 点，根据能量守恒定律
解得
设赛车最高到达A 点右侧弯曲轨道上高度h 处，从C 点到高度h 处，根据动能定理
可得
所以赛车不会从E 点飞出，有
②假设赛车第一次弹回时，恰好能运动到E 点，从E 点滑下到左侧圆轨道，根据动能定理
可得
则
赛车要脱离轨道。所以赛车从AE 轨道返回时最多运动到H 点，设赛车从AE 返回时恰能到
达H 点，从出发到从AE 返回恰运动到H 点的过程，根据能量守恒定律
解得
综上，当
时可满足要求。
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