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专题23 机械能守恒定律（原卷版）
注：【分层调研·提分要点】所选的例题变式和练习都是最新的高考真题和2024 年全国各地的模拟
试题，【真题再现·洞悉高考】选自最近3 年的全国个点的高考真题。【分层检测·能力拔高】选
择2024 年全国各地的模拟试题，题量适中，便于学生自测专用。
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目 录
01 思维导图·成竹在胸
02 知识梳理·复习重点
知识点1：重力势能......................................................................................................2
知识点2：弹性势能的表达..........................................................................................2
知识点3：机械能守恒定律..........................................................................................3
03 分层调研·提分要点
考向1 机械能守恒定律的理解与判断........................................................................3
角度1：判断系统机械能是否守恒...........................................................................4
角度2：利用机械能守恒定律解决简单问题...........................................................4
考向2 机械能守恒定律及应用....................................................................................5
角度1：机械能与曲线运动的结合问题...................................................................6
角度2：用杆连接的系统机械能守恒问题...............................................................7
角度3：用绳连接的系统机械能守恒问题...............................................................9
角度4：弹簧类问题机械能转化问题.....................................................................10
04 真题再现·东西高考
05 分层检测·能力拔高
基础过关.......................................................................................................................13
提升练习.......................................................................................................................17
知识点1：重力势能
1. 重力做功的特点
（1）重力做功与 无关，只与始末位置的 有关；
（2）重力做功不引起物体 的变化．
2．重力势能
（1）表达式：Ep＝mgh.
（2）重力势能的特点
①矢标性：重力势能是标量，有正负，其正负表示大小；
②相对性：重力势能具有相对性，在计算重力势能之前必须选择参考面，参考面的选择是任意的，通
常以地面作为参考面；
③系统性：重力势能是物体和 所共有的，不是物体单独所有。如果没有地球对物体的
吸引，就谈不上重力做功和重力势能了。
3．重力做功与重力势能变化的关系
（1）定性关系：重力对物体做正功，重力势能 ；重力对物体做负功，重力势能
；
（2）定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即WG＝－（Ep2－Ep1）＝－ΔEp.
知识点2：弹性势能的表达
1．弹性势能
（1）定义：发生 的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
（2）弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W
＝－ΔEp=Ep1-Ep2.
（3）表达式
①“化变力为恒力”求弹力做功：W 总=F1△x1+F2△x2+F3△x3+F4△x4+……
②利用F-x 图像：图像与x 轴所围成面积的数值就是弹力做的功；
③表达式（以弹簧原长为零势点）：
（x 指弹簧的形变量）
知识点3：机械能守恒定律
1. 机械能：动能、重力势能和弹性势能统称机械能；
（1）机械能是标量，只有大小，没有方向，但有正负，其正负表示大小；
（2）机械能具有相对性，只有参考系和参考面确定后，机械能的研究才有意义；
（3）机械能是状态量，对应着某一时刻或某一位置；
2.机械能守恒定律
（1）内容：在只有重力（不考虑空气阻力的各种抛体运动）或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以
相互转换，总的机械能保持不变；
（2）机械能守恒的条件
①只有重力或系统内弹力做功，物体的机械能守恒；
②除重力和系统内弹力外，物体受到的其他力不做功或其他力做功代数和为零；
3. 机械能守恒的三种表达式
表达式
表达意义
守恒观点
系统内初末状态机械能总和相等
转化观点
系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的动能等于
系统减少（或增加）的动能
转移观点
在A、B 组成的系统中，A 机械能的增加量等于B 机械能的减少
量
4．机械能守恒判断的三种方法
定义法
利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则
机械能守恒
做功法
若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为
零，则机械能守恒
转化法
若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能
守恒
考向1 机械能守恒定律的理解与判断
1．机械能是否守恒的三种判断方法
（1）利用机械能的定义判断（直接判断）：分析动能和势能的和是否变化．
（2）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代
数和为零，则机械能守恒．
（3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，
则物体系统机械能守恒．
2. 应用机械能守恒定律的几点说明
（1）机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力做功”不等于 “只受
重力作用”．
（2）分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统．
（3）只要涉及滑动摩擦力做功，机械能一定不守恒．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非
题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
角度1：判断系统机械能是否守恒
【典例1】（2024·重庆·高考真题）2024 年5 月3 日，嫦娥六号探测成功发射，开启月球背面采样之旅，探
测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中（
）
A．减速阶段所受合外力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g = 9.8m/s2
【变式1-1】（2023·北京丰台·一模）直升机悬停在空中，由静止开始投放装有物资的箱子，箱子下落时所
受的空气阻力与箱子下落的速度成正比，下落过程中箱子始终保持图示状态。下列说法正确的是（ ）
A．箱子接近地面时，箱内物体受到的支持力比刚释放时大
B．下落过程中箱内物体的加速度逐渐增大
C．下落过程中箱内物体的机械能增大
D．如下落距离足够大时，箱内物体可能不受箱子底部的支持力作用
【变式1-2】（2024·江苏镇江·模拟预测）如图，A、B 两物体的质量之比为
，它们原来静止在
平板车C 上，A、B 两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B 两物体与平板车上表面间的动摩擦因
数相同，水平地面光滑。当弹簧突然释放后，A、B 两物体被弹开（A、B 两物体始终不滑出平板车），则
有（ ）
A．A、B 系统动量守恒
B．A、B、C 及弹簧整个系统机械能守恒
C．A、B 在小车C 上滑动过程中小车一直处于静止
D．A、B、C 组成的系统动量守恒
角度2：利用机械能守恒定律解决简单问题
【典例2】（多选）（2024·江西上饶·模拟预测）如图所示，将一个小球先后两次从地面上的A 点斜向右上
抛出，两次小球均落在B 点，以地面为零势能面，两次小球运动到最高点时高度不同，但机械能相等，第
一次抛出时初速度与水平方向的夹角为30°，不计小球大小，不计空气阻力，则下列判断正确的是
（ ）
A．先后两次抛出的初速度大小之比为1 1∶
B．先后两次抛出的初速度大小之比为
C．先后两次小球在空中运动时间之比为1 1∶
D．先后两次小球在空中运动时间之比为
【变式2-1】（2024·广东梅州·模拟预测）篮球运动是深受学生热爱的一项体育运动。某同学练习投篮，篮
球在空中的运动轨迹如图中虚线所示。若不计空气阻力，下列关于篮球在空中运动时的速度大小v，加速
度大小a，动能
和机械能E 随运动时间t 的变化关系中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示是体育课上某同学水平抛出铅球的示意图，不考虑
空气阻力，选地面作为零势能面，用h 表示铅球离地面的高度，E、Ep、Ek分别表示铅球的机械能、重力势
能和动能，则铅球下落过程中，下列图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向2 机械能守恒定律及应用
1．三种表达式的选择
如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒观点列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的
系统，用转化或转移的观点列方程较简便．
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
（1）选取研究对象
（2）分析受力情况和各力做功情况，确定是否符合机械能守恒条件．
（3）确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况．
（4）选择合适的表达式列出方程，进行求解．
（5）对计算结果进行必要的讨论和说明．
3. 应用机械能守恒定律解题的注意事项
（1）应用机械能守恒定律解题时，要正确选择系统和过程．
（2）对于通过绳或杆连接的多个物体组成的系统，注意找物体间的速度关系和高度变化关系．
（3）链条、液柱类不能看做质点的物体，要按重心位置确定高度．
角度1：机械能与曲线运动的结合问题
【典例3】（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A 为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径
，滑梯顶点a 与滑梯末端b 的高度
，静止在光滑水平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与
其水平相切，滑板质量
，一质量为
的游客，从a 点由静止开始下滑，在b 点滑上滑板，
当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行
停下。游客
视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为
，忽略空气阻力，重力加速度
，
求：
（1）游客滑到b 点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度L
【变式3-1】（2024·广东深圳·二模）红岭未来工程师团队设计了如图所示的游戏装置：水平直轨道AC、
倾斜直轨道CD、圆弧轨道DBE、水平直轨道EF 依次平滑连接，D、E 两点是直轨道与圆弧轨道的切点，
P 为两直轨道交错点。倾斜直轨道CD 的倾角为
、CP=1.0m；圆弧轨道DBE 的半径R=10cm。与AC
同一平面水平放置一个靶环，环间距为d=10cm，10 环的半径r=10cm，靶心与轨道在同一个竖直面内且距
轨道末端F 的水平距离为x=1m。游戏时，在水平轨道AC 上，给小球一个初动能，使小球沿轨道运动最终
落在靶环上，获得相应分数。小球质量m=20g，可看成质点，所有摩擦阻力均不计，g=10m/s2。求：
(1)刚好能通过B 点获得分数时，小球在圆环最高点B 的速率
和在最低点E 的速率
；
(2)正中靶心时，小球的初动能Ek0；
(3)获得分数大于4 分时，小球的初动能。
【变式3-2】（2024·河南信阳·一模）如图所示，轻质的粗转轴上沿直径固定两根轻杆，轻杆上固定两个小
球A、B，转轴的半径和杆的长度均为R，在粗转轴上缠绕有轻绳，轻绳下端与小球C 相连，A、B、C 三
球质量相同，且都可看做质点。初始时系统处于静止，忽略一切摩擦，且A、B 两球在水平线上，轻绳伸
直但无拉力，现释放小球C 使其从静止开始下落，下列说法正确的是（ ）
A．A、B 两球组成系统的机械能不变
B．A 球第一次转到最高点过程中轻杆对A 球不做功
C．C 球下落高度为R 时，A 球的速度大小为
D．C 球下落高度为R 时，C 球的速度大小为
角度2：用杆连接的系统机械能守恒问题
【典例4】（2024·安徽·模拟预测）质量均为m 的光滑小球A，B 分别固定在轻杆两端，如图所示。轻杆竖
直立在水平面上并靠在竖直墙面右侧处于静止状态。由于轻微扰动，A 球开始沿水平面向右滑动，B 球随
之下降，此过程中两球始终在同一竖直平面内。已知轻杆的长度为l，重力加速度大小为g。
（1）小球A 动能最大时，水平面的压力；
（2）求小球A 的最大速度及竖直墙面对小球B 的冲量；
（3）求小球A、B 在运动过程中的最大动能。
【变式4-1】（2024·重庆·模拟预测）如图所示，两端分别固定有小球A、B（均视为质点）的轻杆竖直立
在水平面上并靠在竖直墙面右侧处于静止状态。由于轻微扰动，A 球开始沿水平面向右滑动，B 球随之下
降，在B 球即将落地的过程中两球始终在同一竖直平面内。已知轻杆的长度为l，两球的质量均为m，重
力加速度大小为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．A 球动能最大时对水平面的压力大小等于2mg
B．竖直墙面对B 球的冲量大小为
C．轻杆对A 球先做正功后做负功
D．A 球的最大动能为
【变式4-2】（2024·青海·模拟预测）如图所示，顶角P 为53°的光滑“
”形硬杆固定在竖直平面内，质
量均为m 的小球甲、乙（均视为质点）用长度为L 的轻质硬杆连接，分别套在“
”形硬杆的倾斜和水
平部分，当轻质硬杆呈竖直状态时甲静止在A 点，乙静止在C 点。甲由于受到轻微的扰动开始运动，当甲
运动到B 点时，轻质硬杆与“
”形硬杆的倾斜部分垂直，重力加速度大小为g，则甲在B 点的速度大小
为（ ）
A．
B．
C．
D．
角度3：用绳连接的系统机械能守恒问题
【典例5】（2024·广东·模拟预测）如图所示，带孔物块A 穿在竖直固定的细杆上，不可伸长的轻质柔软
细绳一端连接物块A，另一端跨过轻质定滑轮连接物块B，用手将物块A 向上移动到与定滑轮等高处由静
止释放后，两物块开始在竖直方向上做往复运动。已知物块A 的质量为m，物块B 的质量为2m，定滑轮
到细杆的距离为L，细绳的长度为2L，重力加速度大小为g，忽略一切阻力，定滑轮大小不计，两物块均
可视为质点，求：
(1)物块A 下降的最大高度h；
(2)物块A、B 处于同一高度时物块B 的动能EkB；
(3)物块A、B 的总动能最大时物块A 的动能EkA。
【变式5-1】（多选）（2024·河北·模拟预测）轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻线跨过轻质定滑轮下方悬挂
重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B 处于静止状态，释放后A、B 开始运动。已知A、
B 的质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．A 向下运动，B 向上运动
B．B 物体速度大小是A 物体速度大小的两倍
C．悬挂A 的细线与悬挂定滑轮的细线拉力大小均为
D．A 物体位移大小为h 时，B 物体的速度大小为
【变式5-2】（多选）（2024·辽宁大连·模拟预测）如图所示，质量为
的物体P 套在固定的光滑水平杆上。
轻绳跨过光滑的滑轮
和
，一端与物体P 相连，另一端与质量为
的物体Q 相连。用手托住物体Q 使
整个系统处于静止状态，此时轻绳刚好拉直，且
，
，
，重力加速度为
。现释放
物体Q，让二者开始运动，下列说法正确的是（ ）
A．开始运动后，当物体P 速度最大时，物体Q 速度最小
B．在物体P 从A 滑到B 的过程中，P 的速度增加，Q 的速度减小
C．在物体P 从A 滑到B 的过程中，P 的机械能减少，Q 的机械能增加
D．物体P 运动的最大速度为
角度4：弹簧类问题机械能转化问题
【典例6】（2024·山东·高考真题）如图所示，质量均为m 的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板
上，木板通过一根原长为l 的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d（d<l）。两木板与地面间动摩擦因
数均为μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E=
kx2（x 为绳的伸长量）。现用水平力F 缓慢拉动
乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k 保持不变，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F 所做的功等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）如图所示，质量分别为m、
的小物块A 和B 通过劲度系数为k 的
轻弹簧相连接，竖直静止在水平地面上．若给小物块A 一竖直方向的瞬时速度，随后小物块B 恰好能离开
地面，弹簧始终处于弹性限度内．重力加速度为g，弹簧的弹性势能
（x 为弹簧的形变量），则
小物块A 获得初速度大小为（ ）。
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（多选）（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，倾角为θ 的光滑斜面固定在水平地面上，轻
质弹簧一端连接质量为m 的物块，另一端连接垂直于斜面的挡板。物块自由静止在A 点，弹簧形变量为
x1，现给物块施加一大小恒定、方向平行于斜面向下的外力，运动到B 点时，物块加速度为零，立即撤去
该外力，物块压缩弹簧到最低点C（图中未画出）。设A、B 间距离为
，B、C 间距离为
，已知
。
重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。则（ ）
A．外力大小为mgsinθ
B．外力大小为2mgsinθ
C．
D．
1．（2024·北京·高考真题）如图所示，光滑水平轨道AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道BC 在B 点平滑连
接。一小物体将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点
C。下列说法正确的是（ ）
A．物体在C 点所受合力为零
B．物体在C 点的速度为零
C．物体在C 点的向心加速度等于重力加速度 D．物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点的动
能
2．（2024·全国·高考真题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m 的小环套在大圆环上，小环
从静止开始由大圆环顶端经Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大
圆环的作用力大小（ ）
A．在Q 点最大
B．在Q 点最小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
3．（2024·浙江·高考真题）如图所示，质量为m 的足球从水平地面上位置1 被踢出后落在位置3，在空中
达到最高点2 的高度为h，则足球（ ）
A．从1 到2 动能减少
B．从1 到2 重力势能增加
C．从2 到3 动能增加
D．从2 到3 机械能不变
4．（多选）（2024·福建·高考真题）如图，某同学在水平地面上先后两次从
点抛出沙包，分别落在正前
方地面
和
处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于
点，
点正下方地面处设为
点。已
知两次运动轨迹的最高点离地高度均为
，
，
，
，沙包质量为
，
忽略空气阻力，重力加速度大小取
，则沙包（ ）
A．第一次运动过程中上升与下降时间之比
B．第一次经
点时的机械能比第二次的小
C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为
D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大
5．（2024·辽宁·高考真题）如图，高度
的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量
。A、B 间夹一压缩量
的轻弹簧，弹簧与A、B 不栓接。同时由静止释放A、B，
弹簧恢复原长时A 恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程
；B 脱离弹簧后沿桌面滑行一段距
离
后停止。A、B 均视为质点，取重力加速度
。求：
（1）脱离弹簧时A、B 的速度大小
和
；
（2）物块与桌面间的动摩擦因数μ；
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能
。
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之三圆弧形槽放置在水平地面上，O 点为其圆
心，A、B 为圆弧上两点，OA 连线水平，OB 连线竖直，槽的质量为5m，圆弧的半径为R。一个质量为m
的小球从A 点以初速度
（未知）竖直向下沿槽运动，小球运动至最高点B 时槽对地面的压力刚好为零。
不计空气阻力，重力加速度为g，槽始终未发生移动，则小球的初速度大小
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·贵州铜仁·二模）如图所示，AOB 为水上游乐场的滑道简化模型，它位于竖直平面内，由两个半
径都为R 的
光滑圆弧滑道组成，它们的圆心
、
与两圆弧的连接点O 在同一竖直线上，
与水池
的水面齐平。一小孩（可视为质点）可由滑道AC 间的任意点从静止开始下滑，
与竖直方向的夹角
，则该小孩的落水点与
的距离可能为
A．0
B．R
C．
D．3R
3．（2024·陕西西安·二模）如图所示，一轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，自然伸长时弹簧上端
处于A 点。
时将小球从A 点正上方O 点由静止释放，
时到达A 点，
时弹簧被压缩到最低点B。以
O 为原点，向下为正方向建立x 坐标轴，以B 点为重力势能零点；弹簧形变始终处于弹性限度内。小球在
运动过程中的动能Ek、重力势能Ep1、机械能E0及弹簧的弹性势能Ep2变化图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广东江门·模拟预测）蹦极是一项非常刺激的体育项目，而“反向蹦极”是一项比蹦极更加刺激
的运动。如图所示，弹性轻绳上端固定在P 点，下端固定在玩家的身上并向下拉长与固定在地面上的安全
扣环相连。打开安全扣环后，玩家从c 点开始由静止释放，像“火箭发射一般竖直向上运动”，上升到b
点时速度最大，轻绳在a 点为原长位置，玩家到达的最高点在P 与a 之间，不计空气阻力，下列说法正确
的是（ ）
A．人在c 到a 运动过程中都做加速运动
B．人在c 到b 运动过程中做加速度减小的加速运动
C．在整个运动过程中，玩家的机械能守恒
D．人在b 到最高点的运动过程中，玩家处于超重状态
二、多选题
5．（2024·福建泉州·模拟预测）无动力翼装飞行是运动员穿戴拥有双翼的飞行服装和降落伞设备，从飞机、
悬崖绝壁等高处一跃而下，运用肢体动作来掌控滑翔方向，如图所示，若从a 到b 做匀速圆周运动，即在
此运动过程中（ ）
A．运动员所受的合外力为零
B．运动员处于超重状态
C．运动员的机械能逐渐减小
D．运动员的机械能守恒
6．（2024·广东中山·模拟预测）热气球能给人以独特的视角享受风景的机会。假设某热气球总质量为m，
某竖直上升过程中受到浮力恒为F，空气阻力恒为f，热气球从地面由静止上升高度h，速度变为v，已知
重力加速度为g。在上述过程中，热气球的（ ）
A．重力势能增加了mgh
B．动能增加了（F-mg-f）h
C．机械能增加了Fh
D．机械能增加了mgh+
7．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，一根竖直杆的上端套有一个圆环，圆环质量为
，杆的质量为
，
杆与圆环之间的最大静摩擦力
。现将杆和环由静止释放，下落
距离后恰与正下方的竖直轻弹簧
接触。继续下落至某处时，杆与环恰好相对滑动，从此时经时间后杆运动到最低点。已知重力加速度为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，环未滑离杆，环与杆始终在竖直方向运动，且弹簧始终在弹性限度内，
不计空气阻力。则（ ）
A．杆与环接触弹簧后立即做加速度增大的减速运动
B．杆与环恰好相对滑动时，弹簧的弹力大小为
C．杆与环恰好相对滑动时，它们的速度大小为
D．从杆与环恰好相对滑动到它们的加速度再次相同的过程中，杆、环、弹簧系统损失的机械能为
8．（2024·广东湛江·一模）在儿童乐园的蹦床项目中，小孩在两根弹性绳和弹性网绳的协助下实现上下弹
跳。如图所示，某次蹦床活动中，小孩静止时处于O 点，当其弹跳到最高点A 后下落，可将弹性网绳压到
最低点B，小孩可看成质点，不计弹性绳的重力、弹性网绳的重力和空气阻力。则从最高点A 到最低点B
的过程中，小孩的（ ）
A．重力的功率先增大后减小
B．机械能一直减小
C．重力势能的减少量大于弹性网绳弹性势能的增加量
D．机械能的减少量等于弹性网绳弹性势能的增加量
三、解答题
9．（2024·江苏宿迁·一模）如图所示，足够长的竖直固定杆上套一劲度系数为k 的轻质弹簧，弹簧下端悬
挂质量为m 的物块B，上端连接一轻质小球，物块B 与杆间无摩擦，小球A 与杆之间的最大摩擦静力为
1.2mg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，忽略空气阻力。求：
（1）B 静止时，弹簧伸长量x；
（2）若将物块B 拉至弹簧原长处由静止释放：
①物块的最大速度vm；
②整个过程中，因摩擦产生的内能Q。
10．（22-23 高三下·北京顺义·阶段练习）如图所示，物块A 从光滑轨道上的某一位置由静止释放，沿着轨
道下滑后与静止在轨道水平段末端的物块B 发生碰撞（轨道转弯处为光滑圆弧，物块A 在圆弧处无能量损
失），碰后两物块粘在一起沿水平方向飞出。已知物块A、B 的质量均为
，物块A 的释放点距
离轨道末端的高度
，轨道末端距离水平地面的高度
，重力加速度g 取10m/s2.求：
（1）两物块碰撞之前瞬间物块A 的速度大小v1；
（2）两物块碰后粘在一起的速度大小v2；
（3）两物块落地点到轨道末端的水平距离x。
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，内壁光滑、半径为R 的半圆形轨道固定在竖直平面内，半圆形
轨道的直径竖直，底端与光滑水平面相切。质量为m 的小物块（可视为质点）以
的初速度进入
轨道，g 为重力加速度，忽略空气阻力。则小球沿圆弧轨道运动过程中（ ）
A．上升的最大高度是R
B．上升的最大高度是2R
C．对轨道的压力
D．对轨道的压力
2．（2024·广东深圳·二模）如图甲所示，弹跳鞋是一种新型体育用品鞋，其底部装有弹簧。某次弹跳从最
高点下落的过程中，人的动能
随重心高度h（最低点为h
0）变化的图像如图乙所示，图中
段为
直线，其余部分为曲线，已知弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力忽略不计，人看做质点。则（ ）
A．高度为h1时，人的加速度达到最大值
B．下落到h1的过程中，人的机械能一直减小
C．高度为h
0 时，人处于超重状态
D．下落到
的过程中，人的机械能一直增大
3．（2024·河北保定·三模）如图所示，物块A 和物块B 用轻弹簧竖直连接，绕过定滑轮的轻绳连接物块B
和小球C，用手托着小球C，滑轮两边的轻绳刚好伸直且均竖直，A、B 静止，现手托C 球缓慢向下移，当
手对球的作用力为零时，A 对地面的压力也恰好为零，不计滑轮的质量和摩擦，弹簧始终在弹性限度内，
则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．C 球质量等于B 物块质量
B．轻绳对B 的拉力做的功等于B 的重力势能增加量
C．如果B 的质量大于A 的质量，弹簧的弹性势能增大
D．B、C 和弹簧组成的系统机械能一定减小
4．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，倾角为
的光滑斜面体固定在水平面上，质量为
的圆环甲
穿过光滑的竖直杆后拴接在劲度系数为
的轻弹簧上，弹簧下端栓接在水平面上。用跨过光滑小定滑轮的
细线与质量为
的滑块乙连接。用外力控制滑块乙使细线刚好绷紧，此时圆环位于图中的位置
，滑轮
右侧的细线与水平方向的夹角为
。某时刻将控制滑块乙的外力撤走，经过一段时间圆环运动到
位
置。已知
点与滑轮在同一高度处，且
到滑轮的距离为
，圆环在
、
两位置时弹簧的弹力大小相等，
重力加速度为
，
，不计滑轮大小，斜面足够长，细线长度不变，则下列说法正确的是
（ ）
A．甲、乙组成的系统机械能守恒
B．
C．撤走控制滑块乙的外力的瞬间，小球的加速度大小为
D．圆环运动到
位置时速度大小为
二、多选题
5．（2024·河南信阳·一模）如图所示，一根轻弹簧竖直固定在水平面上，将一个物块轻轻放在弹簧上端，
从释放物块开始到物块第一次的下运动到最低点的过程中，取竖直向下为正方向，物块运动的合力、速度、
加速度、动能与位移x 关系的图像正确的是（图中曲线均为抛物线）（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·山东·一模）如图所示，原长为L 的弹性轻绳一端固定于天花板上的О 点，另一端与水平地面上
质量为m 的滑块A 相连，О 点正下方L 处有一光滑小钉B 位于弹性绳右侧。当弹性绳处于竖直位置时，滑
块A 对地面的压力等于自身重力的一半。现有一水平拉力F 作用在滑块A 上，使其向右缓慢运动一段距离
后撤去F，此时滑块A 恰好能静止在地面上。已知弹性轻绳遵循胡克定律，其弹性势能
，式中k
为弹性绳的劲度系数，x 为弹性绳的形变量。此过程中弹性绳始终处于弹性限度内，滑块A 与地面间的动
摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。对于该过程，下列说法正确的是（
）
A．滑块A 对地面的压力大小不变
B．滑块A 向右运动的距离为
C．滑块A 克服摩擦力做的功为
D．拉力F 做的功为
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，同一竖直平面内有两条平行且足够长的光滑直轨道，两轨道间距为
0.6
，与水平面夹角为
。带孔的两小球P、Q 用原长为0.6
的轻质弹簧连接后，分别穿在两轨道上。
将两球在同一水平线上由静止释放，此时弹性势能为0.32 ，当P 球沿轨道下滑2.5
时，两球第一次相距
最近。已知两球质量均为1
，重力加速度
取
，
，
，空气阻力不计，下
列说法正确的是（ ）
A．P、Q 两球组成的系统机械能守恒
B．两球第一次相距最近时，两球的总动能为34.8
C．两球第一次运动到相距最近的过程中，P 球的平均速度小于Q 球的平均速度
D．两球第一次运动到相距最近的过程中，P 球机械能的减小量小于Q 球机械能的增加量
三、解答题
8．（2024·江苏镇江·一模）如图所示，在水平的桌面上，有一光滑的弧形轨道，其底端恰好与光滑水平面
相切。右侧有一竖直放置的光滑圆弧轨道MNP，轨道半径R＝0.8m，MN 为其竖直直径，P 点到桌面的竖
直距离也是R，质量为M＝2.0kg 的小物块B 静止在水平面上。质量为mA＝2.0kg 的小物块A 从距离水平面
某一高度的S 点沿轨道从静止开始下滑，经过弧形轨道的最低点Q 滑上水平面与B 发生弹性碰撞，碰后两
个物体交换速度，然后小物块B 从桌面右边缘D 点飞离桌面后，恰由P 点沿圆轨道切线落入圆轨道，g＝
10m/s2，求：
(1)物块B 离开D 点时的速度大小；
(2)S 与Q 竖直高度h；
(3)物块能否沿轨道到达M 点，并通过计算说明理由。
9．（2024·广东深圳·一模）某研究小组受多级火箭启发，用单级弹射装置组合成“二级弹射装置”。每个
单级弹射装置由轻质弹簧和质量为m 的物块构成，如图（甲）所示。单级弹射装置竖直弹射高度为h。把
2 个单级弹射装置叠放起来组成二级弹射装置，如图（乙）。先释放弹射装置1，当整体上升到最大高度时
触发弹射装置2，此时装置1 向下弹离掉落，装置2 获得向上速度，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)装置1 释放后整体上升的最大高度h1；
(2)装置2 触发后瞬间装置1 的速度大小v1；
(3)装置2 能上升的最大高度h2；
10．（2024·四川巴中·一模）滑板是运动员脚踩滑动的器材，在不同地形、地面及特定设施上，完成各种
复杂的滑行、跳跃、旋转、翻腾等高难动作的极限运动，2020 年12 月7 日，国际奥委会同意将滑板列为
2024 年巴黎奥运会正式比赛项目。如图所示为某滑板训练场地的运动轨道简化图，ABC 为半径R=5m 的圆
弧轨道的一部分，轨道AB 段粗糙，BC 段光滑，O 点为圆弧轨道的圆心，A 点与圆心等高，B 点为圆弧轨
道最低点，OC 与竖直方向的夹角为37°，为了研究滑板的运动，研究人员在B 点安装了压力传感器。某次
训练中，总质量为m=60kg 的运动员和滑板从A 点静止滑下，通过B 点时压力传感器示数F=1140N，之后
运动员从C 点滑出，在空中飞行一段时间后落在地面上的D 点。滑板与AB 轨道之间的阻力大小恒定，不
计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2，π 值取3，运动员和滑板整体视为质点。（结果可保留根式）
(1)求运动员和滑板过B 点时的速度大小；
(2)求滑板与圆弧轨道之间的阻力大小；
(3)求BD 之间的水平距离。
