文档文本内容
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第21 讲 机械能守恒定律
目录
01 考情解码•命题预警..........................................................................................................2
02 体系构建•思维可视..........................................................................................................3
03 核心突破•靶向攻坚..........................................................................................................5
考点一 势能 ...............................................................................................................................5
知识点1 重力势能....................................................................................................................5
知识点2 重力做功及与重力势能变化的关系......................................................................5
知识点3 弹性势能....................................................................................................................5
考向1 重力做功与重力势能.....................................................................................................6
考向2 弹力做功与弹性势能.....................................................................................................7
考点二 机械能守恒定律 ..........................................................................................................8
知识点1 机械能守恒定律..........................................................................................................8
知识点2 机械能是否守恒的三种判断方法............................................................................8
知识点3 系统机械能守恒的三种表示方式............................................................................9
知识点4 应用机械能守恒定律解题的一般步骤....................................................................9
知识点5 多物体系统的机械能守恒问题................................................................................9
知识点6 非质点类物体的机械能守恒..................................................................................11
考向1 机械能守恒的判断
..................................................................................................11
【思维建模】 判断机械能是否守恒的三种方法.........................13
考向2 单物体的机械能守恒定律应用
.............................................................................13
考向3 多物体的机械能守恒定律应用
........................................................................16
【思维建模】 机械能守恒定律的三种表达式...........................19
考向4 非质点类物体的机械能守恒定律应用
................................................................19
考点三 机械能与图象结合的问题 ........................................................................................20
知识点1 解决图象问题的基本步骤......................................................................................20
知识点2 图象所围“面积”和图象斜率的含义.................................................................20
考向1 机械能与图象结合类问题
.....................................................................................20
04 真题溯源•考向感知.......................................................................................................22
1
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考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
势能
理解
低频
2025•河南、
2024•北京、2024•浙
江
2023•浙江、
机械能
守恒定
律
综合应用
高频
2025•全国卷、
2025•安徽、
2025•海南、
2025•陕晋青宁
卷、2025•云
南、2025•全国
卷、2025•山
东、
2024•浙江、2024•福
建、2024•山东、
2024•全国甲卷、
2024•江苏、2024•福
建、2024•海南、
2024•山东、2024•湖
北、2024•辽宁、
2024•浙江、
2023•浙江、2023•全国甲卷、
2023•河北、2023•北京、
2023•辽宁、2023•全国甲卷、
机械能
与图像
结合的
问题
综合应用
中频
2023•浙江、2023•重
庆
2024•全国甲卷、
考情分析：
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：本部分内容属于重点、热点、难点内容；高考命题以选择题或计算题的形式出现；在简单问
题中利用机械能守恒去求解一些物理量；在复杂问题中，机械能守恒定律的考查以多物体系统或复杂运动
过程为重点，命题规律表现为对守恒条件的判断及表达式的应用。整体上命题趋势综合性逐步增强，单纯
考查单一能量转化减少，常与牛顿运动定律（求力、加速度）、平抛/圆周运动（求速度、时间）、动量
定理/守恒定律（碰撞过程） 结合考查；机械能相关的图像类问题的考查以能量随时间或位移的变化关系
为核心，通过图像的斜率、截距或面积考查能量转化的定量规律；机械能会与后面的电学结合起来，机械
能与电势能转化问题进行综合考核；
3.备考建议：本讲内容备考时候，深刻理解重力势能、弹性势能的定义、相对性（零势能面选取），核心
是精准把握机械能守恒定律的适用条件（只有重力和系统内弹力做功）。务必区分“系统机械能守恒”与
“单个物体机械能守恒”。熟练掌握核心模型（如竖直圆周运动、竖直/水平弹簧振子、斜面曲面下滑、
轻杆连接体），重视能量转化与守恒的方程式规范表达和书写，强化图像信息解读能力。
4.命题情境：
①生活实践类：生活、生产中能量守恒定律的应用；单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能
守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题
②学习探究类：通过纸带数据计算动能增量与势能减少量、测量两物体组成的系统总机械能守恒情
况。
5.常用方法：图像法、转化法、整体法与隔离法
复习目标：
1.理解重力势能和弹性势能，知道机械能守恒的条件。
2.知道机械能守恒的条件，会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。
3.理解机械能守恒定律的内容，会用机械能守恒定律解决单个物体或多物体系统的机械能守恒问题。
4.掌握动能定理与图像结合问题的分析方法。
2
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考点一 势能
知识点1 重力势能
1.定义:地球上的物体具有跟它的高度有关的能量，叫做重力势能。
2.表达式：E p=mgh .
知识点2 重力做功及与重力势能变化的关系
1. 重力做功：W G=mg Δh
2. 重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，重力做功不引起物体机械能的变
化。
3. 重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增
大，即WG= E p1- E p2=-Δ
E p。
知识点3 弹性势能
1.定义: 发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能
2.表达式：
E p=1
2 kΔx2
.
3.弹力做功跟弹性势能改变的关系: 弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。即
W Fk=−ΔE p .
特别提醒：
1）重力势能是地球和物体组成的系统共有的，而不是物体单独具有的.
2）重力势能的大小和零势能面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
3）重力势能是标量，但有“+”、“-”之分.
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考向1 重力做功与重力势能
例1
（2025·河北廊坊·模拟预测）如图所示，绕过定滑轮的轻质细线一端固定在O 点，另一端
吊着质量为m 的小球（可视为质点），定滑轮和O 点间的细线水平且长为L，用轻质小挂钩钩住水平细线，
给挂钩施加竖直向下的拉力，使小球缓慢上升，重力加速度为g，不计一切摩擦及空气阻力，从开始到挂
钩上的拉力大小等于mg 的过程中，作用在挂钩上的拉力做功为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】小球缓慢上升时，绳子中的拉力大小为mg，设与挂钩接触的两段绳子与竖直方向夹角为
，
当挂钩上的拉力大小等于mg 时，由
可得
则滑轮右侧绳子长度为
则重物增加的重力势能为
故作用在挂钩上的拉力做功为
故选A。
【变式训练1·变情境】（2025·甘肃白银·模拟预测）2024 年8 月6 号，“千帆星座”的首批组网卫星以
“一箭18 星”的配置成功升空入轨，标志着我国向组建全球卫星互联网迈出了重要一步。如图所示，航
天器携带卫星A 从地面发射到成功将其送入离地面高度为h 的圆形轨道，整个过程中航天器对卫星A 做功
的大小为W。已知卫星A 的质量为m，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，卫星A 从地面到入轨
过程中，不计空气阻力，重力势能的改变量
为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A．运动过程中，重力加速度发生变化，
，故A 错误；
BCD．对卫星A 在轨道上由万有引力提供向心力有
由
以及动能定理得
联立解得
故C 正确，BD 错误；
故选C。
考向2 弹力做功与弹性势能
例2
（2024·浙江嘉兴·一模）如图所示，某款自动雨伞的伞骨上端套有一轻质弹簧。收伞的时候
弹簧被压缩，开伞时外力作用使雨伞张开。已知雨伞张开时弹簧的长度为
，伞收起时弹簧的长度为
，弹簧的原长为
，劲度系数
，则（ ）
A．雨伞张开时弹簧的弹力为
B．雨伞收起后弹簧的弹力为
C．收伞过程中弹簧弹性势能的变化量为
D．收伞过程中外力对弹簧做的功至少为
【答案】D
【详解】A．劲度系数
，雨伞张开时弹簧的弹力为
，故A 错误；
B．雨伞收起后弹簧的弹力为
7
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故B 错误；
C．收伞前后弹簧的弹性势能分别为
，
，收伞过程中弹簧弹性势能的变化量为
，
故C 错误；
D．收伞过程中外力对弹簧做的功至少为
，故D 正确。
故选D。
考点二 机械能守恒定律
知识点1 机械能守恒定律
1.机械能：动能和势能（重力势能、弹性势能）统称为机械能，E=Ek+E p .
2.机械能守恒定律
①内容:在只有重力（和弹簧弹力）做功的情形下，物体动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，
但机械能的总量保持不变.
②表达式：
mgh 0+ 1
2 mv 0=mgh t+ 1
2 mv t
知识点2 机械能是否守恒的三种判断方法
1. 利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
2. 利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功
( 或做功代
数和为
0)
，则机械能守恒．
3. 利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转
化，则机械能守恒．
4.对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性
碰撞过程机械能也不守恒.
知识点3 系统机械能守恒的三种表示方式
得分速记
对机械能守恒条件的理解
1）只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
3）除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能
守恒，而是系统的机械能守恒。
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1. 守恒角度：系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等，即E1 =E2
2. 转化角度（可以不选零势能参考平面）：系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能，
即ΔEk＝－ΔEp
3. 转移角度（可以不选零势能参考平面）：系统内A 部分物体机械能增加量等于B 部分物体机械能减少
量，即ΔEA 增＝ΔEB 减
知识点4 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
1. 选取研究对象；
2. 进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒；
3. 选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量；
4. 根据机械能守恒定律列出方程；
5. 解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
知识点5 多物体系统的机械能守恒问题
1. 解决多物体系统机械能守恒的注意点
①对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空
气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．
②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
③列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝
－ΔEB的形式解决问题．
2.常见的模型
①轻绳连接的物体系统
得分速记
选好重力势能的参考平面，且初、末状态必须用同一参考平面计算势能
得分速记
分清重力势能的增加量或减少量，可不选参考平面而直接计算初、末状态的势能差
得分速记
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
特别提醒：
解题时究竟选取哪一种表达形式，应根据题意灵活选取;需注意的是:选用①式时，必须规定零势
能参考面，而选用②式和③式时，可以不规定零势能参考面，但必须分清能量的减少量和增加量.
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常
见
模
型
解
题
关
键
1）明确两物体的速度大小相等、还是沿绳方向的分速度大小相等(关联速度情景)。
2）用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。
3）对于单个物体，一般绳上的力会做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒
②轻杆连接的物体系统
常
见
旋
转
模
型
解
题
关
键
1）平动时两物体的线速度相等，转动时两物体的角速度相等。
2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
3）对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒
关
联
速
度
模
型
解
题
关
键
1）将物体的速度沿杆和垂直杆方向正交分解，其中沿杆方向的分速度大小相等．
③轻弹簧连接的物体系统
题型
特点
轻弹簧连接的物体系统，由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，这时系统内物体的动能、重力势能
和弹簧的弹性势能相互转化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。
解题
关键
（1）对同一弹簧，弹性势能的大小为Ep=1
2kx2，其弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论
弹簧伸长还是压缩，当弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。。
（2）物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关
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（3）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有
最大值。
知识点6 非质点类物体的机械能守恒
1. 模型讲解：在应用能量方法处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中
将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，若只有重力做功，
物体整体机械能守恒。在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的
重心及重心高度的变化量。根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
2. 常见模型
①绳索、链条类物体的机械能守恒：
②“液柱”类物体的机械能守恒：
③多个小球类的机械能守恒
3. 解题关键：
①物体虽然不能看作质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
②在确定物体重力势能的变化量时，一般情况下常分段计算各部分的重力势能，并用各部分重力势能
之和作为系统总的重力势能，参考平面以系统初、末状态重力势能便于表示为宜。
③分析非质点类物体的动能时，要看物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，
则物体的动能才可表示为1
2mv2。
④在解决多个小球类问题时，应抓住小球之间是否始终相互挤压。
考向1 机械能守恒的判断
例3（2025·河南·三模）雨滴从高空中由静止开始加速下落，随着速度增加，雨滴受到的阻力逐渐增大，
当阻力与其重力大小相等时，雨滴匀速下落。下列说法正确的是（ ）
A．雨滴加速下落过程中，其机械能不断增大
B．雨滴匀速下落过程中，其机械能不变
C．雨滴从开始下落至落地的过程中，其机械能不断减小
D．雨滴加速下落的过程中，相同时间内，雨滴克服阻力做的功相等
【答案】C
【详解】A．雨滴加速下落时，重力势能转化为动能和克服阻力产生的内能。由于阻力做功，机械能不
断减少，故A 错误；
B．匀速下落时，动能不变，但重力势能随高度降低持续减少，机械能仍减小，故B 错误；
C．整个下落过程中，阻力始终做负功，机械能持续转化为内能，因此机械能不断减小，故C 正确；
D．加速阶段，速度增大导致阻力增大，且位移随时间非线性增加，克服阻力做的功
会逐渐增
大，故D 错误。
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故选C。
【变式训练2·变考法】
（2025·江苏苏州·三模）如图所示，竖直平面内有一固定直导线水平放置，
导线中通有恒定电流I，导线正下方有一个质量为m 的铝质球，某时刻无初速释放铝球使其下落，不计空
气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球下落过程机械能一定减小
B．小球下落过程机械能一定守恒
C．小球下落过程机械能一定增加
D．小球下落过程机械能先增加后不变
【答案】A
【详解】因通电直导线下方产生垂直纸面向里的磁场，且随着距离直导线的距离增加磁场逐渐减弱，可
知小球下落过程中因磁通量逐渐减小在小球中产生涡流，铝制球产生热量，由能量关系可知，小球的机
械能将逐渐减小。
故选A。
【变式训练3·变情境】
（2025·四川德阳·二模）如图所示为机械节拍器。机械节拍器内部有一个
发条驱动，来带动外部的摆杆，摆杆上有一个可移动的摆锤，调节好摆锤的位置，拨动摆杆，摆锤就会在
竖直平面内按照单摆运动规律左右来回摆动。则下列说法正确的是（ ）
A．摆锤在最高点时处于超重状态
B．摆锤在最低点时处于超重状态
C．摆锤摆动过程中机械能守恒
D．摆动中，摆锤松动后下移会使摆锤摆动变慢
【答案】B
【详解】A．摆锤在最高点有竖直向下的加速度，处于失重状态，A 错误；
B．摆锤在最低点时即将向上摆动，有向上的加速度，处于超重状态，B 正确；
C．摆锤按照单摆的运动规律摆动，在最低点速度为0，动能最小，重力势能也最小，在最高点，也就
是平衡位置速度最大，重力势能也最大，所以机械能不守恒，C 错误；
D．摆动中，摆锤松动后下移，摆长会变小，类比单摆周期公式
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可知，摆长变短，周期变小，摆动变快，D 错误。
故选B。
【思维建模】 判断机械能是否守恒的三种方法
（1）定义法：利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机
械能守恒。
（2）做功法：若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，
则机械能守恒。
（3）转化法：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守
恒。
考向2 单物体的机械能守恒定律应用
例4（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，圆心为O、半径为R 的四分之一圆弧轨道AB 固定在距地面高
R 处，一个可视为质点的小球从A 点上方R 处由静止释放，小球从A 点沿轨道运动至B 点后水平抛出，轨
道在A、B 两处对小球的支持力大小之比为k，以水平地面为零势能面，不计空气阻力。则小球在A、B 两
处的机械能之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设小球经过A、B 两点的速度分别为
、
，对运动过程根据机械能守恒定律，从释放点到A
有
对A 点时的小球受力分析，由支持力充当向心力，即
从释放点到B，
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在B 点对小球受力分析，有
由以上公式可知
，
即
全过程的运动中，小球的机械能是守恒的，所以A、B 两点的机械能之比为1
选项中，只有
故选A。
【变式训练4·变情境】（2025·北京西城·三模）一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，
但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，
该一小段圆周的半径为该点的曲率半径。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周
运动的分析方法来处理了。小珂发现游乐场的过山车轨道不是圆形轨道而是“水滴形”轨道（如图1），
小珂设计了如图2 所示的过山车模型，质量为
的小球在A 点由静止释放沿倾斜轨道
下滑，经水平轨
道BC 进入半径
的圆形轨道，恰能做完整的圆周运动；再经水平轨道
进入“水滴形”曲线轨
道
，
点的曲率半径
，“水滴形”轨道最高点
与圆形轨道最高点
等高。忽略所有轨道摩
擦力，各轨道都平滑连接，“水滴形”轨道左右对称，
取
。
(1)求小球释放点A 距离水平面的高度
；
(2)在圆形轨道上运动时，小球在最低点
与最高点
的向心加速度大小的差值；
(3)在“水滴形”轨道
上运动时，小球的向心加速度大小为一个定值，求“水滴形”轨道
上任意
一点的曲率半径随距地面高度变化的函数表达式（即：用和
表示）。
【答案】(1)2m
(2)40 m/s2
(3)
或
【详解】（1）小球恰能做完整的圆周运动，则在D 点，由牛顿第二定律有
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由A 到D，由机械能守恒定律有
解得H =2m
（2）由A 到C，由机械能守恒定律有
在圆轨道上C 点，向心加速度
结合上述有
（3）小球在E 点，向心加速度
根据机械能守恒定律有
解得
由题意可知，小球在轨道EFG 上任意一点的向心加速度均为2g。设小球运动到距地面高为h 处，速度
大小为v，由机械能守恒定律有
由于
解得r=2.5R1-h 或r=2-h
考向3 多物体的机械能守恒定律应用
例5（2025·甘肃白银·三模）如图所示，一足够长且不可伸长的轻绳的一端系一小环甲，另一端系一重物
乙，甲套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为L，现将甲从与定滑轮等高的O 处由静止
释放，当甲沿直杆下滑到图中P 处时，OP 的距离也为L，已知甲、乙重分别为G 和2G，定滑轮大小及质
量可忽略，则（ ）
A．甲释放后，甲的机械能守恒
B．甲到达P 处时，乙上升的高度也为L
C．甲在P 处的速度与乙上升的速度大小之比等于
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D．甲在P 处的速度与乙上升的速度大小之比等于
【答案】C
【详解】A．由题意，甲与乙组成的系统机械能守恒，释放后乙从静止上升，机械能增加，甲机械能减
小，故A 错误；
B．甲到达P 处时，乙上升的高度h 应为绳子缩短的长度，即
，故B 错误；
CD．根据题意，甲与乙沿绳子方向的速度大小相等，将甲的速度沿绳子方向与垂直于绳子方向正交分
解应满足
可得
可知甲在P 处的速度与乙上升的速度大小之比等于
，故D 错误，C 正确。
故选C。
【变式训练5·变载体】（2025·甘肃白银·三模）如图所示，长度为L 的轻杆一端连接质量为3m 的小球A，
另一端固定在水平转轴P 上，轻杆可以在竖直面内自由转动。质量为m 的物块B 由绕过小定滑轮Q 的细绳
与小球相连，定滑轮Q 与转轴P 间的水平距离
，初始时轻杆水平，滑轮与小球间的细绳跟轻杆共线。
已知细绳足够长，忽略一切摩擦，取重力加速度为g。由静止释放小球，在轻杆转过30°角的过程中，求：
(1)物块B 的重力势能变化量；
(2)轻杆转过30°角时，小球A 与物块B 的瞬时速度大小之比；
(3)轻绳对小球A 做的功。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图所示
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由几何关系可知，当在轻杆转过30°角的过程中，此时细绳与水平方向夹角也为30°角，则物块B 的重
力势能增加
（2）轻杆转过30°角时，将小球A 的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直于细绳方向的速度，可知
即小球A 与物块B 的瞬时速度大小之比为
（3）对系统由机械能守恒定律
解得
，
物块B 的机械能增加了
则细绳对B 做功为
细绳对系统不做功，可知细绳对A 做功为
【变式训练6·变载体】（2025·湖北·三模）如图所示，三个相同的小物块a、b、c，质量均为m，c 放在水
平地面上，b 和c 在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻弹簧相连，a 在b 的正上方，开始时a、b、c 均静止。
现让a 自由下落，a、b 碰后一起向下运动。已知弹簧的弹性势能可表示为Ep＝
kx2，k 为弹簧的劲度系数，
x 为弹簧的形变量，重力加速度为g。若b 向上运动到最高点时，c 恰好离开地面，则a 开始下落时距b 的
高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设初始时弹簧被压缩x1，有
弹性势能为
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设a 开始下落时距b 的高度为H，b 初始位置为零势能面，设物块a、b 碰撞前瞬间a 的速度为
，由机
械能守恒定律得
设物块a、b 碰撞后瞬间两者的速度为
，由动量守恒定律得
a、b 一起压缩弹簧到两者向上运动到弹簧恢复原长时。a、b 恰好分离。此时两者速度相同，设速度为
，对此过程由系统机械能守恒得
a、b 分离后，b 向上运动到最高点时，c 恰好离开地面。此时弹簧伸长量为
。此过程b 与弹簧组成的
系统机械能守恒。则有
联立解得
ACD 错误；B 正确。
故选B。
【思维建模】 机械能守恒定律的三种表达式
守恒观点
E1＝E2
要选零势能参考平面
转化观点
ΔEk＝－ΔEp
不用选零势能参考平面
转移观点
ΔEA＝－ΔEB
考向4 非质点类物体的机械能守恒定律应用
例6（2025·湖南常德·三模）如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平
台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链
条的悬垂端接一质量也为m 的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。
平台右边有光滑曲面D 来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为
B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为
C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变
D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大
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【答案】A
【详解】A．甲图中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，根据机械能守恒定律有
解得
，故A 正确；
B．乙图中链条触地时，根据机械能守恒定律有
解得
，故B 错误；
C．甲图中平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受
外力的合力增大，链条在触地之前做加速度逐渐增大，故C 错误；
D．乙图中，平台右侧悬垂部分与小球总的重力等于链条与小球整体所受外力的合力，随悬垂部分的增
多，链条整体所受外力的合力增大，乙链条在触地之前加速度逐渐增大，对小球进行分析，根据牛顿第
二定律可知，链条对小球的拉力在不断减小，故D 错误。
故选A。
考点三 机械能与图象结合的问题
知识点1 解决图象问题的基本步骤
1. 观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
2. 根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
3. 将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的
交点、图线下的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式
求物理量．
知识点2 图象所围“面积”和图象斜率的含义
1. v−t 图像：图线与横轴围成的面积表示位移（x=vt ）
2. a−t 图像：图线与横轴围成的面积表示速度变化量（Δv=at ）
3. F−x 图像：图线与横轴围成的面积表示功（W =Fx ）
4. Ek−x 图像：图线的斜率表示合外力（
F合= Ekt−Ek 0
Δx
）
5. E p−x 图像：图线的斜率的绝对值表示重力（
G=−ΔE p
Δh
）
6. P−t 图像：图线与横轴围成的面积表示功（W =Pt ）
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考向1 机械能与图象结合类问题
例7（2025·陕西咸阳·模拟预测）巴黎奥运会女子铅球决赛中，中国选手宋佳媛摘得铜牌。某次抛出的铅
球在空中运动轨迹如图所示，铅球可视为质点，空气阻力不计。用v、
、E 分别表示铅球的速率、
重力势能、动能、机械能，用t 表示铅球在空中的运动时间。铅球离开手时计为
，以地面为零势能面，
则下列图像中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】ABC．铅球做斜上抛运动，重力势能先增加后减小，所以动能先减小后增加，速度先减小后
增加，但动能最小值不为零，故AC 错误，B 正确；
D．铅球在空中运动的过程中，只有重力做功，因此机械能不变，故D 错误。
故选B。
【变式训练7·变情境】（2025·河北石家庄·模拟预测）无人机下方通过细绳悬挂一重物由地面开始向上做
匀加速直线运动，上升到距地面高
处时将细绳割断，重物在空中运动时所受空气阻力恒定，取地面重力
势能为零，割断细绳后重物在空中运动过程中重物的重力势能
、动能
关于高度的图像可能正确的是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】AB．动能关于位移的图像斜率表示合外力，绳子割断时重物具有向上的速度，在向上运动时
合力为
，到最高点后向下运动合力为
，即向上运动时的斜率大于向下运动时的斜率，
故A 正确，B 错误；
CD．重力势能关于位移的图像斜率表示重力，无论向上运动还是向下运动，斜率大小相同，故CD 错
误。
故选A。
1．（2025·河南·高考真题）野外高空作业时，使用无人机给工人运送零件。如图，某次运送过程中的一段
时间内，无人机向左水平飞行，零件用轻绳悬挂于无人机下方，并相对于无人机静止，轻绳与竖直方向成
一定角度。忽略零件所受空气阻力，则在该段时间内（ ）
A．无人机做匀速运动
B．零件所受合外力为零
C．零件的惯性逐渐变大
D．零件的重力势能保持不变
【答案】D
【详解】D．无人机沿水平方向飞行，零件相对于无人机静止，也沿水平方向飞行做直线运动，故零件
的高度不变，可知零件的重力势能保持不变，D 正确；
AB．对零件受力分析，受重力和绳子的拉力，由于零件沿水平方向做直线运动，可知合外力沿水平方
向，提供水平方向的加速度。零件水平向左做匀加速直线运动，AB 错误；
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C．惯性的大小只与质量有关，零件的质量不变，故零件的惯性不变，C 错误。
故选D。
2．（2023·浙江·高考真题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳
台下落直到最低点过程中（ ）
A．弹性势能减小
B．重力势能减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
【答案】B
【详解】游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，只受重力作用做匀加速运动，下落到一定高度时橡
皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增
大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值。
A．橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A 错误；
B．游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B 正确；
C．下落阶段橡皮绳对游客做负功，游客机械能减少，转化为弹性势能，C 错误；
D．绳刚绷紧开始一段时间内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客动能在增加；当弹力大于重力后，
合力向上对游客做负功，游客动能逐渐减小，D 错误。
故选B。
3．（2025·全国卷·高考真题）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运
动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速
度取10m/s2）（ ）
A．4m
B．5m
C．6m
D．7m
【答案】B
【详解】在理论上：当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械
能守恒定律有
可得其理论的最大高度
故选B。
4．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
。一根
长为
的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
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时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、
M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳
子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
【答案】(1)
，
(2)4m
(3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M 正下方距离为L 的位置时，根据机械能守恒定律
在该位置时根据牛顿第二定律
解得
，
（2）小球做平抛运动时
，
解得x=4m
（3）若小球经过N 点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
解得
5．（2025·海南·高考真题）足够长的传送带固定在竖直平面内，半径
，圆心角
的圆弧轨
道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A 从圆弧顶点无初速度下滑，在
平台与B 碰成一整体，B 随后滑上传送带，已知
，
，A、B 可视为质点，AB 与传送带间
的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中，因摩擦生热
，忽略轨道及平台的摩擦，
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(1)A 滑到圆弧最低点时受的支持力；
(2)A 与B 整个碰撞过程中损失的机械能；
(3)传送带的速度大小。
【答案】(1)
，方向竖直向上；
(2)
(3)
或
【详解】（1）A 从开始到滑到圆弧最低点间，根据机械能守恒
解得
在最低点根据牛顿第二定律
解得
，方向竖直向上；
（2）根据题意AB 碰后成一整体，根据动量守恒
解得
故A 与B 整个碰撞过程中损失的机械能为
（3）第一种情况，当传送带速度小于
时，AB 滑上传送带后先减速后匀速运动，设AB 与传送带间
的动摩擦因数为
，对AB 根据牛顿第二定律
设经过时间
后AB 与传送带共速，可得
该段时间内AB 运动的位移为
传送带运动的位移为
故可得
联立解得
，另一解大于
舍去；
第二种情况，当传送带速度大于
时，AB 滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时间
后AB 与
传送带共速，同理可得
该段时间内AB 运动的位移为
传送带运动的位移为
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故可得
解得
，另一解小于
舍去。
6．（2023·浙江·高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时
的加速度大小a、速度大小v、动能Ek 和机械能E 随运动时间t 的变化关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A．由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间
改变，故A 错误；
B．铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有
则抛出后速度大小为
可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B 错误；
C．铅球抛出后的动能
可知动能与时间不是一次函数关系，故C 错误；
D．铅球水平抛出后由于忽略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故D 正确。
故选D。
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