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专题 09 能量守恒
目录
考向一 机械能守恒定律的应用..................................................................................................................................1
考向二 多物体机械能守恒问题..................................................................................................................................4
考查方式一：轻绳模型........................................................................................................................................4
考查方式二 轻杆模型........................................................................................................................................7
考查方式三 轻弹簧模型....................................................................................................................................9
考查方式四 等效重心模型...............................................................................................................................11
考查方式五 能量守恒综合运用......................................................................................................................12
考向一 机械能守恒定律的应用
1. 机械能守恒判断的三种方法
利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，
定义法
若不变，则机械能守恒
若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功
做功法
的代数和为零，则机械能守恒
若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转
转化法
化，则机械能守恒
2．机械能守恒定律的应用
3．运用机械能守恒定律分析求解时应注意的问题
(1)研究对象的选取研究对象的选取是解题的首要环节，有的问题选单个物体(实为一个物体与地球组成的系统)为研究对象机
械能不守恒，但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象，机械能却是守恒的．
(2)要注意研究过程的选取
有些问题研究对象的运动过程分几个阶段，有的阶段机械能守恒，而有的阶段机械能不守恒．因此，在应
用机械能守恒定律解题时要注意过程的选取．
(3)注意机械能守恒表达式的选取
“守恒的观点”的表达式适用于单个或多个物体机械能守恒的问题．列式时需选取参考平面．而用“转
移”和“转化”的角度反映机械能守恒时，不必选取参考平面．
3.三类连接体中物体的速度关系
速率相
两物体在运动过程中速率相等，根据系统减少的重力势
等的连
能等于系统增加的动能列方程求解．
接体
角速度
两球在运动过程中角速度相等，线速度大小与半径成正
相等的 比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方
程求解．
连接体
某一方
向分速 A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的
速度沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，如图丁所示．
度相等
其中沿绳子方向的速度v 与A的速度大小相等，根据系
x
的连接 统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解.
体
【典例1】如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R; bc是半径为R的四分之一圆弧，
与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始
向右运动．重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgR
[变式1]起跳摸高是学生经常进行的一项体育活动．一质量为m的同学弯曲两腿向下蹲，然后用力蹬地起
跳，从该同学用力蹬地到刚离开地面的起跳过程中，他的重心上升了h，离地时他的速度大小为v.下列说
法正确的是( )
A．起跳过程中该同学机械能增加了mgh B．起跳过程中该同学机械能增量为mgh＋mv2
C．地面的支持力对该同学做的功为mgh＋mv2 D．该同学所受的合外力对其做的功为mv2＋mgh
考向二 多物体机械能守恒问题
常见的功能关系
2. 多物体机械能守恒问题的解题思路
3. 多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”．考查方式一 轻绳模型
三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒．
【典例3】如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球
在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚
拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量
均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放A后，A沿
斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面，不计空气阻力，在这一过程中A始终在斜面上，下列说法正确的
是（ ）
A. 释放A的瞬间，B的加速度为0.5g
B. C恰好离开地面时，A达到的最大速度为
C. 斜面倾角α=45°
D. 从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒
[变式]如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑
圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B. C. D.
考查方式二 轻杆模型
三大特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．
【典例4】如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为mA、B通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的
竖直杆上，开始时，圆环与定滑轮之间的绳子处于水平状态，长度 l＝4 m，现从静止开始释放圆环，不计
定滑轮和空气的阻力，重力加速度g取10 m/s2，若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关
系为( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
[变式1](多选)如图所示，质量分别为2m、m的小滑块A、B，其中A套在固定的竖直杆上，B静置于水平
地面上，A、B间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接．一轻弹簧左端与B相连，右端固定在竖直杆上，弹簧
水平．当α＝30°时，弹簧处于原长状态此时将A由静止释放，下降到最低点时α变为45°，整个运动过程
中，A、B始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则A下降过程中(
)A．A、B组成的系统机械能守恒 B．弹簧弹性势能的最大值为(－)mgL
C．竖直杆对A的弹力一定大于弹簧弹力 D．A的速度达到最大值前，地面对B的支持力小于3mg
[变式2]如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上与光滑水平地面相距h，b放在地面上．
a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为 g.则
( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
考查方式三 轻弹簧模型
轻弹簧模型“四点”注意
①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转
化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒．
②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的
特点．
③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形
变量的大小．④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速
度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)．
【典例5】如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连.弹簧处于自然长度时物块位
于O点(图中未标出).物块的质量为m，AB=a，物块与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的力将物块从
O点拉至A点，拉力做的功为W.撤去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零.重力加速
度为g.则上述过程中( )
A.物块在A点时，弹簧的弹性势能等于W-μmga
B.物块在B点时，弹簧的弹性势能小于W-μmga
C.经O点时，物块的动能小于W-μmga
D.物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能
[变式]如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为 m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，
弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到
最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
考查方式四 等效重心模型
【典例6】如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球
编号如图．斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r.现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后
均做平抛运动，不计一切摩擦．则在各小球运动过程中，下列说法正确的是 ( )A．球1的机械能守恒 B．球6在OA段机械能增大
C．球6的水平射程最小 D．六个球落地点各不相同
[变式]有一条长为L＝2 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的
圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全
部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B． m/s C． m/s D． m/s考查方式五 能量守恒综合运用
【典例7】如图，一倾角为 的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为
d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止释放。
已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在
相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑
行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为g。
（1）求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
（2）求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
（3）若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应
满足什么条件？【题型演练】
1. (多选)滑沙是人们喜爱的游乐活动，如图是滑沙场地的一段斜面，其倾角为30°，设参加活动的人和滑
车总质量为m，人和滑车从距底端高为h处的顶端A沿滑道由静止开始匀加速下滑，加速度为0.4g，人和
滑车可视为质点，则从顶端向下滑到底端B的过程中，下列说法正确的是( )
A．人和滑车减少的重力势能全部转化为动能 B．人和滑车获得的动能为0.8mgh
C．整个下滑过程中人和滑车减少的机械能为0.2mgh D．人和滑车克服摩擦力做功为0.6mgh
2. (多选)一运动员穿着飞翔装备从飞机上跳出后的一段运动过程可近似认为是匀变速直线运动，如图 2所
示，运动方向与水平方向成53°，运动员的加速度大小为.已知运动员(包含装备)的质量为m，则在运动员
下落高度为h的过程中，下列说法正确的是( )
A．运动员重力势能的减少量为 B．运动员动能的增加量为
C．运动员动能的增加量为mgh D．运动员的机械能减少了
3. (多选)如图甲所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平面上，自然伸长的轻质弹簧一端固定在斜面底端
的挡板上．一质量为m的小球，从离弹簧上端一定距离的位置静止释放，接触弹簧后继续向下运动，小球
运动的vt图象如图乙所示，其中OA段为直线段，AB段是与OA相切于A点的平滑曲线，BC是平滑曲线，
不考虑空气阻力，重力加速度为g.关于小球的运动过程，下列说法正确的是( )
A．小球在t 时刻所受弹簧的弹力等于mg
B
B．小球在t 时刻的加速度大于g
CC．小球从t 时刻所在的位置由静止释放后，能回到出发点
C
D．小球从t 时刻到t 时刻的过程中，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
A C
4. 如图甲所示，一倾角为37°的传送带以恒定速度运行。现将一质量m＝1kg的物体抛上传送带，物体相
对地面的速度随时间变化的关系如图乙所示，取沿传送带向上为正方向，g=10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝
0.8。则下列说法正确的是( )
A. 0～8s内物体位移的大小是18m
B. 0～8s内物体机械能增量是90J
C. 0～8s内物体机械能增量是126J
D. 0～8s内物体与传送带因摩擦产生的热量是126J
5. 如图所示，固定的光滑竖直杆上套一个滑块A，与滑块A连接的细绳绕过光滑的轻质定滑轮连接滑块
B，细绳不可伸长，滑块B放在粗糙的固定斜面上，连接滑块B的细绳和斜面平行，滑块A从细绳水平位
置由静止释放(不计轮轴处的摩擦)，到滑块A下降到速度最大(A未落地，B未上升至滑轮处)的过程中(
)
A．滑块A和滑块B的加速度大小一直相等
B．滑块A减小的机械能等于滑块B增加的机械能
C．滑块A的速度最大时，滑块A的速度大于B的速度
D．细绳上的张力对滑块A做的功等于滑块A机械能的变化量
6. 如图所示，a、b两物块质量分别为m、2m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦。开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后突然由静止释放，直
至b物块下降高度为h，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 物块a的机械能守恒
B. 物块b机械能减少了
C. 物块b重力势能的减少量等于细绳拉力对它所做的功
D. 物块a机械能的增加量等于b的机械能减少量
7. 一物块从斜面顶端静止开始沿斜面下滑，其机械能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，
重力加速度取 。下列说法正确的是（ ）
A. 物块下滑过程中机械能不守恒 B. 物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C. 物块下滑时加速度的大小为 D. 当物块下滑 时机械能损失了
8. (多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m，从A点向左沿水平地
面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因
数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中( )A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
9. (多选) 如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端连接在一个小球上，小球套在光滑、水平的直杆上，
开始时弹簧与杆垂直且处于原长．现给小球一个水平向右的拉力 F，使小球从杆上A点由静止开始向右运
动，运动到B点时速度最大，运动到C点时速度为零．则下列说法正确的是( )
A．小球由A到B的过程中，拉力做的功大于小球动能的增量
B．小球由B到C的过程中，拉力做的功大于弹簧弹性势能的增量
C．小球由A到C的过程中，拉力做的功等于弹簧弹性势能的增量
D．小球由A到C的过程中，小球所受合力的功先减小后增大
10. 如图所示，一原长等于A、B间距离的弹性轻绳(绳的弹力与其伸长量成正比)左端固定在A点，右端跨
过由轻杆OB固定的定滑轮连接一个质量为m的小球，小球穿过竖直固定的杆．初始时A、B、C三点在
同一水平线上，小球从C点由静止释放滑到E点时速度恰好为零．已知C、E两点间距离为h，D为CE的
中点，小球在C点时弹性绳的拉力为0.5mg，小球与杆之间的动摩擦因数为0.5，弹性绳始终处在弹性限度
内．在小球由C运动到E的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球在D点时速度最大
B．若在E点给小球一个向上的速度v，小球恰好能回到C点，则v＝C．小球在CD段损失的机械能等于小球在DE段损失的机械能
D．若仅把小球质量变为2m，则小球到达E点时的速度大小为
11. 如图所示，传送带A、B之间的距离为L＝3.2 m，与水平面间的夹角为θ＝37°，传送带沿顺时针方向
转动，速度恒为v＝2 m/s，在上端A点无初速度地放置一个质量为m＝1 kg、大小可视为质点的金属块，
它与传送带的动摩擦因数为μ＝0.5，金属块滑离传送带后，经过弯道，沿半径R＝0.4 m的光滑圆轨道做圆
周运动，刚好能通过最高点E，已知B、D两点的竖直高度差为h＝0.5 m(g取10 m/s2)．求：
(1)金属块经过D点时的速度大小；
(2)金属块在BCD弯道上克服摩擦力做的功．12. 如图，L形滑板A静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为 的轻质弹簧，弹簧左端与一小
物块B相连，弹簧处于原长状态。一小物块C以初速度 从滑板最左端滑入，滑行 后与B发生完全非弹
性碰撞（碰撞时间极短），然后一起向右运动；一段时间后，滑板A也开始运动．已知A、B、C的质量
均为 ，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为 ，重力加速度大小为 ；最大静摩擦力近似
等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：
（1）C在碰撞前瞬间的速度大小；
（2）C与B碰撞过程中损失的机械能；
（3）从C与B相碰后到A开始运动的过程中，C和B克服摩擦力所做的功。
