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第29 课时 机械能守恒定律及其应用
目标要求 1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。2.会用机械能守恒定律解决单个物体
或多物体系统的机械能守恒问题。
考点一 机械能守恒的判断
1.重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点：重力做功与 无关，只与始末位置的 有关，重力做功不引起物体
的变化。
(2)重力势能
①表达式：Ep＝ 。
②重力势能的特点：重力势能是物体和 所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取 ，
但重力势能的变化量与参考平面的选取 。
(3)重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能 ，重力对物体做负功，重力势
能 ，即WG＝ ＝ 。
2.弹性势能
(1)定义：发生 的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能 ；弹力做负功，弹性势能 。
即W＝ 。
3.机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内， 与 可以互相转化，而总的
机械能 。
(2)表达式：mgh1+1
2mv1
2＝ 或 ＝Ek2+Ep2。
(3)守恒条件：只有 或 做功。
1.物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( )
2.物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒。( )
3.物体的速度增大时，其机械能可能会减小。( )
例1 (2024·山东东营市期末)忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A.竖直面内匀速转动的摩天轮中的物体
B.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C.物体沿着斜面匀速下滑
D.拉着物体沿光滑斜面匀速上升
机械能是否守恒的三种判断方法
1.利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。
1
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2.利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或者虽受其他力，但其他力不做功(或做功
代数和为0)，则机械能守恒。
3.利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转
化，则机械能守恒。
考点二 单物体的机械能守恒问题
1.机械能守恒定律表达式
说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
例2 如图所示，在竖直面内固定三枚钉子a、b、c，三枚钉子构成边长d＝10 cm 的等边三角形，其
中钉子a、b 的连线沿着竖直方向。长为L＝0.3 m 的细线一端固定在钉子a 上，另一端系着质量m＝200
g 的小球，细线水平拉直，然后将小球以v0＝√3 m/s 的初速度竖直向下抛出，小球可视为质点，不考
虑钉子的粗细，重力加速度g 取10 m/s2，细线碰到钉子c 后，小球到达最高点时，细线拉力大小为(
)
A.0
B.1 N
C.2 N
D.3 N
拓展 若细线拉直时与水平方向夹角为30°指向斜左上方，然后将小球仍以v0＝√3 m/s 的初速度竖直向
下抛出。
(1)小球在以后的运动过程中机械能是否守恒？
(2)小球能否到达上述例题中的最高点？如果能，求出到达最高点时细线拉力的大小。
2
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例3 (2024·全国甲卷·17)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m 的小环套在大圆环上，小
环从静止开始由大圆环顶端经Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小( )
A.在Q 点最大
B.在Q 点最小
C.先减小后增大
D.先增大后减小
考点三 系统的机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻
力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v＝ωr 知，v 与r 成正比。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
3
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以上图中，轻绳(或轻杆)对A、B 物体均做功，系统机械能为何仍守恒？
例4 如图所示，可视为质点的小球A、B 用不可伸长的轻软细线连接，跨过固定在水平地面上、半
径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍。当B 位于地面上时，A 恰与圆柱轴心等高，将A 由静止释
放，B 上升的最大高度是( )
A.2R
B.5 R
3
C.4 R
3
D.2 R
3
拓展 若细绳质量不可忽略，如图所示，总长为l、质量为m 的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上，用细
线将质量也为m 的物块与软绳的一端连接。现将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮。不计
一切摩擦，重力加速度为g，在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，物块和软绳的机械能各改变多少？
例5 如图所示，质量均为m 的物块A 和B 用不可伸长的轻绳连接，A 放在倾角为θ 的固定光滑斜面
上，而B 能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B 从与滑轮等高处由静止开始
下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B 下落到绳与水平方向的夹角为θ 的过程中，下列说
法正确的是( )
A.物块B 下落过程中机械能守恒
B.物块B 的重力势能减少量为mgLsin θ
C.物块A 的速度大于物块B 的速度
D.物块B 的末速度为√
2gLsinθ
1+ sin
2θ
例6 (多选)如图所示，质量均为m 的A、B 两球(均可视为质点)固定在轻质直杆上，杆可绕固定转动
轴O 在竖直平面内无摩擦转动，已知A、B 两球到O 点的距离满足OB＝3OA＝3L，重力加速度为g。
将杆拉到水平位置由静止释放，下列说法正确的是( )
4
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A.杆向下摆动到竖直位置的过程中，杆对B 球做负功
B.杆向下摆动到竖直位置的过程中，杆对A 球做的功为－3
5mgL
C.杆向下摆动到竖直位置时，转动轴O 对杆的作用力大小为26
5 mg
D.杆向下摆动到竖直位置时，杆对B 球的作用力大小为3mg
5
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答案精析
考点一
1.(1)路径 高度差 机械能
(2)①mgh ②地球 有关 无关
(3)减小 增大 Ep1－Ep2 －ΔEp
2.(1)弹性形变 (2)减小 增加
－ΔEp
3.(1)动能 势能 保持不变
(2)mgh2+1
2mv2
2 Ek1+Ep1
(3)重力 弹力
判断正误
1.× 2.× 3.√
例1 B [摩天轮匀速转动，物体动能不变，势能变化，机械能不守恒，所以A 错误；物体在光滑斜面上，
受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体位移的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械
能守恒，所以B 正确；物体沿着斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能
不守恒，所以C 错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机
械能不守恒，所以D 错误。]
例2 C [设小球到达最高点时速度大小为v，以初始位置所在水平面为参考平面，根据机械能守恒定律有
1
2mv0
2＝1
2mv2+mgh
h＝L－d－d－d
2 ＝L－5
2d
代入数据联立解得v＝√2 m/s，小球在最高点时根据牛顿第二定律有F+mg＝m v
2
L−2d ，解得细线拉力大小为
F＝2 N，故选C。]
拓展 (1)见解析 (2)能 3.5 N
解析 (1)细线绷直的瞬间，小球机械能不守恒，其余过程小球机械能守恒。
(2)从释放点到细线恰好伸直时，对小球由机械能守恒定律得mgL＝1
2mv1
2－1
2mv0
2，解得v1＝3 m/s。细线
绷直时沿细线方向的速度突变为零，小球只剩下沿细线切线方向的速度，从细线绷直到最高点，对小球由
机械能守恒定律得mg(Lsin 30°+L－5
2d)＝1
2m(v1cos 30°)2－1
2mv2
2，解得v2＝√11
2 m/s，因v2>√g( L−2d)＝
1 m/s，故小球能到达最高点。在最高点，对小球：FT+mg＝m
v2
2
L−2d
，解得FT＝3.5 N。
6
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例3 C [方法一(分析法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处(P 点)与圆环的作用力恰好为零，此
时只有小环的重力分力提供小环所需向心力，可知P 点必在Q 点上方，如图所示
设P 点和圆心连线与竖直向上方向的夹角为θ，从大圆环顶端到P 点过程，根据机械能守恒定律mgR(1－
cos θ)＝1
2mv2
在P 点，由牛顿第二定律得mgcos θ＝mv
2
R
联立解得cos θ＝2
3
从大圆环顶端到P 点过程，小环速度较小，小环重力沿着指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心
力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从P 点到最低点过程，小环速度变大，小环重力沿着
大圆环直径方向的分力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，从P 点到Q 点，小环重力沿大圆环直径的
分力逐渐减小，从Q 点到最低点，小环重力沿大圆环直径的分力背离圆心，逐渐增大，所以大圆环对小环
的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二(数学法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处时，设该处和圆心的连线与竖直向上方向的夹
角为θ(0≤θ≤π)，根据机械能守恒定律得mgR(1－cos θ)＝1
2mv2(0≤θ≤π)
在该处根据牛顿第二定律得
F+mgcos θ＝mv
2
R (0≤θ≤π)
联立可得F＝2mg－3mgcos θ
则大圆环对小环作用力的大小为
|F|＝|2mg－3mgcos θ|
根据数学知识可知|F|的大小在cos θ＝2
3时最小，
由牛顿第三定律可知，小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。故选C。]
考点三
讨论交流 轻绳(或轻杆)对A、B 的力属于系统内力，做功使机械能在A、B 之间转移，单个物体机械能不
守恒，但系统机械能守恒。
例4 C [设B 球的质量为m，则A 球的质量为2m，A 球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守
恒定律得2mgR＝1
2×(2m+m)v2+mgR，B 球继续上升的过程由动能定理可得－mgh＝0－1
2mv2，联立解得h
＝R
3 ，B 球上升的最大高度为h+R＝4
3 R，故选C。]
7
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拓展 物块的机械能减少了1
8mgl，软绳的机械能增加了1
8mgl
解析 设软绳刚离开滑轮的时候，物块和软绳的速度为v，根据机械能守恒定律有mg· l
2+mg
2 · l
2 ＝1
2
×2m·v2，计算可得v＝√3 gl
2
，则物块机械能的减少量为E 减＝mg· l
2 －1
2mv2＝1
8mgl，系统的机械能是守恒
的，由于物块的机械能减少了1
8mgl，所以软绳的机械能增加了1
8mgl。
例5 D [物块B 的重力势能减小量为ΔEp=WG=mgh=mgLtan θ，故B 错误；将物块B 的速度分解为沿绳子
方向和垂直于绳子方向，有vA=vBsin θ，可知物块A 的速度小于物块B 的速度，故C 错误；根据机械能守
恒定律，有mgLtan θ-mg(
L
cosθ -L)sin θ=1
2mv A
2+1
2mvB
2，解得vB=√
2 gLsinθ
1+ sin
2θ
，故D 正确；绳的拉力对B 做
负功，故B 机械能不守恒，故A 错误。]
例6 BC [A、B 和杆组成的系统机械能守恒，可得mgL+mg·3L＝1
2mv A
2+1
2mvB
2，由v＝ωr 知vB＝3vA，
联立解得vA＝2√
gL
5 ，vB＝6√
gL
5 。对A 球根据动能定理可得mgL+WA＝1
2mv A
2－0，对B 球根据动能定理可
得3mgL+WB＝1
2mvB
2－0，解得WA＝－3
5mgL，WB＝3
5mgL，故A 错误，B 正确；杆向下摆动到竖直位置时，
对B 球可得FB－mg＝mvB
2
3 L
，解得FB＝17
5 mg。对A 球可得F0－mg－FB＝mv A
2
L
，解得F0＝26
5 mg，故C 正
确，D 错误。]
8
