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第3 讲 机械能守恒定律及其应用
目标要求 1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容.2.会用机械能守恒定律
解决单个物体或系统的机械能守恒问题．
考点一 机械能守恒的判断
1．重力做功与重力势能的关系
(1)重力做功的特点
①重力做功与________无关，只与始末位置的____________有关．
②重力做功不引起物体____________的变化．
(2)重力势能
①表达式：Ep＝________.
②重力势能的特点
重力势能是物体和________所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取________，但重力
势能的变化与参考平面的选取________．
(3)重力做功与重力势能变化的关系
重力对物体做正功，重力势能________；重力对物体做负功，重力势能________．即WG＝
Ep1－Ep2＝－ΔEp.
2．弹性势能
(1)定义：发生________________的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势
能．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：
弹力做正功，弹性势能________；弹力做负功，弹性势能________．即W＝________.
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，________与________可以互相转化，而总
的机械能________________．
(2)表达式：mgh1＋mv1
2＝______________.
1．物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( )
2．物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒．( )
3．物体的速度增大时，其机械能可能减小．( )
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机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做
功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与
其他形式能的转化，则机械能守恒．
例1 忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A．电梯匀速下降
B．物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C．物体沿着斜面匀速下滑
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
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例2 (多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有
数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
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例3 (多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有
一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A 点的正上方由静止开始下落，从
A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守
恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
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考点二 单物体机械能守恒问题
1．表达式
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
例4 (2022·全国乙卷·16)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环
顶端P 点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P 点的距离
D．它与P 点的连线扫过的面积
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例5 (2021·浙江1 月选考·20 改编)如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、
半径均为R 的半圆形细圆管轨道BCDE 和圆周细圆管轨道EFG 构成一游戏装置固定于地面，
B、E 两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直．轨道出口处G 和圆心O2的连线，
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以及O2、E、O1和B 等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G 点与竖直墙面的距
离d＝R.现将质量为m 的小球从斜面的某高度h 处静止释放．小球只有与竖直墙面间的碰撞
可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力．
(1)若释放处高度h＝h0，当小球第一次运动到圆管最低点C 时，求速度大小vC；
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(2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D 点所受弹力FN与h 的关系式；
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(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h 应该满足什么条件？
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考点三 系统机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况
为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
2．几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．
(2)角速度相等情景
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①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
②由v＝ωr 知，v 与r 成正比．
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．
(4)含弹簧的系统机械能守恒问题
①由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹
力以外的其他力不做功，系统机械能守恒.
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势
能最大．
③对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧
的弹性势能相等．
考向1 速率相等情景
例6 如图所示，可视为质点的小球A、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面
上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面上时，A 恰与圆柱轴心等高．
将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )
A．2R B. C. D.
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多个物体组成的系统，应用机械能守恒时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，再
用ΔE 增＝ΔE 减(系统内一部分增加的机械能和另一部分减少的机械能相等)解决问题．
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考向2 角速度相等情景
例7 (多选)(2023·安徽滁州市定远县第三中学模拟)轮轴机械是中国古代制陶的主要工具．
如图所示，轮轴可绕共同轴线O 自由转动，其轮半径R＝20 cm，轴半径r＝10 cm，用轻质
绳缠绕在轮和轴上，分别在绳的下端吊起质量为2 kg、1 kg 的物块P 和Q，将两物块由静止
释放，释放后两物块均做初速度为0 的匀加速直线运动，不计轮轴的质量及轴线O 处的摩
擦，重力加速度g 取10 m/s2.在P 从静止下降1.2 m 的过程中，下列说法正确的是( )
A．P、Q 速度大小始终相等
B．Q 上升的距离为0.6 m
C．P 下降1.2 m 时Q 的速度大小为2 m/s
D．P 下降1.2 m 时的速度大小为4 m/s
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考向3 关联速度情景
例8 (多选)(2023·福建省厦门一中高三检测)如图所示，质量均为m 的物块A 和B 用不可
伸长的轻绳连接，A 放在倾角为θ 的固定光滑斜面上，而B 能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和
滑轮中心间的距离为L，物块B 从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加
速度为g.在物块B 下落到绳与水平方向的夹角为θ 的过程中，下列说法正确的是( )
A．物块B 的机械能的减少量大于物块A 的重力势能的增加量
B．物块B 的重力势能减少量为mgLtan θ
C．物块A 的速度大于物块B 的速度
D．物块B 的末速度为
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考向4 含弹簧的系统机械能守恒问题
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例9 (多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O 点，另一端固定一个带有孔的小球，小
球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A 点时，弹簧处于原长，现将小球从A 点由
静止释放，小球向下运动，经过与A 点关于B 点对称的C 点后，小球能运动到最低点D 点，
OB 垂直于杆，则下列结论正确的是( )
A．小球从A 点运动到D 点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B 点运动到C 点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C 点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D 点时弹簧的弹性势能一定最大
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例10 如图所示，A、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，
B、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上．现用
手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面
平行．已知A 的质量为4m，B、C 的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦
不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开
地面．求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A 球获得的最大速度vm的大小．
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