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解锁 “高考数学学科素养”专题系列——14 函数中的哲学思想，
一分为二（解析式与）函数图象
图象是函数的一种表示形式，是认识、研究和记忆函数性质基本方法，也是探求解题途径、获得问
题结果的重要途径.因此，图象法重在分析问题、分散解题难点和寻求解题切入点的重要手段，只有极特
殊的问题用图象直接求解，主要用于方程或不等式（在变中寻找不变量；与根的个数有关的问题）.解选
择题或填空题时利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用，在解答题时是启迪代数解题
思路的基本途径之一.
解锁一：函数图象的本质属性
1.函数图象的定义
把自变量
的一个值和函数值
的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标可以作出一个点，所有这些
点组成的曲线就是这个函数的图象.
2.函数图象变换
(1)平移变换
①水平平移：
的图象，可由
的图象向左(＋)或向右(－)平移
单位而
得到．
②竖直平移:
的图象，可由
的图象向上(＋)或向下(－)平移
单位而得
到．
说明:
❶一般地,
的图象，可以由
的图象
向左平移
，
可以由
的图象向上平移
；
❷水平平移函数不变的性质有:
Ⅰ值域与最值; Ⅱ周期性；Ⅲ单调性（单调区间变化）；Ⅳ对称性（对称位置变化了）.
❸竖直平移不变的性质有:
Ⅰ定义域；Ⅱ周期性；Ⅲ单调性、单调区间；Ⅳ对称性（对称位置
变化了）.
(2)对称变换(见函数的奇偶性)
(3)翻折变换:
①关于
轴翻折: 将函数
的图象的
轴下方部分沿
轴翻折到
轴上
方，去掉原
轴下方部分，并保留
的
轴上方部分即可得到函数
的图象；
②关于
轴翻折:将将函数
的图象右边沿
轴翻折到
轴左边替代
原
轴左边部分并保留
在
轴右边部分即可得到函数
的图象;
③既关于
轴又关于
轴翻折：将函数
的图象右边沿
轴翻折到
轴左边替代原
轴左边部分并保留
在
轴右边部分再将
轴下方部分沿
轴翻折到
轴上方，
1
-1
O
1
去掉原
轴下方部分，并保留
的
轴上方部分即可得到函数
的图象.
(4)伸缩变换
①
的图象，可将
图象上所有点的纵坐标伸长（当
时）或缩短（当
时）到原来的
倍，横坐标不变而得到．
②
的图象，可将
图象上所有点的横坐标缩短（当
时）或伸长（当
时）到原来的
倍，纵坐标不变而得到．
说明:会判定一个函数的图象变换；会说明一个函数的图象变换；会用图象变换解题.
探点1 函数
的对称性为 .
探究: 函数
是奇函数，所以其图象关于原点对称，而
，所以
的图象关于
对称.
悟惑.有关对称性的判定或对称点的求法，一般有三个策略：其一是利用函数的奇偶性；其二是利用
函数的对称结论；其三是待定系数法.
探点2.为了得到函数
的图象，可以把函数
的图象向___平移____个单位长度．
探究：已知函数可变为
，所以函数
的图象向右、 .
3.函数图象的本质属性
通过图象抽象出变量间的依赖关系，理解“图象即关系”的本质；依据解析式推断图象特征或由图象
反推函数的代数性质，形成严谨的因果论证；将实际问题转化为函数图象，建立出模型并用于预测或决
策；借助图象的直观感和知函数的整体形态、趋势及局部行为，实现“数”与“形”的相互转化；在图象分
析中涉及求交点、截距、斜率等运算，提升符号操作与数值计算能力；结合图象解读实验或统计数据的
变化规律，提取数学信息并作出合理推断.
解锁二：解函数图象题的原则
1.解几何题的原则：
第一步：搞清研究对象；
第二步：先定位后定法(代数与几何)；
第三步：先化归后直求(函数，先用基本函数图象，后转为基本曲线；立体，先几何后向量；解几，
先平几后解几)，运动问题轨迹法，静止问题几何法；
第四步：求解运算；
第五步：回答问题.
2.解函数图象题的原则
第一步：搞清研究对象；
第二步：先由函数的参数意义定图象总体特征后选由“由数识图”还是由“用图研数”；
第三步：先用性质，后用基本函数图象或基本曲线的特殊性；
第四步：求解运算；
第五步：回答问题.
解锁三：利用图象解函数题的常见类型
1.由数识图
(1)作图
作(画)图的步骤:
第一步:先看是否能用图象变换（除三角之外）？
第二步: 能, 直接利用图象变换画图; 否, 先化简，后确定范围（动谁就要考虑谁的范围. 如
）；
第三步:选择法.
①利用图象变换；
②利用已学过的基本函数或基本曲线；
③描点法.
说明:
❶描点法的对象，主要指三角函数式或初次接触的函数；
❷描点法作图的步骤:
Ⅰ确定函数的定义域；
Ⅱ化简函数的解析式；
Ⅲ讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值、凸凹性、渐近线、连续性（变化趋势）；
Ⅳ列表（尤其注意一些特殊点，如：图象与坐标轴的交点，最大值与最小值点，拐点）；
Ⅴ画坐标系；
Ⅵ描点连线，画出函数的图象.
(2)识图.
对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义
域、值
域、特殊性、单调性、最值、奇偶性、周期性等.甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题.
识图的常见类型:
①已知解析式，选择函数的图象;
探点1.函数
的图象大致是探点：
探究：当
时，函数
单调
递增，故排除C、D，又
，故选A.
探点2.在同一直角坐标系中，函数
的图象可能是
探究：突破口是对对数底数的讨论，选
.
悟惑:求解此类问题的基本策略有二.
其一是，利用函数的特殊性（定、值域；函数值的界限、函数值符号 的变化；函数增减速度与函数
图象的凸凹特征等）或一般性质(单调性、最值；奇偶性、周期性、对称性等)借助排除法确定正确的图
象作为选项；
其二是，依据每个函数图象的特征(范围、在原点或其它特殊点两侧的符号变化特点、对称性、单调
性、凸凹性、拐点等)所反映出的函数性质与函数对照，完全对应上的为正确答案.
探点3.函数
的部分图象大致是
探究：利用函数性质可知选
，排除
，又
，排除
，
，故选
.
结论：用函数性质检验
探点4.函数
的图象大致为
探究1 ：因为
，所以
为奇函数，排除
.又因为
在
上都是减函数，排除
、
.故选
.
探究2：当
趋向于零时，函数值
趋向于正无穷或负无穷，可排除
、
、
，故选
.
②已知几个函数的图象关系，确定参数的值或取值范围.
探点1.已知函数
.若方程
恰有
个
互异的实数根，则实数
的取值范围为________．
探究:利用数形结合法可得实数
的取值范围为
或
探点.2 已知函数
1
1
2
x
x
y
的图象与函数
2
kx
y
的图象恰有两个交点，则实数
的取值范围是
______.
探究：函数
，当
时，
，当
时，
，综上函数
，做出函数的图象(蓝线)，要使函数
与
有两个不
同的交点，则直线
必须在四边形区域
内(和直线
平行
的直线除外，如图，则此时当直线经过
，
，综上实数的取值范围是
且
.
-3
2
2
1
1
O
y
x
③已知一个函数的图象，确定相关
函数的图象.
探点.若函数
的图象如右图所示，则下列函
数图象正确的是
④已知具体问题，确定函数的图象.
探点1.如图，圆
的半径为，
是圆上的定点，
是圆上的动点，角
的始边
为射线
，终边为射线
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，将点
到直线
的距离表示为
的函数
，则
=
在[0,
]上的图像大致为( )
探究1(数形结合):由圆的对称性知选排除
,又
，所
以
，排除
，选
.
探究2(函数法):
探点2.如图，长方形
的边
是
的中点，点
沿着边
与
运动，
.将动点
到
两点距离之和表示为
的
函数
，则
的图像大致为
探究：由矩形的对称性知选
2.用图研数——用图:
(1)记忆函数的性质；
(2)分析、理解问题-----找解题的突破口；
(3)用图象解题:
①解选择题、填空题; ②利用导数研究问题; ③利用含绝对值函数最值;④利用基本函数或基本曲线解
决问题; ⑤利用函数图象求解方程、不等式、运算等问题.
探点1.方程
的两个实根为
，则
满足的大小关系为 .
探究:不妨设
，则由函数
单调递减知
，
所以
.
悟惑:涉及两个函数方程根的大小，一般利用图象法，一个定性，一个定量；
D
C
B
A
O
O
O
O
x
x
x
x
y
y
y
y
D
C
B
A
X
P
O
D
C
B
A
b
a
O
y
x
(D)
(C)
(B)
(A)
x
y
4
2
3
4
2
2
3
4
2
4
y
x
x
y
4
2
3
4
2
2
3
4
2
4
y
x
凡是基本函数的图象变换的大小问题都要还原到原函数的大小问题.
探点2.已知函数
，若关于
的不等式
在
上恒成立，则实
数
的取值范围为
.
探究1(图象法):设
，则问题变为函数
的图象恒在函数
的图象的上方. 找两边切的值
，
，故选
.
探究2(排除检验法):取
，则已知不等式变为
，即
,从而排除
，再取
，检验
，故选
探点3.已知函数
，则函数
图象关于
轴
的对称点的个数为
探究:利用函数图象.延长函数
的图象,看
与
图象交点个数.
可得
探点4.对于任何实数
取
三者中较小者，则
的最大值为
探究:在同一个坐标系中，画出三个函数的图象可知
.
探点5.函数
的对称轴方程为
,则实数
.
探究:对称性来自于“
”，当
时，对称轴方程为
；当
对称轴方
程为
.
探点6.方程
的解为
，
的解为
，则
.
探究1(图象法）:对称点
是
与
的交点，则
为
与
的交点，所以
，所以
。
探究2：
与
的交点和
与
的交点的中点为
与
交点的
1
3
O
y
x
1
-1
-1
O
1
中点，所以
，所以
探点7.方程
的各个实根为
，所对应的点
均在直线
的
同侧.则实数
的取值范围是 .
探
究
:
原
方
程
可
变
为
，
设
，则点
在
图象上，直线
与
交于
，
由图象可知
或
，解得
或
，故实数
的取值范围是
或
.
探点8.已知
，则
，是
的 .
探究:利用图象变换，
的图形关于
轴，
轴，原点均对称，当
，有
，所以满足
的点
在一个正方形外或边上
构成的区域，而
的区域是由直线
外部完成的区域. 所以
，是
的必要不充分条件.
解锁四：有关函数对称问题的解题策略
1.一个函数自身对称性的判定方式
(1)利用函数奇偶性或对称性的性质去寻找；
(2)利用基本函数的对称性或奇偶性再依据图象变换确定对称性.
探点1.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数
的图象与
的图象关于_____对称，则指出一个函数
________.
探究:常见答案有4 种
①
轴对称，
；
②
轴对称，
；
③原点对称，
；
O
b
-1
-1
1
1
a
B
A
O
y
x
2
2
-2
-2
B
A
O
y
x
2
2
-2
-2
④直线
对称，
；另外，还有关于直线
对称，
.
悟惑.有关对称问题主要指特殊的对称：直线对称：坐标轴、角分线、水平或铅直的线；点对称：原
点、坐标轴上的点、点
关于
对称的点
.
探点2.设
是定义域为
上的以
为周期的偶函数，当
时，
，
若矩形
的顶点
在
轴上，顶点
在函数
的图象图象上，求这个矩形面
积的最大值.
探究:因为
是以
为周期的偶函数，所以
，所以
，
即若点
在
的图象上，则点
也在
的图象上，
所以函数
的图象关于
对称.当
时，
，
因
为
当
时
，
，
所
以
，
设
，
则
，
所
以
矩
形
面
积
时取等号，所以当
，矩形面积的最大值，且最大值
为
.
2.论述两个函数的对称性的方法
①归一法.如：特殊对称关系；特殊对称函数关系；
②待定系数法.
悟惑.判定函数
与函数
图象的对称关系？
探点一（归一法）：
与
关于
轴对称，而
与
分别是由
与
向右平移一个单位所得，所以它们的图象关
于直线
对称.
探点二(待定系数法):假设函数
与函数
图象关于
对称则对称点为
代入
得
即为
，所以
，即
，故函数
与函数
图象关于直线
对称.
3.求对称量就是利用对称性将未知转移到已知或可知.
解锁五：函数图象对称性的判定与证明
1.证明函数图象自身对称，只需证明其图象上任意一点的对称点仍在图象上；
2.证明两条曲线
与
对称，只需证明
上任意一点的对称点在
上，且
上任意一点的对称点
在
上.
O
D
C
B
A
2
1
探点.已知
或
(1)证明函数
的图象关于点
对称；
(2)证明函数
与
关于点
对称.
探究:
(1)设
是
图象上任意一点，则点
关于
点的对称点为
，因为
，所以点
在
图象上，所以函数
的图象关于点
对称；
(2)同(1)正反两方面证明.（略）.
