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第7讲 函数的图象
复习要点 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示
函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题．
一 利用描点法作函数的图象
二 利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)――――――――――→y＝f(x－a)；
y＝f(x)――――――――――→y＝ f ( x ) ＋ b .
2．伸缩变换
y＝f(x)―――――――――――――――――→y＝ f ( ωx ) ；
y＝f(x)――――――――――――――――→y＝Af(x)．
3．对称变换
y＝f(x)――――――――→y＝－f(x)；
y＝f(x)――――――――→y＝f(－x)；
y＝f(x)――――――――→y＝ － f ( － x ) ．
4．翻折变换
y＝f(x)――――――――――――――――――→y＝f(|x|)；
y＝f(x)――――――――――――→y＝|f(x)|.
常/用/结/论
1．f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
2．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝
⇔
f(2a＋x)．
⇔ ⇔
3．若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线
x＝对称．
4．函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称 ( 由 a ＋ x ＝ b － x 得对称轴方程 ) ．此计算方式很有特点．
5．函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
6．函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．
7．函数 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ 2 b － f (2 a － x ) 的图象关于点 ( a ， b ) 对称 ．
可以理解为用“2a－x”和“2b－y”替换y＝f(x)中的x，y，得2b－y＝f(2a－x)，从而得
y＝2b－f(2a－x)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)函数y＝f(1－x)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到．()
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()
(3)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．
()
(4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(－x－1)的图象．()
2．(课本习题改编)函数y＝x|x|的图象大致是( )
答案：D
3．(多选)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项
中正确的有( )
A．a>1 B．00 D．b<0
解析：因为函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致
图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0，故
选AD．
答案：AD
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log(x)的定义域是________．
f解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log(x)有意义，由函数f(x)的图象知，满足f(x)>0时，
f
x∈(2,8]．
答案：(2,8]
题型 利用变换作函数图象
典例1作出下列函数的图象．
(1)y＝2x＋1－1；
(2) y ＝；
型需分离系数后，得知其由反比例函数平移变换而来，也只有经过分离系数，才可判
断其单调性．
(3) y ＝ | x |.
由解析式便知其为偶函数．
解：(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向
下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1.
(2)函数解析式可化为 y ＝ 2 ＋，故函数图象可由函数 y＝的图象
定义域为x≠1，值域为y≠2. 两条渐近线为x＝1和y＝2，点(1,2)为对称中心. 一般地，
y＝型的定义域为，值域为.
向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图2.
(3) 作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，再作y＝x图象中x>0的部分关于
y轴的对称图象，即得y＝|x|的图象，如图3.图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利
用图象变换作出，但要注意变换顺序．
对点练1作出下列函数的图象．
(1)y＝|log (x＋1)|；(2)y＝.
2
解：(1)将函数y＝log x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻
2
折上去，即可得到函数y＝|log (x＋1)|的图象，如图1所示．
2
(2)y＝＝图象如图2所示．
题型 有关函数图象识别的多维研讨
维度1 知式识图问题
典例2(2024·天津模拟)函数 f ( x ) ＝的图象大致 为( )
此类题目，主要通过解析式反映出的特殊信息，去伪存真，而非真的作图象．如：本
例为①偶函数；②特殊信息，f(2)＞0. 仅从此两点即可判断各选项．解析：根据题意，f(x)＝，其定义域为{x|x≠0}， f ( － x ) ＝＝ f ( x ) ， f ( x ) 是偶函数 ，
【关键提醒】观察选项中四个图象之间的区别，AC关于原点对称，BD关于y轴对称，
所以先考虑函数的奇偶性．
排除AC， 在区间 (0,1) 上， ln | x | ＝ ln x <0 ，必有 f ( x )<0 ，排除 D ，故选 B ．
【解题秘籍】选函数的大致图象，往往要借助函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、
图象的对称性或特殊函数值等进行排除．
根据函数解析式辨别图象的基本方法
对点练2(多选)已知a>0，函数f(x)＝xa－ax(x>0)的图象可能是( )解析：当01时，从x→0开始，指数函数先大于幂函数，然后幂函数大于指数函数，最后指
数函数大于幂函数，幂函数再也追不上指数函数，故C选项满足．故选ABC．
答案：ABC
维度2 知图选式问题
典例3函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝→奇函数
B．f(x)＝→奇函数
C．f(x)＝→偶函数，其函数值f(x)＞0，不符合图象．
D．f(x)＝
解析：方法一：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对
于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；对于
B，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除B；对
于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－
x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意．
方法二：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为 y ＝ x 2
＋ 2 是偶函数， y ＝ e x － e － x 是奇函数 ，所以f(x)＝是奇函数，故排除A；
由函数的运算关系判断奇偶性．
因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sin x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除B；因为x2＋
2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝>0恒成立，不符合题意，故排除C．分析知，选项D符合题意，
故选D．
由函数图象确定其解析式的基本方法
(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照．
(2)从图象的增减变化趋势，分析函数的单调性，与函数解析式对照．
(3)从图象的对称性特征，分析函数的奇偶性，与函数解析式对照．
(4)从图象的循环往复特征，分析函数的周期性，与函数解析式对照．
函数的零点、最值等信息也很重要.对点练3(2024·天津静海一中调研)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式
可能为( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：根据题图得函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，图象关于
y轴对称，即f(x)为偶函数．
对于A选项，f(x)＝为偶函数，但f(1)＝>2，不合题意，排除A；对于B选项，函数的
定义域为R，不合题意，排除B；对于C选项，函数的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝，故函
数为非奇非偶函数，不合题意，排除C．故选D．
答案：D
题型 函数图象的综合应用
典例4(1)定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设y＝max{2x,2x－3,6－
x}，则y的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
(2)已知函数 f ( x ) ＝ 若关于 x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取
值范围是( )
准确画出分段函数的图象是关键，关键之处在于其有一条渐近线y＝1.
A．(0,1) B．[0,1)
C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}
解析：(1)画出y＝max{2x,2x－3,6－x}的示意图，如图中实线部分所示．由图可知，y
的最小值为4.故选C.
只能数形结合，在同一坐标系内，观察三个图象的大小关系，取其大者．
(2)因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以 函数 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ m 的
图象有两个不同的交点，作出函数图象，如图所示，
数形结合思想，把方程根的个数转化为两图象交点的个数．依据函数的单调性、端点值准确画图．
所以当x∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值
范围是[1,3)∪{0}．故选D.
函数图象的应用
(1)研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等)．
(2)解不等式．
(3)求参数的取值范围．
对点练4(1)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式
f(x)>f(－x)－2x的解集是_________________．
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有四个不相等的实数根x ，x ，x ，
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x(x－x.在同一
平面直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象(如图)，由图象可知不等式的解集为(－
1,0)∪(1，]．
(2)由f(x)的解析式可得f(x)的图象如图所示，则x ，x ，x ，x 为f(x)与y＝m的四个交
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点，由图象可知－4
