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第07 讲 三角函数的性质
考向一 周期
【例1-1】（2026 云南）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
，可得函数
的最小正周期为
.
故选：D.
【例1-2】（2025 湖北）下列函数，最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的最小正周期为
，故A 不符合；
函数
，其最小正周期为
，故B 不符合；
因为函数
的最小正周期为
，所以函数
的最小正周期为
，故C 符合；
因为函数
的最小正周期为
，所以函数
的最小正周期为
，故D 不符合.
故选：C.
【例1-3】（25-26 四川）若函数
的最小正周期为
，则
等于（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
，得
.故选：B
【一隅三反】
1．（25-26 高三上·广东）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】最小正周期为
.故选：C.
2．（25-26 天津）下列函数中，周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，函数
的最小正周期为
，A 不是；
对于B，函数
的最小正周期为，B 不是；
对于C，函数
的最小正周期为
，C 是；
对于D，函数
的最小正周期为
，D 不是.
故选：C
3．（25-26 河北）在函数①
，②
，③
，④
中，最小正周
期为
的所有函数的序号为（ ）
A．①②④
B．①②③
C．②④
D．③④
【答案】C
【解析】对于①，设
，因
，
，显然
，故不合题意；
对于②，因
的最小正周期为，函数
的图象可由
的图象在轴下方的图象
向上翻折（原先在轴上方的图象不变）得到，故其周期变为原来的一半，即
，故符合题意；
对于③，因为
，故函数
的最小正周期为，故不合题意；
对于④，因函数
的最小正周期为，故函数
的最小正周期为
，符合题意.
故最小正周期为
的所有函数的序号为②④.
故选：C.
考向二 对称性
【例2-1】（25-26 浙江杭州）已知函数
，则（ ）
A．直线
是函数
图象的对称轴
B．直线
是函数
图象的对称轴
C．点
是函数
图象的对称中心
D．点
是函数
图象的对称中心
【答案】A
【解析】对于A：将
代入
，得
，
因此直线
是函数
图象的对称轴，故A 正确；
对于B：将
代入
，得
，
故直线
不是函数
图象的对称轴，故B 错误；
对于C：将
代入
，得
，
故点
不是函数
图象的对称中心，故C 错误；
对于D：将
代入
，得
，故D 错误.
故选：A.
【例2-2】（2026·新疆·模拟预测）若点
是函数
的图象的一个对称中心，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为点
是函数
的图象的一个对称中心，
所以
，
因为
，所以由
，
所以当
时，
有最小值
.
故选：D
【例2-3】（25-26 高三上·湖南·月考）函数
的图象关于直线
对称，
则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】函数
的图象关于直线
对称，
所以
，
，得
，
，
因为
，所以当
时，
取最小值，为
，
故选：A.
【一隅三反】
1．（25-26 海南）函数
的对称轴方程为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】令
，解得
，
，
所以函数
的对称轴方程为
，
.
故选：A.
2．（25-26 高三上·河北邯郸·月考）函数
的图象的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，解得
.
当
时，
，即一条对称轴为
.
故选：B.
3．（2026·辽宁大连·一模）函数
图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知
，余弦函数
的对称中心为
，
令
，解得
，
则函数
的对称中心为
，排除
选项，
时，
，对应选项
，
对于
选项，当
时，
，
故点
不在函数图象上，不是对称中心，
错误
故选：D
4．（25-26 山东）已知点
是函数
的图象的一个对称中心，则a 的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
，令
，解得
，
所以该函数的对称中心为
，
因为点
是函数的对称中心，且
，所以
，
当
时，取得最小值，其最小值为
，
所以实数的最小值为
.故选：A.
考向三 单调性
【例3-1】（25-26 广东茂名）函数
在（ ）
A．
上单调递增
B．
上单调递减
C．
上单调递减
D．
上单调递增
【答案】B
【解析】因为
，所以在区间
上单调递增，在
上单调递减.
故选：B
【例3-2】（25-26 江苏常州）在下列区间中是函数
的一个递增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，函数
；
由
，
，得
，
，
所以函数
的单调递增区间是
；
当
时，
，又
，所以函数
在
单调递增，故B 正确；
函数
在
，
上单调递减，在
上不单调，故ACD 均错误.
故选：B.
【例3-3】（25-26 广州）函数
在下列区间上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
当
时，
，由余弦函数的单调性知，
单调递减，故A 错误；
当
时，
，由余弦函数的单调性知，
不单调，故B 错误;
当
时，
，由余弦函数的单调性知，
单调递增，故C 正
确;
当
时，
，由余弦函数的单调性知，
不单调，故D 错误.
故选：C
【例3-4】（25-26 天津·月考）已知函数
在
上单调递增，则
的取值
范围是 .
【答案】
【解析】正弦函数
的单调递增区间为
，
因为函数
，
，
所以
，
要使函数
在
上单调递增，
所以
，解得
，结合
，故
的取值范围是
故答案为：
.
【一隅三反】
1．（25-26 浙江嘉兴）函数
的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】因为函数
的单调递减区间为
，
，
令
，
，
解得：
，
，
所以函数
的单调递减区间为
，
故答案为：
.
2．（24-25 山东）函数
在
上的单调递减区间是 ．
【答案】
，
【解析】当
时，
.注意到
在
上递减，
又
，
，
则
在
上的单调递减区间是：
，
.
故答案为：
，
3．（2025 江苏·专题练习）已知函数
在区间
上单调递减，则
的取值
范围是 .
【答案】
【解析】因为
，
，
所以
，
因为
，所以
又因为函数
在区间
上单调递减，
所以
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
4．（25-26 吉林）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围为
【答案】
【解析】当
时，因为
，所以
，
由于函数
在
上单调递减，
所以
，解得
，故
的取值范围为
.
5．（25-26 天津·期末）已知函数
(1)求函数
的最小正周期；
(2)求函数
的对称轴方程和对称中心；
(3)求
的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)对称轴方程
，
；对称中心为
(3)
【解析】（1）
的最小正周期为
；
（2）由
可得对称轴方程满足
，
，
解得
，
；
对称中心横坐标满足
，
，
解得
，
，
故函数
的对称中心为
；
（3）令
，
，
解得，
，
，
即函数
的单调递增区间为
.
考向四 奇偶性
【例4-1】（25-26 新疆）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，函数
不是周期函数，且为偶函数，故A 错误；
对于B，函数
的最小正周期
，且为偶函数，故B 错误；
对于C，函数
的最小正周期
，且为奇函数，故C 正确；
对于D，函数
的最小正周期
，且为偶函数，故D 错误.
故选：C
【例4-2】（25-26 高三上·河南·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，则
，
又
，则当
时，
，
故
的最小值为
.
故选：B．
【一隅三反】
1．（25-26 湖南）下列函数中最小正周期为且是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A：因为
，所以函数
是奇函数，不符合题意；
B：
，因为
的最小正周期为
，不符合题意；
C：令
，因为
，
所以该函数不是偶函数，不符合题意；
D：
，显然该函数的最小正周期为
，
令
，因为
，所以该函数是偶函数，符合题意.
故选：D
2．（2025·上海嘉定·一模）函数
是（ ）
A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】C
【解析】
，
所以函数
为奇函数，最小正周期
.
故选：C
3．（25-26 广西）若函数
为偶函数，则的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
因为
为偶函数，所以
，即
，
当
时
，A 正确，经检验BCD 都不满足.
故选：A
4．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，根据
图象可知
，函数的定义域为R，
，
所以
以为周期的偶函数，故A 错误；
对于B，
，
，函数的定义域为R，
，所以
以为周期的偶函数，故B 错误；
对于C，
，
，函数的定义域为R，
，
所以
以
为周期的奇函数，故C 错误；
对于D，
，函数的定义域为
关于原
点对称，且
，所以
以为周期的奇函数，故D 正确.
故选：D
考向五 值域
【例5-1】（25-26 福建）已知函数
的最小正周期为
，则
在
的最
小值为 （ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】由函数
的最小正周期为
，可得
，
解得
，所以
，
因为
，可得
，
当
时，即
时，函数
取得最小值，最小值为
.
故选：B
【例5-2】（25-26 广东梅州）已知函数
，
，则函数
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】由
，
令
，
，则
，
则
，
当
，即
或时，
取得最大值
.
故选：C.
【例5-3】（25-26 江苏）已知函数
.
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)记函数
，当
时，求函数
的最大值和最小值，并求出取最值时的值.
【答案】(1)
，
；
(2)
时，最大值2，
时，最小值
.
【解析】（1）因为
，
由正弦函数的单调性得
，
，解得
，
，
因此，函数
的单调递减区间为
，
；
（2）由（1）知，
，
所以
，
当
时，
，
当
时，即
时，函数
取最大值
，
当
时，即
时，函数
取最小值
.
【一隅三反】
1．（25-26 上海）函数
，
的值域是 .
【答案】
【解析】
，且
，
，
，
，
因此函数
，
的值域是
.
故答案为：
.
2．（25-26 河北）函数
的值域是 .
【答案】
【解析】由
，
令
，则
，所以
，
当
时，
有最大值
，当
时，
有最小值
，
故
的值域为
.
故答案为：
3．（25-26 黑龙江牡丹江）已知函数
.
(1)求出函数
图象的对称中心和对称轴;
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)对称中心为
，
；对称轴为
，
(2)
【解析】（1）由
，得
，
所以
图象的对称中心为
，
；
由
，得
，
所以
图象的对称轴为
，
.
（2）由
，得
，故
，
所以
在
的取值范围是
.
4．（25-26 陕西西安·期末）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数
在区间
的值域．
【答案】(1)最小正周期为；单调递减区间为
(2)
【解析】（1）因为函数
所以函数
的最小正周期为
，
令
，
解得：
，
所以函数
的单调递减区间为
（2）令
，
解得：
，
函数
的单调递增区间为
所以当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
由于
，
，
，
所以函数
在区间
的值域为
考向六 伸缩平移
【例6-1】（25-26 江苏）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【解析】由
，故其函数图象向右平移
个单位得到
的图象.
故选：D
【例6-2】（25-26 湖南长沙）（多选）已知曲线
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．把曲线
向左平移
个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到曲线
B．把曲线
向左平移
个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）得到曲线
C．把曲线
上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位长度得到曲
线
D．把曲线
上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度得到曲线
【答案】BCD
【解析】A.由函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到
的图象，不符合题意；
B.由函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到
的图象，符合题意；
C.将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到
的图象，
再向右平移
个单位长度，得到
的图象，符合题意；
D.将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到
的图象，
再向左平移
个单位长度，得到
的图象，符合题意.
故选：BCD.
【一隅三反】
1．（25-26 高三上·河北邢台·月考）为了得到函数
的图象，只需要将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】D
【解析】
，只需要将函数
的图象向左平移
个单位长
度，可以得到
的图象，故选：D
2．（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】A
【解析】因为
，所以将
的图象向左平移
个单位，可得函
数
的图象.
故选：A
3．（2026·陕西宝鸡·一模）将函数
的图象向左平移
后得到
的图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，函数
的图象向左平移
后得到
的图象，即
，即
的解析式为
.
故选：C.
4．（2025·安徽·二模）已知函数
的一个零点是
，为了得到
的图象，
需要将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】A
【解析】依题意，得
，得
，
所以
，
，
了得到
的图象，需要将函数
的图象,
需要将函数
的图象向左平移
个单位长度．
故选：A．
5．（25-26 青海西宁·期末）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的
图象，则
图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意
，
对于A，
，所以
是
图象的一条对称轴；
对于B，
，所以
不是
图象的一条对称轴；
对于C，
，所以
不是
图象的一条对称轴；
对于D，
，所以
不是
图象的一条对称轴.
故选：A.
考向七 解析式
【例7-1】（23-24 山东淄博）（多选）函数
的部分图象如图，
则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的表达式
C．
D．函数图象是由
图象向左平移
个单位而得到
【答案】BCD
【解析】对于A，由图可知函数的最小正周期满足
，解得
，
即函数的最小正周期为，故A 错误；
对于B，由
得
，由图可知
，且
，
解得
，又因为
，所以只能
，
所以函数的表达式
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，由
图象向左平移
个单位得到图象所对应的函数解析式为
，故D 正确.
故选：BD.
【一隅三反】
1．（23-24 云南昆明）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
D．
的单调递增区间为
【答案】BD
【解析】由图象知，最小正周期
，则
，B 正确，A 错误；
由上
，函数的图象过点
，
则
，C 错误；
对于函数
，
令
，解得
，
所以单调递增区间为
，D 正确．
故选：BD.
2．（24-25 河南信阳）（多选）函数
（
，
，
是常数，且
，
）的部
分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间
上单调递增
C．将
的图象向左平移
个单位，所得到的函数是偶函数
D．
【答案】BD
【解析】根据函数图象，易知：
，
.
由
，
.
所以
，
.
因为
，故A 错误；
由
.
因为
，所以函数
在
上单调递增，故B 正确；
将
的图象向左平移
个单位得：
，不是偶函数，故C 错误；
因为
，故D 正确.
故学：BD
3．（25-26 贵州遵义）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则下
列结论中正确的有（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度可得到
的图象
C．
在
上单调递增
D．
的一个零点为
【答案】AB
【解析】由图可知
的最小正周期为
，所以
,
所以
.又
，即
.
令
，解得
，
又
，所以
，所以
.，
对于A，可得
，所以A 正确；
对于B，因为
，所以B 正确；
对于C，令
，
解得
，
当
时，得到
的一个单调递增区间为
，
下一个单调递增区间为
，
所以
在
上不是单调递增的，所以C 错误；
对于D，令
，
则
，所以D 错误.
故选：AB.
考向八 综合运用
【例8】（2026·辽宁沈阳·一模）
且
(1)求函数
的最小正周期；
(2)将函数
图象上所有的点向左平移
个单位后得到函数
的图象，当
时，求
函数
的值域；
(3)说明函数
的图象经过怎样的变换能得到函数
的图象，写出一个变换过程.
【答案】(1)
(2)
(3)详细见解析
【解析】（1）根据题意知
，
根据正弦函数的周期公式
，所以
最小正周期为.
（2）根据“左加右减”的原则，可得
，
已知
，则
，
当
时，
取最大值，最大值为，
当
时，
取最小值，最小值为
，
所以当
时，函数
的值域为
（3）把
的图象上所有点向右平移
个单位得到
的图象；
再把
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变得到的图象
，
再把
的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到
.
【一隅三反】
1．（2026·江苏镇江）（多选）已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象向左平移
个单位长度后关于
轴对称
D．若
在区间
上恰有一个零点，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
，
对于A，
的最小正周期
，故A 正确；
对于B，令
，
，解得
，
所以区间
包含
单调递增区间和
单调递减区间，故B 错误；
对于C，
的图象向左平移
个单位长度后得到：
，
为偶函数，图象关于
轴对称，故C 正确；
对于D，令
，即
，得
，
，即
，
，
当
时，
，当
时，
，
若
在区间
上恰有一个零点，则
，
则实数
的取值范围为
，故D 正确.
故选：ACD.
2．（2026·河北沧州·一模）（多选）已知函数
，满足
，且对任意
，都有
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
在
上的值域为
C．
的单调递增区间为
D．若方程
在区间
上恰有五个不等的实根，则
的取值范围为
【答案】AC
【解析】对于A，因为函数
满足
，
所以
的图象关于点
对称，则有
，
即
．
对任意
，都有
，则
为最大值，
所以
，
则有
，因为
，所以
，
所以函数
的解析式为
．
对于A，当
时，
，此时
取得最小值，
故
的图象关于直线
对称，A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，所以函数
的值域为
，B 错误；
对于C，令
，
解得
，
所以
的单调递增区间为
，C 正确；
对于D，
，则
，
令
则
在
上的图象如下，
当
时，
，
由图可知，要使得函数图象在
上与直线的交点只有5 个，
那么应在点
（包括
）的横坐标之间时符合题意．
所以令
，则
或
，
同理令
，解得
或
，
所以点
的横坐标依次为
，
所以
，解得
，D 错误．
故选：AC．
3．（2025·北京）设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第
一个解答计分．
【答案】(1)
.
(2)条件①不能使函数
存在；条件②或条件③可解得
，
.
【解析】（1）因为
所以
，
因为
，所以
.
（2）因为
，
所以
，所以
的最大值为，最小值为
.
若选条件①：因为
的最大值为，最小值为
，所以
无解，故条件①不能
使函数
存在；
若选条件②：因为
在
上单调递增，且
，
所以
,所以
,
,
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
，因为
，所以
.
所以
，
；
若选条件③：因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值
，即
.
以下与条件②相同．
【题组一 周期】
1．（25-26 湖北）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
是将
位于轴下方的图像关于轴翻上去，
函数图象如图所示，
函数
的最小正周期为.
故选：C.
2．（2025·河南·一模）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的最小正周期为
.故选：A
3．（2025·河南·模拟预测）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
的图象是由
的图象将轴下方的图象翻折到轴上方和轴上方的
图象组成的，
所以
的最小正周期是
的最小正周期的一半，
因为
的最小正周期为
，
所以
的最小正周期为
．
故选：C
4．（25-26 甘肃）在函数①
，②
，③
，④
中，最小正周期为
的所有函数的序号为（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④
【答案】A
【解析】①
，正弦函数
的最小正周期为
，但取绝对值后，负半轴图像沿轴翻折
到正半轴，
由于
，因此
的最小正周期为；
②
，
，因此
的最小正周期为；
③
，当
时，
；当
时，
，其图像关于
轴对称，不是周期函
数，故最小正周期不存在；
④
，最小正周期
，所以最小正周期为
；
综上，最小正周期为的函数是①②.
故选：A.
5．（25-26 高三上·河南商丘·月考）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法1：周期性的定义
故周期为
，故不为周期，
又
，
，
，
故
，
，故
不为周期，
排除A、C、D.
法2：因为
的最小正周期为
，
的最小正周期为，
所以函数
的最小正周期是
与的最小公倍数
.
故选：B
6．（25-26 湖北）（多选）已知下列函数中，最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】画
的图象，如图，
由图可知函数的最小正周期为
，故A 正确；
对于B，由于
，
所以函数
的图象可由函数
的图象向右平移
个单位得到，
结合选项A 可得函数
周期为
，故B 正确；
对于C，设
，则
，
，
所以
，故C 错误；
对于D，对于函数
，当
时，
，
当
时，
，
所以
，其最小正周期为
，故D 错误.
故选：AB
7．（24-25 贵州）（多选）下列函数中，以为最小正周期的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于A 选项，
，所以A 正确；
对于B 选项，
，所以B 正确；
对于C 选项，
，所以C 正确；
对于D 选项，
，所以D 错误.
故选：ABC.
8．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对A，
，周期
，故A 正确；
对B，
，周期
，故B 错误；
对于选项C，
，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；
对于选项D，
，周期
，故D 错误，
故选：A．
【题组二 对称性】
9．（2026·湖北孝感·一模）若点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为点
是函数
的图象的一个对称中心，
所以
，
，即
，
，
所以
，所以
.
故选：D
10．（25-26 高三上·四川南充·月考）函数
图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
图象的对称轴为直线
，
令
，得
，
令
，得
，令
，得
，令
，得
，
结合选项可知函数
图象的一条对称轴是
.
故选：B.
11．（25-26 高三上·河南南阳·期末）若点
为函数
的图象的一个对称
中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，得
，
，
因此函数
图象的对称中心为
，
而
，则
，
，
，
，
所以
，
，
，所以
的最小值为
.
故选：D
12．（25-26 黑龙江）“
”是“函数
的图象关于点
对称”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】正切函数
的对称中心为
，
，
令
，解得
，
所以函数
的对称中心为
.
所以“
”是“函数
的图象关于点
对称”的充要条件.
故选：C．
13．（25-26 高三上·辽宁鞍山）（多选）下列函数
关于
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于
：
，
，
所以
不是
的对称轴，故
错误；
对于
：
，
所以
是
的对称轴，故
正确；
对于
：
，
，
所以
是
的对称轴，故
正确；
对于
：
，
，
所以
是
的对称轴，故
正确.
故选：BCD.
14．（2025·云南）（多选）已知函数
的图象关于点
对称，则
的值可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为函数
的图象关于点
对称，
所以
，则
.
A：令
，符合题意；
B：令
，不符合题意；
C：令
，符合题意；
D：令
，不符合题意，
故选：AC
15．（2026·辽宁大连·一模）函数
图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知
，余弦函数
的对称中心为
，
令
，解得
，
则函数
的对称中心为
，排除
选项，
时，
，对应选项
，
对于
选项，当
时，
，
故点
不在函数图象上，不是对称中心，
错误
故选：D
16．（2026·湖北孝感·一模）若点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为点
是函数
的图象的一个对称中心，
所以
，
，即
，
，
所以
，所以
.
故选：D
17．（25-26 高三上·广西崇左·期末）若函数
的图象关于点
（
）对
称，则
.
【答案】
【解析】令
，则
，故
的对称中心为
，
所以
，可得
时有
.
故答案为：
【题组三 单调性】
18．（25-26 宁夏银川）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．最小正周期
B．函数
在
上单调递增
C．函数
的图象关于
对称
D．函数
的图象关于点
对称
【答案】BC
【解析】对于选项A:最小正周期
,A 错误；
对于选项B:令
.
解得
.
当
时，递增区间为
，所以
在
上单调递增，故选项B 正确；
对于选项C:正弦函数对称轴满足
,
代入
可得
，当
时，满足正弦函数对称轴条件，即选项C 正确；
对于选项D:正弦函数对称中心满足
,
代入
可得
,
所以函数
的图象关于点
不对称，即选项D 错误.
故选：BC
19．（25-26 四川成都·期末）（多选）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间
上
单调递增的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由
的最小正周期为
，A 不符，
由
的最小正周期为，而
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，则
在
上单调递增，B 符合，
由
的最小正周期为，在
上单调递增，C 符合，
由
的最小正周期为
，D 不符.
故选：BC
20．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，且其图
象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
的图象关于直线
对称，所以
，即
，
因为
在
上，即
上单调递增，
显然
，则
，可得
，故
综上，
，则
，故
.
故选：D
21．（25-26 高三上·山东青岛·期末）已知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，
解得
，所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
22．（25-26 重庆·月考）函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
和
【解析】
.
求
的单调递增区间等价于求
的单调递减区间.
令
，
，解得
，
.
当
时，
，与
交集为
；
当
时，
，与
交集为
；
综上，函数
的单调递增区间为
和
.
故答案为：
和
.
【题组四 奇偶性】
23．（25-26 黑龙江牡丹江·月考）（多选）下列函数中，最小正周期为，且在
上为奇函
数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】对于选项A，易知
的最小正周期为
，
因为
，又
，关于原点对称，
令
，又
，
所以
在
上为奇函数，故A 正确，
对于选项B，易知
的最小正周期为
，
因为
，又
，关于原点对称，
令
，又
，
所以
在
上为奇函数，故B 正确，
对于C，易知
的最小正周期为
，所以C 错误，
对于D，易知
的最小正周期为
，所以D 错误，
故选：AB.
24．（25-26 广东惠州·月考）已知函数
，则
是
为偶函数的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先判断充分性：
当
时，
，函数为偶函数，满足充分性；
再判断必要性：
当
为偶函数时，
，即
，
展开得
，
即
，
∴
，∴
，即
，不满足必要性，
∴
是
为偶函数的充分不必要条件，
故选：B.
25．（2025·湖南永州·模拟预测）若
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．0 或
D．
【答案】A
【解析】若
为偶函数，又
，则
或
，解得
或
，
若
，则
，
若
，则
，所以
.
故选：A
26．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数
，若
为偶函数，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
，
为偶函数，故
，即
，
又
，故当
时，
满足要求，C 正确；其他选项均不正确.
故选：C
27．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）若函数
为奇函数，则下列能
满足条件的
取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设
，则
，
显然
时
，而
、
、
均不可能.
故选：C
28．（25-26 天津北辰·月考）关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数，且周期为
B．是奇函数，且周期为
C．是偶函数，且周期为
D．是奇函数，且周期为
【答案】A
【解析】函数
，定义域为
，
因为
，所以
为偶函数，
又因为
，所以
的最小正周期为，
故选：A.
29．（2026·安徽黄山·一模）函数
的图象向左平移
后关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
向左平移
后解析式为
，
若其图象关于
轴对称，则
，
则
，又因为
，则当
时，
取得最小值，为
.
故选：C.
30．（25-26 广东广州·期中）已知
为奇函数，其中
，则
.
【答案】
【解析】易知函数
为奇函数，所以
，
，
当
时，
，
故答案为：
.
【题组五 值域】
31．（25-26 黑龙江）已知函数
，则
的值域为 ．
【答案】
【解析】因为
，
令
，所以函数变为
，
当
时，函数
的最小值为
，
又函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
且
，
所以函数
的值域为
，即
的值域为
.
故答案为：
.
32．（25-26 天津津南·月考）已知
.
(1)求
的单调递减区间；
(2)求
在
上的值域．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
令
，解得
，
所以函数
单调递减区间为
.
（2）设
，因为
，所以
，
所以
，所以
的值域为
·
33．（25-26 贵州）已知函数
(1)求函数
的最小正周期及单调递增区间.
(2)若
，求函数
的值域.
【答案】(1) ；单调递增区间为
(2)值域为
【解析】（1）函数
的最小正周期为：
由
，
得
，
，
∴函数的单调递增区间为
，
（2）
，
，
其中当
，即
时，函数
有最大值1，
当
，即
时，函数
有最小值
.
∴值域为
.
34．（25-26 江苏无锡·月考）已知函数
.
(1)求
的最小正周期；
(2)求
的单调区间；
(3)当
时，求
的最小值以及取得最小值时的集合；
(4)解不等式
.
【答案】(1) ；
(2)
的单调递增区间是
，
的单调递减区间是
；
(3)
，
取最小值时的集合为
；
(4)
.
【解析】（1）
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
，
当
，即
，
的单调递增区间是
；
当
，即
，
的单调递减区间是
；
（3）
，
，
，
当
时，即
时，
取最小值为
，
取最小值时的集合为
；
（4）
，
，
，
，
，
，
的解集为
.
【题组六 伸缩平移】
35．（25-26 广东深圳）将函数
的图象向右平移
个单位后，得到函数
的图象，
则函数
的图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知，
，
令
，得
，
取
，得
，故A 正确；
不存在
使得
等于
，故B、C、D 错误.
故选：A.
36．（2026·湖北·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得
的图象关于原点对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的图象向左平移
个单位长度，
可得
，若图象关于原点对称，
则满足
，得
，
因为
，故当
时，
取得最小值
，
故选：C.
37．（2026·湖北荆州·一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则函数
的一个单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，
故
，
令
，即
，
即函数
的单调递增区间为
，
当
时，
的单调递增区间为
，A 正确；
对于B，当
时，
，
由于
在
上不单调，故
不是
的单调增区间，B 错误；
对于C，
时，
，
由于
在
上不单调，故
不是
的单调增区间，C 错误；
对于D，
时，
，
由于
在
上单调递减，故
是
的一个单调减区间，D 错误；
故选：A
38．（25-26 高三上·辽宁·期末）将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将函数
的图象向右平移
个单位长度，
得到函数
的图象.
结合选项可知A 正确.
故选：A.
39．（2025·上海·高考真题）函数
在
上的值域为 ．
【答案】
【解析】由函数
在
上单调递增，在
单调递减，
且
，
故函数
在
上的值域为
.
故答案为：
.
40．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在
上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】
，当
时，
，
当
时，即
时，
.
故答案为：2
【题组七 解析式】
41．（2026·湖南湘潭·二模）（多选）已知函数
的部分图象
如图所示，将
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
后，再将所得图象向右平移
个单位长度
得到函数
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
图象的对称轴方程为
D．
的单调递增区间为
【答案】ABD
【解析】由图可得
，由
，得
．
由
，得
，
因为
，所以
，A 正确．
由A 的分析可得
，
令
，得
，
所以
图象的对称轴方程为
，C 错误．
，B 正确．
令
，得
，
所以
的单调递增区间为
，D 正确．
故选：ABD
42．（24-25 高三下·广东肇庆·月考）（多选）函数
（
，
，
）的
部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递增
D．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
【答案】ABC
【解析】对于选项A：由题意可得
，故
，则
，故A 正确；
根据图像，可得
，
即
，解得
，又
，即
，
所以
，
对于选项B：当
时，有
，
故
的图象关于点
对称，故B 正确；
对于选项C：令
，则
，
当
时，
，
而
在
单调递增，故C 正确；
对于选项D：将函数
的图象向由右平移
个单位得到
，故D 错误.
故选：ABC.
43．（25-26 浙江杭州·期末）（多选）函数
（
，
）的部分图象如图所
示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度而得
【答案】ABD
【解析】由题可知，
，得
，则
.
由图象可知，
，
得
，又因为
，故取
，得
，
则
，
又由图象可知，
，得
，
则
.
对于A：由以上分析可知，
，故A 正确；
对于B：由以上分析可知，
，故B 正确；
对于C：若
，则
，
因此
在
上先递减再递增，故C 错误；
对于D：
的图象向左平移
个单位长度，得到
，故D 正
确.
故选：ABD.
44．（25-26 贵州）（多选）已知函数
部分图象如图所示，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
D．若方程
在
上有且只有一个实数根，则
的取值范围是
【答案】AB
【解析】对于A，由函数图象可得
，由
，解得
，故A 正确；
所以
，又函数过点
，即
，
所以
，即
，又
，所以
，
，
对于B，当
时，
，
所以
的图象关于点
对称，故B 正确；
对于C，将函数
的图象向右平移
个单位得到：
，故C 错误；
对于D，当
时，
，
令
，解得
，所以
在
上单调递增，
令
，解得
，所以
在
上单调递减，
又
，
故方程
在
上有且只有一个实数根时，则
的取值范围是
，故D 错误.
故选：AB.
45．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知函数
的部
分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
在区间
上有且仅有两个零点和两个最值点，则
【答案】AD
【解析】由函数图象可知，
，
所以
，又
，
，所以
，故A 正确；
所以
，
由
，
得
，解得
，
由于
，所以
，所以
，
得
，所以函数
的图象不关于点
对称，故B 错误；
当
时，
，
而
，且
在
为减函数，
在
上为增函数，故
在
上不单调，故C 错误；
因为
，
由
，得
，
若函数
在
上有且仅有两个零点和两个最值点，
则
，解得
，故D 正确.
故选：AD.
46．（2026·四川雅安·一模）（多选）如图，函数
的图象
过
，
两点，则（ ）
A．
B．
C．
在区间
上的值域为
D．将
的图象向右平移
个单位后得到的函数的图象关于直线
对称
【答案】BD
【解析】由图可知，在
处函数取得最小值
，因此可得：
.
根据图象可得：
，又因为：
，
故函数表达式为：
，将点
代入函数，
即
，因为
，所以得：
，
函数表达式为：
.
故选项A 错误，选项B 正确.
由
，得
，所以
，
所以函数
在
上的值域为
，故选项C 错误.
平移后的函数
，
对称轴满足：
，
令
，解得
，故D 正确.
故选：BD
47．（2026 福建）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称
D．
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于原点中心对称
【答案】D
【解析】观察图象，得
，则
，而
，解得
，
，
由
，得
，解得
，
令函数
的最小正周期为
，由
，得
，
因此
，
，
对于A，当
时，
，而当
，
即
时，函数
取到最小值
，A 错误；
对于B，
，而当
时，函数
取到最小值
，B 错误；
对于C，
是奇函数，图象关于原点对称，C 错误；
对于D，
是奇函数，图象关于原点对称，D 正确.
故选：D
48．（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数
来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
成中心对称
B．函数
的解析式可以为
C．函数
在
上的值域为
D．若把
图象上所有点向右平移
个单位，则所得函数是
【答案】B
【解析】由图可知
，所以
，
且
，所以
，
又因为
，所以只能
，所以
，
对于A，
，故A 错误；
对于B．
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，若把
图象上所有点右平移
个单位，则所得函数是
，
故D 错误．
故选：B.
【题组八 综合运用】
49．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
50．（2026·湖北孝感·一模）已知函数
（
），且
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，求函数
在
上的值
域．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
且
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以切线方程为
，即为
；
（2）由条件可知，
，
因为
，令
，
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，所以
，
所以函数
在
上的值域为
.
51．（2026·江苏南通·一模）已知函数
，且
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得
存在，并求
的取值范围．
①函数
在区间
上只有最大值，没有最小值；
②函数
在区间
上恰有4 个零点：
③函数
在区间
上单调递增．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
．
当
时，
，
因为
，所以
．
令
，则
，
所以
，
所以
．
（2）对于①：因为
，所以
，则
，解得
；
对于②：因为
，所以
，则
，解得
；
对于③：因为
，所以
，则
，解得
；
因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③．
由
，得
，
即
的取值范围是
．
