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三角恒等变换与三角函数
一、弧长、扇形面积计算
1.
如图，一个扇形纸片的圆心角为
，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点
与点
恰好
重合，折痕为
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用半圆的面积公式，扇形的面积公式与三角形的面积公式求解即可.
【详解】由题意可知
，所以
是等边三角形，
所以
，
,
所以扇形
的面积为
，
的面积为
，
又半圆的面积为
，
所以图中阴影部分的面积为
.
故选：B.
2.
中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折
扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一
个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角
为
时，扇面看上去形状较为美观．已知
，弧AB 的长为
，则此扇面的
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先通过弧长公式求出大扇形半径
，再结合
的长度得到小扇形半径
，最
后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积.
【详解】设
，因为圆心角
，弧AB 的长为
，
代入弧长公式
可得
，解得
.
所以
.
由扇形面积公式
可得，
，
，
所以此扇面的面积
．
故选：B
3.
已知半径为5，圆心角为
的扇形铁片
如图1，将其裁剪成如图2 的形状并制成一
个倒立的圆锥筒（如图3，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注
满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出圆锥的母线、底面半径和高，再由轴截面内切圆求出内切球半径，分别求
出体积，根据体积比与高之比的关系即可得解.
【详解】由题意，
，则
，
则圆锥母线
，底面半径
，高
，
圆锥内能放入的最大球即为圆锥的内切球，设其半径为
，轴截面如图所示，
，得
，
则
，而
，
设水面高度为
，则
，得
.
故选：D.
4.
折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如
图
的扇形
，已知该扇形面积
，其圆心角为
，在直角坐标系中，
以
为
的顶点，
轴正半轴为
的始边，此时
终边与单位圆交点
，则该扇
形的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据正切函数定义可得
，然后利用扇形面积公式求得
，进而
代入弧长公式求解即可.
【详解】因为
终边与单位圆交于点
，所以
，
因为
，所以
，
设扇形的半径为
，则
，解得
，
所以该扇形的弧长为
．
故选：C．
5.
已知弧长为
的弧所对的圆心角为
，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解.
【详解】弧所对的圆心角为
，设扇形所在圆的半径为，则弧长为
，所以
该弧所在的扇形面积为
.
故选：A.
二、诱导公式运用
6.
已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】先将所求的式子利用诱导公式化简，再分子分母都除以
就转化为求
的
式子的值，代入
的值即可得解.
【详解】
.
故选：C.
7.
已知
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式求得tanα
，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．
【详解】∵已知
tanα，∴tanα
，
则
，
故选B．
【点睛】本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
8.
已知
1，则
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【答案】A
【分析】利用诱导公式对
化简整理求得
的值，再利用
同角三角函数的基本关系，对所求式子的分子乘以
，然后分子分母同时除以
，把
的值代入即可求得答案．
【详解】
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和同角三角函数的基本关系的应用，考查基础知识
的综合应用和基本的运算能力．
9.
已知角
的顶点在原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
点坐标求得
的值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所
求表达式为为只含
的形式，由此求得所求表达式的值.
【详解】由于
的终边经过点
，所以
.
，上式分子分母同时除以
得
，故选A.
【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，
考查齐次式的计算，属于中档题.
10. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系求得
，再根据二倍角
公式以及“1”的代换求得
.
【详解】由诱导公式化简原式，得
，故
，
所以
.
故选:B．
三、两角和差公式运用
11. 已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知及平方关系、和角正弦公式得
，且
，利用正
弦函数的单调性有
，进而得到
的正余弦值，即可得.
【详解】因为
①，
②，
由①+②得，
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
又函数
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
，所以
.
故选：B
12. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由条件
利用同角关系化简可得
，由条
件
，结合两角和正弦公式可得
，再根据两角差的
正弦公式求出结果即可.
【详解】由题意得
，即
，即
，
得
，又因为
，
所以
，
因此
.
故选：B.
13. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用正弦的和角公式得
，再利用诱导公式，即可求解.
【详解】因为
，
即
，得到
，
又
，所以
.
故选：C
14. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先应用两角和差余弦公式计算化简得出
，最后应用二倍角正切公式计算求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
，
则
.
故选：D.
15. 已知
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由
得到
，再利用正弦两角和公式展
开得到
，联立方程得到
.
【详解】因为
，所以
，即
设
，则
；
由
得到
，即
，
即
，解得
，所以
；
故选：D
四、二倍角公式
16. 已知
，
为第二象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】利用
，解出
的值，再利用倍角公式可得答案.
【详解】已知
，且
为第二象限角，
设
，
，则有方程组
，
消元得
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
，
由于
为第二象限角，需满足
，
，故舍去
的解，
因此
，
，
利用倍角公式计算
.
故选：D
17. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二倍角的余弦公式和同角三角函数商的关系即可求解.
【详解】由
，
故选：D.
18. 已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数关系得出
，再利用倍角公式计算
，最
后利用诱导公式计算.
【详解】因为
，所以
，
又
，
则
，
，
则
，
所以
.
故选：B
19. 已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先逆用两角和的正弦公式可得
的值，再根据同角三角函数的基本关系可得
的值，最后利用倍角公式即可得解.
【详解】因为
，
又
，
所以
，
所以
．
故选：B.
20. 角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用任意角三角函数的定义得到
，
，再结合二倍角公式
对目标式合理变形，进而求值即可.
【详解】由题意得角
的终边经过点
，
由任意角三角函数的定义得
，
，
，则
，
由二倍角公式得
，故C 正确.
故选：C
五、辅助角公式
21. 已知
是函数
的最小值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用辅助角化简函数
的解析式，利用正弦型函数的最值、诱导公式化简可得
的值.
【详解】因为
，
其中
为锐角，且
，
，
因为
为函数
的最小值，所以
，
所以
，
故
，
，
故
.
故选：D.
22. 已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由两角和的余弦公式和辅助角公式得到
，由倍角公式和诱导公式
得到
.
【详解】
，
所以
，
，
，
故选：D.
23. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用两角差的正弦结合辅助角公式得出
，再应用诱导公式求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
；
故选：B．
24. 若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由辅助角公式得到
，再结合余弦二倍角公式即可求解.
【详解】
，
，
故选：C．
25. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式、辅助角公式和余弦二倍角公式化简求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：D
六、和差化积与积化和差
26. 已知锐角
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用和差化积公式得到
，再结合余弦函数性质求解不
等式即可.
【详解】由和差化积公式得
，
欲求
，则求
即可，
因为
是锐角，所以
，且
，
故求
即可，解得
，
则
，当
时，
，
而
，得到
，故B 正确.
故选：B
27. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得.
【详解】依题意，
，则
，
又
，则
所以
.
故选：B
28.
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可.
【详解】首先，我们先对
合理变形，
得到
，
，
由积化和差公式得
，
同理可得
，
，
则
，
得到
，故A 正确.
故选：A
29. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解.
【详解】由
，
可得：
，
即
，又
，
结合平方差公式可得：
.
故选：C
30. 已知α、β终边不重合，sinα −3cos β =sin β −3cosα，则tan(α + β)=（ ）
A．3
2
B．2
3
C．4
3
D．3
4
【答案】D
【分析】由α = α + β
2
+ α −β
2
，β = α + β
2
−α −β
2
代入已知等式，利用两角和、差的正弦、
余弦公式化简得出tan α + β
2
的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan (α + β)的值.
【详解】因为sinα −3cos β =sin β −3cosα，所以sin α −sin β =3(cos β −cosα )，
即sin α −sin β =sin(
α + β
2
+ α −β
2 )−sin(
α + β
2
−α −β
2 )
=(sin α + β
2
cos α −β
2
+cos α + β
2
sin α −β
2 )−(sin α + β
2
cos α −β
2
−cos α + β
2
sin α −β
2 )
=2cos α + β
2
sin α −β
2
，
cos β −cosα =cos(
α + β
2
−α −β
2 )−cos(
α + β
2
+ α −β
2 )
=(cos α + β
2
cos α −β
2
+sin α + β
2
sin α −β
2 )−(cos α + β
2
cos α −β
2
−sin α + β
2
sin α −β
2 )
=2sin α + β
2
sin α −β
2
，
所以，2cos α + β
2
sin α −β
2
=6sin α + β
2
sin α −β
2
，
因为α、β的终边不重合，则α −β ≠2k π(k ∈Z)，则α −β
2
≠k π(k ∈Z)，
所以sin α −β
2
≠0，则3sin α + β
2
=cos α + β
2
，所以tan α + β
2
= 1
3，
因此，tan(α + β)=
2tan α + β
2
1−tan
2 α + β
2
=
2× 1
3
1−1
9
= 3
4 .
故选：D.
七、给值求值
31. 已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解.
【详解】因为
，
所以
，
又
，所以
，所以
，
由同角三角函数的基本关系知
，
则
.
故选：D.
32. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合已知条件，利用二倍角公式可求得
，再根据诱导公式计算即
可.
【详解】由题意，因为
，所以
，
所以
.
故选：A.
33. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可知
，进而根据
计算即可.
【详解】由
，得
，
因为
，
所以
，
所以
.
故选：D
34. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件确定
的范围，求出
，再用两角差的余弦公式求出
，最后借助商数关系和两角差的正弦公式对所求式子化简即得所求.
【详解】因为
，所以
，所以
，
又
，故
．
因为
，
，
所以
．
故
．
故选：D．
35. 已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】根据已知求得
、
，结合差角正弦公式求
，注意
的范围，即可得.
【详解】因为
且
，则
，所以
，
又
，所以
，又
，
所以
，而
当
时，
，
因为
，则
，所以
不符合，舍去；
当
时，
符合，
综上所述，
.
故选：B
【点睛】方法点睛：（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，
或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
（3）常见的角的变换：
，
，
等.
八、给值求角
36. 若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系得
、
，且
，再应
用差角余弦公式求
，即可得.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，则
，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
37. 已知
，且
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】结合已知中角的特点，可得
，
，
再根据正切值及已知中角的范围判断
，
的范围，得到
的范围，从而求得角的大
小.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故选：A.
38. 已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】C
【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出
，进而求出
，
确定
的范围即可得解.
【详解】由
，得
，
则
，而
，解得
，
因此
，由
，
，
得
或
，则
，
所以
.
故选：C
39. 当
，
时，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】D
【分析】先根据降幂扩角公式化简，再进行拆角，结合两角和差的正弦公式化简即可求出
，最后根据角的范围求出
即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，因
所以
，
所以
，即
因为
，
时，
，
所以
，则
.
故选：D.
40. 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据已知求出
，再根据两角和的余弦公式求出
即可得解.
【详解】由
，得
，所以
，
又
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
.
故选：D.
九、三角函数奇偶性求参
41. 已知函数
为奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先确定定义域，分析对数部分的奇偶性，结合
的奇偶性推出正弦部分需为偶
函数，利用偶函数性质列方程求解
，进而得到其最小值.
【详解】先确定函数定义域：由
得
，定义域
关于原点对称.
令
，则
，故
是奇函数.
因
为奇函数，故
需为偶函数.
偶函数满足
，即
， 利用正弦函数性质，
得
， 解得
.
由
，当
时，
取最小值
.
故选：D
42. 已知函数
的最小正周期为T，且
，函数
为奇
函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可.
【详解】由
，
因为函数
为奇函数，
所以有
，则
，
所以
，
故选：B
43. 已知函数
是奇函数，
是
图象的一条对称
轴，且
在区间
上单调，则
的可能取值有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．6 个
D．无数个
【答案】B
【分析】结合题意，根据余弦函数的奇偶性、对称性、单调性求解即可.
【详解】因为函数
是奇函数，
所以
，而
，则
，
此时
，
由
是
图象的一条对称轴，
所以
，则
，
又
在区间
上单调，则
，即
，则
或6，
当
时，
，
由
，则
，因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
即
在
上单调递减，满足题意；
当
时，
，
由
，则
，因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
即
在
上单调递减，满足题意.
综上所述，
或6.
故选：B.
44. 已知函数
，若存在常数
，使得函数
为偶函数，则
可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
的解析式，得
和
都是偶函数，然
后根据偶函数的定义分析求解.
【详解】由
，
得
是偶函数，
因为
不可能是奇函数，
所以
和
都是偶函数，
为偶函数，则
，即
，
为偶函数，则
，
，
，
，结合选项，只有
时，
.
故选：C.
45. 已知函数
是偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．1 或
D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数的奇偶性求出
，再根据诱导公式即可得解.
【详解】因为函数
是偶函数，
所以
，解得
，
则
.
故选：A.
十、由图像求三角函数解析式
46. 已知函数
（其中
，
，
）的部分图象如图所示，则函
数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由图象得到
，
，则
，再由五点法再结合单调性求出
即可得到函数解析式.
【详解】由图可知
,
,则
由图像根据五点法，当
时,对应得到
,
即
，因为
，所以
或
，
当
，验证单调递增区间：
令
，
当
时，
为其一个增区间，由图象可得
位于减区间上，矛盾，
所以
.
故选：D
47. 如图是函数
的部分图象，则该函数的解析式可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据最值可得
，根据周期可得
，代入点
运算可得
即
可得结果.
【详解】由题意可知：
，解得
，
设函数
的最小正周期为
，
则
，可得
，
且
，则
，解得
，可得
，
代入点
可得
，即
，
又因为
，则
，
可得
，解得
，
所以
.
故选：C.
48. 如图是函数
的部分图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数图象确定最小正周期求得
，利用点的坐标求得
，结合诱导公式及可
判断出答案.
【详解】由图像可知
,
将
代入
中得
，
因为
，故
，
所以
，
故选：C
49. 函数
的图象如图所示，则函数y 的表达式是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数的最大、最小值，算出
和
，根据函数图像算出周期，利用周期公式算
出
.再由当
时函数有最大值，建立关于的等式解出
，即可得到函数
的表达式.
【详解】
函数的最大值为
，最小值为
，
，
，
又
函数的周期
，
，得
.
可得函数的表达式为
，
当
时，函数有最大值
，
，
可得
，结合
，
取
得
，
函数
的表达式是
.
故选：
.
【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象，求它的解析式.着重考查了三角函数的周期公式、
三角函数的图象的变换与解析式的求法等知识属于中档题.
50. 已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的
解析式为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数的图象可知
，
，∴
，∵函数的图象经
过
，∴
，又∵
，∴
，∴函数的解析式为
，故选B.
点睛：本题主要考查利用
的图象特征，由函数
的部分图
象求解析式，理解解析式中
的意义是正确解题的关键，属于中档题．
为振幅，有
其控制最大、最小值，
控制周期，即
，通常通过图象我们可得
和
,
称为初象，
通常解出
，
之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.
十一、三角函数平移伸缩变换
51. 已知函数
的一个零点是
，为了得到
的图象，需要将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】A
【分析】根据零点，代入可得
，再利用辅助角公式化简得
，再
根据平移变换求解即可．
【详解】依题意，得
，得
，
所以
，
，
了得到
的图象，需要将函数
的图象,
需要将函数
的图象向左平移
个单位长度．
故选：A．
52. 将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），得到
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换即可求解．
【详解】将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不
变），
得到
的图象．
故选：A．
53. 将函数
的图象向左平移
后得到
的图象，则
的解析
式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图象变换规则即可求解.
【详解】依题意，函数
的图象向左平移
后得到
的图象，即
，即
的解析式为
.
故选：C.
54. 把函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把所得
图象向右平移
个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平
移变换，最终得出函数解析式．
【详解】若把函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
则需将
替换为
，即
，
再把所得图象
向右平移
个单位长度，则需将
替换为
，
即
，
最终得到的函数解析式为
，故D 正确．
故选：D．
55. 将正弦曲线上所有的点横坐标变为原来的2 倍，再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据题目条件求得
的表达式，再根据三角函数的单调性即可求解．
【详解】由题意可得
，
的单调增区间满足
，
解得
，结合定义域
，可得
，
故
，所以
在
的单调增区间是
．
故选：B．
十二、取值范围
56. 设函数
在区间
上恰有2 个极值点､1 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的图像和性质进行求解即可.
【详解】
，
若
，则
.
要使得
在区间
上恰有2 个极值点、1 个零点，
则
，解得
.
若
，则
.
要使
在区间
上恰有2 个极值点、1 个零点，
则
，解得
.
故
的取值范围是
.
故选：C.
57. 已知
，函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用
的性质，利用整体代入法分别求出
的
单调递增和单调递减区间，然后分函数
在
上单调递增和递减两
种情况讨论，可得
和
且
，即可求出结果.
【详解】若函数
在
上单调递增，
由
，
得
，
所以
，又
，
取
，得
，
若函数
在
上单调递减，
由
，
得
，
所以
，
又
，
取
，得
，
所以
的取值范围是
，
故选：C
58. 若有且仅有一个
使得数
取得最小值，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意，由
，则有
，求解可得
的取值范
围.
【详解】
时，
，
依题意有
，解得
，
则
的取值范围为
.
故选：D.
59. 设函数
在区间
内恰有三条对称轴、两个零点，则
的取值
范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过换元将
视为整体，结合条件列出不等式后取交集得到
的取值范围.
【详解】已知
，
，
当
时，
.
正弦函数
的对称轴满足
（
），
要使
在
内恰有三条对称轴，
，
，
，
，
因此
，
正弦函数
的零点满足
（
），
要使
在
内恰有两个零点，
则
，
，
，
因此
，
联立两式：
，
解得
.
故选：C
60. 已知函数
（
），若
在区间
上有且仅有
个零点
和个最大值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，将问题转化为
在区间
上有且
仅有4 个零点和1 个最大值点，结合函数
的图象可得答案.
【详解】由
，设
；
在区间
上有且仅有4 个零点和1 个最大值点，
即
在区间
上有且仅有4 个零点和1 个最大值点.
作出
的图象如图.
由
在区间
上有且仅有
个零点，得
①；
又
在区间
上有且仅有个最大值点，得
②；
依题意需同时满足①②式，于是得
，
即
，解得
，
故
的取值范围是
.
故选：A
十三、三角函数综合运用
61. 已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
的图像关于点
中心对称
D．
图像向右平移
个单位长度后的函数为偶函数
【答案】A
【分析】化简得
，求出函数的周期即可判断A；由
，可得
，结合正弦函数的性质可判断B；结合图像的平移及对称中心的定义可判
断C；求出平移后的解析式，结合偶函数的定义判断D．
【详解】对于A，因为
，
所以函数的最小正周期为
，故A 正确；
对于B，当
时，
，
由正弦函数的性质可知
在
上先增后减，故B 错误；
对于C，因为
是将函数
的图象向上平移
个单位得到的，
所以函数
对称中心的纵坐标为
，故C 错误；
对于D，设
图像向右平移
个单位长度后所得函数为的解析式为
，
则
，
又因为
，
所以
不是偶函数，故D 错误．
故选：A．
62. 已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象向左平移
个单位长度后关于y 轴对称
D．若
在区间
上恰有一个零点，则实数m 的取值范围是
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为
的形式，再结合该函数的性质
逐项分析判断即可.
【详解】
.
选项A：最小正周期
，故A 错误；
选项B：求
的单调递增区间：
令
，
，解得
，
，
所以区间
包含
（递增）和
（递减），故B 错误；
选项C：
的图象向左平移
个单位长度后得到：
，
为偶函数，图象关于
轴对称，故C 正确；
选项D：令
，即
，
则
，
，即
，
，
当
时，
；当
时，
；
若在区间
上恰有一个零点，则
，
所以实数
的取值范围为
，故D 错误.
故选：C.
63. 已知函数
，且
的最小正周期为
，给出下列结论：
①函数
在区间
单调递减；
②函数
关于直线
对称；
③把函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，可得到函数
的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】A
【分析】先将函数
化简为最简形式，然后利用周期求出
的值，再利用正弦函数的性
质进行判断即可求解.
【详解】因为函数
，且
的最小正周期为
，
所以
，则
.
因为
，所以
，则函数
在单调递减，故①正确；
令
，解得：
，所以直线
是函数
的一条对
称轴，故②正确；
将函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度可得到
，故③错误，
所以正确的结论序号为：①②，
故选：
.
64. 已知函数
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
是
的一个零点
D．
在区间
单调递减
【答案】D
【解析】利用辅助角公式化简
，再利用正弦函数的周期性、对称性、
单调性以及函数零点的定义逐一判断即可.
【详解】
，
对于A，
的最小正周期为
，正确；
对于B，
时，
为最小值，
的图象关于直线
对称，正确；
对于C，
时，
，
是
的一个零点，正确；
对于D，
在区间
上不是单调函数，错误，
故选：D.
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性
以及函数的零点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们
往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，
尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后
集中精力突破较难的命题.
65. 将函数
的图象向右平移
个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，
得到函数
的图象，则下列关于函数
的说法正确的是
A．最小正周期为
B．图象关于直线
对称
C．图象关于点
对称
D．在
上是增函数
【答案】B
【分析】根据图像变换得出
，结合其图象和性质即可选出正确答案.
【详解】
的图像向右平移
个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来
的2 倍，
得
，其周期为
,选项A 错误；由
可得对
称轴方程为
,当
时，对称轴为
，选项B 正确，对称中心为
,选项C 错误；增区间为
, 故选项D 错误.
故选B.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，三角函数的图像变换，属于中档题.
十四、三角函数应用
66. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，
距今已有
多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3 米的筒车按逆
时针方向做每6 分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心
距离水面
的高度为
米，
设筒车上的某个盛水筒
的初始位置为点
（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，
下列结论错误的是（ ）
A．分钟时，以射线
为始边，
为终边的角为
B．分钟时，该盛水筒距水面距离为
米
C．1 分钟时该盛水筒距水面距离与3 分钟时该盛水筒距水面距离相等
D．1 个小时内有
分钟该盛水筒距水面距离不小于3 米
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离
与时间的函数关系式为
，结合图象求出函数解析式可得选项A 正确，选项B 错误；求出
和
时的函数值可得选项C 正确；根据
可得一个周期内有
分钟符合题意，由此可得
选项D 正确.
【详解】
如图，以
为原点，以射线
方向为
轴正方向建立平面直角坐标系.
设盛水筒距水面距离
与时间的函数关系式为
，
由题意得
，
∴
，解得
，故
，
设函数
的最小正周期为
，则
，故
，
∴
，
∵盛水筒
的初始位置为点
，
∴当
时，
，即
，故
，
由点
在第四象限可得初相
，∴
，
∴
，
∴分钟时，以射线
为始边，
为终边的角为
，该盛水筒距水面距离为
米，故选项A 正确，选项B 错误.
当
时，
，当
时，
，故C 正确.
由
得
，
当
时，
，故
，解得
，有
分钟，
1
∵个小时有
个周期，
1
∴个小时内有
分钟该盛水筒距水面距离不小于3 米，故D 正确.
故选：B.
67. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全
书》中用图1 描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都
做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O 到
水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2 圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现
（即
时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从
运动到点P 时所用时间为t（单位：
s），且此时点P 距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O
的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系
（如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】首先先求以
为终边的角为
，再根据三角函数的定义求点
的纵坐标，
以及根据图形表示
.
【详解】
，所以
对应的角是
，
由
在
内转过的角为
，
可知以
为始边，以
为终边的角为
，
则点
的纵坐标为
，
所以点
距水面的高度
表示为
的函数是
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以
在
内转过的角为
，再求以
为终边的角为
.
68. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描
绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2 米的筒车水轮圆心
距离水面1 米（图2），
已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4 圈，当水轮上点
从水中浮现时（图2 中点
）开
始计时，经过秒钟后点
距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（ ）
A．关于的函数解析式为
B．点
第一次到达最高点需用时10 秒
C．从计时开始
再次接触水面需用时15 秒
D．当点
运动2.5 秒时，距水面的高度为1.5 米
【答案】A
【分析】根据已知代入点计算得出解析式判断A，再根据函数值得出自变量判断B，再根据
周期计算判断C，计算函数值判断D.
【详解】由题可设函数
，
其中
，所以
，
时，
，解得
，因为
，所以
，
所以
，A 正确；
由A 可知，点P 第一次到达最高点需用时
秒，B 错误；
由题意知，点P 再次接触水面需用时
（秒），C 错误；
当
时，
，点P 距水面的高度为2 米，D 错误．
故选：A
69. 图1 是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在
农业上得到广泛应用．在图2 中，一个半径为2m 的筒车按逆时针方向每分钟转
圈，筒
车的轴心O 距水面的高度为
．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d
（单位：m）（若在水面下则d 为负数），若以盛水桶P 刚浮出水面时开始计时，d 与时间
t（单位：s）之间的关系为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据筒车的半径及轴心距水面的高度可得
的值，再由每分钟转
圈可得
函数的
，再由
可得结果.
【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转
圈，所以
（s）,
.
再由筒车的轴心O 距水面的高度为
，所以
（m）.
又因为筒车的半径为2m，所以
（m），所以
.
又因为以盛水桶P 刚浮出水面时开始计时，所以
，
即
，得
且
，所以
.
故选：A.
70. 如图，一个半径为3 米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5 圈，筒车的轴心O 距离水面的高
度为1.5 米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d 为负
数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t（单位：秒）之间的关系为
（
，
，
），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过
秒就可到达最低点
D．盛水筒P 在转动一圈的过程中，P 在水中的时间为
秒
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出
判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D.
【详解】点
到水面的距离
与时间之间的关系为
，
对于A，依题意，
，则
，A 错误；
对于B，由
时，得
，即
，而
，则
，B 错
误；
对于C，
，令
，得
，
解得
，则
，解得
，
即盛水筒出水后至少经过
秒可到达最低点，C 错误；
对于D，由
，得
，即
，
则
，解得
，
所以盛水筒
在转动一圈的过程中，
在水中的时间为
秒，D 正确.
故选：D
