文档文本内容
三角函数的图像与性质
目录
题型一：三角函数图像的变换....................................................................................................1
题型二：三角函数的图像与解析式...........................................................................................6
题型三：三角函数的性质..........................................................................................................13
题型四：含三角的一般函数性质研究.....................................................................................16
题型五：
的取值与范围问题.................................................................................................20
题型六：三角函数与零点有关问题.........................................................................................25
题型七：含绝对值的三角函数性质.........................................................................................28
专练：三角函数多选题..............................................................................................................37
专练：三角函数解答题..............................................................................................................58
题型一：三角函数图像的变换
1．要得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）
A．向右平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向左平移
个单位
【答案】A
【分析】先把目标函数变形为与原函数结构相似的形式，再利用三角函数图象平移规律确
定平移方向和单位．
【详解】
，
由
到
，需要向右平移
个单位，
故选：A．
2．将函数
的图象向左平移
个单位长度后，得到的图象关于
轴对称，
则
的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出平移后的函数解析式，进而根据函数性质求得
，再依次讨
论各选项即可.
【详解】函数
的图象向左平移
个单位长度后，
对应的函数解析式为
，
因为
的图象关于
轴对称，
所以
，即
，
显然，当
时，不满足
，不成立；
当
时，
，满足
，成立；
当
时，不满足
，不成立；
当
时，不满足
，不成立；
故选：B
3．将函数
的图像向左平移
个单位，所得图像关于原点对称，
则
最小时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先进行图象变换，再由函数的对称性求解．
【详解】解析：平移后，
，
所以
.
所以
，因为
，所以
最小值为
.
所以
.
故选：B
4．已知将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移1 个单位长
度，得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
图象关于
对称
B．函数
图象在
内有3 个极值点
C．函数
在
上单调递增
D．函数
图象关于
中心对称
【答案】C
【分析】本题考查三角函数的图象变换、性质，解题的关键在于先对函数
进行化简，
再根据图象平移规律得到
的表达式，最后逐一分析选项.
【详解】由题意可得
因为将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移1 个单位长度，得到函数
的
图象，
所以
；
当
时，
或0，
所以
不是对称轴，选项A 错误；
令
,解得
，
当
时，
；当
时，
；
所以函数
图象在
内有2 个极值点，选项B 错误；
当
时，
，在
内
单调递增，
选项C 正确；
当
时，
，
所以
是对称中心,
图象关于
中心对称，选项D 错误.
故选：C
5．将函数
的图象向左平移
个单位长度后，再把图象上所有点的横
坐标缩短为原来的
倍后得到函数
的图象，则
的一个单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数
，再由正弦函数的性质求
解单调递减区间.
【详解】由题意函数
的图象向左平移
个单位长度后，得到
，
把图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍后得到函数
，
的一个单调递减区间
，
解得
，当
时，
在
上单调递减.
故选：B.
6．已知函数
的图象向左平移
个单位后与原来图象重合，
当
，且
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，可求得
，利用
，求
得
的值，计算即可.
【详解】函数
的图象向左平移
个单位后的解析式为
，
又平移后的函数图像与原来图像重合，所以
，
所以
，所以
，又
，所以
，
所以
，
当
时，则
，
又
，且
时，
，
所以
，所以
，
所以
.
故选：B.
7．已知函数
，将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，
若
，总存在唯一实数
，使得
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
,因为
所以
，故
，总存在唯一实数
，使得
，即
，
总存在唯一实数
，使得
，故而可得
，即可得解.
【详解】由题意可得
，
因为
所以
，
所以
，则
.
，总存在唯一实数
，使得
，
即
，总存在唯一实数
，使得
，
即
，总存在唯一实数
，使得
.
因为
，所以
因为总存在唯一实数
使得
，所以
，即
.
故选：B.
题型二：三角函数的图像与解析式
1．已知函数
（其中
）的导函数
的部分图
象如图所示，若函数
在区间
上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据图象求出
，结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】由题意得
，由
，解得
又因为
，所以
，
所以
，因为函数
在区间
上是增函数，
所以当
时，
，
又因为
，所以
，解得
．
故选：B．
2．已知函数
（
，
，
），若函数
的图象向左平
移
个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法：
①
是函数
的一条对称轴；
②函数
在区间
的值域为
；
③不等式
的解集为
（
）；
④若
在
有两个极值点，则
，
其中正确的有 .（填序号）
【答案】①③
【分析】由函数图象求得平移后的函数解析式，从而求得函数
，然后求出函数的对称
轴判断①，由区间
求出函数
值域判断②，由函数图象解不等式
得
到解集判断③，通过三角函数的最大值和最小值点得到函数的极值点，然后判断④.
【详解】令平移后的函数为
，
由图可知
，
，
∴
，则
，
又∵当
时，令
，即
，
∴
，则
.
令
，则
为函数
的对称轴，
令
，则
，①正确；
时，
，∴
，②错误；
，即
，则
，
即
，③正确；
令
，即
，则
，
令
，即
，则
，
即
在
右边的极值点依次是
，
若
在
有两个极值点，则
，④错误.
故答案为：①③
3．如图是函数
的图象，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对称性求得
，进而求得
.
【详解】
，根据对称性可知
的最小正周期
，
所以
，则
，
，根据对称性可知
，
所以
，
由于
，所以
.
故选：D
4．（多选题）已知函数
的部分图象如图，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上的最小值为
C．
是
图象的一个对称中心
D．将
的图象向左平移
个单位长度后，得到的图象关于
轴对称
【答案】BCD
【分析】根据图象求得
的解析式，结合三角函数周期、最值、奇偶性、对称性、图象
变换等知识确定正确答案.
【详解】对于A，由题图可知，
的最小正周期
，所以
，
故A 错误；
对于B，由题图可知，
，且函数图象过点
，
当
时，
，解得
，所以
.
当
时，
，由正弦函数的单调性知，函数
在
上单调
递增，
所以函数
在区间
上的最小值为
，故B 正确；
对于C，因为
，所以点
是函数
图象的一个对
称中心，故C 正确；
对于D，因为
，所以平移后得到的图象关于
轴对称，
故D 正确.
故选：BCD.
5．（多选题）已知函数
的部分图象如图所示，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．满足
的
的取值范围为
C．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来
，得到的图象关于
对称
D．函数
与
的图象关于直线
对称
【答案】ABD
【分析】根据图像先求
，进而得
，即可判断AB，利用函数图像的伸缩变换即
可判断C，计算
是否等于
即可判断D.
【详解】由题意有：
，
，
，即
，又
，
当
时，
，所以
，故A
正确；
由
，所以
，所以
，
解得
，
所以满足
的
的取值范围为
，故B 正确；
将函数
图象上所有点的横坐标变为原来
，得到
，
又
，所以
不关于
对称，故C 错误；
又
，
所以函数
与
的图象关于直线
对称，故D 正确；
故选：ABD.
6．（多选题）函数
的部分图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
是函数的对称轴
D．
是函数的对称中心
【答案】ACD
【分析】根据函数图象知：
为对称轴､
是函数的一个对称
中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误.
【详解】由图知：
，即
，而
，可得
，A 正确；
且
，可得
错误；
由AB 知
,令
,得
为对称轴，C 正确；
由
是函数的一个对称中心，则
是函数的对称中心，D 正确；
故选：ACD
7．（多选题）已知
的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】结合图象求出函数解析式，依次判断选项即可
【详解】由题可得
，其中
，
设其周期为
，结合题中的图可知
，
，则
，故A 正确；
所以
，把点
的坐标代入
，
得
，则
，
所以
，
则
所以
，故B 错误；
，故C 错误；
，故D 正确；
故选：AD
题型三：三角函数的性质
1．已知点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
的对称中心即可得解.
【详解】因为函数
的对称中心为
，
，
所以
的对称中心为
，
，
所以
，
，又
，所以a 的最小值为
.
故选：A.
2．若点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的对称性求解.
【详解】由题意得
，得
，所以
的最小值为
.
故选：B.
3．已知函数
，
，若对于任意的
，总存在
，使得
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将问题转化为
且
，根据正弦型函数值域求法
可求得
的最大值和最小值，结合二次函数的最值可构造不等式组求得结果.
【详解】
对于任意的
，总存在
，使得
，
且
；
当
时，
，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
，解得：
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
4．若函数
在区间
上有且仅有3 个零点，则
的最小值为
．
【答案】
/
【分析】由题得
，再列出部分
的零点即可求解．
【详解】解：由
，得
，若
，
则
，第三个零点为
，
所以
的最小值为
．
故答案为：
．
5．若
是函数
的两个零点，则
的最大值为 ，
的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】利用降幂公式
与辅助角公式
进行化简，然后找到最大值与周期进行求解.
【详解】因为
，
所以
的最大值为2，
，相邻两零点间距离为
，即
的最小值为
故答案为：2；
6．若函数
（
），在
上单调递减，则a 的最小值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，再利用函数单调性求得辅助角的范围，进一
步根据三角函数的性质列不等式组求解.
【详解】利用辅助角公式得：
（
），
其中
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
.
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以为了使得函数
在
上单调递减，必须且只需
，
所以
，
所以
,解得
.
当
时
,在
上单调递减，符合题意.
故a 的最小值为1.
故选：B
题型四：含三角的一般函数性质研究
1．函数
的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】考查函数的奇偶性、单调性与函数图像，直接求解即可.
【详解】
,定义域为
，关于原点对称；
，所以
为偶函数，
图象关于y 轴对称；排除B、D.
当
时，
，则
，所以
，C 满足.
故选：C
2．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性，结合正弦函数的性质分析图象即可.
【详解】函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
因为
，所以函数
为偶函数，
又
时，
，可排除A、B 选项，
同时
时，
有无数零点，同时也有
的情况，
故
有无数个零点，且
时有
的情况，可排除C，即D 正确.
故选：D
3．已知实数
，若关于
的方程
在
上恰有两个不同的实
数根，则实数
的取值集合是 ．
【答案】
【分析】令
，设
的两根分别为
，结合正弦函数的图象与性质，
转化为
上的零点问题，结合二次函数的图象与性质，分三种
情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】由方程
在
上恰有两个不同的实数根，
令
，可得
，
设
的两根分别为
，则
，所以
同号，
结合正弦函数
的图象与性质，
可得
上的零点有三种情况：
当
时，即
，解得
或
（舍去），
此时
，即
，可得
或
，符合题意；
当
时，则满足
，即
，解得
（舍去）；
当
时，则满足
，即
，解得
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
4．已知正实数
满足对任意的实数
均有
，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】先令
，利用二倍角公式将不等式转化为的二次函数
，从而转化
为二次不等式恒成立问题求解，再根据对称轴与区间
的关系分类求解
最小值，然
后分别利用不等式性质与有解条件探求
的最值，比较两段所求最值大小可得.
【详解】令
，则
，由
，
则原不等式
对任意
恒成立
可化为不等式
对任意
恒成立.
记
，由
可知其图象开口向上，对称轴为
.
由
均为正数可知
.
①当
，即
时，
在
上单调递减，
则
，即
.
由
，解得
.
可得
，则
.
验证：当
时，
恒成立，
故当
时，
.
②当
，即
时，
则
，
可化为
.
令
，则
，
所以
，
要使该关于
的不等式有解，则
，
即
，又
，可得
.
验证：当
时，代入
，
可得
，即
，
解得
，则
，满足
.
故当
时，
.
又由
，可知
为
的最大值.
综上，
的最大值为
．
5．若存在实数a，对任意的
，都有
恒成立，则实数m 的
最大值为 .
【答案】
【分析】由题意可知
或
恒成立，数形结合，可知
的图象不能在直线
，即
的同一侧，即可求得答案.
【详解】由题意知存在实数a，对任意的
，都有
恒成立，
即
或
恒成立；
在同一坐标系中，作出函数
的图象如图：
由图象可知，
当
时，要使不等式
恒成立，
，此时满足题
意的实数
有无数多个；
当
时，要使不等式
恒成立，只有
；
当
时，需使得
的图象不能在直线
，即
的同一侧，
故此时需满足
，综合可知，实数m 的最大值为
，
故答案为：
题型五：的取值与范围问题
1．将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，得到函数
的图象，若
在
上只有一个极大值点，则
的取值为（ ）
A．1
B．
C．
或
D．1 或
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换求出函数
的解析式，根据
可求出
的
取值范围，根据
在
上只有一个极大值点，可得出关于
的不等式，从而可得出
正整数
的值.
【详解】将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，
得到函数
的图象，则
，
当
时，
，
因为
在
上只有一个极大值点，则
，解得
，
因为
，故正整数
的值为1 或
.
故选：D.
2．将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象关于
对称，
则ω 的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】先得到函数平移后的解析式，再由其图象关于直线
对称，列出等式，进而可
求出结果.
【详解】函数
的图象向右平移
个单位长度，可得函数
的图象，
因为平移后的函数图象关于直线
对称，所以
，
则
，又
，所以
的最小值是2.
故选：B.
3．已知函数
在区间
内有极大值，但无极小值，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，
可确定
，结合正弦函数图象可确定
，解不等式即可求得答案.
【详解】因为
，所以当
时，则有
，
因为
在区间
内有极大值，但无极小值，
结合正弦函数
的图象，得
，解得
，
故选：D
4．已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可得
，即可求出
的大致范围，再由
的范围求出
的范围，再确定左端点的范围，从而得到
，解得即可.
【详解】因为函数在区间
上单调递增，
所以
，即
，又
，所以
，解得
，
由
，则
，
又
，所以
，所以
，解得
，
即
的取值范围是
.
故选：A
5．已知函数
（
），
，
有
，
，且
在
上单调，则
的最大值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【答案】B
【分析】根据正弦函数的对称中心及极值点，单调性综合判断得
是小于等于
的正奇数，
再进行验证可得.
【详解】由
有
，所以函数关于
成中心对称，
所以
，即
，
再由
，得
是函数的一个极值，所以
，
所以
，即
.
又
在
上单调，所以
，得
.
所以
且
，
是小于等于
的正奇数.
当
时，
，再由
是极值点，
，得
，
易知
，但
函数不单调，舍去；
当
时，由
是极值点，
，得
，
，
函数单调递减，符合题意.
所以
的最大值为9.
故选：B.
6．已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】先利用余弦函数的递减区间求得
，依题需使
，求得
，再由
确定
，通过对
进行赋值检验，即可求得
的取值范围.
【详解】令
，解得
，
依题意，需满足
，解得
.
因为
在
上单调递减，所以
，解得
.
当
时，
，不符合题意；当
时，
，符合题意；
当
时，
，符合题意；当
时，
，不符合题意.
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
7．（多选题）已知函数
，则下列命题正确的有
（ ）
A．若
是曲线
的一条对称轴，则
的最小值为
B．若
在
上有且只有一个最小值点，则
的取值范围是
C．将
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，若
为偶函数，则
的最小值为
D．若
在
上恰有4 个零点，则
的范围为
【答案】ACD
【分析】先将函数
化简为正弦型函数的形式，然后根据正弦函数的图像和性质逐一求
解即可.
【详解】由已知
．
对于A，若
是
的一条对称轴，则
，
解得
．
，
当
时，
有最小值为
，故A 正确；
对于B，由题意知，当
时，
，
在
上有且只有一个最小值点，
或
，
解得
或
，故B 错误；
对于C，
向左平移
个单位长度后，
得到
，
若
为偶函数，则
，
，解得
，
，
，
当
时，
有最小值为
，故C 正确；
对于D，
时，
，
若
在
上恰有4 个零点，则
，
解得
，故D 正确．
故选：ACD．
题型六：三角函数与零点有关问题
1．将
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，则函数
的零点的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数图象平移知识求出
，所求函数的零点问题转化为两个
函数图象的交点问题，在同一直角坐标系中画出图象可得答案．
【详解】由条件得：
，
的零点个数等价于函数
与直线
的图象交点个
数，
如图所示，可得两图象交点个数为3．
故选：C
2．函数
，若
恰有6 个不同实数解，
则正实数
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把问题转化为
与
或
的交点，画出图形，数形结合，再结合单
调性和对称性求出参数取值范围即可.
【详解】由题意可知
的实数解可以转化为
或
的实数
解，
即
与
或
的图象交点的横坐标，
当
时，
，则
，
所以
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，可得
在
上单调递减，
所以当
时，
取得极大值，也是最大值，且
；
作出函数的大致图象如下图所示：
所以当
时，由图可知
与
无交点，即方程
无解；
与
有两个不同的交点，即
有两个实数解；
当
时，
，
令
，则
，则
，
作出大致图象如下图所示：
因为当
时，
与
有两个不同的交点，
所以
与
及
共有四个交点，
所以
，解得
，
即可得正实数
的取值范围
.
故选：B
3．函数
的图象由函数
的图象向右平移
个单位长度得到；当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
.
【答案】2
【分析】根据三角函数图象平移可得
，由题可得
与
只有一个交点，画出图象，结合图象列式求解即可.
【详解】
，
由题可知，当
时，方程
只有一解.
即
与
只有一个交点，
结合函数图象可知，
，所以
.
故答案为：2.
4．已知函数
最小正周期为
，当
时，
则函数
的零点个数为 ．
【答案】4
【分析】根据题意，转化为
与
图象的交点个数，作出函数
与
的图象，结合图象，即可求解.
【详解】令
，可得
，
所以函数
的零点个数等价于
与
图象的交点个数，
因为函数
最小正周期为
，当
时，
，
则
，画出函数
与
的图象，
如图所示，由图象可得，函数
的零点个数为
.
故答案为：
.
题型七：含绝对值的三角函数性质
1．已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
的图象关于
对称
D．
的图象关于
对称
【答案】D
【分析】计算
即可判断AB，计算
即可判断C，计算
即可判断D.
【详解】因为
既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误，B 错误；
又
，故
的图象不关于
对称，故C 错误；
因为
，故
的图象
关于
对称，故D 正确；
故选：D.
2．已知函数①
，②
，③
，④
，⑤
，则下
列选项中同时满足（1）是偶函数，（2）最小正周期是
，（3）对称轴相同这三个条件的
是（ ）
A．①②⑤
B．①③④
C．②③⑤
D．③④⑤
【答案】B
【分析】利用三角函数图象以及函数图象变换，画出函数图象，结合图象判断.
【详解】结合三角函数图象与图象变换，依次画出①②③④⑤的函数图象，
由图象可知，②⑤不是周期函数，故②⑤不符合；
①③④均为偶函数，最小正周期为
，对称轴为
，符合所有条件.
故选：B
3．（多选题）函数
的部分图象如图所示，则
下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
【答案】ABD
【分析】根据题意得
，
，再根据正切函数的
性质依次判断各选项即可.
【详解】由题知
，
，故A 选项正确；
由于正切函数取绝对值后不影响函数的周期性，
所以
，
，
所以
，
，
，即
，故C 选项错误；
由图可知函数的对称轴方程为
，故
是函数
的对称轴，所以
函数
的图象关于直线
对称，故B 选项正确；
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
，故
D 选项正确.
故选：ABD
4．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的值域为
B．
的最小正周期为π
C．
在区间
上单调递增
D．
在
上有2 个零点
【答案】AD
【分析】由题可化简
.对于A，由化简式及三角函数值域知识可判断选项正误；对于
B，通过特殊值验证可判断选项正误；对于C，由题可得
在区间
上的解析式，
据此可得单调区间；对于D，由题可得
在
上的解析式，据此可得零点.
【详解】
；
又
，
；
，
，
.
则
，
.
对于A，
，
，
，
.
其中
，则
，故A 正确；
对于B，注意到
，
，
则B 错误；
对于C，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，故C 错误.
对于D，
，
则
，即有2 个零点，故D 正确.
故选：AD
5．（多选题）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
的周期为
B．
在区间
上是增函数
C．若
，则
D．函数
在区间
上有且仅有2 个零点
【答案】ACD
【分析】先化简函数为
，利用三角函数
的图象
和性质，逐一分析每一个选项即可.
【详解】由题意，函数
，
对于A，函数
，可得
是周期为
的函数，A 正确；
对于B 中，由
，可得
在
一定不是单调函数，B 错误；
对于C，因为
，可得
，
此时可得
，
，
可得
， C 正确；
对于D，当
时，
，
由
，可得
，
即
或
，解得
或
，
故函数
在区间
上有且仅有
个零点，D 正确.
故选：ACD
6．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的最小正周期为
C．
的最小值为
D．
在
上有四个不同的实数解
【答案】BD
【分析】方法一：结合
判断A；根据正弦型函数的周期公式判断B；作出
函数
大致图象，判断CD；
方法二：化简得由
，结合函数
大致图象判断各选项即可.
【详解】方法一：由
，
则
，
，则
，
所以
不可能关于
对称，A 错误；
因为函数
的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
则
的最小正周期为
，B 正确；
当
时，
，当
时，
；
当
时，
，作出函数
大致图象，如图，
则
，C 错误，
在
有4 个根，D 正确.
方法二：由
，
作出
和
的图像，取位于上方的部分即可：
由图可知，AC 错误，B 正确，
对于D，计算知
与
在
内的交点坐标为
，
而
，结合函数
的图象特征可知函数
与
图象在
内有四个交
点，
所以
在
上有四个不同的实数解，故D 正确.
故选：BD.
7．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于
轴对称
B．
的最小正周期为
C．
在区间
上单调递减
D．
的值域为
【答案】ABD
【分析】利用偶函数的定义判断A，利用正弦函数的最小正周期判断B，利用“同增异
减”判断C，利用换元法结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于选项A，对于任意的
，
，
所以
是偶函数，图象关于
轴对称，故A 正确；
对于选项B，
因为
，
的最小正周期均为
，
故
的最小正周期是
，故B 正确；
对于选项C，
当
时，
，令
，
，
，
因为
在
上单调递减，
而
在
上单调递减，
由复合函数的单调性可知，
时，
单调递增，故C 错误；
对于选项D，
时，
，
，即
；
时，
，
，即
，
故D 正确.
故选：ABD.
8．（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
关于直线
对称
C．
的值域为
D．
在区间
上恰有7 个不同的实数根
【答案】BCD
【分析】对于A，根据周期函数的定义即可验证；对于B，根据三角函数的对称性进行验
证即可；对于C，有绝对值，分段讨论，去掉绝对值，即可求出值域；对于D，结合C 选
项的分析，分段讨论，即可求解.
【详解】由题可知
，故A 错误；
，
，故B
正确；
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
的值域为
，故C 正确，
当
时，
，
则
，则
，
，
，或
，则
，
.
当
时，
，
解得
（舍）或者
，
此时在
上有两个解
，
，综上，共有七个解.
故选:BCD.
专练：三角函数多选题
1．已知函数
过点
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．将
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数
【答案】ACD
【分析】先根据题干条件将
求出，然后根据正弦函数的性质依次判定即
可.
【详解】由题可得
，
因为
，所以
，所以
，解得
，
所以
.
对于A，
的最小正周期为
，故A 正确；
对于B，令
，
，解得
，
，
令
，得
，所以
在区间
上单调递增，
而
不是
的子集，故B 错误；
对于C，令
，
，解得
，
令
，得
，所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
对于D，出题可得
，为偶函数，故D 正确.
故选：ACD.
2．已知函数
，且满足
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
，
C．
在区间
上有且仅有
个零点
D．将
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则
【答案】AC
【分析】对A：计算
即可得；对B：验证
不是
对称中心即可得；对C：
令
，解出即可得；对D：求出
后，验证
不是
的对称轴即
可得.
【详解】对A：由
，则
，
解得
，又
，故
，故A 正确；
对B：若
，
，则
是
对称中心，
令
，有
，
故
不是
对称中心， 故B 错误；
对C：令
，解得
，
令
，则
，
则
，故
可为
、、
、
，共
个，
故
在区间
上有且仅有
个零点，故C 正确；
对D：
，
若
，则
关于
对称，
当
时，有
，
由
不是
的对称轴，故
不是
的对称轴，故D 错误.
故选：AC.
3．函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点
是函数
图象的一个对称中心
C．
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到
的图象
D．函数
的图象向左平移
个单位长度，得到的图象关于
轴对称
【答案】ACD
【分析】结合图像得到
，利用周期公式得到
，从图像中可知
是
一个下零点，
得到
即可求解判断选项A；将
代入
不成立即可判断
选项B；利用伸缩变换求出解析式即可判断C；利用平移变换得到解析式即可判断选项D.
【详解】选项A，
，
，
，
，
，
，
是
一个下零点，
，
，所以
，
，故选项A 正确；
选项B，因为
，
所以点
是函数
图象的一个对称中心，故选项B 错误；
选项C，将
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）得到
的图象，与
相同，故选项C 正确；
选项D，
的图象向左平移
个单位长度，得到
，
图象关于
轴对称，故选项D 正确.
故选：ACD.
4．将函数
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，
若
的图象关于点
对称，则
可取的值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【答案】ACD
【分析】根据图像的平移变换得
，利用二倍角的正弦公式得
，又由
的图像
关于点
对称得
，
，进而求解.
【详解】将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
，
又因为
的图象关于点
对称，
所以
的图象关于点
对称，
则
，
，所以
，
，
又因为
，所以
的最小值为1，
故
可取的值为1，
，4.
故选：ACD.
5．已知函数
的部分图象如图所示，则下列
说法正确的是（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上为增函数
D．把
的图象向右平移
个单位长度，得到一个奇函数的图象
【答案】AC
【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数
的解析式，再对各选项逐一
分析即可得解.
【详解】由图象得
，令
的最小正周期为T，则
，解得
，
，
又
，即
，而
，则
，
，
因
，则
的图象关于点
对称，A 正确；
因
，则
的图象不关于
对称，B 不
正确；
因
，则
，所以
在
上为增函数，C 正确；
的图象向右平移
个单位长度，得到
是偶函数，D 不正确.
故选：AC
6．已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到的函数图象关于
轴对称
C．函数
的单调递增区间为
D．若函数
在
上不单调，则
的取值范围为
【答案】ACD
【分析】先根据函数图象得
，代入两点
的坐标，求得
的值，即得
函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断.
【详解】由题图可知，
，且图象经过点
，故可得
，
因为
，所以由①可得
，代入②可得
，即
，
，
由题图知，原函数的最小正周期
满足
，解得
，所以
，故
.
对于A，因为
，
所以直线
是
图象的一条对称轴，故A 正确；
对于B，将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，
因为
，
轴不是其对称轴，故B 错误；
对于C，因为
，
由
，可得
，
所以
的单调递增区间为
，
，故C 正确；
对于D，
，
当
时，
，所以
，
要使函数不单调，则
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
7．函数
的部分图象如图所示，
，
是
的2 个零点，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的最小值为
C．当
取最小值时，
的最大值为
D．若
在区间
上至少有10 个零点，则
的最小值为
【答案】ABD
【分析】本题考查三角函数的图象与性质，可先根据函数图象求出函数
的表达式，再
根据三角函数的性质逐一分析选项即可。
【详解】由
图象知，
，则
，根据周期公式
，可得
.
又因为函数
的最大值为3，最小值为
，所以
当
时，
取得最小值
，即
，解得
.
.
A：根据余弦函数的对称中心公式，令
可得
的对称中心为
，
当
时，对称中心为
，所以
的图象关于点
对称，故A 正确。
B：因为
是
的两个零点，令
，则
，
所以
或
，解得
，或
，
根据题意，取
，
，所以
，
当
时，
，故
其相邻零点的最小间距为
，故B 正确.
C：当
取最小值时，
，
不妨设
，所以
，则
=
所以
的最大值为
，故C 错误.
D：令
，则
，
所以
或
，解得
，或
，
所以
在
上的10 个零点依次为：
，
，
，
，
.
由
在区间
上至少有10 个零点，则
故
的最小值为
，故D 正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
的解析式的确定：
（1）
由最值确定；
（2）
由周期确定；
（3）
由图象上的特殊点确定.
提醒：根据“五点法”中的零点求
时，一般先根据图象的升降分清零点的类型.
8．已知函数
的部分图像如图1 所示，A，B 分别为图
像的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于
，点C 为该部分图像与x 轴的交点.
将绘有该图像的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2 所示，此时
.下列结论正确的有
（ ）
A．
B．
的单调递增区间为
C．图2 中，
D．图2 中，过线段
的中点且与
垂直的平面与x 轴交于点C
【答案】BCD
【分析】先求出函数的最小正周期，从而得到
，作出辅助线，表达出
，根据
，求出
，结合
的取值范围求出
的值，可判断
A；利用正弦函数的单调性可判断B；，法1 利用空间向量的坐标运算判断C，法2 利用空
间向量数量积的定义可判断C；设
中点为
，C 在过M 与
垂直的平面上可判断D
即可.
【详解】如图，过点
作
轴，垂足为
，连接
，
，
因为
得最小正周期
，所以
，
由
，
得
，解得
.
因为
过
，
所以
，即
，
根据五点作图法，结合图像可得
，
，
因为
，所以
，故A 错误；
对于B，由已知得
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
，故B 正确，
对于C，法1：由
，可得
，
，
如图，建立符合题意的空间直角坐标系，
则
，
，
.
得到
，故C 正确；
法2：因为
，
在
和
上投影的数量分别为
，
，且
，
所以
，故C 正确：
对于D，设
中点为
，因为
，所以
，
可得C 在过M 与
垂直的平面上，
即过
中点与
垂直的平面与x 轴交于点C，故D 正确；
故选：BCD.
9．已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为2
B．
在
上单调递增
C．
在
上有3 个零点
D．把
的图象向左平移
个单位长度，得到的图象关于y 轴对称
【答案】AD
【分析】根据诱导公式化简
，则可判断A 选项；整体代入法计算
的范围可判断BC 选项；由图象的平移可判断D 选项．
【详解】函数
．
选项A：
，故
最大值为2，A 正确；
选项B：
时，
不单调递增，故B 错误；
选项C：
时，
，可知当
以及
时，
即
以及
时，
在
上有2 个零点，故C 错误；
选项D：
的图象向左平移
个单位长度，得到
，
为偶函数，关于y 轴对称，故D 正确.
故选：AD．
10．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数
的最小正周期为
，则
B．若
，则函数
在
上的最小值为
C．若函数
在
上单调递增，则
D．若函数
在
上恰有两个零点，则
【答案】AC
【分析】借助辅助角公式将原函数化为正弦型函数后，结合正弦型函数图象及其性质逐项
判断即可得.
【详解】
，
对A：
，解得
，故A 正确；
对B：若
，则
，
当
时，
，
则
，故B 错误；
对C：当
时，
，
则有
，结合
，可得
，故C 正确；
对D：当
时，
，
则有
，解得
，故D 错误.
故选：AC.
11．函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．若函数
在
上单调递增，则
C．若函数
在
内有2 个极值点，则
D．如图所示，若
，则点
的纵坐标为
【答案】ABD
【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的单调性、极值点的定义、余弦二倍角公式逐
一判断即可.
【详解】由图象可知
，函数图象过
点，
因为
，所以由
，或
，
当
且
时，显然
，显然
，不符合图象，
所以
，因此选项A 正确；
当
时，
，
要想
在
上单调递增，
只需
，故选项B 正确；
当
时，
，
要想函数
在
内有2 个极值点，
只需
，所以选项C 不正确；
当
，所以
，
设
，
当
时，点
是线段
的中点，
因此得
，
于是有
，
，或
舍去，
因此点
的纵坐标为
，因此选项D 正确.
故选：ABD
12．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
上的最大值为
C．
和
图象关于
对称
D．
在
的零点有且只有一个
【答案】BCD
【分析】选项A：根据函数的导数判断函数单调性，选项B：根据函数性质求出函数最值，
选项C：根据函数关于点对称的性质判断两个函数是否关于某点对称，选项D：通过分析
函数的单调性和零点存在定理判断函数零点个数.
【详解】对于A：
，
当
时
单调递减，当
时
单调递增.
A 错误；
对于B：
为奇函数，
在
上的最小值
，
在
上的最大值
，B 正确；
对于C：在
上任取一点
，则
关于
对称点
，
即对称点在
上.
和
图象关于
对称，
同理在
上任取一点，其关于
的对称点也在
上，C 正确；
对于D，当
时，令
，则
，
整理得
，令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减.
又
，
，所以由零点存在性定理得，
在
内存在唯一零点.
当
时，
，此时函数
无零点.
综上所述，
在
内存在唯一零点，即
在
内的零点个数为，D 正
确；
故选：BCD.
13．把函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
的定义域为
B．
的最小正周期为
C．
的值域为
D．
的图象关于直线
对称
【答案】ABC
【分析】先根据函数图象的变换规则求出
的解析式，然后根据正弦函数的性质逐项判
断即可.
【详解】由题意可知，
，
那么
的定义域为
，所以A 正确；
的最小正周期为
，所以B 正确；
的值域为
，所以C 正确；
令
，得
，
令
，解得
，
所以
的图象不关于直线
对称，所以D 错误.
故选：ABC.
14．已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的值域为
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．函数
在区间
上有且仅有5 个零点
【答案】BCD
【分析】对A，由周期性的定义判断；对B，分段讨论函数值域；对C，验证
；对D，分段求解方程
求零点.
【详解】对于A：因为
，
所以
的最小正周期不是
，A 错误；
对于B：当
，即
时，
，
因为
，所以
，
则当
时，
取得最大值
；当
时，
取得最小值
，
所以此时
的值域为
；
当
，即
时，
，
因为
，所以
，
当
时，
，当
时，
取得最大值
，
所以此时
的值域为
；
综上，函数
的值域为
，B 正确；
对于C：因为
，
，所以
，
所以直线
是函数
图象的一条对称轴，C 正确；
对于D：当
时，由
，解得
或
，
当
时，由
，解得
，
又
，所以
，所以函数
有且仅有个零点，D 正确；
故选：BCD.
15．已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调
D．
的最大值是
【答案】ABD
【分析】根据函数解析式，结合函数奇偶性的定义、对称性的性质、周期性与单调性的性
质及换元法求最值逐项判断即可求解.
【详解】函数
的定义域为
，
，所以
是偶函数，故选
项A 正确；
因为
，
，
所以
，所以函数
的图象关于直线
对称，故选项B 正确；
因为
，
，所以
在
上不单调，故选项C 错误；
对D：因为
，所以
是
的一个周期，
则
的最大值即为
在
上的最大值.
当
时，
，则
.
设
，则
，
设函数
.
由解析式及单调的性质可知函数
在
上单调递增，所以
，
即
，所以
，即
的最大值是
，故选项D 正确.
故选：ABD.
16．设函数
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上的最小值为
D．
的图象关于点
对称
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断得解.
【详解】对于A，函数
的最小正周期为
，A 正确；
对于B，
，
不是函数
的最值，
因此
的图象关于直线
不对称，B 错误；
对于C，由
，得
，当
，即
时，
，
C 正确；
对于D，
，
的图象关于点
对称，D 错误.
故选：AC
17．已知函数
的部分图象如图，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．
在
上单调递增
C．若
，则
的最小值为
D．若
，函数
在
上有2 个零点，则
【答案】BCD
【分析】根据图象求出函数
的解析式，再根据函数奇偶性判断A，根据正弦函数单调
性判断B，根据正弦函数的周期判断C，根据函数
在
上有2 个零点判断D 即可.
【详解】由图象可得
，
,
,
，又点
在图象上，代入可得
,
由
，可得
，
故
.
对于A，
，
令
，由于
，故
为奇函数，A 错误；
对于B，令
，
,
解得
，
故函数
的单调递增区间为
当
时，单调区间为
，
而
，故B 正确.
对于C，若
，则
的最小值为
，
若
，则
和
分别为最大值 和最小值
，或反之.
函数
的周期为
，
因此相邻最大值和最小值之间的距离为半个周期
,
因此，选项C 正确.
对于D，函数
，
，令
，得
，解得
,
当
时，
时，
；
时，
；
时，
（
时，
，不符合有2 个零点），
故函数
在
上有2 个零点，则
，
解得
，故D 正确.
故选：
.
18．（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
在
上单调递增
B．若
，且
的最小值为
，则函数
的最小正周期为
C．若
的图象向右平移
个单位长度后，得到的图象关于
轴对称，则
的最小
值为1
D．若
在
上恰有2 个零点，则
的取值范围为
【答案】AB
【分析】根据正弦函数的单调性判断A 的真假；根据三角函数的最大、最小值与函数周期
的关系判断B 的真假；根据函数的图象变换和函数的对称轴确定
的取值范围，判断C 的
真假；根据函数在给定区间上零点的个数求
的取值范围，判断D 的真假.
【详解】对于A，当
时，
，当
，
，
因
在
时单调递增，则
在
上单调递增，故A 正确；
对于B，因
，则
时，设
，则
，
因为
，则函数
的最小正周期为
，故B 正确；
对于C，将
的图象向右平移
个单位长度后，可得
，
因为图象关于
轴对称，则
，
因为
，则
，得
，故C 错误；
对于D，
时，
，令
，可得
．
则使
，且大于
的
前3 个取值为
，
则
，故D 错误．
故选：AB
专练：三角函数解答题
1．已知函数
的最小正周期为
．
(1)求
及
；
(2)若
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，求
在区间
上
的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值；
（2）根据三角函数图像变换先得
解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可.
【详解】（1）易知
，
又最小正周期为
，所以
，
即
，则
（2）
的图象向右平移
个单位长度得到
，
因为
时，
，
根据正弦函数的单调性可知
即
时，
，
时即
，
，即
，则
.
2．已知函数
的最小正周期为
.
(1)若
，
，求
的值；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位，再向上平移2 个单位，得到的图象对应函数记
为
，求函数
在
上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用同角三角函数关系以及二倍角的余弦公式即可；
（2）运用三角函数图象的平移、换元法以及正弦函数图象的性质等进行解决即可.
【详解】（1）
函数
的最小正周期为
，
，即
，
由
，即
，则
，
，
，
，
，
由
，
.
（2）由（1）知，
，
其图象向右平移
个单位后得到的图象对应函数为
，
再向上平移2 个单位得到的图象对应函数为
，即
.
当
时，
，令
，
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
，即
.
.
故函数
在
上的值域为
.
3．已知函数
，设锐角
的内角A，B，C 所对的边分
别为a，b，c，且
．
(1)若
，
，求b，c 的值；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，求
的取值
范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）将
代入
中求出
的值，再根据
得出
，利用余弦
定理求值即可；
（2）将
化简，再通过平移规律得到
，根据（1）得到
，
进而求出
的取值范围.
【详解】（1）由题
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
因为
，所以
，即
，
又
，所以
，即
，所以
，
；
（2）
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，
则
，
由（1）可知
，所以
，
在锐角
中，
，解得
所以
，
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
的取值范围为
.
4．已知
，
．
(1)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来
的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
的解析式；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式得到
的解析
式，再利用三角函数的平移及伸缩变换得到
的解析式；
（2）根据
的解析式求出
，再利用同角关系求其余弦值
，最后利用两角和的余弦公式求出
的值.
【详解】（1）
将函数
的图象向左平移
个单位长度，则
，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变，则有
．
（2）由题意得
，所以
，
.
5．已知
(1)求
图象的对称轴方程；
(2)求
的最大值及取最大值时x 的集合；
(3)求
在
上的单调递增区间.
【答案】(1)
，
；
(2)最大值为
，取最大值时x 的集合
；
(3)
和
【分析】（1）化简
，由
，
，可求得对称轴方
程；
（2）由（1）得
的最大值，令
，可得取最大值时x 的集合；
（3）由
，得
，结合正弦函数的单调性可得
在
上单
调递增区间．
【详解】（1）
，
由
，
，
可得对称轴
，
；
（2）由（1）知，
的最大值为
，
令
，
可得取最大值时x 的集合
；
（3）当
时，
，
当
，即
时，
单调递增；
当
，即
时，
单调递增；
综上可知
在
上单调递增区间为
和
.
6．已知函数
.
(1)求
的最小正周期及单调增区间；
(2)若函数
的图象与直线
相交的连续的三个点从左到右依次记为
，若
，求正数的值.
【答案】(1)
，单调增区间是
(2)
【分析】（1）由辅助角公式化简可得
，根据正弦型函数性质计算可
解；
（2）设
，由题意可得
，根据对称性可得
，代
入计算即可求解.
【详解】（1）
所以
由
，即
，
所以单调增区间是
.
（2）令
，解得
，
作出函数
的图象大致如下：
设
，则
由
，所以
且
，
故
两点关于直线
对称
所以
点的横坐标为
，
所以
.
7．已知函数
.
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)当
时，求函数
的最值（最大值与最小值）及相应
的值.
【答案】(1)
；
(2)
时，最大值为；
时，最小值为
.
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简
，再利用周期公式以及结合正弦函
数的单调性求解；
（2）求出
的范围，结合正弦函数的最值求解.
【详解】（1）
，
则
的最小正周期为
，
令
，则
，
故单调递增区间为
；
（2）因为
，则
，
则当
，即
时，
的最大值为；
当
，即
时，
的最小值为
.
8．设函数
(1)已知
，函数
是偶函数，求
的值.
(2)已知
，函数
在区间
内没有零点，求
取值范围.
(3)求函数
，
的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据辅助角公式、偶函数的性质，结合正弦函数的诱导公式进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性和零点的定义进行求解即可；
（3）根据降幂公式、辅助角公式化简该函数的解析式，再利用正弦型值域性质进行求解即
可.
【详解】（1）由已知
是偶函数，
又
（2）
，
当
时，
.
函数
在区间
内没有零点，
，
∴
，
，即
，
，
当
综上：
（3）函数
，
，
9．已知函数
．
(1)求
在
上的值域，
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和差角公式和辅助角公式化简函数
，由
的取值范围得到函数在
对应区间的值域；
（2）由（1）知道函数
的取值范围，通过讨论
的范围，利用分离常数得到
的
不等式.通过函数的单调性，得到不等式另一边的范围，由不等式恒成立得到
的取值范围.
【详解】（1）
当
时，
，
∴
∴
.
（2）由（1）可知，
，令
，则
当
时，∵
，
∴
，
令
，∵函数
，
在
上均单调递增，
∴函数
在
上单调递增，
∴
，∴
；
当
时，不等式恒成立，
当
时，∵
，
∴
，
令
，∵函数
，
在
上均单调递增，
∴函数
在
上单调递增，
∴
，
∴
，
综上所诉
.
10．函数
．
(1)当
时，求
在
上的最大值；
(2)若
在
上单调递减，求实数
的取值范围；
(3)证明：
，
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，根据余弦函数图象与性质求出单调区间，即可求解最大值；
（2）求出导函数，结合
，按照
和
分类讨论，分别研究函数的单调性，
利用单调性求得
的范围；
（3）先证明左边，由（1）知，当
时，
在
上单调递增，可得
．利用累加可得，再证明右边，由（2）知，当
时，
在
上单调递减，得
，令
，
，
，
，
，
，累加得证.
【详解】（1）
，
当
时，
，
．
当
时，
，当
时等号成立，
当
时，
，
，
单调递增，
当
时，
，
，
单调递减．
所以
．
（2）
，
，
，当
时等号成立，
当
时，
，
恒成立，
在
上单调递减，
符合题意；
当
时，
，要使
为单调函数，
则只需
，即
恒成立，所以
，解得
，所以
．
综上，实数
的取值范围为
．
（3）证明：先证明左边，
由（1）知，当
时，
在
上单调递增，
所以当
时，
，即
．
又因为
，
所以
，
，
，
，
累加得
，
．
再证明右边，
由（2）知，当
时，
在
上单调递减，
所以当
时，
，得
，
令
，
累加得
，
所以
．
所以
，
．
综上所述，
，
．
11．已知函数
，
，
是
的
两个极值点，且
.
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的单调递增区间；
(3)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【分析】（1）由辅助角公式和周期公式即可求解；
（2）由正弦函数的单调性通过整体代换即可求解；
（3）求得
在
上的值域，再由
在
上恒成立，构造不
等求解即可.
【详解】（1）
，
由
，
是
的两个极值点，且
得
的最小正周期
，
所以
，解得
，
所以
.
（2）当
时，
，
而
在
单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
由
解得
，
由
解得
，
所以
在
上的单调增区间为
，
；
（3）因为
，所以
，
故
，所以
，
因为
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
所以
，解得
.
所以满足题意的实数
的取值范围为
.
12．已知函数
，将函数
的图象向右平移
个单位长度，再向
上平移
个单位长度，得到函数
的图象.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)当
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调
性计算即可得；
（2）由平移的性质可得
解析式，结合
范围可得
值域，再解出绝对值不等式即
可得.
【详解】（1）
，
令
，
解得
，
故函数
的单调递增区间为
；
（2）由题意可得
，
当
时，
，则
，
由
，则
，
故
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
13．已知函数
.
(1)当
时，求
的值域；
(2)若
的最小正周期为
，求
的值；
(3)若
，讨论
在
上的单调性.
【答案】(1)
(2)
(3)
在
递增，
递减
【分析】
令
，换元以后结合单调性即可求解;
由周期函数的定义得
，化简求得
;
利用复合函数同增异减即可求解.
【详解】（1）令
，则
，
，
在
递增，故
，所以
的值域为
.
（2）因为
的最小正周期为
，所以
，
故
，
即
，
故对于任意实数
，总有：
，
故
对任意实数
恒成立，
所以
,
化简得
，
解得
.
（3）令
，
，
，
又
，
，
在
递增.
而
在
递增，
递减，故
在
递增，在
递减.
14．已知函数
.
(1)求
的最大值；
(2)将
图象的横坐标缩短到原来的
，并向右平移
个单位长度后得到函数
的图
象，求
在区间
上的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简得
，然后根
据正弦函数的性质求解最值即可；
（2）先利用平移公式求函数
的解析式，再利用整体思想，根据正弦函数的单调性求
解函数在指定区间上的单调性.
【详解】（1）
，
因为
，所以
，
所以当
即
时，
；
（2）将
横坐标缩短到原来的
，再向右平移
个单位长度后，
可得
.
令
，解得
，
又
，所以
时，
的单调递增区间为
.
