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专题01 三角函数的图像与性质
1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的
取值范围是________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
2、（2023年新高考天津卷）已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式
可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
3、（新2023年课标全国Ⅱ卷）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线 的两
个交点，若 ，则 ______．
【答案】
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．故答案为： ．
4、（2023年全国乙卷数学（文）（理））已知函数 在区间 单调递增，直线
和 为函数 的图像的两条对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
5、（2023年全国甲卷数学（文）（理））．已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，
则 与 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
π π
6、【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin ( ωx+ ) (ω>0)的图像向左平移
个单位长度后得到曲线
3 2
C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
[ ( π) π] ωπ π
【解析】由题意知：曲线C为y=sin ω x+ + =sin(ωx+ + )，又C关于y轴对称，则
2 3 2 3
ωπ π π
+ = +kπ,k∈Z，
2 3 2
1 1
解得ω= +2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为 .
3 3
故选：C.π
7、【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin ( ωx+ ) 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取
3
值范围是（ ）
[5 13) [5 19) (13 8] (13 19]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 6 3 6 6
【答案】C
π (π π)
【解析】：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π)，所以ωx+ ∈ ,ωπ+ ，
3 3 3
(π )
要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈ ,3π 的图象如下所示：
3
5π π 13 8 (13 8]
则 <ωπ+ ≤3π，解得 <ω≤ ，即ω∈ , ．
2 3 6 3 6 3
故选：C．
8、【2022年全国乙卷】函数f (x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为
（ ）
π π 3π π π π 3π π
A．− ， B．− ， C．− ， +2 D．− ， +2
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】D
【解析】f'(x)=−sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，
π 3π
所以f (x)在区间 ( 0, ) 和 ( ,2π) 上f'(x)>0，即f (x)单调递增；
2 2
π 3π
在区间 ( , ) 上f'(x)<0，即f (x)单调递减，
2 2
π π 3π 3π 3π
又f (0)=f (2π)=2，f ( )= +2，f ( )=− ( +1 )+1=− ，
2 2 2 2 2
3π π
所以f (x)在区间[0,2π]上的最小值为− ，最大值为 +2.
2 2故选：D
π 2π
9、【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+ )+b(ω>0)的最小正周期为T．若 0)，下列说法中正确的
有（ ）
A．若ω=1，则f(x)在 上是单调增函数
B．若 ，则正整数ω的最小值为2
C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度，所得到的图象关于原点对称
D．若f(x)在 上有且仅有3个零点，则
【答案】BD
【解析】依题意， ，对于A， ， ，当 时，有 ，因 在 上不单调，
所以 在 上不单调，A不正确；
对于B，因 ，则 是函数 图象的一条对称轴， ，
整理得 ，而 ，即有 ， ，B正确；
对于C， ， ，依题意，函数 ，
这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C不正确；
对于D，当 时， ，依题意， ，解得 ，D正确.
故选：BD
4-4、（2022·天津五十七中模拟预测）（多选）已知函数 的图象向左平移 个单位长度后得
到函数 的图象，关于函数 ，下列选项不正确的是（ ）．
A．最小正周期为 B．
C． 是偶函数 D．当 时 取得最大值
【答案】CD
【解析】 正确, 错误
的最小正周期 正确
当 时, ,解得
所以当 时, 取得最大值, 错误故选 ：CD1、（2022·湖北江岸·高三期末）下列四个函数中，以 为最小正周期，其在 上单调递减的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的最小正周期为 ，在 上单调递减，符合题意，故A正确；
不是周期函数，故B错误；
中， ，则 ，故 中在 时不是单调函数，故C错误；
，则 ，故 中在 时不是单调函数，故D错误，
故选：A.
2、（2022·湖南常德·高三期末）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图
所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若 ，则函数f(x)的值域为
B．点 是函数f（x）图象的一个对称中心C．函数f（x）在区间 上是增函数
D．函数f（x）的图象可以由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
【答案】A
【解析】由题图及五点作图法得 ， ， ，
则 ， ，故 .
由 ，得 ，
故 ，函数f(x)在区间 上不是增函数，故A正确，C错误；
∵当 时， ，
所以点 不是函数f(x)图象的一个对称中心，故B错误；
由 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到
的图象，故D错误.
故选：A．
3、（2023·云南玉溪·统考一模）已知奇函数 图像的相邻两个对称中心
间的距离为2π，将 的图像向右平移 个单位得函数 的图像，则 的图像（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【答案】B
【分析】先根据条件求出 ， ，进而结合三角函数的对称中心及对称轴
辨析即可.
【详解】相邻两对称中心的距离为 ，则 ， ．
已知 为奇函数，根据 可知 ，
则 ， ．
令 ， ，故A错误，B正确；
令 ， ，故C、D错误．
故选：B．
4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数 ， 既有最
小值也有最大值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 或 ，计算得到答案.
【详解】 ， 则
函数有最小值也有最大值
则 或
故选： .
5、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）记函数 的最小正周期为T．若，且点 和直线 分别是 图像的对称中心和对称轴，则T＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出对称中心和对称轴之间的距离关系，根据周期的取值范围即可确定周期的值
【详解】解：由题意
在 中，
设对称点和与对称轴在 轴上的交点间的距离为
对称中心：
对称轴：
由几何知识得，
解得： （ 为属于 的参数）
∵ ，且点 和直线 分别是 图像的对称中心和对称轴
∴
解得：
∵
∴ ,
故选：A.
6、（2023·江苏南京·校考一模）已知函数 ， 图像上每一点的横坐标缩短到原来的 ，
得到 的图像， 的部分图像如图所示，若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量数量积的定义可得 ，从而可得 ，进而得出 ，即
，求出 .
【详解】根据
，
可得 ，故 ，
所以 ，故 的周期为24，所以 ， ，
故选：A
7、（2023·山西临汾·统考一模）（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的有
（ ）
A． 的图象关于点 中心对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减D．将 的图象向左平移 个单位，可以得到 的图象
【答案】AC
【分析】用余弦函数的图像与性质，采用整体代入的思想对选项逐一判断即可.
【详解】由 可知， 解得 ，所以函数的对称中心为 ，
故A选项正确；
令 解得 ，所以函数的对称轴为 ， ，故B选项错误；
令 ，解得 ，所以函数的单调递减区间为 ，
故C选项正确；
将 的图象向左平移 个单位得 ，故D选项错误；
故选：AC.
8（2023·安徽安庆·校考一模）（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若将 图象向右平移 个单位，所得图象与原图象重合，则 的最小值为8
B．若 ，则 的最小值为12
C．若 在 内单调递减，则 的取值范围为
D．若 在 内无零点，则 的取值范围为
【答案】AC
【分析】由题意可得 ，求出 ， 可判断A；将 与 代入解析式，可得或 ， ，可判断B；由题意可得 ，根据正弦函数的单调递减
区间可判断C；由题意可得 ，解不等式可判断D.
【详解】对于A，显然 为周期的整数倍所以 ，
即 ， ，所以 的最小值为8，故A正确.
对于B，由 得 ，
所以 ， 或 ， ，
所以 或 ， ，又 ，所以 最小值为1，故B错误.
对于C，显然 ，所以有
即 ， 当 时符合题意，
因此 的取值范围为 ，故C正确.
对于D，由 得 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围为 ，故D错误.
故选：AC.
