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专题01 三角函数的图像与性质
1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的
取值范围是________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
2、（2023年新高考天津卷）已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式
可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
3、（新2023年课标全国Ⅱ卷）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线 的两
个交点，若 ，则 ______．
【答案】
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．故答案为： ．
4、（2023年全国乙卷数学（文）（理））已知函数 在区间 单调递增，直线
和 为函数 的图像的两条对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
5、（2023年全国甲卷数学（文）（理））．已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，
则 与 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
π π
6、【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin ( ωx+ ) (ω>0)的图像向左平移
个单位长度后得到曲线
3 2
C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
[ ( π) π] ωπ π
【解析】由题意知：曲线C为y=sin ω x+ + =sin(ωx+ + )，又C关于y轴对称，则
2 3 2 3
ωπ π π
+ = +kπ,k∈Z，
2 3 2
1 1
解得ω= +2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为 .
3 3
故选：C.π
7、【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin ( ωx+ ) 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取
3
值范围是（ ）
[5 13) [5 19) (13 8] (13 19]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 6 3 6 6
【答案】C
π (π π)
【解析】：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π)，所以ωx+ ∈ ,ωπ+ ，
3 3 3
(π )
要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈ ,3π 的图象如下所示：
3
5π π 13 8 (13 8]
则 <ωπ+ ≤3π，解得 <ω≤ ，即ω∈ , ．
2 3 6 3 6 3
故选：C．
8、【2022年全国乙卷】函数f (x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为
（ ）
π π 3π π π π 3π π
A．− ， B．− ， C．− ， +2 D．− ， +2
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】D
【解析】f'(x)=−sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，
π 3π
所以f (x)在区间 ( 0, ) 和 ( ,2π) 上f'(x)>0，即f (x)单调递增；
2 2
π 3π
在区间 ( , ) 上f'(x)<0，即f (x)单调递减，
2 2
π π 3π 3π 3π
又f (0)=f (2π)=2，f ( )= +2，f ( )=− ( +1 )+1=− ，
2 2 2 2 2
3π π
所以f (x)在区间[0,2π]上的最小值为− ，最大值为 +2.
2 2故选：D
π 2π
9、【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+ )+b(ω>0)的最小正周期为T．若 <T<π，且
4 3
3π π
y=f(x)的图象关于点( ,2)中心对称，则f( )=（ ）
2 2
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
【答案】A
2π 2π 2π
【解析】由函数的最小正周期T满足 <T<π，得 < <π，解得2<ω<3，
3 3 ω
3π 3π π
又因为函数图象关于点( ,2)对称，所以 ω+ =kπ,k∈Z，且b=2，
2 2 4
1 2 5 5 π
所以ω=− + k,k∈Z，所以ω= ，f(x)=sin( x+ )+2，
6 3 2 2 4
π 5 π
所以f( )=sin( π+ )+2=1.
2 4 4
故选：A
题组一、三角函数图像的变换
1-1、（2023·安徽合肥·统考一模）将函数 图像上各点横坐标缩短到原来的 ，再向
左平移 个单位得到曲线C．若曲线C的图像关于 轴对称，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据图像变化得到曲线C为： ，由图像关于 轴对称得，进而可求得答案.
【详解】由题意得变化后的曲线C为： ，
曲线C的图像关于 轴对称，故 ，又 ，
即当 ，
故选：B.
1-2、（2023·云南红河·统考一模）已知函数 ．若 为偶函数．
的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列．将函数 图象上每一点的横坐标缩
短为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位后得到函数 的图象，则
（ ）
A．0 B．－2 C．1 D．－1
【答案】A
【分析】根据题意得到函数的周期和对称轴，然后再利用三角函数图像的变换即可求解.
【详解】由 的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，可以得到函数 的周期
， ；
由 为偶函数，可得 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，因为 ，
所以 ， ，则 ，
将函数 图象上每一点的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，再向左平移 个单位得到函数 ，
所以 .
故选：A．
1-3、（2022·山东莱西·高三期末）要得到 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
【答案】C
【解析】：因为函数 ，
所以要得到 的图象，只需将 的图象向右平行移动 个单位长度，
故选：C.
1-4、（2023·河北唐山·统考三模）（多选）为了得到函数 的图象，只需把余弦曲线
上所有的点（ ）
A．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
C．向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
D．向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
【答案】BC
【详解】函数 的图象向右平移 个长度单位，得 ，
再将横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，得 ；函数 图象将横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，得 ，
再向右平移 个长度单位，得 ，即 .
故选：BC
题组二、三角函数的解析式及性质
2-1、（2022·江苏海安·高三期末）函数 的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，点 是函数 的图象对称中心，且 在函数 的一个单调增区间
内，
则 ，即 ， ，
令函数 周期为 ，由图象知 ，即有 ，而 ，则有 ，
因此， ，解得 ，而 ，则 ， ， ，
由 得函数 图象的对称轴： ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，即选项A，B，D不满足，选项C满足.
故选：C
2-2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移 个单位长度得到函数g（x）的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据函数图象得到 ，再根据平移变换求解即可.
【详解】由图知： ，则 ，
，所以 ，则 ，即 .
因为 ，所以 ， ，
即 ， .
因为 ，得 ，所以 .
所以
.
故选：C.2-3、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）函数 （ ， ）的部分图
象如图所示，为了得到 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 的解析式，再利用函数 的图象
变换规律，得出结论．
【详解】解：根据函数 （其中 ， 的图象，
可得 ， ，
再根据五点法作图，可得 ， ， ．
故把 图象向右平移 个单位长度，可得到 的图
象，
故选：D．
2-4、（2023·江苏南通·统考一模）（多选）函数 的部分图象如图所示，则
（ ）A．
B．
C． 的图象关于点 对称
D． 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的图象，先求得 ，然后求得 ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】 ， ，由于
，
所以 ，所以A选项正确，B选项错误.
，
当 时，得 ，所以 关于 对称，C选项正确，
，
当 时，得 在 上递增，则 在区间 上单调递增，所以D选项正确.
故选：ACD.
2-5、（2023·安徽马鞍山·统考三模）（多选）已知函数 （ ），若函数的部分图象如图所示，则关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C． 在区间 上的单调递增区间为
D． 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
【答案】ABC
【详解】根据函数 图象可得： ，∴ ， ，
又 ，故 ，所以 .
A：由 ，得 的一条对称轴为 ，故A正确；
B：当 时， ，∴函数 图象关于 对称，故B正确；
C：由 ，得 ，
当 时， ，
所以函数 在 上的单调递增区间为 ，故C正确；
D：由 ，
得 ，故D错误．
故选：ABC.
题组三、三角函数的性质3-1、（2023·安徽合肥·统考一模）将函数 图像上各点横坐标缩短到原来的 ，再向
左平移 个单位得到曲线C．若曲线C的图像关于 轴对称，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据图像变化得到曲线C为： ，由图像关于 轴对称得
，进而可求得答案.
【详解】由题意得变化后的曲线C为： ，
曲线C的图像关于 轴对称，故 ，又 ，
即当 ，
故选：B.
3-2、（2023·云南玉溪·统考一模）已知奇函数 图像的相邻两个对称中
心间的距离为2π，将 的图像向右平移 个单位得函数 的图像，则 的图像（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【答案】B
【分析】先根据条件求出 ， ，进而结合三角函数的对称中心及对称轴
辨析即可.【详解】相邻两对称中心的距离为 ，则 ， ．
已知 为奇函数，根据 可知 ，
则 ， ．
令 ， ，故A错误，B正确；
令 ， ，故C、D错误．
故选：B．
3-3、（2023·湖南邵阳·统考三模）（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在 上单调递增
C． 的图象关于直线 对称 D．若 ，则 的最小值为
【答案】BC
【详解】对于A，由函数 ，则 ，故A错误；
对于B，由 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
故B正确；
对于C，由 ，则 ，因为函数 的对称轴为直线 ，故C正确；
对于D，由 ，则 ，令 ，解得 ，
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故D错误.
故选：BC.3-4、（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选题）已知函数 ，下列说法正确的有
（ ）
A． 在 上单调递增
B．若 ，则
C．函数 的图象可以由 向右平移 个单位得到
D．若函数 在 上恰有两个极大值点，则
【答案】BD
【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.
【详解】令 ，则 ，即 的单调增区间为 ，则 在 不单调，
故选项 错误；
令 ，则 或 ，即 或 ，
由 ，则 或 ， ，即 或 ，故选项 正确；
向右平移 个单位变为 故选项 错误；
对于 ， ，
在 上恰有两个极大值点，即 ，
即 ，故选项 正确.
故选： .
题组四、三角函数的性质的综合运用
4-1、（2022·江苏如东·高三期末）正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因为这种信号的波形是数学
上的正弦函数而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典
型信号或测试信号获得广泛应用.已知某个信号的波形可以表示为f(x)＝sinx＋sin2x＋sin3x.则（ ）A．f(x)的最大值为3 B．π是f(x)的一个周期
C．f(x)的图像关于(π，0)对称 D．f(x)在区间 上单调递增
【答案】C
【解析】 取最大值1时， ， ， 取最大值1时， ，
取最大值1时， ，三者不可能同时取得，因此 ，A
错；
与 不可能恒相等， 不可能是周
期，B错；
，
所以 的图象关于点 对称，C正确；
函数图象是连续的，
而 ， ，因此 在 上不可
能递增，D错误．
故选：C．
4-2、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）（多选题）已知函数 在 上恰
有三个零点，则（ ）
A． 的最大值为
B． 在 上只有一个极小值点
C． 在 上恰有两个极大值点
D． 在 上单调递增
【答案】BD
【详解】A项，当 时， ，由函数 恰有三个零点，
可得 ，解得 ，所以 无最大值，因此A错误；
B选项：由A选项知， ，则当 ，即 时，函数 取得极小值，
即 在 上只有一个极小值点，因此B正确；
C选项：当 ，即 时，此时 ，函数 取得极大值，
当 ，即 时，函数 取得极大值，
但是 不一定在 内，因此C错误；
D选项：当 时， ，
因为 ，所以 ，
即 ，而 在 上单调递增，
因此 在 上单调递增，因此D正确，
故选：BD．
4-3、（2022·江苏扬州·高三期末）（多选题）已知函数 (ω>0)，下列说法中正确的
有（ ）
A．若ω=1，则f(x)在 上是单调增函数
B．若 ，则正整数ω的最小值为2
C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度，所得到的图象关于原点对称
D．若f(x)在 上有且仅有3个零点，则
【答案】BD
【解析】依题意， ，对于A， ， ，当 时，有 ，因 在 上不单调，
所以 在 上不单调，A不正确；
对于B，因 ，则 是函数 图象的一条对称轴， ，
整理得 ，而 ，即有 ， ，B正确；
对于C， ， ，依题意，函数 ，
这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C不正确；
对于D，当 时， ，依题意， ，解得 ，D正确.
故选：BD
4-4、（2022·天津五十七中模拟预测）（多选）已知函数 的图象向左平移 个单位长度后得
到函数 的图象，关于函数 ，下列选项不正确的是（ ）．
A．最小正周期为 B．
C． 是偶函数 D．当 时 取得最大值
【答案】CD
【解析】 正确, 错误
的最小正周期 正确
当 时, ,解得
所以当 时, 取得最大值, 错误故选 ：CD1、（2022·湖北江岸·高三期末）下列四个函数中，以 为最小正周期，其在 上单调递减的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的最小正周期为 ，在 上单调递减，符合题意，故A正确；
不是周期函数，故B错误；
中， ，则 ，故 中在 时不是单调函数，故C错误；
，则 ，故 中在 时不是单调函数，故D错误，
故选：A.
2、（2022·湖南常德·高三期末）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图
所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若 ，则函数f(x)的值域为
B．点 是函数f（x）图象的一个对称中心C．函数f（x）在区间 上是增函数
D．函数f（x）的图象可以由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
【答案】A
【解析】由题图及五点作图法得 ， ， ，
则 ， ，故 .
由 ，得 ，
故 ，函数f(x)在区间 上不是增函数，故A正确，C错误；
∵当 时， ，
所以点 不是函数f(x)图象的一个对称中心，故B错误；
由 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到
的图象，故D错误.
故选：A．
3、（2023·云南玉溪·统考一模）已知奇函数 图像的相邻两个对称中心
间的距离为2π，将 的图像向右平移 个单位得函数 的图像，则 的图像（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【答案】B
【分析】先根据条件求出 ， ，进而结合三角函数的对称中心及对称轴
辨析即可.
【详解】相邻两对称中心的距离为 ，则 ， ．
已知 为奇函数，根据 可知 ，
则 ， ．
令 ， ，故A错误，B正确；
令 ， ，故C、D错误．
故选：B．
4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数 ， 既有最
小值也有最大值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 或 ，计算得到答案.
【详解】 ， 则
函数有最小值也有最大值
则 或
故选： .
5、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）记函数 的最小正周期为T．若，且点 和直线 分别是 图像的对称中心和对称轴，则T＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出对称中心和对称轴之间的距离关系，根据周期的取值范围即可确定周期的值
【详解】解：由题意
在 中，
设对称点和与对称轴在 轴上的交点间的距离为
对称中心：
对称轴：
由几何知识得，
解得： （ 为属于 的参数）
∵ ，且点 和直线 分别是 图像的对称中心和对称轴
∴
解得：
∵
∴ ,
故选：A.
6、（2023·江苏南京·校考一模）已知函数 ， 图像上每一点的横坐标缩短到原来的 ，
得到 的图像， 的部分图像如图所示，若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量数量积的定义可得 ，从而可得 ，进而得出 ，即
，求出 .
【详解】根据
，
可得 ，故 ，
所以 ，故 的周期为24，所以 ， ，
故选：A
7、（2023·山西临汾·统考一模）（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的有
（ ）
A． 的图象关于点 中心对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减D．将 的图象向左平移 个单位，可以得到 的图象
【答案】AC
【分析】用余弦函数的图像与性质，采用整体代入的思想对选项逐一判断即可.
【详解】由 可知， 解得 ，所以函数的对称中心为 ，
故A选项正确；
令 解得 ，所以函数的对称轴为 ， ，故B选项错误；
令 ，解得 ，所以函数的单调递减区间为 ，
故C选项正确；
将 的图象向左平移 个单位得 ，故D选项错误；
故选：AC.
8（2023·安徽安庆·校考一模）（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若将 图象向右平移 个单位，所得图象与原图象重合，则 的最小值为8
B．若 ，则 的最小值为12
C．若 在 内单调递减，则 的取值范围为
D．若 在 内无零点，则 的取值范围为
【答案】AC
【分析】由题意可得 ，求出 ， 可判断A；将 与 代入解析式，可得或 ， ，可判断B；由题意可得 ，根据正弦函数的单调递减
区间可判断C；由题意可得 ，解不等式可判断D.
【详解】对于A，显然 为周期的整数倍所以 ，
即 ， ，所以 的最小值为8，故A正确.
对于B，由 得 ，
所以 ， 或 ， ，
所以 或 ， ，又 ，所以 最小值为1，故B错误.
对于C，显然 ，所以有
即 ， 当 时符合题意，
因此 的取值范围为 ，故C正确.
对于D，由 得 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围为 ，故D错误.
故选：AC.
