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三角函数的图像与性质
目录
题型一：三角函数图像的变换....................................................................................................1
题型二：三角函数的图像与解析式...........................................................................................2
题型三：三角函数的性质............................................................................................................5
题型四：含三角的一般函数性质研究.......................................................................................6
题型五：
的取值与范围问题....................................................................................................7
题型六：三角函数与零点有关问题...........................................................................................8
题型七：含绝对值的三角函数性质...........................................................................................9
专练：三角函数多选题..............................................................................................................10
专练：三角函数解答题..............................................................................................................16
题型一：三角函数图像的变换
1．要得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）
A．向右平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向左平移
个单位
2．将函数
的图象向左平移
个单位长度后，得到的图象关于
轴对称，
则
的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．将函数
的图像向左平移
个单位，所得图像关于原点对称，
则
最小时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移1 个单位长
度，得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
图象关于
对称
B．函数
图象在
内有3 个极值点
C．函数
在
上单调递增
D．函数
图象关于
中心对称
5．将函数
的图象向左平移
个单位长度后，再把图象上所有点的横
坐标缩短为原来的
倍后得到函数
的图象，则
的一个单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
的图象向左平移
个单位后与原来图象重合，
当
，且
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
7．已知函数
，将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，
若
，总存在唯一实数
，使得
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：三角函数的图像与解析式
1．已知函数
（其中
）的导函数
的部分图
象如图所示，若函数
在区间
上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
（
，
，
），若函数
的图象向左平
移
个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法：
①
是函数
的一条对称轴；
②函数
在区间
的值域为
；
③不等式
的解集为
（
）；
④若
在
有两个极值点，则
，
其中正确的有 .（填序号）
3．如图是函数
的图象，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）已知函数
的部分图象如图，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上的最小值为
C．
是
图象的一个对称中心
D．将
的图象向左平移
个单位长度后，得到的图象关于
轴对称
5．（多选题）已知函数
的部分图象如图所示，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．满足
的
的取值范围为
C．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来
，得到的图象关于
对称
D．函数
与
的图象关于直线
对称
6．（多选题）函数
的部分图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
是函数的对称轴
D．
是函数的对称中心
7．（多选题）已知
的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：三角函数的性质
1．已知点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，
，若对于任意的
，总存在
，使得
，则实数
的取值范围是 ．
4．若函数
在区间
上有且仅有3 个零点，则
的最小值为
．
5．若
是函数
的两个零点，则
的最大值为 ，
的最小值为 ．
6．若函数
（
），在
上单调递减，则a 的最小值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
题型四：含三角的一般函数性质研究
1．函数
的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知实数
，若关于
的方程
在
上恰有两个不同的实
数根，则实数
的取值集合是 ．
4．已知正实数
满足对任意的实数
均有
，则
的最大值为
．
5．若存在实数a，对任意的
，都有
恒成立，则实数m 的
最大值为 .
题型五：的取值与范围问题
1．将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，得到函数
的图象，若
在
上只有一个极大值点，则
的取值为（ ）
A．1
B．
C．
或
D．1 或
2．将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象关于
对称，
则ω 的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．已知函数
在区间
内有极大值，但无极小值，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
（
），
，
有
，
，且
在
上单调，则
的最大值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
6．已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是
.
7．（多选题）已知函数
，则下列命题正确的有
（ ）
A．若
是曲线
的一条对称轴，则
的最小值为
B．若
在
上有且只有一个最小值点，则
的取值范围是
C．将
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，若
为偶函数，则
的最小值为
D．若
在
上恰有4 个零点，则
的范围为
题型六：三角函数与零点有关问题
1．将
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，则函数
的零点的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．函数
，若
恰有6 个不同实数解，
则正实数
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的图象由函数
的图象向右平移
个单位长度得到；当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
.
4．已知函数
最小正周期为
，当
时，
则函数
的零点个数为 ．
题型七：含绝对值的三角函数性质
1．已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
的图象关于
对称
D．
的图象关于
对称
2．已知函数①
，②
，③
，④
，⑤
，则下
列选项中同时满足（1）是偶函数，（2）最小正周期是
，（3）对称轴相同这三个条件的
是（ ）
A．①②⑤
B．①③④
C．②③⑤
D．③④⑤
3．（多选题）函数
的部分图象如图所示，则
下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
4．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的值域为
B．
的最小正周期为π
C．
在区间
上单调递增
D．
在
上有2 个零点
5．（多选题）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
的周期为
B．
在区间
上是增函数
C．若
，则
D．函数
在区间
上有且仅有2 个零点
6．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的最小正周期为
C．
的最小值为
D．
在
上有四个不同的实数解
7．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于
轴对称
B．
的最小正周期为
C．
在区间
上单调递减
D．
的值域为
8．（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
关于直线
对称
C．
的值域为
D．
在区间
上恰有7 个不同的实数根
专练：三角函数多选题
1．已知函数
过点
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．将
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数
2．已知函数
，且满足
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
，
C．
在区间
上有且仅有
个零点
D．将
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则
3．函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点
是函数
图象的一个对称中心
C．
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到
的图象
D．函数
的图象向左平移
个单位长度，得到的图象关于
轴对称
4．将函数
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，
若
的图象关于点
对称，则
可取的值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
5．已知函数
的部分图象如图所示，则下列
说法正确的是（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上为增函数
D．把
的图象向右平移
个单位长度，得到一个奇函数的图象
6．已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到的函数图象关于
轴对称
C．函数
的单调递增区间为
D．若函数
在
上不单调，则
的取值范围为
7．函数
的部分图象如图所示，
，
是
的2 个零点，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的最小值为
C．当
取最小值时，
的最大值为
D．若
在区间
上至少有10 个零点，则
的最小值为
8．已知函数
的部分图像如图1 所示，A，B 分别为图
像的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于
，点C 为该部分图像与x 轴的交点.
将绘有该图像的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2 所示，此时
.下列结论正确的有
（ ）
A．
B．
的单调递增区间为
C．图2 中，
D．图2 中，过线段
的中点且与
垂直的平面与x 轴交于点C
9．已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为2
B．
在
上单调递增
C．
在
上有3 个零点
D．把
的图象向左平移
个单位长度，得到的图象关于y 轴对称
10．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数
的最小正周期为
，则
B．若
，则函数
在
上的最小值为
C．若函数
在
上单调递增，则
D．若函数
在
上恰有两个零点，则
11．函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．若函数
在
上单调递增，则
C．若函数
在
内有2 个极值点，则
D．如图所示，若
，则点
的纵坐标为
12．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
上的最大值为
C．
和
图象关于
对称
D．
在
的零点有且只有一个
13．把函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
的定义域为
B．
的最小正周期为
C．
的值域为
D．
的图象关于直线
对称
14．已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的值域为
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．函数
在区间
上有且仅有5 个零点
15．已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调
D．
的最大值是
16．设函数
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上的最小值为
D．
的图象关于点
对称
17．已知函数
的部分图象如图，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．
在
上单调递增
C．若
，则
的最小值为
D．若
，函数
在
上有2 个零点，则
18．（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
在
上单调递增
B．若
，且
的最小值为
，则函数
的最小正周期为
C．若
的图象向右平移
个单位长度后，得到的图象关于
轴对称，则
的最小
值为1
D．若
在
上恰有2 个零点，则
的取值范围为
专练：三角函数解答题
1．已知函数
的最小正周期为
．
(1)求
及
；
(2)若
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，求
在区间
上
的值域．
2．已知函数
的最小正周期为
.
(1)若
，
，求
的值；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位，再向上平移2 个单位，得到的图象对应函数记
为
，求函数
在
上的值域.
3．已知函数
，设锐角
的内角A，B，C 所对的边分
别为a，b，c，且
．
(1)若
，
，求b，c 的值；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，求
的取值
范围．
4．已知
，
．
(1)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来
的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
的解析式；
(2)若
，求
．
5．已知
(1)求
图象的对称轴方程；
(2)求
的最大值及取最大值时x 的集合；
(3)求
在
上的单调递增区间.
6．已知函数
.
(1)求
的最小正周期及单调增区间；
(2)若函数
的图象与直线
相交的连续的三个点从左到右依次记为
，若
，求正数的值.
7．已知函数
.
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)当
时，求函数
的最值（最大值与最小值）及相应
的值.
8．设函数
(1)已知
，函数
是偶函数，求
的值.
(2)已知
，函数
在区间
内没有零点，求
取值范围.
(3)求函数
，
的值域.
9．已知函数
．
(1)求
在
上的值域，
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
10．函数
．
(1)当
时，求
在
上的最大值；
(2)若
在
上单调递减，求实数
的取值范围；
(3)证明：
，
．
11．已知函数
，
，
是
的
两个极值点，且
.
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的单调递增区间；
(3)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
12．已知函数
，将函数
的图象向右平移
个单位长度，再向
上平移
个单位长度，得到函数
的图象.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)当
恒成立，求实数
的取值范围.
13．已知函数
.
(1)当
时，求
的值域；
(2)若
的最小正周期为
，求
的值；
(3)若
，讨论
在
上的单调性.
14．已知函数
.
(1)求
的最大值；
(2)将
图象的横坐标缩短到原来的
，并向右平移
个单位长度后得到函数
的图
象，求
在区间
上的单调递增区间.
