文档文本内容
三角函数与恒等变换单元检测卷
考试时间120 分钟，满分150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的
黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码
区”．
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡
皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的
对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无
效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．
1.
已知
，
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正切公式
【分析】利用正切的二倍角公式可得
，结合角的范围，即可求得答案.
【详解】由题意得
，即得
，解得
，
又
，所以
.
故选：A.
2.
下列四个函数，以
为最小正周期且在区间
上单调递增的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切
（型）函数的周期、求sinx 型三角函数的单调性
【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，因为
的周期为
，
当
时，
，
此时
不单调递增，故A 错误；
对于B，因为
的周期为
，且函数在区间
上单调递增，故B 正确；
对于C，因为
的周期为
，不满足题意，故C 错误；
对于D，作出
的部分图象，如图所示：
由此可得函数
的周期为
，在区间
上单调递减，故D 错误.
故选：B.
3.
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】正、余弦齐次式的计算
【分析】利用弦化切可求出
的值，再将所求代数式化为
，代入即可得出所
求代数式的值.
【详解】因为
，所以
，
可得
.
故选：A.
4.
将函数
的图象平移得到
的图象，且直线
为曲
线
在y 轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】C
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据题意结合函数对称性可得
，解得
，进而图象变换逐项分析
判断即可.
【详解】若
，则
，
因为直线
为曲线
在y 轴右侧的首条对称轴，
则
，解得
，得
，
，
A：将函数
的图象向左平移
个单位，得
，不合题意，
故A 错误；
B：将函数
的图象向右平移
个单位，得
，不合题意，
故B 错误；
C：将函数
的图象向左平移
个单位，得
，符合题意，
故C 正确；
D：将函数
的图象向右平移
个单位，得
，不合题意，
故D 错误；
故选：C.
5.
已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、
给值求值型问题
【分析】先逆用两角和的正弦公式可得
的值，再根据同角三角函数的基本关系可得
的值，最后利用倍角公式即可得解.
【详解】因为
，
又
，
所以
，
所以
．
故选：B.
6.
为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为
.若
初始位置为
，当秒针从
（注此时
）开始走时，点
的纵坐标
与时间的
函数关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用
【分析】根据振幅，初相，周期，即可求解函数的解析式.
【详解】设函数的初相为
，初始位置
可知，
，
，
则
，排除BC，
函数的最小正周期为60 秒，且秒针为顺时针，所以
，
，所以
，
且振幅为1，所以满足条件的解析式为
.
故选：D
7.
已知
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．7
【答案】D
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的
正弦公式化简、求值、给值求值型问题
【分析】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简
，
可得
，结合条件求得
，再利用和差角的正弦公式求
得
，进而求得答案.
【详解】因为
，
所以
，又
，所以
，
又
，
解得
，所以
.
故选：D.
8.
已知函数
（
）在
上单调递增，且在
上有且仅有1
个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】由题意，利用正弦函数的零点和单调性求出
的取值范围
【详解】当
，
，
函数
（
）在
上单调递增，
所以
，所以
当
，
，
且
，
在
上有且仅有1 个零点，
所以
或
，
所以
或
，
综上
的取值范围为
，
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0 分．
9.
以下说法正确的有（ ）
A．
化成弧度为
B．与
的终边相同的角的集合是
C．将表的分针拨慢20 分钟，则分针转过的角的弧度是
D．已知扇形的周长为
，圆心角为
，则该扇形的面积为
【答案】ABD
【知识点】找出终边相同的角、角度化为弧度、扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】根据角的性质和弧度制逐一判断各个选项即可得到结论．
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，所以与
的终边相同的角的集合是
，故
B 正确；
对于C，将表的分针拨慢20 分钟，则分针逆时针旋转，故分针转过的角的弧度是
，故
C 不正确；
对于D，设扇形的弧长
，半径为
，由于扇形的周长为
，圆心角为
，
则
，解得
，则该扇形的面积为
，故D 正确.
故选：ABD.
10. 已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角
的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、二倍角的余弦公式
【分析】根据
，根据二倍角公式及
的范围求
，
，对于A，由
，
结合商的关系求
即可判断，对于B，利用二倍角公式求
，根据平方关系
求
，再由
结合两角和正弦公式求
即可判
断，对于C，由
，结合余弦函数的有界性即可判断，对于D，先求
，再
由
结合两角和正切公式求
即可判断.
【详解】因为
，所以
，
，
又
，所以
，
，故
，
，
对于A 选项，因为
，
，所以
，故A 正确；
对于B 选项，因为
，
，所以
，
因为
，所以
，又
，
所以
，
，
所以
B 错误，
对于C 选项，因为
，
，故
，C 错误，
对于D 选项，因为
，
，所以
，
又
，所以
，故D 正确，
故选：AD.
11.
已知
，则下列命题中正确的是 （ ）
A．当
时，
在
上的值域为
B．当
时，
的图象可由函数
的图象向左平移
个单位长度得
到
C．当
时，
的值域为
D．若存在正偶数
，使得
对任意
恒成立，则
【答案】BCD
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求
图象变化前（后）的解析式、辅助角公式
【分析】当
时，利用辅助角公式合并，可判断AB；对于C：利用立方和公式与完全
平方式化简求值域即可；对于D：令
，先把
当作变量，利用
，求出
，问题转化成
对任意
恒成立，利用恒成立问题的解法可得答案.
【详解】当
时，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，故A 错误；
向左平移
个单位长度得到
，
化简得
，
，
，故B 正确；
当
时，
又
，得
的值域为
，故C 正确；
令
，得
，
因为
，
，且
，
所以
，
存在正偶数
，使得
成立，当
时，
，
所以只需
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
由于
，
所以
，
解得：
，故D 正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 已知
，则
的值为 ．
【答案】
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、
sinα±cosα 和sinα·cosα 的关系
【分析】先根据
与
的关系列式求得
或
，然后再利
用辅助角公式和正弦函数值域得
，即可求解.
【详解】因为
，
且
，
所以
，解得
或
，
又
，所以
.
故答案为：
13. 若
，则
的值为 ．
【答案】3 或不存在
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化
简、求值
【分析】设
，则
，将已知条件
转
化为
，再利用两角和与差的正弦公式展开化简即可求解.
【详解】令
，于是有
，
所以
，
化简上式得
，
当
时，两边同除以
可得
，
所以
的值为3；
当
时，则
，
，
，
此时
无意义，所以
不存在.
故答案为：3 或不存在
14. 已知
是函数
的两个零点，且
，若
将函数
的图象向左平移
个单位后得到的图象关于
轴对称，且函数
在
恰有2 个极值点，则实数
取值范围为 .
【答案】
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、
利用正弦函数的对称性求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数
【分析】根据函数零点的最小距离可得
，再利用平移规则和函数奇偶性可求得
，根据函数
在
内恰有2 个极值点可限定出
，即可解得
实数
的取值范围.
【详解】由
，即
，
可得
或
，
根据正弦函数图象性质可知
，解得
，
则
；
将函数
的图象向左平移
个单位可得
，
又
为偶函数，
则
，又
，可得
，因此
；
当
时，可知
，
若函数
在
内恰有
个极值点，可知
，
解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得
，再由平移后的函数为偶函数求得
，得出函数
的解析式后问题便迎刃而
解.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. 已知
是第二象限角，且
.
(1)求
的值；
(2)先化简，再求值：
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、
求值——诱导公式
【分析】（1）由同角三角函数关系和商数关系计算可得；
（2）由诱导公式化简，再代入计算即可.
【详解】（1）因为
是第二象限角，所以
，
因为
，
所以
.
（2）化简
由（1）知
，
所以，原式
.
16. 已知
，且
.
(1)求
的值；
(2)求角
；
(3)求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差
角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）根据已知条件求出
的值，再根据两角差的余弦公式求出
；
（2）根据已知条件求出
的值，再根据两角和的公式求出
，进一步求出
；
（3）根据二倍角公式求出
和
的值，再根据两角和的正弦公式求出
.
【详解】（1）因为
，
，则
，
所以
.
（2）由(1)可得，
，
，则
，
因为
，所以
，解得
，
又因为
，所以
.
（3）因为
，
，
，
所以
，
，
，
所以
.
17. 已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)求
在
上的单调递增区间；
(3)将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位长度，所得图象经过点
，
求的最小值.
【答案】(1)
(2)
和
.
(3)
.
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx
型三角函数的单调性
【分析】（1）根据最值以及周期即可求解，
（2）利用整体法得到不等式组，解出后，再合理赋值求解即可，
（3）利用函数图像的平移变换，即可结合图像经过
求解.
【详解】（1）由题意知函数
的最大值为2，最小值为－2，故
，
函数
的最小正周期
，又
，所以
，
由
，所以
，
，解得
，
，
又
，得
，
所以
.
（2）令
，
，解得
，
，
因为
，所以令
，得
，又
，所以
；
令
，得
，
又
，所以
，
所以函数
在
上的单调递增区间为
和
.
（3）将函数
图象上所有的点向右平移
个单位长度得到
，
又图象经过点
，所以
，
，
解得
，
，所以
，即的最小值是
.
18. 已知函数
（
）有最大值为2，且
相邻的两条对称轴的距离为
(1)求函数
的解析式，并求其对称轴方程；
(2)将
向右平移
个单位，再将横坐标伸长为原来的
倍，再将纵坐标扩大为原来的
25 倍，再将其向上平移60 个单位，得到
，则可以用函数
模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该
摩天轮有24 个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b 两
个座舱里，且a，b 中间隔了3 个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面
高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．
【答案】(1)
，
，
(2)
，50
【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角函数在生活中的应用、求图象变化前（后）的
解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得
，
再结合最值及周期即可得解析式；
（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为
，
则
，再求最值即可.
【详解】（1）
，所以
，
因为相邻两条对称轴的距离为
，所以半周期为
，
故
，
令
，
（2）
向右平移
得到
，将横坐标伸长为原来的
倍，得到
，
将纵坐标扩大为原来的25 倍，得到
，再将其向上平移60 个单位，得到
游客甲与游客乙中间隔了3 个座舱，则相隔了
，
令
，则
，
则
，
，
，
，故
，
当
或
或20 时，
19. 已知函数
（
）的最小正周期为
.
(1)求
的单调递减区间；
(2)若
，对于任意
，总存在
，使得
成立，求a 的取值范围；
(3)把曲线
向左平移
个单位，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标
不变得到曲线
.设函数
（
），将
在区间
上的
极值点按从小到大的顺序排列成数列
.若
，求实数k 的值.
【答案】(1)
；
(2)
;
(3)
.
【知识点】求sinx 型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函
数的值域和最值、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】（1）利用三角函数的周期性计算参数，结合单调性计算即可；
（2）将问题化为
，结合三角函数的图象与性质及换元法、分类讨论计
算即可；
（3）利用三角函数图象变换先确定
，求得得出
，结合正切函数的
图象与性质，消元得出
，构造函数
研究其对称
性得出
，计算即可得出参数值.
【详解】（1）由题意
，所以
，
令
，
解得
，
即
的单调递减区间为
；
（2）由题意可知
，
由
，则
，所以
，即
，
而
，
令
，即
，
由题
，则
，
若
，则
，显然成立；
若
，则
，显然成立；
若
，则
，所以
，
；
综上所述要满足题意需
，即a 的取值范围为：
.
（3）由题意易知
，所以
，
显然
时
，则令
，
即
，不妨令
，
则
，即
，
设
，最小正周期为
，
显然
，
，
所以
为偶函数，且关于
中心对称，
而
，所以
，
又
，所以
，
即
两式相加有
.
