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第21课 三角函数的两角和与差（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
所以 ，
所以
故选:B.
2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知 ， 为钝角， ，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】首先求出 ，从而求出 ，再根据 利用两角差的正切公式计算可得.
【详解】解：因为 ，所以 ，因为 为钝角，
所以 ，则 ，所以 .
故选：B
3．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以即
故选：C.
4．（2023春·江苏徐州·高三新沂市第三中学校考阶段练习） 中已知
且 ，则 （ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】B
【分析】根据 进行化简整理即可求得 的值.
【详解】由题意得 ，则有
整理得： ，
故选：B
二、多选题
5．（2021·山东泰安·统考模拟预测）将函数 的图像向右平移 个单位长度，
得到函数 的图像，且 的图像关于直线 对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数 在区间 内单调递减D．方程 在区间 上有201个根
【答案】AD
【分析】根据平移得出 ，结合对称轴即可求出 ，判断A；再计算出 可判断B；化简求出
即可判断C；根据 求解即可判断D.
【详解】由题得 ，
由题意知 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，A项正确；
，则 ，B项错误；
，
显然 在区间 内单调递增，C项错误；
由 ，得 ，整理得 ，
则 ， ，又 ，则 ，故方程 在区间 上有201个
根，D项正确．
故选：AD．
6．（2022·高一单元测试）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 是 图象的一条对称轴C． 的最小正周期为
D．将 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【分析】变形得 ，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】 ，A正确；
，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；
，C正确；
将 的图象向左平移 个单位后得
，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.
故选：AC.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ， 是方程 的两不等实根，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】根据题意可得 ， ，再利用两角和的正切公式可判断B，利用基本不
等式可判断C、D
【详解】由 ， 是方程 的两不等实根，
所以 ， ，，
由 ， ， 均为正数，
则 ，当且仅当 取等号，等号不成立
，当且仅当 取等号，
故选：BCD
【点睛】本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于
基础题.
三、填空题
8．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考二模）若 ， ，则 .
【答案】
【分析】先通过 以及 确定 的范围，进而可得 ，再利用两角差的余
弦公式展开 计算即可.
【详解】 ,
，又 ，
若 ，则 ，与 矛盾，
，
，.
故答案为： .
9．（2023·重庆·校联考模拟预测）已知函数 ，则 的最大值为
.
【答案】 /
【分析】设 ，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设 ，则 ，
，
，
∴ 时， ，即 ．
故答案为： ．
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ，
(1)若 ，求角B.
(2)设 ， ，试求 的最大值.
【答案】(1) ；
(2)【分析】(1) 由余弦定理可得角 ，由两角差的正切公式可得 ，进而 ；
(2) 化简 后，将 看成变量，则 为一个开口向下的二次函数，根据 可得 有最
大值 .
(1)
，∴ ，
，
∵ ,∴ ，
又∵
∴ .
(2)
，
∵ ，∴ ， ，
∴当 时， 有最大值 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知 ，
， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知 ，再根据余弦二倍角公式化简、
解方程可得 ,进而可得 ，再根据两角差的正切公式即可求出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
，
，
所以 或 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
二、多选题
2．（2022春·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 在 单调递增
C．函数 在 上的值域为D．把函数 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 的图象
【答案】BC
【分析】先化简整理函数 ，再利用正弦函数的图像与
性质依次判断各选项，从而得到答案.
【详解】函数
对于A，当 时， ，故图像不关于点 对称，故A错误；
对于B，由 得 ，当 时，知函数
在 单调递增，故B正确；
对于C，由 ，知 ，由正弦函数性质知 ， ，
故C正确；
对于D，函数 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 ，故D错误；
故选：BC
【点睛】方法点睛：函数 的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由 求增区间;由 求减区间.三、填空题
3．（2022·高一课时练习）已知 ， 是方程 的两根，则 .
【答案】
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得 ， ，再运用余弦、正弦
和和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.
【详解】解：由已知得 ， ，
.
故答案为： .
四、解答题
4．（2022秋·全国·高一期末）已知 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得 的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得 的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角 的取值范围可求得结果.
【详解】（1）解：因为 ， ，
又 ，所以 ，
所以 .
（2）解：因为 ，
，
又因为 ，所以 ，
由（1）知， ，
所以 ．
因为 ， ，则 ，所以 ．
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件一定能够
使 为等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【分析】利用余弦定理和题给条件即可得到 为等腰三角形，进而肯定选项A；利用余弦定理两角差
的正弦公式和题给条件即可得到 为等腰三角形或直角三角形，进而否定选项B；利用两角和与差的
余弦公式及题给条件即可得到 为等腰三角形，进而肯定选项C；利用正弦定理均值定理和题给条件
即可得到 为等腰三角形，进而肯定选项D.
【详解】选项A：由 ，可得
整理得 ，则 ，则 为等腰三角形.判断正确；
选项B：由
可得
则
整理得 ，即 或
则 为等腰三角形或直角三角形.判断错误；
选项C：由 ，可得
则 ，则
又 ，则 ，则 为等腰三角形.判断正确；
选项D：由 ，可得 ，
由 （当且仅当 时等号成立），可得
则 ，又 ，则 ，则 .判断正确.
故选：ACD
二、填空题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 为奇函数，若对任意 ，存在，满足 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求得 ，再根据题意推得 的关系式，结合 的范围，即可求得答案.
【详解】因为 为奇函数，
故 ，
即 ，由于 ,故 ，则 ，
由于 ，故 ，所以 ，
由 ，可得 ，
即
或 ，
对任意 ，存在 ，满足 ，
故 ，则 , ， ，k取负值，
则只能 ，此时 ，
或 ，则 ，则 ,
综合可得 或 ，
即实数 的取值范围是 ，
故答案为：
