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第07 讲 三角函数的性质
考向一 周期
【例1-1】（2026 云南）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2025 湖北）下列函数，最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（25-26 四川）若函数
的最小正周期为
，则
等于（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【一隅三反】
1．（25-26 高三上·广东）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 天津）下列函数中，周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 河北）在函数①
，②
，③
，④
中，最小正周
期为
的所有函数的序号为（ ）
A．①②④
B．①②③
C．②④
D．③④
考向二 对称性
【例2-1】（25-26 浙江杭州）已知函数
，则（ ）
A．直线
是函数
图象的对称轴 B．直线
是函数
图象的对称轴
C．点
是函数
图象的对称中心 D．点
是函数
图象的对称中心
【例2-2】（2026·新疆·模拟预测）若点
是函数
的图象的一个对称中心，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】（25-26 高三上·湖南·月考）函数
的图象关于直线
对称，
则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【一隅三反】
1．（25-26 海南）函数
的对称轴方程为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（25-26 高三上·河北邯郸·月考）函数
的图象的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·辽宁大连·一模）函数
图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 山东）已知点
是函数
的图象的一个对称中心，则a 的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
考向三 单调性
【例3-1】（25-26 广东茂名）函数
在（ ）
A．
上单调递增
B．
上单调递减
C．
上单调递减
D．
上单调递增
【例3-2】（25-26 江苏常州）在下列区间中是函数
的一个递增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（25-26 广州）函数
在下列区间上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-4】（25-26 天津·月考）已知函数
在
上单调递增，则
的取值
范围是 .
【一隅三反】
1．（25-26 浙江嘉兴）函数
的单调递减区间为 .
2．（24-25 山东）函数
在
上的单调递减区间是 ．
3．（2025 江苏·专题练习）已知函数
在区间
上单调递减，则
的取值
范围是 .
4．（25-26 吉林）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围为
5．（25-26 天津·期末）已知函数
(1)求函数
的最小正周期；
(2)求函数
的对称轴方程和对称中心；
(3)求
的单调递增区间.
考向四 奇偶性
【例4-1】（25-26 新疆）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（25-26 高三上·河南·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（25-26 湖南）下列函数中最小正周期为且是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·上海嘉定·一模）函数
是（ ）
A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
3．（25-26 广西）若函数
为偶函数，则的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向五 值域
【例5-1】（25-26 福建）已知函数
的最小正周期为
，则
在
的最
小值为 （ ）
A．
B．
C．0
D．
【例5-2】（25-26 广东梅州）已知函数
，
，则函数
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【例5-3】（25-26 江苏）已知函数
.
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)记函数
，当
时，求函数
的最大值和最小值，并求出取最值时的值.
【一隅三反】
1．（25-26 上海）函数
，
的值域是 .
2．（25-26 河北）函数
的值域是 .
3．（25-26 黑龙江牡丹江）已知函数
.
(1)求出函数
图象的对称中心和对称轴;
(2)若
，求
的取值范围.
4．（25-26 陕西西安·期末）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数
在区间
的值域．
考向六 伸缩平移
【例6-1】（25-26 江苏）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【例6-2】（25-26 湖南长沙）（多选）已知曲线
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．把曲线
向左平移
个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到曲线
B．把曲线
向左平移
个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）得到曲线
C．把曲线
上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位长度得到曲
线
D．把曲线
上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度得到曲线
【一隅三反】
1．（25-26 高三上·河北邢台·月考）为了得到函数
的图象，只需要将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
2．（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
3．（2026·陕西宝鸡·一模）将函数
的图象向左平移
后得到
的图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·安徽·二模）已知函数
的一个零点是
，为了得到
的图象，
需要将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
5．（25-26 青海西宁·期末）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的
图象，则
图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向七 解析式
【例7-1】（23-24 山东淄博）（多选）函数
的部分图象如图，
则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的表达式
C．
D．函数图象是由
图象向左平移
个单位而得到
【一隅三反】
1．（23-24 云南昆明）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
D．
的单调递增区间为
2．（24-25 河南信阳）（多选）函数
（
，
，
是常数，且
，
）的部
分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间
上单调递增
C．将
的图象向左平移
个单位，所得到的函数是偶函数
D．
3．（25-26 贵州遵义）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则下
列结论中正确的有（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度可得到
的图象
C．
在
上单调递增
D．
的一个零点为
考向八 综合运用
【例8】（2026·辽宁沈阳·一模）
且
(1)求函数
的最小正周期；
(2)将函数
图象上所有的点向左平移
个单位后得到函数
的图象，当
时，求
函数
的值域；
(3)说明函数
的图象经过怎样的变换能得到函数
的图象，写出一个变换过程.
【一隅三反】
1．（2026·江苏镇江）（多选）已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象向左平移
个单位长度后关于
轴对称
D．若
在区间
上恰有一个零点，则实数
的取值范围是
2．（2026·河北沧州·一模）（多选）已知函数
，满足
，且对任意
，都有
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
在
上的值域为
C．
的单调递增区间为
D．若方程
在区间
上恰有五个不等的实根，则
的取值范围为
3．（2025·北京）设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第
一个解答计分．
【题组一 周期】
1．（25-26 湖北）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河南·一模）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南·模拟预测）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 甘肃）在函数①
，②
，③
，④
中，最小正周期为
的所有函数的序号为（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④
5．（25-26 高三上·河南商丘·月考）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 湖北）（多选）已知下列函数中，最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 贵州）（多选）下列函数中，以为最小正周期的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题组二 对称性】
9．（2026·湖北孝感·一模）若点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高三上·四川南充·月考）函数
图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（25-26 高三上·河南南阳·期末）若点
为函数
的图象的一个对称
中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 黑龙江）“
”是“函数
的图象关于点
对称”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．（25-26 高三上·辽宁鞍山）（多选）下列函数
关于
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·云南）（多选）已知函数
的图象关于点
对称，则
的值可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2026·辽宁大连·一模）函数
图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2026·湖北孝感·一模）若点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（25-26 高三上·广西崇左·期末）若函数
的图象关于点
（
）对
称，则
.
【答案】
【题组三 单调性】
18．（25-26 宁夏银川）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．最小正周期
B．函数
在
上单调递增
C．函数
的图象关于
对称 D．函数
的图象关于点
对称
19．（25-26 四川成都·期末）（多选）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间
上
单调递增的有（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，且其图
象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（25-26 高三上·山东青岛·期末）已知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
的取值范围是 ．
22．（25-26 重庆·月考）函数
的单调递增区间为 ．
【题组四 奇偶性】
23．（25-26 黑龙江牡丹江·月考）（多选）下列函数中，最小正周期为，且在
上为奇函
数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（25-26 广东惠州·月考）已知函数
，则
是
为偶函数的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
25．（2025·湖南永州·模拟预测）若
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．0 或
D．
26．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数
，若
为偶函数，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）若函数
为奇函数，则下列能
满足条件的
取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（25-26 天津北辰·月考）关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数，且周期为
B．是奇函数，且周期为
C．是偶函数，且周期为
D．是奇函数，且周期为
29．（2026·安徽黄山·一模）函数
的图象向左平移
后关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（25-26 广东广州·期中）已知
为奇函数，其中
，则
.
【题组五 值域】
31．（25-26 黑龙江）已知函数
，则
的值域为 ．
32．（25-26 天津津南·月考）已知
.
(1)求
的单调递减区间；
(2)求
在
上的值域．
33．（25-26 贵州）已知函数
(1)求函数
的最小正周期及单调递增区间.
(2)若
，求函数
的值域.
34．（25-26 江苏无锡·月考）已知函数
.
(1)求
的最小正周期；
(2)求
的单调区间；
(3)当
时，求
的最小值以及取得最小值时的集合；
(4)解不等式
.
【题组六 伸缩平移】
35．（25-26 广东深圳）将函数
的图象向右平移
个单位后，得到函数
的图象，
则函数
的图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（2026·湖北·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得
的图象关于原点对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
37．（2026·湖北荆州·一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则函数
的一个单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（25-26 高三上·辽宁·期末）将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
39．（2025·上海·高考真题）函数
在
上的值域为 ．
40．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在
上的最大值是 ．
【题组七 解析式】
41．（2026·湖南湘潭·二模）（多选）已知函数
的部分图象
如图所示，将
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
后，再将所得图象向右平移
个单位长度
得到函数
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
图象的对称轴方程为
D．
的单调递增区间为
42．（24-25 高三下·广东肇庆·月考）（多选）函数
（
，
，
）的
部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递增
D．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
43．（25-26 浙江杭州·期末）（多选）函数
（
，
）的部分图象如图所
示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度而得
44．（25-26 贵州）（多选）已知函数
部分图象如图所示，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
D．若方程
在
上有且只有一个实数根，则
的取值范围是
45．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知函数
的部
分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
在区间
上有且仅有两个零点和两个最值点，则
46．（2026·四川雅安·一模）（多选）如图，函数
的图象
过
，
两点，则（ ）
A．
B．
C．
在区间
上的值域为
D．将
的图象向右平移
个单位后得到的函数的图象关于直线
对称
47．（2026 福建）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称
D．
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于原点中心对称
48．（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数
来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
成中心对称
B．函数
的解析式可以为
C．函数
在
上的值域为
D．若把
图象上所有点向右平移
个单位，则所得函数是
【题组八 综合运用】
49．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
50．（2026·湖北孝感·一模）已知函数
（
），且
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，求函数
在
上的值
域．
51．（2026·江苏南通·一模）已知函数
，且
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得
存在，并求
的取值范围．
①函数
在区间
上只有最大值，没有最小值；
②函数
在区间
上恰有4 个零点：
③函数
在区间
上单调递增．
