文档内容
第 08 讲 函数模型及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾
喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为
和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为 计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力
（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为
保护对象的设计喷雾强度（单位：L/min·m2），水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，
如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为
24.96，保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2时，保护对象的水雾喷
头的数量N约为（ ）（参考数据： ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解析】由水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，
得 ，
再由保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2，
得 ，
即保护对象的水雾喷头的数量N约为 个.
故选：C.
2．（2023·浙江·校联考二模）提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一
种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了
一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距
离表示为 ，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（ ）
金 土
行星 星 地球 火星 谷神星 木星 星 天王星 海王星
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
公式推得值 0.7 1 1.6 2.8 5.2 10 19.6 38.8
实测值 0.72 1 1.52 2.9 5.2 9.54 19.18 30.06
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由表格可得 ，
故选：D
3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温
环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是 ，环境温度是 ，则经过 物体的温度 将满足
，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有 的物体，若放在
的空气中冷却，经过 物体的温度为 ，则若使物体的温度为 ，需要冷却（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ， ， ， 代入，
，即 ，
所以 ，
所以 ，
由题意得 ， ， 代入，
即 ，得 ，
即 ， 解得 ，
即若使物体的温度为 ，需要冷却 ，
故选：C．
4．（2023·福建福州·统考模拟预测）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”
的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例 关于贷款人的年收入
（单位：万元）的Logistic，模型： ，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款
比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（ ）（精确到0.01万元，参考数据：
， ）
A．4.65万元 B．5.63万元 C．6.40万元 D．10.00万元
【答案】A
【解析】由题意 ， 即 ，得 ，所以
.令 ，
得 ，
得 ，
得
得 .
故选：A.
5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意
见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已
知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数
量为 ，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型
，其中 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量， 为首次改
良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过
时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参
考数据： ， ）
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【答案】C
【解析】依题意， ， ，当 时， ，即 ，可得 ，
于是 ，由 ，得 ，即 ，
则 ，又 ，因此 ，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．
故选：C
6．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免
疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从
小到大依次分为 个等级，其等级 （ ）与其对应等级的市场销售单价 单位：元 千克 近似
满足函数关系式 .若花同样的钱买到的 级草莓比 级草莓多 倍，且 级草莓的市场销售单价为
元 千克，则 级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据： ， ）
A． 元 千克 B． 元 千克 C． 元 千克 D． 元 千克
【答案】C【解析】由题可知 ，由 则
.
故选：C.
7．（2023·重庆·统考模拟预测）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气
中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑 ，二类建筑 ．二类建筑室内甲醛浓度小于等于
为安全范围，已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环
境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为 ，4周后室内甲醛浓度为 ，且室内甲醛浓度
（单位： ）与竣工后保持良好通风的时间 （单位：周）近似满足函数关系式
，则该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ ）
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
【答案】B
【解析】由题意可得： ，解得 ，
所以 ，
令 ，整理得 ，
因为 ，
故 ，则 ，所以至少需要放置6周.
故选：B.
8．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某
开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数 与每平米平均建筑成本
（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用 和楼层数 的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类
型，故C正确.
故选：C.
9．（多选题）（2023·辽宁大连·统考三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模
型：
其中正实数 分别为甲､乙两方初始实力， 为比赛时间；
分别为甲､乙两方 时刻的实力；正实数 分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两
方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为 .则下列结论正确的是
（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，则甲比赛胜利
D．若 ，则甲比赛胜利
【答案】ABD
【解析】对选项A：若 且 ，则 ，
所以 ，由 可得 ，正确；
对选项B：当 时根据A中的结论可知 ，所以乙方实力先为0，
即 ，化简可得 ，
即 ，两边同时取对数可得 ，
即 ，即 ，正确；
对选项C：，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，设甲方实力为0时所用时间为 ，乙方实力为0时所用时间为 ，
即 ，可得 ，
同理可得 ，即 ，解得 ，
又因为 都为正实数，所以可得 ，甲方获得比赛胜利，错误；
对选项D：根据C知正确；
故答案为： .
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的
图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从 蔓延到 历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到 ， ， 所需的时间分别为 ， ， ，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
【答案】BC
【解析】由图可知野生水葫芦第一个月增长面积为 ，第二个月增长面积为 ，A错误；
由图可知野生水葫芦从 蔓延到 历时超过1个月，B正确；
野生水葫芦的面积与时间的函数关系为 ， ， ，
， ，所以 ，C正确；
野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为 ，D错误.故选：BC
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物
体初始温度是 （单位：℃），环境温度是 （单位：℃），其中 、则经过t分钟后物体的温度
将满足 （ 且 ）．现有一杯 的热红茶置于 的房间里，根据这一
模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值 ）
A．若 ，则
B．若 ，则红茶下降到 所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是 ，k约为0.22
D．红茶温度从 下降到 所需的时间比从 下降到 所需的时间多
【答案】AC
【解析】由题知 ，
A选项：若 ，即 ，所以 ，则
，A正确；
B选项：若 ，则 ，则 ，两边同时取对数得 ，所以
，所以红茶下降到 所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是 ，即 ，则 ，得 ，所以
，故C正确；
D选项： 为指数型函数，如图，可得红茶温度从 下降到 所需的时间（ ）比从 下降
到 所需的时间（ ）少，故D错误．
故选：AC．
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳
含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：
分）之间满足函数关系y＝f（t），其中 （R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，
人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 符合要求．
又
解得 ，a＝128，故B正确，A错误．
，
当 时，即 ，得 ，
所以 ，即 ，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C
错误，
故选：BD.
13．（2023·北京朝阳·统考一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间
的变化遵循兰彻斯特模型： ，其中正实数 ， 分别为红、蓝两
方初始兵力，t为战斗时间； ， 分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、
蓝方对红方的战斗效果系数； 和 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当
红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出
下列四个结论：
①若 且 ，则 ；
②若 且 ，则 ；③若 ，则红方获得战斗演习胜利；
④若 ，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】对于①，若 且 ，则 ，
即 ，所以 ，
由 可得 ，即①正确；
对于②，当 时根据①中的结论可知 ，所以蓝方兵力先为0，
即 ，化简可得 ，
即 ，两边同时取对数可得 ，
即 ，所以战斗持续时长为 ，
所以②正确；
对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为0时所用时间为 ，蓝方兵力为0时所用时间为 ，
即 ，可得
同理可得
即 ，解得
又因为 都为正实数，所以可得 ，红方获得战斗演习胜利；所以可得③错误，④正确.
故答案为：①②④.
14．（2023·陕西西安·统考一模）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条
长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段
分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过 次这样的操作后，去掉的
所有线段的长度总和大于 ，则 的最小值为__________.（参考数据： ）
【答案】12
【解析】设每次操作留下的长度为 ，
则 ， ，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的 ，
所以 为等比数列，公比为 ，首项为 ，故 ，
所以经过 次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为 ，
故 ，即 ，
两边取对数得： ，
因为 ，所以 ，则n的最小值为12.
故答案为：12
15．（2023·上海长宁·统考一模）研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息
素浓度y满足 ，其中 为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得
信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的___________米的位置，信息素浓度为 .
【答案】4
【解析】因为释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，
所以 ，所以 ，即
当 时， ，整理得 即 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故答案为:4.
16．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月
球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地
面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月
１ ２
距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
．设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的
近似值为_________．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
由 ，得 ，
将 代入，得 ，
有 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
1．（2015·四川·高考真题）某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系
（ 为自然对数的底数， 为常数）.若该食品在 ℃的保鲜时间是 小时，在 ℃的保鲜时间是 小时，则该食品在 ℃的保鲜时间是
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时
【答案】C
【详解】
，两式相除得 ，解得 ， 那么 ，
当 时 ，故选C．
考点：函数的应用
2．（2014·湖南·高考真题）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 ，第二年的增长率为 ，
则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设这两年年平均增长率为 ，因此 解得 ．
考点：函数模型的应用．
3．（2015·北京·高考真题）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
年 月 日
年 月 日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ）
A． 升 B． 升 C． 升 D． 升
【答案】B
【详解】
因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 升. 而这段时间内
行驶的里程数 千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
升，故选B.
考点：平均变化率.
4．（2011·北京·高考真题）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15
分钟，那么C和A的值分别是
A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16
【答案】D
【详解】
由条件可知， 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即
， ，选D．
5．（2014·北京·高考真题）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，
在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如
图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【答案】B
【详解】
由图形可知，三点 都在函数 的图象上，
所以 ，解得 ，
所以 ，因为 ，所以当 时， 取最大值，
故此时的t= 分钟为最佳加工时间，故选B.
考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查
同学们分析问题与解决问题的能力.
6．（2011·湖北·高考真题）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，
这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单
位：年）满足函数关系： ，其中M 为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的
0
变化率是 （太贝克/年），则M（60）=（ ）A．5太贝克 B．75 太贝克 C．150 太贝克 D．150太贝克
【答案】D
【详解】
因为 ，
所以 .
因为t=30时，铯137的含量的变化率是 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选D．
7．（2015·四川·高考真题）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： ）满足函数关系
（ 为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0 的保鲜时间设计192小时，
在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是______小时.
【答案】24
【解析】由题意得： ，所以 时，
.
考点：函数及其应用.
8．（2014·北京·高考真题）顾客请一位工艺师把 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒
弟完成这
项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都
完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序时
间
粗加工 精加工
原料
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
【答案】42
【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以徒弟完成原料B的6小时后,师傅开始工作,
在师傅后面的36小时的精加工内,徒弟也同时完成了原料A的粗加工.所以前后共计 =42小时.
考点：本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.9．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、
桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次
购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的
80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为
__________．
【答案】 130. 15.
【解析】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
