文档文本内容
第07 讲 抛物线及其性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 抛物线的定义与标准方程
题型02 抛物线的焦点坐标及准线方程
题型03 抛物线的轨迹方程
题型04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
题型05 焦半径问题
题型06 抛物线的几何性质
题型07 抛物线中三角形、四边形的面积问题
题型08 抛物线的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 抛物线的定义与标准方程
1．已知抛物线
的焦点为
，准线为，点A，B 在上，直线AF 与抛物线
交于M，
N，
到准线的距离为3，M，O，B 三点共线，若
，则
（ ）
A．1
B．9
C．1 或9
D．9 或18
【答案】C
【分析】由题意根据抛物线的定义得到
，根据
的位置分两种情况分别
求得
的坐标即可得结果.
【详解】
分别过点M，N 作
，垂足为
，则
由抛物线的定义，得
由
，得
，
则
，
由图1，
，
，
∵M，O，B 三点共线，∴
,
.
由图2，
，
，
,
，
∵M，O，B 三点共线，∴
综上，
或9.
故选：C.
2．(多选)已知抛物线
，准线为，过焦点
的直线交抛物线
于
两点，过
分别
作的垂线，垂足分别为
，则（ ）
A．
B．若
，则直线
的斜率为
C．
三点共线（其中
为坐标原点）
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物线的定义可得
，
，再利用角的关系即可得出
；根据定义可得
，
即可得出角
，进而得出直线
的斜率为
；设
，则
，证明
即可；由题可得
，结合焦半径公式即可证明.
【详解】
连接
，根据抛物线定义可知
，所以
，
又由于
轴，所以
，
所以
，同理可证
，
所以
，
即
，故
正确；
过
作
于
，设
，则
，
，
所以
，
所以
，由对称性可知直线
的斜率为
，故B 错误；
设
，则
，
由于
，由于
三点共线，
则
，
又由于
，则
，由于
，
则
，所以
，
，
所以
，
即
，所以
三点共线，故C 正确；
由于
，则
，即
，所以
，
所以
，故D 正确．
故选：ACD．
3．已知点
在抛物线
上，
的焦点为
，则
．
【答案】2
【分析】根据抛物线的定义，利用焦半径公式求解.
【详解】由题意，抛物线
的焦点
，准线为
，
所以点
到准线的距离
，则
.
故答案为：2.
4．已知抛物线
的焦点为
，点
，
在抛物线
上，过线段
的中点
作抛物线
的准线的垂线，垂足为
，若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】由抛物线的定义，用
，
表示出
，再根据勾股定理和基本不等式求解即可.
【详解】
设
，
，过点
，
分别作抛物线
的准线的垂线，垂足分别为
，
，如图所示.
由抛物线的定义可得
，
.因为
为线段
的中点，所以
.
又
，所以
，所以
.
又
，所以
，当且仅当
时取等号，所以
，即
，所以
的最小值为
.
故答案为：
.
02 抛物线的焦点坐标及准线方程
5．已知抛物线
，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化为抛物线的标准方程即可得解.
【详解】由抛物线
化为标准方程得
，
则抛物线的焦点
到准线
的距离为
，
故选：A.
6．已知抛物线C 关于y 轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线
上，则抛物线C 的标准方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出直线与y 轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程．
【详解】直线
与y 轴的交点为
，
所以抛物线C 的焦点为
，故
，解得
，
所以抛物线C 的标准方程为
．
故选：D．
7．(多选)已知曲线
上的动点
到点
的距离与其到直线
的距离相等，则（ ）
A．曲线
的轨迹方程为
B．圆
与曲线
交于A，B 两点，与
交于E，G 两点，则A，B，E，G 四点围成的四边
形的周长为14
C．若
为曲线
上的动点，则
的最小值为5
D．过点
恰有2 条直线与曲线
有且只有一个公共点
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线
的轨迹方程，再逐项分析判断即得.
【详解】对于A，曲线
是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，方程为
，A 正确；
对于B，直线
交圆
于点
，而
，
四边形
是矩形，周长为
，B 错误；
对于C，显然
共线，
垂直于直线
，令点
到直线
的距离为
，
则
，
，当且仅当
与点
重合时取等号，
因此
的最小值为
，C 正确；
对于D，过点
与曲线
仅只一个公共点的直线方程为
，
由
消去
得
，当
时，直线
与抛物线仅中一个公共点，
当
时，
，解得
，显然直线
与抛物线仅只一个公共点，
因此过点
与曲线
有且只有一个公共点的直线有3 条，D 错误.
故选：AC
8．若抛物线
的焦点为点
，则
．
【答案】
/
【分析】将抛物线化为标准形式，然后结合题意可得答案.
【详解】
，因焦点为
，则
.
故答案为：
03 抛物线的轨迹方程
9．抛物线
的顶点为坐标原点，焦点在
轴上，直线
交
于
，
两点，
的准线交
轴于点
，
若
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出
的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出
，进而得到抛物线方程.
【详解】根据题意，设抛物线方程为
，
则
，准线方程为
.
所以点
.
因为
，所以
，
化简得
，即
，解得
.
所以抛物线方程为
.
故选：D.
10．在平面内，到定点
的距离比到定直线
的距离大1 的动点
的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件将动点
到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方
程．
【详解】由已知可得动点
满足到定点
的距离等于到定直线
的距离，
由抛物线定义知动点
的轨迹方程为焦点在x 轴上的抛物线，且焦点为
，则
，
.因此轨迹
方程为：
．
故答案为：
.
11．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小
，记动点
的轨迹为
.
(1)求轨迹
的方程.
(2)已知直线
与轨迹
交于
，
两点，以
，
为切点作两条切线，分别为，
，直线，
相交于点
.若
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据抛物线的定义特征即可求出轨迹
的方程.
(2)设
，利用设而不求的思想，结合曲线在A，B 处的切线方程，求出交点
坐标借助向量数量积的关系进行转化求解即可.
【详解】（1）（1）由题意知动点M 的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线，
所以轨迹C 的方程为
.
（2）（2）设
，
.联立
得
，
则
，
，
.
易知直线，
的斜率存在，设直线的方程为
，联立
，得
.
由
，解得
，所以切线的方程为
.
同理可得，切线
的方程为
.
由
解得
即点
.
因为
，
，
，且
，所以
，
即
化简得
，因此
或
故
.
12．已知动点
到点
的距离，与点
到直线：
的距离相等.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)若过点
的直线与动点
的轨迹交于
两点，且
，求直线的方程.
【答案】(1)
；
(2)
；
【分析】（1）
点的轨迹满足抛物线的定义，由此求得
点的轨迹方程；
（2）由于直线斜率存在且不为零，故设直线
的方程为
，联立直线方程和抛物线方程，消去
，
写出韦达定理，代入
可求得的值，进而求得直线的方程.
【详解】（1）因为平面上的动点
到定点
的距离与到直线
的距离相等，
所以由抛物线定义知，点
在以
为焦点，
为准线的抛物线上，
所以其轨迹方程为
.
（2）
直线
的斜率显然存在且不为0,
故可设
的方程：
由
,得
,
所以
,
因为
，
所以
,
所以
,
解得
,
所以所求直线的方程是
，即
.
04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
13．已知直线
和直线
，抛物线
上一动点
到直线、直线
的距离之和的
最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
【答案】B
【分析】求出焦点
，准线
，设动点
到直线
的距离分别为
，求出点
到直线
的距离为
，由抛物线定义得到
，进而得到
．
【详解】由题意可得，抛物线
的焦点
，准线
．
设动点
到直线
的距离分别为
，点
到直线的距离为
．
由
，可得
，
当且仅当点
在点
到直线的垂线上且
在
与之间，即
时（如图），等号成立，
故动点
到直线、直线
的距离之和的最小值是3.
故选：B
14．已知抛物线
的焦点为F，M 为C 上的动点，N 为直线
上的动点，设点M 到
y 轴的距离为d，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当
三点共线时，可
求得最小值.
【详解】
因为抛物线
，过F 点作
垂直直线l 于点
，过M 作准线的垂线交准线于点
，如图
所示，则
，
，
则
，
当点
与点
重合，点
为线段
与抛物线的交点时，等号成立.
故选：A．
15．(多选)设抛物线
的焦点为
为
上一动点，
为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程是
B．
的最小值为4
C．
的最大值为5
D．以线段
为直径的圆与
轴相切
【答案】ABD
【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出
的中
点坐标，根据其横坐标与
关系即可判断D.
【详解】A（√）由抛物线
，知其焦点为
，准线方程为
．
B（√）如图所示，过
作
准线于点
，则
，
故
，
当且仅当
，
，
共线时（即图中
），
最小，
最小值为
到准线的距离4.
C（×）由
，当且仅当
共线时取等号，故
的最大值为
．
D（√）由
，知
的中点坐标为
，而
，故
，所以以
线段
为直径的圆与
轴相切．
故选：ABD
05 焦半径问题
16．已知实数
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】吧问题转化成抛物线上的点到焦点的距离与到定直线的距离之和的最小值问题，再结合抛物线的
定义求解.
【详解】如图：
根据题意，
的几何意义为点
与点
之间的距离，
分析可得点
在抛物线
上，点
在直线
上，
抛物线
的焦点
，准线为
，过
作
轴的垂线，交
轴于点
，交
与点
.
所以
的几何意义为
.
由
.
过
作直线
的垂线，垂足为
，交抛物线与点
.
则
（当
与
点重合，
与
点重合时取
等号）
故选：B
17．(多选)设抛物线
（
）的焦点为
，点
在
轴上，若线段
的中点
在抛物线上，且
点
到抛物线的准线的距离为
，则（ ）
A．
B．
的坐标为
或
C．
D．直线
的方程为
【答案】AB
【分析】由题意得焦点为
，准线为
，设
的坐标为
，由中点坐标公式得
，
，即
.由点
到抛物线准线的距离为
，得
，解得
. 即可判断选
项A；故抛物线方程为
，
，则
，求出
和
的值，即可判断选项B；根据
三角形面积公式即可判断选项C；根据直线的点斜式方程化简即可判断选项D.
【详解】如图，由题意得焦点为
，准线为
，设
的坐标为
，由
为
的中点得
，
，即
.由点
到抛物线准线的距离为
，得
，解得
. 故选项A 正确；
由选项A 知抛物线方程为
，
，则
，故
，
，所以点
的坐标
为
或
.故选项B 正确；
的面积为
.故选项C 不正确；
由
，
或
知，直线
的方程为
，即
.故选
项D 不正确.
故选：AB.
18．设
为抛物线
：
的焦点，点
在
上，且在第一象限，若直线AF 的倾斜角为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】解法一：根据抛物线定义以及角度关系，构造方程即可解得
；解法二：利用结论
，直接代入角度计算即可得出结果.
【详解】解法一：如图所示，过点
作AB 垂直准线于点
，过焦点
作FD 垂直AB 于点
．
由题意可知
．
根据抛物线的定义知
．
在
中，
，
又
，所以
，
解得
．
解法二：由结论
（
为直线AF 的倾斜角）得
．
故选：C.
19．(多选)过抛物线
的焦点F 作直线与抛物线交于A，B 两点，O 为坐标原点，若直线
，
的
斜率分别为
，
，则（ ）
A．以
为直径的圆与x 轴相切
B．
C．
的最小值为
D．过A，B 两点分别作抛物线的切线，
，两切线，
相交于点P，则
的面积最小值为
【答案】ACD
【分析】根据题意，设直线
的方程为
，联立方程组求得
，得到
，根据物线的性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，可判定A 正确；由
斜率公式，求得
，可判定B 不正确；由抛物线的焦半径公式，得到，结合基本不等式，可判定C
正确；求得切线方程，联立方程组求得
，利用点到直线的距离公式和弦长公式，得到面积
的面积为
，可判定D 正确.
【详解】由题意得，抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
显然直线
的斜率存在，可设直线
的方程为
，
联立方程组
，可得
，
，
设
，则
，
则
，
对于A 中，由抛物线的性质，可得
，
则以
为直径的圆，其圆心为
，半径为
，
则圆心到
轴的距离
，所以以
为直径的圆与
轴相切，所以A 正确；
对于B 中，由
，所以B 不正确；
对于C 中，因为
，可得
由抛物线的焦半径公式，可得
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，所以C 正确；
对于D 中，由抛物线
，可得
，
所以过点
和
的切线方程分别为
和
，
联立方程组，可得
，即
，
又由直线方程
，即
，
则点
到直线的距离为
，
又由
，
所以
的面积为
，
设
，可得
，所以
的最小值为
，所以D 正确.
故选：ACD.
20．已知点P 在抛物线C：
上，且点P 到C 的焦点F 的距离为
，则点P 到x 轴的距离为 .
【答案】4
【分析】设
，
，根据焦半径公式得到方程，求出
，得到答案.
【详解】由
，得
，则抛物线C 的准线方程为
.
设
，
，则
，∴
，
∴点P 到
轴的距离为4.
故答案为：4
21．已知抛物线
上的点
到焦点的距离为5，则
.
【答案】8
【分析】根据抛物线的焦半径公式计算即可.
【详解】因为点M 到焦点的距离为5，所以
，解得
.
故答案为：
22．已知抛物线
，
是抛物线
的焦点，
是抛物线
上一点，
为坐标原点，
，若
的平分线过
的中点，则点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得
，再利用圆的方程与曲线联立即可求解.
【详解】设线段
的中点为
，作
轴于点
，
轴于点
，
直线
交
的准线于点
，
则
，故
．
过点
作
于点
，由
是
的平分线，知
，
由垂线段的唯一性知
两点重合，可得
，
则点
在以线段
为直径的圆上．
设
，则由
，
得
，
将
代入得
，
易知
，所以
，即
，即
，得
，所以
．
故点
的坐标为
．
故答案为：
.
06 抛物线的几何性质
23．(多选)设抛物线
的焦点为
，过
的直线
交
于
、
，过
且垂直于
的直线交
于
，过点
作的垂线，垂足为
，过点
作的垂线，垂足为
，则正确的结论是（ ）
A．
B．
C．存在直线
，使得
D．对任意直线
，
【答案】ACD
【分析】对于A，设出直线方程，联立结合韦达定理证明；对于B，利用三角形相似证得
，进
而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得
，
，判断C，对于
D，联立直线方程和抛物线方程，分别表示
即可证明.
【详解】
对于A，当直线
的斜率不存在时，
为
中点，满足
；
当直线
的斜率存在时，设直线
方程为
，
，
联立
，消去
，得
，
，则
，
因为
，
，
所以
，
过点
作的垂线，垂足为
，过点
作的垂线，垂足为
，
所以
，
过
垂直于
的直线方程为
当
时，代入
，
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，故A 正确；
对于B，由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
当直线
的斜率不存在时，
，
；
所以
，即
；
所以存在直线
，使得
，故C 正确；
对于D，
，
，所以
，
所以
，
因为
，
，所以
，因为
，所以
，
，所以
，
同理
，
令
，则
，因为
，则
，所
以
，
所以
，
所以
，其中
，
所以
，
其中
，
同理
，
所以
，故D 正确，
故选：ACD.
24．(多选)设
为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与
交于
两
点（
在第四象限），为
的准线，则（ ）
A．的方程为
B．
C．以
为直径的圆与相交
D．
为钝角三角形
【答案】AD
【分析】根据给定条件，求出焦点坐标，进而求得抛物线方程，再与直线方程联立求出点
的坐标，
结合抛物线定义及数量积的坐标表示逐项判断得解.
【详解】由直线
过点
，得抛物线
的焦点
，方程为
，
对于A，抛物线
的准线的方程为
，A 正确；
由
消去
并整理得
，解得
，
对于B，点
，
，B 错误；
对于C，
，线段
中点
到准线
的距离
，
因此以
为直径的圆与相切，C 错误；
对于D，
，则
是钝角，D 正确.
故选：AD.
25．(多选)已知抛物线
：
的焦点为
，过
向第一象限作射线
，过点
作
的切线，切点为
，且
，则（ ）
A．点
的轨迹是抛物线的一部分
B．点
的轨迹是直线的一部分
C．
外心的轨迹是直线的一部分
D．
外心的轨迹是抛物线的一部分
【答案】BD
【分析】对于AB：设
，建立起
与
，
斜率的关系式，消元得到关于
，
的方程，即
为点
的轨迹方程；对于CD：先证明
，可得到
，由弦切角定理逆定理可知
与
外接圆相切，再由抛物线的定义可得到
外心的轨迹.
【详解】对AB：不妨设
，由已知
,
设直线
的斜率为
①，倾斜角为
，
切线
斜率为
，倾斜角为
，
由正切和差公式：
，
②，
设切线
方程为
，联立
，
得
，由
得
③，
将①③代入②得：
，
化简并因式分解有：
，
再代入回③，得：
，又
，则
，故B 正确，A 错误；
对CD：设外心为
，由选项B 可知
在
的一条切线
上，切点为
；
把
代入到
中，
可得
，得
，所以
；
又
，
，所以
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故
，由弦切角定理逆定理可知
与外接圆
相切，
又
，故其外心在
为焦点，
为准线的抛物线上，故C 错误，D 正确.
故选：BD
26．已知抛物线
，过其焦点
作直线抛物线交于
两点，下列说法正确的是 ．
①以
为直径的圆与直线
没有公共点；②以
为直径的圆与
轴只有一个公共点；③
的最小
值为4；④
的最小值为2．
【答案】①②③
【分析】利用抛物线的定义，结合交点
的横坐标来表示各焦半径长和弦长，再推导交点
的纵坐标
之积为定值，即可作出各选项判断.
【详解】由抛物线方程
，可知焦点
，
设
，
，由题意知：
，
所以
，整理得
．
对于①：根据抛物线定义可知
，
所以圆的半径为
，
又因为线段
的中点
到直线
的距离为
，
因此圆与直线相离．故①正确；
对于②：以
为直径的圆的半径为
，
而线段
的中点到
轴的距离为
，因此圆与直线相切．故②正确；
对于③：
，
因此
的最小值为4．故③正确；
对于④：
，因此
没有最小值．故④错误；
故答案为：①②③．
07 抛物线中三角形、四边形的面积问题
27．设
为坐标原点，直线
与抛物线
交于
两点，与
的准线交于点
．若
，点
为
的焦点，则
与
的面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别过点
作抛物线
的准线的垂线，垂足分别为
，易得直线过定点
，则
，由此即可得解.
【详解】如图，分别过点
作抛物线
的准线的垂线，垂足分别为
，
则
，
，
抛物线
的焦点
，
直线
过定点
，
因为
，
，
所以
，
所以
.
故选：B.
28．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线
绕其顶点分别逆时针旋转
后所得的三条曲线及抛物线
围成的，则下列说法错误的是（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点
的距离的最大值为
C．四叶图的面积小于6
D．动直线
被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
【答案】D
【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方
程，求出点A 的坐标，即得四叶图上的点到点
的距离的最大值
；对于CD，由图像对称性，当与
平行的直线分别与抛物线相切时的弦取得最大，利用导数几何意义可求切点
，根据对称性再得
到
，即可求弦长最大值，又第一象限花瓣一半的面积小于
与
的差，所以求出
与
的差，即可判断阴影区域面积小于6.
【详解】由题知
，开口向右的抛物线方程为
，焦点
，
所以开口向上的抛物线方程为
，即
，故A 正确；
又
，所以
，
所以四叶图上的点到点
的距离的最大值
，故B 正确；
，且在第一象限的区域关
对称，直线
与直线
垂直，
所以在第一象限花瓣的弦长最大时，即作与
平行的直线分别与抛物线相切时，
设切点为
，开口向上的抛物线方程为
，
又
，所以切点
，由对称可得切点
，
此时弦长最大值
，故D 错误；
切线
的方程为
，与
轴交点
，
过点
的切线方程为
，与
轴交点
，与切线
的交点
，
由图知第一象限花瓣一半的面积小于
与
的差，
，
所以阴影区域面积小于
，故C 正确；
故答案为：D.
29．设点
为抛物线
的焦点，过
的直线交抛物线于
两点，若
，则
的面积是
.
【答案】
【分析】设直线
方程，设
，
，联立直线和抛物线方程，结合抛物线定义以及韦达定
理，得出
坐标，以及直线
方程，利用两点之间距离公式和点到直线的距离公式，即可求出结果.
【详解】由题知，设直线
为
，
联立
，得
，
设
，
，则
，
所以
，
，不妨令
，
则
，
，
所以
，
，
所以
，直线
为
，即
，
所以
，
又
到直线
距离为
，
所以
的面积为
.
故答案为：
30．设
为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与
交于
两点．
(1)求抛物线
的方程；
(2)求
的面积；
(3)若为
的准线，证明：以
为直径的圆与相切．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线焦点可求抛物线方程；
（2）利用抛物线的定义来求焦点弦长，再求点到线的距离可求得面积；
（3）利用抛物线的定义结合梯形的中位线通过圆心到直线的距离等于半径可判断相切.
【详解】（1）直线
过点
，
所以抛物线
的焦点
，
所以
，
所以抛物线
的方程为
．
（2）设
，
由
，消去
并化简得
，
解得
，
所以
，
到直线
的距离为
，
所以三角形
的面积为
．
（3）
设
的中点为
，且
到直线的距离分别为
，
因为
，
即
到直线的距离等于
的一半，
所以以
为直径的圆与直线相切．
08 抛物线的实际应用
31．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m 后，水面
宽度为（ ）
A．
B．
C．
D．8m
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为
，将
代入抛物线方程解出
，再将
代入即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点
,
设抛物线的方程为
，由点
可得
，解得
，所以
,
当
时，
，所以水面宽度为
．
故选：B
32．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物
线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P 到江面的距离为100m，且
，则顶端
到桥面的距离为（ ）
A．50m
B．
C．55m
D．
【答案】A
【分析】以
为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为
，表达出
点坐标，设
，其中为点
到桥面的距离，将
坐标代入抛物线方程，求出
，得到答案.
【详解】以
为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知
，
设抛物线方程为
，其中为点
到桥面的距离，
则
,解得
．
故选：A
33．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证
发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm．为了使反射的光
更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的
深度为 cm．
【答案】60.5
【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得.
【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为
轴（抛物线开
口方向是
轴的正方向），如下图所示：
则可设抛物线的方程为
，
由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点
，
代入抛物线方程得
，解得
，所以抛物线的方程为
，
当灯口圆的直径增大到
时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为
，
将
代入抛物线方程求得
，此时探照灯的深度为
.
故答案为：
34．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的
截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与
隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为
m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆
通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m）
【答案】4.3
【分析】以抛物线的对称轴为
轴，路面为
轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，求出慢车道时，
最右侧的高，用该值减去
即为限制高度.
【详解】以抛物线的对称轴为
轴，路面为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为
，
将点
代入得
，
故
，
今
，得
，
故限高为
，
故答案为：4.3.
35．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，
“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m 的连桥连接，在该抛物线两侧距连
桥150m 处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端
到连桥AB 的距离.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程和
点坐标，求得
点坐标，将坐标代入解析式求得
点纵坐标，
从而知道顶端
到连桥AB 的距离.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，
设抛物线的方程为
，
，则
.
由点B，D 均在抛物线上，得
解得
，
所以抛物线顶端
到连桥AB 的距离为
.
36．
如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆
悬索桥．大桥主跨OA 长约500 米，主塔AB 高约100 米，缆悬索OB 是以
为顶点且开口向上的抛物线
的一部分，若
为抛物线
的焦点，则主塔两端点A，B 到抛物线
的焦点
的距离之和约为（参考数据：
）（ ）
A．725 米
B．1358 米
C．1525 米
D．1558 米
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出的准线方程，结合抛物线的定义及两点间距离公式求解.
【详解】以
为原点，直线OA 为
轴，过
且与主塔AB 平行的直线为
轴，建立平面直角坐标系，
连接AF，BF，则
，设抛物线
的方程为
，
则
，解得
，因此抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
，又
，
所以主塔两端点A，B 到抛物线
的焦点
的距离之和约为
（米）．
故选：C
37．已知
是抛物线
的对称轴与准线的交点，
为抛物线
的焦点，点
在抛物线
上．
在
中，若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用抛物线的定义和几何性质，将题目条件所给等式转化为
的形式．
【详解】由对称性，不妨假设点
在第一象限．准线
，
，
，
过点
作
，垂足为
，则由抛物线定义可知
，
于是
，
因为
在
上为减函数，所以当
取到最大值时（此时直线
与抛物线相切），
最大．
设
，代入
，得
，由
得
，
即直线
的斜率为1，从而
，所以
．
故答案为：
38．已知斜率为
的直线与抛物线
交于
两点，且当直线
过
的焦点时，
在点
处的切线的交点的横坐标为
．
(1)求
的准线方程；
(2)若
，直线
与
的另一个交点为
（异于点
），是否存在实数
，使得直线
恒过定点
，
若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，定点为
【分析】（1）通过抛物线切线方程性质，结合切线横坐标与焦点的关系列方程求解；（2）假设
直线
方程，联立方程用韦达定理化简，得出
的值，再计算得出定点
.
【详解】（1）
设直线
过
的焦点，
设其方程为
，其中
，
联立
得
，
设
，不妨令
，
则
，
因为
，
所以
在点
处的切线方程分别为
，
又
，
代入切线方程得
，
解得
，故
，
所以
的准线方程为
．
（2）
由（1）得抛物线
的方程为
，设
，直线
，
联立
得
，
则
，
所以
，①
（ⅰ）当直线
斜率存在时，
，
同理得
，则
，所以
，
则直线
的方程为
，
代入
得
，
将①代入得
，要使直线
过定点，则
，即
，
此时
的方程为
，其恒过定点
；
（ⅱ）当
，且直线
斜率不存在时，
，由
得
，
代入①式得
，所以
，
解得
，所以
，此时直线
的方程为
，也过点
．
综上，存在实数
，使得直线
恒过定点
．
39．如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1 的点
到焦点
的距离为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)已知
是直线
上的动点，
为抛物线的两条切线，
为切点．
①求证：直线
过定点；
②抛物线上是否存在定点
使得以
为直径的圆恰过定点
？若存在，求出点
的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②存在，
【分析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程．
（2）①设
，设过点
的切线
，与抛物线方程联立，由判别式等于
，得
，设
的斜率分别为
，由韦达定理及中点坐标公式求出
的中点为
，由点斜式写出直线
的方程即可求解；
②设
，得到直线
与
的斜率，由斜率乘积为
,得
，再将①问中的
韦达定理代入上式化简得
，即可求解.
【详解】（1）设抛物线方程为
，由抛物线定义知
，
，
抛物线的方程
．
（2）①设
，由于切线斜率一定存在，
故设过点
的切线
，
代入
中，得：
，
，
．
设
的斜率分别为
，
则
，
，
，
得
，
的中点为
．
又
，
直线
的方程：
，
即：
，
过定点
．
②设
，则
．同理：
．
，
．
把
代入
中得：
，
所以由
，
，
，解得
．
存在定点
，使得以
为直径的圆恰过点
．
40．
如图，抛物线
上纵坐标为
的点到焦点的距离为，点
，
是
上的两点，且
.
(1)求
的方程；
(2)过线段
的中点
作
轴的垂线交
于点
，过线段
的中点
作
轴的垂线交
于点
，过线
段
的中点
作
轴的垂线交
于点
，
，依此操作
次，记
的面积为
.
①求
的面积；
②证明：
.
【答案】(1)
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）根据抛物线定义直接可得解；
（2）①根据点的坐标及三角形面积公式直接计算；②根据三角形面积计算可得
，结合等比数列求和公
式可得证.
【详解】（1）由已知抛物线
，准线为
，
由抛物线定义可知抛物线上的点到焦点的距离为
，
即
，解得
，
即抛物线方程为
；
（2）①由（1）得抛物线方程为
，即
，
即
，
，
则
，
即点
的横坐标为
，纵坐标为
，
即
，则
，
则三角形
面积
；
②设
，
与线段
的交点为
，
则
，
，
即
，
，
又
，即
，
，
则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
即
，
则
，
则
，
又
，
则
.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|
AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
1．（全国乙卷·高考真题）设F 为抛物线
的焦点，点A 在C 上，点
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点
的横坐标，进而求得点
坐标，即可
得到答案.
【详解】由题意得，
，则
，
即点
到准线
的距离为2，所以点
的横坐标为
，
不妨设点
在
轴上方，代入得，
，
所以
.
故选：B
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O 为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得
，根据弦长公式求得
，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
【详解】A 选项：直线
过点
，所以抛物线
的焦点
，
所以
，则A 选项正确，且抛物线
的方程为
.
B 选项：设
，
由
消去
并化简得
，
解得
，所以
，B 选项错误.
C 选项：设
的中点为
，
到直线的距离分别为
，
因为
，
即
到直线的距离等于
的一半，所以以
为直径的圆与直线相切，C 选项正确.
D 选项：直线
，即
，
到直线
的距离为
，
所以三角形
的面积为
，
由上述分析可知
，
所以
，
所以三角形
不是等腰三角形，D 选项错误.
故选：AC.
3．（新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交C 于P，Q 两点，则（ ）
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可
判断C、D.
【详解】将点
的代入抛物线方程得
，所以抛物线方程为
，故准线方程为
，A 错误；
，所以直线
的方程为
，
联立
，可得
，解得
，故B 正确；
设过
的直线为，若直线与
轴重合，则直线与抛物线
只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为
，
，
联立
，得
，
所以
，所以
或
，
，
又
，
，
所以
，故C 正确；
因为
，
，
所以
，而
，故D 正确.
故选：BCD
4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线
的顶点到焦点的距离为3，则
．
【答案】
【分析】根据抛物线的几何性质可求
的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为
，故
，故
，
故答案为：
.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为
，最后利
用点的坐标和准线方程计算点
到
的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：
，则
，抛物线的方程为
，
准线方程为
，点
到
的准线的距离为
.
故答案为：
.
6．（全国甲卷·高考真题）设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于M，N
两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得最
大值时，求直线AB 的方程．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由抛物线的定义可得
，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线
，由韦达定理及斜率公式可得
，再由差角的正切
公式及基本不等式可得
，设直线
，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为
，当
与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p，
此时
，所以
，
所以抛物线C 的方程为
；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设
，直线
，
由
可得
，
，
由斜率公式可得
，
，
直线
，代入抛物线方程可得
，
，所以
，同理可得
，
所以
又因为直线MN、AB 的倾斜角分别为
，所以
，
若要使
最大，则
，设
，则
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当
最大时，
，设直线
，
代入抛物线方程可得
，
，所以
，
所以直线
.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN 的斜率存在.
设
,直线
由
得：
，
,同理，
.
直线MD:
,代入抛物线方程可得：
，同理，
.
代入抛物线方程可得:
,所以
，同理可得
，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使
最大，则
，
设
，则
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当
最大时，
，设直线
，
代入抛物线方程可得
，
，所以
，所以直线
.
[方法三]：三点共线
设
，
设
,若 P、M、N 三点共线，由
所以
，化简得
，
反之，若
,可得MN 过定点
因此，由M、N、F 三点共线，得
，
由M、D、A 三点共线，得
，
由N、D、B 三点共线，得
，
则
，AB 过定点（4,0）
（下同方法一）若要使
最大，则
，
设
，则
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当
最大时，
，所以直线
.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线
的斜率关
系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性
通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线
过定点，省去联立过程，也不失为一种简
化运算的好方法．
