第07 讲 抛物线及其性质
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 抛物线的定义.......................................................................................................4
知识点2 抛物线的标准方程与几何性质...........................................................................5
题型破译................................................................................................................................................6
题型1 抛物线的定义与标准方程.......................................................................................6
【方法技巧】焦点与准线
题型2 抛物线的焦点坐标及准线方程...............................................................................8
【方法技巧】焦点与准线相反
题型3 抛物线的轨迹方程.................................................................................................10
【方法技巧】到点与到线的距离相等
题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
.........................................12
题型5 焦半径问题.............................................................................................................15
题型6 抛物线的几何性质
..........................................................................................17
题型7 抛物线中三角形、四边形的面积问题
...........................................................20
题型8 抛物线的实际应用.................................................................................................23
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................26
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................34
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.掌握抛物线的定义、
几何图形、标准方程
2.掌握抛物线的简单几
何性质( 范围 、对称
性、顶点、离心率)
3.了解抛物线的简单应
用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第10
题，6 分
全国二卷，第6
题，5 分
天津卷，第9
题，5 分
北京卷，第11 题，5 分
天津卷，第12 题，5 分
新课标II 卷，第10
题，6 分
新课标I 卷，第22 题，12
分
新课标Ⅱ卷，第10 题，5
分
全国乙卷（文数），第13
题，5 分
北京卷，第6 题，4 分
考情分析：
从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是
圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用.
复习目标：
1.理解、掌握抛物线的概念，能够求解抛物线的标准方程；
2.能掌握抛物线的几何性质；
3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与抛物线的位置关系问题；
4.会解抛物线的弦长，与面积等问题.
知识点1 抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F 叫
作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M 到直线l 的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
自主检测（多选）已知抛物线
的焦点为F，准线为l，O 为坐标原点，点
在抛物线C 上，
直线
分别与l 交于A，B，直线
与抛物线C 交于另一点N，则（ ）
A．F 的坐标为
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的定义可判断B，求出直线
的方程并得到
坐标可判断C，分别计算
和
的面积可判断D.
【详解】对于A，由抛物线
，可得
，所以
，且焦点在
轴正半轴上，则焦点
，
所以A 错误；
对于B，由抛物线的方程得
，由定义可得
，所以B 正确；
对于C，直线
的方程分别为
，
，分别与联立得
，
，所以
，所以C 正确；
对于D，联立
，得
，解得
，
所以
，由
，所以D 错误．
故选：BC.
知识点2 抛物线的标准方程与几何性质
自主检测（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线
的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不
同的点A，B，C，其中点A，B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若
，
，则
（ ）
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图象
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
A．
B．3
C．
D．4
【答案】A
【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三
角形求出边长的比值即可.
【详解】
如图所示，设
，由
，
，
由
可知准线方程为
，
根据抛物线定义可得
，
，故
，
，
过A，B 分别作y 轴的垂线
垂足为
，过B 作
的垂线，垂足为E，
明显
，所以
，
故选：A．
题型1 抛物线的定义与标准方程
例1-1 已知抛物线
上的点
到焦点
的距离为4，则点
到
轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定专线方程，结合抛物线的定义确定点
的纵坐标，带入
即可求解.
【详解】由题可知抛物线
的准线方程为
.
设点
,根据抛物线的定义可知
,即
.
由抛物线方程可得
,即
,所以点
到
轴的距离为
.
故选：D.
例1-2（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线
的焦点，另外两个顶
点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可.
【详解】由题可知：焦点
，准线方程为
，假设等边三角形的边长为
，
所以
或
，
则
.
故选：D
方法技巧
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P 的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
【变式训练1-1】已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P 作
且垂足为Q，若
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物线定义，可得
进而求得点
的坐标，得点
坐标，利用斜率公式得解.
【详解】由题，
，则
，代入抛物线方程得
，
，又
，
.
故选：C.
【变式训练1-2】抛物线
上与焦点的距离等于3 的点的坐标是 ．
【答案】
或
【分析】通过抛物线方程可知其准线方程，设点
在抛物线上，且与焦点的距离等于3，进而利用
定义即得结论．
【详解】由题意，抛物线
的准线方程为：
，焦点坐标为
，
设点
在抛物线上，且与焦点的距离等于3，
由抛物线定义可得：
，即
，
所以
，则
，所以点
的坐标是
或
.
故答案为：
或
.
题型2 抛物线的焦点坐标及准线方程
例2-1 抛物线
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由抛物线的标准方程可得结果.
【详解】依题意得
，所以
，所以
，又抛物线开口向左，
所以抛物线
的准线方程为
．
故选：B.
例2-2（多选）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，若
，O 为坐标原
点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的坐标为
【答案】AC
【分析】根据抛物线定义求得
，进而求出
坐标判断A、B、C；根据抛物线方程得焦点判断D.
【详解】A：由抛物线的定义，得
，所以
，对；
B：因为点
在抛物线
上，所以
，所以
，错；
C：
，对；
D：由抛物线
，可得
，错；
故选：AC
【变式训练2-1】（多选）已知抛物线
的焦点为F，A，B 是抛物线上两动点，下列说法正确的有
（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若
，则线段AB 的中点到
轴的距离为3
C．以线段
为直径的圆与
轴相切
D．以
为圆心，线段
的长为半径的圆与准线相切
【答案】BCD
【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直
线的距离等于半径可判断C 和D.
【详解】对于A，抛物线
的准线方程为
，焦点为
，故A 错误．
对于B，设点
，由抛物线的定义可得
，
可得
，所以线段
的中点到
轴的距离为
，故B 正确．
对于C，因
的中点为
该点到
轴的距离为
，
故以线段
为直径的圆与
轴相切，故C 正确．
对于D，因
，故以
为圆心，线段
的长为半径的圆与准线相切，即D 正确．
故选：BCD.
【变式训练2-2·变考法】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，
在C 上，
则
．
【答案】5
【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】
抛物线为
，
，
在C 上，
.
故答案为：5.
【变式训练2-3·变载体】已知
是抛物线
的焦点，M 是C 上一点，
的延长线交
轴于点
N，若M 为
的中点，则
.
【答案】6
【分析】方法一、设
，根据点M 为
的中点得到
，再代入抛物线即可得到
，
利用勾股定理即可求
；方法二、由
为
的中点，得到点
的横坐标为1，根据抛物线定义可得
，由
即可求解；方法三、由题可知线段
为梯形
的中位线，进而得到
，再
求
即可.
【详解】方法一、抛物线
的焦点为
，
点在
轴上，设
.
又
为
的中点，
，即
，
又
点在抛物线
上，
，
所以
.
方法二、依题意，抛物线
的焦点
，准线
，
是
上一点，
的延长线交
轴于点
为
的中点，
点
的横坐标为1，
.
方法三、抛物线
的焦点为
，准线
，
如图，设与
轴的交点为
，分别过
作直线的垂线，垂足分别为
，
由
为
的中点，易知线段
为梯形
的中位线，
，
又由抛物线的定义得
，且
，
.
故答案为：6.
题型3 抛物线的轨迹方程
例3-1 已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离大1，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题意可知，动点P 到点
的距离等于它到直线
的距离，
由抛物线的定义可知，点P 在以
为焦点，
为准线的抛物线上，其轨迹方程为
，
故选：D
例3-2 已知曲线
上任一点
与点
的距离比它到
轴的距离大
．
(1)求曲线
的方程；
(2)求过定点
且与曲线
只有一个公共点的直线的方程．
【答案】(1)
(2)
或
或
【分析】（1）根据抛物线的定义可得抛物线方程；
（2）分情况讨论，当直线平行与抛物线对称轴时可得直线方程，当直线斜率不存在时可得直线方程，当
直线既不平行于对称轴也满足斜率存在时，设直线的点斜式方程，联立直线与抛物线，根据
，可得
解.
【详解】（1）由曲线
上任一点
与点
的距离比它到
轴的距离大
，
可知曲线
上任一点
与点
的距离与它到直线
的距离相等，
由抛物线的定义可知曲线
为抛物线，且焦点在
轴上，焦点坐标为
，
所以曲线
的方程为
；
（2）当直线过点
且斜率为
，即直线与抛物线的对称轴平行时，
直线与曲线
有一个公共点，此时直线的方程为
；
当过
的直线的斜率不存在时，即直线的方程为
，
显然与抛物线相切，直线与曲线
有一个公共点．
当过
的直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
联立
，整理得
，
则
，即
，解得
，
此时直线的方程为
．
综上所述，满足条件的直线的方程为
或
或
.
方法技巧
（1）关于坐标轴对称的点；
（2）标记为F 的点；
（3）圆心；
（4）题上提到的定点等等．
当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．
【变式训练3-1】若点P 到点
的距离比它到直线
的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可写出点P 的轨迹方程.
【详解】由题意，知P 到
的距离比它到
的距离小2，
因此P 到
的距离与到直线
的距离相等，
故P 的轨迹是以F 为焦点，
为准线的抛物线，
所以P 的轨迹方程为
．
故选：C
【变式训练3-2】在平面直角坐标系
中，点
到点
的距离比点
到直线
的距离小
，记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)已知直线过点
且与曲线
交于
两点，求
的值.
【答案】(1)
(2)-4
【分析】(1)根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程；
(2)设出直线
的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解.
【详解】（1）由点
到点
的距离比点
到直线
的距离小
，
得点
到点
的距离等于点
到直线
的距离，
因此点
的轨迹是以点
为焦点、直线
为准线的抛物线，
所以点
的轨迹
的方程为
.
（2）显然直线
不垂直于
轴，设其方程为
，
，
，
由
消去
得
，
恒成立，
，
所以
.
题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
例4-1 已知P 是抛物线
上的一个动点，那么点P 到直线
的距离与到该抛物线准线距离之和
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义把点
到的距离转化到点
到焦点
的距离，就是求点
到直线
的距离.
【详解】设过点
分别向准线和
作垂线，垂足分别为
，
因为抛物线
的焦点
，由抛物线的定义得：
，
所以只需要求
最小即可.
当且仅当
三点共线时
最小，且最小值为点
到直线
的距离，即
.
故选：B.
例4-2 已知
是抛物线
上的一个动点，则
到
的距离与
到准线的距离之和的最小值为
.
【答案】
【分析】利用抛物线的定义可求则
到
的距离与
到准线的距离之和的最小值.
【详解】设
为抛物线的焦点，则
，
如图，设
，
为
到准线的距离且
为垂足，
则
，
当且仅当
三点共线且
在
之间时等号成立，
故
的最小值为
.
故答案为：
.
方法技巧
（1）抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，
（2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛
物线的定义及其性质”，
（3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
【变式训练4-1】（2025·海南儋州·模拟预测）已知
，
，P 为抛物线
上一动点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线
的焦点坐标为
，准线方程为
，过点
作
，根据抛物线的定义，得到
，结合
，即可求解.
【详解】由抛物线
，即
，
又由抛物线
表示开口向上，且焦点为
，准线方程为
，
将抛物线
向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位，即可得到
，
所以抛物线
的焦点坐标为
，准线方程为
，
因为点
是抛物线
上任意点，则点
到焦点
的距离等于点
到的距离，
如图所示，过点
作
，可得
，
所以
，当且仅当
三点共线时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【变式训练4-2·变载体】已知抛物线
的焦点为
，定点
，若对抛物线
上任一动点
，
都有
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案.
【详解】抛物线
的焦点为
，准线方程是
．
如图，过点
作准线的垂线
，垂足为
，连接
．
因为点
在抛物线上，所以根据抛物线的定义得
，
所以
，当且仅当
三点共线时取等号，
当
时，
取最小值，即
，所以
的最小值为1．
故选：A．
题型5 焦半径问题
例5-1 已知
为坐标原点，
为抛物线
的焦点，点
在
上，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】由抛物线定义及
得
，进而将点
代入抛物线方程即可得.
【详解】由抛物线的定义，知
，又
，
，
所以
，即
，
由点
在
上，得
，
结合
，解得
.
故选：C
例5-2 已知O 为坐标原点，F 是抛物线C：
的焦点，A，B 是C 上位于x 轴异侧的两点，且
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用焦半径公式算出A，B 的坐标，求出直线AB 的方程，进而证明A，B，F 三点共线，最后利
用
计算即可．
【详解】由题意可知，
，不妨设点
，
，且点A 在第一象限，如图，
则
，
，
则
，
，故
，
所以直线
的方程为
，
令
得
，即A，B，F 三点共线，
所以
．
故选：C．
方法技巧
若
为抛物线
的焦点弦，
，
，则有以下结论：
（1）
．
（2）
．
（3）焦点弦长公式1：
，
，当
时，焦点弦取最小值
，即所
有焦点弦中通径最短，其长度为
．
焦点弦长公式2：
（
为直线
与对称轴的夹角）．
（4）
的面积公式：
（
为直线
与对称轴的夹角）．
【变式训练5-1】设抛物线
的焦点为F，准线为l，P 为抛物线上一点，
，A 为垂足，如果直
线
的斜率为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】由抛物线
，求出焦点
，再结合题意求出直线
的方程为：
，在求出点
及点
，从而可求解.
【详解】由抛物线
，则焦点
，准线：
，
又因为直线
的斜率为
，则直线
的方程为：
，
因
，所以可得点
，
又
，所以
，即得点
，
则
.
故选：C.
【变式训练5-2】（2025·云南·模拟预测）已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的焦点的距离
为 ．
【答案】
【分析】根据点在抛物线上得出
，再应用抛物线定义得出焦半径公式得出距离.
【详解】因为点
在抛物线C：
上，所以
，即
，
所以A 到C 的焦点的距离为
．
故答案为：5.
【变式训练5-3】设
为抛物线
：
的焦点，点
为
上一点，过
作
轴的垂线，垂足为
，若
，则
．
【答案】
【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点
的坐标
，进而求得
，再根据
解得
，
．法一：根据两角互补和余弦公式解得结果；法二：计算得到
，
，在
中，由余弦定理计算得到结果．
【详解】因为抛物线
，所以
，所以抛物线的焦点
的坐标为
．
设
，如图，由抛物线的定义可知
，又
，
所以
，解得
，故
．
方法一：设
为原点，则
．
方法二：
，所以
，
在
中，由余弦定理得
．
故答案为：
.
题型6 抛物线的几何性质
例6-1 已知抛物线
：
与圆
：
（
）交于
，
两点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】A
【分析】利用抛物线与圆的对称性，
得出
即可求解．
【详解】设
，
（
），
由
，得
，所以
．
因为
在圆
上，所以
，得
，
故选：A．
例6-2 已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向
右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点
；②经过点
.你所选的条件是
，得到的一个抛物线标准方程是 .
【答案】②
【分析】根据给定条件，判断选择的条件，再设出标准方程，利用待定系数法求出方程即可.
【详解】顶点在原点，坐标轴为对称轴，开口向右的抛物线焦点在
轴的正半轴上，因此条件①不可选，
选择条件②，
设抛物线方程为
，由抛物线经过点
，得
，解得
，
所以所求抛物线标准方程是
.
故答案为：②；
方法技巧
已知
、
是过抛物线
焦点
的弦，
是
的中点，是抛物线的准线，
，
为垂足．
x
y
B
F
A
C
D
N
M
O
（1）以
为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y 轴相切；
（2）
，
（3）
；
（4）设
，
为垂足，则
、
、
三点在一条直线上
【变式训练6-1】（多选）已知抛物线
的焦点为
，顶点为
，过点
作直线，交抛物线
于
，
两点，点
在
轴上方，分别过点
，
作直线
的垂线，垂足分别为
，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．直线
是抛物线
的准线
B．若直线的斜率为2，则
C．
面积的最小值为4
D．
的最小值为18
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的定义、性质、直线与抛物线的关系、韦达定理、基本不等式的性质等知识对选项逐
一判断即可.
【详解】因为抛物线方程为
，所以其准线方程为
，所以A 正确；
因为
，那么直线的方程为
.
将该直线方程与抛物线方程联立方程组化简为
.
设
，
所以根据韦达定理得
.
所以
，B 正确；
设直线
的方程为
，联立
，
消去
得
.
根据韦达定理有
，
所以
，
所以
，所以最小值为8，所以C 错误；
由抛物线的定义可知
，
所以
.
因为
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，此时
的最小值为18，所以D 正确.
故选：ABD.
【变式训练6-2】）已知抛物线
的焦点为
，
为
上的一点，过
作
的准线的垂线，垂足为
，
，则直线
的方程为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
结合抛物线方程得到点
，进一步得到点
，然后可得直线方程.
【详解】由题可知：抛物线的准线方程为
，设
，
由
，
，所以
，所以
或
，
所以
或
，
所以直线
的方程为
或
，即
或
.
故选：A
题型7 抛物线中三角形、四边形的面积问题
例7-1 已知点
在抛物线C：
上，F 为抛物线的焦点，则
（O 为坐标原点）的面积
是（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【解析】
点
在抛物线
上，
为抛物线
的焦点，
，解得
，
故抛物线
的方程为
，
,
，
则
的面积
．
故选：A．
例7-2 已知抛物线C：y
2=2 px（p>0）的焦点为F，直线l 与C 相交于A、B 两点，与y 轴相交于点E．
已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2 倍，则抛物线C 的方程为（ ）
A．y
2=2 x
B．y
2= 4 x
C．y
2=6 x
D．y
2=8 x
【解题思路】过A ,B分别作C的准线的垂线交y轴于点M , N，根据抛物线定义可得|AM|=5- p
2 ，
|BN|=3- p
2 ，再由
S△AEF
S△BEF
=|AE|
|BE|=|AM|
|BN|即可求参数p，进而可得抛物线方程.
【解答过程】如图，过A ,B分别作C的准线的垂线交y轴于点M , N，
则AM // BN，故|AE|
|BE|=|AM|
|BN|，
因为C的准线为x =- p
2 ，所以|AM|=|AF|- p
2 =5- p
2 ，|BN|=|BF|- p
2 =3- p
2 ，
所以
S△AEF
S△BEF
=
1
2|EF||AE|sin ∠AEF
1
2|EF||BE|sin ∠BEF
=|AE|
|BE|=|AM|
|BN| =
5- p
2
3- p
2
=2，解得p=2，
故抛物线C 的方程为y
2= 4 x.
故选：B.
方法技巧
利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从
而计算其面积或面积之比．
【变式训练7-1】已知点 M 在曲线
上，过M 作圆
的切线，切点分别为A，B，
则四边形MACB 的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【答案】B
【解析】
如图，设点
，连接
，四边形MACB 的面积为
，
而
，又点
在曲线
上，则有
，
依题意，
，故当且仅当
时，
，此时四边形MACB 的面积取得最小值
.
故选:B.
【变式训练7-2】已知抛物线C：y²=8x 的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交C 于P，Q 两点，
于
H，若
，O 为坐标原点，则
与
的面积之比为（ ）
A．8
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【解析】由题意得：抛物线C：y²=8x 的焦点为
，准线为
，
设准线l 与x 轴的交点为
，
由抛物线定义知
，而
，故
为正三角形，可得
，
不妨令直线
，设
，
联立方程
，消去x 得
，解得
或
，
即
，可得
，
所以
．
故选：C.
【变式训练7-3】设F为抛物线y
2= 4 x的焦点，A ,B ,C为该抛物线上不同的三点，且⃗FA +⃗FB+⃗FC =⃗0,O
为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S1
2+ S2
2+ S3
2=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解题思路】设点A ,B ,C的坐标，再表示出△OFA ,△OFB ,△OFC的面积，借助向量等式即可求得答案.
【解答过程】设点A ,B ,C的坐标分别为( x1, y1),( x2, y2),( x3, y3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF |=1，⃗
FA =( x1-1, y1),⃗FB =( x2-1, y2),⃗FC =( x3-1, y3)，由⃗FA +⃗FB+⃗FC =⃗0，得x1+ x2+ x3=3，
于是S1= 1
2 | y1|,S2= 1
2 | y2|,S3= 1
2 | y3|，
所以S1
2+ S2
2+ S3
2= 1
4 ( y1
2+ y2
2+ y3
2)= x1+ x2+ x3=3.
故选：A.
题型8 抛物线的实际应用
例8-1 有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 米时，水面宽4 米．则水位上涨1 米后，水面宽为（ ）
A．
米
B．2 米
C．
米
D．4 米
【答案】C
【分析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系，进而即可得结果．
【详解】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系，
依题意可设抛物线方程为
，代入点
，
∴
，
，
将
代入可得
，所以水面宽度为
．
故选：C．
例8-2（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860 年他奉拿破仑三世之命，
研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广
泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到
大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m
的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25
B．0.5
C．1
D．2
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然
后可得.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为
，
由图可得点
在抛物线上，即
，解得
，
故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为
.
故选：A.
【变式训练8-1】如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面
，水面宽
，根据图中坐
标系，这条抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】设抛物线的方程为
，代入点
即可求解.
【详解】设抛物线的方程为
，抛物线过点
，所以
，
则这条抛物线的方程为
，即
．
故答案为：
.
【变式训练8-2·变考法】某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方
向运行的轨迹方程为
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为
对称轴，
为顶点的抛物线的一部分（从点C 到点B）．已知观测点A 的坐标为
，当航天器与
点A 距离为4 时，指挥中心向航天器发出变轨指令．
(1)求航天器变轨时点C 的坐标；
(2)求航天器降落点B 与观测点A 之间的距离．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由
和C 点在椭圆上联立得方程组，解方程组得出点的坐标.
（2）由抛物线的顶点和C 点坐标求出抛物线的方程，再求出降落点B 的坐标，从而求出降落点与观测点
之间的距离.
【详解】（1）（1）设
，由题意，
，即
，得
又
点上在
，所以联立得方程组
，
解方程组得
或
（舍去），当
时，
，
由图可知
，所以
，
故C 的坐标为
．
（2）（2）由题意设抛物线的方程为
，
因为抛物线经过点
，
，
所以
，
，解得
，即
．
令
可得
或
（舍去），即
，
所以
，
故航天器降落点B 与观测点A 之间的距离为3．
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若
到直线
的距离
为5，则
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线
的焦点
，准线方程为
，点
在
上，
所以
到准线
的距离为
，
又
到直线
的距离为，
所以
，故
.
故选：D.
2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线
的焦点为
点A 在C 上，过A 作
的准线的
垂线，垂足为B，若直线BF 的方程为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】先由直线
求出焦点
和
即抛物线
的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依
次求出
和
，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对
，令
，则
，
所以
，
即抛物线
，故抛物线的准线方程为
，
故
，则
，代入抛物线
得
.
所以
.
故选：C
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知抛物线
的焦点为F，过F 的一条直线交C 于A，B
两点，过A 作直线
的垂线，垂足为D，过F 且与直线
垂直的直线交于点E，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，先判断得直线
为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用
三角形相似证得
，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联
立直线
与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得
，
，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，易知直线
的斜率不为
，
设直线
的方程为
，
，
联立
，得
，
易知
，则
，
又
，
，
所以
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
又
，
，
所以
，
则
，故D 正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，当直线
的斜率不存在时，
；
当直线
的斜率存在时，设直线
方程为
，
联立
，消去
，得
，
易知
，则
，
所以
，
综上，
，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
当直线
的斜率不存在时，
，
；
所以
，即
；
当直线
的斜率存在时，
，
，
所以
，
则
；
综上，
，故D 正确.
故选：ACD.
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
【答案】ABD
【分析】A 选项，抛物线准线为
，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，
三点共线时，先
求出
的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据
先算出
的坐标，然后验证
是否成立；
D 选项，根据抛物线的定义，
，于是问题转化成
的
点的存在性问题，此时考察
的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设
点坐标进行求解.
【详解】A 选项，抛物线
的准线为
，
的圆心
到直线
的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和
相切，A 选项正确；
B 选项，
三点共线时，即
，则
的纵坐标
，
由
，得到
，故
，
此时切线长
，B 选项正确；
C 选项，当
时，
，此时
，故
或
，
当
时，
，
，
，
不满足
；
当
时，
，
，
，
不满足
；
于是
不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，
，这里
，
于是
时
点的存在性问题转化成
时
点的存在性问题，
，
中点
，
中垂线的斜率为
，
于是
的中垂线方程为：
，与抛物线
联立可得
，
，即
的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个
点，使得
，D 选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设
，由
可得
，又
，又
，
根据两点间的距离公式，
，整理得
，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的
点，D 选项正确.
故选：ABD
5．（2024·北京·高考真题）抛物线
的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】形如
的抛物线的焦点坐标为
，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为
，所以其焦点坐标为
.
故答案为：
.
6．（2024·上海·高考真题）已知抛物线
上有一点
到准线的距离为9，那么点
到
轴的距离为
．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知
，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由
知抛物线的准线方程为
，设点
，由题意得
，解得
，
代入抛物线方程
，得
，解得
，
则点
到
轴的距离为
．
故答案为：
．
7．（2023·上海·高考真题）曲线
，第一象限内点A 在Γ 上，A 的纵坐标是a．
(1)若A 到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B 在x 轴上，AB 中点在
上，求点B 坐标和坐标原点O 到AB 距离；
(3)直线
，令P 是第一象限Γ 上异于A 的一点，直线PA 交l 于Q，H 是P 在l 上的投影，若点A 满
足“对于任意P 都有
”，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入求出
，利用抛物线定义即可求出
值；
（2）代入
值求出
，设
，则得到
的中点坐标，再代入抛物线方程则得
值，则得到直线
的方程，利用点到直线的距离即可；
（3）设
，写出直线
的方程，求出
点坐标，则
，分
和
讨论即可.
【详解】（1）令
，解得
，即
，而抛物线的准线方程为
，
根据抛物线的定义有
，解得
，因为
为第一象限的点，则
.
（2）由
代入抛物线方程有
，解得
，则
，
设
，则
的中点为
,
代入抛物线方程有
，解得
，
直线
的斜率为
，其方程为
，即
,
坐标原点
到
的距离为
.
（3）设
，根据
，
则
，则直线
方程为
，
化简得
，
令
，则
，又
，
，
化简得
①对任意的
恒成立.
则
, 结合
，
，
当
时，
，则
，则①也成立.
综上所述:
.
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设
，从而写出直线
的方程，再得到
，再转化为恒成立问题，分类讨论即可.
1.在同一坐标系中画出下列抛物线：
（1）
（2）
；
（3）
．
再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x 的系数之间的关系．
【答案】答案见解析
【分析】在同一坐标系下画出抛物线
，
和
图象，结合图象，即可求解.
【详解】如图所示，在同一坐标系下画出抛物线
，
和
图象，
由图象可得，当方程中
的系数越大，抛物线的开口就越大.
2.已知F 是抛物线
的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N．若M 为FN 的中点，求
．
【答案】答案见解析
【分析】结合焦点坐标可求得
点横坐标，利用焦半径公式可求得
，进而得到结果.
【详解】
由抛物线方程得：
，准线方程为：
为
中点，点
在
轴上，
点的横坐标为
，
由抛物线定义知：
，
.
3.已知探照灯的轴截面是抛物线
（如图），平行于x 轴的光线照射到抛物线上的点
，反射光
线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q 点．试确定点Q 的坐标．
【答案】
【分析】根据抛物线方程可知
，直接可得直线
的方程，与抛物线方程联立运算求解即可.
【详解】因为抛物线
的焦点为
，所以直线
的方程为
．
由于
是抛物线与直线
的公共点，
联立方程
，解得
或
（舍去）．
故点Q 的坐标为
．
4.某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口
的距离是69mm．由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平
行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1mm）？
【答案】灯泡应该安装在距顶点约35mm 处
【分析】由抛物线的光学性质可知，灯泡应该装在抛物线焦点处，建立如图所示的坐标系结合已知条件待
定系数即可求解.
【详解】如图所示：
在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy．
设抛物线的方程为
，灯应安装在其焦点F 处．
在x 轴上取一点C，使
．
过C 作x 轴的垂线，交抛物线于A，B 两点，线段AB 就是灯口的直径，
即
，所以点A 的坐标为
．
将点A 的坐标代入方程
，解得
．
所以抛物线的焦点坐标约为
，
所以灯泡应该安装在距顶点约35mm 处．
5.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射
入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为
1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
【答案】建系见解析，抛物线的标准方程是
，焦点坐标是
【分析】在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点
重合，焦点在x 轴上，然后设抛物线方程，代入点
求解可得.
【详解】解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶
点）与原点重合，焦点在x 轴上.
设抛物线的标准方程是
.
由已知条件得，点A 的坐标是
，代入方程，得
，即
.
所以，所求抛物线的标准方程是
，焦点坐标是
.
6.已知平面直角坐标系中，动点M 到
的距离比M 到x 轴的距离大2，求M 的轨迹方程，并在平面
直角坐标系中作出轨迹曲线．
【答案】
，作图见解析
【分析】设M 的坐标是
，根据题已列出方程，化简可得答案，继而作出图象.
【详解】设M 的坐标是
，则根据题意可知
，
化简得
．
当
时，方程可变为
，这表示的是端点在原点方向为y 轴正方向的射线，
且不包括端点，
当
时，方程可变为
，这表示的是焦点为
的抛物线，
如图所示：
