文档文本内容
第07 讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征
目录
01 考情解码・命题预警............................................................................................................................2
02 体系构建·思维可视...............................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚...............................................................................................................................3
知能解码........................................................................................................................................3
知识点1 离散型随机变量 ........................................................................................................3
知识点2 离散型随机变量的分布列 .......................................................................................4
知识点3 离散型随机变量分布列的性质 ..............................................................................4
知识点4 离散型随机变量的均值和方差 ..............................................................................5
题型破译........................................................................................................................................6
题型1 离散型随机变量分布列...................................................................................................6
题型2 离散型随机变量分布列性质.........................................................................................9
【方法技巧】离散型随机变量分布列
题型3 离散型随机变量的均值...............................................................................................11
题型4 离散型随机变量的方差...............................................................................................13
题型5 均值与方差的应用.......................................................................................................16
【方法技巧】均值与方差的性质
04 真题溯源·考向感知............................................................................................................................20
05 课本典例·高考素材.........................................................................................................................................21
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）离散型随机变量
的分布列
（2）离散型随机变量
的均值与方差
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年上海卷第
6 题，4 分
2025 年北京卷第
18 题（2），5 分
2025 年全国一卷
第14 题，5 分
2024 年全国新课标Ⅱ卷
第18 题（2）（ⅱ），4
分
2023 年上海卷第19 题
（2），9 分
2023 年全国新课标Ⅰ卷第
19 题（2），9 分
考情分析：
从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，特别是解答题中，更是经常出现．随着计算机技术
和人工智能的发展，概率统计逐步成为应用最广泛的数学内容之一．这部分内容作为高考数学的主干内容之一，
会越来越受到重视．主要以应用题的方式出现，多与经济、生活实际相联系，需要在复杂的题目描述中找出数量
关系，建立数学模型，并且运用数学模型解决实际问题．
复习目标：
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．
（2）理解并会求离散型随机变量的数字特征．
知识点1 离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间
中的每个样本点
都有唯一的实数
与之对应，我们称
为随机
变量．
表示：用大写英文字母表示随机变量，如
，
，
；用小写英文字母表示随机变量的取值，如
，
，
．
自主检测1．下列是离散型随机变量的是（ ）
A．种子含水量的测量误差
B．某品牌电视机的使用寿命
C．某网页在24 小时内被浏览的次数
D．测量某一零件的长度产生的测量误差
知识点2 离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量
的可能取值为
，
，…，
，我们称
取每一个值
的概率
，
为
的概率分布列，简称分布列．
…
…
…
…
自主检测一袋子中有大小相同的10 个小球，其中有3 个白球，7 个黑球．现从中依次摸出2 个球，记摸到
白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X 的分布列．
知识点3 离散型随机变量分布列的性质
①
，
②
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
自主检测已知离散型随机变量
的分布列如表所示，则常数为（ ）
0
1
A．
B．
C．
或
D．
知识点4 离散型随机变量的均值和方差
（1）离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量
的概率分布为：
…
…
…
…
则称 为随机变量
的均值(mean)或数学期望(mathematical
expectation),数学期望简称期望.
（2）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量
的概率分布列为：
…
…
…
…
则称
为随机变量
的方差，有时也记为
.
称
为随机变量
的标准差.
知识点五：均值与方差的性质
（1）
（2）
自主检测甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：
射手甲：
击中环
数
8
9
10
概率
0.2
0.6
0.2
射手乙：
击中环
数
8
9
10
概率
0.4
0.2
0.4
试用击中环数的数学期望与方差分析比较两名射手的射击水平．
题型1 离散型随机变量分布列
例1-1 甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3
分，负者得0 分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
，丙胜甲的概率为
，乙胜丙的概率为
，且各场
比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为
．
(1)求
的值；
(2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为
，求
的分布列．
例1-2 某公司研发了A，B 两种新型材料，对这两种材料生产的样本进行质量评估．现从所生产的A，B 两
种材料的样本中，随机抽取了400 件进行测评，并将测评结果制成如下表格：
名称
A 材料
B 材料
合格
60
120
优秀
90
130
现对样本进一步分析，在测评结果为“合格”的样本中按材料类型用分层抽样的方法抽取了6 件样本，若
在这6 件样本中随机抽取3 件，求这3 件样本中来自A 材料的件数X 的分布列和数学期望．
【变式训练1-1】为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了
“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学
生答题情况，获奖学生人数统计如下：
组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
(1)从获奖学生中随机抽取1 人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1 人，以
表示这2 人中团体赛获奖的人数，求
的分布列和均值．
【变式训练1-2】某校数学兴趣小组为了研究本校学生每天整理错题与成绩的关系，在本校某年级学生中
随机抽取了200 名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表：
整理数学错题情况
数学成绩
合计
总评优秀
总评非优秀
每天都整理
95
不是每天都整理
40
100
合计
200
(1)补全上述样本数据的2×2 列联表，并判断是否有99.9％的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整
理数学错题有关；
(2)按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5 名学生，再从这5 名
学生中选3 名做进一步访谈，设这3 人中数学成绩总评非优秀的人数为
，求
的分布列和期望．
附：
，其中
．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【变式训练1-3】书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，
每年4 月23 日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100 位年轻
人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这100 位年轻人每天阅读时间的平均数
（单位：分钟）；（同一组数据用
该组数据区间的中点值表示）
(2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组
的年轻人中抽取10 人，再从中任选3 人进行调查，求抽到每天阅读时间位于
的人数
的分布列和数学期望．
题型2 离散型随机变量分布列性质
例2-1 已知随机变量
的分布列如表：若
，则
（ ）
2
3
5
A．
B．
C．1
D．2
例2-2（多选）已知
，
均为正数，随机变量
的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（ ）
0
1
2
A．
B．
C．
D．
方法技巧 离散型随机变量分布列性质
离散型随机变量的分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概
率；
（3）可以根据性质
及
，
判断所求的分布列是否正确．
【变式训练2-1】设离散型随机变量
的分布列如表，若离散型随机变量
满足
，则下列结论错
误的是（ ）
0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】已知随机变量
的分布列如下：
0
1
2
3
则
；若
，
，
成公比为3 的等比数列，则
.
【变式训练2-3】已知随机变量
的分布列如表：其中
，
，若
，则
的最小值为
.
题型3 离散型随机变量的均值
例3-1 一道试题，甲解出的概率为
，乙解出的概率为
.设解出该题的人数为X，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相
遇．他们都需要在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛．已
知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为
和
；乙队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的
概率分别为
和
；丙队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为
和
，其中
．
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入半决赛的可能性最大？
(2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为
，求
的值；
(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为
，求
的分布列及期望．
【变式训练3-1】教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前30 次的投篮情况，得到下表（用“1”
表示投中，用“0”表示没有投中）：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
11
12
13
1
4
15
投篮情
况
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
序号
16
17
1
8
19
20
21
2
2
23
24
2
5
26
27
28
2
9
30
投篮情
况
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
把频率估计为概率.
（1）若认为甲各次投篮是相互独立的，则甲第31，32 两次投篮恰好一次投中，一次没有投中的概率为
；
（2）若认为甲从第2 次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第31，32 两次投篮投中的
次数为
，则
.
【变式训练3-2】小华进行3 次投篮，每次投篮得1 分或2 分.第一次投篮得1 分的概率为
，得2 分的概
率为
.若某次投篮得1 分，则下一次投篮得1 分的概率为
，得2 分的概率为
；若某次投篮得2
分，则下一次投篮得1 分的概率为
，得2 分的概率为
.记小华3 次投篮的累计得分为
，则
的数
学期望
.
【变式训练3-3】乒乓球台被球网分成甲、乙两部分，如图，甲被划分为两个不相交的区域
，乙被划
分为两个不相交的区域
.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，并规定：回球一次，
落点在
上记3 分，在
上记1 分，其它情况记0 分.对落点在
上的来球，队员小明回球的落点在
上的
概率为
，在D 上的概率为
；对落点在
上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为
，在D 上的概率
为
.
(1)假设每次来球都等可能地落在
上.现已知小明某次回球落在乙上，求他此次回球得3 分的概率；
(2)假设共有两次来球且落在
上各一次，小明的两次回球互不影响.求两次回球结束后，小明得分之和
的分布列与数学期望.
题型4 离散型随机变量的方差
例4-12023 年山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15
位游客，他们分别来自A、
、
三个地区．现将这15 位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表
（单位：元）．
A
32 68 86
57 70 78 91
66 77 79 80 80 81 83 94
假设所有游客消费金额相互独立.
(1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16 万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A 地区的游
客人数；
(2)从来自A 地区和
地区的游客中各随机选取一人，记
为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于
70 元的人数，估计
的数学期望
；
(3)从样本中来自A、
、
三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为
，写出方差
的大小关系．（结论不要求证明）
例4-2 开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步
增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利
开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100 个学生进行调查，获
得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立，
男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35
(1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率．
(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1 人，设
为抽出两人中女生的个数，求
的分
布列与数学期望；
(3)在（2）中，
表示抽出两人中男生的个数，试判断方差
与
的大小．
【变式训练4-1】甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮
比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3 分；如果甲输而乙赢，则甲得
分；如果甲和乙同时赢或同时输，则
甲得0 分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分X 的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分Y 的分布列及其均值和方差．
【变式训练4-2】福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分
为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为
，
在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4 件作品.
(1)设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X 概率分布列及期望；
(2)若制作一件优秀作品得10 分，制造一件不合格品扣5 分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差.
【变式训练4-3】在一个不透明的袋子里装有3 个黑球，2 个红球，1 个白球，从中任意取出2 个球，然后
再放入1 个红球和1 个白球.
(1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2 的概率；
(2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X 的分布列及方差.
题型5 均值与方差的应用
例5-1 甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为
（单位：
），乙班同学目测的误差为
（单位：
）．根据游戏记录，统计结果为
，
，
，
，
；
，
，
，
，
(1)分别列出随机变量
、
的分布列；
(2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要
的计算过程）．
例5-2 某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动.现从参赛学生中随机抽取
了男、女各20 名学生，将他们的成绩（单位：分）按
，
，
，
，
五个
分数段进行分组，统计如下：
成绩
男生人数
1
4
10
3
2
女生人数
4
4
4
4
4
(1)在抽取的40 名学生中，从成绩在80 分及以上的学生中随机抽取2 人，求恰好男、女生各1 人，且2 人
分数段不同的概率；
(2)从该市参赛的男生中随机抽取3 人，设成绩在80 分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X 的分布列
和数学期望；
(3)从该市参赛的女生中随机抽取3 人，设成绩在80 分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y 的方
差
与（2）中X 的方差
大小.（结论不要求证明）.
方法技巧 均值与方差的应用
均值与方差在决策中的应用
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它
们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均
值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳
定程度，进而进行决策.
【变式训练5-1】某工厂A，B 两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别
获利20 元、18 元、16 元，现从A，B 生产线的产品中各随机抽取100 件进行检测，结果统计如下图：
一等级
非一等级
合计
A 生产线
B 生产线
合计
(1)根据已知数据，完成
列联表并判断有
的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？
(2)以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获
利更稳定？
附：
，其中
.
0.050
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879
【变式训练5-2】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如
下：两家公司从6 个招标问题中随机抽取3 个问题，已知这6 个招标问题中，甲公司能正确回答其中4 道
题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为
，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影
响．
(1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差；
(2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【变式训练5-3】甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮
比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3 分；如果甲输而乙赢，则甲得
分；如果甲和乙同时赢或同时输，则
甲得0 分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分X 的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分Y 的分布列及其均值和方差．
1．有5 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3 次，每次取1 个球.记X 为这5
个球中至少被取出1 次的球的个数，则X 的数学期望
.
2．某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.
为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100 名学生该题的答题数据，其中
甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计
概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1 名，设X 为这2 名学生中该题选择正确的人数，估计
的概率及X 的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知
识点，甲校学生选择正确的概率为
，乙校学生选择正确的概率为
.设甲、乙两校高一年级学生掌
握该知识点的概率估计值分别为
，
，判断
与
的大小（结论不要求证明）.
3．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投
篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第
1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．
记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分，不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚
球1 次的得分的分布列．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币2 次，写出正面向上次数X 的分布列．
4．老师要从10 篇课文中随机抽3 篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2 篇才能及格．某位同
学只能背诵其中的6 篇，求
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列
(2)他能及格的概率
5．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3 次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不
再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3 次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试
通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
（1）李明在一年内参加考试次数X 的分布列；
（2）李明在一年内领到资格证书的概率．
